Резонансные эффекты в периодических структурах нанофотоники на основе кремния и материалов с изменяемым фазовым состоянием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Миннуллин Рамиль Талгатович

• Миннуллин Рамиль Талгатович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Миннуллин Рамиль Талгатович

Оглавление

Введение

Глава 1. Материалы и периодические структуры нанофотоники

1.1 Материальная база нанофотоники

1.1.1 Кремниевая платформа

1.1.2 Ш-У материалы

1.1.3 Двумерные материалы

1.1.4 Материалы с изменяемым фазовым состоянием

1.2 Периодические структуры нанофотоники

1.2.1 Дифракционные решетки

1.2.2 Фотонные кристаллы

1.2.3 Метаматериалы

1.3 Выводы к Главе

Глава 2. Распространение света в периодических структурах нанофотоники

2.1 Уравнения Максвелла в среде

2.1.1 Микроскопические уравнения Максвелла

2.1.2 Макроскопические уравнения Максвелла

2.1.3 Классические частные случаи уравнений Максвелла, уравнение Гельмгольца

2.2 Основные подходы к решению уравнений Максвелла в сложных структурах

2.2.1 Методы конечных разностей

2.2.2 Метод конечных элементов

2.2.3 Спектральные методы

2.2.4 Методы интегральных уравнений с применением функций Грина

2.3 Соотношения переноса. Основные этапы вывода с использованием подходов оператора рассеяния и матриц переноса

2.4 Разностное операторное уравнение Риккати и переход к матричной форме.

Ассоциированное линейное уравнение на прохождение

2.5 Выводы к Главе

Глава 3. Резонансные эффекты в периодических структурах нанофотоники

3.1 Полное отражение от одномерных фотонных кристаллов из кремниевых нитей

3.1.1 Фотонные кристаллы с малой плотностью упаковки в свободном пространстве

3.1.2 Фотонный кристалл в структуре кремний-на-изоляторе

3.2 Продольные резонансы дифракционной решетки из материала с изменяемой фазой на многослойной волноводной структуре

3.3 Увеличение амплитуды возбуждаемой волноводной моды в волноводе структуры кремний-на-изоляторе с композитной дифракционной решеткой из кремния и материала с изменяемой фазой вследствие параллельных резонансов решетки

3.4 Выводы к Главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

От автора

Список публикаций по теме диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Резонансные эффекты в периодических структурах нанофотоники на основе кремния и материалов с изменяемым фазовым состоянием»

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию резонансных оптических эффектов, возникающих при взаимодействии электромагнитного излучения ближнего инфракрасного диапазона с периодическими структурами нанофотоники (дифракционными решетками, фотонными кристаллами), выполненными на основе кремния и содержащими включения материалов с изменяемым фазовым состоянием.

Актуальность темы. Одной из основных задач микроэлектронной промышленности является увеличение быстродействия работы интегральных схем. Долгое время удавалось следовать данной тенденции путём уменьшения топологических размеров, однако при технологических нормах 180 нм и ниже возникают физические ограничения, такие как преобладание времени резистивно-ёмкостных задержек над временем переключения транзисторов, увеличение токов утечки в подзатворном диэлектрике и областях стока-истока [1]. Переход проектных норм через отметку 130 нм обусловил новые направления исследований: разработка трехмерных архитектур транзисторов взамен планарных; изучение и разработка новых материалов, в частности, диэлектриков с низким значением диэлектрической проницаемости (low-k диэлектрики), графена и структур на его основе, равно как и других двумерных материалов; и многие другие, нацеленные на решение проблем дисперсионного «расплывания» тактовых электрических импульсов в слоях металлизации, резкого увеличения потерь энергии импульсов при уменьшении размеров и существенного разогрева активной области чипов при увеличении тактовой частоты.

Преодоление вышеупомянутых ограничений стало возможно за счет привлечения методов оптоэлектроники на современной технологической базе. В частности, возникло относительно новое и стремительно развивающееся научно-техническое междисциплинарное направление - нанофотоника, объединившее микро- и наноэлектронику и оптику низкоразмерных структур. Достижения нанофотоники находят все большее применение в оптических вычислительных и

телекоммуникационных системах, квантовой криптографии, сенсорике, лазерной технике, радиолокации, современной медицине и биохимии [2, 3].

Нанофотоника требует разработки обширной компонентной базы элементов, начиная от традиционных оптических полосковых волноводов, до конструктивно сложных структур типа дифракционных решеток и фотонных кристаллов разной топологии, искусственных метаматериалов с оптическими свойствами, отсутствующими у составляющих их природных материалов. Большой практический интерес представляют периодические структуры в силу своих резонансных свойств. Так, например, дифракционные решетки являются уже традиционными элементами нанофотоники, выполняющими функцию введения и выведения оптического сигнала в и из фотонных интегральных схем (ФИС) [4-6]. Кроме того, они используются в качестве резонаторов в вертикально-излучающих лазерах [7, 8], детекторах молекул [9], а также в качестве фокусирующих отражателей и линз [10]. Новые перспективы применения дифракционных решеток в нанофотонике обозначило обнаружение субволнового режима их функционирования. Дифракционная решетка в субволновом режиме качественно отличается характером распространения электромагнитного излучения в структуре [11], что позволяет использовать ее в качестве волноводной среды, в том числе способной выполнять функцию преобразования волноводных мод для обеспечения связи между различными элементами ФИС, для осуществления эффективного пересечения волноводов в одной плоскости, для формирования многоканальных элементов связи (например, при многомодовой интерференции) и для решения прочих задач [12].

Периодические структуры нанофотоники не ограничены только лишь дифракционными решетками, которые, вообще говоря, могут рассматриваться как одномерные фотонные кристаллы (ФК). Фотонные кристаллы могут быть представлены в виде структур, периодичных вдоль одной, двух или трех осей. В качестве двумерных ФК часто выступают периодически расположенные параллельные стержни, окруженные средой с другим показателем преломления, в роли стержней также могут выступать полости. Трехмерные ФК включают в себя

упорядоченные наборы объектов произвольной формы (например, сфер, параллелепипедов или соответствующих полостей), расположение которых напоминает решетку природных кристаллов. Фотоннокристаллические структуры используются как для создания разнообразных волноводных структур [13, 14], так и для формирования метаповерхностей и метаматериалов [15], обладающих нетипичными характеристиками, такими как, например, отрицательный (или почти нулевой) показатель преломления [16].

