Синтез и исследование адаптивных робастных систем управления сложными электромеханическими подвижными объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Зуи Хань

• Нгуен Зуи Хань
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Зуи Хань

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ

1.1. Обзор систем электроприводов с взаимосвязанными двигателями

1.2. Выбор объекта исследования в качестве иллюстративного примера СЭМПО

1.3. Математическая модель механической динамики СЭМПО (без учета динамики исполнительных электроприводов)

1.4. Математическая модель электромеханической динамики СЭМПО (с учетом динамики исполнительных электроприводов)

1.4.1. Математическое описание синхронного двигателя с постоянными магнитами

1.4.2. Математическое описание двигателя постоянного тока с упругой механической передачей

1.4.3. Полная математическая модель динамики СЭМПО

1.5. Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОДХОДОВ И РАЗРАБОТКА НОВЫХ МОДИФИКАЦИЙ АДАПТИВНОГО РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ

2.1. Теоретические основы методов обхода интегратора (методы Backstepping)

2.1.1. Адаптивный метод обхода интегратора

2.1.2. Анализ сложности применения методов обхода интегратора для адаптивного управления сложными нелинейными динамическими объектами в условиях параметрической неопределенности и неизвестных внешних возмущений

2.2. Теоретические основы метода вычисленного момента (метод Li-Slotine)

2.2.1. Метод вычисленного момента в задачах адаптивного управления

2.2.2. Анализ сложности применения метода вычисленного момента для адаптивного управления сложными нелинейными динамическими системами в условиях неопределенности параметров и матрицы входа

2.3. Теоретические основы метода инвариантного погружения (метод I&I)

2.3.1. Стабилизация при условии инвариантного погружения

2.3.2. Адаптивное управление на основе метода инвариантного погружения

2.3.3. Анализ сложности применения метода инвариантного погружения для адаптивного управления сложными нелинейными динамическими системами в условиях неопределенности параметров и матрицы входа

2.4. Теоретические основы метода аппроксимации функций (метод FAT)

2.4.1. Задача наилучшего приближения в гильбертовом пространстве

2.4.2. Ортогональные функции

2.4.3. Приближенное описание функций

2.5. Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ РОБАСТНЫХ ПОДСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ СЭМПО В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ И НЕИЗВЕСНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

3.1. Разработка адаптивного наблюдателя состояния (АНС) для системы бездатчикового векторного управления синхронными двигателями с постоянными магнитами (СДПМ) в области средних и высоких скоростей

3.1.1. Синтез адаптивного наблюдателя состояния в скользящем режиме (АНСР) и анализ устойчивости

3.1.2. Синтез адаптивного наблюдателя противо-ЭДС (АН-ЭДС) для фильтрации помех и анализ устойчивости

3.1.3. Синтез подсистемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ)

3.1.4. Результаты компьютерного моделирования

3.2. Разработка робастного наблюдателя состояния для механизма наклона винтов

3.2.1. Синтез робастного наблюдателя состояния в скользящем режиме при условиях несогласованных неопределенностей и внешних возмущений и анализ устойчивости

3.2.2. Результаты компьютерного моделирования

3.3. Разработка адаптивных робастных подсистем управления электроприводами на основе модификации метода обхода интегратора ш скользящими режимами в условиях параметрической неопределенности и неизвестных внешних возмущений

3.3.1. Синтез адаптивного робастного управления скоростью вращения каждого винта СЭМПО (регулирование скорости СДПМ)

3.3.2. Синтез адаптивного робастного управления углом наклона каждого винта СЭМПО (регулирование положения в механизме наклона винта с двигателем постоянного тока (ДПТ) и упругой передачей)

3.3.3. Анализ устойчивости замкнутой подсистемы

3.3.4. Компьютерное моделирование и анализ результатов

3.4. Разделение движений в полной системе управления СЭМПО с учетом динамики исполнительных электроприводов

3.4.1. Разделение движений в полной системе управления СЭМПО

3.4.2. Разработка нелинейного управления механической динамикой СЭМПО в скользящих режимах

3.4.3. Компьютерное исследование устойчивости системы управления СЭМПО без учета и с учетом паразитной динамики

3.5. Выводы по третьей главе

ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СЭМПО В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ОГРАНИЧЕНИЙ НА УПРАВЛЯЮЩИЕ СИГНАЛЫ

4.1. Исследование робастной устойчивости нелинейной системы управления СЭМПО в скользящих режимах в условиях неопределенности, ограничения на управляющие сигналы и внешних возмущений

4.2. Разработка систем адаптивного управления СЭМПО при одновременной неопределенности параметров объекта и матрицы входа

4.2.1. Синтез адаптивного управления СЭМПО на основе модификации метода вычисленного момента и анализ устойчивости

4.2.2. Синтез адаптивного управления СЭМПО на основе методов инвариантного погружения и аппроксимации функций и анализ устойчивости

4.2.3. Компьютерное сравнительное исследование эффективности разработанных адаптивных систем управления СЭМПО

4.3. Разработка систем адаптивного робастного управления СЭМПО при одновременном действии параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа и ограничения на управляющие сигналы

4.3.1. Синтез адаптивного робастного управления СЭМПО на основе модификации метода вычисленного момента и анализ устойчивости

4.3.2. Синтез адаптивного робастного управления СЭМПО на основе методов инвариантного погружения и аппроксимации функций и анализ устойчивости

4.3.3. Компьютерное сравнительное исследование эффективности разработанных адаптивных робастных систем управления СЭМПО

4.4. Выводы по четвертой главе

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА АДАПТИВНЫХ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СЭМПО В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ, ОГРАНИЧЕНИЯ НА УПРАВЛЯЮЩИЕ СИГНАЛЫ И НЕИЗВЕСТНЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

5.1. Разработка нелинейных наблюдателей возмущений для лагранжевых динамических систем на основе метода инвариантного погружения

5.1.1. Нелинейный наблюдатель возмущения первого порядка

5.1.2. Нелинейный наблюдатель возмущения второго порядка

5.2. Адаптивная робастная система управления СЭМПО с компенсацией возмущений, построенная на основе комбинации методов инвариантного погружения, аппроксимации функций и наблюдателя возмущений

5.2.1. Синтез адаптивного робастного управления СЭМПО

5.2.2. Синтез наблюдателя возмущения второго порядка для СЭМПО

5.2.3. Анализ устойчивости замкнутой системы

5.3. Адаптивная робастная система управления СЭМПО, построенная на основе комбинации модифицированного метода вычисленного момента и метода аппроксимации функций с адаптивным компенсатором возмущений в скользящих режимах

5.3.1. Синтез адаптивного робастного управления СЭМПО с адаптивным компенсатором возмущений в скользящих режимах

5.3.2. Анализ устойчивости замкнутой системы

5.4. Компьютерное сравнительное исследование эффективности разработанных адаптивных робастных систем управления СЭМПО

5.5. Выводы по пятой главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

253

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

EKF - Extended Kalman Filter;

FAT - Function Approximation Technique;

FOC - Field-Oriented Control;

I&I - Immersion and Invariance;

MRAS - Model Reference Adaptive System;

PLL - Phase-Locked Loop;

SMO - Sliding Mode Observer;

