Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительных случаях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Урбанович, Татьяна Михайловна

• Урбанович, Татьяна Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Урбанович, Татьяна Михайловна

Введение

Глава 1. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ

1.1. Исключительный случай уравнения с порядками нулей меньше 1.

1.2. Уравнение с произвольными порядками нулей

Глава 2. СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ КЛАССАХ ГЁЛЬДЕРА

2.1. Весовые классы Гёльдера

2.2. Уравнение на гладком контуре с произвольными порядками нулей . 53 Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши в исключительных случаях»

Теория сингулярных интегральных уравнений и краевых задач для аналитических функций привлекает интерес математиков и механиков в течение многих лет. Одним из методов исследования сингулярного интегрального уравнения является сведение его к соответствующей краевой задаче для аналитических функций.

Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б. Римана [48] и Д. Гильберта [94].

Большой вклад в создание и развитие теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений внесли Ю. В. Сохоцкий [63].

B. Вольтерра [99], И. Племель [98], Ф. Нётер [96], Т. Карлеман [93], И. Н. Векуа [8], [9], Ф. Д. Гахов [12], [13], Н. И. Мусхелишвили [37], [38], Б. В. Хведелидзс [85], 3. Пресдорф [42], [43], С. Г. Михлин [35], [36], Л. Г. Михайлов [33], Л. И. Чибрикова [87], Л. А. Аксентьев [1], Э. И. Зверович [21], [22], [23], Г. С. Литвинчук [22], [32], Н. В. Говоров [16], А. П. Солдатов [61], [62] и другие.

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время в работах Э. И. Зверовича [24], Л. Г. Михайлова и Н. Усмонова [34],

C. И. Безродных, В. И. Власова и Б. В. Сомова [3], [5], [6|, [7], Э. Вегерта [100], Ю. В. Обносова [39], В. В. Сильвестрова [59]. С. Н. Асхабова [2], [92], А. П. Солдатова [60] и других. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения к актуальным прикладным проблемам как в традиционных (гидро- и аэродинамика [18], [27], [31], теория упругости [19], [37], [38], [59], [91]) так и в современных (теория композиционных материалов [97], теория гетерогенных сред [39], физика плазмы [4]) областях исследования.

Напомним, что краевой задачей Римана в исключительном случае [12, с. 130-137] называется задача отыскания кусочно-аналитической функции Ф(-г), аналитической внутри и вне простого гладкого замкнутого контура Г, предельные значения которой удовлетворяют краевому условию т п {t-ajr>

Ф+(*) = 3~-G№~(t) + g(t), t е г, (0.1)

П (* - ьк)ь k=i где aj. bk — некоторые точки контура Г, оу bi;, j = 1, 2,. ., т, к = 1, 2,., п , G(t) — функция, удовлетворяющая условию Гель дера и не обращающаяся в нуль на контуре Г.

Решение задачи (0.1) в случае замкнутого контура Г впервые было дано Ф.Д. Гаховым в 1941 году в его докторской диссертации. Основные результаты докторской диссертации Ф.Д. Гахова были опубликованы в [13]. Решения отыскивались в классе кусочно-аналитических функций, граничные значения которых в исключительных точках могли иметь лишь интегрируемые особенности. Чтобы обеспечить разрешимость задачи (0.1) в этом классе функций, предполагалось, что коэффициент G(t) и свободный член g(t) удовлетворяют условию Гёльдера и дифференцируемы в окрестности точек aj, bk достаточное число раз.