В настоящее время ведутся интенсивные исследования в области искусственного интеллекта, нейронных сетей и машинного обучения. Нанофотоника и здесь находит свое применение, в частности благодаря материалам с изменяемым фазовым состоянием (phase change materials, PCMs) [17]. Материалы с изменяемой фазой для применений нанофотоники иногда также называют материалами с оптическим фазовым переходом, поскольку основной интерес представляет именно изменение их оптических свойств. Безусловно, их электропроводные свойства также изменяются, что позволяет использовать эти материалы и в электронных схемах (PCRAM, мемристоры) [18, 19]. Наиболее широко исследованными в сфере оптических применений являются материалы из семейств оксидов переходных металлов и халькогенидных стёкол. Иногда в отдельное семейство выделяют кремний [20], поскольку его аморфная и кристаллическая фазы обладают существенным контрастом показателя преломления и коэффициента затухания в видимом (и ближнем ультрафиолетовом) диапазоне электромагнитного излучения. Однако, фазовые состояния оксидов переходных металлов, ярким представителем которых является диоксид ванадия (VO2), стабильны при различных температурах, что означает необходимость дополнительных энергетических затрат на поддержание определенного состояния, а применение кремния в качестве материала с изменяемой фазой в устройствах нанофотоники затруднено в силу недостаточного контраста оптических характеристик его фазовых состояний в основном рабочем диапазоне длин волн, используемом в нанофотонике (~1260-1625 нм). Таким образом, перспективы создания новых устройств для

современных научных и технологических нужд на платформе нанофотоники, например, быстродействующей энергонезависимой памяти или физических матричных перемножителей, во многом опираются на материалы с изменяемым фазовым состоянием, представленные группой халькогенидных стекол [21]. Современные исследования предполагают использование материалов этой группы - преимущественно соединения Ge-Sb-Te (GST), Ge-Sb-Se (GSS), Ag-In-Sb-Te (AIST) и некоторые другие - в составе волноводных структур нанофотоники для хранения бита данных в фотонной энергонезависимой ячейке памяти [22], либо для задания весовых коэффициентов матрицы оптического умножения [23]. При этом, в этих исследованиях не рассматривается возможность использования материалов с изменяемой фазой, а, следовательно, и с изменяемым коэффициентом преломления, в составе периодических структур с точки зрения оптических резонансных свойств этих структур. С учетом возможности внешнего управления фазовым состоянием материала данная задача представляется актуальной.

Целью работы является выявление закономерностей, определяющих возникновение резонансных оптических эффектов в периодических структурах нанофотоники: одномерных и двумерных фотонных кристаллах в виде массивов кремниевых нитей, в том числе на подложке; дифракционных решетках, включающих материалы с изменяемым фазовым состоянием, в составе многослойной волноводной структуры.

Задачи диссертации:

1. Исследовать рассеяние электромагнитного излучения диапазона длин волн 1530-1565 нм на структурах вида фотонный кристалл, составленный периодически расположенными вдоль одной или двух осей кремниевыми нитями круглого и прямоугольного сечения, с применением матричного уравнения Риккати в подходе соотношений переноса теории многократного рассеяния электромагнитного излучения в неоднородных средах.

2. Исследовать рассеяние электромагнитного излучения диапазона длин волн 1530-1565 нм на структуре вида одномерный фотонный кристалл малой плотности упаковки, образованный кремниевыми нитями прямоугольного сечения, расположенный на слое оксида кремния толщиной 2 мкм на кремниевой подложке (структура кремний-на-изоляторе).

3. Исследовать рассеяние электромагнитного излучения диапазона длин волн 1530-1565 нм в виде монохроматичной плоскополяризованной (ТЕ и ТМ поляризация) волны на дифракционной решетке из материала с изменяемой фазой ^е23Ь2Те5) на многослойной подложке структуры кремний-на-изоляторе для случаев аморфного и кристаллического фазовых состояний с учетом дисперсии среды.

4. Исследовать возбуждение волноводных мод в волноводе структуры кремний-на-изоляторе с толщиной волноводного слоя кремния 220 нм, буферного слоя оксида кремния ~ 1 мкм на кремниевой подложке при падении ТЕ-поля-ризованного монохроматического электромагнитного излучения с длиной волны 1550 нм на композитную дифракционную решетку из кремния и материала с изменяемой фазой ^е23Ь2Те5) в составе волновода.

Научная новизна:

1. На основе численного моделирования рассеяния света впервые предсказан и исследован эффект резонансного отражения, достигающий 100% по мощности, монохроматического электромагнитного излучения с заданной длиной волны из диапазона 1530-1565 нм на одномерном фотонном кристалле из кремниевых нитей, расположенном на слое оксида кремния на кремниевой подложке.

2. На основе численного моделирования рассеяния света на дифракционной решетке из материала с изменяемой фазой, расположенной на волноводе структуры кремний-на-изоляторе, впервые обнаружено резонансное увеличение отражения при вариации периода дифракционной решетки в левосторонней окрестности значения, определяющего минимум отражения,

соответствующий возбуждению волноводной моды определенным угловым порядком решетки.

3. На основе численного моделирования впервые показано, что формирование композитной дифракционной решетки из кремния и материала с изменяемой фазой обеспечивает увеличение амплитуды возбуждаемой волноводной моды и может, таким образом, служить для повышения эффективности ввода электромагнитного излучения в волновод.

4. Впервые установлена связь между спектральными коэффициентами отражения и полем волноводной моды в предположении спектрального разложения электромагнитного излучения, распространяющегося внутри и снаружи волноводной структуры, включающей композитную дифракционную решетку из кремния и материала с изменяемой фазой. Выявленная связь продемонстрирована результатами численного моделирования с использованием строгого метода связанных волн и подхода соотношений переноса.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что проведенные исследования взаимодействия света с периодическими структурами нанофотоники, в том числе включающими материалы с изменяемым фазовым состоянием, могут быть использованы как для формирования современной компонентой базы нанофотоники на кремниевой платформе, так и для разработки перспективных устройств, в частности, оптической энергонезависимой памяти и фотонных тензорных вычислителей.

