Синтез адаптивного робастного регулятора беспилотного летательного аппарата на основе квазилинеаризации и политопного представления модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шабашов Александр Алексеевич

• Шабашов Александр Алексеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Шабашов Александр Алексеевич

2.3 Численное моделирование

2.4 Выводы по главе

3 Разработка метода синтеза адаптивного робастного регулятора беспилотного летательного аппарата на основе политопного представления квазилинейной модели

3.1 Постановка задачи Н^ -оптимального управления для представления квазилинейной модели в политопной форме

3.2 Решение задачи Н^-оптимального управления для политопного случая

3.3 Анализ асимптотической устойчивости

3.4 Применение разработанного метода для синтеза адаптивного робастного наблюдателя

3.5 Численное моделирование

3.5.1 Регулятор бокового канала

3.5.2 Наблюдатель продольного канала

3.6 Выводы по главе

52

4 Синтез многоканальной системы стабилизации гипотетического беспилотного летательного аппарата со значительной вариацией динамических ха-

рактеристик

4.1 Описание системы стабилизации и постановка технической задачи

4.2 Квазилинеаризация нелинейной модели бокового движения

4.3 Аспекты сложности и точности представления квазилинейной модели в политопной форме

4.4 Разработка дискретного многоканального регулятора с беспоисковой адаптацией и робастными свойствами

4.5 Численное моделирование

4.6 Полунатурное моделирование

4.7 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение 1. Копии документов о внедрении результатов диссертационной

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез адаптивного робастного регулятора беспилотного летательного аппарата на основе квазилинеаризации и политопного представления модели»

работы 86

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящее время беспилотные летательные аппараты (БПЛА) широко применяются для разных задач во многих областях, таких, как гражданская, военная и научная. Особый интерес использования БПЛА заключается в полете по заданному маршруту без участия человека. Для обеспечения этой способности на борту БПЛА устанавливают систему навигации и автоматического управления, в состав которой входят различные измерители (акселерометры, гироскопы и т.д.) и вычислительный комплекс с реализованными в нем алгоритмами автономного функционирования.

Движение по заданному маршруту является нетривиальной и многогранной задачей, за решение которой непосредственно отвечает система управления. Ключевым элементом рассмотренной системы выступает система стабилизации относительно центра масс. Она предназначена для обеспечения устойчивости и управляемости БПЛА на протяжении всего автономного полета.

Построение современных систем стабилизации БПЛА предполагает комплексное использование перспективных методов и технологий. Традиционные подходы к созданию таких систем часто не в состоянии обеспечить растущих требований к качеству управления, поскольку не учитывают множества различных факторов, воздействующих на систему. Для обеспечения высоких показателей качества систем стабилизации по быстродействию, устойчивости и точности при значительной вариации параметров БПЛА и условий внешней среды, требуется применение новых концепций построения этих систем.

Несомненно, наиболее подходящей теорией, которую следует использовать как базовую при решении рассмотренной проблемы, является синтез робастных регуляторов. Интерес к робастным системам вызван параметрической неопределенностью аэродинамических характеристик БПЛА и наличием запаздываний в контуре управления. Линейно-квадратичные регуляторы, которые обычно используются в системах стабилизации, могут иметь сколь угодно малый запас устойчивости. Подбор требуемого качества при таком подходе определяется набором некоторых параметров, входящих в целевую функцию стоимости. В общем случае определение нужного набора является итерационной задачей, что достаточно трудоемко, а получаемое решение квазиоптимально по некоторому критерию, соответствующему Н2 -норме. Робастное управление оптимально по норме Н^, описывающей устойчивые собственные передаточные функции (усиление не должно стремиться к бесконечности при высоких частотах). Качество для таких регуляторов обеспечивается с помощью специальных функций - формирующих фильтров, позволяющих задавать ограничения в частотной

области. Фактически процедура синтеза на основе Н^ -нормы позволяет спроектировать регулятор, имеющий требуемые характеристики, например, время нарастания, полоса пропускания, время успокоения и т. д. Тем самым гарантируются необходимые запасы устойчивости системы по фазе и амплитуде.

Однако решение задачи синтеза Н^ -оптимального управления в классической постановке дает достаточно консервативные результаты из-за отсутствия адаптации регулятора к широко изменяющимся характеристикам объекта управления. Также, сама постановка задачи для нелинейной динамической системы, которой является БПЛА, далека от инженерной практики и требует глубокого погружения специалиста с должным уровнем подготовки в рассматриваемую теорию. Поэтому, актуальным является создание единой, понятной и простой структуры проектирования адаптивных робастных регуляторов БПЛА хорошо изученным математическим аппаратом.