JI. А. Чикин продолжил и углубил эти исследования. Пусть D+ и D~, соответственно, конечная и бесконечная компоненты дополнения к Г на плоскости. Основу построений JI. А. Чикина [88] составляет переход к так называемой "приведённой задаче", т.е. к обычной задаче Римана с коэффициентом G*(t), удовлетворяющим условию Гёльдера и не обращающимся в нуль на некотором контуре Го. не проходящим через исключительные точки и отличающимся от Г дугами окружностей с центрами в исключительных точках, включающими эти точки в D+ или D~ в зависимости от класса допустимых решений. G*(L) вводится на Го так, чтобы решения исходной задачи получались из решения "приведённой задачи" предельным переходом при Го—>Г. Здесь класс искомых функций расширяется: в исключительных точках допускаются бесконечности неинтегрируемого порядка, что приводит к необходимости использовать при решении обобщённые интегралы типа Коши с плотностями, имеющими в некоторых исключительных точках неинтегрируемые особенности. Смысл этим расходящимся интегралам придавался на основе понятия интеграла в смысле Адамара [10]. Позднее B.C. Рогожин включил результаты Л.А. Чикина в единую теорию краевых задач в пространстве обобщённых функций (см. например. [15]). B.C. Рогожин и Т.Н. Радченко в работах [45], [51] исследовали задачу (0.1) при условии, что g(t) — заданная функция точек контура, удовлетворяющая условию Гёльдера, в работе [54] В. С. Рогожин решил задачу (0.1) в предположении, что g(t) является обобщённой функцией на основном пространстве S (см. [49, с. 1326]), при т — 1, п= 1. Однако, метод работы [54] не переносится (см. [55, с. 115]) на случай, когда коэффициент задачи обращается в нуль или бесконечность произвольного стспснного порядка. JI.B. Карташева и Т.Н. Радченко в работе [25] исследовали краевую задачу (0.1) на отрезке действительной оси в пространстве обобщённых функций. В работах [69]-[84] автор рассматривал краевую задачу Римана на прямой, в том числе в исключительном случае, в классах гиперфункций в смысле определения, приведённого в [95].

Наномним, что сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши в исключительном случае [12, с. 241] называется уравнение вида a(tMt) + Щ [ ^^ + [ K{t, rMr)dr = f(t), (0.2) 7гг Jr т - t Jr для которого (03) a{t)-b{t) = m=^-bkYks{i),

1де r(t) и s{t) не обращаются в нуль на контуре Г; aj, Ьк — точки контура Г, dj т^ Ьк\ aj, ¡Зк е Z+.

Если K(t,r) = 0 и выполняются предположения (0.3), то получим характеристическое сингулярное уравнение в исключительном случае (см, например, [12, с. 242])

Ш (0.4)

7ГI Jr Т — t

Уравнение (0.2) в предположениях (0.3) было полностью исследовано Ф. Д. Гаховым [12] и JI. А. Чикиным [88] методом сведения к краевой задаче Римана для случая, когда обе функции a(t) ± b(t) могут обращаться в нуль целых порядков в различных точках контура интегрирования.

Д. И. Шерман [89]. [90] независимо от работ Ф. Д. Гахова другим методом дал исследование исключительных случаев уравнений с ядром Коши в предположении, что только одна из функций a(t) ± b(t) имеет нули целых порядков на контуре Г.

Дальнейшее исследование исключительных случаев сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши продолжили в самых различных направлениях Б. В. Хведелидзе [85], Ф. Д. Гахов [11], Е. А. Косулин [29],

30], 3. Пресдорф [40]-[44], А. И. Тузик [64]-[68], А. А. Килбас [28], В. Б. Дыбин [17], В. С. Рогожин, Т. Н. Радченко [45], [52], [53], J1. В. Карташева [26], С. Н. Расламбеков [46], [47] и другие авторы.

В частности, в работах [28], [64]-[68] исследовано уравнение (0.2) в предположениях a(t) + b(t) = YlUt ~ сгТ> n£i(* - aj)a>r{t), a{t) - b(t) = ПГ=1(* - EG=i(* - Ьк)ЫЪ где r(t) и s(t) нигде на Г не обращаются в нуль; aj, 6fc, Cj - точки контура Г. ад фЬк, aj ф d , bk Ф сг; а3, fit, Ъ Е . Решение получено в классе функций, удовлетворяющих условию Гсльдера.

В работе [17] рассмотрен частный случай уравнения (0.4) коэффициенты которого удовлетворяют условиям a{t)+b{t) = {t-ai)arit), где r(t) и s(t) не обращаются в нуль на контуре Г; а\, bi — точки контура Г, а\ фЬ\\ а > 0, 0 < Р < 1.