SPMSM - Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor;

АНС - адаптивный наблюдатель состояния;

АНСР - адаптивный наблюдатель в скользящем режиме;

АН-ЭДС - адаптивный наблюдатель противо-ЭДС;

АРС - адаптивный регулятор скорости;

АРТ - адаптивный регулятор тока;

ДПТ - двигатель постоянного тока;

КПД - коэффициент полезного действия;

ЛМН - линейное матричное неравенство;

ПВ-ШИМ - пространственно-векторная широтно-импульсная модуляция;

ПИ - пропорционально-интегральный;

ПИД - пропорционально-интегрально-дифференцирующий;

РП - регулятор положения;

РС - регулятор скорости;

СДПМ - синхронный двигатель с постоянными магнитами;

СЭМПО - сложный электромеханический подвижный объект;

ФАПЧ - фазовая автоподстройка частоты;

ФНЧ - фильтр низких частот;

ЧПУ - числовое программное управление;

ЭДС - электродвижущая сила.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез и исследование адаптивных робастных систем управления сложными электромеханическими подвижными объектами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертационной работы. Повышение точности и обеспечение робастной устойчивости сложных электромеханических подвижных объектов (СЭМПО) представляют собой одну из центральных задач в области современного автоматического управления. Эта задача становится особенно сложной, когда система функционирует в условиях реальной эксплуатации при одновременном действии следующих факторов: 1) неопределенные или изменяющиеся во времени параметры модели, в частности, параметрическая или функциональная неопределенность матрицы входа; 2) физические ограничения на управляющие сигналы (например, насыщение исполнительного механизма); 3) наличие неизмеряемых и/или неучтенных внешних возмущений. Кроме того, сложное взаимодействие между существенными нелинейностями объекта и указанными неопределенностями также требует применения усовершенствованных методов, превосходящих по своим возможностям классические подходы. В связи с этим активной областью исследований, привлекающей значительное внимание научного сообщества, является создание робастных адаптивных систем управления, способных к самокоррекции и адаптации в изменяющихся условиях эксплуатации без потери точности и устойчивости. Данное направление является одним из наиболее актуальных в современных исследованиях и отвечает растущим требованиям технических применений в таких областях, как автоматизация, робототехника, а также авиационно-аэрокосмическая промышленность.

Распространенной и неизбежной особенностью практических систем управления является наличие ограничений на управляющие сигналы. Эти ограничения возникают из-за присущих физических ограничений аппаратного обеспечения, включая максимальную мощность исполнительных механизмов, допустимые пороги по току и напряжению, а также механические и эксплуатационные пределы. При превышении управляющим сигналом этих

порогов возникает явление насыщения, которое приводит к искажению выходного сигнала. Непосредственными последствиями являются ухудшение качества управления, возникновение колебаний с большой амплитудой и, в наиболее серьезных случаях, потеря устойчивости всей системы. Указанная проблема представляет особую сложность при проектировании адаптивных систем управления, поскольку непрерывная адаптация параметров в условиях насыщения управляющего сигнала может легко привести к неустойчивости системы [70, 110]. Широкое распространение в мире получили такие методы компенсации ограничений на управляющие сигналы, как положительная модификация (Positive ^-Modification) [110-112, 168], классические анти-виндапные схемы (Anti-windup) [46, 58, 66, 108], алгоритмы, синтезированные на основе барьерных функций (Barrier Function) [59, 120], методы вспомогательных динамических систем (Auxiliary Dynamic System) [71, 83, 101, 186] и подход на основе функции Нуссбаума (Nussbaum Function) [74, 82, 121]. Следует подчеркнуть, что компенсация влияния насыщения управляющих сигналов играет критически важную роль в обеспечении стабильности и эффективности работы систем управления.

Взаимодействие между неопределенностью матрицы входа и насыщением управляющих сигналов порождает резонансный эффект, вызывающий резкое снижение устойчивости и существенное ухудшение качества управления. Неопределенность матрицы входа, возникающая, например, из-за погрешностей определения коэффициентов усиления исполнительных механизмов, неточности моделирования их динамики или иных трудноизмеримых динамических параметров, приводит к формированию неточного управляющего сигнала. Последующее ограничение этого сигнала вследствие насыщения управляющих сигналов приводит к тому, что на реальную систему воздействует управление с двойным искажением. В результате динамика замкнутой системы становится плохо предсказуемой, существенно нелинейной и, следовательно, неоправданно усложненной. Кроме того, в адаптивных системах особую проблему представляет реакция

механизма настройки параметров на ошибку, искаженную указанными обоими факторами, что приводит к возникновению дрейфа настраиваемых параметров. Это явление вызывает колебания значительной амплитуды и может привести к глобальной потере устойчивости системы. Следовательно, в прикладных задачах анализ и проектирование систем адаптивного управления должны учитывать оба фактора совместно как комплексную проблему, а не рассматривать их раздельно.

Для повышения робастности адаптивных систем управления, функционирующих в условиях неизмеряемых/ немоделируемых возмущений, методы регуляризации стали неотъемлемым инструментом современного проектирования систем управления. Суть этих методов заключается во введении дополнительных корректирующих членов в алгоритм адаптации параметров для противодействия явлению «дрейфа параметров» - серьезной проблемы, часто возникающей при непрерывном воздействии возмущений, которая может привести к потере устойчивости адаптивных систем [90, 91, 114]. Таким образом, техника регуляризации обеспечивает робастную устойчивость замкнутой системы, гарантируя экспоненциальную сходимость всех сигналов к ограниченному инвариантному множеству. Размер этого множества может регулироваться с помощью параметров проектирования, позволяя разработчику балансировать между точностью и робастностью. Некоторые широко применяемые техники регуляризации включают: а) о-модификацию (o-Modification) [42, 67, 76]: добавление отрицательной обратной связи, пропорциональной текущей оценке параметров, для обеспечения ограниченности всех сигналов в условиях возмущений; б) e-модификацию (e-Modification) [95, 113, 151]: коррекцию закона адаптации на основе сигнала ошибки управления для улучшения эффективности и робастности системы; в) алгоритм с зоной нечувствительности (Dead-Zone Modification) [44, 91, 113]: адаптация параметров отключается, когда ошибка управления находится в пределах заданного порогового значения, где влияние помех является преобладающим; г) алгоритм с параметрической проекцией

(Projection Operator) [88, 109, 113]: ограничение вектора оцениваемых параметров в заранее определенном компактном множестве на основе априорных знаний о диапазоне их реальных значений.

Несмотря на обеспечиваемую робастность, эти методы имеют недостаток: крайне сложно одновременно обеспечить жесткую границу для ошибки системы путем регулирования параметра глубины и коэффициента обратной связи адаптивной настройки. Компромисс между размером предельного множества и скоростью сходимости зачастую является сложно достижимым. Для преодоления этого ограничения и дальнейшего повышения точности регулятора мощным подходом является комбинация с механизмом прямой компенсации возмущений. А именно, в структуру адаптивного управления интегрируются нелинейные наблюдатели возмущений [48-50, 78, 86] или адаптивные структуры [124, 129, 136, 137] для оценивания возмущений. Эти механизмы осуществляют оценивание и прямую компенсацию компонента возмущений, действующих на систему, тем самым снижая нагрузку на контур адаптации параметров. Комбинация техники регуляризации для обеспечения робастной устойчивости и механизмов компенсации возмущений для повышения точности представляет собой комплексный подход, позволяющий достичь превосходящей эффективности адаптивных систем управления в сложных реальных условиях эксплуатации.