Степень разработанности темы исследования. Особое место в современной теории управления занимает адаптивное и робастное управление, методы построения которого достаточно хорошо исследованы для решения многих практических задач. Существенный вклад в развитие теории адаптивного и робастного управления внесли П. Апкариан (P. Apkarian), Б.Р. Андриевский, Д.В. Баландин, А.А. Бобцов, П. Гахинет (P. Gahinet), Д. Дойл (J. C. Doyle), М.М. Коган, Х. Квакернаак (H. Kwakernaak), А.И. Маликов, А.С. Позняк, Б.Т. Поляк, А.Л. Фрадков, М.В. Хлебников, Я.З. Цыпкин, П.С. Щербаков, В.А. Якубович и многочисленные их последователи и ученики.

Однако, рассмотренная теория не может быть напрямую применена к нелинейным динамическим системам, в нашем случае к БПЛА, и требует их линейного прототипа. С появлением эффективных методов полуопределенного программирования, в первую очередь техники линейных матричных неравенств (ЛМН) появились работы, в которых делается попытка погружения нелинейных моделей в линейные с неопределенными параметрами. При этом изменение нелинейности, как функции времени, входит в область изменения неопределенных параметров. Это огрубляет исходную задачу, но дает возможность использовать эффективную технику ЛМН при синтезе управления.

Так в работах П. Апкариана и П. Гахинета методы робастного синтеза распространены на класс систем, в которых неопределенность представлена параметризованной выпуклой оболочкой в виде политопной формы. Причем синтезируемые в результате регуляторы обладают адаптивными свойствами к указанной неопределенности. Регулярная процедура получения политопной формы была предложена П. Барани и основана на представлении нелинейной модели, функционирующей в пространстве состояний, в виде взвешенной выпуклой

линейной комбинации вершин политопа с использованием аппарата тензорной алгебры.

В силу многообразия нелинейностей техника представления исходной системы в пространстве состояний и дальнейшего преобразования в политопную форму не универсальна и требует индивидуального подхода к каждой нелинейной системе, при этом успешный результат не гарантирован. Эффективность во многом зависит от того, насколько широко изменяются значения нелинейной функции в уравнениях динамики. Оценка возможных интервалов изменения нелинейных составляющих в уравнениях динамики БПЛА позволил предположить, что такой подход может оказаться эффективным при проектировании систем управления. В связи с этим, требуется разработка новых методов и алгоритмов погружения в рассмотренную теорию нелинейной модели БПЛА и синтеза управления на основе существующих результатов.

Цель работы состоит в обеспечении устойчивости и требуемого качества управления БПЛА относительно центра масс при значительной вариации динамических характеристик.

Задачи работы. Исходя из цели работы, были поставлены следующие задачи:

1. Разработать метод и алгоритм структурно-параметрического синтеза квазилинейной модели БПЛА.

2. Разработать метод синтеза адаптивного робастного регулятора БПЛА на основе теории Н^ -оптимального управления с использованием политопного представления квазилинейной модели и аппарата линейных матричных неравенств.

3. Провести синтез многоканального регулятора гипотетического БПЛА с беспоисковой адаптацией и робастными свойствами к широкому изменению характеристик объекта управления на основе предложенного метода квазилинеаризации и политопного представления квазилинейной модели.

Методология и методы исследования. В ходе выполнения диссертационной работы использовались методы современной теории управления: метод пространства состояний, аппарат тензорной алгебры, методы полуопределенного программирования и робастно-го управления. Проверка полученных теоретических и прикладных результатов проводилась методами математического моделирования.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработаны метод и алгоритм квазилинеаризации нелинейной модели БПЛА, позволяющие проводить структурно-параметрический синтез квазилинейной модели с высокой точностью представления динамической системы в пространстве состояний. В отличие

от существующих подходов, основанных на дифференцировании сложных нелинейных функций и использующих деление на переменные вектора состояния, предложенное решение не накладывает ограничения на исходные данные и диапазоны изменения вектора варьируемых параметров, а также дает возможность задавать необходимую сложность получаемой модели;

2. Разработан метод анализа асимптотической устойчивости квазилинейной динамической системы с замыканием обратной связи по выходу, учитывающий всевозможное движение по выпуклой оболочке характеристик объекта управления при изменении варьируемых параметров;

3. На основе разработанных методов проведен синтез дискретного многоканального регулятора в многосвязной постановке с централизованным управлением для системы стабилизации гипотетического БПЛА с беспоисковой адаптацией и робастными свойствами к значительной вариации динамических характеристик, обеспечивающего устойчивость и выдвигаемое современными требованиями качество стабилизации во всем диапазоне применения объекта управления.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы в синтезе адаптивных робастных регуляторов для БПЛА с широким изменением динамических характеристик, тем самым ускорив процесс разработки современных систем стабилизации за счет единой, понятной и простой структуры проектирования. Эффектом от применения разработанных таким образом регуляторов будет являться устойчивость и требуемое качество управления короткопериодического движения БПЛА.