Методология и методы исследования, применявшиеся в ходе работы, включают в себя совокупность базовых теоретических подходов к решению задачи о взаимодействии электромагнитного излучения с веществом, а также набор методов численного решения задач математической физики, и некоторые экспериментальные подходы. Для описания распространения света в веществе и дальнейшего построения моделей взаимодействия света со сложными структурами применялись фундаментальные в классической электродинамике уравнения Максвелла, затем использовались методики спектральных разложений

и интегральных уравнений с применением функции Грина, а также подход соотношений переноса в теории многократного рассеяния волн в неоднородных средах. Для выполнения численных расчетов применялись численные методы класса Рунге-Кутты с возможностью адаптивной настройки шага разбиения, алгоритмы реализованы на языках программирования C++ и Python.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Полное отражение электромагнитного излучения ближнего ИК диапазона от одномерного фотонного кристалла из кремниевых полос в составе структуры кремний-на-изоляторе обуславливается трансформацией энергии ближнего поля неоднородных спектральных порядков под фотонным кристаллом в дальнее поле отраженного излучения.

2. Резонансное увеличение отражения электромагнитного излучения заданной длины волны из ближнего ИК диапазона от дифракционной решетки из материала с изменяемым фазовым состоянием (Ge2Sb2Te5), расположенной на волноводе структуры кремний-на-изоляторе, проявляется при малой вариации отношения длины волны к периоду решетки в правосторонней окрестности значений, определяющих минимумы отражения при возбуждении волно-водной моды определенным угловым порядком решетки.

3. Формирование композитной дифракционной решетки из кремния и материала с изменяемой фазой (Ge2Sb2Te5) в составе волновода структуры кремний-на-изоляторе приводит к увеличению амплитуды возбуждаемой волноводной моды вследствие параллельных резонансов решетки, связанных с глубиной ее профиля.

4. Спектральный (угловой) коэффициент отражения электромагнитного излучения от дифракционной решетки на волноводной структуре и амплитуда волноводной моды, возбуждаемой этим спектральным порядком, находятся в прямой пропорциональной зависимости.

Достоверность результатов обосновывается их воспроизводимостью при

расчетах различными аналитическими и численными методами.

Апробация результатов. Результаты работы докладывались на 10

международных и 11 всероссийских научных конференциях (из них 8 с

международным участием):

• Российская конференция и школа молодых ученых по актуальным проблемам полупроводниковой фотоэлектроники (с участием иностранных ученых) «Фотоника 2017», 11-15 сентября 2017 г., Новосибирск;

• 60, 61 и 64-я Всероссийские научные конференции МФТИ (2017, 2018, 2021 гг., Долгопрудный);

• Международная конференция «Micro- and Nanoelectronics - 2018» (ICMNE 2018), 1-5 октября 2018 г., Москва, Звенигород;

• 6, 7, 8 и 9-я Международные школы-конференции по оптоэлектронике, фотонике, нано- и нанобиотехнологиям «Saint Petersburg OPEN» (2019-2022 гг., Санкт-Петербург);

• XXI, XXII Международные конференции «Photonics North» (2019, 2020 гг., Квебек, Канада);

• XI, XII, XIII, XIV, XV Школы молодых ученых Международного форума «Микроэлектроника» (2019-2023 гг., Гурзуф, Сочи);

• V и VI Международные форумы «Микроэлектроника» (2019, 2020 гг., Алушта, Ялта);

• Международная конференция «New Trends in Nonequilibrium Stochastic Multistable Systems and Memristors (NES-2019)», 18-21 октября 2019 г., Эриче, Италия;

• 4-я Международная конференция «Materials Engineering and Nano Sciences» (ICMENS-2020), 13-15 марта 2020 г., Паттайя, Тайланд;

• XIII Международная конференция «Кремний-2020» (совместно с XII Школой молодых ученых международного форума «Микроэлектроника - 2020»), 21-25 сентября 2020 г., Гурзуф;

• II Международная конференция «Математическое моделирование в материаловедении электронных компонентов (МММЭК-2020)», 19-20 октября 2020 г., Москва;

• VIII Международная школа и конференция по фотонике «Photonica 2021», 23-27 августа 2021 г., Белград, Сербия.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 5 -в рецензируемых научных изданиях категории К1, входящих в собственный перечень журналов МФТИ, 4 - в рецензируемых научных изданиях, индексируемых в базе данных Scopus, и 1 - свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 168 страниц, включая 35 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 159 наименований.

Глава 1. Материалы и периодические структуры нанофотоники

Первая глава посвящена аналитическому обзору теоретических и экспериментальных исследований в области материалов для нанофотоники и основных видов используемых в нанофотонике периодических структур.

В разделе 1.1 рассматриваются современная материальная база нанофотоники: кремниевая платформа и платформа на основе материалов группы Ш-У (Л3Б5), новые двумерные материалы и вновь обретающие интерес материалы с изменяемым фазовым состоянием. Кремниевая платформа представляет собой базовый вариант для развития технологий нанофотоники, что отражено обилием исследований в этом направлении, в особенности, связанных с пассивными компонентами. Однако преимущества 111-У материалов по сравнению с кремнием в области разработки активных устройств обуславливают развитие соответствующей платформы, а также возможностей ее гибридной интеграции с кремниевой. Открытые не так давно двумерные материалы вызвали большой интерес в научном сообществе, а исследование их оптических свойств проявило возможности использования этих материалов в перспективных направлениях нанофотоники. В то же время, материалы с изменяемым фазовым состоянием, имевшие большой коммерческий успех в конце XX века с развитием технологии оптических дисков, и вступившие затем в борьбу в нише энергонезависимой памяти, обретают сейчас новый путь развития в составе оптических элементов хранения данных.

Раздел 1.2 посвящен периодическим структурам нанофотоники и их основным применениям. Дифракционные решётки плотно вошли в сферу нанофотоники как многогранные элементы с широкими возможностями применения: от элементов связи оптического волокна и интегрального волновода до высокодобротных резонаторов, фокусирующих линз и зеркал в резонаторах вертикально излучающих лазеров. Фотонные кристаллы, вызвав большой интерес исследователей новизной концепции, активно изучаются на предмет возможностей применения в нанофотонике. Ещё одним новым и необычным объектом выступают метаматериалы, позволяющие посредством нанострук-

турирования формировать особые свойства оптической среды, недоступные в традиционных природных материалах.

1.1 Материальная база нанофотоники

1.1.1 Кремниевая платформа

Кремний является основным материалом современной микроэлектронной промышленности. Кремниевая технологическая и производственная база формировалась, совершенствовалась и продолжает развиваться на протяжении уже более чем пяти десятилетий. Существующая на сегодняшний день кремниевая платформа микро- и наноэлектроники позволяет обеспечить относительно недорогостоящее и крупномасштабное производство устройств нанофотоники.

