Синхронизация колебаний и формирование сложных режимов динамики популяций в математических моделях миграционно связанных биологических сообществ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Курилова Екатерина Викторовна

• Курилова Екатерина Викторовна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Курилова Екатерина Викторовна

Введение

Глава 1. Историческое и современное состояние исследований динамики взаимодействующих популяций

1. 1 Исследование динамических систем

1.2 Исследование динамики взаимодействующих популяций

1.3 Многомерные модели взаимодействующих видов

1.4 Базовые модели взаимодействия локальных популяций и сообществ

1.5 Модели пространственно распределенных популяций и сообществ

1.6 Исследования синхронизации динамики миграционно связанных

популяций и сообществ

Результаты обзора и постановка задач

Глава 2. Исследование математических моделей взаимодействующих популяций хищник-жертва при наличии постоянных миграций особей из сопредельных

территорий

2.1 Исследование модели типа «хищник-жертва» с насыщением численности хищников в случае постоянной миграции особей в обеих популяциях

2.2 Исследование модели типа «хищник-жертва», в случае постоянной миграции хищников

2.3 Моделирование динамики сообщества хищник-жертва с постоянной миграцией жертв

2.3.1. Исследование модели (2.9)

2.3.2 Анализ разных стратегий потребления жертв хищниками

2.3.3 Исследование частных случаев модели (2.9)

Выводы по главе

Глава 3. Синхронизация динамики численностей двух миграционно связанных сообществ хищник-жертва

3.1 Исследование динамики идентичных миграционно связанных сообществ на основе модели Лотки-Вольтерра

3.1.1 Построение модели идентичных миграционно связанных сообществ хищник-жертва

3.1.2 Исследование синхронизации колебаний в системе (3.2)

3.2 Исследование динамики идентичных миграционно связанных сообществ на основе модели Базыкина

3.2.1 Построение модели идентичных миграционно связанных сообществ с насыщением численности хищников

3.2.2 Исследование синхронизации колебаний численностей, возникающих

в системе (3.5)

3.3 Модель динамики двух неидентичных миграционно связанных сообществ

3.3.1 Особые точки системы (3.7)

3.3.2 Выбор значений параметров системы (3.7)

3.3.3 Исследование синхронизации колебаний численностей

3.3.4 Изменения динамики системы (3.7) при небольших различиях в воспроизводстве

численности жертв

3.3.5 Изменения динамики системы (3.7) при значительных различиях в

воспроизводстве численности жертв

Выводы по главе

Глава 4. Синхронизация, пачечная и тоническая динамика в модели двух сообществ

хищник-жертва, связанных миграциями хищника

4.1 Анализ локальной устойчивости

4.1.1 Бифуркация Андронова-Хопфа

4.1.2 Бифуркации периодических решений, приводящие к возникновению быстро-медленной динамики

4.2 Сценарий формирования быстрых всплесков численности как результат бифуркаций релаксационных предельных циклов

4.2.1 Сценарий «удвоения» пачек

4.2.2 Формирование сложных форм пачек

4.3 Исследование бифуркационных механизмов формирования пачечных режимов динамики

4.3.1 Медленная и быстрая подсистемы

4.3.2 Бифуркации в медленной подсистеме (4.2)

4.3.3 Бифуркации в быстрой подсистеме

4.3.4 Бифуркации в трехмерной быстрой подсистеме

4.3.5 Сценарий образования пачек

4.4 Исследование квазипериодической динамики системы (4.1)

4.5 Интерпретация разных типов пачечной активности с точки зрения динамики

миграционно связанных сообществ

Выводы по главе

Заключение

Список использованных источников

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синхронизация колебаний и формирование сложных режимов динамики популяций в математических моделях миграционно связанных биологических сообществ»

Актуальность темы.

Изучение основных закономерностей развития как отдельно взятых популяций, так и сообществ, образованных в результате взаимодействия нескольких биологических видов, продолжает оставаться одним из важных направлений популяционной биологии. В последнее время большое внимание исследователей занимает ряд проблем, связанных с поиском объяснений причин весьма нетипичных изменений характера динамики некоторых реальных популяций. Эти изменения заключаются, в частности, в исчезновении короткопериодических или хаотических колебаний численности каких-либо видов на одних территориях и появлении таких колебаний на других [18, 36, 82, 126, 257]. В ходе поиска объяснений причин такой динамики широкое обсуждение в научной литературе получил вопрос о влиянии хищников на смену динамических режимов популяций, являющихся их кормовой базой, например, мелких млекопитающих [209, 270].

Для математического описания динамики биологических сообществ, включающих хищников и жертв, обычно используются нелинейные модели, учитывающие основные видовые характеристики популяций, составляющих сообщество (рождаемость, смертность, межвидовые взаимодействия, миграция). Этот раздел популяционной биологии А.Д. Базыкин [9] удачно назвал «математической биофизикой взаимодействующих популяций». В большинстве исследований динамика локальных сообществ описывается классическими моделями Лотки-Вольтерра [25, 225] и их различными модификациями [118]. Одной из популярных модификаций является модель, предложенная А.Д. Базыкиным [9] и одновременно М. Розенцвергом и Р. Маккартуром [254].

Естественным развитием тематики изучения сообществ взаимодействующих видов стали работы, посвященные исследованию особенностей распределения особей по ареалу, в частности, синхронизации и десинхронизации изменений численности взаимодействующих популяций на разных территориях [201, 222, 255]. В этом случае, при моделировании пространственной структуры, весьма часто группа сообществ описывается в виде системы двух и более связанных осцилляторов - автоколебательных элементов (подсистем) [20, 22]. В большинстве этих исследований рассматриваются модели, построенные на основе аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие модели описывают сложные нелинейные явления, связанные, например, с синхронизацией динамики на разных территориях [172], механизмами формирования сложного динамического поведения [139, 153, 191] и т.п. Данное направление исследований является достаточно новым, и соответственно, многие тонкие аспекты динамического поведения таких систем не до конца изучены.

В некоторых работах биофизической тематики, направленных на изучение особенностей развития реальных взаимодействующих биологических популяций,

упоминается новый вид динамики, состоящий из чередующихся участков медленного и быстрого изменения их численности [81, 166, 182, 196, 202, 227, 288, 289]. Однако в этих работах изучение «интересной» динамики носит скорее описательный характер и не касается причин ее возникновения. Кроме того, исследование лишь некоторых конкретных примеров не позволяет достоверно определить общие биологические и математические механизмы, способствующие возникновению нового динамического поведения. Это привело к выводу, что для изучения полного спектра особенностей поведения биологических систем необходима более общая теория их исследования [155].

Представленная диссертационная работа посвящена изучению и анализу причин изменения режимов динамики взаимодействующих популяций, связанных с эволюцией периодических режимов, при которых динамики сообществ оказываются несинхронными, либо демонстрируют частичную синхронизацию.

Настоящее диссертационное исследование расширяет существующее представление о влиянии миграционного взаимодействия между двумя сообществами хищник-жертва на динамику этих сообществ и условия их пространственной синхронизации.

Цель работы: Изучение причин изменения динамики взаимодействующих популяций на основе исследования математических моделей двух миграционно связанных сообществ хищник-жертва, обитающих на сопредельных территориях.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. Изучение динамики открытого локального сообщества хищник-жертва.

2. Изучение динамических режимов двух идентичных миграционно связанных сообществ хищник-жертва, обитающих на сопредельных территориях.

3. Анализ влияния миграции особей между сопредельными территориями на степень синхронизации динамики двух сообществ хищник-жертва.

4. Исследование причин смены динамических режимов двух неидентичных миграционно связанных сообществ, отличающихся скоростями воспроизводства кормовой базы хищника.

5. Изучение механизмов образования различных режимов периодической динамики двух миграционно связанных сообществ, возникающих при изменении скоростей воспроизводства численности жертв.

Методы исследования. Для построения моделей в работе использован аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования математических моделей использовались качественные методы исследования дифференциальных уравнений, а также элементы теории бифуркаций и математического анализа. Для построения бифуркационных диаграмм, параметрических и фазовых портретов использован как собственный комплекс вычислительных алгоритмов в среде МаШСАО, так и система исследования бифуркаций динамических систем МаЮоП с открытым исходным кодом. Для выделения области

квазипериодической динамики использован метод карт показателей Ляпунова и карт динамических режимов, реализованный в ряде программ на языке С++.

Исследование динамики быстро-медленной системы осуществлялось с применением геометрического метода, основанного на разделении полной системы на быстрые и медленные уравнения (подсистемы). Благодаря этому методу удалось сконструировать инвариантные многообразия, на которых реализуются участки с пачечной и тонической активностью рассматриваемой системы.

Научная новизна. Феномен смены динамических режимов взаимодействующих популяций впервые изучается как результат предпочтений (выбора) хищника между двумя видами жертв (кормовой базы), что выражается миграцией хищников между сопредельными территориями.

Для изучения механизмов синхронизации колебаний численности двух миграционно связанных сообществ хищник-жертва, помимо традиционных методов исследования систем связанных нелинейных осцилляторов, развивается подход, в котором сообщество рассматривается, как быстро-медленная система. Применение данного подхода позволило по-новому взглянуть на характер и причины возникновения сложных режимов динамики взаимодействующих популяций при наличии видовых различий жертв рассматриваемых сообществ, выражающихся в разных скоростях их воспроизводства на смежных участках. Обнаружено, что сложные режимы динамики таких систем сочетают в себе как периодические колебания с быстрыми всплесками численности, так и участки тонической динамики с плавным изменением численности. Выделение быстрых и медленных переменных позволило показать, что изменения в динамике медленного сообщества полностью определяют поведение сообщества с быстрым воспроизводством численности жертв, что способствует возникновению скачков численности, и как результат, резкому переключению с одного режима динамики на другой.

В работе подробно проанализировано изменение условий синхронизации динамики рассматриваемых сообществ в случае различной интенсивности миграции хищников между территориями. Описаны условия возникновения полной и частичной синхронизации, а так же ситуация, когда наличие на сопредельной территории медленного сообщества приводит к подавлению быстрого.

Впервые показано, что в системе двух сообществ, существенно различающихся по скорости восстановления кормовой базы, миграционные перемещения хищника приводят к образованию разных видов периодической динамики с резкими изменениями (всплесками) численности. Описано несколько вариантов такой быстрой динамики, образующей на графиках численностей треугольную, ромбовидную или усеченную ромбовидную пачку быстрых всплесков численности. Описан новый вид пачек более сложной формы, содержащих в себе последовательное чередование затухающих, расходящихся и вновь затухающих быстрых колебаний. Установлено, что разное соотношение синхронной и

несинхронной динамики в определенные промежутки времени, не только определяет тип динамики численности сообществ, но и существенно влияет на вид модельной траектории.