Современная теория адаптивного управления опирается на точные методы по состоянию, такие как метод скоростного градиента (Фрадков А. Л., Андриевский Б. Р.) [10, 29, 35, 36, 68], метод вычисленного момента - метод Li-Slotine (Slotine J. J. E., Li W.) [155-158], метод управления в скользящих режимах (Уткин В. И.) [170-173] и метод обратного обхода интегратора (Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.) [67, 99, 102, 104-107], а также на приближенные методы, в том числе метод мажорирующих функций (Путов В.

B.) [21, 22, 24, 25, 146] и метод аппроксимации функций (Huang A. C., Chien M.

C.) [52-56, 84]. В развитие методов адаптивного управления по выходу значительный вклад внесли российские ученые, среди которых Фрадков А. Л.,

Бобцов А. А. и Никифоров В. О. [4-6, 28, 138, 147]. В последние десятилетия также получили развитие нелинейные и адаптивные методы управления, известные как методы инвариантного погружения (I&I - Immersion and Invariance), основанные на аттрактивности инвариантных многообразий (Astolfi

A., Ortega R.) [38, 39, 100, 140, 176]. Наряду с этим были разработаны методы синтеза адаптивных наблюдателей внешних возмущений (Никифоров В. О.) [19, 67, 136, 137], основанные на методе внутренней модели, а также методы синтеза нелинейных наблюдателей внешних возмущений (Chen W. H.) [48-50, 117], предназначенные для решения задачи компенсации неизвестных возмущений.

Широкую известность в области адаптивного управления получили труды многих отечественных и зарубежных ученых, таких как Андриевский Б. Р., Бобцов А. А., Борцов Ю. А., Буков В. Н., Воронов А. А., Еремин Е. Л., Земляков С. Д., Зубов В. И., Красовский А. А., Лохин В. М., Манько С. В., Мещеряков В. Н., Мирошник И. В., Никифоров В. О., Петров Б. Н., Полушин И. Г., Поляхов Н. Д., Путов В. В., Романов М. П., Рутковский В. Ю., Солодовников В. В., Срагович

B. Г., Терехов В. А., Тюкин И. Ю., Уткин В. И., Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Цыпкин Я. З., Южаков А. А., Ядыгин И. Б., Якубович В. А., Annaswany A. M., Astolfi A., Cai Z., Carrol R., Chen W. H., Chien M. C., Dawson D. M., Dong W., Huang A. C., Ikhouane F. I., Kanellakopoulos I., Khalil H., Koditschek D., Kokotovic P., Krstic M., Lee C. S. G., Lindorff D., Li W., Li K., Landau I. D., Miikkulainen R., Narendra K. S., Ortega R., Polycarpou M. M., Pomet J. B., Slotine J. J. E., Spong M. W., Siciliano B., Stanley K. O., Stocich D., и многих других.

Таким образом, разработка высокоэффективных адаптивных робастных систем управления сложными электромеханическими подвижными объектами (СЭМПО), характеризующихся существенной нелинейностью математических моделей и функционирующих в условиях функционально-параметрических неопределенностей (включая неопределенность матрицы входа), ограничений на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений, представляет собой актуальную задачу, обладающую значительным научным и практическим интересом.

Степень разработанности. Проведенный выше анализ показывает, что теория адаптивных систем была сформирована для решения практических задач, с которыми классические методы управления справляются неэффективно. Несмотря на значительный прогресс в разработке методов адаптивного управления сложными нелинейными системами, общим ограничением современных исследований как отечественных, так и зарубежных, посвященных нелинейным объектами и, в частности, СЭМПО, является отсутствие учета одновременного действия таких факторов, как неопределенность параметров модели и матрицы входа, ограничения на управляющие сигналы, а также неизвестные внешние возмущения. Это обстоятельство существенно усложняет разработку адаптивных систем управления, поскольку системы, построенные на основе традиционных подходов к адаптивному управлению, особенно склонны к потере устойчивости при одновременном воздействии указанных факторов.

Объект исследования. В диссертационной работе объектом исследования является трикоптер с поворотными винтами, рассматриваемый как иллюстративный пример СЭМПО.

Цель диссертационной работы. Разработка и сравнительное исследование семейства адаптивных робастных систем управления СЭМПО (их динамика описывается уравнениями Эйлера-Лагранжа), обеспечивающих повышение точности управления и улучшение динамических характеристик в условиях функционально-параметрических неопределенностей (включая неопределенность матрицы входа), ограничений на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений.

Задачи диссертационной работы. Для достижения цели исследования в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Выполнить обзор и анализ современных методов синтеза адаптивных систем управления сложными динамическими объектами.

2. Построить полную нелинейную математическую модель трикоптера с поворотными винтами (как представителя класса СЭМПО), включающую

механическую динамику (в виде уравнения Эйлера-Лагранжа с учетом ограничений на управляющие сигналы и внешних возмущений) и динамику исполнительных электроприводов.

3. Разработать адаптивный наблюдатель состояния для систем бездатчикового векторного управления синхронными двигателями с постоянными магнитами (СДПМ), используемыми в качестве основных двигателей трикоптера в области средних и высоких скоростей при параметрической неопределенности двигателей, и разработать робастный наблюдатель состояния для систем управления механизмом наклона винтов, состоящим из двигателей постоянного тока (ДПТ) с упругой передачей в условиях неопределенности и неизвестных внешних возмущений.

4. Разработать адаптивные робастные подсистемы управления электроприводами для регулирования скоростей вращения и углов наклона винтов трикоптера в условиях параметрической неопределенности и несогласованных неизвестных внешних возмущений, построенные на основе модифицированных адаптивных методов обхода интегратора и скользящих режимов, и провести исследование их эффективности в сравнении с подчиненным управлением.

5. Разработать нелинейное управление механической динамикой трикоптера в скользящих режимах, объединенное с адаптивными робастными подсистемами управления электроприводами, и провести анализ, обосновывающий возможность рассмотрения динамики исполнительных электроприводов с робастными адаптивными законами управления как паразитной и пренебрежения ею при дальнейшем проектировании контура управления пространственным движением трикоптера.

6. Разработать адаптивные системы управления движением трикоптера в условиях параметрической неопределенности и неопределенности матрицы входа, построенные на основе модификации метода вычисленного момента и на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций, и провести сравнительное исследование их эффективности.

7. Разработать адаптивные робастные системы управления движением трикоптера в условиях параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа и ограничения на управляющие сигналы, построенные на основе модифицированного метода вычисленного момента и на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций, и провести сравнительное исследование их эффективности.

8. Разработать нелинейные наблюдатели внешних возмущений первого и второго порядков для лагранжевых динамических систем на основе метода инвариантного погружения. На основе комбинации методов инвариантного погружения, аппроксимации функций и нелинейного наблюдателя внешних возмущений разработать адаптивную робастную систему управления движением трикоптера в условиях неопределенности (параметров объекта и матрицы входа), ограничений на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений.

