Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Косиченко, Наталья Алексеевна

• Косиченко, Наталья Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Косиченко, Наталья Алексеевна

Введение

Глава 1. Предельный переход в системах с переменными малыми параметрами

§1. Вспомогательные утверждения

§2. Условие существования предельного перехода в случае сингулярно возмущенных систем (п+т)-го порядка с переменными малыми параметрами при производных в п уравнениях

§3. Условие существования предельного перехода в случае переменных малых параметров для линейных неоднородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядка

§ 4. Системы третьего и четвертого порядка с переменными малыми параметрами при старших производных в критических случаях

Глава 2. Применение теории оптимального управления для исследования предельного перехода в системах дифференциальных уравнений с малыми измеримыми параметрами при старших производных

§1. Вспомогательные утверждения

§2. Критерий существования предельного перехода в линейных системах с измеримыми малыми параметрами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами»

Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при старшей производной. Простейшим примером уравнения такого типа является

- уравнение движения тела малой массы ц в среде, обладающей сопротивлением, под действием силы Р(Т). а - коэффициент сопротивления.

Можно привести примеры и более сложных физических явлений, приводящих к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Такие задачи, например, естественным образом возникают там, где имеются неравномерные переходы от одних физических характеристик к другим.

Изучение явлений несколько иного рода, таких как разрывные колебания, также приводит к математической задаче, связанной с исследованием уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.

Вопрос о зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров возникает при решении ряда задач, встречающихся в теории автоматического регулирования.

В ряде работ показано, что аппарат теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной может быть с успехом использован при исследовании гироскопических систем.

В [24] показано, что системами типа где ¡1 - малый параметр, х и у - векторы размерности пит соответственно, может быть описано движение оперенной ракеты с малым моментом р,у = -осу + Р(1:)

1) инерции, а также движение ракеты, у которой отношение экваториального момента инерции к аэродинамическому восстанавливающему моменту мало.

Системами типа (1) описываются процессы, изучаемые в других дисциплинах. Они встречаются и в экономике, и в математической теории популяций, и в других областях исследований, использующих дифференциальные уравнения (см.,например, [14]).

При расчете различных систем дифференциальных уравнений с малым параметром довольно часто пренебрегают влиянием последних и в качестве приближенного решения берут решение системы, в которой параметры полагают равными нулю. Такая система обычно проще полной и часто может быть проинтегрирована, в то время как полная система не интегрируется.

Возникает вопрос, в какой мере это действие законно?

Известно (см., например, [25]), что в случае непрерывной зависимости правых частей системы обыкновенных дифференциальных уравнений х = Р(хЛ|и) от параметра ц решение полной системы уравнений может быть со сколь угодно высокой точностью представлено решением упрощенной системы уравнений х = Р(М,0), если параметр ц достаточно мал. Этот вид зависимости решения дифференциального уравнения от параметра хорошо изучен. Поставленная задача исследована также и для некоторого ряда дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных.

Одной из первых работ в этом направлении, согласно Тихонову А.Н. (см. [32]), была работа Чень - Юй - И (Уи-^у-ТзЬеп). В работе рассматривалось линейное уравнение с переменными коэффициентами сГу <Г"'у ^(О^ + Ь.^+ . + Ъ у = 0. ' ёГ 1 (К"-1 п

Было доказано, что решения у^) этого уравнения, определяемые условиями ку(0) к

Уо' сходятся при условии, что

НШ|1,(0 = 0,

1—>0О к решению вырожденного уравнения (то есть полученного из данного при ¡1,(^ = 0), если Ь>1(1:)>0 .

В работе Тихонова А.Н. [32] было рассмотрено нелинейное дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной

Гу Ц

Л" ёу сГ'уЛ v п-1 у с начальными условиями

У(0) по у4, к = 0, п-1, для которого были даны ответы на следующие вопросы:

1. Будет ли решение полной системы вместе с производными с11к до (п-1)-го порядка при ц->0 стремиться к решению и его производным вырожденного уравнения?

2. К какому решению вырожденного уравнения будут стремиться у(к)(1:,ц), если вырожденная система распадается на несколько нормальных уравнении: сГ'у

11 п-1 т 1 сИуЛ

Г2 где ф, п-2-\

ЪУ,-, у сГ"

- корни уравнения

Р(г,у,у',.,ф) = о ?

3. Будет ли такой предел устойчив при малых изменениях у^к), к = 0,п -1)?

Здесь же указано на то, что приведенный для данного уравнения результат не изменится, если вместо параметра ц, —» 0 ввести последовательность функций щ (Ч) 0, но строгого утверждения на этот счет не приводится.

