Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ерина, Елена Сергеевна

• Ерина, Елена Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ерина, Елена Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1. Основные структуры на многообразиях

2. Симметрии геометрических объектов

3. Пространства Эйнштейна-Максвелла

4. Групповые классификации пространств Максвелла и потенциалов

Глава 2. Первые интегралы уравнений Лоренца

1. Классические и обобщенные уравнения Лоренца

2. Теоремы Э. Нётер и Е. Бессель-Хагена

3. Алгоритм М. А. Паринова получения первых интегралов обобщенных уравнений Лоренца и его модификация

4. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^д

5. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^б

6. Первые интегралы в случае класса ПМНТ И^.б

7. Первые интегралы в случае класса ПМНТ М^в^

Глава 3. Нётеровы пространства Максвелла и факторы Бессель-Хагена

1. Исходные определения и некоторые обозначения

2. Пространства Максвелла с одномерными группами симметрий

3. Пространства Максвелла с трехмерными группами симметрий

4. Факторы Бессель-Хагена для некоторых 3-мерных и 4-мерных подгрупп группы Пуанкаре

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметричные пространства Максвелла и первые интегралы системы уравнений Лоренца»

Введение

Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.

Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими науками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений [29], [15], [30], [54], алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа, реализованная в теоремах Нётер и Бессель-Хагена [8, 60, 57].

Уравнения Лоренца (см. [25])

^ = ^ + р, у?ик = — о« ик ик = — т

описывающие движение пробной заряженной частицы в электромагнитном поле -Р^1 , играют важную роль при исследовании структуры этого поля. Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании уравнений Лоренца [52], поэтому они до сих пор не потеряли своей актуальности. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала

3[х] = ! - (2)

действия для частицы с массой т и зарядом е в электромагнитном поле с 4-потенциалом АРц = дгА^ — д^А^.

1 Возможно, при наличии гравитации, описываемой метрическим тензором (д%:>) = (д^)

г)к = 29г1(^91к + дкдц - д1дк]) — связность Леви-Чивиты.

3

Известно, что частица, помещенная в электромагнитное поле, не характеризуется, вообще говоря, никакими сохраняющимися механическими величинами [55, 56]. Другими словами, уравнения (1) в общем случае не имеют первых интегралов. Поэтому поля для которых уравнения Лоренца имеют первые интегралы, представляют особый интерес. В 1981 г. М. А. Паринов предложил метод получения первых интегралов уравнений Лоренца, основанный на понимании электромагнитного поля как симплектической структуры на 4-мерном многообразии пространства-времени [32, 18, 40] и применения теоремы Э. Нётер [60]. Этот метод позволяет в случае нетривиальной группы симметрий эффективно получить все интегралы уравнений Лоренца, существование которых следует из теоремы Е. Бессель-Хагена [57]. Полученные результаты описаны в работах [1, 2, 5, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 31, 36, 39, 59, 40, 51]. В дальнейшем этот метод был обобщен [38, 40] на более широкий класс систем дифференциальных уравнений — обобщенных уравнений Лоренца (см. с. 41).

В связи с задачей получения первых интегралов системы уравнений Лоренца М. А. Паринов ввел понятие пространства Максвелла [37, 40], представляющее собой тройку (М, где М — гладкое 4-мерное многообразие, д = д^ Ахг(1х3 —

псевдоевклидова метрика лореицевой сигнатуры (----ь) на М, = Л

- замкнутая внешняя дифференциальная 2-форма на М. Классификация пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре описана в работах [3, 6, 23, 26, 27, 28, 45] и в окончательной форме в работах [40, 41, 44]. Изучение симметрий пространств Максвелла, а также их применение к уравнениям Лоренца привело к понятиям нётерова пространства Максвелла [21] и фактора Бессель-Хагена для подгруппы группы Пуанкаре [22].

В данной диссертационной работе, состоящей из трех глав, продолжено изучение свойств симметричных пространств Максвелла и их применение к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.