Основные положения диссертационной работы внедрены в производственный процесс АО АНПП «ТЕМП-АВИА». Результаты исследования использованы при разработке специального программного обеспечения системы управления и навигации, выпускаемой предприятием. Материалы диссертации применяются в учебном процессе кафедры «Прикладная математика» АПИ НГТУ при изучении дисциплины «Современная теория управления».

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод и алгоритм квазилинеаризации нелинейной модели БПЛА с высокой точностью представления динамической системы по любым исходным данным;

2. Метод синтеза адаптивного робастного регулятора БПЛА на основе политопной формы квазилинейной модели и теории Н-оптимального управления в терминах линейных матричных неравенств;

3. Результаты синтеза многоканального регулятора системы стабилизации гипотетического БПЛА с беспоисковой адаптацией и робастными свойствами к значительной вариации динамических характеристик, учитывающие современные требования.

Степень достоверности результатов подтверждается обоснованным и корректным использованием апробированных методов современной теории управления и хорошо изученного математического аппарата, проверкой математическим моделированием полученных теоретических и прикладных результатов.

Апробация полученных результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:

1. XIV Всероссийская научно-практическая конференция «НАУКА МОЛОДЫХ». Россия, Арзамас, АПИ НГТУ им. Р. Е. Алексеева. 22-23 декабря, 2021;

2. VIII Всероссийская научно-практическая конференция «Социально-экономические и технические проблемы оборонно-промышленного комплекса России: история, реальность, инновации». Россия, Арзамас, АПИ НГТУ им. Р. Е. Алексеева. 12-13 апреля, 2022;

3. XXV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением». Россия, Санкт-Петербург, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». 21-24 марта, 2023;

4. V Всероссийская научно-техническая конференция «Навигация, наведение и управление летательными аппаратами». Россия, Москва, ФАУ «ГосНИИАС». 27-28 ноября, 2024;

5. Общемосковский постоянный научный семинар «Теория автоматического управления и оптимизации». Россия, Москва, ИПУ РАН. 11 марта, 2025.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 11 научных статьях, 3 из которых входят в издания из перечня ВАК [1-3], 1 - в базу данных Scopus [4] и 7 - в базу РИНЦ [5-11].

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертационное исследование по своей тематике и выносимым на защиту положениям соответствует следующим пунктам паспорта научной специальности 2.3.1. «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика»:

• пункт 3. Разработка критериев и моделей описания и оценки эффективности решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта;

• пункт 4. Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений, обработки информации и искусственного интеллекта;

• пункт 7. Методы и алгоритмы структурно-параметрического синтеза и идентификации сложных систем;

• пункт 14. Разработка принципиально новых методов анализа и синтеза элементов систем управления с целью улучшения их технических характеристик.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы и заключение. Работа изложена на 87 страницах, содержит 28 рисунков. Список литературы включает 46 библиографических записей.

1 Обзор существующих решений и обобщенная постановка задачи

В главе проведен обзор известных работ, посвященных синтезу робастных и беспоисковых адаптивных систем стабилизации для БПЛА в частности, а также основным методам синтеза регуляторов с такими свойствами для нелинейных динамических систем в целом.

Также осуществлен выбор наиболее перспективных работ и методов, которые получат продолжение в диссертационном исследовании. Предполагается использовать подход к синтезу из выбранных решений, основанный на представлении нелинейной динамической системы в пространстве состояний в виде квазилинейной модели с дальнейшим преобразованием этой модели в политопную форму с помощью аппарата тензорной алгебры. Этот подход позволит применить хорошо изученные теории синтеза регуляторов с желаемыми свойствами в терминах ЛМН.

Перспективным направлением в представлении нелинейных динамических систем в пространстве состояний является преобразование исходной системы в квазилинейную форму с изменяющимися параметрами (quasi-Linear Parameter Varying - qLPV) [12]. В зависимости от априорной информации о динамике исследуемого объекта управления для этого могут быть применены различные методы идентификации систем, например, аналитический вывод [13], численные методы [14], квазилинеаризация [15], аппроксимация с использованием мягких вычислений (искусственных нейронных сетей [16], нечеткой логики [17] и т.д.). Перечисленные методы, за исключением последнего, относятся к классу идентификации в узком смысле, что подразумевает наличие достаточно подробной информации о нелинейной динамике. Аппроксимация с помощью мягких вычислений, напротив, относится к классу идентификации в широком смысле и требует только достаточного объема данных в виде «вход-выход». Точность такой аппроксимации существенно зависит от настроек выбранного инструмента: типа и структуры нейронной сети, базы правил нечеткой модели и т.д.