Все дальнейшие работы, относящиеся к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям, за исключением [27] (на ней мы остановимся ниже), изучают вопросы связи исходного и вырожденного дифференциального уравнения при постоянном малом параметре при старшей производной. В то же время мы видим, что в реальных физических системах малый параметр, являющийся конкретной физической величиной, обязательно будет как-то меняться с течением времени. К примеру, в уравнении, описыв'ающем движение вязкой жидкости, вязкость, играющая роль малого параметра, зависит, вообще говоря, от давления и температуры окружающего воздуха, а они, очевидно, не могут быть постоянными. Спрашивается, имеем ли мы право пренебрегать этим?

Цель диссертации состоит в том, чтобы выяснить, влияет ли зависимость малого параметра от переменной дифференцирования на близость решений реальной и вырожденной систем, и, если такое влияние будет установлено, найти его количественные характеристики.

Научная новизна работы состоит в исследовании ряда сингулярно возмущенных задач с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования.

Введем обозначения, необходимые для формулировки результатов.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с!х ц, ц2 (0,.,ЦП (0)— = БСх, у, 1) (2) ш где х, Б- п-мерные вектор-функции, y,f- ш-мерные вектор-функции. Пусть i(t) = (n1(t),n2(t),.,nn(t)).

Через Мйо обозначим множество

О < к;|и.0 < (ij(t) < k*(i0 для всех достаточно малых ц0 е R+|, а через М - множество

М = {ц'(0: n'(t) е C°[t0,T°];Vi,i = ¡Язк^к; е R+| 0 < к; < щ (t) < к*}, где м-" Ct) =—м-Ct) i^o

Пусть х°- какой-либо фиксированный вектор-столбец n-го порядка, у0 -ш-го порядка. Через х (t), yfl(t) обозначим решение системы (2), удовлетворяющее при (i(t)e М начальным условиям x(l(t0) = x°, y,(t0) = y°. (3)

Через x(t), y(t) обозначим решение вырожденной задачи

О = F(x,y,t) dy dt f(x,y,t), y(t0) = y°>

4) соответствующей задаче (2), (3).

Определение 1. Если VS, 0 < 5 < Т° - t0, limSupx (t)-x(t) t'r.^0 м limSuply (t)-y(O M

C[t„ + 5,T°] 0. 0. с t,„T" то будем говорить, что на (10,Т°] имеет место предельный переход равномерно по классу М от решения задачи (2), (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи (4).

Определение 2. Главным диагональным минором к-го порядка в обозначении М''': 'к матрицы А п-го порядка, где 1<к<п, называется определитель матрицы к-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием всех строк и столбцов, номера которых отличны от 1,Д2,.,1к.

В первой главе доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Если

1. Р(х,у,1)=А(1,у)х+Ь(1,у), где А(1:,у) - невырожденная квадратная матрица размерности пхп; Ь(Ч,у) - п-мерная вектор-функция.

2. А(1:,у), Ь(1:,у), ^х,уД) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка включительно в некоторой ограниченной замкнутой области О, (1) е С1 [о, Т° ], 1 = 1, п.

3. Точки (Ач(у^)Ь(у, I); у; 1) е в при (у, 1:) е Б с: в, система ау имеет единственное решение у(Ч) на [0,Т°], причем (у(Ч),1;)еВ при

4. \/(а,,а2,.,ап), 0 < к; < а; < к( , [ = 1,п, е [о,Т°] спектр матрицы сНа^ссь а2,., ап)А(у(0, О лежит в левой полуплоскости (Ке^((1,а,,а2,.,ап)< 0), то \/8,0 < 5 < Т° найдутся постоянные р.0 > 0, с5 > 0 и с>0, не зависящие от функций (I), \12 (I), рп (Ч), такие, что при 0 < р0 < х

ХО-ЭД!

С 5,Т" с5р о ' уи(0-у(0 со,ти то есть на (0,Т ] имеет место предельный переход равномерно по классу М от решения задачи (2), (3) к решению соответствующей ей вырожденной задачи

4).

Доказательство теоремы приведено в §2 главы 1.

Очевидно, если имеет место предельный переход равномерно по классу М, то имеет место предельный переход и в традиционном смысле.

Таким образом, теорема 1 обобщает и развивает утверждение, высказанное А.Н. Тихоновым в [32], но не доказанное им в случае, если вместо параметра ц рассматривать последовательность функций щОО, стремящуюся к нулю.

В связи с требованием 3 теоремы 1 возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять матрица А(у(Ч),1:), чтобы это требование обеспечивалось. Ответом на этот вопрос при п<3 могут служить теоремы 2 и 3, приведенные в §3 первой главы.

