Симметрии и квантование калибровочных систем на предсимплектических многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Елфимов Борис Максимович

• Елфимов Борис Максимович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Елфимов Борис Максимович

Введение

1 Предсимплектическая и контактная геометрия

1.1 Предсимплектические многообразия

1.2 Контактные многообразия

1.3 Контактно-метрические многообразия

2 Деформационное квантование оснащенных предсимплектических многообразий

2.1 Пуассонова алгебра наблюдаемых оснащенного предсимплектического многообразия

2.2 Деформационное квантование на специальных предсимплектических многообразиях

2.3 Препятствия к квантованию

2.4 Примеры

3 Деформационное квантование контактных многообразий

3.1 Вейлевское квантование

3.1.1 Контактная связность

3.1.2 Расслоение вейлевских алгебр и плоская связность Федосова

3.1.3 Квантовый подъем и алгебра плоских сечений

3.1.4 Квантовые наблюдаемые и аномалии

3.2 Виковское квантование

3.2.1 Контактно-метрическая связность

3.2.2 Расслоение виковских алгебр и плоская связность Федосова

3.2.3 Квантовый подъем и алгебра плоских сечений

3.2.4 Квантовые наблюдаемые и аномалии

3.2.5 Многообразия Сасаки и свойство Вика

4 Предсимплектические структуры в теории поля

4.1 Вариационный трикомплекс калибровочной системы

4.2 Симметрии и законы сохранения

4.3 Алгебра Лейбница высших законов сохранения

4.4 Приложения

4.4.1 Поля Янга-Миллса

4.4.2 Эйнштейновская гравитация

4.4.3 Унимодулярная гравитация

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии и квантование калибровочных систем на предсимплектических многообразиях»

Введение

Актуальность темы исследования. Калибровочные симметрии и калибровочные теории лежат в основе современной физики фундаментальных взаимодействий. Так, калибровочные поля Янга-Миллса составляют теоретический аппарат Стандартной модели физики элементарных частиц, а общекоординатные преобразования пространства-времени определяют группу калибровочных симметрий общей теории относительности (см., например, [1], [2]). Симметрии последнего типа играют важную роль и в моделях протяженных релятивистских объектов (частиц, струн и бран). Неудивительно, что проблеме квантования калибровочных теорий посвящено огромное количество работ, как физиков, так и математиков. Последовательное квантование полей Янга-Миллса на основе континуального интеграла и теории перенормировок было построено еще в 70-е годы прошлого века [3]. Однако построение квантовой теории гравитации было и остается одной из главных нерешенных задач теоретической физики.

При квантовании любой калибровочной теории неизбежно возникает вопрос о квантовых аномалиях и способах их устранения. В самом широком смысле под квантовой аномалией понимается нарушение некоторых свойств классической системы при переходе к квантовому описанию. Именно изучение квантовых аномалий позволяет пролить свет на такие фундаментальные физические понятия, как размерность пространства-времени и число поколений элементарных частиц. В большинстве случаев аномалии проявляются в нарушении глобальных или локальных симметрий классической теории. Одной из самых известных глобальных аномалий является нарушение киральной симметрии в квантовой электродинамике [4], [5]. Преобразования киральной симметрии классических полей материи имеют вид:

ф ^ е1ау5ф , ф ^ фе-гаТ5. (1)

Однако, при переходе к квантовой теории соответствующий аксиальный ток ^ уже не сохраняется:

^ = -= 0 . (2)

Аномалии наблюдаются экспериментально. В частности, ненулевая дивергенция (2) вносит вклад в ширину распада п-мезона на два фотона [6]. В общем

случае нарушение глобальной симметрии не означает несостоятельность квантовой теории, но может указывать на ее неполноту (см., например, [7; 8]). Для сокращения киральной аномалии (2) и правильного выражения для ширины распада теория должна иметь ровно три поколения кварков. Это даёт прямое теоретическое предсказание числа кварков, которые могут существовать в природе.

Аномалии могут возникать и в случае локальных симметрий. Типичным примером такой ситуации является нарушение репараметризационной инвариантности в теории струн [9; 10]. Только в специальных размерностях ((! = 26 для бозонной струны и ё, = 10 для суперструны) теория струн свободна от аномалий [11; 12]. В настоящее время это единственная известная теория, аномалии которой затрагивают такую фундаментальную физическую характеристику, как размерность пространства-времени. В отличие от глобальных аномалий, аномалии, связанные с локальными симметриями, приводят к изменению числа физических степеней свободы, нарушая самосогласованность квантовой теории

[13; 14].

В квантовой теории поля аномалии обычно возникают вследствие ультрафиолетовых расходимостей [15—18]. Дело в том, что процедура регуляризации и перенормировки петлевых интегралов может нарушать те или иные симметрии классической теории [19]. Если после проведения всех вычислений и снятия регуляризации симметрия не восстанавливается, то говорят о квантовой аномалии. С этой точки зрения, фундаментальной причиной квантовых аномалий в теории поля является бесконечность числа степеней свободы. (Это, конечно же, оставляет открытым вопрос о независимости аномалий от схемы регуляризации.) Но квантовые аномалии могут возникать и при квантовании конечномерных механических систем. Причиной аномалий тут служит нетривиальная глобальная геометрия конфигурационного или фазового пространства системы. Для последовательного математического описания таких систем необходимо привлекать современные дифференциально-геометрические методы и, прежде всего, методы (пред)симплектической, контактной и пуас-соновой геометрии. Поясним возникновение предсимплектических структур в классической механике следующими простыми примерами.

В нерелятивистской механике уравнения Гамильтона выводятся из принципа наименьшего действия для функционала

S [Q,P] = j Pidqг — Н (q,p,t)dt. (3)

С геометрической точки зрения подынтегральное выражение является 1-фор-мой Л = Pidq1 — Н(q,p,t)dt на расширенном фазовом пространстве системы М с координатами (q,p,t). При выполнении условия регулярности 1-форма Л задает на М контактную структуру с векторным полем Риба

/ дН \ —1 / д +дН д дН д \ \ dpi J \dt dpi dq% dq% dpi J

и предсимплектической 2-формой ш = dX. Эволюция любой физической величины О = 0(q,p,t) на расширенном фазовом пространстве М определяется уравнением

^ = {0,Н} & IP = 0. (4)

Как видно, контактная геометрия лежит в основе ковариантного описания динамики механических систем на расширенном фазовом пространстве. Такой подход к классической механике, унифицирующий фазовые переменные с параметром времени, был развит в недавней серии работ [20—22].

