Самодостаточные алгоритмы метода поверхностных интегральных уравнений в граничных задачах электромагнитного рассеяния тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Борисов Дмитрий Алексеевич

• Борисов Дмитрий Алексеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Борисов Дмитрий Алексеевич

Введение

Глава 1. Самодостаточный алгоритм в задаче рассеяние волн на идеально проводящих экранах в двумерном случае

1.1. Одноступенчатые базисные функции

1.2. Трехступенчатые базисные функции

1.3. Численная реализация и результаты

1.4. Выводы

Глава 2. Самодостаточные алгоритмы в задачах рассеяния волн на идеально проводящих и магнитно-диэлектрических цилиндрах в

двумерном случае

2.1. Метод интегральных уравнений на основе двух граничных условий

2.1.1. Метод с использованием граничного условия для электрического поля

2.1.2. Метод с использованием граничного условия для магнитного поля

2.1.3. Комбинированный метод и самодостаточность

2.1.4. Численная реализация и результаты

2.2. Метод интегральных уравнений для вспомогательных поверхностных токов

2.2.1. Постановка задачи и метод решения

2.2.2. Численная реализация и результаты

2.3. Метод интегральных уравнений с использованием трехступенчатых базисных функций

2.3.1. Постановка задачи и метод решения

2.3.2. Численная реализация и результаты

2.4. Выводы

Глава 3. Самодостаточные алгоритмы в задачах рассеяние волн на идеально проводящих и магнитно-диэлектрических телах в

трехмерном случае

3.1. Идеально проводящие тела

3.2. Проницаемые тела

3.3. Численная реализация и результаты

3.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самодостаточные алгоритмы метода поверхностных интегральных уравнений в граничных задачах электромагнитного рассеяния»

Введение

Актуальность темы исследования. Задача о рассеянии электромагнитных волн на идеально проводящих и проницаемых магнитно-диэлектрических объектах известна уже в течение многих десятилетий. Эта задача представляет большой интерес в теории электромагнетизма, так как она имеет очень важные практические приложения в радиолокации [1], антенной технике [2], сверхвысокочастотной технике [3-5], метеорологии [6], биологии и медицине [7], [8], [9]. Интерес к указанной задаче проявляется в двух направлениях, одно из которых включает разработку новых все более эффективных методов и алгоритмов для ее решения, а второе охватывает исследование особенностей электромагнитного рассеяния на объектах различной конструкции и назначения. Особый интерес в последнее время представляют объекты, образованные на основе новых материалов, таких как материалы с отрицательным показателем преломления [10] или других искусственных материалов, известных сейчас как метаматериалы [11].

В настоящее время известен целый ряд методов, которые могут быть применены для решения задачи электромагнитного рассеяния на идеально проводящих и однородных магнитно-диэлектрических объектах. В некоторых случаях задача может быть решена строго аналитически с использованием метода разделения переменных [12], позволяющего построить полные системы собственных функций и представить решение в виде их линейной суперпозиции. Этим методом решены задачи рассеяния волн на круговом цилиндре, сфере, клине [13], [14], [15] и на нескольких других объектах [16]. Строгие аналитические решения задачи рассеяния на полубесконечном идеально проводящем плоском экране (полуплоскости), на открытом конце плоского волновода, на открытом конце круглого волновода и на некоторых других структурах были получены методом факторизации, известном также как метод Винера-Хопфа-Фока [17], [18], [19], [20].

Приближенные аналитические решения задачи в случае объектов, размеры которых значительно превышают длину волны, могут быть получены методами

геометрической оптики [21] и геометрической теории дифракции (метод Келлера) [22], [23], относящимися к лучевым методам, а также методом физической оптики [24] и методом физической теории дифракции [25], [26], относящимися к волновым методам.

В общем случае произвольной геометрии объекта граничная задача рассеяния в строгой постановке может быть решена только численными методами. Наиболее общий подход к решению в этом случае состоит в применении сеточных методов. Группа таких методов включает метод конечных разностей в частотной области [27], метод конечных разностей во временной области [28], [29], метод передающих линий [30], [31] и метод конечных элементов [32], [33], [34]. Указанные методы основаны на введении конечной области пространства, внутри которой находится рассеиватель, и на дискретизации указанной области. В результате дискретизации образуется плоская или пространственная сетка, к узлам которой привязаны значения поля, подлежащие нахождению. Выбранная область расчетов должна быть ограничена либо поглощающим слоем [35], [36], либо дополнена интегральным уравнением для поля на ее поверхности [37]. Дополнительная информация по указанным методам имеется в [38], [39] и [40].

Задачи рассеяния волн на проницаемых магнитно-диэлектрических объектах могут быть решены с использованием метода объемных интегральных уравнений [41-49] или родственного ему метода дискретной дипольной аппроксимации [ 50], [51]. Кроме того, некоторые проекционные методы также могут быть применены к решению указанных задач, как это было продемонстрировано в работах [52-58].

Можно заметить, что методы, описанные и использованные в работах [2758], могут быть применены к решению более широкого круга задач, чем задачи анализа идеально проводящих и однородных проницаемых рассеивателей. В частности, они могут быть применены в случаях рассеяния волн на неоднородных объектах. Так как указанные методы работают с полями в узлах сетки, образованной в выбранной пространственной области, содержащей рассеиватель, они оказываются избыточными для решения чисто граничных задач рассеяния.

Последние могут быть сведены к операциям с полями или токами только на поверхности объекта, что обычно требует меньше оперативной памяти компьютера и времени вычислений по сравнению со случаями сведения задачи к проведению операций непосредственно с полями внутри выбранной области, включающей рассеиватель.

Одна из групп методов, связанных с операциями, проводимыми для полей и токов на поверхности рассеивателя, включает метод нулевого поля [59], [60], известный также как метод продолженных граничных условий, метод Т-матриц [38], метод диаграммных уравнений [61], [62], [63] и родственные ему методы, описанные в [64] и [65]. Все указанные методы основаны на представлении падающих и рассеянных полей в виде разложений по бесконечной системе цилиндрических волновых функций в двумерном случае или сферических волновых функций в трехмерном случае. Последующее проектирование выражений, полученных из граничных условий, на те же волновые функции сводит задачу к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Бесконечные алгебраические системы решаются методом усечения, а матричные элементы определяются интегралами от произведений волновых функций по поверхности рассеивателя.

Применение методов [59-65] для решения трехмерных задач оказывается наиболее эффективным только для случаев осесимметричных рассеивателей, так как задача в этом случае сводится к решению независимых алгебраических систем для каждой азимутальной гармоники, а матричные элементы требуют вычисления только однократных интегралов. В общем случае неосесимметричных рассеивателей все азимутальные гармоники оказываются связанными, что приводит к алгебраическим системам очень высокого порядка с матричными элементами, требующих трудоемких вычислений двукратных интегралов по всей поверхности рассеивателя. В связи с указанными обстоятельствами более эффективными методами решения задачи оказываются различные модификации метода интегральных уравнений для поверхностных токов или полей и различные модификации метода вспомогательных источников.