В работе [44] рассмотрен частный случай уравнения (0.4) коэффициенты которого удовлетворяют условиям a(t) + ед = nut - ПГ=1 tt - (0 7) a(t) - b(t) = nr=i(* - Ci)1- nLi(rl где r(t) и s(t) не обращаются в нуль на единичной окружности L; aj, bk} Ci — точки контура L, aj ф bk) aj ф a, bk ф сц aj, рк Е Z+, U Е М+ . Решение получено в классе LP(L), р > 1.

Исключительные случаи сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши в классах обобщённых функций рассматривали Е. А. Косулин,

0.6

B. С. Рогожин, Л. В. Карташева, Т. Н. Радченко, С. Н. Расламбеков и другие авторы. При самой общей постановке задачи, когда решение получается в функционалах на некоторых пространствах основных функций, результаты, по-видимому, имеют лишь теоретическое значение (см., например, [14]). В частности, в работе [29] Е. А. Косулин исследовал уравнение (0.4), где а{Ь), Ь(Ь) — известные функции, принадлежащие нормированному или счётно-нормированному основному пространству Ф, элементы которого достаточное число раз дифференцируемые функции; Г — замкнутый достаточно гладкий контур, /(¿) принадлежит пространству Ф , сопряжённому к Ф. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (0.4) в пространстве Ф , а также получено общее решение уравнения (0.4). В работе [56] В. С. Рогожин, Т. Н. Радченко,

C. Н. Расламбеков отыскали решение уравнения (0.2) при выполнении предположений (0.3) не только в классе функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, по и в классах обобщённых функций типа ¿-функции Дирака и её производных, а также функций с полярной особенностью в нулях символа. Доказано, что для разрешимости уравнения (0.2) в рассматриваемых пространствах необходимо и достаточно, чтобы функция /(¿) была ортогональна решениям союзного однородного уравнения в союзном пространстве. Союзное пространство обычно содержит обобщённые функции указанного выше типа.

В работах [56]. [57], [58] исследовано в классах обобщённых функций уравнение третьего рода типа Фредгольма где х Е [а, 6], х^ Е (а, 6); К(х, £) и / = /(ж) — известные непрерывные и

0.8) достаточно гладкие в окрестностях точек Хк функции, = <р(х) — искомая функция.

В статьях [57], [58] рассматриваются решения уравнения (0.8) вида п 1

Ф) = У{х) + к=1 Ж Хк тп где Р-= ^^ Cjô^\x — Xk) ("главное значение в окрестности ж ~ Хк з=о точки а^"), ô(x — Xk) — дельта-функция Дирака, ô^(x — xk) последовательные производные дельта-функции Дирака, у(х) принадлежит пространству функций, непрерывных па отрезке [а, Ь] : CKfc — комплексные постоянные.

В работе [55] рассматривается интегральное уравнение

Kf = a{t)f(t) + b{t)Ef = g(t) (0.9) на замкнутом контуре L в пространстве обобщённых функций S и уравнение

K'v - a(tMt) - I / = m (0.10) т™ Jl r ~ t в соответствующем пространстве основных функций S (см., например, [15]). Коэффициенты a(t), b(t) — бесконечно дифференцируемые на L функции, b(t) ^0, причём выполняются условия (0.5). Под выражением b(t)Ef понимается функционал, определяемый равенством b(t)S/, р) = (/, -ЕЭД, <p(t)eS.

В работе [55] найдены необходимые и достаточные условия разрешимости в пространстве S уравнения (0.9), причём в случае разрешимости уравнения его решение записывается в явном виде; полностью исследован вопрос о зависимости числа решений и числа условий разрешимости от коэффициентов уравнения.

Как было отмечено выше, уравнение (0.4) можно свести к соответствующей задаче линейного сопряжения [12]. В работе [34] рассмотрен частный случай задачи линейного сопряжения, а именно:

Ф+(£) = |t - пГС(*)ф-(«) + g(t), (0.11) где т\ — некоторая точка контура, — произвольное число, коэффициенты G(t),g(t) удовлетворяют условию Гёльдера, причём G{t)^ 0.