В некоторых случаях система нелинейных дифференциальных уравнений рассматриваемого объекта управления полностью известна, но не соответствует нормальной форме Коши. В результате структурного преобразования к указанной форме появляются неизвестные переменные, которые необходимо идентифицировать по имеющимся исходным данным [18-20]. Поэтому, ставится задача разработки эффективного метода квазилинеаризации нелинейной модели БПЛА с высокой точностью представления динамической системы по исходным данным о характеристиках объекта управления.

Использование политопной формы дает возможность описания квазилинейной модели выпуклой линейной комбинацией вершин политопа, ограничивая размер формальной задачи синтеза количеством «рабочих» точек (режимов) БПЛА [21], которую, в таком случае, можно решать с помощью эффективных алгоритмов полуопределенного программирования [22-27]. В настоящей работе для получения политопной формы применяется представление qLPV модели в виде тензорного произведения (Tensor Product - TP) на основе разложения по сингулярным значениям высшего порядка (Higher-Order Singular Value Decomposition - HOSVD). Вершины такого политопа представляют собой набор стационарных матриц систем, тензорное произведение которого с весовыми функциями способно восстановить исходную систему. Синтез на таком множестве позволяет обеспечить устойчивость и качественные показатели системы управления не только в вершинах, но и во всем диапазоне изменения варьируемых параметров. Специальные весовые функции при таком подходе образуются в результате трансформации ортонормированных столбцов сингулярных матриц, полученных на этапе применения HOSVD, в выпуклую оболочку, состоящую из множества стационарных вершин (ядра тензора) [12,28].

Основным вопросом, планирующимся к рассмотрению в диссертации, является синтез многоканальной адаптивной робастной системы стабилизации, обеспечивающей заданное качество переходных процессов и устойчивость короткопериодического движения во всем диапазоне изменения нелинейных характеристик БПЛА. Исходя из этого, задачей является синтез многоканального регулятора системы стабилизации БПЛА с беспоисковой адаптацией и робастными свойствами на основе представления квазилинейной модели в виде тензорного произведения.

В заключении главы дается обобщенная постановка задачи. Приводятся многоканальная нелинейная модель БПЛА и нелинейные модели изолированных каналов: продольного, бокового и кренового.

1.1 Нж-оптимальное управление

В параграфе приводится обобщение известных результатов синтеза регуляторов для стационарных систем с непрерывным и дискретным временем на основе теории Н-оптимального управления в терминах ЛМН.

1.1.1 Постановка задачи H-оптимального управления

Рассмотрим следующую стационарную систему в виде общей схемы управления (General control configuration) с непрерывным или дискретным временем, отображающую внешние входы w и управляющие входы и на управляемые выходы z и измеряемые выходы

У [29]:

z = Рц(р)и + Pn(p)w

(1.1)

У = P2l{p)u + P22(p)w

c законом управления на основе динамической обратной связи по выходу (см. рисунок 1.1):

и = К (р)у,

где р обозначает переменную преобразования Лапласа в контексте непрерывного времени и переменную Z-преобразования в контексте дискретного времени.

Рис. 1.1 — Общая схема управления

Передаточная функция замкнутого контура от входа w к выходу z имеет вид:

Ft(P, К) = Рп + Р12К(I - Р22К)-1Р21.

Классическая задача синтеза Н-оптимального управления состоит в том, чтобы найти стабилизирующий регулятор К, который минимизирует Н^ -норму передаточной функции замкнутой системы Fi(P, К), численно равную максимуму максимального сингулярного числа:

min ||Fl(P,K)||те = minsupä(Fl(P,K)). (1.2)

к к &

На практике обычно нет необходимости получать оптимальный регулятор, и чисто вычислительно (и теоретически) проще сконструировать субоптимальный (т.е. близкий к

оптимальному в смысле нормы H) [29]. В таком случае, пусть 7min - минимальное значение II Fi (Р,К)|| для всех стабилизирующих регуляторов. Тогда (1.2) сводится к нахождению такого стабилизирующего регулятора К при 7 > 7m;n, что:

IIA(Р,К)L <7- (1.3)

В настоящее время существует несколько методик решения поставленной задачи. Одно из них основывается на совместном решении двух алгебраических уравнений Риккати с Q-параметризацией, другое на применении итерационного алгоритма Дойла и т.д. [29,30]. Подход, используемый в настоящей работе основывается на применении леммы о вещественной ограниченности (Bounded real lemma) [30,31], позволяющей перейти от формулировки задачи 7-субоптимального H-управления к постановке в терминах ЛМН, в результате решения которых может быть найдено множество субоптимальных регуляторов, включая регуляторы пониженного порядка [32,33].

Для дальнейших рассуждений предположим, что (1.1) получена из следующей формы в пространстве состояний:

рх = Ах + В,и + В2 w, z = С\х + Dnu + D\2w, у = С2Х + D21U + D22W,

так что

Р11 (р) Pl2(p) \ = ( Dn D\2 \ + ( C± Р21 (p) P22 (p) j V D21 D22 J \ ^

где A e Rmxm.