Теоретическая значимость работы состоит в ее мультидисциплинарности. Это обусловлено тем, что результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, представляют интерес для разных областей науки. С одной стороны, данная работа является продолжением исследований биофизиков, изучающих особенности динамики связанных популяций и сообществ, проживающих на неоднородном ареале. Она позволяет приблизиться к пониманию возможных причин наблюдаемой смены динамических режимов реальных биологических популяций и дополняет представление о влиянии миграционного взаимодействия на динамику и условия пространственной синхронизации. С другой стороны, каждое из рассматриваемых сообществ представляет собой автоколебательную подсистему, что позволяет исследовать ее с применением методов теории динамических систем. В ходе исследования выяснилось, что слабая миграционная связь при изменении различий между рассматриваемыми сообществами приводит к образованию сложных пространственно-временных режимов, ранее не описанных для взаимодействующих популяций. Исследование этих режимов представляет интерес как для биофизики, так и для теории синхронизации и бифуркаций. Обнаружено несколько видов периодической динамики с участками быстрых всплесков численности, которые чередуются с устойчивой динамикой и, повторяясь через равные промежутки времени, образуют некоторые структуры разной конфигурации (треугольная, ромбовидная и усеченная ромбовидная пачка). Описан новый вид пачек более сложной формы. Изучена зависимость характера быстрой динамики от типа инвариантного многообразия и расположения его частей относительно релаксационного цикла. В данном диссертационном исследовании разработаны численные методы, позволяющие построить карты динамических режимов, бифуркационные диаграммы и области синхронизации рассматриваемой модели, что представляет интерес для нелинейной динамики при исследовании систем связанных осцилляторов.

Практическая значимость работы. Представленная в диссертационном исследовании математическая модель динамики взаимодействующих локальных сообществ с постоянной миграцией особей может быть применена при моделировании различных процессов, основанных на принципах межвидовых взаимодействий по типу «хищник-жертва», например, при поиске оптимальной стратегии использования биологических ресурсов.

Представленные в работе модели двух соседних взаимосвязанных сообществ могут применяться для моделирования динамики реальных популяций хищник-жертва, в случае, когда на сопряженных территориях существуют два разных вида жертв, имеющих пищевую ценность для хищника, что позволяет прогнозировать динамику развития таких сообществ и решать задачи оптимального промысла с учетом миграции хищника. Рассмотренная модель

может быть использована для решения прикладных задач, связанных с управлением численностью эксплуатируемых популяций.

Положения, выносимые на защиту:

1. Постоянная миграция особей в локальном сообществе хищник-жертва приводит к образованию как структурно устойчивых колебательных режимов, так и возникновению быстро-медленной колебательной динамики с резкими всплесками численности особей и более плавным ее падением.

2. Миграция хищников между двумя соседними сообществами хищник-жертва, в случае равенства скоростей воспроизводства жертвы, приводит к полной синхронизации колебаний их численности. В случае разных скоростей воспроизводства кормовой базы, миграция хищников способствует их частичной синхронизации. Существенное различие в скоростях воспроизводства кормовой базы приводит к заметному различию в скоростях изменения численностей в сообществах, что позволяет называть их медленно меняющимся и быстро меняющимся сообществом. Наличие на сопредельной территории медленно изменяющегося сообщества приводит к подавлению сообщества с более быстрой динамикой. Интенсивность миграции хищников непосредственно влияет на скорость достижения синхронизации.

3. Увеличение разницы в скоростях восполнения кормовой базы хищника в случае малой интенсивности его миграции приводит к частичной синхронизации динамики сообществ и образованию сложных режимов, сочетающих в себе как периодические колебания с быстрыми всплесками численности, так и участки тонической динамики с плавным изменением численности особей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректно выполненными аналитическими методами, которые подтверждаются и существенно дополняются численными экспериментами. Полученные результаты моделирования не противоречат представлениям биологов об особенностях динамики реальных структурированных популяций и сообществ, а также хорошо согласуются с теоретическими результатами, полученными математиками при исследовании систем связанных дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийская научная конференция с международным участием «Современные проблемы регионального развития» (г. Биробиджан), 2012-2025; IV Международный семинар «Вычислительные технологии и прикладная математика» (г. Владивосток), 2025; International Conference "Topological methods in dynamics and related topics. Shilnikov workshop" (г. Нижний Новгород), 2019; Национальная научная конференция с международным участием «Математическое моделирование в экологии (ЭкоМатМод)» (г. Пущино), 2013, 2019; Международной

конференции «Математическая биология и биоинформатика» (г. Пущино), 2014; Международный научный семинар Полуэктовские чтения «Математические модели в теоретической экологии и земледелии», (г. Санкт-Петербург), 2014; Международная конференция «Динамика, бифуркации и странные аттракторы», (г. Нижний Новгород), 2013 и др.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 статей в рецензируемых изданиях (4 из которых входят в Перечень ВАК РФ, в том числе в изданиях индексируемых в международных системах цитирования Web of Science - 1 работа, Scopus - 2), а также в главе коллективной монографии.

Личный вклад автора. Автору принадлежит выбор методов проведения аналитического исследования и численных расчетов, анализ результатов. В совместных работах автором самостоятельно выполнено исследование модификаций популяционных моделей типа «хищник-жертва» при наличии постоянных миграций особей: нахождение и изучение стационарных точек (определение числа и вида, исследование их устойчивости), построение бифуркационных диаграмм, параметрических и фазовых портретов. Проведено исследование модели двух миграционно связанных сообществ при различных значениях скоростей роста их численности, изучены механизмы и причины образования сложных режимов периодической быстро-медленной динамики, а также описан диапазон параметров, в котором динамика сообществ оказывается квазипериодической и несинхронной на разных территориях. С помощью построения отображений Пуанкаре изучено поведение траектории, образующей разные топологические структуры, при попадании ее на языки синхронизации в области квазипериодической динамики. В ходе диссертационного исследования на основе оригинального комплекса программ, автором выполнено детальное исследование представленных моделей, дана биологическая интерпретация полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников (291 источников, в том числе 161 иностранных). Диссертация изложена на 152 страницах, иллюстрирована 28 рисунками и 1 таблицей.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю член-корреспонденту РАН, доктору биологических наук, профессору Фрисману Е.Я. за постановку задачи, ценные советы, критические замечания и научному консультанту кандидату физико-математических наук, сотруднику лаборатории «математического моделирования популяционных и экологических систем» ИКАРП ДВО РАН Кулакову М.П. за поддержку, ценные советы и тесное сотрудничество на всех этапах работы.

Автор благодарит всех сотрудников лаборатории «математического моделирования популяционных и экологических систем» ИКАРП ДВО РАН за неоценимую помощь, обсуждение и моральную поддержку.

Глава 1. Историческое и современное состояние исследований динамики

взаимодействующих популяций

На протяжении последних десятилетий актуальными продолжают оставаться вопросы изучения сложного поведения биологических систем, способных демонстрировать разные, в том числе и весьма сложные, режимы динамики. Одним из направлений, рассматриваемых в данных исследованиях, являются вопросы изучения возникновения флуктуаций численности взаимодействующих популяций [18, 36, 81, 126, 257]. Эти исследования касаются в основном теории нелинейных колебаний и устойчивости периодических движений [64,67, 128, 129], играющих важную роль во многих областях науки [34, 43, 115, 247, 248, 283]. Например, при исследовании химических реакций [32], физических явлений [279], медицинских проблем (в том числе, при моделировании сердечной [24, 124] и нейронной [17, 26] активности), динамики биологических систем [109, 115] и теории управления [103]. Предмет этих исследований составляет суть биофизики - изучение причин изменения количественных характеристик живых систем [97, 104].

Интерес к данному направлению вызван работами А. Лотки [226] и В. Вольтерра (1931 г.) [25], которые показали, что в системе взаимодействующих видов возникают внутренние колебания, которые генерируются самой системой и не зависят от внешних источников. В настоящее время наука о колебаниях в биохимических и в биологических системах продолжает успешно развиваться [10, 41, 46, 70, 79, 91, 95]. Однако исследователи так и не пришли к единому мнению о внутренних причинах огромной распространенности колебаний в природе. По этому поводу имеется лишь ряд представлений и гипотез. В результате в последнее время появляются новые исследования, интересные не только с теоретической, но и с прикладной точки зрения [2, 37, 113, 114, 145, 171, 242, 256, 267].

В данной главе диссертационного исследования проведен обзор работ, посвященных поиску причин изменения численности и возникновения колебаний в популяциях и биологических сообществах. Особое внимание посвящено изучению синхронизации колебаний численности между сообществами связанными миграцией.

1.1 Исследование динамических систем

Важная особенность нелинейных динамических систем состоит в том, что колебания ее компонентов (фазовых переменных) могут возникать и поддерживаться самой системой, без какого-либо внешнего воздействия [84]. Такие системы называются автоколебательными. В их изучении отечественная научная школа сыграла выдающуюся роль. Одним из

направлений, рассматриваемых в данных исследованиях, являются вопросы изучения возникновения колебаний в динамике численности взаимодействующих популяций [49, 79, 118, 282].

Динамические системы стали своего рода платформой для развития математической биологии, что способствовало получению важных общих результатов при решении конкретных популяционных задач. Общие результаты, в свою очередь, послужили основой для математического моделирования динамических процессов самой различной природы [104]. Математическое моделирование, при этом, является методом построения и изучения объектов и процессов реального мира с помощью алгебраических [286], дифференциальных [5, 9], стохастических [1, 14] и других типов уравнений [106].

Таким образом, становление математической биологии стало толчком к развитию общесистемных исследований. Так Л. Берталанфи относил к классическим трудам общей теории живых систем [19] работы А. Лотки [226], В. Вольтерра [25], Г.Ф. Гаузе [28] и других исследователей, которые были пионерными в области изучения динамики популяций,

Биологическая популяция понимается как внутренне замкнутая, внешне изолированная совокупность особей одного вида, проживающих на некоторой ограниченной территории [93]. При этом численность особей, изменяющаяся с течением времени, является главной характеристикой каждой популяции. Методы, применяемые в биофизике сложных систем, оказались успешны при исследовании процессов, происходящих в биологических популяциях. Так, для описания динамики популяций используются нелинейные модели, учитывающие основные факторы их развития (рождаемость, смертность, межвидовые взаимодействия, миграция и т.д.). Почти все внутренние и внешние взаимодействия в таких системах изменяются с течением времени, то есть являются динамическими. При этом они, как правило, включают в себя положительные и отрицательные обратные связи и оказывают значительное влияние не только на динамику всей биологической системы, но и на изменение ее структуры [97].

Экспериментальное исследование процессов, протекающих в живых системах, выявление закономерностей их динамики зачастую осложняется требованиями достаточной длительности и повторяемости наблюдений. Математическое же моделирование позволяет не только быстро проанализировать различные сценарии развития системы, но и помогает предсказать их ход, а также оценить последствия тех или иных внешних воздействий. При этом вычислительный эксперимент является одним из основных способов теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание [106].

Благодаря активному применению математического моделирования удалось понять, что локальная динамика популяционной системы существенно зависит от ее

пространственной структуры, и наоборот, локальные процессы определяют ее пространственно-временную самоорганизацию. Большинство динамических систем являются автономными, т.е. их поведение определяется внутренними законами самой системы. Таким образом, активно развивающиеся математические и компьютерные методы позволяют моделировать процессы и выявлять особенности функционирования живых систем, которые ранее можно было обнаружить лишь эмпирически [38].

К первой известной работе, посвященной исследованию биологического процесса можно отнести дискретную модель Леонардо по прозвищу Фибоначчи, опубликованную в 1202 г. в книге «Трактат о счете», посвященную исследованию увеличения численности кроликов от одной пары в месяц. Решением задачи является ряд чисел, известный под именем ряда Фибоначчи, а его члены - числа Фибоначчи.