Уравнение (0.4) можно свести к задаче (0.11) в предположении, что одна из функций (a±6)(i) имеет один нуль произвольного порядка на контуре Г.

В данной работе рассматривается ситуация, когда функции (а±6)(£) допускают на контуре Г конечное число нулей произвольных неотрицательных порядков.

Целью данной работы является исследование сингулярных интегральных уравнений в исключительном случае с произвольными порядками нулей.

Перейдём к изложению основного содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на пункты, и списка литературы, насчитывающего 115 наименований. Объем диссертации — 82 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Урбанович, Татьяна Михайловна, 2013 год

1. Аксентьсв, Л. А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области/ Л. А. Аксентьев// Известия вузов. Математика. — 1984. № 2. - С. 3-11.

2. Асхабов, С. Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью/ С. Н. Асхабов. — Майкоп: МГТУ, 2004. 387 с.

3. Безродных, С. И. Задача Римана — Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединепия в плазме/ С. И. Безродных, В.И.Власов// Журнал вычислит, мат. и матем. физ. — 2002. — Т. 42, № 3. С. 277-312.

4. Безродных, С. И. Обобщенные аналитические модели токового слоя Сыроватского/ С. И. Безродных, В.И.Власов, Б.В.Сомов// Письма в Астрономический журнал. — 2011. — Т. 37, № 2. С. 133-150.

5. Безродных, С. И. Сингулярная задача Римана — Гильберта и её приложение: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.03/ С. И. Безродных. — М., 2006. 164 с.

6. Векуа, И. Н. Интегральные уравнения с особым ядром типа Коти/ И. Н. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. 1941. - Т. 10. -С. 45-72.

7. Векуа, И. Н. Об одной линейной граничной задаче Римана/ И. Н. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. 1942. - Т. 11. -С. 109-139.

8. Векуа, Н. П. Интегральные уравнения Фредгольма с интегралами в смысле Адамара/ Н. П. Векуа// Труды матем. ин-та АН Груз. ССР. — 1939. №7.- С. 113-146.

9. Гахов, Ф.Д. Вырожденные случаи особых интегральных уравнений с ядром Коши/ Ф.Д. Гахов// Дифференциальные уравнения. — 1966. — Т. 2, № 4. С. 533-543.

10. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи/ Ф.Д. Гахов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1977. 640 с.

11. Гахов. Ф.Д. Краевые задачи аналитических функций и сингулярныеинтегральные уравнения/ Ф.Д. Гахов// Учёные записки Казанского гос. ун-та. 1949. - Т. 109, кн. 4. - С. 75-160.

12. Гахов, Ф.Д. О современном состоянии теории краевых задач аналитических функций и особых интегральных уравнений/ Ф.Д. Гахов// Труды семинара по краевым задачам. — 1970. — Вып. 7. С. 3-17.

13. Гельфанд. И. М. Обобщенные функции и действия над ними/ И. М. Гсльфанд, Г.Е.Шилов. — М.: Физматгиз., 1959. — 470 с.

14. Говоров, Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом/ Н. В. Говоров. М.: Наука, 1986. - 240 с.

15. Дыбин.В. Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае/ В. Б.Дыбип// Математический анализ и его приложения. — Изд-во Ростовского ун-та, 1974. — Т. 6. — С. 45-61.

16. Елизаров, А. М. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике/ А.М.Елизаров, А.Р.Касимов, Д. В. Маклаков. — М.: Физматлит, 2008. 480 с.

17. Журавков, М. А. Фундаментальные решения теории упругости и некоторые их применения в геомеханике, механике грунтов и оснований. Курс лекций/ М. А. Журавков. — Минск: БГУ, 2008. — 247 с.

18. Зверович, Э. И. Вещественный и комплексный анализ: учеб. пособие. В шести частях. Кн. 4. Ч. 6. Теория аналитических функцийкомплексного переменного/ Э. И.Зверович. — Минск: Выш. шк., 2008. 319 с.