Предварительно обозначим, что (A, B2) - стабилизируема, (А, С2) - наблюдаема, D22 = 0.

Так же получим передаточную функцию регулятора

К (p) = DK + Ск (pi - )-1Вк (1.4)

(Pi - А)-1[ В, В2)

из

рхк = Ак хк + В к у, и = Ск хк + Вк У,

где Ак е К к1хк1

к

Тогда передаточную функцию замкнутой системы с учётом (1.4) можно представить:

Ъ(Р, К) (р) = Вы + Сс1 (р! - Аы)-1Вс1, (1.5)

где

/ А + В2ОкС2 В2Ск I ( В1 + В2Ик^21

Ас1 = I I , Вс1 = I

\ Вк С2 Ак I \ Вк О 21

Сс1 = ( С1 + С2 В^Ск) , ВЫ = Б11 + В12 в к В21.

Также обозначим параметры регулятора следующей матрицей:

@ := ( Ак Вк | е К(к1+т)х(к1+т),

\ Ск Вк и введём следующие обозначения [30]:

, А 0 \ В1

Л = I I , Во = I

о 0к1 хк1 / V о

Со = ( С1 0 )

в= I 0 *2 I, с = ( 0 1к1 I, ¿12 =(о в12) , (1.6)

1к1 0 ) \С2 0 I v )

0

021 '

В 21

Тогда с учётом (1.6) матрицы, описывающие замкнутую систему (1.5), примут вид:

Ас! = (ч + вес^, вс1 = (во + тв2^ ,

Сс1 = (Со + в 12вс) , Всг = В11 + В 12^В21.

1.1.2 Решение задачи Н-оптимального управления в терминах линейных матричных неравенств

Синтез -оптимального управления в непрерывном времени

Для непрерывной стационарной системы задача по построению 7-субоптимального -регулятора разрешима тогда и только тогда, когда существуют симметричные матрицы К, в, удовлетворяющие следующей системе ЛМН:

т

Д 0

0 I

Д 0 0

( АП + ПАт пет ВТ ^

т

е\К - Игг

ВТ ИТ -11

'Б + БА ¡ЗВг ет

ВТБ - ИТг

е-1 ип К I

I в

Мг 0 0

Д 0 0

X 0,

-< 0,

^ 0,

:1.9)

где и Д - базисы левого нуль-пространства (Вт, и правого нуль-пространства

(С2,В2Х), соответственно.

Для численной устойчивости решения системы ЛМН матрицы и Д должны быть ортогональными. Такие базисы легко вычисляются путем разложения по сингулярным значениям матриц (В2,Ог2)Т и (е2,И21).

Кроме того, существуют 7-субоптимальные регуляторы порядка кТ < т тогда и только тогда, когда (1.7)-(1.9) выполняются для некоторых К, в, которые дополнительно удовлетворяют следующему условию:

тик(1 -Щ < кг. (1.10)

Отметим, что семейство решений (1.7)-(1.9) не зависит от конкретного выбора базисов Мг и Д.

Синтез -оптимального управления в дискретном времени

Для дискретной стационарной системы задача по построению 7-субоптимального -регулятора разрешима тогда и только тогда, когда существуют симметричные матрицы К и

т

Б, удовлетворяющие следующей системе ЛМН:

( АКАТ-к

т

N 0 0

N 0 0

С\ЙАт

v ^т

(-Б

ВТвА

V С1

АИСТ -71 + СгКСТ

оТ

51 ^^

Вц 11

\

Ст

АтвВ1 --/1 + вТёВ1 вТ

Вц -71

к 14 I Б

^ 0,

N 0 0

N 0 0

0,

0,

1.11)

п.12)

П.13)

где N и Ns определяются аналогично постановке задачи в непрерывном времени.

Кроме того, существуют 7-субоптимальные регуляторы порядка к1 < т тогда и только тогда, когда (1.11)—(1.13) выполняются для некоторых к, Б, которые дополнительно удовлетворяют условию (1.10).

1.1.3 Процедура построения регулятора

Для восстановления матрицы системы регулятора в на основе решения к и Б, требуется найти положительно определённую матрицу Хс1 в результате решения линейного уравнения

Б А Г/ к

(1.14)

Б к

= Хс1

N т 0 0 А! т

где А, N - полноранговые по столбцам матрицы, которые могут быть найдены на основе соотношения:

МИТ = I - ИБ.

П.15)

Уравнение (1.15) всегда разрешимо, если Б ^ 0 и А! имеет полный ранг по столбцам [31]. Также заметим, что минимальный порядок регулятора зависит от размерностей матрицы Хс1 или, что эквивалентно, ранга I — Ив.

Далее представлены частные этапы построения регулятора для систем непрерывного и дискретного времени.