Метод интегральных уравнений (МИУ) с различными типами поверхностных интегральных уравнений, выведенных для решения граничных задач рассеяния, описан в ряде книг, например, в [66-74], [45], [39] и [40]. Указанные интегральные уравнения обычно решаются методом моментов [75], [67], [39], [40], [76], сводящим их к системам линейных алгебраических уравнений. Вычисление матричных элементов в них требует аналитической работы с особенностями ядер и интегрирования произведений базисных функций, суперпозицией которых представляется решение, на весовые функции, на которые проецируется интегральное уравнение, и на соответствующую функцию Грина (см., например, [14]) и/или на ее производные по области определения соответствующих базисных и весовых функций. Применение метода интегральных уравнений в случае компактных рассеивателей (с замкнутыми поверхностями) требует также принятия специальных мер для недопущения снижения точности расчетов из-за резонансов внутренней области рассеивателя, которые могут иметь место на отдельных частотах [70], [77].

Метод моментов имеет множество модификаций, соответствующих различным базисным и различным весовым функциям, а также их различным сочетаниям. Одна из наиболее популярных модификацией, известная как метод Галеркина [67], характеризуется использованием одних и тех же функций в качестве и базисных и весовых. Вычисление матричных элементов алгебраических систем в этом случае требует двукратного численного интегрирования в двумерном случае и четырехкратного численного интегрирования в общем трехмерном случае. Уменьшение времени расчетов матричных элементов является актуальной задачей, что мотивировало поиск альтернативных подходов, примеры которых описаны в [78] и [79], а работы [76] и [80] содержат вывод аналитических выражений для некоторых матричных элементов, позволяющих повысить эффективность вычислений последних.

Один из самых распространенных подходов, использованных для подтверждения достоверности численных результатов, полученных на основе МИУ, состоит в сравнении указанных результатов с результатами, полученными

другими методами, что не позволяет считать МИУ с таким подходом самодостаточным. Кроме того, решение одной и той же задачи несколькими методами требует дополнительных компьютерных ресурсов. Самодостаточность МИУ может быть достигнута путем обеспечения контроля невязки выполнения граничных условий с использованием поверхностных полей или токов, найденных в результате решения соответствующих алгебраических систем, полученных в результате применения метода моментов. Примеры такого подхода можно найти в сравнительно недавних работах [80-83], что свидетельствует об актуальности создания соответствующих алгоритмов.

Метод вспомогательных источников (МВИ), известный также как метод неортогональных рядов, был предложен сначала для анализа рассеяния волн на идеально проводящих цилиндрах [84], [85] произвольного поперечного сечения в двумерном случае. Он получил дальнейшее развитие как в теоретическом плане [86] и [87], так и в обобщениях на диэлектрические цилиндры [88], [89] в двумерном случае, и на трехмерный случай [90-96]. МВИ сводит задачу к алгебраическим уравнениям, получаемым в результате удовлетворения граничных условий в дискретных точках (точках коллокации), распределенных по поверхности рассеивателя. Неизвестными величинами являются комплексные амплитуды дискретных вспомогательных элементарных источников, расположенных на вспомогательных поверхностях, точки которых находятся на некотором расстоянии от поверхности тела.

Преимущество МВИ по сравнению с методом поверхностных интегральных уравнений состоит в простоте вычисления матричных элементов, которые определяются аналитическими выражениями, не имеющими особенностей и не требующими численного интегрирования. Кроме того, МВИ после решения алгебраических уравнений позволяет также просто осуществлять последующий расчет поля в любой точке пространства, токи и поля на поверхности рассеивателя, а также погрешность удовлетворения граничных условий, например, в точках, расположенных между исходными точками коллокации. Эта

особенность позволяет считать метод самодостаточными для контроля правильности и точности решения задачи.

Преимущества МВИ, указанные выше, проявляются в наибольшей степени при анализе рассеивателей с гладкими замкнутыми поверхностями. Модификации МВИ, разработанные в [97] и [98] для анализа цилиндров с негладкими контурами поперечного сечения, являются уже менее эффективными, так как поверхностные токи в окрестности угловых точек предлагается определять как в методе интегральных уравнений, а вспомогательные источники - располагать только вблизи остальных гладких участков границы. Указанные особенности усложняют алгоритм по сравнению со случаями применения только вспомогательных источников. МВИ может быть применен также и для анализа экранов (рассеивателей с незамкнутыми поверхностями) или тонких пластин. Строгая постановка задачи в этом случае может быть обеспечена путем дополнения поверхности экрана виртуальной поверхностью до замкнутой поверхности с последующим стандартным подходом, соответствующим МВИ, как это продемонстрировано, например, в [99]. Однако такой подход приводит к существенному увеличению количества точек коллокации по сравнению с количеством точек коллокации, расположенных только на исходной поверхности экрана.

Скорость сходимости невязки выполнения граничных условий в МВИ зависит от выбора вспомогательных поверхностей, на которых располагаются вспомогательные источники. Некоторые подходы к оптимальному выбору вспомогательных поверхностей были предложены в работах [100] и [101], а также в указанных там другие работах. Таким образом, выбор оптимальных вспомогательных поверхностей в МВИ представляет собой отдельную задачу, требующую дополнительных усилий и тем самым создающую некоторые неудобства.

Неудобства МВИ, указанные выше, могут быть устранены путем расположения вспомогательных токов непосредственно на поверхности рассеивателя. Такой подход был предложен в [102] для решения задач рассеяния

волн на идеально проводящих объектах и затем в [103] и [104] для случаев проницаемых магнитно-диэлектрических объектов. Указанные работы содержат вывод соответствующих операторных и поверхностных интегральных уравнений, а также доказательство того, что использование комбинации вспомогательных поверхностных электрических и магнитных токов позволяют устранить проблему резонансов внутренней области [70], [77], упомянутую выше. Интегральные уравнения, соответствующие указанному случаю, известны как интегральные уравнения для комбинированных источников или CSIE (Combined Source Integral Equations). Они решаются обычно тем же методом моментов, что и интегральные уравнения для реальных (не вспомогательных) поверхностных токов и полей и поэтому обладают теми же достоинствами и ограничениями.

Таким образом, обзор литературы, сделанный выше, показывает, что метод интегральных уравнений относительно полей и токов (реальных и вспомогательных) остается наиболее универсальным и часто используемым методом для решения граничных задач рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих и проницаемых магнитно-диэлектрических объектах произвольной формы, включая случаи объектов с краями и негладкими поверхностями. Актуальными вопросами, связанными с указанным методом, являются повышение эффективности расчета матричных элементов, возникающих в результате применения метода моментов, а также повышение эффективности вычисления невязки удовлетворения граничных условий, необходимой для самодостаточного контроля точности численного решения задачи.