Для релятивистских механических систем канонический гамильтониан, как известно, равен нулю ввиду репараметризационной инвариантности. Его роль играет связь первого рода, определяющая условие массовой оболочки Т(х,р) ~ 0. Например, лагранжиан точечной скалярной частицы массы m в пространстве-времени с метрикой имеет вид

S[х,р] = jp^dx^ — ЛТ(х,р), Т = g^y(x)p^pv — c2m2 , (5)

где Л - множитель Лагранжа к связи первого рода Т ~ 0. Стандартная га-мильтонова редукция по связи производится в два этапа: сначала вся динамика ограничивается на гиперповерхность Е : Т = 0, после чего поверхность связи Е факторизуется по действию гамильтонова потока Хт = {Т,—}. Результатом гамильтоновой редукции является физическое фазовое пространство системы. При некоторых условиях регулярности ограничение 1-формы Лиувилля Л = dx^l^ наделяет гиперповерхность Е структурой контактного многообразия; при этом роль векторного поля Риба играет растянутый гамильтонов

поток £ = (р^дТ/др^) 1{Т, —}|е- Физические величины 0(х,р) определяются уравнением

{Т, О}« 0 ^ Щъ = 0. (6)

Таким образом, как в релятивистской, так и нерелятивистской механике множество физических величин может быть отождествлено со множеством ^-инвариантных функций на некотором контактном многообразии.

В общем случае калибровочные системы описываются некоторым набором связей первого рода. При выполнении условий регулярности поверхность связей является предсимплектическим многообразием с калибровочным (векторным) распределением, порожденным связями первого рода. Физическое фазовое пространство классической системы возникает в результате факторизации поверхности связей по действию калибровочного распределения. Известно, что на квантовом уровне такая двухэтапная процедура редукции может наталкиваться на препятствия; при этом препятствия могут возникать лишь на этапе факторизации поверхности связей по действию калибровочного распределения [23]. Одной из целей данной работы является нахождение всех таких препятствий (одной из разновидностей квантовых аномалий) в явном виде.

Язык предсимплектической геометрии оказывается полезным и в классической теории поля. Хорошо известно, что конфигурационное пространство «on-shell» и «off-shell» полей несет естественную предсимплектическую структуру [24], [25], [26]. Наличие этой структуры позволяет развить ковариантный гамильтонов формализм в теории поля без искусственного разделения пространства-времени на пространство и время. Более того, ковариантные предсим-плектические структуры естественным образом интегрируются в формализм вариационного би- три- комплексов и в такой форме могут быть использованы и для изучения и квантования нелагранжевых моделей теорий поля [27], [28], [29] . Особенно эффективным ковариантный гамильтонов формализм оказывается при исследовании симметрий и законов сохранения в калибровочных теориях, включая высшие симметрии и отвечающие им поверхностные заряды. Зачастую только на основе симметрий и законов сохранения удается получить некоторую непертурбативную информацию о динамике нелинейной модели теории поля. Стоит еще раз отметить, что при переходе к квантовой теории именно алгебра симметрий и законов сохранения является «индикатором»

квантовых аномалий в теории. Таким образом, развиваемый в диссертации ко-вариантный гамильтонов формализм на основе предсимплектических структур обеспечивает необходимый математический аппарат для анализа классической и квантовой динамики в широком классе калибровочных теорий.

Степень разработанности темы исследования. Свой современный вид квантовая теория калибровочных систем приобрела благодаря развитию общих методов квантования. Прежде всего здесь следует отметить разработанный Дираком метод квантования гамильтоновых систем со связями [30—32]. Этот метод послужил прологом к развитию методов БРСТ-квантования [33], [32], основанных на идее БРСТ-симметрии [34; 35]. Так, в 80-е годы прошлого века Баталиным, Фрадкиным и Вилковыским был разработан метод обобщенного канонического квантования [36—38], а затем появилась его лагранжева версия, известная как квантование Баталина-Вилковыского [39—41]. Эти методы лежат в основе современной схемы квантования полей Янга-Миллса, а также исследования всевозможных квантовых аномалий.

Параллельно с этим общая концепция квантования развивалась и в ряде математических работ. Прежде всего здесь следует упомянуть теорию геометрического квантования Кириллова-Костанта-Сурьё [42—44], а также работы Березина по квантованию на однородных кэллеровых многообразиях [45; 46], [47]. Под влиянием работ Березина французской группой математиков (Байен, Флато, Фронсдал, Лихнерович и Штернхаймер) [48; 49] была сформулирована общая задача деформационного квантования. В этом подходе квантование понимается как построение формальной ассоциативной деформации коммутативной алгебры функций на фазовом пространстве в направлении скобки Пуассона:

1 П

/ * 9 = ¡9 + у и,9} + 0(Н2). (7)

Существование деформационного квантования для симплектических многообразий было доказано де Вильдом и Леконтом [50] и независимо Карасевым и Масловым [51]. В работах Федосова [52; 53] был предложен явный рекуррентный метод построения ассоциативного *-произведения на симплектических и регулярных пуассоновых многообразиях. Там же была предложена конструкция следовой меры на алгебре наблюдаемых. Наконец, Концевичем было доказано существование деформационного квантования для общих пуассоновых многообразий [54]. Доказательство Концевича является конструктивным и задает каждый порядок *-произведения (7) некоторыми интегралами по

конфигурационному пространству графов. В последующие годы конструкции деформационного квантования Федосова и Концевича переосмысливались, развивались и обобщались многими авторами, см., например, [55—63]. Связь деформационного квантования с БРСТ-теорией обсуждалась в работах [64; 65].

Несмотря на обилие работ по деформационному квантованию симплекти-ческих и пуассоновых многообразий, случай предсимплектических многообразий оставался до самого последнего времени практически неизученным. В этом контексте можно упомянуть лишь одну работу [66], где отмечались возможные когомологические препятствия к квантованию таких многообразий. Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела и построение последовательной теории деформационного квантования предсимплектических и контактных многообразий.