9. Разработать адаптивную робастную систему управления движением трикоптера в условиях неопределенности (параметров объекта и матрицы входа), ограничения на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений, построенную на основе комбинации модифицированного метода вычисленного момента и метода аппроксимации функций с адаптивным компенсатором возмущений в скользящих режимах, а также провести сравнительное исследование ее эффективности с эффективностью системы, ранее разработанной в диссертации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались математический аппарат теории обыкновенных дифференциальных управлений, механика Лагранжа, теория электропривода и бездатчикового векторного управления, техника линейных матричных неравенств (ЛМН), метод функций Ляпунова, принцип инвариантности Ла-Салля, методы современной теории систем управления, метод скользящего режима, методы адаптивного обхода интегратора и их модификации со скользящими режимами, метод вычисленного момента и его модификация, метод аппроксимации функций, метод инвариантного погружения, метод синтеза нелинейных наблюдателей и адаптивной компенсации возмущений,

методы математического моделирования. При моделировании применялись пакеты прикладных программ МЛТЬЛВ/БтиНпк и разработанные авторские программы для ЭВМ, прошедшие государственную регистрацию.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Полная нелинейная математическая модель трикоптера с поворотными винтами, относящегося к классу СЭМПО, которая объединяет механическую динамику, описываемую уравнениями Эйлера-Лагранжа с учетом ограничения на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений, и динамику исполнительных электроприводов.

2. Адаптивный алгоритм оценивания состояния для систем бездатчикового векторного управления СДПМ (винтовые двигатели) в области средних и высоких скоростей при параметрической неопределенности, а также алгоритм оценивания состояния для систем управления механизмом наклона винтов с ДПТ и упругой передачей в условиях неопределенности и неизвестных внешних возмущений.

3. Адаптивные робастные подсистемы управления электроприводами для регулирования скоростей вращения и углов наклона винтов трикоптера в условиях параметрической неопределенности и несогласованных неизвестных внешних возмущений, построенные на основе модифицированных адаптивных методов обхода интегратора и скользящих режимов, и результаты исследования их эффективности в сравнении с подчиненным управлением.

4. Адаптивные системы управления движением трикоптера в условиях параметрической неопределенности и неопределенности матрицы входа, построенные на основе модификации метода вычисленного момента, а также на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций, и результаты сравнительных исследований их эффективности.

5. Адаптивные робастные системы управления движением трикоптера в условиях параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа и ограничения на управляющие сигналы, построенные на основе модифицированного метода вычисленного момента, а также на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций, и результаты сравнительных исследований их эффективности.

6. Адаптивные робастные системы управления движением трикоптера в условиях параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа, ограничения на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений: первая - на основе комбинации методов инвариантного погружения, аппроксимации функций и нелинейного наблюдателя внешних возмущений второго порядка; вторая - на основе комбинации модифицированного метода вычисленного момента и метода аппроксимации функций с адаптивным компенсатором возмущений в скользящих режимах, и результаты сравнительных исследований их эффективности.

Научная новизна результатов работы.

1. Построена полная нелинейная математическая модель трикоптера с поворотными винтами (как представителя класса СЭМПО), включающая механическую динамику (в виде уравнения Эйлера-Лагранжа с учетом ограничения на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений) и динамику исполнительных электроприводов. На основе этой модели впервые поставлена и решена задача аналитического исследования и учета параметрической неопределенности, ограничения на управление и неизвестных внешних возмущений в синтезе управления, а также исследована работоспособность системы при совместном действии указанных факторов.

2. Предложены новые алгоритмы оценивания состояния в условиях параметрической неопределенности и неизвестных внешних возмущений: первый - адаптивный алгоритм для СДПМ в области средних и высоких скоростей, основанный на комбинации адаптивного наблюдателя в скользящем режиме, адаптивного наблюдателя противо-ЭДС и контура фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), позволяющий повысить точность оценивания угловой скорости и положения ротора; второй - робастный наблюдатель состояния на основе методов супер-скрученного скользящего режима и ЛМН для механизма наклона винтов с ДПТ и упругой передачей, отличающийся от традиционного наблюдателя в скользящем режиме повышенной точностью оценивания и скоростью сходимости.

3. Предложена новая модификация адаптивного метода обхода интегратора со скользящими режимами, позволяющая существенно сократить вычислительную сложность и упростить структуру метода, отличающаяся от известных модификаций исключением командных фильтров виртуальных управлений и способностью компенсировать как параметрическую неопределенность, так и несогласованные неизвестные внешние возмущения. Впервые на основе этой модификации разработаны адаптивные робастные подсистемы управления электроприводами для регулирования скоростей вращения и углов наклона винтов трикоптера в условиях неопределенности параметров двигателей и несогласованных неизвестных внешних возмущений.

4. Предложены два новых алгоритма адаптивного управления лагранжевыми динамическими системами в условиях одновременного действия параметрической неопределенности и неопределенности матрицы входа: первый - новая модификация метода вычисленного момента; второй -адаптивный алгоритм, синтезированный на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций. На основе предложенных алгоритмов впервые разработаны адаптивные системы управления движением трикоптера в указанных условиях, а также приведены результаты сравнительных исследований их эффективности.

5. Впервые разработаны новые адаптивные робастные системы управления движением трикоптера в условиях одновременного действия параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа и ограничения на управляющие сигналы, построенные на основе модифицированного метода вычисленного момента и на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций, и приведены результаты сравнительных исследований их эффективности.

6. Впервые разработаны нелинейные наблюдатели внешних возмущений первого и второго порядков для лагранжевых динамических систем на основе метода инвариантного погружения, а также новые адаптивные робастные системы управления движением трикоптера в условиях

одновременного действия неопределенности (параметров объекта и матрицы входа), ограничения на управляющие сигналы и неизвестных внешних возмущений: первая - на основе комбинации методов инвариантного погружения, аппроксимации функций и нелинейного наблюдателя внешних возмущений второго порядка; вторая - на основе комбинации модифицированного метода вычисленного момента и метода аппроксимации функций с адаптивным компенсатором возмущений в скользящих режимах. Приведены результаты сравнительных исследований их эффективности.

Степень обоснованности и достоверности полученных научных результатов. Обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается корректным использованием аналитических методов синтеза адаптивных и нелинейных робастных систем. Достоверность научных положений, теоретических результатов и выводов подтверждена строгими доказательствами с использованием метода функций Ляпунова и принципа инвариантности Ла-Салля, а также положительными результатами компьютерного моделирования разработанных адаптивных робастных систем управления в среде современных прикладных программ МЛТЬЛВ/БтиНпк.

Значимость полученных результатов для науки и практики: • Теоретическая значимость работы

1. Полная нелинейная математическая модель электромеханической динамики трикоптера позволяет исследовать работоспособность системы при совместном действии параметрической неопределенности, ограничения на управление и неизвестных внешних возмущений.