Следующие динамические модели локальных популяций оказали принципиальное влияние на формирование идей и принципов становления всей популяционной биологии. Первая из таких моделей принадлежит Т. Мальтусу (1798) [69, 229] и описывает динамику экспоненциального роста популяции. Далее была разработана «логистическая» модель Ферхюльста (1838) [249], описывающая эффект «насыщения». Эти модели имеют как непрерывную, так и дискретную во времени форму.

В настоящее время существует большое количество модификаций этих моделей, учитывающих разные факторы развития отдельных популяций, например, частоту встреч партнеров для размножения [278], ограниченность роста и внутривидовую конкуренцию (модель Бивертона-Холта [144]), сложный характер роста локальной популяции, рассмотренный Базыкиным [9], и др. С.П. Капица, в свою очередь, предложил модель гиперболического роста численности населения Земли [40]. Для популяций с выраженной сезонностью процессов рождаемости были разработаны аналоги логистических моделей, описывающих нелинейную зависимость (отображение) текущей численности (пополнение) от численности предыдущих сезонов (запас). Наиболее известную такую модель предложил У.Е. Рикер, которая успешно применяется для изучения динамики рыбных популяций [252].

Из анализа приведенных моделей следует, что при снятии ограничения с количества имеющихся ресурсов или постоянном их возобновлении происходит неограниченный рост численности популяции. Однако при ограничении запаса ресурсов или их возобновлении, не успевающем за потреблением, динамика численности замедляется и стремиться к некоторому стационарному значению, что, в свою очередь, приводит к изменению типа динамики. В моделях с непрерывным временем при ограниченном росте численности динамика становится немонотонной, а в моделях с дискретным временем - периодической или даже нерегулярной [129, 233].

1.2 Исследование динамики взаимодействующих популяций

Одной из важнейших характеристик популяции является общая численность ее особей, которая меняется с течением времени. В научной литературе говорится об изменении динамики численностей реальных популяций, таких как изменение длины цикла [8, 33, 127, 259] или полное его исчезновение, например, в популяциях леммингов (Ьеттш 1еттш) [75] и некоторых видов полевок [154, 184]. Также рассматривается ситуация перехода режимов динамики от равновесной численности к периодическим [143, 270] или хаотическим колебаниям [ 184, 241].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Курилова Екатерина Викторовна, 2026 год

Список использованных источников

1. Абрамова, Е. П. Динамические режимы стохастической модели «хищник-жертва» с учетом конкуренции и насыщения / Е. П. Абрамова, Т.В. Рязанова // Компьютерные исследования и моделирование. - 2019. - T. 11. - № 3. - С. 515-531.

2. Адамовская, О. Н. Особенности нейровегетативной и гуморальной регуляции когнитивной деятельности у подростков при использовании электронных устройств / О. Н. Адамовская, И. В. Ермакова, С. Б. Догадкина // Acta Biomedica Scientifica. - 2024. - Т. 9. - №. 1. - С. 85-95.

3. Аматов, М. А. Динамика численностей трех популяций типа «Хищник-две жертвы» с неперекрывающимися поколениями / М. А. Аматов, Г. М. Аматова // Естественные и математические науки в современном мире. - 2014. - №. 16. - С. 170-177.

4. Андронов, А.А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин -М.: Физматгиз, 1959 - 915 c.

5. Апонин, Ю.М. Математическая модель сообщества хищник-жертва с нижним порогом численности жертвы / Ю. М. Апонин, Е. А. Апонина // Компьютерные исследования и моделирование. - 2009. - T. 1. - № 1. - С. 51-56.

6. Арнольд, В. И. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В.С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников // Динамические системы - 5. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 5. - С. 5-218.

7. Астахов, С. А. Эволюция бассейнов притяжений аттракторов связанных систем с удвоением периода / С. А. Астахов, Б. П. Безручко, Е. П. Селезнев, Д. А. Смирнов // Изв. вузов, «ПНД». - 1997. - Т. 5. - № 2,3. - С 87-99.

8. Баженов, Ю. А. Население мелких млекопитающих окрестностей Торейских озер (Юго-Восточное Забайкалье) в период сухой климатической фазы: динамика и связь с осадками / Ю. А. Баженов // Сибирский экологический журнал. - 2019. - Т. 26. - №. 1. -С. 29-41.

9. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций / А.Д. Базыкин - М.: Ижевск: Ин-т компьют. исслед, 2003. - 368 с.

10. Баладжаева, А. А. Осетровые в Каспийском море и факторы, влияющие на их популяцию / А. А. Баладжаева //Вестник науки. - 2023. - Т. 2. - №. 6 (63). - С. 931-953.,

11. Барзуков, О. П. Кратная синхронизация в системе слабосвязанных объектов с одной степенью свободы / О. П. Барзуков // ПММ. - 1972. - Т.36. - №2. - С. 225-231.

12. Баханова, Ю. В. Спиральный хаос в моделях типа Лотки-Вольтерры /

Ю. В. Баханова, А. О. Казаков, А. Г. Коротков // Журнал средневолжского математического общества. - 2017. - Т. 19 - № 2. - С. 13-24.

13. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С.Бахвалов, Н. П. Жидков , Г. М. Кобельков. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 630 с.

14. Башкирцева, И. А. Анализ индуцированного шумом разрушения режимов сосуществования в популяционной системе «хищник - жертва» / И. А. Башкирцева, П. В. Бояршинова, Т. В. Рязанова, Л. Б. Ряшко // Компьютерные исследования и моделирование. - 2016. - Т. 8. - № 4. - С. 647-660.

15. Безручко, Б.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода / Б. П. Безручко, М. Д. Прохоров, Е. П. Селезнев // Изв. вузов. «ПНД». - 2002. - Т. 10. - № 4. - С. 47-68.

16. Белотелов, Н. В. Линейный анализ устойчивости двухуровневых систем с диффузией на экологическом примере / Н. В. Белотелов, Д. А. Саранча // Биофизика. - 1984. - № 1. - С. 130-134.

17. Бельская, К. А. Электроэнцефалографическая оценка нейродинамических компонентов деятельности мозга при психопатологии и их возможной роли в развитии нейрокогнитивного дефицита / К. А. Бельская, С. А. Лытаев // Russian Biomedical Research (Российские биомедицинские исследования). - 2024. - Т. 9. - №. 1. - С. 24-33.

18. Беляева, Е. А. Физиологическое значение различных колебаний и ритмов (обзор литературы)/ Е. А.Беляева, К. А. Хадарцева, М. В. Паньшина, О. А. Митюшкина // Вестник новых медицинских технологий. Электронное издание. - 2015. - Т. 9. - №. 1. - С. 3-6.

19. Берталанфи, Л. Общая теория систем. Критический обзор / Л. Берталанфи // Исследования по общей теории систем. - М.: Прогресс, 1969. - С.23-82.

20. Блехман, И.И. Синхронизация квазилинейных осцилляторов, связанных посредством сложной колебательной системы / И. И. Блехман, Ю. И. Марченко // Изв. АН СССР, МТТ - 1973. - № 6. - С. 13-27.

21. Блехман, И.И. Самосинхронизация вибраторов некоторых вибрационных машин / И. И. Блехман // Инженерный сборник. - 1953. - Т.16. - С. 49-72.

22. Блехман, И.И. Синхронизация в природе и технике / И.И. Блехман - Изд. 2-е, доп. - М.: ЛЕНАНД, 2015. - 440 с.

23. Бремзен, А.С. Анализ работы двух связанных релаксационных генераторов/ А. С. Бремзен, И. С. Файнберг // ЖТФ. - 1941. - T. 11. - №.10. - С. 959-971.

24. Буцко, Д. А. Исследование вариабельности сердечного ритма во время сна. Возможности и перспективы (Обзор)/ Д. А. Буцко, А. Ю.Горькавая, С. В. Кныш, Н. С. Чепурнова // Современные вопросы биомедицины. - 2024. - Т. 8. - №. 1. - С. 35-47.

25. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование/ В. Вольтерра. -М.: Наука, 1976. - 288 с.

26. Галанов, Е. К. Терагерцовое электромагнитное излучение нейронных структур / Е. К. Галанов // Инновационная наука. - 2024. - №. 1-2. - С. 24-31.

27. Гапонов, В. И. Два связанных генератора с мягкими самовозбуждениями /

B. И. Гапонов // Журн. Техн. Физики. - 1936 - Т. 6. - №. 5. - С.801-817.

28. Гаузе, Г.Ф. Борьба за существование / Г. Ф. Гаузе. - М.: Ижевск: Ин-т компьют. иссл, 2002. - 160 с.

29. Говорухин, В. Н. Медленный таксис в модели хищник-жертва / В. Н. Говорухин, А. Б. Моргулис, Ю. В. Тютюнов // Доклады Академии наук. - 2000. - Т. 372 -№ 6. - С. 730732.

30. Гурли, С. А. Нелокальные уравнения реакции-диффузии с запаздыванием: биологические модели и нелинейная динамика / С. А. Гурли, Дж. В.-Х. Соу, Дж. Х. Ву // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2003. - Т. 1. - С. 84-120.

31. Гюйгенс, Х. Три мемуара по механике / Х. Гюйгенс: Перевод. Редакция и примеч. Проф. К.К. Баумгарта - М.: Изд-во АН СССР, 1951.- 370 с.

32. Жаботинский, А. М. Концентрационные автоколебания / А. М. Жаботинский-М.: Наука, 1974. - 178с.

33. Жигальский, О. А. Структура популяционных циклов рыжей полевки (Myodes glareolus) в центре и на периферии ареала / О. А. Жигальский // Известия Российской академии наук. Серия биологическая. - 2011. - №. 6. - С. 733-746.

34. Заалишвили, В. Б. Нелинейные колебания грунтовой толщи по инструментальным и численным данным / В. Б. Заалишвили, Д. А. Мельков, А. Ф. Габараев, Т. И. Мерзликин // Геология и геофизика Юга России. - 2021. - Т. 11. - №. 4. - С. 70-82.

35. Заславский, Б.Г. Управление экологическими системами / Б. Г.Заславский, Р. А. Полуэктов. - М., 1988. - 294 с.

36. Зеленчук, П. А. Идеальное свободное распределение в модели «хищник-жертва» с трофической функцией Холлинга второго рода / П. А. Зеленчук // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2022. - Т. 19. - №. 1. -

C. 6-15.

37. Зенченко, Т. А. Возможные причины нестабильности воспроизведения гелиобиологических результатов / Т. А. Зенченко, Т. К. Бреус // Физика биологии и медицины. - 2023. - №. 1. - С. 4-25.

38. Канищева, О. И. Использование системы MathCad для изучения динамики биологических популяций / О. И. Канищева, В. С. Картушин // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. - 2019. - Т. 7. - №. 1. - С. 163-166.

39. Капица, П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П. Л. Капица. - ЖЭТФ, 1951. - Т. 25. - 588с.

40. Капица, С.П. Общая теория роста человечества: Сколько людей жило, живёт и будет жить на Земле / С. П. Капица - М.: Наука, 1999. - 189 с.