Принципы симметрии лежат в основе всех известных моделей фундаментальных взаимодействий. Знаменитая теорема Нётер устанавливает взаимооднозначное соответствие между глобальными симметриями и законами сохранения в лагранжевых теориях [67]. В отличие от глобальных симметрий, локальные (или калибровочные) симметрии не приводят непосредственно к сохраняющимся токам. Тем не менее, в некоторых случаях оказывается, что можно связать сохраняющиеся величины и с калибровочными симметриями. В отличие от обычных нётеровских зарядов, эти сохраняющиеся величины задаются интегралами по некоторым поверхностям в физическом пространстве, а соответствующие сохраняющиеся токи являются бездивергентными поливекторами ранга больше единицы. По этой причине их принято называть высшими законами сохранения [68—72]. Хорошо известными примерами таких законов сохранения являются АДМ энергия в общей теории относительности [73], позволяющая определить полную энергию гравитационного поля Вселенной, а также цветные заряды в теории Янга-Миллса [74]. Подробное обсуждение высших законов сохранения содержится в работах [70; 75].

В настоящее время имеется несколько подходов к нахождению и построению высших законов сохранения. Наиболее популярный метод основан на построении тождественно сохраняющихся токов по теореме Нётер с последующим извлечением некоторого «суперпотенциала» [76; 77]. Однако в таком подходе нет общего теоретико-полевого критерия выбора подходящего тока: в каждой теории поля существует бесконечно много токов, которые можно выразить как дивергенцию суперпотенциала на уравнениях движения. Более

строгий и последовательный подход опирается на гамильтоновские методы. В этом подходе высшие законы сохранения возникают, как вклады поверхностных членов в гамильтоновы генераторы симметрии [78; 79]. Основной недостаток гамильтонова подхода жится в самой его сути - уравнения поля могут не допускать канонической формулировки. Альтернативный метод построения асимптотических законов сохранения, основанный только на знании уравнений движения, был предложен в работе [80].

В данной диссертации исследование высших законов сохранения проводится в формализм вариационного трикомплекса [26] и [72]. В этом формализме высшие законы сохранения соответствуют обычным глобальным симметриям, но в высших гостовских числах. В данных работах исследовался вопрос о глобальных симметриях, законах сохранения и их алгебре относительно заданной предсимплектической структуры. Анализ теории Черна-Саймонса, максвеллов-ской электродинамики и линеаризованной гравитации показал, что во всех перечисленных случаях алгебра Ли высших законов сохранения оказывается абелевой (с точностью до возможного центрального расширения). Этот результат, однако, несколько противоречит физической интуиции: ожидается, что в неабелевой калибровочной теории алгебра высших калибровочных симметрий должна быть также неабелевой. Этот парадокс разрешается в данной диссертации. Показывается, что истинная алгебраическая структура, лежащая в основе высших законов сохранения, является структурой алгебры Лейбница. В некоторых случаях данная структура вырождается до алгебры Ли.

Цели и задачи исследования. Целями диссертации являются построение деформационного квантования калибровочных систем на предсимплекти-ческих и контактных многообразиях, а также анализ алгебраических структур высших симметрий и законов сохранения.

Для достижения поставленных целей были сформулированы следующие задачи:

1. обобщение процедуры деформационного квантования Федосова на предсимплектические многообразия общего вида. Исследование вопроса о квантовых аномалиях и нахождение критериев отсутствия ведущих аномалий;

2. применение развитой процедуры деформационного квантования к случаю контактных многообразий, а также нахождение явных рекуррентных выражений для вейлевского и виковского ^-произведения;

3. нахождение явных выражений для ведущих квантовых аномалий и их геометрическая интепретация;

4. исследование симметрий и законов сохранения в лагранжевых калибровочных моделях на основе вариационного трикомплекса с канонической предсимплектической структурой;

5. введение и исследование структур алгебр Ли и Лейбница для высших законов сохранения в моделях Янга-Миллса, эйнштейновской и унимо-дулярной гравитации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. Так, например, впервые разработана процедура деформационного квантования модифицированным методом Федосова на оснащенных предсимплектических многообразиях. В частности, введен класс предсимплектических многообразий, названных специальными, для которых разработанный алгоритм квантования не встречает препятствий. Сформулирован когомологический критерий квантуемости предсимплектических многообразий. Впервые разработана процедура деформационного квантования контактных многообразий, включая квантование вейлевского и виковского типа. Получены явные выражения для квантовых аномалий в первом порядке по постоянной Планка, записанные через контактную связность и соответствующие кривизну и кручение. Были установлены необходимые условия квантуемости классических наблюдаемых, низшие порядки которых имеют геометрическую интерпретацию, связанную с замкнутыми траекториями векторного поля Риба £,. Получены явные выражения некоторых «характеристик» классических величин, обнуление которых является необходимым условием квантуемости (в низшем порядке) этой величины. Отдельно от квантования характеристики представляют интерес, как новый и неизвестный ранее в математическом класс инвариантов, характеризующий контактные многообразия.

Для калибровочных теорий поля с предсимплектической структурой доказан гомоморфизм алгебр Ли симметрий и законов сохранения в каждом порядке по гостовскому числу. Алгебра Ли асимптотических законов сохранения, получаемая из скобок Пуассона, как правило, тривиальна и не отражает алгебраической структуры теории. В данной работе с использованием скобок Лейбница получено адекватное описание алгебраической структуры калибровочных теорий поля. Алгебра Лейбница асимптотических законов сохранения

проиллюстрирована полями Янга-Миссла, эйнштейновской гравитации и уни-модулярной гравитации.

Теоретическая и практическая значимость. Настоящая работа вносит существенный вклад в понимание фундаментальных аспектов классической и квантовой динамики калибровочных систем. Теоретическая значимость результатов обусловлена тем, что разработанные методы деформационного квантования вскрывают связь между квантовыми аномалиями и глобальной геометрией фазового пространства калибровочной системы. Кроме того, предложенные в данной работе скобки Лейбница дают ковариантное описание алгебраической структуры асимптотических симметрий и законов сохранения в рамках строгого гамильтонова формализма. Приложение этих методов позволяет алгоритмически получать явные выражения для квантовых аномалий, асимптотических зарядов и их алгебр в широком классе калибровочных теорий, чем и определяется их практическая значимость.

Методология и методы исследования.

В первой части диссертации существенно используется метод деформационного квантования Федосова [53]. Для адаптации этого метода к специфике предсимплектических и контактных многообразий задействуется стандартный математический аппарат дифференциальной геометрии.

Анализа алгебраической структуры высших симметрий и законов сохранения проводится в формализме вариационного трикомплекса [26]. В основе предлагаемого подхода лежит идея разбиения классического БРСТ-дифферен-циала на свободную часть и взаимодействие, а также конструкция производных скобок Ли и Лейбница [81] на алгебре наблюдаемых.