т

Построение регулятора для непрерывной системы

При разрешимости ЛМН (1.7)-(1.9) и найденном ХС1 ^ 0, параметры регулятора можно восстановить, разрешив следующее ЛМН относительно в:

^ + ХаАс1 ХаВс1 Ст ^

-II

Ис1

В тХ,

С1ЛС1

Сс1

ОТ

ФХс1 + ФТвтРХс1 + вф * 0

т

-

П-16)

где

Ф'-=(С Ь21 0 )

р

ХсЛ

Ф

Хс1

В тх о I I )

^ А Хс1 + Хс1А0 Хс1в0 Со ^

в0хс1

С0

-II 11

Щг

-

Построение регулятора для дискретной системы

Аналогично задаче для непрерывной системы, при разрешимости ЛМН (1.11)—(1.13) и найденном ХС1 ^ 0, параметры регулятора можно восстановить, разрешив следующее ЛМН относительно в :

(

-Х-1 Ас1 Вс1 0

АС -Хс1 0 сст

Вс1 0 -11 01

0 Сс1 !с1 -

\

ФХс1 + ф т в т РХы +Рхс1 вф * 0

П-17)

где

Ф :=

( 0 С &21 0 (

Ф

Хс1

V

-х- 1

въ 0

РХс1

А0

— Хс1 0

Со

Вт 0 0 1 т)

Во 0

0

Со

\

-71 1т

11

Iг -II у

Таким образом в случае синтеза на основе рассмотренных методик для стационарных систем непрерывного или дискретного времени может быть получен регулятор в форме

динамической обратной связи по выходу К(р) субоптимальный по Н^ -норме, т.е. удовлетворяющий неравенству (1.3).

1.1.4 Постановка задачи смешанной чувствительности

Подход смешанной чувствительности для разработки линейных многосвязных систем управления был впервые представлен в контексте оптимизации [34,35]. Он предназначен для синтеза контуров управления с необходимыми свойствами, такими как отслеживание заданных сигналов, подавление возмущений, ослабление шумов и усилие регулятора, позволяя достичь баланса между производительностью и робастностью посредством формирования собственных замкнутых передаточных функций - функций чувствительности. Требования к управлению в таком случае задаются с помощью весовых функций (формирующих фильтров), которые ограничивают функции чувствительности в частотной области.

Производительность и робастность контура характеризуются несколькими хорошо известными замкнутыми функциями, в частности, функцией чувствительности Б, функцией дополнительной чувствительности Т и функцией входной чувствительности и [36], которые определяются как

Б = (1 + РК )-1, Т = 1-3 = РК (1 + РК )-1, и = КБ = К (1 + РК )-1,

где Б - передаточная функция от № к г, Т - дополнение Б, и - передаточная функция от № к и.

Приведем общие требования к формированию этих функций для достижения производительности:

1. Для хорошего отслеживания заданных сигналов и подавления возмущений чувствительность Б должна быть небольшой в рабочем низкочастотном диапазоне. Это достигается большим усилением контура Ь = РК в указанном диапазоне частот, которое определяется как ЦЬ^'ш))) ^ 1 для подходящей нормы на частоте ш. Обычно используется 2-норма, т.е. наибольшее сингулярное значение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шабашов Александр Алексеевич, 2025 год

Список литературы

[1] Норинская И.В., Спирин А.А., Шабашов А.А. Имитационное моделирование рулевого привода в составе адаптивной системы стабилизации беспилотного летательного аппарата // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2021. - № 10. - С. 80-89. - DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-80-89.

[2] Шабашов, А.А. Квазилинеаризация нелинейной модели беспилотного летательного аппарата / А.А. Шабашов, А.А. Плотников // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2024. № 4. С. 27-36. - EDN: KMTCUU.

[3] Шабашов, А.А. Разработка адаптивного робастного наблюдателя на основе представления квазилинейной модели в виде тензорного произведения / А.А. Шабашов, А.А. Плотников // Научно-технический вестник Поволжья. - 2025. - No3. - С. 60-65.

[4] Шабашов А.А., Поздяев В.В., Плотников А.А. Разработка адаптивного робастного регулятора на основе представления квазилинейной модели в виде тензорного произведения // Дифференциальные уравнения и процессы управления. - 2024. - № 4. - С. 223-247. -DOI: 10.21638/11701/spbu35.2024.409.

[5] Шабашов, А. А. Разработка метода построения области и запасов устойчивости в плоскости передаточных чисел для синтеза системы стабилизации беспилотного летательного аппарата / А. А. Шабашов // Социально-экономические и технические проблемы оборонно-промышленного комплекса: история, реальность, инновации : Межвузовский сборник статей по материалам V Всероссийской научно-практической конференции, Арзамас, 24-25 октября 2018 года. - Арзамас: Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 2018. - С. 229-233. - EDN: VSLYKK.