2. Разработанные алгоритмы адаптивного и робастного оценивания состояния, функционирующие в условиях параметрической неопределенности и неизвестных внешних возмущений, могут применяться для систем бездатчикового векторного управления СДПМ в области средних и высоких скоростей, а также для двухмассовых систем с учетом упругости, зазора и трения, что позволяет значительно повысить точность оценивания состояния.

3. Разработанная модификация адаптивного метода обхода интегратора со скользящими режимами, характеризующаяся сниженной вычислительной

сложностью, упрощенной структурой и способностью компенсировать параметрическую неопределенность и несогласованные неизвестные внешние возмущения, применима для синтеза управления нелинейными сложными системами высокого порядка, функционирующими в указанных условиях.

4. Предложенные новые алгоритмы адаптивного управления - первый на основе модифицированного метода вычисленного момента, второй на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций - применимы для синтеза управления лагранжевыми динамическими системами и позволяют эффективно и одновременно компенсировать влияние параметрической неопределенности и неопределенности матрицы входа.

5. Предложенные новые алгоритмы адаптивного робастного управления - первый на основе модифицированного метода вычисленного момента, второй на основе комбинации методов инвариантного погружения и аппроксимации функций - применимы для синтеза управления лагранжевыми динамическими системами и позволяют эффективно и одновременно компенсировать влияние параметрической неопределенности, неопределенности матрицы входа и ограничения на управляющие сигналы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Зуи Хань, 2026 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андриевский Б. Р., Бобцов А. А., Фрадков А. Л. Методы анализа и синтеза нелинейных систем управления / Андриевский Б. Р., Бобцов А. А., Фрадков А. Л., М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2018. 336 с.

2. Баранчук Е. И. Взаимосвязанные и многоконтурные регулируемые системы / Е. И. Баранчук, М.: Энергия, 1968. 268 с.

3. Белов М. П., Нгуен В. Л. Разработка нейросетевого наблюдателя для оценки координат системы управления электроприводом оптико-механического комплекса // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2021. № 3. С. 65-72.

4. Бобцов А. А. Синтез закона управления для стабилизации нелинейной системы по измерениям выхода // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2004. № 3. С. 40-45.

5. Бобцов А. А. [и др.]. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными объектами в приборостроении / Бобцов А. А., Никифоров В. О., Пыркин А. А., Слита О. В., Ушаков А. В., Санкт-Петербург: СПб: НИУ ИТМО, 2013. 282 с.

6. Бобцов А. А., Николаев Н. А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова // Автоматика и телемеханика. 2005. № 1. С. 118-129.

7. Борцов Ю. А., Поляхов Н. Д., Путов В. В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением / Ю. А. Борцов, Н. Д. Поляхов, В. В. Путов, Л.: Энергоатомиздат, 1984. 216 с.

8. Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями / Ю. А. Борцов, Г. Г. Соколовский, 2-е изд., СПБ.: Энергоатомиздат, 1992. 288 с.

9. Мееров М. В. Системы многосвязного регулирования / М. В. Мееров, М.: Издательство «Наука», 1965. 384 с.

10. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л., СПб.: Наука, 2000. 549 с.

11. Морговский Ю. Я., Рубашкин И. Б., Гольдин Я. Г. Взаимосвязанные системы электропривода / Ю. Я. Морговский, И. Б. Рубашкин, Я. Г. Гольдин, Л.: «Энергия», 1972. 201 с.

12. Нгуен З. Х. [и др.]. Разработка адаптивного робастного алгоритма управления движением сложных электромеханических подвижных объектов на основе метода инвариантного погружения в условиях неопределенной матрицы входа и ограничения входных воздействий // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2025. № 8 (18). С. 98-112.

13. Нгуен З. Х. [и др.]. Метод инвариантного погружения в задачах адаптивного робастного управления сложными электромеханическими подвижными объектами с компенсацией неопределенностей, ограничений входных воздействий и неизвестных внешних возмущений // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2025. № 9 (18).

14. Нгуен З. Х., Второв В. Б. Управление электромеханической системой с люфтом и упругими деформациями // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2021. № 8. C. 53-59.

15. Нгуен З. Х., Путов В. В., Шелудько В. Н. Синтез нелинейной и адаптивно-робастной систем со скользящими режимами в управлении динамикой трикоптера с поворотными винтами при действии неизвестных внешних возмущений // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2024. № 5 (17). C. 83-96.

16. Нгуен З. Х., Путов В. В., Шелудько В. Н. Адаптивные системы управления трикоптером с поворотными винтами, разработанные на основе метода инвариантного погружения в условиях неопределенных аэродинамических коэффициентов и частично неопределенной матрицы входа // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2024. № 8 (17). C. 81-94.

17. Нгуен З. Х., Путов В. В., Шелудько В. Н. Синтез адаптивной робастной системы управления трикоптером с поворотными винтами в условиях неопределенных аэродинамических коэффициентов, частично неопределенной матрицы входа, влияния внешних возмущений и ограничения входных воздействий // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2024. № 6 (17). C. 84-98.

18. Нгуен З. Х., Путов В. В., Шелудько В. Н. Адаптивное робастное управление сложными электромеханическими подвижными объектами, синтезированное на основе модифицированных методов бэкстеппинга и скользящих режимов в условиях параметрической неопределенности и неизвестности внешних возмущений // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2025. № 5 (18). C. 81-94.

19. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений / В. О. Никифоров, Санкт-Петербург: СПб.: Наука, 2003.

20. Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств / Б. Т. Поляк, М. В. Хлебников, П. С. Щербаков, М.: ЛЕНАНД, 2014. 560 с.

21. Путов В. В. Методы построения адаптивных систем управления нелинейными нестационарными динамическими объектами с функционально-параметрической неопределенностью 1993.

22. Путов В. В. [и др.]. Обобщение метода мажорирующих функций в задачах адаптивного управления нелинейными динамическими объектами // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2013. № 8. C. 32-37.

23. Путов В. В. [и др.]. Упрощенные адаптивные системы управления нелинейными многостепенными механическими объектами, построенные по методу вычисленного момента // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2014. № 3. C. 54-58.

24. Путов В. В., Козлов Ю. К., Шелудько В. Н. Прямые и непрямые адаптивные системы с сигнальной настройкой, построенные на основе метода мажорирующих функций // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2005. C. 3.

25. Путов В. В., Шелудько В. Н. Новый подход в построении беспоисковых адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами с неопределенным описанием // Изв. СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2008. № 4. C. 37-50.

26. Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Адаптация в нелинейных динамических системах / И. Ю. Тюкин, В. А. Терехов, Изд. стер. - М.: УРСС, 2014. 381 с.

27. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой / В. И. Уткин, М.: Наука, 1974. 272 с.

28. Фрадков А. Л. Синтез адаптивной системы стабилизации линейного динамического объекта // Автоматика и телемеханика. 1974. № 12. C. 96-103.

29. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах: Беспоисковые методы / Фрадков А. Л., М.: Наука, 1990. 296 с.

30. Халил Х. К. Нелинейные системы / Х. К. Халил, 3-е изд., Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 832 с.

31. Abara D. Modelling, Control and Construction of Tricopter Unmanned Aerial Vehicles 2022.

32. Abara D., Bhowmick P., Lanzon A. Cooperative Control of Multi-Tilt Tricopter Drones Applying a 'Mixed' Negative Imaginary and Strict Passivity Technique Bucharest, Romania: IEEE, 2023.C. 1-6.