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:

1. Процедура деформационного квантования оснащенных предсимплек-тических многообразий. Связь препятствий к квантованию с когомоло-гиями дифференциального идеала, порожденного оснащением.

2. Определение и конструкция деформационного квантования контактных и контактно-метрических многообразий.

3. Явные выражения и геометрическая интерпретация квантовых аномалий в ведущем порядке по постоянной Планка.

4. Конструкция алгебры Лейбница высших законов сохранения в классической теории поля.

5. Структура алгебры Лейбница законов сохранения для полей Янга-Миллса, эйнштейновской и унимодулярной гравитации.

Степень достоверности результатов исследования. Достоверность результатов обеспечивается их внутренней самосогласованностью и совпадением в частных случаях с уже известными результатами, а также применением надежно установленных методов теории поля и дифференциальной геометрии.

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции The XVII International Conference Symmetry Methods in Physics (г. Ереван, Армения, 2022 г.), международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2023» (г. Москва, 2023 г.), международной конференции The International Scientific Conference RDP School and Workshop on Mathematical Physics (RDP-MathPhys 23') (г. Ереван, Армения, 2023 г.), международной конференции The XXVII International Scientific Conference of Young Scientists and Specialists (AYSS-2023) (г. Дубна, 2023 г.), международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2024» (г. Москва, 2024 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 статьи в журналах, включённых в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 3 статьи в высокорейтинговых зарубежных журналах, входящих в Web of Science, 1 статья в российском научном журнале, переводная версия которого входит в Web of Science).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 120 наименований. Материал изложен на 115 страницах и включает 2 таблицы.

Первая глава является вводной. Здесь фиксируются обозначения, даются определения и напоминаются основные факты из геометрии предсимплекти-ческих, контактных и пуассоновых многообразий.

Вторая глава посвящена деформационному квантованию оснащённых предсимплектических многообразий. Глава начинается с обобщения метода квантования Федосова на оснащённые предсимплектические многообразия. Вводится класс специальных предсимплектических многообразий, для которого доказывается существование абелевой связности Федосова и квантового подъ-

ема. В частности, показывается, что любая классическая наблюдаемая на специальном предсимплектическом многообразии может быть всегда прокван-тована. В то же время, для предсимплектических многообразий общего вида определение абелевой связности Федосова наталкивается на когомологические препятствия. Последние отождествляются с некоторыми элементами третьей группы когомологий дифференциального идеала, порожденного 1-формами оснащения. Общая конструкция иллюстрируется примером квантования однородного пространства БЬ(2, К)/Г.

В третьей главе рассматривается вопрос о деформационном квантовании контактных многообразий. Показывается, что классы когомологий, препятствовавшие определению абелевой связности Федосова для предсим-плектических многообразий, в контактном случае тривиальны. С помощью адаптированной (контактной) связности получены явные рекуррентные выражения для плоской связности Федосова, выраженные через контактную связность и соответствующую кривизну. Рассматривается вопрос о квантовых наблюдаемых. Показывается, что подъем классической наблюдаемой на квантовый уровень эквивалентен разрешению определенной системы псевдодифференциальных уравнений. Получены явные выражения условий подъема в ведущем порядке по постоянной Планка. Исследуется вопрос об инвариантности псевдодифференциального оператора, контролирующего подъем величин на квантовый уровень, при замене связности. Доказывается, что при соответствующей замене псевдодифференциальный оператор в определенном смысле эквивалентен изначальному. Таким образом, условие подъема является некоторой глобально определенной величиной (аномалией), интерпретация которой обсуждается в разделе 3.1.4. Аналогичный анализ проводится для контактно-метрических многообразий. Отмечается, что для разных схем квантования (вейлевское для контактных многообразий и виковское для контактно-метрических) для аномалий в ведущем порядке характерна разная зависимость от постоянной Планка: линейная и квадратичная зависимость соответственно. Общая схема виковского квантования иллюстрируется на примере многообразий Сасаки. Показывается, что на многообразиях Сасаки каждая классическая наблюдаемая поднимается на квантовый уровень; более того, ^-произведение вырождается до обычного поточечного, это эквивалентно отсутствию квантовых поправок к классической наблюдаемой.

Четвертая глава посвящена предсимплектическим структурам в теории поля. Рассматривается вопрос об описании калибровочных теорий поля с помощью вариационного трикомплекса, включающего предсимплектическую структуру, естественно возникающую в лагранжевых теориях. Общая структура иллюстрируется на примерах теорий скалярного поля, спинорного поля, безмассового векторного поля, а также модели общей теории относительности без материи в тетрадном формализме. В рамках формализма вариационного трикомплекса исследуется вопрос о симметриях, законах сохранения и их классификации. Показывается, что в калибровочной системе гамильто-нова симметрия порождает цепочку законов сохранения. Доказывается, что отображение из пространства симметрий на массовой оболочке в пространство гамильтоновых форм является гомоморфизмом. Анализ иллюстрируется на примере теории Черна-Саймонса. Исследуется вопрос о структуре алгебры Лейбница в калибровочных теориях общего вида. Показывается, что производные скобки задаёт отображение из категории дифференциально-градуированных алгебр Ли в категорию градуированных алгебр Лейбница. Получены явные выражения для произведения Лейбница в терминах скобок Пуассона и гамильтониана, отвечающего симметрии кубического взаимодействия. Структура алгебры Лейбница иллюстрируется на примерах полей Янга-Миллса, эйнштейновской гравитации и унимодулярной гравитации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елфимов Борис Максимович, 2025 год

Список литературы

1. Abers E. S. Gauge Theories / E. S. Abers, B. W. Lee // Phys. Rept. — 1973. — Vol. 9. — P. 1—141. — DOI: 10.1016/0370-1573(73)90027-6.

2. Faddeev L. Gauge Fields: An Introduction To Quantum Theory, Second Edition / L. Faddeev, A. Slavnov. — Avalon Publishing, 1993. — 236 p.

3. 't Hooft G. Regularization and renormalization of gauge fields / G. 't Hooft, M. Veltman // Nuclear Physics B. — 1972. — Vol. 44, № 1. — P. 189— 213. — DOI: 10.1016/0550-3213(72)90279-9.

4. Adler S. L. Axial-Vector Vertex in Spinor Electrodynamics / S. L. Adler // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 177, is. 5. — P. 2426—2438. — D0I:10.1103/PhysRev. 177.2426.