Теорема 2. Для того чтобы спектр матрицы где А(Ч) - квадратная матрица второго порядка, оставался в левой полуплоскости (КеХД^ц!^),}!*(Ч))<о) при Хт'ц*^) е[ = 1,2, > 1:0 при условии, что при Х/С^о в левой полуплоскости лежит спектр матрицы А(Ч), необходимо и достаточно, чтобы для \Л > 10 выполнялись следующие условия: аи(0<0, а22(0<0, £а„(1)<0. 1

Теорема 3. Для того чтобы спектр матрицы

•Ша^ОЛО, Ц 2(0, Ц 3(0)А(0, где А(Т) - квадратная матрица третьего порядка, оставался в левой полуплоскости < о) при \/ц*(1) е 1Г, \ = 1,3, VI > при условии, что при в левой полуплоскости лежит спектр матрицы

А(Ч), необходимо и достаточно, чтобы для > 1; 0 выполнялись следующие условия:

1.Ми(0>03 ¡ = 1,2; ¡<]<3; ¿Ми(0>0; 1 ап(1)<0, 1 = 13, ¿а„(0<0; 1

2. аи0)М23(0 + а22(0М13(0 + а3з(0М12(1)-А(0 <

В каждом из приведенных примеров в случае, когда ц;(1:) = ц(1:), [ = 1,2 примеры 1, 2), 1 = 1,3 (примеры 3, 4), имеет место предельный переход в традиционном смысле.

Если же хотя бы два ^¡(О отличны друг от друга, то утвердительный ответ на вопрос, будет ли иметь место предельный переход в новом смысле, мы можем дать только для систем, рассмотренных в примерах 2, 4. Что же касается систем, рассмотренных в примерах 1, 3, то теоремы соответственно

2, 3 здесь не работают, поэтому сразу о наличии здесь предельного перехода в новом смысле мы ничего не можем сказать.

В §4 первой главы рассмотрены системы вида с!х си с начальным условием хц(0) = х°, . (6) где А(1;) - квадратная матрица размерности пхп, §(1), ^хД), х°, х - п-мерные вектор-функции, в случае, когда характеристическое уравнение, отвечающее матрице сНаё :V 1(0, • - , Ц*п(0)А(1), (7) имеет хотя бы один тождественно равный нулю корень, то есть в критическом случае.

В этом случае вырожденная система, соответствующая уравнению (5), имеет неединственное решение. Показано, что решение, к которому будет стремиться решение хц(1) задачи (5), (6) при может быть найдено с помощью алгоритма Васильевой-Бутузова , то есть в рамках общей теории.

Найдены условия, при которых матрица (7) имеет при любых положительных ц*(1:) к, 1<к<п, тождественно равных нулю собственных значений и (п-к) собственных значений с отрицательными действительными частями, удовлетворяющих требованиям алгоритма. При 2<п<4 эти условия могут быть сформулированы в виде следующих теорем.

Теорема 4. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных 1=1,2,3, 1е[0,Т], имела одно собственное значение, тождественно равное нулю, и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы VI е [0,Т]:

1. аи(1)<0, 1 = ¿а„(0<0; 1

2. Му(Г)>0, 1 = 1,2, 1<]<3; ¿Ми(Ч)>0;

1=1

1<}<3

3. А(0 = 0.

Теорема 5. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=3, при любых положительных (Т), 1=1,2,3,1е[0,Т], имела два тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы \/1е[0,Т]:

1. ай(0<0, 1 = 1Д 5Х(0<0; 1

2. Ми(0 = 0, 1 = 1,2; 1< ]<3;

3. Л(0 = 0.

Теорема 6. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных р*^), 1 = 1,4, 1 е [0,Т], имела одно тождественно равное нулю собственное значение и три собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для VI е [0,Т]:

1. ай(0<0; 1 = 1Д ¿а„(1)<0; 1

2. Ми(^>0; 1 = 13; 4>>1; ¿М*(Т)>0;

1 4>р!