Целью работы является разработка и исследование самодостаточных эффективных алгоритмов на основе указанного метода поверхностных интегральных уравнений, а также их применение для численного исследования характеристик рассеяния для ряда объектов, представляющих определенный интерес, включая проницаемые объекты с отрицательным показателем

преломления. Поставленная цель достигается путем решения следующих основных задач:

1) Разработка самодостаточного алгоритма, позволяющего решать двумерные задачи рассеяния Н-поляризованных волн на тонких идеально проводящих экранах, на основе кусочно-линейной аппроксимации профиля экрана, использования трехступенчатых перекрывающихся базисных функций и сшивания полей на экране в точках коллокации.

2) Разработка самодостаточных алгоритмов для решения двумерных задач рассеяния Е- и Н-поляризованных волн на идеально проводящих и магнитно -диэлектрических цилиндрах (включая цилиндры из материала с отрицательным показателем преломления) произвольного поперечного сечения на основе использования аппроксимации контура поперечного сечения многоугольником, а также использования а) трехступенчатых перекрывающихся базисных функций; б) комбинации двух интегральных уравнений и в) комбинированных вспомогательных поверхностных электрических и магнитных токов.

3) Разработка самодостаточных алгоритмов для решения трехмерных задач рассеяния волн на идеально проводящих и магнитно-диэлектрических объектах (включая объекты из материала с отрицательным показателем преломления) на основе аппроксимации поверхности объекта многогранником и использования комбинированных вспомогательных поверхностных электрических и магнитных токов.

Таким образом, объектом исследования в настоящей работе являются процессы электромагнитного рассеяния волн на телах различной формы, включая идеально проводящие и проницаемые тела, в том числе тела из материалов с отрицательным показателем преломления. Предметом исследования при этом являются самодостаточные алгоритмы расчёта электромагнитного рассеяния, обеспечивающие возможность эффективного контроля точности выполнения граничных условий без необходимости дополнительных вычислений с использованием сторонних методов, а также характеристики рассеяния

электромагнитных волн на рассматриваемых телах. Указанные объект и предмет исследования соответствуют паспорту специальности 1.3.4 «Радиофизика», пункту 2.

Методы исследования, использованные в работе, включают, аналитические методы электродинамики, метод геометрической оптики, метод интегральных уравнений, метод вспомогательных источников и методы линейной алгебры.

Научная новизна диссертации характеризуется следующими результатами:

1. Разработаны новые численные алгоритмы метода поверхностных интегральных уравнений на основе перекрывающихся трехступенчатых базисных функций, примененных впервые к решению двумерных задач рассеяния на идеально проводящих экранах и цилиндрах, возбуждаемых Н-поляризованными волнами, а также на проницаемых магнитно-диэлектрических цилиндрах, позволяющие контролировать невязку выполнения граничных условий в точках, расположенных между исходными точками коллокации.

2. Выведены новые выражения для расчета матричных элементов алгебраических систем на основе приближенных формул для функций Ханкеля, позволяющих уменьшить время вычислений при решении задач рассеяния в двумерном случае.

3. Разработаны новые численные алгоритмы метода поверхностных интегральных уравнений на основе использования комбинации граничных условий для электрических и магнитных полей с использованием кусочно-постоянных (импульсных) базисных функций, позволяющие решать двумерные задачи рассеяния и контролировать невязку выполнения каждого из указанных граничных условий по отдельности в тех же самых исходных точках коллокации.

4. Разработаны новые численные алгоритмы метода интегральных уравнений относительно вспомогательных комбинированных поверхностных электрических и магнитных токов, позволяющие решать двумерные и трехмерные задачи

рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих и проницаемых телах и контролировать невязку выполнения интегральных уравнений, записанных для реальных поверхностных токов или эквивалентных поверхностных токов, вводимых при формулировке принципа эквивалентности.

5. Получены новые результаты анализа влияния геометрических и материальных параметров плоской пластины на ее эффективную площадь рассеяния (ЭПР) в направлении распространения волны, характеризующую эффекты «невидимости» объекта.

6. Получены новые результаты, характеризующие влияние согласования поверхностей фокусирующих диэлектрических и магнитно-диэлектрических линз, включая линзы из материала с отрицательным показателем преломления, на уровень поля в области геометрооптического фокуса.

7. Получены новые результаты для моностатической эффективной площади рассеяния на цилиндре квадратного поперечного сечения из материала с относительными проницаемостями б = ^ = -\ , работающего аналогично уголковому отражателю.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается строгостью постановки граничной задачи, сводящейся к строгим интегральным уравнениям, проверкой сходимости его решения, включая сходимость невязки выполнения граничных условий и других соотношений, а также сравнением результатов, полученных для некоторых частных случаев, с результатами, полученными для них другими аналитическими и численными методами.

На защиту выносятся дующие положения:

1. Самодостаточные алгоритмы, разработанные на основе перекрывающихся трехступенчатых базисных функций для решения двумерных задач рассеяния, позволяют контролировать невязки выполнения граничных условий в точках, расположенных в серединах боковых ступенек (между точками коллокации,

расположенных в серединах центральных ступенек) и обеспечивать сходимость невязок к нулю при увеличении количества базисных функций.

2. Самодостаточные алгоритмы, разработанные на основе комбинации интегральных уравнений, выведенных из граничного условия для электрического поля и граничного условия для магнитного поля, для решения двумерных задач рассеяния, позволяют контролировать невязки выполнения каждого из указанных интегральных уравнений по отдельности и обеспечивать сходимость невязок к нулю при увеличении количества базисных функций.

3. Самодостаточные алгоритмы, разработанные на основе базисных функций в виде комбинированных вспомогательных электрических и магнитных поверхностных токов для решения двумерных и трехмерных задач рассеяния, позволяют контролировать невязки выполнения интегральных уравнений, сформулированных для реальных электрических токов (в случае идеально проводящих рассеивателей) или для поверхностных электрических и магнитных полей (в случае проницаемых рассеивателей) и обеспечивать сходимость указанных невязок к нулю при увеличении количества базисных функций.

4. Эффективность разработанных алгоритмов обеспечивается применением простых одноступенчатых или трехступенчатых базисных функций в сочетании с методом коллокаций, что позволяет минимизировать время вычисления матричных элементов по сравнению с обычно применяемым методом Галеркина, а также использованием уже рассчитанных матричных элементов для вычисления невязок выполнения граничных условий или других уравнений.

5. Минимумы эффективной площади рассеяния в переднем направлении, характеризующие прозрачность (невидимость) плоской пластины, достигаются при обеспечении согласования пластины со свободным пространством, а также при обеспечении синфазности геометрооптических лучей, прошедших сквозь пластину, и лучей, прошедших мимо пластины в том же направлении.