5. Bell J. S. A PCAC puzzle: n ^ yy in the o-model / J. S. Bell, R. Jackiw // Il Nuovo Cimento A. — 1969. — Vol. 60, № 1. — P. 47—61. — D0I:10.1007/BF02823296.

6. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization / J. Schwinger // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 82, is. 5. — P. 664—679. — DOI :10.1103/PhysRev. 82.664.

7. Witten E. An SU(2) anomaly / E. Witten // Physics Letters B. — 1982. — Vol. 117. — P. 324—328.

8. Witten E. Global gravitational anomalies / E. Witten // Communications in Mathematical Physics. — 1985. — Vol. 100. — P. 197—229.

9. Green M. B. Superstring Theory / M. B. Green, J. H. Schwarz, E. Witten. — Cambridge University Press, 1988. — 484 p.

10. Brink L. Principles of String Theory / L. Brink, M. Henneaux. — Plenum Press, New York, 1988. — 312 p.

11. Virasoro M. A. Subsidiary Conditions and Ghosts in Dual-Resonance Models/ M. A. Virasoro // Phys. Rev. D. — 1970. — Vol. 1, is. 10. — P. 2933—2936. — DOI:10.1103/PhysRevD.1.2933.

12. Michael B. G. Anomaly cancellations in supersymmetric D=10 gauge theory and superstring theory / B. G. Michael, J. H. Schwarz // Physics Letters B. — 1984.— Vol. 149. — P. 117—122.

13. Epstein H. The Role of locality in perturbation theory / H. Epstein, V. Glaser // Ann. Inst. H. Poincare A Phys. Theor. — 1973. — Vol. 19. — P. 211— 295.

14. Shifman M. A. Anomalies in gauge theories / M. A. Shifman // Physics Reports. — 1991. — Vol. 209, № 6. — P. 341—378. — DOI:10.1016/03701573(91)90020-M.

15. Nielsen H. The Adler-Bell-Jackiw anomaly and Weyl fermions in a crystal / H. Nielsen, M. Ninomiya // Physics Letters B. — 1983. — Vol. 130, № 6. — P. 389—396. — DOI: 10.1016/0370-2693(83)91529-0.

16. Nielsen H. B. Intuitive understanding of anomalies a paradox with regularization / H. B. Nielsen, M. Ninomiya // International Journal of Modern Physics A. — 1991. — Vol. 06, № 16. — P. 2913—2935. — DOI:10.1142/S0217751X91001441.

17. Bardeen W. A. Consistent and covariant anomalies in gauge and gravitational theories / W. A. Bardeen, B. Zumino // Nuclear Physics B. — 1984. — Vol. 244, № 2. — P. 421—453. — DOI: 10.1016/0550-3213(84)90322-5.

18. Nelson P. C. Hamiltonian Interpretation of Anomalies / P. C. Nelson, L. Alvarez Gaume // Commun. Math. Phys. — 1985. — Vol. 99. — P. 103—114. — DOI: 10.1007/BF01466595.

19. Bertlmann R. A. Anomalies in quantum field theory / R. A. Bertlmann. — Oxford University Press, Oxford, UK, 1996. — 566 p.

20. Herczeg G. Contact geometry and quantum mechanics / G. Herczeg, A. Waldron // Physics Letters B. — 2018. — Vol. 781. — P. 312—315. — DOI: 10.1016/j.physletb.2018.04.008.

21. Akbulut S. A note on contact structures / S. Akbulut, R. Matveyev // Pacific J. Math. — 1998. — Vol. 182. — P. 201—204. — DOI:10.2140/pjm.1998.182.201.

22. Casals R. Dynamical quantization of contact structures / R. Casals, G. Herczeg, A. Waldron // Adv. Theor. Math. Phys. — 2023. — Vol. 27, № 3. — P. 881— 959. — DOI: 10.4310/ATMP.2023.v27.n3.a7.

23. Lyakhovich S. BRST theory without Hamiltonian and Lagrangian / S. Lyakhovich, A. Sharapov // Journal of High Energy Physics. - 2005. - № 03. -Article number 011. - 23 p. - URL: http://dx.doi.org/10.1088/1126-6708/2005/03/011 (access date: 21.03.2005).

24. Crnkovic C. Covariant description of canonical formalism in geometrical theories / C. Crnkovic, E. Witten // Three hundred years of gravitation. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987. — P. 676—684.

25. Yau S.-T. Mathematical Aspects of String Theory / S.-T. Yau. — World Scientific, 1987. — 672 p. — DOI: 10.1142/0383.

26. Sharapov A. A. Variational tricomplex of a local gauge system, Lagrange structure and weak Poisson bracket / A. A. Sharapov // International Journal of Modern Physics A. — 2015. — Vol. 30, № 25. — Article number 1550152. — 34 p. — URL: http://dx.doi.org/10.1142/S0217751X15501523 (access date: 18.09.2025).

27. Bridges T. J. Multisymplectic structures and the variational bicomplex / T. J. Bridges, P. E. Hydon, J. K. Lawson // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2010. — Vol. 148, № 1. — P. 159—178. — DOI: 10.1017/S0305004109990259.

28. Zuckerman G. J. Action principles and global geometry / G. J. Zuckerman // Adv. Ser. Math. Phys. — 1987. — C. 259—284.

29. Khavkine I. M. Covariant phase space, constraints, gauge and the Peierls formula / I. M. Khavkine // International Journal of Modern Physics A. — 2014. — Vol. 29. — Article number 1430009. — 74 p. - URL: https://doi.org/10.1142/S0217751X14300099 (access date: 07.02.2025).

30. Paul A. Generalized Hamiltonian dynamics / A. Paul // Canadian Journal of Mathematics. — 1950. — Vol. 2. — P. 129—148.

31. The Hamiltonian of the General Theory of Relativity with Electromagnetic Field / P. G. Bergmann [et al.] // Phys. Rev. — 1950. — Vol. 80, is. 1. — P. 81—88. — DOI: 10.1103/PhysRev. 80.81.

32. Gitman D. Quantization of Fields with Constraints / D. Gitman, I. Tyutin. — Springer-Verlag, Berlin, 1990. — 294 p.

33. Henneaux M. Quantization of Gauge Systems / M. Henneaux, C. Teitelboim. — Princeton U.P., NJ, 1992. — 520 p.

34. Becchi C. M. Renormalization of gauge theories / C. M. Becchi, A. Rouet, R. F. Stora // Annals of Physics. — 1976. — Vol. 98. — P. 287—321.