3. М"к(Т)<0; 1 = 1,2; 4>к>]">1; £мук(0<0;

1 4 >к >.)>!*

4. аи(1)М23(0 + а22(1)М13(1) + а3з(1)М12(0-М123(0 <

2тт{л/а11(1)М23(1)а22(0М,3(0,7а11(1)М23(0а33(1)М,2(0,

7а22(0М13(0а33(1)М12(0} ап (1)М24(I) + а22(1)М14 (1) + а44 (ОМ12(1) - М124 (I) <

2тт{л/а11(0М24(1)аи(1)М14(0, л/а220)М,4(1)а44(1)М12(1)} аи 0)М34 (I) + а33 (1)М14(О + а44 (1)М13 (I) - М134 (О <

2тт{>/а11(1)М34(1)азз(0М,4(0,7ап(0М34(0а44(1)М,3а);>

7а3з(0М14(0а440)М13(0} а22 (1)М34 (I) + а33(1)М24 (1) + а44 (1)М23 (I) - М234 (1) <

2тт{7а^(1)М34 (1)а33 <Ч)М24 (1)5Л/а22 (1)М34 (1)а44 <Ч)М23 (I),

7а3з (1)Мм (1)а44 (ОМ23 (1)>

5. Д(О = 0.

Теорема 7. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных ц,'(Х), 1 = 1,4, I е [ОД], имела два тождественно равных нулю собственных значения и два собственных значения с отрицательными действительными частями, необходимо и достаточно, чтобы для \?Че[0,Т]:

1.ан(1)<0; 1 = Й ¿а„(0<0; 1

2.М"(0>0; 1 = й;4>]>1; ¿Му(0>0; 1

3. мйк(0 = 0; 1 = 1,2; 4>к>]>1;

4.А(0 = 0.

Теорема 8. Для того чтобы матрица, полученная из (7) при п=4, при любых положительных ц'ОО? [ = 1,4, I е [0,Т], имела три тождественно равных нулю собственных значения и одно собственное значение с отрицательной действительной частью, необходимо и достаточно, чтобы для У1е[0,Т]:

1. ап(1)<0; 1 = ¿а„(1)<0; 1

2. М8(0 = 0; 1 = 4>]>1;

3. Мик(Ч) = 0;^ ¡ = 1,2; 4>к>}>[;

4. Л(Ч) = 0.

Во второй главе предельный переход исследуется при более слабых ограничениях на функции, стоящие перед производными. Эти функции предполагаются измеримыми (в отличие от главы I, где указанные функции предполагались непрерывными).

Введем в рассмотрение множества Ьро = {р(0 : ц(1) е Ь'[10,-нх))Эк,К е 1Г|Ум = 1,2, VI е [10,+оо):

О < кр0 < (X) < Кр0 для всех достаточно малыхр0 е }, Ь = {р*(0 : е Ь'[10,+оо);Зк,К е = 1,2,

У1е[10,+сю):О<к<р;(1)<К}, где = —

Рассмотрим систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и переменными малыми параметрами ^¡(Т) при старших производных х с11аё(р,М, = Ах + Ь, (8) ш где

А=(ау) - неособенная постоянная квадратная матрица размерности 2x2, спектр которой лежит в левой полуплоскости (ReA,; < 0), х - вектор-столбец размерности 2x1, b - постоянный вектор-столбец размерности 2x1,

Обозначим через х (t) - решение системы (8) с начальным условием x„(t0) = x°, (9) а через x(t) - решение соответствующей ей вырожденной системы.

Обозначим = М, —-— = u (t), —^ = m. Перепишем систему (8) в новых kfi0 ^(t) Кц0 обозначениях dx = diag(u, (t), u 2 (t)XAx + b). dt

Решение системы (8) в новых обозначениях будет иметь вид x(t, u,(t), u2(t)). Так как ^¡(t) g L , 1=1,2, то u; (t) должны удовлетворять неравенству

0<m <u,(t)<M. Зафиксируем момент времени Т, Т > t0. Обозначим через

Io=Supt[xi(T,u1(T),u2(T))-x,(T)]2.

L Ы

Определение 2. Если для VT > t0: lim Sup t [х, (Т, u, (Т), u2 (Т)) - х, (Т)]2 = 0,

Но->° L j=i то будем говорить, что на (t0,+oo) имеет место предельный переход равномерно по классу L от решения х (t) исходной задачи к решению x(t) соответствующей ей вырожденной.

Первый параграф второй главы содержит вспомогательные утверждения. В §2 приведены необходимые и достаточные условия существования предельного перехода равномерно по классу L от решения исходной задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной. Эти условия сформулированы в виде теоремы 9.

Теорема 9. Пусть ^¡(уьу2) - корни характеристического уравнения, отвечающего системе dx = diag(v1,v,)(Ax + b), v. e{m,M},i=l,2. (10) dt

Тогда для того чтобы на (t0,+°°) имел место предельный переход равномерно по классу L от решения исходной задачи (8), (9) к решению x(t) соответствующей ей вырожденной задачи, необходимо и достаточно, чтобы при любых двумерных выборках (vbv2), составленных из элементов множества {ш,М}, lim ReA,.(v ,v2) = -со, i=l,2.