6. Фокусирующие линзы одинакового поперечного размера из однородного материала обеспечивают более высокий уровень поля в области фокуса в случае отрицательного показателя преломления материала (п < -1) по сравнению со

случаем положительного показателя преломления (n > 1), а наивысший уровень обеспечивается при n = -1.

7. Моностатическая ЭПР цилиндра квадратного поперечного сечения из материала с n = -1 при его облучении вдоль диагонали квадрата ведет себя аналогично ЭПР цилиндрической линзы Итона-Липмана, а в целом, указанный цилиндр работает аналогично уголковому отражателю.

Практическая значимость работы состоит в том, что

- все предложенные модификации метода поверхностных интегральных уравнений могут быть использованы в антенной технике, например для анализа характеристик линзовых антенн, а также в радиолокации для анализа эффективной площади рассеяния (ЭПР) радиолокационных целей;

- компьютерные программы, разработанные в соответствии с новыми самодостаточными алгоритмами метода интегральных уравнений, позволяют эффективно решать задачи рассеяния на двумерных и трехмерных объектах с возможностью контролировать точность расчетов без привлечения других методов и, соответственно, без использования дополнительных компьютерных ресурсов.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на 7 следующих научных конференциях:

- 64-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 2021;

- 65-я Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 2023;

- 7th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2020;

- 8th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2021;

- 10th International Conference on Engineering and Telecommunication, Moscow (Russia), 2023;

- IEEE 8th All-Russian Microwave Conference, Moscow (Russia), 2022;

- Radiation and Scattering Electromagnetic Waves, Divnomorskoye, (Russia), 2023.

Публикации. Основные положения и результаты работы были опубликованы в 6 журнальных статьях [105-110], включая 3 статьи [105], [106] и [110] в журналах, входящие в перечень ВАК, и 3 статьи [107], [108] и [109], индексируемые в базе данных Scopus, а также в 7 статях [111-117] в трудах отечественных и международных конференций, индексируемых в РИНЦ и Scopus.

Личный вклад автора. В процессе работы автор принимал непосредственное участие в постановке задач и разработке алгоритмов решения при консультации с научным руководителем, лично автором были разработаны все компьютерные программы, а также проведены все расчеты и интерпретированы полученные результаты. Три работы были опубликованы соискателем без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом 135 стр. состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 58 рисунков, список литературы насчитывает 147 наименований.

Глава 1. Самодостаточный алгоритм в задаче рассеяние волн на идеально проводящих экранах в двумерном случае

Задача рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих экранах хорошо известна в прикладной электродинамике. Различные алгоритмы ее решения, основанные на интегральных уравнениях для тока на поверхности экрана, описаны в книгах [118-120] и многочисленных статьях, в качестве примеров которых можно привести работы [121-126].

Указанная задача в двумерном случае распадается на два независимых случая Е- и Н-поляризации. Наиболее простой подход к решению задачи в обоих случаях состоит в использовании кусочно-постоянных (одноступенчатых импульсных) базисных функций для поверхностного тока и удовлетворении граничного условия равенства нулю касательной составляющей напряженности электрического поля в дискретных точках, известных также как точки коллокации, на экране. Точность полученного численного решения в случае Е-поляризации проверяется путем вычисления невязки выполнения граничного условия в точках, расположенных между исходными точками коллокации, как это сделано, например, в [126]. Указанный подход дает простой и достаточно эффективный самодостаточный алгоритм. Что касается случая Н-поляризации, то указанный простой способ контроля точности выполнения граничного условия не может быть применен, так как напряженность электрического поля в промежуточных точках на стыке базисных функций уходит в бесконечность. Новый алгоритм, основанный на применении двухступенчатых перекрывающихся базисных функций и позволяющий вычислять невязку в промежуточных точках, предлагается и исследуется ниже.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Борисов Дмитрий Алексеевич, 2025 год

Список литературы

1. Финкельштейн, М. И. Основы радиолокации / М. И. Финкельштейн. — М.: Советское радио, 1973. — 320 с.

2. Воскресенский, Д. И. Устройства СВЧ и антенны: учебное пособие / Д. И. Воскресенский, В. Л. Гостюхин, В. М. Максимов, Л. И. Пономарев. — 4-е изд.

— 2016. — 560 с.

3. Левин, Л. Теория волноводов / Л. Левин. — М.: Радио и связь, 1981. — 288 с.

4. Никольский, В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики / В. В. Никольский. — М.: Наука, 1967. — 232 с.

5. Каценеленбаум, Б. З. Дифракция на большом отверстии в широком волноводе / Б. З. Каценеленбаум // ДАН СССР. — 1962. — Т. 144, № 2. — С. 322-325.

6. Гессард, Э. Э. Волны в атмосфере / Э. Э. Гессард, У. Х. Хук. — М.: Мир, 1987.

— 532 с.

7. Eremina, E. Analysis of light scattering by erythrocyte based on discrete source method / E. Eremina, Y. Eremin, T. Wriedt // Optics Communications. — 2005. — Vol. 244, № 1-6. — P. 15-23.

8. Changzhi Li et al. Principles and Applications of RF Microwave in Healthcare and Biosensing / Changzhi Li [et al.]. — London: Academic Press, 2017. — 325 p.

9. Костров, А. В. Исследование электродинамических параметров биологических тканей / А. В. Костров, А. В. Стриковский, Д. В. Янино, А. И. Смирнов, В. Е. Загайнов, С. А. Васенин, И. Н. Дружкова, Г. А. Пантелеева, З. В. Давоян // Альманах клинической медицины. — 2008. — № 19.

10. Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц / В. Г. Веселаго // УФН. — 1967. — Т. 92, № 3. — С. 517-526.

11. Theory and phenomena of metamaterials / Ed. by F. Capolino. — N.Y.: Tailor & Francis Group, 2009.

12. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — 3-е изд. — М.: Наука, 1966. — 736 с.

13. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн / В. В. Никольский. — М.: Наука, 1978. — 416 с.

14. Марков, Г. Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г. Т. Марков, А. Ф. Чаплин. — 2-е изд. — М.: Радио и связь, 1983. — 296 с.

15. Balanis, C. A. Advanced engineering electromagnetics / C. A. Balanis. — N.Y.: Wiley, 1989. — 928 p.

16. Bowman, J. J. Electromagnetic and acoustic scattering by simple shapes / J. J. Bowman, T. B. A. Senior, P. L. E. Uslenghi. — Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1969. — 480 p.

17. Вайнштейн, Л. А. Строгое решение задачи о плоском волноводе с открытым концом / Л. А. Вайнштейн // Изв. АН СССР. Сер. Физ. — 1948. — Т. 12. — С. 144-165.

18. Нобл, Б. Метод Винера-Хопфа / Б. Нобл. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. — 243 с.