Первая глава является реферетивной. В ней приведены исходные понятия и факты, сформулированы определения основных структур на многообразиях, введены понятия пространств Максвелла и Эйнштейна-Максвелла, отмечены их некоторые свойства. Описана суть классификации пространств Максвелла и потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

Во второй главе предложена модификация алгоритма Паринова получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре [43] и классификации пространств Максвелла по подгруппам группы Пуанкаре [40, 41, 44]. В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током [48] следующих классов: И^д, Жб.б и И^в; эти интегралы описаны в работе автора [9].

В третьей главе получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла и найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре. Эти результаты описаны в работах автора [10, 11, 12, 13].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ерина, Елена Сергеевна

Заключение

Целью автора в данной работе явилось изучение некоторых свойств симметричных пространств Максвелла и их применение для получения первых интегралов системы уравнений Лоренца. Результаты данных исследований заключаются в следующем.

• Предложена модификация алгоритма Паринова (см. гл. 2, разд. 3.4) получения первых интегралов уравнений Лоренца с использованием классификации потенциалов по подгруппам группы Пуанкаре.

• Сформулирована и доказана теорема [см. гл. 3, разд. 2], которая означает, что в случае общего положения пространство Максвелла с одномерной группой симметрий является нётеровым.

• Получены условия нётеровости для некоторых классов пространств Максвелла, допускающих 3-мерные подгруппы группы Пуанкаре [см. гл. 3, разд. 3].

• Найдены факторы Бессель-Хагена для групп Сзда, (731Ь, с, С*з¿ь, С3,3, 6*35, С3,ба и в^ь [см. гл. 3, разд. 4].

• Найдены факторы Бессель-Хагена для пространств Максвелла классов 64,2, С4 ,3а 5 с4 1ЗЬ)С4,8а,С4,10,С74,11)С74,12а)С4114а [см- гл- 3, рЯЗД. 4).

• В качестве примеров найдены первые интегралы для пространств Максвелла с нулевым током следующих классов:

Класс Жм [см. формулы (2.4.6), (2.4.14) ,(2.4.10), (2.4.22)];

Класс 1¥515 [см. формулы (2.5.5), (2.5.10), (2.5.11), (2.5.19)];

Класс 1^6,5 [см. формулы (2.6.5), (2.6.11)];

Класс \Yefi |см. формулы (2.7.5)].

Полученные результаты докладывались и обсуждались на международных конференциях и семинарах по дифференциальным уравнениям, а также были опубликованы в 5 работах автора [9]-[13]. Статьи |12] и [13] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

В заключение следует отметить, что основные результаты данной работы могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, в теоретической и математической физике, а также в дифференциальной геометрии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ерина, Елена Сергеевна, 2012 год

Литература

[1] Авилова А. А., Воробьев А. И. Первые интегралы уравнений Лоренца для четырех классов электромагнитных полей, допускающих гиперболические винты // Науч. тр. Иван. гос. унта. Математика. - 2001. - Вып. 4. - С. 3 - 10.

[2] Азизова С. В., Воробьев А. И. Первые интегралы уравнений Лоренца для двух классов электромагнитных полей, допускающих 4-мерные группы преобразований // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2002. - Вып. 5. - С. 11-16.

[3] Белова О. Г., Зарембо А. Н., Паринов М. А., Сергеева О. О., Угарова Ю. Г. Классификация статических электромагнитных полей по подгруппам группы Пуанкаре // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2000. - Вып. 3. - С. 11-22.

[4] Белько И. В. Подгруппы группы Лоренца - Пуанкаре // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1971. - № 1. - С. 5-13.

[5] Бурда,нов Я. В., Ваеюков А. В., Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца для некоторых классов электромагнитных полей. - Иваново, 1993. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.11.93, е 2736-В93.

[6] Воробьев А. И. Групповая классификация пространств Максвелла, допускающих гиперболические винты // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2001. - Вып. 4. - С. 35-42.

[7] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. - М.: Наука, 1979. - 760 с.

Емельянова И. С. Проблема "симметрия - интегралы движения" в аналитической динамике. - Нижний Новгород: ННГУ, 1992. - 171 с.