19. Зверович, Э. И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания/ Э. И. Зверович// Сибирский математический журнал. — 1973. — Т. 14, Nu 1. — С. 64-85.

20. Зверович, Э. И. Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональные уравнения/ Э. И. Зверович, Г. С. Литвинчук// Успехи математических наук. 1968. — Т. 23, выпуск 3 (141). - С. 67-121.

21. Зверович, Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях/ Э. И. Зверович// Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, выпуск 1 (157). — С. 113-179.

22. Зверович, Э. И. Особый случай однородной задачи сопряжения и обобщённая проблема обращения/ Э. И. Зверович// ДАН Беларуси. — 1999. Т. 43, № 1. - С. 16-19.

23. Карташева. Л. В. Краевая задача Римана в случае вырождения символа в пространстве обобщённых функций на отрезке действительной оси/ Л. В. Карташева, Т. Н. Радчепко// Труды матем. центра им. Лобачевского. 2001. - № 8. - С. 128-130.

24. Карташева, Л. В. Случай вырождения символа сингулярного интегрального уравнения в пространстве обобщённых функций на разомкнутом контуре/ Л. В. Карташева// Известия вузов. Математика. 1982. - № 6 (241). - С. 19-25.

25. Келдыш, М. В. Приложения теории функций комплексного переменного к гидродинамике и аэродинамике/ М. В. Келдыш, Л. И. Седов. М.: Наука, 1964. - 46 с.

26. Килбас,А.А. Решение в замкнутой форме полного особого интегрального уравнения с аналитическим ядром в исключительном случае/ А. А. Килбас// Известия АН БССР. 1974. - № 1. -С. 129-130.

27. Косулин, А. Е. Одномерные сингулярные уравнения в обобщённых функциях/ А. Е. Косулин// Доклады АН СССР. 1965. - Т. 163, № 5. - С. 1054-1057.

28. Косулин, А. Е. Особый случай в теории сингулярных уравнений/ А. Е. Косулин// Вестник ЛГУ. 1962. - № 19. - С. 142-148.

29. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели/ М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. — М.: Наука, 1973. — 416 с.

30. Литвинчук, Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом/ Г. С. Литвинчук. — М.: Наука, 1977. — 448 с.

31. Михайлов, Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами/ Л. Г. Михайлов. — Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. 184 с.

32. Михайлов, Л. Г. Сингулярные краевые задачи сопряжения/ Л.Г.Михайлов, Н.Усмонов// Доклады Академии наук. — 2002. — Т. 387, № 3. С. 309-313.

33. Михлин, С. Г. Интегральные уравнения в теории упругости/ С. Г. Михлин, Н. Ф. Морозов, М. В. Паукшто — СПб. : Изд-во СПбГУ, 1994. 271 с.

34. Михлин, С. Г. Сингулярные интегральные уравнения/ С. Г. Михлин// Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, выпуск 3. — С. 29-112.

35. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости/ Н. И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1966. — 709 с.

36. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения/ Н. И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1968. — 512 с.

37. Обносов, Ю. В. Краевые задачи теории гетерогенных сред/ Ю. В. Обносов. — Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2009. — 205 с.

38. Пресдорф,3. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с вырождающейся символической матрицей, I/ 3. Пресдорф// Вестник ЛГУ. 1965. - № 19, выпуск 4. - С. 58-73.

39. Пресдорф, 3. К теории систем сингулярных интегральных уравнений с вырождающейся символической матрицей, II/ 3. Пресдорф// Вестник ЛГУ. 1966. - № 7, выпуск 2. - С. 68-75.

40. Пресдорф, 3. Линейные интегральные уравнения/ 3. Пресдорф// Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1988. — Т. 27. — С. 5-130.

41. Пресдорф,3. Некоторые классы сингулярных уравнений/ 3. Пресдорф М.: Мир, 1979. - 493 с.

42. Пресдорф. 3. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек/ 3. Пресдорф// Математические исследования. — Кишенёв: "Штиинца", 1972. — Т. 7, выпуск 1 (23). С. 116-132.