19. Вайнштейн, Л. А. Теория дифракции и метод факторизации / Л. А. Вайнштейн. — М.: Советское радио, 1966. — 236 с.

20. Daniele, V. The Wiener-Hopf method in electromagnetics / V. Daniele, R. Zich. — SciTech Publishing, an imprint by IET, 2016.

21. Kline, M. Electromagnetic theory and geometrical optics / M. Kline, I. W. Kay. — N.Y.: Wiley, 1967.

22. Хенл, Х. Теория дифракции / Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль. — М.: Мир, 1964. — 452 с.

23. Боровиков, В. А. Геометрическая теория дифракции / В. А. Боровиков, Б. Е. Кинбер. — М.: Связь, 1978. — 288 с.

24. Менцер, Дж. Р. Дифракция и рассеяние радиоволн / Дж. Р. Менцер. — М.: Советское радио, 1958. — 432 с.

25. Уфимцев, П. Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции / П. Я. Уфимцев. — М.: Советское радио, 1962. — 443 с.

26. Боровиков, В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках / В. А. Боровиков. — М.: Наука, 1966. — 320 с.

27. Swathi, P. S. Scattering of electromagnetic waves by cylinders with a radially-inhomogeneous layer / P. S. Swathi, T. W. Tong, G. R. Cunnington // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 1991. — Vol. 46, № 1. — P. 281-292.

28. Yee, K. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equation in isotropic media / K. S. Yee // IEEE Trans. on Antennas Propagat. — 1966. — Vol. 14, № 5. — P. 302-307.

29. Taflove, A. Computational electrodynamics: The finite-difference time-domain method / A. Taflove, S. C. Hagness. — Norwood: Artech House, 1995. — 599 p.

30. Pregla, R. The method of lines / R. Pregla, W. Pascher // Numerical techniques for microwave and millimeter wave passive structures / Ed. T. Itoh. — N.Y.: Wiley, 1989. — P. 381-446.

31. Schiesser, W. E. The numerical method of lines / W. E. Schiesser. — N.Y.: Academic Press, 1991.

32. Coccioli, R. Finite-element methods in microwaves: a selected bibliography / R. Coccioli, T. Itoh, G. Pelosi, P. P. Silvester // IEEE Antennas and Propagation Magazine. — 1996. — Vol. 38, № 6. — P. 34-48.

33. Volakis, J. L. Finite element method for electromagnetics. Antennas, microwave circuits, and scattering applications / J. L. Volakis, A. Chatterjee, L. C. Kempel. — N.Y.: IEEE Press, 1998.

34. Jin, J. The finite element method in electromagnetics / J. Jin. — 2nd Edition. — N.Y.: Wiley, 2002.

35. Berenger, J. P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J. P. Berenger // Journal of Computational Physics. — 1994. — Vol. 114, № 2. — P. 185-200.

36. Berenger, J. P. Three dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J. P. Berenger // Journal of Computational Physics. — 1996. — Vol. 127, № 2. — P. 363-379.

37. Sheng, X. Q. On the formulation of hybrid finite-element and boundary-integral methods for 3-D scattering / X. Q. Sheng, J. M. Jin, J. M. Song, C. C. Lu, W. C. Chu // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 1998. — Vol. 46, № 3. — P. 303-311.

38. Kahnert, F. M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory / F. M. Kahnert // Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. — 2003. — Vol. 79-80. — P. 775-824.

39. Гринев, А. Ю. Численные методы решения прикладных задач электродинамики / А. Ю. Гринев. — М.: Радиотехника, 2012.

40. Григорьев, А. Д. Методы вычислительной электродинамики / А. Д. Григорьев. — М.: Физматлит, 2013.

41. Хижняк, Н. А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред / Н. А. Хижняк // Журнал технической физики. — 1958. — Т. 28, № 7. — С. 1592-1610.

42. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. — М.: Радио и связь, 1998.

43. Kucharski, A. A. A method of moments solution for electromagnetic scattering by inhomogeneous dielectric bodies of revolution / A. A. Kucharski // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 2000. — Vol. 48, № 8. — P. 1202-1210.

44. Ахмеджанов, И. М. Моделирование рассеяния света на наночастицах сложной формы методом обобщенных источников / И. М. Ахмеджанов, А. В. Тищенко, А. А. Щербаков // Оптика и спектроскопия. — 2008. — Т. 105, № 6. — С. 1033-1038.

45. Volakis, J. L. Integral Equation Methods for Electromagnetics / J. L. Volakis, K. Sertel. — Raleigh, NC: SciTech Publishing, 2012. — 391 p.

46. Kucharski, A. A. The FIT-MoM Hybrid Method for Analysis of Electromagnetic Scattering by Dielectric Bodies of Revolution / A. A. Kucharski // IEEE Trans. Antennas Propagat. — 2018. — Vol. 66, № 3. — P. 1384-1391.

47. Маненков, С. А. Задача дифракции электромагнитного поля на неоднородном теле с осевой симметрией / С. А. Маненков // Радиотехника и электроника. — 2018. — Т. 63, № 1. — С. 3-13.

48. Shcherbakov, A. A. Calculation of the electromagnetic scattering by non-spherical particles based on the volume integral equation in the spherical wave function basis

/ A. A. Shcherbakov // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. — 2019.

— Vol. 231. — P. 102-114.

49. Давидович, М. В. Объемные интегродифференциальные уравнения в задачах дифракции и в задачах на собственные значения (обзор) / М. В. Давидович // Оптика и спектроскопия. — 2022. — Т. 130, № 10. — С. 1520-1542.

50. Draine, B. T. Discrete-dipole approximation for scattering calculations / B. T. Draine, P. J. Flatau // Journal of the Optical Society of America A. — April 1994.

— Vol. 11, № 4. — P. 1491-1499.

51. Yurkin, M. A. The discrete dipole approximation: An overview and recent developments / M. A. Yurkin, A. G. Hoekstra // J. Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. — 2007. — Vol. 106, № 1-3. — P. 558-589.

52. Малушков, Г. Д. Рассеяние неоднородным диэлектрическим телом вращения / Г. Д. Малушков // Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 18, № 2. — С. 269-279.

53. Некрасова, Е. С. Модификация гибридного проекционного метода для электродинамического анализа неоднородного диэлектрического цилиндра произвольного поперечного сечения / Е. С. Некрасова, С. П. Скобелев // Радиотехника. — 2017. — № 10. — С. 35-43.

54. Некрасова, Е. С. Рассеяние Н-поляризованной плоской волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения. Часть 2. Модификация метода и численные результаты / Е. С. Некрасова, О. Н. Смольникова, С. П. Скобелев // Радиотехника. — 2018. — № 10. — С. 42-53.