35. Tyutin I. V. Gauge invariance in field theory and statistical physics in operator formalism / I. V. Tyutin // Preprint of Lebedev Institute. — 1975. — 22 p.

36. Fradkin E. Quantization of relativistic systems with constraints / E. Fradkin, G. Vilkovisky // Physics Letters B. — 1975. — Vol. 55. — P. 224—226.

37. Batalin I. A. Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints / I. A. Batalin, G. A. Vilkovisky // Physics Letters B. — 1977. — Vol. 69, № 3. — P. 309—312.

38. Batalin I. A. Operator quantization and abelization of dynamical systems subject to first-class constraints / I. A. Batalin, E. S. Fradkin // La Rivista del Nuovo Cimento (1978-1999). — 1986. — Vol. 9, is. 10. — P. 1—48. — URL: https://doi.org/10.1007/BF02729827 (access date: 25.10.2007).

39. Batalin I. A. Gauge Algebra and Quantization / I. A. Batalin, G. A. Vilkovisky // Physics Letters B. — 1981. — Vol. 102. — P. 27—31.

40. Batalin I. A. Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators / I. A. Batalin, G. A. Vilkovisky // Physical Review D. — 1983. — Vol. 28. — P. 2567—2582.

41. Batalin I. A. Existence theorem for gauge algebra / I. A. Batalin, G. Vilkovisky // Journal of Mathematical Physics. — 1985. — Vol. 26. — P. 172—184.

42. Kostant B. Quantization and unitary representations / B. Kostant // Lectures in Modern Analysis and Applications III / ed. by C. T. Taam. — Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1970. — P. 87—208.

43. Souriau J. Structure des systèmes dynamiques: maitrises de mathématiques / J. Souriau. — Dunod, 1970. — 414 p.

44. Woodhouse N. Geometric Quantization / N. Woodhouse. — Clarendon Press, 1992. — 307 p.

45. Berezin F. A. General concept of quantization / F. A. Berezin // Commun. Math. Phys. — 1975. — Vol. 40. — P. 153—174.

46. Berezin F. A. Quantization in complex symmetric spaces / F. A. Berezin // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — 1975. — Vol. 39, № 2. — P. 363—402.

47. Cahen M. Quantizaton of Kahler manifolds, II / M. Cahen, S. Gutt, J. Rawns- ley // Trans. Am. Math. Soc. — 1993. — Vol. 337. — P. 73—98.

48. Deformation theory and quantization. I Deformations of symplectic structures / F. Bayen [et al.] // Annals of Physics. — 1978. — Vol. 111. — P. 61—110.

49. Deformation theory and quantization. II Physical Applications / F. Bayen [et al.] // Annals of Physics. — 1978. — Vol. 110. — P. 111—151.

50. De Wilde M. Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds / M. De Wilde, P. B. A. Lecomte // Letters in Mathematical Physics. — 1983. — Vol. 7. — P. 487—496.

51. Karasëv M. V. Pseudodifferential operators and the canonical operator on general symplectic manifolds / M. V. Karasëv, V. P. Maslov // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — 1983. — Vol. 47, № 5. — P. 999—1029.

52. Fedosov B. V. A simple geometrical construction of deformation quantization / B. V. Fedosov // Journal of Differential Geometry. — 1994. — Vol. 40, № 2. — P. 213—238. — DOI: 10.4310/jdg/1214455536.

53. Fedosov B. V. Deformation Quantization and Index Theory. Vol. 9 / B. V. Fedosov. — Akademie-Verl., 1996. — 325 p.

54. Kontsevich M. Deformation Quantization of Poisson Manifolds / M. Kontsevich // Letters in Mathematical Physics. — 2003. — Vol. 66, № 3. —P. 157—216. — DOI: 10.1023/b:math.0000027508.00421.bf.

55. Dolgushev V. Wick type deformation quantization of Fedosov manifolds / V. Dolgushev, S. Lyakhovich, A. Sharapov // Nuclear Physics B. — 2001. — Vol. 606, № 3. — P. 647—672. — D0I:10.1016/s05503213(01)00241-3.

56. Dolgushev V. Wick quantisation of a symplectic manifold / V. Dolgushev, S. Lyakhovich, A. Sharapov // Nuclear Physics B - Proceedings Supple- ments. — 2001. — Vol. 102/103. — P. 144—149. — D0I:10.1016/s0920-5632(01)01549-3.

57. Lyakhovich S. L. Kahler polarixation and wick quantization of Hamiltonian systems to second class constraints / S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov // Modern Physics Letters A. — 2002. — Vol. 17, № 02. — P. 121—129. — DOI: 10.1142/s0217732302006230.

58. Gorbunov I. Wick quantization of cotangent bundles over Riemannian manifolds / I. Gorbunov, S. Lyakhovich, A. Sharapov // Journal of Geometry and Physics. — 2005. — Vol. 53, № 1. — P. 98—121. — D0I:10.1016/j.geomphys.2004.06.003.

59. Bordemann M. A Fedosov Star Product of the Wick Type for Kähler Manifolds / M. Bordemann, S. Waldmann // Letters in Mathematical Physics. — 1997. — Vol. 41. — P. 243—253. — DOI: 10.1023/A:1007355511401.

60. Bordemann M. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles I: Weyl and Standard Ordering with Differential Operator Representation / M. Bordemann, N. Neumaier, S. Waldmann // Commun. Math. Phys. — 1998. — Vol. 198. — P. 363—396.

61. Bordemann M. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications / M. Bordemann, N. Neumaier, S. Waldmann // J. Geom. Phys. — 1999. — Vol. 29. —P. 199—234.

62. Cattaneo A. A path integral approach to the Kontsevich quantization formula / A. Cattaneo, G. Felder // Commun. Math. Phys. — 2000. — Vol. 212. — P. 591— 611.

63. On the Fedosov deformation quantization beyond the regular Poisson manifolds / V. Dolgushev [et al.] // Nuclear Physics B. — 2002. — Vol. 645, № 3. — P. 457—476. — DOI: 10.1016/s0550-3213(02)00763-0.

64. Grigoriev M. Fedosov Deformation Quantization as a BRST Theory / M. Grigoriev, S. Lyakhovich // Commun. Math. Phys. — 2001. — Vol. 218. — P. 437—457.

65. Баталин И. А. *-произведение для систем со связями второго рода из БРСТ-теории / И. А. Баталин, М. А. Григорьев, С. Ляхович // ТМФ. — 2001. — С. 1109—1139.