41. Картанович, А. В. Состояние ихтиофауны Онежского озера в условиях современного промысла / А. В. Картанович, Л. А. Беличева, А. В. Гужиева // Трансформация экосистем. - 2023. - Т. 6. - №. 4 (22). - С. 141-154.

42. Клочкова, И.Н. Обобщение теоремы о репродуктивном потенциале для матриц Логофета / И. Н. Клочкова // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. - 2004. -№3. - С. 45-48.

43. Колебательные процессы в биологических и химических системах: Труды... Всесоюз. симпозиума по колебательным процессам в биол. и хим. системах. / АН СССР. Науч. центр биол. исследований. Науч. совет по проблемам биол. физики. Ин-т биол. физики. - Пущино-на-Оке, 1967.

44. Колмогоров, А. Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций / А. Н. Колмогоров // Проблемы кибернетики. - 1972. - № 5. - С. 100-106

45. Коломиец, М. Методы качественной теории для модели Хиндмарш-Роуз / М. Коломиец, А. Шильников // Нелинейная динамика. - 2010. - Т. 6. - № 1. - С. 23-52.

46. Кровнин, А. С. Динамика запасов тресковых рыб в североатлантическом регионе / А. С. Кровнин, С. П. Мельников //Труды ВНИРО. - 2023. - Т. 192. - С. 55-67.

47. Кузнецов, А. П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. - 1991. - Т. 34. - № 10-12. - С. 1079-1115.

48. Кулаков, М. П. Подходы к описанию пространственной динамики миграционно-связанных популяций: анализ синхронизации циклов / М. П. Кулаков, Т. И. Аксенович, Е. Я. Фрисман // Региональные проблемы. - 2013. - Т. 16. - № 1. - С. 5-14.

49. Кулаков, М. П. Синхронизация, тоническая и пачечная динамика в модели двух сообществ «хищник-жертва», связанных миграциями хищника / М. П. Кулаков, Е. В. Курилова, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. - 2019. -Т. 14. - № 2. - С. 588-611.

50. Курилова, Е. В. Последствия синхронизации колебаний численностей в двух взаимодействующих сообществах типа «хищник - жертва» при насыщении хищника и

лимитировании численности жертвы / Е. В.Курилова, М. П. Кулаков, Е. Я. Фрисман // Информатика и системы управления. - 2015. - Т. 45. - № 3. - С. 24-34.

51. Курилова, Е. В. Условия синхронизации численности двух взаимосвязанных сообществ (на основе модели Лотки-Вольтерра) / Е. В. Курилова, М. П. Кулаков // Региональные проблемы. - 2014. - Т. 17. - №1. - С. 5-8.

52. Курилова, Е. В. Синхронизация колебаний в динамике численности двух миграционно-связанных сообществ «хищник-жертва». / Е. В. Курилова // Региональные проблемы.- 2014. - Т. 17. - №2. - С. 35-39.

53. Курилова, Е. В. Изучение условий возникновения сложных режимов в модели миграционно связанных сообществ «хищник-жертва» с быстрыми и медленными циклами/ Е. В. Курилова, М. П. Кулаков // Региональные проблемы. - 2019. - Т. 22. - № 1. - С. 12-19.

54. Курилова, Е. В. Изучение условий возникновения сложных режимов в быстро-медленной модели миграционно связанных сообществ / Е. В. Курилова, М. П. Кулаков // Региональные проблемы. - 2022. - Т. 25. - № 3. - С.174-176.

55. Курилова, Е.В. Квазипериодические режимы динамики миграционно связанных сообществ «хищник-жертва» / Е. В. Курилова, М. П. Кулаков // Региональные проблемы. -2020. - Т. 23. - № 2. - С.3-11.

56. Курилова, Е. В. Синхронизация быстро-медленной динамики миграционно связанных сообществ / Е. В. Курилова, М. П. Кулаков // Региональные проблемы. - 2021. -Т. 24. - № 2-3. - С.200-204.

57. Курилова, Е. В. Моделирование динамики добычи минеральных ресурсов в регионе: эконофизический подход / Е. В.Курилова, М. П. Кулаков, М. Ю. Хавинсон, Е. Я. Фрисман // Информатика и системы управления. - 2012. - № 4 (34). - С. 3-13.

58. Курилова, Е. В. Моделирование динамики потребления трудно возобновляемых ресурсов / Е. В. Курилова, М. П. Кулаков, Е. Я. Фрисман // Информатика и системы управления. - 2023. - Т. 2 - № 76. - С. 18-32.

59. Курилова, Е. В. Моделирование динамики взаимодействующих популяций типа «хищник-жертва» при постоянной миграции особей с сопредельных территорий / Е. В. Курилова, Е. Я. Фрисман // Региональные проблемы. - 2024. - Т. 27. - №. 1. - С. 62-77.

60. Ли, Ч. Введение в популяционную генетику / Ч. Ли. - М.: Мир, 1979. - 556 с.

61. Логофет, Д. О. Неотрицательные матрицы как инструмент моделирования динамики популяций: классические модели и современные обобщения / Д. О. Логофет, И. Н. Белова // Фундам. и прикл. математ. - 2007. - Т. 13. - №4. - С. 145-164.

62. Логофет, Д.О. Ценопопуляция незабудочника кавказского (eritrichiumcaucasicum) как объект математического моделирования. II. Сколько лет живет малолетник? /

Д. О. Логофет, Е. С. Казанцева, И. Н. Белова, В. Г. Онипченко // Журнал общей биологии. -2017. - Т. 78. - № 1. - С. 56-66.

63. Логофет, Д. О. Математика модели Лефковича: репродуктивный потенциал и асимптотические циклы / Д. О. Логофет, И. Н. Клочкова // Мат. моделирование. - 2002. -Т. 14. - №10. - С. 116 -126.

64. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье - М.: Физматгиз,1961. -

824 с.

65. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. - М.; Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

66. Макеева, А. А. Циклы-утки и торы-утки в слабонеоднородном ансамбле нейронов ФитцХью-Нагумо с возбуждающими связями / А. А. Макеева, А. С. Дмитричев,

B. И. Некоркин // Известия вузов. ПНД. - 2020. - Т. 28. - №. 5. - С. 524-546.

67. Малкин, И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин -М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.

68. Малкина - Пых, И. Г. Моделирование роста и развития однолетних растений с использованием метода функций отклика. 1. Общее описание модели. 2. Идентификация параметров / И. Г. Малкина - Пых // Физиология растений. - 1996. - Т. 43. - №6. -

C. 842-863.

69. Мальтус, Т. Опыт о законе народонаселения / Т. Мальтус - М.: Директмедиа Паблишинг, 2007. - 358 с.

70. Марченко, С. Л. Жизненные стратегии тихоокеанских лососей. Сообщение 2. Становление жизненных форм. Изменчивость соотношения полов / С. Л. Марченко // Известия ТИНРО. - 2024. - Т. 204. - №. 1. - С. 3-29.

71. Медвинский, А. Б. Формирование пространственно-временных структур, фракталы и концептуальных экологических моделях на пример динамики взаимодействующих популяций планктона и рыбы / А. Б. Медвинский, С. В. Петровский, И. А. Тихонова, Д. А. Тихонов,. Б.-Л Ли, Э. Вентурино, Х. Мальхё, Г. Р. Иваницкий // Успехи физических наук. - 2002. - Т. 172. - № 1. - С. 31-66.

72. Медвинский, А. Б. Концептуальная модель водных сообществ озер Нарочь и Мястро (Белоруссия) / А. Б. Медвинский, А. В. Русаков, А. Е. Бобырев, В. А. Бурменский, А. Е. Криксунов, Н. И. Нуриева, М. М. Гоник // Биофизика. - 2009. - Т. 54. - вып.1. - С. 120125.

73. Минорский, Н. О синхронизации / Н. Минорский; [В кН.: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Т. I]. - Киев: Изд-во АН СССР, 1961. - 23 с.

74. Миркин, Б. М. Количественные методы классификации, ординации и геоботанические индикации / Б. М. Миркин, Г. С. Розенберг // Итоги науки и техники. Ботаника. - М.: ВИНИТИ. - 1979. - Т. 3. - С. 71-137.

75. Миронов, А. Д. Популяционные циклы норвежского лемминга (1еттш) / А. Д. Миронов, Л. Н. Ердаков // Бюллетень Московского общества испытателей природы. Отдел биологический. - 2018. - Т. 123. - №. 6. - С. 12-21.

76. Молчанов, А.М. О резонансной структуре Солнечной системы; В кн.: Современные проблемы небесной механики и астродинамики / А. М. Молчанов. - М.: Наука, 1973. - С. 32-42.

77. Нагаев, Р. Ф. О внутренней синхронизации почти одинаковых динамических объектов под действием слабых линейных связей / Р. Ф. Нагаев - ПММ, 1964. - Т. 28.-вып.2. - С. 216-220.

78. Неверова, Г. П. Режимы динамики лимитированной структурированной популяции при избирательном промысле / Г. П. Неверова, А. И. Абакумов, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. - 2017. - Т. 12. - № 2. - С. 327-342.

79. Неверова, Г. П. Сложные режимы динамики в простой модели сообщества "хищник-жертва": бистабильность и мультистабильность / Г. П. Неверова, О. Л. Жданова // Математическая биология и биоинформатика. - 2023. - Т. 18. - №. 2. - С. 308-322.

80. Неверова, Г. П. Сравнение пространственно-временной динамики промысловых видов животных, обитающих на территориях Среднего Приамурья и Свердловской области / Г. П. Неверова, О. А. Жигальский, Н. И. Марков, Е. Я. Фрисман // Региональные проблемы. -2015. - Т. 18. - № 1. - С. 26-30.

81. Неверова, Г. П. Динамические режимы структурированного сообщества "хищник-жертва" и их изменение в результате антропогенного изъятия особей / Г. П.Неверова, О. Л. Жданова, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. - 2020. - Т. 15. - №. 1. - С. 73-92.

82. Неверова, Г. П. Моделирование динамики весенней численности популяции рыжей полевки (Myodes glareolus) / Г. П. Неверова, О. А. Жигальский, Е. Я. Фрисман // Региональные проблемы. - 2013. - Т. 16. - № 1. - С. 15-22.

83. Недорезов, Л. В. Лекции по математической экологии / Л. В. Недорезов. -Новосибирск: Сибирский хронограф, 1997. - 161 с.

84. Неймарк, Ю. И. О возникновении стохастичности в динамических системах / Ю. И. Неймарк. - Изв. Вузов, Радиофизика, 1974. - Т. 17. - №4. - С. 602-607.

85. Олемской, И. В. Конструирование явных методов типа Рунге-Кутта интегрирования систем специального вида / И. В. Олемской // Изв. вузов. Матем. - 2005. -

№ 2. - С. 75-80.

86. Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Куртс. - М.: Техносфера, 2003. - 496 с.

87. Плисс, Д. А. Разработка вибрационного способа сухой классификации полезных ископаемых; Отчет ВНИИ / Д. А. Плисс, И. М. Абрамович. - Л.: Механобр.., 1948.

88. Полетаев, И. А. О математических моделях элементарных процессов в биоценозах / И. А. Полетаев // Проблемы кибернетики. - М.: Наука. - 1966. - Вып. 16. -С. 171-190.