55. Семерня, Е. И. Алгоритмы гибридного проекционного метода для анализа возбуждения неоднородного диэлектрического тела вращения радиальным магнитным диполем / Е. И. Семерня, С. П. Скобелев // Радиотехника и электроника. — 2020. — Т. 65, № 4. — С. 372-379.

56. Семерня, Е. И. Модификация проекционного метода для анализа излучения радиального диполя в присутствии неоднородного тела вращения / Е. И. Семерня, С. П. Скобелев // ЖВММФ. — 2020. — Т. 60, № 12. — С. 2131-2142.

57. Semernya, E. I. Modifications of the hybrid projection method for analysis of electromagnetic scattering by inhomogeneous bodies of revolution / E. I. Semernya, S. P. Skobelev // J. Opt. Soc. Am. A. — 2020. — Vol. 37, № 12. — P. 1873-1882.

58. Semernya, E. I. Analysis of wave focusing by axisymmetric Mikaelian lenses / E. I. Semernya, S. P. Skobelev // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. — 2021. — Vol. 20, № 2. — P. 269-273.

59. Waterman, P. C. Matrix formulation of electromagnetic scattering / P. C. Waterman // Proceedings of the IEEE. — 1965. — Vol. 53, № 8. — P. 805-812.

60. Waterman, P. C. Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering / P. C. Waterman // Phys. Rev. D. — 1971. — Vol. 3, № 4. — P. 825-839.

61. Кюркчан, А. Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции / А. Г. Кюркчан // Доклады РАН. — 1992. — Т. 325, № 2. — С. 273-279.

62. Кюркчан, А. Г. Решение векторных задач рассеяния методом диаграммных уравнений / А. Г. Кюркчан // Радиотехника и электроника. — 2000. — Т. 45, № 9. — С. 1078-1083.

63. Кюркчан, А. Г. Дифракция электромагнитных волн на магнитодиэлектрических и поглощающих рассеивателях / А. Г. Кюркчан, Д. Б. Демин // Радиотехника и электроника. — 2004. — Т. 49, № 11. — С. 13051314.

64. Hizal, A. New rigorous formulation of electromagnetic scattering from perfectly conducting bodies of arbitrary shape / A. Hizal, A. Marincic // Proc. Inst. Elec. Eng. — 1970. — Vol. 117, Iss. 8. — P. 1639-1647.

65. Serebrennikov, A. M. Boundary integrodifferential equations for electromagnetic scattering problems in three dimensions / A. M. Serebrennikov // IEEE Trans. Antennas Propag. — 2006. — Vol. 54, № 8. — P. 2337-2344.

66. Фок, В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн / В. А. Фок. — М.: Советское радио, 1970.

67. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. — М.: Мир, 1977.

68. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. — М.: Мир, 1987.

69. Дмитриев, В. И. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики / В. И. Дмитриев, Е. В. Захаров. — М.: Издательство Московского университета, 1987.

70. Васильев, Е. Н. Возбуждение тел вращения / Е. Н. Васильев. — М.: Радио и связь, 1987.

71. Morita, N. Integral Equation Methods for Electromagnetics / N. Morita, N. Kumagai, J. R. Mautz. — Norwood, MA: Artech House, 1990.

72. Peterson, A. F. Computational methods for electromagnetics / A. F. Peterson, S. L. Ray, R. Mittra. — N.Y.: IEEE Press, 1998.

73. Chew, W. C. Integral Equation Methods for Electromagnetic and Elastic Waves / W. C. Chew, M. S. Tong, B. Hu. — San Rafael: Morgan & Claypool, 2009.

74. Галишникова, Т. Н. Метод интегральных уравнений в задачах дифракции волн / Т. Н. Галишникова, А. С. Ильинский. — М.: МАКС Пресс, 2013.

75. Harrington, R. F. Field Computation by Moment Methods / R. F. Harrington. — N.Y.: Macmillan, 1968.

76. Gibson, W. C. The Method of Moments in Electromagnetics / W. C. Gibson. — 2nd Ed. — London: Chapman and Hall/CRC, 2014.

77. Peterson, A. F. The «interior resonance» problem associated with surface integral equations of electromagnetics: Numerical consequences and a survey of remedies / A. F. Peterson // Electromagnetics. — 1990. — Vol. 10, № 3. — P. 293-312.

78. Mittra, R. A universal dipole-moment-based approach for formulating MoM-type problems without the use of Green's functions / R. Mittra, K. Panayappan, C. Pelletti, A. Monorchio // Proc. of the Forth European Conference on Antennas and Propagation. — 12-16 April 2010. — Barcelona, Spain.

79. Pelletti, C. Numerically efficient method-of-moments formulation valid over a wide frequency band including very low frequencies / C. Pelletti, G. Bianconi, R. Mittra, A. Monorchio, K. Panayappan // IET Microwaves, Antennas & Propagation. — 2012. — Vol. 6, Iss. 1. — P. 46-51. — DOI: 10.1049/iet-map.2011.0251.

80. Bogdanov, F. G. Estimating accuracy of MoM solutions on arbitrary triangulated 3D geometries based on examination of boundary conditions performance and accurate derivation of scattered fields / F. G. Bogdanov, R. G. Jobava, S. Frei // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. — 2004. — Vol. 18, № 7. — P. 879-897.

81. Saeed, U. Local residual error estimators for the method of moments solution of electromagnetic integral equations / U. Saeed, A. F. Peterson // ACES Journal. — 2011. — Vol. 26, № 5. — P. 403-410.

82. Saeed, U. Explicit Local Error Estimators for electromagnetic integral equations / U. Saeed, A. F. Peterson // IEEE Trans. Antennas Propag. — 2015. — Vol. 63, № 3. — P. 1159-1163.

83. Peterson, A. F. Integral equation residuals for error estimation and internal resonance detection / A. F. Peterson // IEEE Trans. Antennas Propag. — 2023. — Vol. 71, № 12. — P. 9326-9333.

84. Малакшинов, Н. П. Об одном численном методе решения задач дифракции / Н. П. Малакшинов, В. Г. Ерихов // Антенны. — 1977. — Вып. 25. — С. 53-64.

85. Поповиди, Р. С. Численное исследование задачи дифракции модифицированным методом неортогональных рядов / Р. С. Поповиди, З. С. Цверикмазашвили // ЖВМиМФ. — 1977. — Т. 17, № 2. — С. 384-393.

86. Ерёмин, Ю. А. Метод неортогональных рядов в задачах дифракции электромагнитных волн / Ю. А. Ерёмин, А. С. Ильинский, А. Г. Свешников // Доклады Академии наук СССР. — 1979. — Т. 247, № 6. — С. 1350-1354.

87. Кюркчан, А. Г. О методе вспомогательных токов и источников в задачах дифракции волн / А. Г. Кюркчан // Радиотехника и электроника. — 1984. — Т. 29, № 11. — С. 2129-2139.