[6] Шабашов, А. А. Разработка алгоритмов системы стабилизации канала крена управляемого беспилотного летательного аппарата / А. А. Шабашов // Информационные технологии и прикладная математика : сборник статей Всероссийского научно-практического семинара аспирантов и студентов, Арзамас, 14 декабря 2019 года. Том Выпуск 9. - Арзамас: Арзамасский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского», 2019. - С. 263-270. - EDN: YRMBEI.

[7] Шабашов, А. А. Методика оценки угла сноса беспилотного летательного аппарата / А. А. Шабашов // Информационные системы и технологии ИСТ-2020 : Сборник материалов XXVI Международной научно-технической конференции, Нижний Новгород, 24-28 апреля 2020 года / Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева. - Нижний Новгород: Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 2020. - С. 901-905. - ЕБК АЛддЛС.

[8] Шабашов, А. А. Методика первичного синтеза контура стабилизации по перегрузке в продольном канале / А. А. Шабашов, А. А. Плотников // Наука молодых : сборник научных статей участников XIV Всероссийской научно- практической конференции, Арзамас, 22-23 декабря 2021 года / Отв. ред. С.В. Напалков, науч. ред. В.В. Глебов, Т.Т. Щелина. - Арзамас-Балахна-Нижний Новгород: Арзамасский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского», 2021. - С. 188-204.

[9] Плотников, А. А. Методика синтеза контура стабилизации БПЛА с заданным качеством переходных процессов / А. А. Плотников, А. А. Шабашов // Социально-экономические и технические проблемы оборонно-промышленного комплекса России: история, реальность, инновации : Сборник статей по материалам VIII Всероссийской научно-практической конференции, Арзамас, 12-13 апреля 2022 года. - Нижний Новгород: Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 2022. - С. 207-211.

[10] Шабашов, А. А. Разработка методики синтеза контура стабилизации беспилотного летательного аппарата на основе квазилинейной модели с изменяющимися параметрами / А. А. Шабашов, А. А. Плотников // Навигация и управление движением : Материалы XXV Юбилейной конференции молодых ученых, Санкт-Петербург, 21-24 марта 2023 года. - Санкт-Петербург: «Концерн «Центральный научно-исследовательский институт «Электроприбор», 2023. - С. 49-51.

[11] Шабашов, А. А. Адаптивное робастное управление беспилотным летательным аппаратом на основе тензорно-политопной формы квазилинейной модели / А. А. Шабашов, А. А. Плотников // Навигация, наведение и управление летательными аппаратами : V Всероссийская научно-техническая конференция, Москва 27-28 ноября 2024 г.: тезисы

докладов / ГосНИИАС [и др.]. - [Раменское, Московская обл.] : Круглый стол, 2024. -С. 151-153.

[12] Baranyi P., Yam Y., Varlaki P. Tensor Product Model Transformation in Polytopic Modelbased Control. CRC Press, Florida, 2013.

[13] Gaiduk A. R. Nonlinear control systems design by transformation method //Мехатроника, автоматизация, управление. - 2018. - Т. 19. - №. 12. - С. 755-761.

[14] Гайдук, А.Р. Численный метод синтеза квазилинейных моделей нелинейных объектов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22. № 6. С. 283-290.

[15] Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп. - М.: Мир, 1979. - 302 с.

[16] Rehmer A., Kroll A. A deep recurrent neural network model for affine quasi-lpv system identification //2022 European Control Conference (ECC). - IEEE, 2022. - С. 566-571.

[17] Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach. John Wiley & Sons, Inc., 2001, doi:10.1002/0471224596.

[18] Tan W., Packard A. K., Balas G. J. Quasi-LPV modeling and LPV control of a generic missile //Proceedings of the 2000 American Control Conference. ACC (IEEE Cat. No. 00CH36334). - IEEE, 2000. - Т. 5. - С. 3692-3696.

[19] Pfifer H. Quasi-lpv model of a ndi-controlled missile based on function substitution //AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. - 2012. - С. 4970.

[20] Rotondo D., Nejjari F., Puig V. Quasi-LPV modeling, identification and control of a twin rotor MIMO system //Control Engineering Practice. - 2013. - Т. 21. - №. 6. - С. 829-846.

[21] Angelis G. Z. System analysis, modelling and control with polytopic linear models. - 2001.

[22] Емельянова Ю.П., Пакшин П.В. Матричные уравнения и неравенства в задачах теории управления: учеб. пособие. Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева. - Нижний Новгород, 2020.

[23] Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM, Philadelphia, 1994.

[24] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. -303 с.

[25] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 280 с.

[26] Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Щербаков П.С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014. - 560 с.

[27] Маликов, А. И. Оценивание состояния и стабилизация нелинейных систем с дискретным управлением и неопределенными возмущениями / А. И. Маликов // Автоматика и телемеханика. - 2021. - № 4. - С. 96-120. - DOI 10.31857/S0005231021040048. - EDN MCQVYF.