89. Полетаев, И. А. Модели Вольтера хищник-жертва и некоторые их обобщения с использованием принципа Либиха / И. А. Полетаев // Журнал общ. Биол. - 1973. -Т. 34. -№ 1 - С.43-57.

90. Примак, Р. Основы сохранения биоразнообразия / Р. Примак; [пер. с англ. О.С. Якименко, О.А. Зиновьевой]. - М.: Изд-во науч. и учебн.-методич. центра, 2002. - 256 с.

91. Пузаченко, А. Ю. Параметры динамики численности мелких млекопитающих в заповедной луговой степи в 1963-2023 гг. / А. Ю. Пузаченко, А. А. Власов, Е. А. Власов, О. П. Власова // Степи Северной Евразии: материалы X международного симпозиума. - 2024. - №. 10. - С. 1066-1074.

92. Разжевайкин, В. Н. О возникновении стационарных диссипативных структур в системе типа «хишник-жерва» / В. Н. Разжевайкин // Автоволновые процессы в системах с диффузией. - Горький: Горьковский ун-т.- 1981. - С. 243-249.

93. Ратнер, В. А. Математическая популяционная генетика / В. А. Ратнер. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1977. - 126 с.

94. Ревуцкая, О. Л. Бистабильность и бифуркации в модифицированной модели Николсона- Бейли при учете возрастной структуры жертвы / О. Л. Ревуцкая, М. П. Кулаков, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. - 2019. - Т. 14. - № 1. -С. 257-278.

95. Ревуцкая, О. Л. Модельный анализ демографических процессов в популяциях пушных охотничьих животных (на примере Еврейской автономной области) / О. Л. Ревуцкая, Г. П. Неверова // Региональные проблемы. - 2024. - Т. 27. - №. 1. - С. 5-20.

96. Ревуцкая, О. Л. Влияние промыслового изъятия на динамику популяций с возрастной и половой структурой / О. Л. Ревуцкая, Г. П. Неверова, Е. Я. Фрисман // Математическая биология и биоинформатика. - 2018. - Т. 13. - № 1. - С. 270-289.

97. Ризниченко, Г. Ю. Биофизическая динамика продукционных процессов / Г. Ю. Ризниченко, А. Б. Рубин. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 464 с.

98. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г. Ю. Ризниченко - Москва; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2003. - 184 с.

99. Ризниченко, Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии / Г. Ю. Ризниченко; Изд. 2-е, испр. и доп. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.

100. Рикер, У. Е. Методы оценки и интерпретации биологических показателей популяций рыб / У. Е. Рикер. - М.: Пищ. пром-ть, 1979. - 408 с.

101. Розенберг, Г. С. Введение в теоретическую экологию / Г. С. Розенберг. -Тольятти: Кассандра, 2013. - Т. 1. - 565 с.

102. Розенберг, Г. С. Модели в фитоценологии / Г. С. Розенберг. - М.: Наука, 1984. -

264 с.

103. Романов, В. П. Моделирование инновационной экосистемы на основе модели «хищник-жертва» / В. П. Романов, Б. А. Ахмадеев // Бизнес-информатика. - 2015. - № 1 (31). - С. 7-17.

104. Романовский, Ю. М. Математическое моделирование в биофизике / Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский. - М.: Наука, 1975. - 343 с.

105. Рюденберг, Р. Переходные процессы в электроэнергетических системах / Р. Рюденберг: Перев. Первого американского издания под ред В.Ю. Ломоносова. - М.: ИЛ, 1955. - 715 с.

106. Самарский, А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1997. - 239 с.

107. Свирежев, Ю. М. Устойчивость биологических сообществ / Ю. М. Свирежев, Д. О. Логофет. - М.: Наука, 1978. - 352 с.

108. Свирижев, Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии / Ю. М. Свирежев. - М.: Наука. 1987. - 368 с.

109. Серых, И. В. Хаос и порядок в атмосферной динамике. Часть 2. Междугодовые ритмы Эль-Ниньо-Южного колебания / И. В. Серых, Д. М. Сонечкин // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2017. - Т. 25. - №. 5. - С. 5-25.

110. Стаништсис, Ю. Оптимальное управление биотехническими процессами / Ю. Стаништсис. - Вильнюс, 1984. - 254 с.

111. Стретт, Дж. Теория звука. / Дж. Стретт (Лорд Рэлей) - Т. II - М.; Л.: Гостехиздат,

1944.

112. Суходоев, И. Г. Особенности синхронизации динамики численности в системе трех миграционно связанных популяций / И. Г. Суходоев, М. П. Кулаков, Е. В. Курилова, Е. Я. Фрисман //Региональные проблемы. - 2024. - Т. 27. - №. 1. - С. 50-61.

113. Тишутин, Н. А. Постуральный баланс при выполнении теста Ромберга у футболистов с различными типами вегетативной регуляции / Н. А. Тишутин // Журнал медико-биологических исследований. - 2024. - Т. 12. - №. 1. - С. 60-69.

114. Ткачева, И. С. Состояние ресурсов зайца-беляка (Lepus timidus L.) на территории Тверской области / И. С. Ткачева, М. К. Чугреев // Вестник АПК Верхневолжья. - 2023. -Т. 2. - С. 62.

115. Ткаченко, К. Г. Гетеродиаспория и сезонные колебания в ритмах прорастания / К. Г. Ткаченко // Региональные геосистемы. - 2009. - Т. 9. - №. 11.

116. Тузинкевич, А. В. Интегральные модели пространственно-временной динамики экосистем / А. В. Тузинкевич. - Владивосток: ИАПУ ДВО АН СССР, 1989. - 184 с.

117. Тураев, Д. В. О катастрофах голубого неба / Д. В. Тураев, Л. П. Шильников// Доклады АН СССР. - 1995. - Т. 342. - № 5. - С. 596-599.

118. Тютюнов, Ю. В. От Лотки-Вольтерра к Ардити-Гинзбургу: 90 лет эволюции трофических функций / Ю. В. Тютюнов, Л. И. Титова // Журнал общей биологии. - 2018. -T. 79. - № 6. - С. 428-448.

119. Фрисман, Е. Я. От локальной би-и квадростабильности к пространственно-временной неоднородности: обзор математических моделей и содержательные следствия / Е. Я. Фрисман, М. П. Кулаков // Компьютерные исследования и моделирование. - 2023. - Т. 15.

- №. 1. - С. 75-109.

120. Фрисман, Е.Я. Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций / Е. Я. Фрисман, М. П. Кулаков, О. Л. Ревуцкая, О. Л. Жданова, Г. П. Неверова // Компьютерные исследования и моделирование. - 2019. - Т. 11. - № 1. - С. 119-151.

121. Фрисман, Е. Я. Странные аттракторы в простейших моделях динамики численности популяций с возрастной структурой / Е. Я. Фрисман // Доклады академии наук.

- 1994. - Т. 338. - № 2. - С. 282-286.

122. Фрисман, Е. Я. О механизме сохранения неравномерности в пространственном распределении особей; В кн.: Математическое моделирование в экологии./ Е. Я. Фрисман -М.: Наука, 1978. - С. 145-153.

123. Фрисман, Е. Я. «Пятнистость» пространственных структур популяции и происхождение видов как следствие динамической неустойчивости / Е. Я. Фрисман, А. В. Тузинкевич, Н. П. Громова // Вестн. ДВО РАН. - 1996. - №4. - С. 120-129.

124. Холматов, Д. Н. Колебания сердечного ритма у школьников с различным типом вегетативной реактивности / Д. Н. Холматов, Б. К. Тагаев, Г. Ш. Солиева // Re-health journal.

- 2019. - №. 1. - С. 62-70.

125. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон.- М.: Мир, 1989. - 656 с.

126. Цибулин, В. Г. Нелинейная динамика системы хищник-жертва на неоднородном ареале и сценарии локального взаимодействия видов / В. Г. Цибулин, Х. Т. Данг, П. А. Зеленчук // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. -2021. - Т. 29. - №. 5. - С. 751-764.

127. Чернявский, Ф. Б. Динамика и демография популяций лесных полевок (р. Clethrionomys) в таежной зоне правобережья Колымы / Ф. Б. Чернявский, А. Н. Лазуткин, А. В. Ямборко // Вестник Северо-Восточного научного центра ДВО РАН. - 2007. - №. 2. -С. 107-111.

128. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. - М.: Гостехиздат, 1955. -

207 с.

129. Шапиро, А.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии / А. П. Шапиро, С. П. Луппов. - М.: Наука, 1983. - 132 с.

130. Шитиков, В. К. Рандомизация и бутстреп: статистический анализ в биологии и экологии с использованием R. / В. К. Шитиков, Г. С. Розенберг. - Тольятти: Кассандра, 2014.

- 314 с.

131. Abrams, D. M. Chimera states for coupled oscillators / D. M. Abrams, S. H. Strogatz // Physical review letters. - 2003. - Vol. 93. - No. 17. - P. 1-4.

132. Agiza, H. N. Chaotic dynamics of a discrete prey-predator model with Holling type II./ H. N. Agiza, E. M. Elabbasy, H. El-Metwally, A. A. Elsadany // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2009. - Vol. 10. - № 1. - P. 116-129.

133. Allen, J. C. Mathematical models of species interactions in time and space / J. C. Allen // Amer. Natur. - 1975. - Vol. 109. - No. 967. - P. 319-342.

134. Andersson, M. Influence of predation on rodent populations / M. Andersson, S. Erlinge // Oikos. - 1977. - P. 591-597.

135. Angerbjorn, A. Predator-prey relationships: arctic foxes and lemmings / A. Angerbjorn, M. Tannerfeldt, S. Erlinge // Journal of Animal Ecology. - 1999. - Vol. 68. - No. 1.

- P. 34-49.

136. Appleton, E. V. Automatic synchronization of triode oscillators / E. V. Appleton // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1922. - Vol. 21. - No. 231. - P. 1923.

137. Arnold, L. Geometric singular perturbation theory / L. Arnold, C. K. Jones, K. Mischaikow, G. Raugel, C. K. Jones //Dynamical Systems: Lectures Given at the 2nd Session of the Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME) held in Montecatini Terme, Italy, June 13-22, 1994. - 1995. - P. 44-118.

138. Asada, T. Coefficient criterion for four-dimensional Hopf bifurcations: a complete

mathematical characterization and applications to economic dynamics / T. Asada, H. Yoshida // Chaos, Solitons and Fractals. - 2003. - Vol. 18. - P. 525-536.

139. Bakhanova, Y. V. Spiral attractors as the root of a new type of "bursting activity" in the Rosenzweig-MacArthur model / Y. V. Bakhanova, A. O. Kazakov, A. G. Korotkov, T. A. Levanova, G. V. Osipov // The European Physical Journal Special Topics. - 2018. - Vol. 227.

- P. 959-970.

140. Bazykin, A.D. Nonlinear dynamics of interacting populations / A. D. Bazykin // World scientific series on Nonlinear Science. - Ser. A.- Vol.11. - WS. Sing., New - Jersey, London, Hong Kong. 1998. - 194 p.

141. Belykh, V. N. Homoclinic bifurcations leading to the emergence of bursting oscillations in cell models / V. N. Belykh, I. V. Belykh, M. Colding-J0rgensen, E. Mosekilde // Eur. Phys. J. E. - 2000. - No. 3. - P. 205-219.