Кремний прозрачен в оптическом коммуникационном диапазоне (1260— 1625 нм) и имеет показатель преломления ~3.47 при длине волны 1550 нм [24], что делает его превосходным кандидатом для формирования волноводных структур субмикронных размеров. Наиболее часто в нанофотонике используются так называемые пластины КНИ (кремний-на-изоляторе, SOI - silicon-on-insulator), которые представляют собой систему из трех слоев: кремниевая подложка, захороненный слой диоксида кремния (buried oxide - BOX) и приборный слой кремния толщиной от нескольких сотен нанометров до 2-3 микрон. Толщина слоя захороненного оксида обычно подбирается достаточной для того, чтобы исключить потери на излучение в подложку (как правило, 2 мкм и более). Оксид кремния SiO2, так же как и кремний, прозрачен в рассматриваемом ближнем инфракрасном (ИК) диапазоне, обладает практически не изменяющимся в этом диапазоне значением показателя преломления, ~1.46, вследствие чего хорошо выполняет функцию обкладки волноводов, формируемых в приборном слое кремния. Верхний, приборный, слой представлен чистым монокристаллическим кремнием, поскольку он обеспечивает наилучшее распространение света в фотонной интегральной схеме (ФИС) за счет меньших потерь по сравнению с аморфным и поликристаллическим кремнием.

Тем не менее, и аморфный кремний (a-Si), и поликристаллический кремний (поликремний, poly-Si) также являются предметами широких исследований с целью применения в нанофотонике ввиду возрастающей потребности трехмерного масштабирования за счет увеличения количества функциональных слоев. Дело в том, что аморфный и поликристаллический кремний, в отличие от монокристаллического кремния (c-Si), могут быть нанесены с использованием стандартных технологических операций микроэлектроники на разных этапах изготовления интегральной схемы. Благодаря последним достижениям в исследованиях в этом направлении эти две формы кремния, считавшиеся ранее непригодными для изготовления волноводов вследствие высоких оптических потерь, могут быть нанесены так, что потери при распространении (propagation loss) будут не многим хуже, чем при использовании монокристаллического кремния [25].

Конечно, применение монокристаллического кремния остается наиболее предпочтительным, в том числе и для многослойных архитектур, так как помимо низких оптических потерь он обладает наибольшей подвижностью носителей зарядов, что существенно как для формирования активных устройств нанофотоники, таких как модуляторы оптических сигналов, так и для более масштабной электронно-фотонной интеграции. Однако для такой трехмерной интеграции с использованием монокристаллического кремния требуются нестандартные методы изготовления, такие как «склейка» пластин (wafer bonding) [26], эпитаксиальное наращивание [27] или кислородная имплантация с последующим высокотемпературным отжигом [28]. Данные методы достаточно сложны в реализации и также имеют другие ограничения с точки зрения формирования активных компонентов, в связи с чем повышается интерес к использованию аморфного и поликристаллического кремния.

Поликремний уже с относительно давнего времени используется для формирования плавающих затворов транзисторов в КМОП технологии, также он широко применяется при изготовлении тонкопленочных транзисторов (thin film transistor - TFT). Для нанесения поликремния в микроэлектронике применяется

метод осаждения из газовой фазы при пониженных давлениях (ЬРСУО) [29], а также плазмохимическое осаждение из газовой фазы (РБСУО) [30] и твердофазная кристаллизация аморфного кремния [31].

Как уже отмечалось ранее, главным недостатком поликремния при его использовании в качестве материала для волноводов в нанофотонике являются большие потери при распространении. Основными источниками потерь являются:

(1) объемное поглощение и рассеяние на границах зерен - кристаллитов;

(2) оборванные (ненасыщенные) химические связи; (3) рассеяние на шероховатостях поверхности волновода. Данные потери могут быть уменьшены за счет контроля некоторых параметров процессов нанесения поликремния, а также за счет применения некоторых дополнительных процедур.

Температура осаждения и толщина формируемого слоя влияют на размер монокристаллических зерен в поликремнии. Более высокие температуры приводят к образованию более крупных зерен и, следовательно, к меньшему объемному рассеянию на границах. Более низкие температуры осаждения приводят к меньшему размеру зерен, что означает, с одной стороны, большие объемные потери, но, с другой стороны, меньшую шероховатость поверхности и меньшие потери, связанные с этим фактором.

Насыщение оборванных связей в поликремнии достигается посредством гидрогенизации (гидрирования) [32]. Одноатомный водород, присутствующий в камере газофазного осаждения, диффундирует в кремний, насыщая оборванные связи и уменьшая количество связанных с ними дефектов.

Для уменьшения шероховатости поверхности может применяться химико-механическая полировка (ХМП), однако ее эффективность ограничивается лишь верхними поверхностями волноводов, что может быть достаточным для планарных волноводов, но не позволяет снизить потери на неровностях боковых поверхностей полосковых и гребенчатых волноводов. Кроме того, ХМП может также оказывать негативное влияние на пассивированные водородом связи при применении в гидрогенизованном кремнии вследствие разрыва связей Б1-И и возможного образования связей Б1-ОИ.

Меньшая шероховатость поверхности поликремния также достигается путем осаждения аморфного кремния и его последующей твердофазной кристаллизации в поликремний при отжиге с температурой 600 °С [32]. Последующий высокотемпературный отжиг (~1000 °С) позволяет дополнительно снизить потери за счет увеличения размеров зерен, уменьшения количества межзеренных границ и поглощающих ненасыщенных связей. Однако высокие температуры отжигов требуют более детальной проработки технологического процесса в силу несовместимости формирования определенных структур с такими температурами.

Недавние исследования показывают, что волноводы на основе поликремния обладают потерями порядка 6 дБ/см [33], в то время как в волноводах из монокристаллического кремния удалось достичь значений менее 1 дБ/см [34]. Большая часть потерь при этом приходится на рассеяние на шероховатостях поверхности. Помимо волноводов, поликремний также применяется для изготовления других пассивных элементов, например, фильтров [35], кольцевых [36] и фотоннокристаллических резонаторов [37].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миннуллин Рамиль Талгатович, 2026 год

- Е„

8х

х- —, у, 2, г

(2.2.5)

8х

/

м( г) Н2 (г, г + 8)- Н2 (г, г)

Е

8х

л

х + —, у, 2, г

v 2

/

- Е

8х

л

х - —, у, 2, г

) v 2

с

Л

8х

Е„

8у

х, у + , 2, г 2 )

- Е„

8у

х, у-, 2, г

v 2 )

(2.2.6)

^у

8( г)

Е„

г, г +

81 2

Е,

г, г

8г 2

Н,

8у

х, у + ,г,г 2

\ г Н

8у

х, у--—, г, г

2

с

8г

8у

Н

8г

X, у, г + —, г

- Н

8г

X, у, г-—, г

(2.2.7)

*(г)Е

г , г +

8;' 2

- Е,

г , г -

8г 2

Н

8г

г

- Н

х, у, г +—, г

. , 2 , у V

г

х, у, г--, г

2

с

8г

8г

Н

8х

X + —, у, г, г

/

Н

V

8х

X - —, у, г, г

л

(2.2.8)

у

х

/

*( г )

Е_

г, г +

V

8г 2

Е

г, г

8г 2

Н.