Ерина Е. С. Об одном алгоритме получения первых интегралов уравнений Лоренца // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2011. - Вып 1 (8). - С. 49-56.

[10] Ерина Е. С., Лебедева В. В., Паринов М. А. О нётеровых пространствах Максвелла, допускающих одномерные и трехмерные группы симметрий // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2011. - Вып 1 (8). - С. 57-66.

[11] Ерина Е. С., Паринов М. А. Факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре // Тезисы докладов IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011)". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. - 2011. - С. 107-109.

[12| Ерина Е. С., Паринов М. А. Факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре // Вестник ВорГУ. Серия физика, математика. - 2012. - № 1. - С. 95-102.

[13] Ерина Е. С., Паринов М. А. Нбтеровы пространства Максвелла и факторы Бессель-Хагена // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. - 2012. - Т. 278. - № 3. - С. 98-104.

[14 [15 [16

[17

[18 [19

[20

[21 [22

[23

[24

[25 [26

[28 [29 [30

Ибрагимов Н. X. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. - Новосибирск: НГУ, 1972. - 128 с.

Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. - М.: Наука, 1983. -280 с.

Иванова А. С. Первые интегралы уравнений Лоренца для частицы в поле плоской поперечной волны // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения (МНК АДМ - 2000): Тез. докл. Междунар. науч. конф. - Воронеж, 2000. - С. 110-111. Иванова А. С., Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца в случае плоской монохроматической волны // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 1997. - Вып. 1. -С. 36-38.

Иванова А. С., Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца для некоторых классов электромагнитных полей // Тр. МИРАН им. В. А. Стеклова. - 2002. - Т. 236. - С. 197-203. Иванова А. С., Паринов М. А., Парфентъева А. Е. Первые интегралы уравнений Лоренца для трех классов электромагнитных полей, допускающих трансляции вдоль изотропных прямых // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2002. - Вып. 5. - С. 29-34. Иванова А. С., Парфентъева А. Е., Хвойницкая С. В. Первые интегралы уравнений Лоренца для трех классов электромагнитных волн // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2000

- Вып. 3. - С. 27-35.

Колесова В. А., Паринов М. А. О нётеровых пространствах Максвелла // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2007. - Вып. 1 (4). - С. 7-12. Конева H.A., Паринов М. А. Факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре //' Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2010. - Вып. 1 (7). -С. 41-48.

Кошелева Н. А., Курамшина А. К., Паринов М. А. Групповая классификация пространств Максвелла, допускающих эллиптические винты // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика.

- 2001. - Вып. 4. - С. 73-82.

Курамшина А. К. Первые интегралы уравнений Лоренца для двух классов электромагнитных полей, допускающих эллиптические винты // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика.

- 2002. - Вып. 5. - С. 45-50.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. - М.: Наука, 1967. - 460 с.

Львов Д. А., Паринов М. А. Групповая классификация пространств Максвелла, допускающих параболическое вращение // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2002. - Вып. 5.

- С. 51-62.

Морозова Е. В., Паринов М. А. Групповая классификация пространств Максвелла, допускающих трансляции вдоль изотропных прямых // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика.

- 2001. - Вып. 4. - С. 87-94.

Морохова Е. Г. Групповая классификация пространств Максвелла, допускающих пропорциональное бивращение // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2002. - Вып. 5. С. 63-72. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. -399 с.

О леер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. - 639 с.

[32 [33 [34

[35 [36 [37 [38

[39

[40 [41 [42 [43

[44 [45

[46

Параскевов Р. А., Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца для некоторых классов магнитостатических полей // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2001. -Вып. 4. - С. 95-104.

Паринов М. А. Симплектическая группа электромагнитного поля и первые интегралы уравнений движения Лоренца. - Иваново, 1981. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.02.82, е 802-82. Паринов М. А. Введение в симплектическую геометрию: Учеб. пособие. - Иваново: ИвГУ, 1994. - 60 с.