66. Vaisman I. Fedosov quantization on symplectic ringed spaces / I. Vaisman // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Vol. 43, № 1. —P. 283—298. — DOI: 10.1063/1.1427411.

67. Schwarzbach B. The Noether Theorems: Invariance and Conservation Laws in the Twentieth Century / B. Schwarzbach, Y. Kosmann-Schwarzbach. — Springer New York, 2010. — 205 p.

68. Tsujishita T. Homological method of computing invariants of systems of differential equations / T. Tsujishita // Differential Geometry and its Applications. — 1991. — Vol. 1, № 1. — P. 3—34.

69. Bryant R. L. Characteristic Cohomology of Differential Systems (I): General Theory / R. L. Bryant, P. A. Griffiths // Journal of the American Mathematical Society. — 1995. — Vol. 8, № 3. — P. 507—596.

70. Anderson I. Introduction to the Variational Bicomplex / I. Anderson // Contemp. Math. — 1992. — Vol. 132. — P. 51—73.

71. Barnich G. Local BRST cohomology in gauge theories / G. Barnich, F. Brandt, M. Henneaux // Physics Reports. — 2000. — Vol. 338, № 5. — 150 p. — URL: https://doi.org/10.1016/S0370-1573%2800%2900049-1 (access date: 18.10.2000).

72. Sharapov A. A. Variational Tricomplex, Global Symmetries and Conservation Laws of Gauge Systems / A. A. Sharapov // Symmetry, Integrability and

Geometry: Methods and Applications. — 2016. — Vol. 12 — Article number 098. — 24 p. — URL: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2016.098 (access date: 03.10.2016).

73. Arnowitt R. Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity / R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner // Phys. Rev. — 1959. — Vol. 116, is. 5. — P. 1322—1330. — DOI: 10.1103/PhysRev.116.1322.

74. Yang C. N. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance / C. N. Yang, R. L. Mills // Phys.Rev. — 1954. — Vol. 96, is. 1. — P. 191—195. — DOI: 10.1103/PhysRev.96.191.

75. Torre C. G. Local cohomology in field theory (with applications to the Einstein equations) / C. G. Torre // 2nd Mexican School on Gravitation and Mathematical Physics. — 1997. — 38 p. — URL: https://doi.org/10.48550/arXiv.hep-th/9706092 (access data: 12.06.1997).

76. Held A. General Relativity and Gravitation: One Hundred Years After the Birth of Albert Einstein / A. Held. — Springer US, 1980. — 590 p.

77. Iyer V. Some properties of the Noether charge and a proposal for dynamical black hole entropy / V. Iyer, R. M. Wald // Phys. Rev. D. — 1994. — Vol. 50, is. 2. — P. 846—864. — DOI: 10.1103/PhysRevD.50.846.

78. Regge T. Role of surface integrals in the Hamiltonian formulation of general relativity / T. Regge, C. Teitelboim // Ann. Phys. (N.Y.) — 1974. — Vol. 88, № 1. — P. 286—318. — DOI: 10.1016/0003-4916(74)90404-7.

79. Benguria R. Aspects of the Hamiltonian dynamics of interacting gravitational gauge and Higgs fields with applications to spherical symmetry / R. Benguria, P. Cordero, C. Teitelboim // Nuclear Physics B. — 1977. — Vol. 122, № 1. — P. 61—99. — DOI: 10.1016/0550-3213(77)90426-6.

80. Anderson I. M. Asymptotic Conservation Laws in Classical Field Theory / I. M. Anderson, C. G. Torre // Physical Review Letters. — 1996. — Vol. 77, № 20. — P. 4109—4113. — DOI: 10.1103/physrevlett.77.4109.

81. Kosmann-Schwarzbach Y. Derived Brackets / Y. Kosmann-Schwarzbach // Letters in Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 69, № 1—3. — P. 61—87. — DOI: 10.1007/s11005-004-0608-8.

82. Souriau J. Structure of Dynamical Systems: A Symplectic View of Physics / J. Souriau. — Birkhäuser Boston, 2012. — 406 p.

83. Mangiarotti L. Gauge Mechanics / L. Mangiarotti, G. Sardanashvily. — World Scientific Publishing Company, 1998. — 368 p.

84. Arnold V. Singularities of Differentiable Maps: Volume I: The Classification of Critical Points Caustics and Wave Fronts / V. Arnold, A. Varchenko, S. Gusein-Zade. — Birkhäuser Boston, 2012. — 282 p.

85. Kirillov A. A. Local Lie algebras / A. A. Kirillov // Russian Math. Surveys. — 1976. — Vol. 31, № 4. — P. 55—75.

86. Martinet J. Formes de Contact sur les Variétés de Dimension 3 / J. Martinet // Springer Berlin Heidelberg / ed. by C. T. C. Wall. — Berlin, Heidelberg, 1971.

— P. 142—163.

87. Blair D. Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds / D. Blair.

— Birkhäuser Boston, MA, 2010. — 343 p. — DOI:10.1007/978-081764959-3.

88. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure I / S. Sasaki // Tohoku Mathematical Journal.

— 1960. — Vol. 12. — P. 459—476.

89. Tanno S. Variational problems on contact Riemannian manifolds / S. Tanno // Transactions of the American Mathematical society. — 1989. — Vol. 314, № 1.

— P. 349—379.

90. Sasaki S. On differentiable manifolds with contact metric structures / S. Sasaki, Y. Hatakeyama // Journal of The Mathematical Society of Japan. — 1962. — Vol. 14. — P. 249—271.

91. Gotay M. J. On the quantization of presymplectic dynamical systems via coisotropic imbeddings / M. J. Gotay // Communications in Mathematical Physics. — 1981. — Vol. 82. — P. 377—389.

92. Vaisman I. Geometric quantization on presymplectic manifolds / I. Vaisman // Monatshefte fur Mathematik. — 1983. — Vol. 96. — P. 293—310.

93. Agaoka Y. On a generalization of Cartan's lemma / Y. Agaoka // J. Algebra. — 1989. — Vol. 127, № 2. — P. 470—507. — DOI:10.1016/0021893(89)90265-2.

94. Gorev N. D. Deformation quantization of framed presymplectic manifolds / N. D. Gorev, B. M. Elfimov, A. A. Sharapov // Theoretical and Mathematical Physics.

— 2020. - Vol. 204, № 2. - P. 1079-1092. - DOI: 10.1134/S0040577920080085.