у _

8х

х +--, у, г, г

2

\

с

Н

у

х

л

х--, у, г, г

у V 2 у ,

с

81

8х

Н

8у

х, у + -у-, г, г

Н

8у

х, у-у-, г, г

(2.2.9)

у

Знак равенства здесь подразумевает точность до квадратичных членов по каждому из шагов разбиения - О (д{1), O (8х2 + ¿»у2 + &2). Временной и пространственные шаги намеренно выбраны «половинчатыми» для того, чтобы упростить дальнейшие вычисления.

Можно заметить, что в заданной точке пространства значение любой компоненты электрического либо магнитного поля в последующий момент времени (Н (г, t + д^, E (г, t + 8^2)) определяется предыдущим значением этой компоненты (Н (г, Е (г, t - дt/2)) и четырьмя известными на текущий момент времени значениями компонент второго поля, лежащих в нормальной к искомой компоненте плоскости. Эти четыре «определяющие» компоненты второго поля смещены в этой плоскости на половину пространственного шага вперёд и назад вдоль одной из осей согласно конечно-разностной аппроксимации частных производных по соответствующим координатам. Таким образом, чтобы вычислить все три компоненты, например, электрического поля в одной и той же точке пространства, требуется 12 компонент магнитного поля, расположенных в

плоскости и в центре граней параллелепипеда, построенного вокруг данной точки со сторонами, равными соответствующим пространственным шагам (Рисунок 2.1а). Можно, однако, уменьшить количество вычисляемых значений, определяя компоненты полей не в одной и той же точке, а в трёх разных, смещённых на половину пространственного шага вдоль определённых осей (Рисунок 2.1б). Такое расположение вычисляемых компонент электрического и магнитного полей в пространстве имеет название «сетки Йи» (Yee grid) по имени автора подхода конечных разностей во временной области. Элементарная ячейка сетки Йи представляет собой параллелепипед со сторонами, равными пространственным шагам, при этом в точках, соответствующих серединам рёбер параллелепипеда, определяются компоненты электрического поля, параллельные данному ребру, а в центрах граней определяются нормальные к ним компоненты магнитного поля.

Рисунок 2.1(а, б) - Схемы расположения компонент электрического и магнитного полей в пространственной сетке при расчёте методом конечных разностей.

Таким образом, итеративная схема расчёта компонент электромагнитного поля, получаемая из (2.2.4) - (2.2.9) с учётом их вышеописанного расположения по сетке Йи, по методу конечных разностей во временной области в трёхмерном пространстве представляется в следующем виде:

(Е )п+1/2 = (Е )

V х Л+1/2,у ,к \ х 'г +1/2,у,к (Нг) г +12, у +1/2,.к

п-1/2 с8г

+ - X

X

(Еу )!Гк = ( еу )

+12,у ,к

(Нг )П+12,у-12,к (Ну )

г +12, у,к +12

-(Ну)

г +12, у, к-12

^у

8г

, У+1/2,к

«-12 с8г

+ - X

г, у +1/2,к

'г, У+12,к

X

(Н, )",

у +12,к +12

( Нх )

г, у +1/2,к-1/2

(Нг) г +12, у +1/2,кк -( Нг )П

-12, у +1/2,кк

8г

8х

( Ег )

г, у ,к+12 = (Ег )

г, у ,к +12

-12 с 8г

+ - X

X

^г, у ,к+12

(Ну )г+12, /,к+12 (Ну )г-12, у,к+12 (Нх )п

П -( Нх )П

у +12,к +12

г, у -1/2,к+12

8х

8у

(Нх)

П+1 = (Нх )П

с8г

г, у +1/2,к+12

г, у +1/2,к +12

X

X

( Ег )

п+12 / /7 \п +12 (Е )п

г, у +1,к+12

(Ег);

Мг, у +1/2,к +12 п +12 \п+12

у ,к +12

-( Еу )!

п+12

у +1/2,к +1 \~уН, у +1/2,к

8у

8г

(\т. Н>)п

п+1

+12, у ,к +12

( ну):.+

с8г

X

X

г+12,у,к+12 М+1/2,у,к+1/2 (Е )п+12 -(Е )п+^2 (Е )п

(Ех )г +12, /,к +1 (Ех )г +1/2, у ,к (Ег Л

п+12 / ^ ^п+1/2 / чп+1/2 / чп+1/2

г +12,у,к ( г )г +1,у,к +12 - ( г )г,у,к +12

87

8х

( Нг )

п+1

г +12, у +12,к

X

= (Н )п

( у )г +12,у +1/2,к

( Еу )п+1,2+12,к _( Еу )п

с8г

X

М +12, у +12,к

п+12 \п+12 чп+12

(Е )п+12 -(Е )п+12 у +12,к V хЛ +12, у +1,к V хЛ +12, у ,к

8х

8у

(2.2.10)

(2.2.11)

(2.2.12)

(2.2.13)

(2.2.14)

(2.2.15)

где введена нотация (^)п, = х,уу,гк,гп), ^ £ {'Е', Н'}, а £ {'л', у, '2'}.

Метод конечных разностей в частотной области формулируется схожим образом. Разница заключается в том, что зачастую метод применяется для геометрий, обладающих некоторым выделенным направлением, например, для волноводов, вдоль которого зависимость поля может быть записана явно. В связи с этим уравнения Максвелла могут быть приведены к двум независимым системам уравнений для так называемых поперечно-электрической (transverse electric - TE) и поперечно-магнитной (transverse magnetic - TM) поляризаций.

Оба подхода, как во временной области, так и в частотной, оперируют дискретизованными полями, задаваемыми в узлах пространственного разбиения, что накладывает определённые условия как на выбор самого пространственного разбиения, так и на выбор шага во времени. Как и для любого численного подхода, для конечно-разностных методов необходим анализ устойчивости численной схемы, однако для краткости опустим его рассмотрение, подробное описание представлено, например, в [148]. Достоинством этих методов является их принципиальная простота - конечно-разностные аппроксимации применяются непосредственно к уравнениям Максвелла, а основной недостаток - необходимость больших вычислительных мощностей. Тем не менее, конечно-разностные методы на сегодняшний день являются одними из наиболее часто применяемых подходов для решения современных задач нанофотоники.