142. Benoît, E. Chasse au canard / E. Benoît, J. L. Callot, F. Diener, M. Diener // Collectanea Mathematica. - 1981. - Vol. 31-32. - P. 37-119.

143. Berryman, A. A. Population: a central concept for ecology? / A. A. Berryman // Oikos.

- 2002. - Vol. 97. - No. 3. - P. 439-442.

144. Beverton, R. J. H. On the Dynamics of Exploited Fish Populations; Reprint, 1957 / R. J. H. Beverton, S. J. Holt. - Caldwell (NJ): Blackburn Press, 2005. - 533 p.

145. Bier, R. L. Ecosystem size-induced environmental fluctuations affect the temporal dynamics of community assembly mechanisms / R. L. Bier, M. Vass, A. J. Székely, S. Langenheder // The ISME Journal. - 2022. - Vol. 16. - No. 12. - P. 2635-2643.

146. Bi, Z. Dynamics of a predator-prey system with three species / Z. Bi, S. Pan // Boundary Value Problems. - 2018. - Vol. 2018. - No. 1. - P. 162.

147. Bj0rnstad, O. N. Spatial population dynamics: analyzing patterns and processes of population synchrony / O. N. Bj0rnstad, R. A. Ims, X. Lambin // Trends in Ecology & Evolution. -1999. - Vol. 14. - No. 11. - P. 427-432.

148. Briggs, C. J. Stabilizing effects in spatial parasitoid-host and predator-prey models: a review / C. J. Briggs, M. F. Hoopes // Theoretical population biology. - 2004. - Vol. 65. - No. 3. -P. 299-315.

149. Callaghan, T. V. Arctic tundra and polar desert ecosystems / T. V. Callaghan, L. O. Björn, T. Chapin, Y. Chernov, T. R. Christensen, B. Huntley, R. I. D. Jolly, S. Jonasson, N. Matveyeva, N. Panikov, W. Oechel, G. Shaver // Arctic climate impact assessment. - 2005. -Vol. 1. - P. 243-352.

150. Cantrell, R. S. Spatial ecology via reaction-diffusion equations / R. S. Cantrell, C. Cosner // John Wiley & Sons, 2004. - 410 p.

151. Caswell, H. Matrix Population Models: construction, analysis, and interpretation / H. Caswell. // Massachusetts: Sinauer Associates Ink., 2001. - 722 p.

152. Chernyavsky, F. B. Population cycles of lemmings in Arctic: ecological and endocrine aspects / F. B. Chernyavsky, A. V. Tkachev. - 1982.

153. Comins, H.N. The spatial dynamics of host-parasitoid systems / H. N. Comins, M. P. Hassell, R. M. May // Animal Ecology. - 1992. - Vol. 61. - P. 735-748.

154. Cornulier, T. Europe-wide dampening of population cycles in keystone herbivores / T. Cornulier, N. G. Yoccoz, V. Bretagnolle, J. E. Brommer, A. Butet, F. Ecke, D. A. Elston, E. Framstad, H. Henttonen, B. Hornfeldt, O. Huitu, C. Imholt, R. A. Ims, J. Jacob, B. J^drzejewska, A. Millon, S. J. Petty, H. Pietiainen, E. Tkadlec, K. Zub, X. Lambin // Science. - 2013. - Vol. 340. - No. 6128. - P. 63-66.

155. Cortez, M. H. Understanding rapid evolution in predator-prey interactions using the theory of fast-slow dynamical systems / M. H. Cortez, S. P. Ellner // The American Naturalist. -2010. - Vol. 176. - No. 5. - P.109-127.

156. Cressman, R. Migration Dynamics for the Ideal Free Distribution / R. Cressman, V. Krivan // The American Naturalist. - 2006. - Vol. 168. - No. 3. - P. 384-987.

157. Crowley, P. H. Dispersal and the stability of predator-prey interactions / P. H. Crowley // The American Naturalist. - 1981. - Vol. 118. - No. 5. - P. 673-701.

158. Dai, X. Survival Analysis of a Predator-Prey Model with Seasonal Migration of Prey Populations between Breeding and Non-Breeding Regions / X. Dai, H. Jiao, J. Jiao, Q. Quan // Mathematics. - 2023. - Vol. 11. - No. 18. - P. 3838.

159. Desrochesy, M. Spike-Adding in a Canonical Three-Time-Scale Model: Superslow Explosion and Folded-Saddle Canards / M. Desrochesy, V. Kirk // SIAM J. Applied dynamical systems. - 2018. - Vol. 17. - No. 3. - P. 1989-2017.

160. Dhooge, A. MatCont for bifurcation analysis of dynamical systems / A. Dhooge, W. Govaerts, Yu. A. Kuznetsov, H. G. E. Meijer, B. Sautois // MCMDS. - 2008. - Vol. 14. -No.2.- P. 147-175.

161. Emelyanova, E.Yu. Dynamics of three coupled Van der Pol oscillators, non-identical in control parameters / E. Yu. Emelyanova, A. P. Kuznetsov, L.V. Tyuryukina // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. - 2011. - Vol. 19. - No. 5. - P. 76-90.

162. Erlinge, S. Can vertebrate predators regulate their prey? / S. Erlinge, G. Goransson, G. Hogstedt, G. Jansson, O. Liberg, J. Loman, I. N. Nilsson, T. Schantz, M. Sylven // The American Naturalist. - 1984. - Vol. 123. - No. 1. - P. 125-133.

163. Erlinge, S. Predation as a regulating factor on small rodent populations in southern Sweden / S. Erlinge, G. Goransson, L. Hansson, G. Hogstedt, O. Liberg, I. N. Nilsson, T. Nilsson,

T. Schantz, M. Sylven // Oikos. - 1983. - P. 36-52.

164. Ersoz, E.K. Anticipation via canards in excitable systems / E. K. Ersoz, M. Desroches, C. R. Mirasso, S. Rodrigues // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science.- 2019. -Vol. 29. - No. 1.

165. Fischer, B.A. The wave of advance of advantageous genes / B. A. Fischer // Ann. Eugenica. - 1937. - Vol. 7. - P. 355-369.

166. Friman, V. P. Pulsed-resource dynamics constrain the evolution of predator-prey interactions / V. P. Friman, J. Laakso // The American Naturalist. - 2011. - Vol. 177. - №. 3. -P. 334-345.

167. Frisman, E. Ya. Differences in densities of individuals in population with uniform range / E. Ya. Frisman // Ecol. Modelling. - 1980. - No. 8. - P. 345-354.

168. Frisman, E. Ya. Change of dynamic regimes in the population of species with short life cycles: Results of an analytical and numerical study / E. Ya. Frisman, G. P. Neverova, M. P. Kulakov // Ecological Complexity. - 2016. - Vol. 27. - P. 2-11.

169. Gaspard, P. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: A two-parameter analysis / P. Gaspard, R. Kapral, G. Nicolis //Journal of Statistical Physics. - 1984. - Vol. 35. -P. 697-727.

170. Ghosh, S. A two-patch prey-predator model with food-gathering activity / S. Ghosh, S. Bhattacharyya // J Appl Math Comput. - 2011. - Vol. 37. - P. 497-521.

171. Goldacre, R. The Control of Rhythm and Homeostasis in Biology and Medicine / R. Goldacre // Cibernetica. - 1960. - No. 2.

172. Goldwyn, E. E. When can dispersal synchronize populations? / E. E. Goldwyn,

A. Hastings // Theoretical population biology. - 2008. - Vol. 73. - No. 3. - C. 395-402.

173. Gyllenberg, M.. Single-species metapopulation dynamics: a structured model / M. Gyllenberg, I. Hanski // Theoretical Population Biology. - 1992. - Vol. 42. - P. 35-61.

174. Haldane, J.B.S. A mathematical theory of natural and artificial selection. Part VI. / J. B. S. Haldane // Pcoc. Cambr. Philos. Soc. - 1930. - Vol. 26. - No. 2. - P. 220-230.

175. Hansen, J. H. Ecological consequences of animal migration: prey partial migration affects predator ecology and prey communities / J. H. Hansen, C. Skov, H. Baktoft, C. Bronmark,

B. B. Chapman, K. Hulthen, L.-A. Hansson, P. A. Nilsson, J. Brodersen // Ecosystems. - 2020. -Vol. 23. - P. 292-306.

176. Hansen, P. E. Leslie matrix models / P. E. Hansen // Mathematical Population Studies. - 1989. - Vol. 2. - No. 1. - P. 37-67.

177. Hanski, I. Two general metapopulation models and the core-satellite species hypothesis / I. Hanski, M. Gyllenberg // American Naturalist. - 1993. - Vol. 142. - No. 1. - P. 17-41.

178. Hanski, I. Habitat loss, the dynamics of biodiversity, and a perspective on conservation / I. Hanski // Ambio. - 2011. - Vol. 40. - No. 3. - P. 248-255.

179. Hanski, I. Predation on competing rodent species: a simple explanation of complex patterns / I. Hanski, H. Henttonen // Journal of Animal Ecology. - 1996. - P. 220-232.

180. Hassell, M. P. Stability and complexity in model ecosystems. / M. P. Hassell, H. N. Comins, R. M. May // Nature. - 1991. - Vol. 353. P. 255-258.

181. Hayes, D. B. A biological reference point based on the Leslie matrix / D. B. Hayes // Fish. Bull. - 2000. - Vol. 98. - P. 75-85.

182. Henden, J. A. Nonstationary spatio-temporal small rodent dynamics: evidence from long-term Norwegian fox bounty data / J. A. Henden, R. A. Ims, N. G. Yoccoz // Journal of Animal Ecology. - 2009. - Vol. 78. - No. 3. - P. 636-645.

183. Henson, S. M. Phase switching in population cycles / S. M. Henson, J. M. Cushing, R. F. Costantino, B. Dennis, R. A. Desharnais, // Proceedings of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences. - 1998. - T. 265. - No. 1411. - P. 2229-2234.

184. Henttonen, H. Population dynamics of small rodents in northern Fennoscandia / H. Henttonen, I. Hanski // Chaos in Real Data: The Analysis of Non-Linear Dynamics from Short Ecological Time Series - Dordrecht : Springer Netherlands, - 2000. - P. 73-96.

185. Hilker, F. M. The Allee effect and infectious diseases: extinction, multistability, and the (dis-) appearance of oscillations / F. M. Hilker, M. Langlais, H. Malchow // The American Naturalist. - 2009. - Vol. 173. - No. 1. - P. 72-88.

186. Hindmarsh, J. L. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations / J. L. Hindmarsh, R. M. Rose // Proceedings of the Royal society of London. Series B. Biological sciences. - 1984. - Vol. 221. - No. 1222. - P. 87-102.

187. Holling, C. S. Some characteristics of simple types of predation and parasitism / C. S. Holling // Canadian Entomologist. - 1959. - Vol. 91. - P. 385-398.

188. Holling, C.S. The functional response of predators to prey density and its role in mimicry and population regulation / C.S. Holling // The Memoirs of the Entomological Society of Canada. - 1965. - Vol. 97. - No. 45. - P. 5-60.

189. Holt, R.D. Population dynamics in two-patch environments: some anomalous consequences ofan optimal habitat distribution / R. D. Holt // Theor. Popul. Biol. - 1985. - Vol. 28. - P. 181-208.