88. Leviatan, Y. Analysis of electromagnetic scattering from dielectric cylinders using a multifilament current model / Y. Leviatan, A. Boag // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1987. — Vol. AP-35, № 10. — P. 1119-1127.

89. Leviatan, Y. Analysis of TE scattering from dielectric cylinders using a multifilament magnetic current model / Y. Leviatan, A. Boag, A. Boag // IEEE

Transactions on Antennas and Propagation. — 1988. — Vol. AP-36, № 7. — P. 1026-1031.

90. Дмитренко, А. Г. Об одной модификации метода неортогональных рядов для решения задач электромагнитного рассеяния на произвольных гладких идеально проводящих телах / А. Г. Дмитренко, А. И. Мукомолов // Радиотехника и электроника. — 1988. — Т. 33, № 3. — С. 449-454.

91. Leviatan, Y. Generalized formulation for electromagnetic scattering from perfectly conducting and homogeneous material bodies — theory and numerical solution / Y. Leviatan, A. Boag, A. Boag // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1988. — Vol. 36, № 12. — P. 1722-1734.

92. Ерёмин, Ю. А. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции / Ю. А. Ерёмин, А. Г. Свешников. — М.: Изд-во Московского университета, 1992.

93. Дмитренко, А. Г. Численный метод решения трехмерных векторных задач рассеяния на трехмерном магнитодиэлектрическом теле произвольной формы / А. Г. Дмитренко, А. И. Мукомолов // Радиотехника и электроника. — 1995. — Т. 40, № 6. — С. 875-880.

94. Wriedt, Th. Generalized multipole techniques for electromagnetic and light scattering / Th. Wriedt (Ed.). — Amsterdam: Elsevier, 1999.

95. Дмитренко, А. Г. Рассеяние электромагнитных волн на трехмерном магнитодиэлектрическом теле произвольной формы / А. Г. Дмитренко, Т. Н. Пастухова // Известия вузов. Радиофизика. — 2006. — Т. 49, № 4. — С. 348356.

96. Wriedt, Th. The generalized multipole technique for light scattering — Recent developments / Th. Wriedt, Yu. Eremin (Eds.). — Springer, 2018.

97. Eisler, S. Analysis of electromagnetic scattering from metallic and penetrable cylinders with edges using a multi-filament current model / S. Eisler, Y. Leviatan // IEE Proc. H. — 1989. — Vol. 136, № 6. — P. 431-438.

98. Rodrigues, J. L. A hybrid multipolar-expansion-moment-method approach for electromagnetic scattering problems / J. L. Rodrigues, F. Obelleiro, A. G. Pino //

Microwave and Optical Technology Letters. — 1996. — Vol. 11, № 6. — P. 304308.

99. Kaklamani, D. I. Aspects of the method of auxiliary sources (MAS) in computational electromagnetics / D. I. Kaklamani, H. T. Anastassiu // IEEE Antennas and Propagation Magazine. — 2002. — Vol. 44, № 3. — P. 48-64.

100. Кюркчан, А. Г. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля / А. Г. Кюркчан, С. А. Минаев, А. Л. Соловейчик // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, № 6. — С. 666-672.

101. Скобелев, С. П. Сравнение некоторых модификаций метода вспомогательных источников / С. П. Скобелев, А. В. Коробкина // Радиотехника. — 2017. — № 4. — С. 60-65.

102. Mautz, J. R. A combined-source solution for radiation and scattering from a perfectly conducting body / J. R. Mautz, R. F. Harrington // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1979. — Vol. AP-27, № 4. — P. 445-454.

103. Mautz, J. R. A stable integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies / J. R. Mautz // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1989. — Vol. AP-37, № 8. — P. 1070-1071.

104. Harrington, R. F. Boundary integral formulations for homogeneous material bodies / R. F. Harrington // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. — 1989. — Vol. 3, № 1. — P. 1-15.

105. Борисов, Д. А. Модификация метода интегральных уравнений для вспомогательных поверхностных токов в задачах электромагнитного рассеяния на проницаемых цилиндрах / Д. А. Борисов, С. П. Скобелев // Физические основы приборостроения. — 2021. — Т. 10, № 3(41). — С. 105117. — DOI: 10.25210/jfop-2103-105117.

106. Борисов, Д. А. Модификация метода интегральных уравнений магнитного поля для анализа рассеяния волн на идеально проводящих цилиндрах произвольного поперечного сечения / Д. А. Борисов, С. П. Скобелев //

Радиотехника. — 2021. — Т. 85, № 4. — С. 24-33. — DOI: 10.18127/j00338486-202104-04.

107. Борисов, Д. А. Некоторые особенности рассеяния плоской электромагнитной волны на плоской магнитодиэлектрической пластине / Д. А. Борисов, С. П. Скобелев // Радиотехника и электроника. — 2023. — Т. 68, № 8. — С. 742750. — DOI: 10.31857/S0033849423080041.

108. Borisov, D. A. Self-sufficient algorithm of the method of surface integral equations in the problems of electromagnetic scattering by magneto-dielectric cylinders / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 44, № 11. — P. 4939-4950. — DOI: .

109. Borisov, D. A. A self-sufficient algorithm of the method of auxiliary surface currents in 3D problems of electromagnetic scattering by closed perfectly conducting bodies / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, № 10. — P. 4722-4729.

110. Борисов, Д. А. Самодостаточный метод вспомогательных комбинированных поверхностных токов в трехмерных задачах электромагнитного рассеяния на однородных магнитно-диэлектрических телах / Д. А. Борисов, С. П. Скобелев // Радиотехника. — 2025. — Т. 89, № 4. — С. 26-43. — DOI:

111. Borisov, D. A. Modification of the method of EFIE in 2D problem of H-polarized wave scattering by PEC cylinder of arbitrary cross-section / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // Proc. 7th Int. Conf. Engineering and Telecommunication (En&T-2020). — Dolgoprudny, Russia, 25-26 November, 2020. — DOI: 10.1109/EnT50437.2020.9431302.

112. Borisov, D. A. A method of auxiliary surface currents in 2D problems of electromagnetic scattering by penetrable cylinders / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // Proc. 8th Int. Conf. Engineering and Telecommunication (En&T-2021). — Dolgoprudny, Russia, 24-25 November, 2021. — DOI: 10.1109/EnT50460.2021.9681731.

113. Борисов, Д. А. Модификация метода интегральных уравнений для анализа рассеяния плоских волн на бесконечных проницаемых цилиндрах

произвольного поперечного сечения / Д. А. Борисов // Труды 64-й Всероссийской научной конференции МФТИ. — Москва-Долгопрудный-Жуковский, Россия, 29 ноября-3 декабря 2021. — С. 189.