2.2.2 Метод конечных элементов

Метод конечных элементов принципиально несколько сложнее методов конечных разностей, поскольку требует предварительной подготовки задачи и применения более продвинутого математического аппарата. В рамках данного подхода уравнения Максвелла для начала необходимо привести к вариационной форме. Затем геометрическое пространство разбивается на отдельные участки, на которых некоторым специальным образом определяется пространство функций с известными свойствами - как правило, это полиномиальные функции от нулевой до третьей степени. Далее, решение вариационной задачи аппроксимируется разложением по базису во введённом функциональном пространстве, и, в

конечном итоге, задача сводится к решению алгебраической системы уравнений. Среди достоинств метода конечных элементов следует отметить высокую гибкость в выборе сетки пространственного разбиения, которая позволяет производить расчёты для структур сложных геометрий и адаптироваться к поведению решения в особых точках. Другим достоинством метода является большая свобода действий при выборе базисных аппроксимирующих функций, в том числе, в виде полиномов более высокого порядка, обеспечивающих лучшую сходимость приближённого решения к точному. Метод конечных элементов развит достаточно хорошо и применяется во многих сферах, в частности, при моделировании процессов диффузии и теплопроводности, механики, гидродинамики и, конечно, электродинамики. Детальное описание этого подхода для решения уравнений Максвелла представлено в работе [149], здесь для краткости рассмотрим только схематичный алгоритм на достаточно простом примере.

Как правило, метод конечных элементов применяется к уравнениям Максвелла после сведения их к дифференциальным уравнениям второго порядка относительно одного из векторов электромагнитного поля, как, например, в (2.1.34) или (2.1.38). Представим эти уравнения в обобщенном виде для более простого скалярного и одномерного случая:

ы"(х) + /(х)и(х) = 0, X е[0, Ь], (2.2.16)

и дополним задачу граничными условиями вида:

и ( 0 ) = 1, (2.2.17)

и'(Ь) = 1ки(Ь) . (2.2.18)

Нетрудно заметить, что постановка такой задачи при f(х) = к2 соответствует распространению плоской волны в однородной среде (и (х) = в1кх). Теперь домножим левую и правую части уравнения (2.2.16) на произвольную интегрируемую на отрезке [0, Ь] функцию V (х) и возьмём интеграл по области определения:

Ь

|[и"( х) + / (х) и (х)] V (х) йх = 0. (2.2.19)

0

Задача принимает вариационную форму. Если некоторая и0 (х) удовлетворяет (2.2.16), то для любой произвольной интегрируемой на отрезке функции V (х) будет верно и равенство (2.2.19). Преобразуем полученное выражение, применяя интегрирование по частям:

Ь Ь

('( х) V ( х)|0 и' (х) V (х) йх + I / (х) и (х) V (х) йх = 0. (2.2.20)

и (х) V (х)0 -

0 0

Здесь появляется производная функции V (х), следовательно, надлежит потребовать, чтобы эта производная существовала, то есть V (х) должна быть дифференцируема. Кроме того, зачастую вводится дополнительное требование вида V (0) = 0, что позволяет упростить выражение (2.2.20), как правило, без введения существенных ограничений на искомое решение и (х).

Далее преобразуем задачу так, чтобы граничное условие (2.2.17) на левом конце отрезка было нулевым. Для этого введем обозначение для левой части (2.2.20) с учётом вышеуказанного условия V (0) = 0:

Ь

-а (и, V) = и' (Ь) V (Ь) -1[ и' (х) V ' (х) - / (х) и (х) V (х)] йх;. (2.2.21)

0

Нетрудно заметить, что данное выражение является линейным функционалом, соответственно, справедливо следующее:

а(и - ё + ё, V) = а(и - ё, V) + а(ё, V), и равенство (2.2.20) тогда можно переписать таким образом:

или в полной форме, согласно (2.2.21):

ь

0 (2.2.22) = [ё (х) V (х)-/(х) ё (х) V (х)] йх + ё' (Ь) V (Ь),

где и = и - g, а g = g (х) - произвольная функция, удовлетворяющая условию g(0) = 1, так что для введённой функции и (х) с учётом (2.2.17) справедливо и (0) = 0.

Используем теперь правое граничное условие (2.2.18):

и(ь) = (и- я/ (Ь) = 1ки(ь) - 8'(Ь) = гк(й + -8'(Ь),

и подставим полученное выражение в (2.2.22):

ь

|[м'(х)у'(х) -/(х)и(х)у(х)]й?х -

(2.2.23)

= ikg (Ь) V (Ь)-} [ я'(х) х)- / (х) я (х) V (х )]]

Таким образом, задача сводится к нахождению такой функции и (х), которая на отрезке [0, Ь] удовлетворяла бы равенству (2.2.23) для любой произвольной интегрируемой и дифференцируемой на отрезке [0, Ь] функции V (х), такой что V (0) = 0, а на левой границе отрезка принимала бы нулевое значение - и (0) = 0, где g (х) - некоторая произвольная интегрируемая и дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию g (0) = 1.

Следующим шагом является введение пространственного разбиения и непосредственно определение «конечных элементов». В рамках данного примера введём разбиение отрезка [0, Ь] на N частей: т = {х0 = 0, х1, х2, ... , хN = Ь} и определим некоторый набор функций:

^ (х

(х)

(х хш-\ )/(хт хт-1 ), х е[хш-\, хт )

Жхш+1 - хт ) , х е[хт , хт +1 ] ,

т +1

т = \...Ы-\

0,

х & 1 хт-1, хт +1

]

(2.2.24)

V

N

(х)

( х XN-1 У( XN XN-1 )

х е [ XN-1, XN ]

0,

х & I XN-1, XN

]

Данный набор выступает в качестве базиса конечномерного подпространства У1 пространства V функций V (х), описываемых в формулировке задачи. В данном примере базис выбран в виде кусочно-линейных функций (не являющихся,

о

о

<

вообще говоря, непрерывно дифференцируемыми на всём отрезке [0, Ь], но являющихся кусочно-непрерывно дифференцируемыми с определёнными значениями производной в узлах разбиения т), однако выбор базиса не ограничен: аналогично могут быть использованы как кусочно-полиномиальные, так и другие функции.