33. Abara D., Bhowmick P., Lanzon A. A negative imaginary robust formation control scheme for networked multi-tilt tricopters utilizing an inner-loop sliding-mode control technique // Automatica. 2024. (169). C. 111813.

34. Adiguzel F., Yal5in Y. Discrete-time backstepping control with nonlinear adaptive disturbance attenuation for the inverted-pendulum system // Transactions of the Institute of Measurement and Control. 2021. № 5 (43). C. 1068-1076.

35. Andrievsky B., Pogromsky A. Y., Plotnikov S. A. Speed-gradient Method in Adaptive Control and Identification. Historical Overview // IFAC-PapersOnLine. 2020. № 2 (53). C. 1367-1372.

36. Andrievsky B. R., Fradkov A. L. Speed Gradient Method and Its Applications // Automation and Remote Control. 2021. № 9 (82). C. 1463-1518.

37. Ansari A., Prach A., Bernstein D. S. Adaptive trim and trajectory following for a tilt-rotor tricopter Seattle, WA, USA: IEEE, 2017.C. 1109-1114.

38. Astolfi A., Karagiannis D., Ortega R. Nonlinear and Adaptive Control with

Applications / A. Astolfi, D. Karagiannis, R. Ortega, London: Springer, 2010. 290 c.

39. Astolfi A., Ortega R. Immersion and invariance: a new tool for stabilization and adaptive control of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2003. № 4 (48). C. 590-606.

40. Bayardo R. G. [h gp.]. Adaptive speed tracking controller for a brush-less DC motor using singular perturbation. // IFAC-PapersOnLine. 2020. № 2 (53). C. 3880-3885.

41. Bosso A. [h gp.]. A Computational-Effective Field-Oriented Control Strategy for Accurate and Efficient Electric Propulsion of Unmanned Aerial Vehicles // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. 2021. № 3 (26). C. 1501-1511.

42. Cabrera J. B. D., Furuta K. Improving the robustness of Nussbaum-type regulators by the use of o-modification — local results // Systems & Control Letters. 1989. № 5 (12). C. 421-429.

43. Changsheng Li, Elbuluk M. A sliding mode observer for sensorless control of permanent magnet synchronous motors Chicago, IL, USA: IEEE, 2001.C. 1273-1278.

44. Charandabi B. A., Salmasi F. R., Sedigh A. K. Improved Dead Zone Modification for Robust Adaptive Control of Uncertain Linear Systems Described by Input-Output Models With Actuator Faults // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. № 4 (56). C. 863-867.

45. Chen C. [h gp.]. Control and flight test of a tilt-rotor unmanned aerial vehicle // International Journal of Advanced Robotic Systems. 2017. № 1 (14). C. 1729881416678141.

46. Chen C.-W., Wu H.-M., Nian C.-Y. A Class of Anti-Windup Controllers for Precise Positioning of an X-Y Platform with Input Saturations // Electronics. 2025. № 3 (14). C. 539.

47. Chen M., Ge S. S., Ren B. Adaptive tracking control of uncertain MIMO nonlinear systems with input constraints // Automatica. 2011. № 3 (47). C. 452-465.

48. Chen W.-H. [h gp.]. A nonlinear disturbance observer for robotic manipulators // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2000. № 4 (47). C. 932-938.

49. Chen W.-H. Nonlinear Disturbance Observer-Enhanced Dynamic Inversion Control of Missiles // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2003. № 1 (26). C. 161-166.

50. Chen W.-H. [h gp.]. Disturbance-Observer-Based Control and Related Methods—An Overview // IEEE Trans. on Ind. Elec. 2016. № 2 (63). C. 1083-1095.

51. Chi S., Zhang Z., Xu L. Sliding-Mode Sensorless Control of Direct-Drive PM Synchronous Motors for Washing Machine Applications // IEEE Transactions on Industry Applications. 2009. № 2 (45). C. 582-590.

52. Chien M., Huang A. Adaptive control of electrically-driven robot without computation of regressor matrix // Journal of the Chinese Institute of Engineers. 2007. № 5 (30). C. 855-862.

53. Chien M.-C., Huang A.-C. Adaptive Impedance Control of Robot Manipulators based on Function Approximation Technique // Robotica. 2004. № 4 (22). C. 395-403.

54. Chien M.-C., Huang A.-C. FAT-based Adaptive Control for Flexible-joint Robots without Computation of the Regressor Matrix Taipei, Taiwan: IEEE, 2006.C. 3653-3658.

55. Chien M.-C., Huang A.-C. Adaptive Control for Flexible-Joint Electrically Driven Robot With Time-Varying Uncertainties // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2007. № 2 (54). C. 1032-1038.

56. Chien M.-C., Huang A.-C. Adaptive impedance controller design for flexible-joint electrically-driven robots without computation of the regressor matrix // Robotica. 2012. № 1 (30). C. 133-144.

57. Cychowski M. [h gp.]. Position tracking in electrical drives with elastic coupling using model predictive control Glendale, AZ, USA: IEEE, 2010.C. 956-961.

58. Da Silva L. R., Flesch R. C. C., Normey-Rico J. E. Analysis of Anti-windup Techniques in PID Control of Processes with Measurement Noise // IFAC-PapersOnLine. 2018. № 4 (51). C. 948-953.

59. Dai H., Permenter F. Convex synthesis and verification of control-Lyapunov and barrier functions with input constraints // 2022.

60. Davila J., Fridman L., Levant A. Second-order sliding-mode observer for mechanical systems // IEEE Trans. on Auto. Contr. 2005. № 11 (50). C. 1785-1789.

61. Dong W. [h gp.]. Command filtered adaptive backstepping Baltimore, MD: IEEE, 2010.C. 105-110.

62. Dong W. [h gp.]. Command Filtered Adaptive Backstepping // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2012. № 3 (20). C. 566-580.

63. Emelyanova O. V. [h gp.]. The Synthesis of Electric Drives Characteristics of the UAV of "Convertiplane-Tricopter" Type // MATEC Web of Conferences. 2017. (99). C. 02002.

64. Farrell J. A. [h gp.]. Command Filtered Backstepping // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. № 6 (54). C. 1391-1395.

65. Farrell J. A., Polycarpou M. M. Adaptive Approximation Based Control: Unifying Neural, Fuzzy and Traditional Adaptive Approximation Approaches / J. A. Farrell, M. M. Polycarpou, 1-e rog., Wiley, 2006. 440 c.

66. Fertik H. A., Ross C. W. Direct digital control algorithm with anti-windup feature // ISA transactions. 1967. № 4 (6). C. 317.

67. Fradkov A. L. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Systems / A. L. Fradkov, Dordrecht: Springer Netherlands, 1999. 1 c.

68. Fradkov A. L., Andrievsky B. Speed-Gradient Method in Mechanical Engineering nog peg. V. A. Polyanskiy, A. K. Belyaev, Cham: Springer

International Publishing, 2022.C. 171-194.