190. Hsu, C. H. Existence of traveling wave solutions for diffusive predator-prey type systems / C. H. Hsu, C. R. Yang, T. H. Yang, T. S. Yang // Journal of Differential Equations. -2012. - Vol. 252. - No. 4. - P. 3040-3075.

191. Huang, Y. L. Traveling wave solutions in a diffusive system with two preys and one

predator / Y. L. Huang, G. Lin // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2014. -Vol. 418. - No. 1. - P. 163-184.

192. Hubert, J. J. Environment risk assessment./ J. J. Hubert // Univ. of Guelph Printing Service, 1996. - 516 p.

193. Huffaker, C. B. Theory and practice of biological control / C. B. Huffaker // Elsevier, 2012.-787p.

194. Hu, Z. Stability and bifurcation analysis of a discrete predator-prey model with nonmonotonic functional response / Z. Hu, Z. Teng, L. Zhang // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2011. - Vol. 12. - No. 4. - P. 2356-2377.

195. Ims, R. A. Geographical synchrony in microtine population cycles: a theoretical evaluation of the role of nomadic avian predators / R. A. Ims, H. Steen // Oikos. - 1990. - P. 381387.

196. Ims, R. A. Trophic interaction cycles in tundra ecosystems and the impact of climate change / R. A. Ims, E. V. A. Fuglei // Bioscience. - 2005. - Vol. 55. - No. 4. - P. 311-322.

197. Islam, M. S. Analysis of an Eco-Epidemic Predator-Prey Model with Nonlinear Prey Refuges and Predator Harvesting / M. S. Islam, S. Sarwardi // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. - 2023. - Vol. 12. - No. 03. - P. 465-483.

198. Ives, A. R. Continuous-time models ofhost-parasitoid interactions. / A. R. Ives // Am. Nat. - 1992. - Vol. 140. - P. 1-29.

199. Izhikevich, E.M. Neural excitability, spiking and bursting / E.M. Izhikevich // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2000. - Vol. 10. - No. 06. - P. 1171-1266.

200. Izhikevich, E.M. Synchronization of Elliptic Bursters / E.M. Izhikevich // SIAM REVIEW. 2001. - Vol. 43. - No. 2. - P. 315-344.

201. Jansen, V. A. A. The Dynamics of Two Diffusively Coupled Predator-Prey Populations / V. A. A. Jansen // Theoretical Population Biology. - 2001. - Vol. 59. - No. 2. -P. 119-131.

202. Johnson, M. T. J. Evolution in plant populations as a driver of ecological changes in arthropod communities / M. T. J. Johnson, M. Vellend, J. R. Stinchcombe // Philosophical Transactions of the Royal Society B: Biological Sciences. - 2009. - Vol. 364. - No. 1523. -P. 1593-1605.

203. Kaneko, K. Clustering, coding, switching, hierarchical, ordering, and control in network of chaotic elements / K. Kaneko // Physica D. - 1990. - Vol. 41. - P. 137-172.

204. Kang, Y. A two-patch prey-predator model with predator dispersal driven by the predation strength / Y. Kang, S. K. Sasmal, K. Messan // Mathematical Biosciences and Engineering. - 2017. - Vol. 14. - No. 4.- P. 843-880.

205. Khibnik, A.I. Three mechanisms of Red Queen dynamics / A. I. Khibnik, A. S. Kondrashov // Proceedings of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences. -1997. - Vol. 264. - P. 1049-1056.

206. Kimura, M. The Stepping Stone Model of Population Structure and the Decrease of Genetic Correlation with Distance. / M. Kimura, G. H. Weiss // Genetics. - 1964. - Vol. 49. -No. 4. P. 561-576.

207. Kon, R. Multiple attractors in host-parasitoid interactions: Coexistence and extinction. / R. Kon // Mathematical Biosciences. - 2006. - Vol. 201. - No. 1-2. - P. 172-183.

208. Korpimaki, E. The boreal owl: ecology, behaviour and conservation of a forest-dwelling predator / E. Korpimaki, H. Hakkarainen // Cambridge University Press, 2012.

209. Korpimaki, E. Predation and population cycles of small mammals: a reassessment of the predation hypothesis / E. Korpimaki, C. J. Krebs // BioScience.- 1996. - Vol. 46. - No. 10. -P. 754-764.

210. Krebs, C. J. Population cycles in small mammals / C. J. Krebs, J. H. Myers // Advances in ecological research. - 1974. - Vol. 8. - P. 267-399.

211. Kritzer, J. Marine metapopulations / J. Kritzer, P. Sale. - New York: Academic Press, 2006. - 576 p.

212. Krivan, V. The effect of the Holling type II functional response on apparent competition / V. Krivan, J. Eisner // Theoretical Population Biology. - 2006. - Vol. 70. - P. 421430.

213. Kulakov, M. P. Approaches to describing the spatial dynamics of migration-related populations: analysis of cycle synchronization / M. P. Kulakov, T. I. Aksenovich, E. Ya. Frisman // Regional problems. - 2013. - Vol. 16. - No. 1. - P. 5-15.

214. Kulakov, M. P. Patterns of clustering of population dynamics in the process of dispersal of individuals across a linear range / M. P. Kulakov // Regional problems. - 2015. -Vol. 18. - No. 4. - P. 33-39.

215. Kuramoto, Y. Coexistence of coherence and incoherence in nonlocally coupled phase oscillators / Y. Kuramoto, D. Battogtokh // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2002. -Vol. 5. - No. 4. - P. 380-385.

216. Kurilova, E. V. Mechanisms leading to bursting oscillations in the system of predator-prey communities coupled by migrations / E. V. Kurilova, M. P. Kulakov, E. Ya. Frisman // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. - 2023. - Vol. 31 -No. 2. - P. 143-169.

217. Kuznetsov, A. P. Dynamics of three coupled quasiperiodic oscillators / A. P. Kuznetsov, Yu. V. Sedova, N. V. Stankevich // Differential equations and control processes. -

2023. - No. 1. - P. 54-77.

218. Kuznetsov, Y. A. Remarks on food chain dynamics / Y. A. Kuznetsov, S. Rinaldi // Mathematical biosciences. - 1996. - Vol. 134. - No. 1. - P. 1-33.

219. Lefkovitch, L.P. The study of population growth in organisms grouped by stages / L. P. Lefkovitch // Biometrics. - 1965. - Vol. 21. - P. 1-18.

220. Leslie, P.H. On the use of matrices in certain population mathematics / P. H. Leslie // Biometrika. - 1945. - Vol. 33. - P. 183-212. DOI: https://doi.org/10.2307/2332297

221. Levins, R. Some demographic and genetic consequences of environmental heterogeneity for biological control / R. Levins // Bulletin of the Entomological Society of America. - 1969. - Vol. 15. - P. 237-240.

222. Liu, Y. The dynamical behavior of a two patch predator-prey Model / Y. Liu // Theses, Dissertations, & Master Projects. 2010. - 46 p.

223. Logofet, D.O. Estimating the fitness of a local discrete-structured population: from uncertainty to an exact number / D.O. Logofet // Ecological Modelling. - 2016. - Vol. 329. -P. 112-120.

224. Lomnicki, A. Why do populations of small rodents cycle? A new hypothesis with numerical model / A. Lomnicki // Evolutionary Ecology. - 1995. - Vol. 9. - P. 64-81.

225. Lotka, A. J. Elements of physical biology / A. J. Lotka // Baltimore: Williams and Wilkins. - 1925. - P. 341-343.

226. Lotka, A. J. Analytical theory of biological populations / Lotka A.J. // Springer Science & Business Media, 1998. - 220 p.

227. Mackinnon, J. L. Scale invariant spatio-temporal patterns of field vole density / J. L. Mackinnon, S. J. Petty, D. A. Elston, C. J. Thomas, T. N. Sherratt, X. Lambin // Journal of Animal Ecology. - 2001. - Vol. 70. - No. 1. - P. 101-111.

228. MacLean, Jr. S. F. Population cycles in arctic lemmings: winter reproduction and predation by weasels / Jr. S. F. MacLean, B. M. Fitzgerald, F. A. Pitelka // Arctic and Alpine Research. - 1974. - Vol. 6. - No. 1. - P. 1-12.

229. Malthus, T. R. An essay on the principle of population (1798) / T. R. Malthus // The Works of Thomas Robert Malthus. - London, Pickering & Chatto Publishers. - 1986. - Vol. 1. -P. 1-139.

230. Manica, V. Population distribution and synchronized dynamics in a metapopulation model in two geographic scales / V. Manica, J. A. L. Silva // Mathematical Biosciences.- 2014. -Vol. 250. - P. 1-9.

231. Manly, B.F.J. Randomization, bootstrap and Monte Carlo methods in biology / B.F.J. Manly - London: Chapman & Hall, 2007. - 445 p.

232. Maruyama, T. Effective number of alleles in subdivided population / T. Maruyama // Theor. Pop. Biol. - 1970. - Vol. 1. - No. 1. - P. 273-306.

233. May, R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics / R. M. May // Nature. - 1976. - Vol. 261. - P. 459-467.

234. May, R. M. Synchronicity, chaos and population cycles: spatial coherence in an uncertain world / R. M. May, A. L. Lloyd // Trends Ecol. Evol. - 1999. - Vol. 14. - No. 11. -P. 417-418.

235. Mayer, A. On the theory of coupled vibrations on two self-excited generators / A. Mayer // Technical physics of the USSR. - 1935. - Vol. 11. - No. 5. - P. 1.

236. Mitcherlich, E. A. Das Wirkungsgesetzt der Washstumsfaktoren / E. A. Mitcherlich, F. Duhring, S. von Sauchen // Land. Jahrb. - 1921. - Vol. 56. - P. 71-93.

237. Mukhopadhyay, B. Role of predator switching in an eco-epidemiological model with disease in the prey / B. Mukhopadhyay, R. Bhattacharyya // Ecological Modelling. - 2009. -Vol. 220. - No. 7. - P. 931-939.

238. Murray, J. D. Mathematical biology / J. D. Murray- Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 2002. - 551 p.

239. Namba, T. The effects of habitat fragmentation on the persistence of source-sink metapopulations in systems with predators and prey or apparent competitors / T. Namba, A. Umemoto, E. Minami // Theor. Popul. Biol. - 1999. - Vol. 56. - P. 123-137.

240. Neverova, G .P. Mode change in the dynamics of exploited limited population with age structure / G. P. Neverova, A. I. Abakumov, I. P. Yarovenko, E. Ya. Frisman // Nonlinear Dynamics. - 2018. - Vol. 94. - P. 827-844.

241. Neverova, G. P. Changes in population dynamics regimes as a result of both multistability and climatic fluctuation / G. P. Neverova, M. P. Kulakov, E. Ya. Frisman // Nonlinear Dynamics. - 2019. - Vol. 97. - No. 1. - P. 107-122.

242. Nguyen J. Environmental fluctuations and their effects on microbial communities, populations and individuals / J. Nguyen, J. Lara-Gutierrez, R. Stocker // FEMS microbiology reviews. - 2021. - Vol. 45. - No. 4. - P. 68.