Таким образом, осуществляется переход от бесконечномерного функционального пространства V к конечномерному подпространству У1 с известным базисом. Обоснование возможности выполнения такого перехода с сохранением возможности нахождения сходящегося приближённого решения задачи представлено в фундаментальной работе [149].

Теперь, когда произвольная функция V (х) лежит в пространстве конечной

( "> N

размерности V с известным в нём базисом \ут} достаточно потребовать, чтобы равенство (2.2.23) выполнялось для всех функций vm, т = 1...Ы, поскольку любую произвольную функцию v(х) £ V1 можно представить в виде разложения по базису ^ . Кроме того, будем искать приближённое решение задачи йх(х) в том же самом подпространстве V1, то есть

N

й\х)=Ъйш^т{х)- (2.2.25)

т = 1

Подставляя это выражение в (2.2.23), придём к системе линейных уравнений относительно коэффициентов разложения йт, т = 1...Ы:

N

ЪА1тйт=Ь1> / = (2-2.26)

т = 1

где введены обозначения

Ь

Ат = |[vm (х) V; (х) - /(х)Ут (х) V (х)]йх - (Ь) V (Ь), (2.2.27)

0

Ь

Ь1 = 1кё(Ь)VI (Ь) - {[ё ;(х)V'; (х) - /(х)ё(х)VI (х)]. (2.2.28)

0

Решая систему уравнений (2.2.26), получим коэффициенты разложения (2.2.25)

и аппроксимацию решения задачи (2.2.16) - (2.2.18) функцией из пространства V1 и почти произвольно введённой g (х).

Следует отметить ещё несколько моментов относительно получаемой системы линейных уравнений (2.2.26). Во-первых, несмотря на то, что размерность матрицы А с элементами Ат увеличивается квадратично с ростом числа конечных элементов - базисных функций, введённых на соответствующих участках пространственного разбиения, сложность вычислений, как правило, будет увеличиваться в меньшей степени (в данном примере - линейно). Это связано с тем, что матрица А имеет разреженный вид вследствие выбора базисных функций таким образом, что интеграл и произведение значений на границе области определения в (2.2.27) отличны от нуля только для ближайших соседних элементов. Во-вторых, базисные функции, вообще говоря, могут быть выбраны комплекснозначными, тогда при введении скалярного произведения функций в области определения (2.2.19) следует пользоваться комплексно-сопряжённой величиной v*(х).

При применении метода конечных элементов в двумерном и трёхмерном пространствах подход остаётся тем же, но соответствующим образом изменяются размерности элементов геометрического разбиения, базисных функций и интегрального выражения функционала. В двумерном случае в качестве разбиения пространства используются прямоугольные или, наиболее часто, треугольные элементы, в трёхмерном - кубоиды и тетраэдры.

В силу универсальности по применимости к разнообразным задачам, формулируемым в виде дифференциальных уравнений в частных производных, метод конечных элементов приобрёл широкую известность среди исследователей в разных областях. В нанофотонике данный подход, наряду с методами конечных разностей, является одним из преобладающих при изучении взаимодействия света с исследуемыми структурами.

2.2.3 Спектральные методы

Данные методы также называют модовыми, так как их основная идея заключается в том, чтобы представить распространяющееся в структуре электромагнитное излучение в виде линейной комбинации некоторых устойчивых конфигураций поля - мод. Для того чтобы определить такие устойчивые конфигурации находят решение стационарных уравнений Максвелла, либо, в более широком случае, уравнений Максвелла в частотной области. В спектральных методах исследуемая геометрия разбивается на слои, однородные вдоль оси распространения. Затем в каждом слое, в предположении однородности, вычисляются собственные моды, а результирующее поле представляется в виде разложения по собственным модам. Зависимость собственных мод от координаты вдоль оси распространения описывается аналитически с использованием постоянной распространения. Рассеяние на границах раздела между различными слоями учитывается при помощи условия согласования компонент электрического и магнитного полей, что в представлении полей в виде разложений по собственным модам приводит к образованию матриц отражения и прохождения, характеризующих каждую границу раздела.

Преимущества спектральных методов включают в себя прямой доступ к постоянным распространения мод, а также коэффициентам межмодового взаимодействия, что позволяет отследить, например, отражение и прохождение конкретных отдельно интересующих порядков. Кроме того, спектральные методики могут естественным образом быть применены для описания периодических структур за счет разложения по модам Флоке-Блоха, что обуславливает популярность подходов для анализа дифракционных решеток и фотонных кристаллов.

Довольно часто задачи взаимодействия света со структурами нанофотоники предполагают линейную поляризацию излучения, для которого векторы электрического и магнитного полей сохраняют свои направления и изменяются только по величине. В таком случае имеет смысл ввести систему координат таким

образом, чтобы одна из координатных осей совпадала с направлением какого-либо из векторов поля.

Для примера, выберем систему координат так, чтобы ось у была параллельна направлению вектора электрического поля (Рисунок 2.2а). В таком случае будем говорить о ТЕ поляризации, подразумевая, что излучение распространяется в плоскости хг, а вектор электрического поля, соответственно, поперечен плоскости распространения: Е (г) = (0, Еу (г), 0)т. Предположим также, что рассматриваемая среда однородна вдоль оси у, то есть е (г) = е (х, г) и, соответственно, ду е (г) = 0. Для описания распространения света в такой среде удобно использовать дифференциальное уравнение второго порядка относительно комплексной амплитуды электрического поля (2.1.34), которое с учётом сделанных выше замечаний преобразуется к достаточно простому скалярному уравнению Гельмгольца относительно у-компоненты комплексной амплитуды электрического поля:

(2.2.29)

- Направления векторов электрического и магнитного полей в случае (а) ТЕ и (б) ТМ поляризаций для среды, однородной вдоль оси у.