69. Gahinet P. [h gp.]. MATLAB LMI control toolbox / P. Gahinet, A. Nemirovski, A. J. Laub, M. Chilali, MA, USA: The MathWorks Inc, 1995. 356 c.

70. Gao Z., Wang J., Tian Y. Finite-Time Attitude Control for Quadrotor with Input Constraints and Disturbances // Math. Prob. in Eng. 2020. (2020). C. 1-11.

71. Ghosh P., Bhasin S. State and Input Constrained Model Reference Adaptive Control Cancun, Mexico: IEEE, 2022.C. 68-73.

72. Ginoya D., Shendge P. D., Phadke S. B. Sliding Mode Control for Mismatched Uncertain Systems Using an Extended Disturbance Observer // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2014. № 4 (61). C. 1983-1992.

73. Gorji S., Yazdanpanah M. J. A robust adaptive sliding mode controller for robot manipulators Qazvin, Iran: IEEE, 2017.C. 170-176.

74. Habibi H., Rahimi Nohooji H., Howard I. Backstepping Nussbaum gain dynamic surface control for a class of input and state constrained systems with actuator faults // Information Sciences. 2019. (482). C. 27-46.

75. He H. [h gp.]. Improved Sliding Mode Observer for the Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor // Journal of Electrical Engineering & Technology. 2024. № 5 (19). C. 3149-3161.

76. He Z., Huang D., Xu J. On the asymptotic property analysis for a class of adaptive control systems with a -modification // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2013. № 7 (27). C. 620-634.

77. Hendershot J. R., Miller T. J. E. Design of brushless permanent-magnet motors / J. R. Hendershot, T. J. E. Miller, Oxford university press, 1995.

78. Herbst G. A Simulative Study on Active Disturbance Rejection Control (ADRC) as a Control Tool for Practitioners // Electronics. 2013. № 3 (2). C. 246-279.

79. Hinch E. J. Perturbation methods / E. J. Hinch, Transferred digital print-e H3g., Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 160 c.

80. Hongryel Kim, Jubum Son, Jangmyung Lee A High-Speed Sliding-Mode Observer for the Sensorless Speed Control of a PMSM // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2011. № 9 (58). C. 4069-4077.

81. Hu Jianhui, Xu Yongxiang, Zou Jibin Design and Implementation of Adaptive Backstepping Speed Control for Permanent Magnet Synchronous Motor Dalian, China: IEEE, 2006.C. 2011-2015.

82. Hu Q. [h gp.]. Nussbaum-type function-based attitude control of spacecraft with actuator saturation // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2018. № 8 (28). C. 2927-2949.

83. Hu X. [h gp.]. Robust adaptive NN control of dynamically positioned vessels under input constraints // Neurocomputing. 2018. (318). C. 201-212.

84. Huang A.-C., Chien M.-C. Adaptive control of robot manipulators: a

unified regressor-free approach / A.-C. Huang, M.-C. Chien, World scientific, 2010.

85. Huang J. Robust and Intelligent Control of a Typical Underactuated Robot: Mobile Wheeled Inverted Pendulum / J. Huang, 1st ed., Singapore: Springer, 2023.

86. Huang Y., Xue W. Active disturbance rejection control: Methodology and theoretical analysis // ISA Transactions. 2014. № 4 (53). C. 963-976.

87. Hudati I., Rusdhianto Effendie A. K., Jazidie A. Transition Control on Hybrid Unmanned Aerial Vehicles (UAV) using Altitude Change Surabaya, Indonesia: IEEE, 2019.C. 276-281.

88. Ikhouane F., Krstic M. Adaptive Backstepping with Parameter Projection: Robustness and Asymptotic Performance // Automatica. 1998. № 4 (34). C. 429-435.

89. Ilioudis V. C. PLL type estimator applied in PMSM sensorless control for speed and position Monte-Carlo, Monaco: IEEE, 2017.C. 1-8.

90. Ioannou P. A., Kokotovic P. V. Instability analysis and improvement of robustness of adaptive control // Automatica. 1984. № 5 (20). C. 583-594.

91. Ioannou P. A., Sun J. Robust adaptive controls / P. A. Ioannou, J. Sun, Mineola: Dover Publ, 2012. 821 c.

92. Ioannou P., Sun J. Robust adaptive control: a unified approach Tampa, FL, USA: IEEE, 1989.C. 1876-1881.

93. Izadbakhsh A., Masoumi M. FAT-based robust adaptive control of flexible-joint robots: Singular perturbation approach Toronto, ON: IEEE, 2017.C. 803-808.

94. Janiszewski D. Extended Kalman Filter Based Speed Sensorless PMSM Control with Load Reconstruction Paris, France: IEEE, 2006.C. 1465-1468.

95. Jiménez-Morales O., Garrido R. A Bounded e-Modification Applied to Adaptive Control of Servo Systems Rome, Italy: IEEE, 2023.C. 858-863.

96. Joshi D., Deb D., Giri A. K. MRAS disturbance observer-based sensorless field-oriented backstepping control of BLDC motor drive // Electrical Engineering. 2024. № 5 (106). C. 6681-6701.

97. Ju J., Liu Y., Zhang C. Stability Analysis of Electromechanical Coupling Torsional Vibration for Wheel-Side Direct-Driven Transmission System under Transmission Clearance and Motor Excitation // World Electric Vehicle Journal. 2022. № 3 (13). C. 46.

98. Kai Zhu [и др.]. A simplified backstepping sliding mode controller based on adaptive control for BTT missiles Changchun, China: IEEE, 2009.C. 4583-4588.

99. Kanellakopoulos I. Adaptive Control of Nonlinear Systems: A Tutorial The IMA Volumes in Mathematics and its Applications / под ред. K. J. Ástróm, G. C. Goodwin, P. R. Kumar, New York, NY: Springer New York, 1995.C. 89-133.

100. Karagiannis D., Astolfi A., Ortega R. Nonlinear Stabilization via System Immersion and Manifold Invariance: Survey and New Results // Multiscale Modeling & Simulation. 2005. № 4 (3). C. 801-817.

101. Karason S. P., Annaswamy A. M. Adaptive control in the presence of input constraints // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. № 11 (39). C. 2325-2330.

102. Koshkouei A. J., Mills R. E., Zinober A. S. I. Adaptive Backstepping Control Lecture Notes in Control and Information Sciences / под ред. X. Yu, J.-X. Xu, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2002.C. 129-153.

103. Krause P. C. Analysis of electric machinery and drive systems / P. C. Krause, под ред. O. Wasynczuk, S. D. Sudhoff, S. Pekarek, Third edition-e изд., Hoboken, New Jersey: Wiley, 2013. 688 c.

104. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. V. Adaptive nonlinear control without overparametrization // Systems & Control Letters. 1992. № 3 (19). C. 177-185.

105. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P. V. Nonlinear and adaptive control design / M. Krstic, I. Kanellakopoulos, P. V. Kokotovic, New York: Wiley, 1995. 563 c.

106. KrstiC M., KokotoviC P. V. Adaptive nonlinear output-feedback schemes with Marino-Tomei controller IEEE, 1994.C. 861-866.

107. Krstic M., Kokotovic P. V. Adaptive nonlinear output-feedback schemes with Marino-Tomei controller // IEEE Transactions on Automatic Control. 1996. № 2 (41). C. 274-280.