243. Nicholson, A. J. Supplement: the Balance of Animal Populations / A. J. Nicholson // Journal of Animal Ecology. - 1933. - Vol. 2. - No. 1. - P. 131-178.

244. Norbury, G. Conserving dryland lizards by reducing predator-mediated apparent competition and direct competition with introduced rabbits / G. Norbury // Journal of applied ecology. - 2001. - Vol. 38. - No. 6. - P. 1350-1361.

245. Opdam P. Metapopulation theory and habitat fragmentation: a review of holarctic breeding bird studies // Landscape Ecology. 1991. Vol. 5. No. 2. P. 93-106.

246. Oppo, G.- L. Discrete models for the formation and evolution of spatial structure in dissipative systems / G.-L. Oppo, R. Kapral // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol. 33. - No. 6. - P. 42194231.

247. Pan, S. Convergence and traveling wave solutions for a predator-prey system with distributed delays / S. Pan // Mediterranean Journal of Mathematics - 2017. - Vol. 14. - P. 1-15.

248. Pan, S. Invasion speed of a predator-prey system / S. Pan // Applied Mathematics Letters. - 2017. - Vol. 74. - P. 46-51.

249. Pearl, R. The Biology of Population Growth / R. Pearl. - N.Y.: Alfred A. Knopf, 1925. - 260 p.

250. Reeve, J. D. Environmental variability, migration, and persistence in host-parasitoid systems / J. D. Reeve // The American Naturalist. - 1988. - Vol. 132. - No. 6. - P. 810-836.

251. Reimer, J. R. Evidence of intraspecific prey switching: stage-structured predation of polar bears on ringed seals / J. R. Reimer, H. Brown, E. Beltaos-Kerr, G. de Vries // Oecologia. -2018. - Vol. 189. - No. 1. - P. 133-148.

252. Ricker, W.E. Stock and recruitment / W.E. Ricker // J. Fish. Res. Board Can. - 1954. -Vol. 11. - No. 5. - P. 559-623.

253. Rinaldi, S. Slow-fast limit cycles in predator-prey models / S. Rinaldi, S. Muratori // Ecological Modelling. - 1992. - Vol. 61. - P. 287-308.

254. Rosenzweig, A. Graphical representation and stability conditions of predator-prey interaction / A. Rosenzweig, R. H. MacArthur // Amer. Natur. - 1963. - Vol. 97. - P. 209-223.

255. Saha, S. Chimera states in ecological network under weighted mean-field dispersal of species / S. Saha, N. Bairagi, S. K. Dana // Front. Appl. Math. Stat. - 2019. - Vol. 5:15. - P. 1-11.

256. Saifuddin, Md. Complex dynamics of an eco-epidemiological model with different competition coefficients and weak Allee in the predator / Md. Saifuddin, S. Biswas, S. Samanta, S. Sarkar, J. Chattopadhyay // Chaos, Solitons & Fractals. - 2016. - Vol. 91. - P. 270-285.

257. Schmidt, K. A. Numerical and behavioral effects within a pulse-driven system: consequences for shared prey / K. A. Schmidt, R. S. Ostfeld // Ecology. - 2008. - Vol. 89. - No. 3. - P. 635-646.

258. Sears, A. L. W. Feast and famine in food webs: the effects of pulsed productivity / A. L. W. Sears, R. D. Holt, G. A. Polis // Food webs at the landscape level. University of Chicago Press, Chicago, Illinois, USA. - 2004. - P. 359-386.

259. Sheriff, M. J. The sensitive hare: sublethal effects of predator stress on reproduction in snowshoe hares / J. Sheriff M., C. J. Krebs, R. Boonstra// Journal of Animal Ecology.- 2009.-Vol. 78. - No. 6. - P. 1249-1258.

260. Shang, X. Traveling wave solutions of n-dimensional delayed reaction-diffusion

systems and application to four-dimensional predator-prey systems / X. Shang, Z. Du, X. Lin // Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2016. - T. 39. - No. 6. - C. 1607-1620.

261. Shen, Y. Transition to burst synchronization in coupled neuron networks / Y. Shen Z. Hou, H. Xin // Physical Review E. - 2008. - Vol. 77. - No. 3 - P. 031920.

262. Shilnikov, A. Homoclinic bifurcations of periodic orbits en a route from tonic-spiking to bursting in neuron models / A. Shilnikov, G. Cymbalyuk // Regular and Chaotic Dynamics. -2004. - Vol. 9. - No. 3. - P. 281-297.

263. Shilnikov, A. Blue-sky catastrophe in singularly perturbed systems / A. Shilnikov, L. Shilnikov, D. Turaev // Moscow Mathematical Journal. - 2005. - Vol. 5. - No. 1. - P. 269-282.

264. Sundell, J. Large-scale spatial dynamics of vole populations in Finland revealed by the breeding success of vole-eating avian predators / J. Sundell, O. Huitu, H. Henttonen, A. Kaikusalo, E. Korpimaki, H. Pietiainen, P. Saurola, I. Hanski //Journal of Animal Ecology. - 2004. - Vol. 73. -No. 1. - P. 167-178.

265. Sun, G. Q. Dynamical complexity of a spatial predator-prey model with migration / G. Q. Sun, Z. Jin, Q. X. Liu, L. Li // Ecological modelling. - 2008. - Vol. 219. - No. 1-2. - P. 248-255.

266. Sun, G. Q. Mathematical modeling and mechanisms of pattern formation in ecological systems: a review / G. Q. Sun, H. T. Zhang, J. S. Wang, J. Li, Y. Wang, L. Li, Y. P. Wu, G. L. Feng, Z. Jin // Nonlinear Dynamics. - 2021. - Vol. 104. - P. 1677-1696

267. Sun, G. Q. On the dynamics of a diffusive foot-and-mouth disease model with nonlocal infections / G. Q. Sun, H. T. Zhang, L. L. Chang, Z. Jin, H. Wang, S. Ruan // SIAM journal on applied mathematics. - 2022. - Vol. 82. - No. 4. - P. 1587-1610.

268. Su, Y. Global Dynamics of a Predator-Prey Model with Fear Effect and Impulsive State Feedback Control / Y. Su, T. Zhang // Mathematics. - 2022. - Vol. 10. - No. 8. - P. 1229.

269. Teller, A. Responses of forest ecosystems to environmental changes / A. Teller, P. Mathy, J. N. R. Jeffers // Elsevier Appl. Sci. London- New-York, 1992. - 297 p.

270. Turchin, P. Living on the edge of chaos: population dynamics of Fennoscandian voles / P. Turchin, S. P. Ellner // Ecology. - 2000. - Vol. 81. - No. 11. - P. 3099-3116.

271. Turchin, P. An empirically based model for latitudinal gradient in vole population dynamics / P. Turchin, I. Hanski // The American Naturalist. - 1997. - Vol. 149. - No. 5. -P. 842-874.

272. Turing, A. M. Programmers' handbook for the manchester electronic computer mark II / A. M. Turing, R. Brooker // University of Manchester. - 1952.

273. Turing, A. M. The chemical basis of morphogenesis / A. M. Turing // Bulletin of mathematical biology. - 1990. - Vol. 52. - P. 153-197.

274. Tyutyunov, Yu. V. Prey-taxis destabilizes homogeneous stationary state in spatial Gause-Kolmogorov-type model for predator-prey system / Yu. V. Tyutyunov, L. I. Titova, I. N. Senina // Ecological Complexity. - 2017. - Vol. 31. - P. 170-180.

275. Tyutyunov, Yu. V. Spatiotemporal pattern formation in a prey-predator system: The case study of short-term interactions between diatom microalgae and microcrustaceans / Yu. V. Tyutyunov, A. D. Zagrebneva, A. I. Azovsky // Mathematics. - 2020. - Vol. 8. - No. 7. -P. 1065.

276. Upadhyay, R. K. Modeling spatiotemporal dynamics of vole populations in Europe and America / R. K. Upadhyay, N. Kumari, V. Rai // Mathematical biosciences. - 2010. - Vol. 223. -No. 1. - P. 47-57.

277. Usher, M. B. A matrix model for forest management / M. B. Usher // Biometrics. 1969.

- Vol. 25. - No. 3. - P. 309-315.

278. Vandermeer, J. H. Population Ecology: First Principles / J. H. Vandermeer, D. E. Goldberg - Princeton (NJ): Princ. Univ. Press, 2003. - 296 p.

279. Van der Pol, B. Le battement du Coeur considere comme oscillation de relaxation et un modele electrique de Coeur / B. Van der Pol, M..- L Van der Mark // Onde electrique. - 1928, No. 7.

280. Von Foerster, H. Doomsday / H. von Foerster, P. M. Mora, L.W. Amiot // Science.-1971. - Vol. 133. - P. 936-946.

281. Waller, I. Spatial and temporal structure in systems of coupled nonlinear oscillators / I. Waller, R. Kapral // Phys. Rev. A. - 1986. - Vol. 30. - No 4. - P. 2047-2055.

282. Wang, X. S. Traveling waves of diffusive predator-prey systems: disease outbreak propagation / X. S. Wang, H. Wang, J. Wu // Discrete Contin. Dyn. Syst. - 2012. - Vol. 32. -No. 9. - P. 3303-3324,

283. Wang, Z. C. Time periodic traveling waves for a periodic and diffusive SIR epidemic model / Z. C. Wang, L. Zhang, X. Q. Zhao // Journal of Dynamics and Differential Equations. -2018. - Vol. 30. - P. 379-403.

284. Wright, S. Breeding structure of population in relation to speciation / S. Wright // Amer. Natur. - 1940. - Vol. 74. - P. 232-248.

285. Wysham, D.B. Sudden shift Ecological systems: intermittency and transients in the coupled Riker population model / D. B. Wysham, A. Hastings // Bulletin of Mathematical Biology.

- 2008. - Vol. 70. - P. 1013-1031.

286. Xu, C. Permanence and global attractivity in a discrete Lotka-Volterra predator-prey model with delays / C. Xu, Y. Wu, L. Lu // Advances in Difference Equations.- 2014. - Vol. 1. -P. 1-5.

287. Yang, L. H. What can we learn from resource pulses / L. H. Yang, J. L. Bastow, K. O. Spence, A. N. Wright // Ecology. - 2008. - Vol. 89. - №. 3. - C. 621-634.

288. Yoshida, T. Cryptic population dynamics: rapid evolution masks trophic interactions/ T. Yoshida, S. P. Ellner, L. E. Jones, B. J. M. Bohannan, R. E. Lenski, N. G. Hairston Jr // PLoS biology. - 2007. - Vol. 5. - No. 9. - P. 235.

289. Yoshida, T. Rapid evolution drives ecological dynamics in a predator-prey system / T. Yoshida, L. E. Jones, S. P. Ellner, G. F. Fussmann, N. G. Hairston Jr // Nature. - 2003. -Vol. 424. - No. 6946. - P. 303-306.

290. Zhao, J. Stability and bifurcation analysis of a discrete predator-prey system with modified Holling-Tanner functional response. / J. Zhao, Y. Yan // Advances in Difference Equations. - 2018. - Vol. 2018. - No. 1. - P. 402.

291. Zhao, X. Q. Spatial dynamics of some evolution systems in biology / X. Q. Zhao // Recent progress on reaction-diffusion systems and viscosity solutions. - 2009. - P. 332-363.