Теперь сделаем предположение о виде функции комплексной амплитуды. Поскольку рассматриваемая среда однородна вдоль оси у, то любой срез поперечной к оси у плоскостью эквивалентен любому другому такому же, с учётом отсутствия распространения вдоль оси у, соответственно поле вдоль оси у не изменяется: Еу (г) = Еу (х, 2). Кроме того, будем считать, что рассматривается область среды, однородная также и вдоль оси 2 (в (х, 2) = в (х)), тогда зависимость поля от координаты 2 может быть описано в виде е^2, где в - некоторое комплексное число. Таким образом, комплексная амплитуда электрического поля представляется функцией двух координат следующего вида:

Еу (г) = Еу (х,г) = Е(х). (2.2.30)

Подставим полученное выражение в (2.2.29) и приведём подобные:

И2 (гЛ2

(х ) + 1-1 е( х) Е (х) = р2 Е (х). (2.2.31)

Уравнение (2.2.31) - одно из центральных выражений для всего класса спектральных методов. Оно представляет собой задачу на собственные значения -квадраты постоянных распространения в вдоль оси 2 - и собственные моды Е (х), отвечающие этим собственным значениям. Получив решение этого уравнения, любое произвольное поле можно представить в виде разложения по базису собственных мод:

ГО ГО

Е(х, г) = ^ атЕт (х)+ ^ ЪпЕп (х), (2.2.32)

т = 1 т = 1

где ат, Ьт - коэффициенты при собственных модах, «распространяющихся» по направлению оси 2 и против него, соответственно.

Однако, прежде чем приступить к решению собственной задачи (2.2.31), сделаем некоторые предположения о рассматриваемой среде, типичные для метода связанных волн (RCWA) или метода Фурье-мод (БЫЫ), которые часто используются для исследования периодических структур. Во-первых, как было отмечено ранее, выражения (2.2.30) - (2.2.32) справедливы для области среды, однородной вдоль оси 2. Соответственно, если рассматриваемая среда такова, что

может быть разбита на несколько областей, удовлетворяющих этому условию, то решение уравнения (2.2.31) необходимо искать в каждой области разбиения. Если среда не может быть разбита на такие области, то могут применяться приближения, например, ступенчатая аппроксимация криволинейного сечения структуры в плоскости x-z, таким образом, что для каждого элемента разбиения справедливо условие однородности вдоль оси z. Кроме того, во-вторых, предположим, что среда вдоль оси x обладает некоторой периодичностью: в (x + Л) = в (x). Тогда, вообще говоря, функцию диэлектрической проницаемости можно представить в виде ряда Фурье:

го

*(*)= X S/K"x, (2.2.33)

Ц = —го

где введено обозначение K = 2п/Л, а коэффициенты разложения определяются следующим образом:

1 Л

ем= - J*(*)e~lK^xdx. (2.2.34)

Л 0

Следующим шагом является разложение искомого решения E (x) по плоским волнам (plane wave expansion), а именно по волнам Флоке-Блоха. Согласно теории Флоке [150], для уравнения (2.2.31) с периодическим, как было условлено ранее, потенциалом в (x) существует решение E0 (x), удовлетворяющее условию E0 (x + Л) = a E0 (x), где а - некоторая константа. Такому условию удовлетворяют функции вида ei(kox +Кц), р = 0, ±1, ±2, ..., где k0x - пока некоторая произвольная постоянная. В базисе этих функций искомое решение принимает вид:

E(x)= X E/(k0*+КЦ> . (2.2.35)

ц = —го

Для удобства дальнейших преобразований введём следующие обозначения:

К = К х + К;, к0 =-. (2.2.36)

с

Теперь подставим разложения (2.2.33) и (2.2.35) в уравнение (2.2.31):

то то то

(кхц )2 Е/к°ххе'К;х + к2 £ ееК;х £ Е,ёк°ххек" = р2 £ Е^ххеК;х. (2.2.37)

ТО \ 2 х

£ -(кх) Е р1к°ххо1К^х

; = —ТО ; = —ТО V = —ТО ; = —ТО

Рассмотрим подробнее второе слагаемое, представляющее собой произведение двух рядов. Осуществим смену индексов суммирования следующим образом:

ТО ТО ТО ТО

£ ££Е ёк (п+п) х = £ £ е. Е ёКп'х.

^^ ^^ п п ^^ ^^ п —п п

п =—ТО п =—ТО п =—ТО п =—ТО

Переписав второе слагаемое и сократив левую и правую части (2.2.37) на ненулевой множитель е1к°хХ, придём к следующему представлению:

то 2 то ^ то Л то

£ —(к;) Е/К;х + к°2 £ £ ем_Л ёК;х = р £ Е/К;х. (2.2.38)

А! А °

; = —то ; = —то

; = —то

)^ = —то у

Далее воспользуемся ортогональностью функций в1Ктх:

Л

| ёКпхе—Кпхс1х = Л5ЖП, (2.2.39)

0

5ти - символ Кронекера, и, осуществляя скалярное произведение левой и правой частей уравнения (2.2.38) на в1Ктх, получим следующие выражения:

\ 2

,х

—(к;) Е; + к°2 £ е;—VEv = р2Е;, V;. (2.2.40)

V = —то

Полученную алгебраическую систему уравнений можно компактно записать в матричной форме:

(Б + к02 ё) Е = р2 Е, (ТЕ) (2.2.41)

где Б - диагональная матрица с элементами =—(к°х + К;)2, ё - матрица Тёплица с элементами (ё) =ем_у - коэффициентами (2.1.34) разложения в ряд Фурье функции диэлектрической проницаемости.

Аналогичным образом выводятся выражения для случая ТМ поляризации. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось у соответствовала направлению вектора магнитного поля (Рисунок 2.2б): Н (г) = (0, Ну (г), 0)т. Предположения относительно среды используем те же - будем считать, что среда однородна вдоль оси у: е (г) = е (х, 2). Тогда, исходя из дифференциального

уравнения второго порядка относительно комплексной амплитуды магнитного поля (2.1.38), получим следующее выражение:

дя> (г (г)+

А^Л2 ю

V с у

4 г) Ну (г ) = 0.

(2.2.42)

В силу однородности среды вдоль оси у считаем ду Ну (г) = 0, а также предполагаем однородность в рассматриваемой области вдоль оси г и, соответственно, зависимость поля от г вида в^2:

Ну (г) = Ну (х, 7) = Н (х) ¿Р', тогда (2.2.42) преобразуется к виду:

(2.2.43)

Н (х)

1 д4(х)

Н (х)

/Л2

ю

£(х)Н (х ) = р2 Н (х). (2.2.44)

4 х) дх2 V с у

Далее считаем диэлектрическую проницаемость периодичной вдоль оси х: е (х + Л) = е (х), так что для неё справедливо разложение (2.2.33). Введём также следующие разложения для искомого решения по волнам Флоке-Блоха:

Н (х )= X Н;е

,'(ко х+К;)х

(2.2.45)

; = -го

и в ряд Фурье для обратной диэлектрической проницаемости:

1

4х)

= Х

4;е

К ;х

(2.2.46)

с коэффициентами