114. Borisov, D. A. Modification of the method of integral equations in 2D problems of wave scattering by PEC screens / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // IEEE 8th All-Russian Microwave Conference (RMC). — November 2022. — DOI: 10.1109/RMC55984.2022.10079284.

115. Борисов, Д. А. Самодостаточная модификация метода интегральных уравнений на основе двух граничных условий для анализа электромагнитного рассеяния на бесконечных идеально проводящих цилиндрах / Д. А. Борисов // Труды 65-й Всероссийской научной конференции МФТИ. — Москва-Долгопрудный-Жуковский, Россия, 3-6 апреля 2023. — С. 58.

116. Борисов, Д. А. Применение самодостаточной модификации метода интегральных уравнений для анализа фокусировки волн линзами с положительным и отрицательным показателем преломления / Д. А. Борисов // Инжиниринг & телекоммуникации (En&T-2023). — Москва, 22-23 ноября 2023 года.

117. Borisov, D. A. Self-sufficient modification of the method of boundary integral equations for analysis of electromagnetic scattering on PEC cylinders / D. A. Borisov, S. P. Skobelev // Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW). — 26-30 June 2023. — DOI: 10.1109/RSEMW58451.2023.10202091.

118. Захаров, Е. В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов. — М.: Радио и связь, 1982. — 183 с.

119. Назарчук, З. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наукова думка, 1989.

120. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. — М.: ИПРЖ «Радиотехника», 1996.

121. Glisson, A. Simple and efficient numerical methods for problems of electromagnetic radiation and scattering from surfaces / A. Glisson, D. Wilton // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1980. — Vol. AP-28, № 5. — P. 593-603.

122. Rao, S. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape / S. Rao, D. Wilton, A. Glisson // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1982.

— Vol. AP-30, № 3. — P. 409-418.

123. Давыдов, А. Г. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких цилиндрических экранах / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Доклады АН СССР. — 1981. — Т. 261, № 2. — С. 338-341.

124. Давыдов, А. Г. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы / А. Г. Давыдов, Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов // Доклады АН СССР. — 1984.

— Т. 276, № 1. — С. 96-100.

125. Vasilieva, T. D. The diffraction of H-polarized electromagnetic waves by a two-dimensional corner screen / T. D. Vasilieva, L. N. Litvinenko, S. L. Prosvirnin // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1994. — Vol. 42, № 5. — P. 764-767.

126. Скобелев, С. П. О применении продолженных граничных условий и вейвлетов Хаара в задачах рассеяния волн тонкими экранами / С. П. Скобелев // Радиотехника и электроника. — 2006. — Т. 51, № 7. — С. 796806.

127. Даутов, О. Ш. К теории дифракции на однородных телах / О. Ш. Даутов, В. Н. Дымский // Известия вузов. Радиофизика. — 1975. — Т. 18, № 5. — С. 735-745.

128. Marx, E. Integral equation for scattering by dielectric / E. Marx // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1984. — Vol. AP-32, № 2. — P. 166-172.

129. Glisson, A. W. An integral equation for electromagnetic scattering from homogeneous dielectric bodies / A. W. Glisson // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1984. — Vol. AP-32, № 2. — P. 173-175.

130. Menshov, A. New single-source surface integral equations for scattering on penetrable cylinders and current flow modeling in 2-D conductors / A. Menshov, V. Okhmatovski // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2013. — Vol. 61, № 1. — P. 341-350.

131. Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. — М.: Наука, 1973.

132. Lucido, M. Analysis of the electromagnetic scattering by perfectly conducting convex polygonal cylinders / M. Lucido, G. Panariello, F. Schettino // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2006. — Vol. 54, № 4. — P. 12231231.

133. Skobelev, S. P. Propagation of electromagnetic waves through an invisible gradient-index lens with negative refractive index / S. P. Skobelev // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2019. — Vol. 67, № 4. — P. 20952102.

134. Lucido, M. Scattering by polygonal cross-section dielectric cylinders at oblique incidence / M. Lucido, G. Panariello, F. Schettino // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 2010. — Vol. 58, № 3. — P. 540-549.

135. Кушнерёв, М. М. Двумерная задача электромагнитного рассеяния на линзе Микаэляна, два метода решения и особенности фокусировки / М. М. Кушнерёв, С. П. Скобелев // Физические основы приборостроения. — 2020. — Т. 9, № 4. — С. 38-47.

136. Габдуллина, А. Р. Некоторые особенности электромагнитного рассеяния на радиально неоднородных цилиндрах с положительным и отрицательным показателем преломления / А. Р. Габдуллина, О. Н. Смольникова, С. П. Скобелев // Радиотехника. — 2017. — № 10. — С. 18-29.

137. Зелкин, Е. Г. Линзовые антенны / Е. Г. Зелкин, Р. А. Петрова. — М.: Советское радио, 1974.

138. Корнблит, С. СВЧ оптика. — М.: Связь, 1980.

139. Смольникова, О. Н. Сравнительные особенности электромагнитного рассеяния на невидимой сферически симметричной линзе с отрицательным показателем преломления / О. Н. Смольникова, С. П. Скобелев // Оптика и спектроскопия. — 2018. — Т. 125, № 1. — С. 85-90.

140. Бреховских, Л. М. Волны в слоистых средах. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973.

141. Курушин, А. А. Проектирование СВЧ устройств в CST Studio Suite. — М.: Салон-Пресс, 2018.

142. Sankar, A. Current computation on complex structures by finite element method / A. Sankar, T. C. Tong // Electronics Letters. — 1975. — Vol. 11, № 20. — P. 481-482.

143. Wang, J. J. H. Numerical analysis of three-dimensional arbitrarily-shaped conducting scatterers by trilateral surface cell modeling / J. J. H. Wang // Radio Science. — 1978. — Vol. 13, № 6. — P. 947-952.

144. Wang, N. Sinusoidal reaction formulation for radiation and scattering from conducting surfaces / N. Wang, J. Richmond, M. Gilbreath // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1975. — Vol. AP-23, № 3. — P. 376-382.

145. Cote, M. G. Scattering from the perfectly conducting cube / M. G. Cote, M. B. Woodworth, A. D. Yaghjian // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1988. — Vol. 36, № 9. — P. 1321-1329. — DOI: 10.1109/8.8612.

146. Popovic, B. D. Moment-method analysis of volume dielectric scatterers. Four independent entire-domain solutions: Is entire-domain philosophy a luxury or necessity in the method of moments / B. D. Popovic, B. M. Notaros // International Journal of Microwave and Millimeter-Wave Computer-Aided Engineering. — 1996. — Vol. 6, № 6. — P. 454-473.

147. Kim, O. S. Method of moments solution of volume integral equations using higher-order hierarchical Legendre basis functions / O. S. Kim, P. Meincke, O. Breinbjerg, E. J0rgensen // Radio Science. — 2004. — Vol. 39. — RS5003. — DOI: 10.1029/2004RS003041.