95. Tondeur P. Geometry of Foliations / P. Tondeur. — Birkhäuser Basel, 2012. — 310 p.

96. Elfimov B. M. Deformation quantization of contact manifolds / B. M. Elfimov, A. A. Sharapov // Letters in Mathematical Physics. — 2022. — Vol. 112, № 6. — 18 p. — URL: https://doi.org/10.1007/s11005-022-01621-3 (access date: 08.12.2022).

97. Bordemann M. BRST Cohomology and Phase Space Reduction in Deformation Quantization / M. Bordemann, H.-C. Herbig, S. Waldmann // Communications in Mathematical Physics. — 2000. — Vol. 210, № 1. — P. 107—144. — DOI: 10.1007/s002200050774.

98. Kontsevich M. Vassiliev's Knot Invariants / M. Kontsevich // Adv. Soviet Math.

— 1993. — Vol. 16. — P. 137—150.

99. Blair D. E. Riemanian geometry of contact and symplectic manifolds / D. E. Blair. — Birkhauser, 2002. — 343 p.

100. Lichnerowicz A. Geomerie differentielle des varietes de contact / A. Lichnerowicz // J. Math. Pures et Appl. — 1982. — Vol. 61, № 4. — P. 345— 380.

101. Karabegov A. V. Almost-Kähler deformation quantization / A. V. Karabegov, M. Schlichenmaier // Letters in Mathematical Physics. — 2001. — Vol. 57.

— P. 135—148.

102. La Fuente-Gravy L. Infinite dimensional moment map geometry and closed Fedosov's star products / L. La Fuente-Gravy // Annals of Global Analysis and Geometry. — 2016. — Vol. 49, № 1. — 22 p. — URL: https://doi.org/10.1007/s10455-015-9477-x (access date: 21.09.2015).

103. Moreno C. *-products on some Kahler manifolds / C. Moreno // Lett. Math. Phys. — 1986. — Vol. 11. — P. 361—369.

104. Stadtmuller C. Adapted connections on metric contact manifolds / C. Stadtmuller // Journal of Geometry and Physics. — 2012. — Vol. 62, № 11. — P. 2170— 2187. — DOI: 10.1016/j.geomphys.2012.06.010.

105. Elfimov B. M. Wick-type deformation quantization of contact metric manifolds / B. M. Elfimov, A. A. Sharapov // Letters in Mathematical Physics. — 2024. — Vol. 114, № 2. — Article number 37. — 20 p. — URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11005-024-01787-y (access date: 23.11.2022). — DOI: 10.1007/s11005-024-01787-y.

106. Dickey L. A. Soliton Equations and Hamiltonian Systems / L. A. Dickey. — 2nd. — World Scientific, 2003. — 408 p. — DOI: 10.1142/5108.

107. Barnich G. Isomorphisms between the Batalin-Vilkovisky antibracket and the Poisson bracket / G. Barnich, M. Henneaux // J. Math. Phys. — 1996. — Vol. 37, № 11. — P. 5273—5296. — DOI: 10.1063/1.531726.

108. Brown J. D. Central Charges in the Canonical Realization of Asymptotic Symmetries: An Example from Three-Dimensional Gravity / J. D. Brown, M. Henneaux // Commun. Math. Phys. — 1986. — Vol. 104. — P. 207—226. —

DOI: 10.1007/BF01211590.

109. Barnich G. Covariant theory of asymptotic symmetries, conservation laws and central charges / G. Barnich, F. Brandt // Nuclear Physics B. — 2002. — Vol. 633, № 1/2. — P. 3—82. — DOI: 10.1016/s0550-3213(02)00251-1.

110. Elfimov B. M. Lie and Leibniz algebras of lower-degree conservation laws / B. M. Elfimov, A. A. Sharapov // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2022. —Vol. 55, № 6. - Article number 065201. — 28 p. — URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/ac477d (access date: 21.12.2021). — DOI: 10.1088/1751-8121/ac477d.

111. Sharapov A. A. On presymplectic structures for massless higher-spin fields / A. A. Sharapov // The European Physical Journal C. — 2016. — Vol. 76. — P. 305. — DOI: 10.1140/epjc/s10052-016-4145-2.

112. Khavkine I. Presymplectic current and the inverse problem of the calculus of variations / I. Khavkine // Journal of Mathematical Physics. — 2013. — Vol. 54, № 11. — Article number 111502. — 17 p. — URL: https://doi.org/10.1063/L4828666 (access data: 11.10.2013).

113. Alkalaev K. Frame-like Lagrangians and presymplectic AKSZ-type sigma models / K. Alkalaev, M. Grigoriev // International Journal of Modern Physics A. — 2014. — Vol. 29, № 18. — Article number 1450103. — 33 p.

— URL: https://doi.org/10.1142/S0217751X14501036 (access data: 21.09.2015).

114. Getzler E. Higher derived brackets / E. Getzler // arXiv preprint arXiv:1010.5859.

— 2010. — 6 p. — URL: https://arxiv.org/abs/1010.5859 (access date: 21.10.2010).

115. Lavau S. From Lie algebra crossed modules to tensor hierarchies / S. Lavau, J. Stasheff // Journal of Pure and Applied Algebra. — 2023. — Vol. 227, № 6. — Article number 107311. — 54 p. — URL: https://doi.org/10.1016/jjpaa.2022.107311 (access data: 11.06.2013).

116. Torre C. G. Spinors, jets, and the Einstein equations / C. G. Torre // Fields Inst. Commun. / ed. by S. P. Braham, J. D. Gegenberg, R. J. McKellar. — 2001. — Vol. 15. — P. 125—136.

117. Unruh W. G. Unimodular theory of canonical quantum gravity / W. G. Un- ruh // Phys. Rev. D. — 1989. — Vol. 40, is. 4. — P. 1048—1052. — DOI: 10.1103/PhysRevD.40.1048.

118. Henneaux M. The cosmological constant and general covariance / M. Henneaux, C. Teitelboim // Physics Letters B. — 1989. — Vol. 222. — P. 195—199.

119. Percacci R. Unimodular quantum gravity and the cosmological constant / R. Percacci // Foundations of Physics. — 2018. — Vol. 48, № 10. — P. 1364— 1379. — DOI: 10.1007/s10701-018-0189-5.

120. Kaparulin D. S. Unfree gauge symmetry in the BV formalism / D. S. Ka-parulin, S. L. Lyakhovich // The European Physical Journal C. — 2019. — Vol. 79, № 8. — Article number 718. — 38 p. — URL: https://doi.org/10.! 140/epjc/s10052-019-7233-2.