[28] Baranyi P. TP Model Transformation Based Control Design Frameworks. Springer International Publishing Switzerland, 2016.

[29] Skogestad S., Postlethwaite I. Multivariable Feedback Control: Analysis and Design. John Wiley & Sons, Inc., 2001.

[30] Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H^ control // International Journal of Robust and Nonlinear Control, 4(4), 421-448, 1994, doi:10.1002/rnc.4590040403.

[31] Apkarian P., Gahinet P., Becker G. Self-scheduled H^ control of linear parameter-varying systems: a design example // Automatica, Volume 31, Issue 9, Pages 1251-1261, 1995, doi:10.1016/0005-1098(95)00038-X.

[32] Chumalee S., Whidborne J. LPV Autopilot Design of a Jindivik UAV // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, 2009, doi:10.2514/6.2009-5753.

[33] Dullerud G.E., Paganini F. A Course in Robust Control Theory. Texts in Applied Mathematics. Springer Science + Business Media, Inc., 2000, doi:10.1007/978-1-4757-3290-0.

[34] Verma M., Jonckheere E. L^-compensation with mixed sensitivity as a broadband matching problem // Systems & Control Letters 14, 295-306, 1984.

[35] Kwakernaak H. Robustness optimization of linear feedback systems // Preprints, 22nd IEEE Conference on Decision and Control, 1983.

[36] Kwakernaak H. Mixed Sensitivity Design // 15th Triennial World Congress, 2002.

[37] Baranyi P. Convex hull generation methods for polytopic representations of LPV models // 7th International Symposium on Applied Machine Intelligence and Informatics, 2009, doi:10.1109/sami.2009.4956611.

[38] Szollosi A., Baranyi P. Influence of the Tensor Product Model Representation Of QLPV Models on The Feasibility of Linear Matrix Inequality // Asian Journal of Control, 18(4), 1328-1342, 2015, doi:10.1002/asjc.1238.

[39] Baranyi P. TP model transformation as a way to LMI-based controller design // IEEE Transactions on Industrial Electronics, vol. 51, no. 2, pp. 387-400, April 2004, doi: 10.1109/TIE.2003.822037.

[40] Szeidl L., Baranyi P., Petres Z., Varlaki P. Numerical Reconstruction of the HOSVD Based Canonical Form of Polytopic Dynamic Models // 3rd International Symposium on Computational Intelligence and Intelligent Informatics, 2007, doi:10.1109/isciii.2007.367372.

[41] Apkarian P., Gahinet P. A convex characterization of gain-scheduled H^ controllers // IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 40, no. 5, pp. 853-864, May 1995, doi: 10.1109/9.384219.

[42] Ефремов А.В., Захарченко В.Ф., Овчаренко В.Н. Динамика полета: Учебник для студентов высших учебных заведений. М.: Машиностроение, 2011.

[43] Kaheman K., Kutz J. N., Brunton S. L. SINDy-PI: a robust algorithm for parallel implicit sparse identification of nonlinear dynamics //Proceedings of the Royal Society A. - 2020. -Т. 476. - №. 2242. - С. 20200279.

[44] Lee J.D. et al. Communication-efficient sparse regression //Journal of Machine Learning Research. - 2017. - Т. 18. - №. 5. - С. 1-30.

[45] Brunton S. L., Kutz J. N. Data-driven science and engineering: machine learning, dynamical systems, and control. Cambridge University Press, 2020.

[46] Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982.

Приложение 1. Копии документов о внедрении результатов диссертационной работы

«Утверждаю»

АКТ

о внедрении в учебный процесс Арзамасского политехнического института (филиала) НГТУ им. P.E. Алексеева результатов диссертации Шабашова Александра Алексеевича

Настоящим актом подтверждается, что результаты диссертации Шабашова Александра Алексеевича «Синтез адаптивного робастного регулятора беспилотного летательного аппарата на основе квазилинеаризации и политопного представления модели», в части, касающейся алгоритмов синтеза адаптивного робастного регулятора беспилотного летательного аппарата на основе теории Н^ -оптимального управления с использованием политопного представления квазилинейной модели и аппарата линейных матричных неравенств были использованы при проведении лабораторных и практических занятий по дисциплине «Современная теория управления» для магистров второго года обучения в рамках направления подготовки 01.04.04 Прикладная математика (магистратура) по программе «Системы управления и обработки информации» в течение первого семестра 2024/25 учебного года.

Это позволило существенно повысить оценки уровня компетенций при изучении указанной дисциплины, что служит серьезной мотивацией более полного внедрения этих результатов в учебный процесс в дальнейшем.

Зав. кафедрой прикладной математики

д.ф.-м.н., профессор

Пакшин П.В.

Доцент кафедры прикладной математики к.ф.-м.н., доцент