Теорема доказана методами теории оптимального управления.

Замечание. В работе [27], упоминаемой выше, тоже идет речь о достаточных условиях существования предельного перехода от решения задачи (8), (9) к решению соответствующей ей вырожденной, однако ограничения накладываемые автором на систему (8), более жесткие в сравнении с условиями теоремы 9.

Основные результаты докладывались и обсуждались на научном семинаре по методам малого параметра кафедры математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - докт. ф.-м. н., профессор Васильева А.Б., докт. ф.-м. н., профессор Бутузов В.Ф.) в 1987, 1995, 1997г., на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском энергетическом институте (руководитель - докт. ф.-м. н., профессор Дубинский Ю.А.) в 1999 и 2000г., на конференциях по методам малого параметра, проходившим в Нальчике в 1987г., в Ашхабаде в 1990г. и в Обнинске в 2000г., на Учредительной конференции ассоциации женщин-математиков, проходившей в Суздале в 1993г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Косиченко, Наталья Алексеевна, 2000 год

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.-432с.

2. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 503с.

3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений //Итоги науки. Математический анализ, 1967. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969.

4. Васильева А.Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных //Вычислительная математика и математическая физика. -1963.-Т. 3, №4. С. 611-642.

5. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных //Успехи математических наук. -1963 Т. 18, №3. - С. 15-86.

6. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, справедливые на полубесконечном промежутке //ДАН СССР-1962. Т. 142, №4. С. 769-772.

7. Васильева А.Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости //ДАН СССР. -1959. -Т. 128, №6. С. 1110-1113.

8. Васильева А.Б. О многократном дифференцировании по параметру решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной //Математический сборник. -1959. -Т.48, №3-С.311-334.

9. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978. - 312с.

10. Косиченко H.A. О возможности существования предельного перехода в случае систем с малыми параметрическими функциями //Сборник научных трудов МГПИ им. В.И. Ленина. Серия ¡Вычислительная математика и математическая физика 1987 - С. 23-29.

11. Косиченко H.A. О предельном переходе в задаче с переменными малыми параметрами //Методы малого параметра: Тез. докл. Всесоюзн. научн. совещ. 26-28 мая 1987г. Нальчик, 1987.-С.80.

12. Косиченко H.A. О системах с переменными малыми параметрами при старших производных.-М., 1999.-42с.-Деп. в ВИНИТИ 9.04.99.№ 1072-В99.

13. Косиченко H.A. О существовании предельного перехода в случае переменных малых параметров /'/Учредительная конференция Российской ассоциации "Женщины-математики": Тез. докл. -М., 1993.

14. Косиченко H.A. Сингулярно возмущенные задачи с переменными малыми параметрами.-М., 1999.-56с.-Деп. в ВИНИТИ 28.04.99. № 1337-В99.

15. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.-576с.

16. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.-398с.

17. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев.: Наукова думка, 1971. - 440с.

18. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.-400с.

19. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.-331с.

20. Сабуров М.С. Оптимальные критерии ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка //Научные труды МПГУ им. В.И. Ленина. Серия: Естественные науки 1994. - Ч.Е -С. 13-22.

21. Сабуров М.С. О предельном переходе в сингулярно возмущенных системах с переменными малыми параметрами //Докл. АН. -1993. Т.ЗЗЗ, №2. - С.151-154.

22. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений //Изв. АН СССР. Серия: Математика,- 1979.- Т.43, №3,- С.628-653.

23. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными //Всесоюзн. конф. по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных уравнений: Тез. докл-Алма-Ата: Наука Каз. ССР, 1979,- 4.1.- С.77-79.

24. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений //ДАН СССР. 1977.-Т.235, №6-С.1274-1276.

25. Тихонов А.Н. Методы малого параметра и их применение //Дифференциальные уравнения. -1985. -№10. С.1659-1661.

26. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Математический сборник. -1948.-Т.22(64). С. 193-204.

27. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры //Математический сборник. -1950. -Т.27(69). С. 147-165.

28. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при старших производных //Математический сборник.-1952.-Т.31(73).-С. 576-586.

29. Треногин В.А. Функциональный анализ М.: Наука, 1980 - 440с.

30. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1983 - 352с.

31. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1966.-252с.

32. Флэтто JL, Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем //Математика (период, сб. переводов). -1958. -2:2. -С.61-68.

33. Хапаев М.М. Введение в теорию устойчивости М.: Наука, 1986 - 192с.

34. Хапаев М.М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений //УМН. 1980.-Т.35, вып. 1(211)-С.127-170.

35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Мир, 1970.- 720с.