Паринов М. А. О группах диффеоморфизмов, сохраняющих невырожденные аналитические ковекторные поля // Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. -М.: МГУ, 1994. - С. 164-166. - Программа "Университеты России".

Паринов М. А. О группах диффеоморфизмов, сохраняющих невырожденные аналитические ковекторные поля // Матем. сб. - 1995. - Т. 186. - № 5. - С. 115-126.

Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца: Сводка результатов // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 1997. - Вып. 1. - С. 101-110.

Паринов М. А. Групповая классификация пространств Максвелла // Современный анализ и его приложения: Тез. докл. ВЗМШ. Воронеж, 2000. - С. 129-130.

Паринов М. А. Об одном методе получения первых интегралов обобщенных уравнений Лоренца // Вестник ИвГУ. Серия "Биология. Химия. Физика. Математика". - 2001. - Вып. 3. -С. 128-133.

Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца для статических полей, допускающих 3- и 4-мерные группы преобразований // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. - 2002 -Вып. 5. - С. 81-90.

Паринов М. А. Пространства Эйнштейна - Максвелла и уравнения Лоренца. - Иваново: ИвГУ, 2003. - 180 с.

Паринов М. А. Классы пространств Максвелла, допускающих подгруппы группы Пуанкаре // Фундаментальная и прикладная математика. - 2004. - Т. 10. - № 1. - С. 183-237. Паринов М. А. Об одном способе получения представителей классов пространств Максвелла // Современная математика и ее приложения. - 2006. - Т. 38. - С. 76-81. Паринов М. А. Классификация потенциальных структур на пространстве Минковского по подгруппам группы Пуанкаре // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. -Т. 12. - № 7. - С. 177-225.

Паринов М. А. Шесть классов пространств Максвелла, допускающих нетривиальные группы симметрий // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2006. - № 1. - С. 170-171. Паринов М. А. Классы пространств Максвелла, допускающих пропорциональные бивраще-ния // Новейшие проблемы теории поля / Под. Ред. А. В. Аминовой. - Казань: КГУ, 2006. -С. 182-187.

Паринов М. А. Пространства Максвелла с нулевым током, допускающие двумерные подгруппы группы Пуанкаре // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. -

2008. - Вып. 1(5). - С. 21-42.

Паринов М. А. Пространства Максвелла с нулевым током, допускающие одномерные подгруппы группы Пуанкаре // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. -

2009. - Вып. 1 (6). - С. 59-82.

[48] Паринов M, А. Пространства Максвелла с нулевым током, допускающие подгруппы группы Пуанкаре размерностей 3-6 // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. — 2009. - Вып. 1 (6). - С. 83-102.

[49] Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. - М.: Физматгиз, 1961. - 464 с.

[50] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664 с.

[51] Соболева Н. А., Паринов М. А. Первые интегралы уравнений Лоренца для пространств Максвелла, допускающих гиперболические винты // Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. - 2006. - Вып 1 (3). - С. 51-60.

[52] Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. - М.: Наука, 1974. - 391 с.

[53] Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. - М.: ГИТТЛ, 1961. - 563 с.

[54] Ф-ущин В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. - Киев: Наукова думка, 1983. - 200 с.

[55] Шмутцер Э. Симметрии и законы сохранения в физике. - М.: Мир, 1974. - 159 с.

[56] Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической теории поля - М.: Мир, 1976. - 157 с.

[57] Bessel-Hagen Е. Uber die Erhaltungssätze der Electrodynamic // Math. Ann. - 1921. - Bd. 84. -S. 258-276.

[58] Combe Ph., Sorba P. Electromagnetic fields with symmetry // Physica. - 1975. - Vol. A80. -№ 3. - P. 271-286.

[59] Ivanova A. S. The first integrals of the Lorentz equations for three classes of the electromagnetic waves // International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems. Susdal, August 21 - 26, 2000: Abstracts. - Vladimir, 2000. - P. 44 - 46.

[60] Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. König. Gesell. Wissen. Göttingen, Math-Phys. Kl. - 1918. S. 235-257.