43. Радченко, Т. Н. К теории особого случая сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши и краевой задачи Римана/ Т. Н. Радченко,B. С. Рогожин// Известия вузов. Математика. — 1984. — № 10 (269). —C. 64-70.

44. Расламбеков. С. Н. Линейные интегральные уравнения третьего рода с коэффициентом, имеющим нуль любого порядка, в пространствах обобщенных функций/ С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. 1986. - № И (294). - С. 41-44.

45. Расламбеков, С. Н. Сингулярное интегральное уравнение первого рода в исключительном случае в классах обобщённых функций/ С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. — 1983. — № 10 (257). С. 51-56.

46. Риман,Б. Сочинения/ Б. Риман. — М.-Л.: ОГИЗ, Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. — 543 с.

47. Рогожин. В. С. Краевая задача Римана в классе обобщённых функций/ В. С. Рогожин// Известия АН СССР. 1964. - Т. 28. - С. 1325-1344.

48. Рогожин, В. С. Краевые задачи Римана и Гильберта в классе обобщённых функций/ В. С. Рогожин// Сибирский математический журнал. 1961. - Т. 2, № 5. - С. 734-745.

49. Рогожин, В. С. Об индексе и нормальной разрешимости сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае/ В. С. Рогожин. Т.Н. Радченко// Известия вузов. Математика. — 1977. — № 6 (181). — С. 131-134.

50. Рогожин, В. С. Об уравнении типа свёртки и сингулярных интегральных уравнениях в исключительном случае/ В. С. Рогожин, Т.Н. Радченко// Известия вузов. Математика. — 1979. — № 8 (207). — С. 87-93.

51. Рогожин, В. С. О решении краевых задач аналитических функций в пространстве функционалов/ В. С. Рогожин// Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т. — 1970. — Вып. 7. — С. 225-231.

52. Рогожин, В. С. Сингулярное интегральное уравнение в пространстве основных и обобщённых функций на замкнутом контуре в исключительном случае/ В. С. Рогожин, Л. В. Карташева// Известия вузов. Математика. 1975. - № 6 (157). - С. 114-123.

53. Рогожин. В. С. Теория Нётера для интегральных уравнений третьего рода/ В. С. Рогожин, С.Н. Расламбеков// Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 9. - С. 1678-1686.

54. Рогожин, В. С. Теория Нётера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщённых функций/ В. С. Рогожин, С. Н. Расламбеков// Известия вузов. Математика. — 1979. № 1 (200). - С. 61-69.

55. Сильвестров, В. В. Метод римановых поверхностей в задаче о межфазных трещинах и включениях при наличии сосредоточенных сил/ В.В.Сильвестров// Известия вузов. Математика. — 2004. — № 7 (506). С. 78-91.

56. Солдатов. А. П. Краевые задачи теории функций в областях с кусочногладкой границей/ А. П. Солдатов. — Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1991. Ч. 1. - 266 е., ч. 2. - 274 с.

57. Солдатов. А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций/ А. П. Солдатов. — М.: Высшая школа, 1991. — 207 с.

58. Сохоцкий, Ю. В. Об определённых интегралах и функциях, употребляемых при разложении в ряды: докт. дисс./ Ю. В. Сохоцкий. — С.-Петербург, 1873.

59. Тузик, А. И. Исключительные случаи полных особых интегральных уравнений с ядром Коши/ А. И. Тузик// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 1969. — № 1. — С. 55-56.

60. Тузик, А. И. К решению особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. -1970. № 2. - С. 125-127.

61. Тузик, А. И. Об индексе особых интегральных уравнений с ядром Коши в исключительном случае/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. -1972. № 3. - С. 35-41.

62. Тузик. А. И. Об исключительных случаях полных особых интегральных уравнений с ядром Коши/ А. И. Тузик// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 1969. № 2. - С. 3-7.

63. Тузик, А. И. О сведении исключительного случая особых интегральных уравнений с ядром Коши к уравнениям нормального типа/ А. И. Тузик// Известия АН БССР. 1972. - № 1. - С. 53-56.

64. Урбанович, Т. М. Исключительный случай краевой задачи Римана в классе гиперфункций/ Т. М. Урбанович// Вестник Белорус, гос. ун-та. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 2Ü07. — № 3. — С. 90-95.

65. Урбанович, Т. М. Краевая задача Гильберта в классах гиперфункций Сато/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2009. — JVe 3. — С. 69-76.

66. Урбанович, Т. М. О решении в классе гиперфункций задачи о скачке/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2005. — № 4. — С. 38-44.

67. Урбанович, Т. М. О решении в классе гиперфункций некоторых модельных вариантов краевой задачи Римана в исключительном случае/ Т. М. Урбанович// Вестник Полоцкого гос. ун-та. Сер. С. Фундаментальные науки. — 2005. — № 10. — С. 19-25.

68. Хведелидзе, Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения/ Б. В. Хведелидзе// Труды Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР, XXIII. 1956. С. 3-158.

69. Черский, Ю. И. К решению краевой задачи Римана в классах обобщённых функций/ Ю. И. Черский// Доклады АН СССР. -- 1959. — Т. 125, № 3. С. 500-503.

70. Чибрикова, Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций/ Л. И. Чибрикова. — Казань: Изд-во Казанского ун-та. — 1977. 304 с.

71. Чикин,Л.А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений/ Л. А. Чикин// Учёные записки Казанского гос. ун-та им. В. И. Ульянова-Ленина. — 1953. — Т. 113, кн. 10. — С. 57-105.

72. Шерман,Д. И. Об одном случае регуляризации сингулярных уравнений/ Д. И.Шерман// Прикладная математика и механика. — 1951. Т. 15, вып. 1. - С. 75-82.

73. ШермащД. И. О приёмах решения некоторых сингулярных интегральных уравнений/ Д. И.Шерман// Прикладная математика и механика. 1948. - Т. 12, вып. 4. - С. 423-452.

74. Штаерман, И. Я. Контактная задача теории упругости/ И. Я. Штаерман. — М.: Гостехиздат, 1949. — 270 с.

75. Askhabov, S. N. Nonlinear singular integral equations in Lebesgue spaces/ S.N. Askhabov// Journal of Mathematical Sciences. — 2011. — V. 173. № 2. P. 155-171.

76. Carleman, T. Sur la résolution de certaines équations intégrales/ T. Car-leman// Arkiv för Mathematik, Astronomi och Physik. — 1922. — V. 16, № 26. P. 1-19.

77. Hilbert, D. Uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf ein Problem der Functionentheorie/ D. Hilbert// Verhandl. des III Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904.

78. Imai. I. Applied Hyperfunction Theory/ I. Imai. — Dordrecht: Kluwer AP, 1992. 438 p.

79. Noether, F. Uber eine Klasse singulärer Integralgleichungen/ F. Noether // Math. Ann., 1920.

80. Milton, G. W. The theory of composites/ G. W. Milton. — Cambridge: Cambridge University Press. — 2002. — 719 p.

81. Plemelj, I. Ein Ergänzungssatz zur Cauchyschen Integraldarstelung/ I. Plemelj// Monatschefte für Math. u. Phys. 1908. - V. 19. - P. 205210.

82. Volterra, V. Sopra alcune condizioni caratteristiche per functioni di variabili complessa/ V. Volterra// Ann mat. (2). 1883. - V. 11.

83. Wegert, E. Nonlinear Boundary Value Problems for Holomorphic Functions and Singular Integral Equations/ E. Wegert. — Berlin: Akademie Verlag. — 1992. 240 p.Публикации автора по теме диссертации

84. Урбанович, Т. М. Решение краевой задачи Римана со степенными множителями нецелого порядка в коэффициенте/ Т. М. Урбанович// Известия Национальной Академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук. — 2009. — № 2. — С. 24-35.

85. Урбанович, Т. М. Исключительный случай характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в весовых классах/ Т. М. Урбанович// Математические заметки Якутского государственного университета. — 2012. — Т. 19, выи. 2. — С. 155-161.