108. Kumar S., Negi R. A comparative study of PID tuning methods using anti-windup controller Allahabad, Uttar Pradesh, India: IEEE, 2012.C. 1-4.

109. Lavretsky E., Gibson T. E. Projection Operator in Adaptive Systems // arXiv preprint arXiv: 1112.4232 (2011).

110. Lavretsky E., Hovakimyan N. Positive ^-modification for stable adaptation in the presence of input constraints IEEE, 2004.C. 2545-2550.

111. Lavretsky E., Hovakimyan N. Positive ^-modification for stable adaptation in dynamic inversion based adaptive control with input saturation Portland, OR, USA: IEEE, 2005.C. 3373-3378.

112. Lavretsky E., Hovakimyan N. Stable adaptation in the presence of input constraints // Systems & Control Letters. 2007. № 11-12 (56). C. 722-729.

113. Lavretsky E., Wise K. A. Robust and adaptive control: with aerospace applications / E. Lavretsky, K. A. Wise, 2nd ed., Cham: Springer, 2024. 710 c.

114. Lawrence D. A., Sethares W. A., Ren W. Parameter drift instability in adaptive systems 1990.C. 3230-3235 т.6.

115. Lee H., Lee J. Design of Iterative Sliding Mode Observer for Sensorless PMSM Control // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2013. № 4 (21). C. 1394-1399.

116. Levant A. Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control // International Journal of Control. 1993. № 6 (58). C. 1247-1263.

117. Li S. [и др.]. Disturbance Observer-Based Control / S. Li, J. Yang, W.-H. Chen, X. Chen, 1st ed., Erscheinungsort nicht ermittelbar: CRC Press, 2016. 1 c.

118. Li X. [h gp.]. Resonant Suppression Method Based on PI control for Serial Manipulator Servo Drive System // Science Progress. 2020. № 3 (103). C. 0036850420950130.

119. Li Y., Li Q., Yang S. Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Improved SMO Lecture Notes in Electrical Engineering / nog peg. Q. Yang, Z. Li, A. Luo, Singapore: Springer Nature Singapore, 2024.C. 361-369.

120. Liu B. [h gp.]. Asymmetric integral barrier Lyapunov function-based adaptive tracking control considering full-state with input magnitude and rate constraint // Journal of the Franklin Institute. 2020. № 14 (357). C. 9709-9732.

121. Liu B., Guo Y., Li A. Nussbaum-based finite-time containment control for multi-UAVs with input saturation and velocity constraints // Aerospace Science and Technology. 2023. (139). C. 108407.

122. Liu D. [h gp.]. Sensorless Control Under Parameter Identification of Permanent Magnet Synchronous Motor for Electric Aircraft // International Journal of Circuit Theory and Applications. 2025. C. cta.70058.

123. Liu J., Zhang Y. Performance Improvement of Nonlinear Flux Observer for Sensorless Control of PMSM // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2023. № 12 (70). C. 12014-12023.

124. Liu P., Yu H., Cang S. Adaptive neural network tracking control for underactuated systems with matched and mismatched disturbances // Nonlinear Dynamics. 2019. № 2 (98). C. 1447-1464.

125. Lu M. [h gp.]. Nonlinear disturbance observer enhanced adaptive backstepping tracking control for coaxial HAUV // Acta Aeronautica et Astronautica Sinica. 2024. № 23 (45). C. 330361.

126. Lv Z.-Y. [h gp.]. Design and Control of a Novel Coaxial Tilt-Rotor UAV // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2022. № 4 (69). C. 3810-3821.

127. Lyshevski S. E. Electromechanical Systems and Devices / S. E. Lyshevski, Hoboken: CRC Press, 2008. 584 c.

128. Maaruf M., Abubakar A. N., Gulzar M. M. Adaptive backstepping and sliding mode control of a quadrotor // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2024. № 11 (46). C. 630.

129. Matassini T. [h gp.]. Adaptive Control with Neural Networks-based Disturbance Observer for a Spherical UAV // IFAC-PapersOnLine. 2016. № 17 (49). C. 308-313.

130. Mehndiratta M., Kayacan E., Kayacan E. A Simple Learning Strategy for Feedback Linearization Control of Aerial Package Delivery Robot Copenhagen: IEEE, 2018.C. 361-367.

131. Nam K. H. AC Motor Control and Electrical Vehicle Applications / K. H. Nam, 2-e rog., Boca Raton: CRC Press, 2018. 574 c.

132. Nguyen D. K. [h gp.]. Adaptive-robust Control of a Tricopter-type Unmanned Aerial Vehicle with Rotary Propellers under Uncertain Conditions Saint Petersburg, Russian Federation: IEEE, 2023.C. 53-56.

133. Nguyen D. K. [h gp.]. Robust Hierarchical Sliding Mode Control of a Complex Nonlinear Electromechanical Object Under Uncertainty and Unknown External Disturbances Saint Petersburg, Russian Federation: IEEE, 2025.C. 58-61.

134. Nguyen T. H. [h gp.]. An Adaptive Backstepping Sliding-Mode Control for Improving Position Tracking of a Permanent-Magnet Synchronous Motor With a Nonlinear Disturbance Observer // IEEE Access. 2023. (11). C. 19173-19185.

135. Nicola M., Nicola C.-I., Duta M. Adaptive Sensorless Control of PMSM using Back-EMF Sliding Mode Observer and Fuzzy Logic Bucharest, Romania: IEEE, 2019.C. 1-6.

136. Nikiforov V. O. Observers of External Deterministic Disturbances. I. Objects with Known Parameters // Automation and Remote Control. 2004. № 10 (65). C. 1531-1541.

137. Nikiforov V. O. Observers of External Deterministic Disturbances. II. Objects with Unknown Parameters // Automation and Remote Control. 2004. № 11 (65). C. 1724-1732.

138. Nikiforov V. O., Gerasimov D. N., Dudarenko N. A. Adaptive Compensation of External Disturbances for MIMO Systems with Output Control // Avtomatika i telemehanika. 2025. № 4. C. 3-21.

139. Novotny D. W., Lipo T. A. Vector control and dynamics of AC drives / D. W. Novotny, T. A. Lipo, Repr-e rog., Oxford: Clarendon Pr, 2005. 440 c.

140. Ortega R., Hsu L., Astolfi A. Immersion and invariance adaptive control of linear multivariable systems // Systems & Control Letters. 2003. № 1 (49). C. 37-47.

141. Pan Y., Yu H. Dynamic surface control via singular perturbation analysis // Automatica. 2015. (57). C. 29-33.

142. Pinto V. H., Gon?alves J., Costa P. Model of a DC Motor with Worm Gearbox Lecture Notes in Electrical Engineering / nog peg. J. A. Gon5alves, M. Braz-Cesar, J. P. Coelho, Cham: Springer International Publishing, 2021.C. 638-647.

143. Putov V. [h gp.]. Manipulation Robots' Trajectory Motion Adaptive Control // Procedia Computer Science. 2019. (150). C. 279-286.

144. Putov V. V. [h gp.]. Robust adaptive tricopter control under parametric uncertainty and external disturbances conditions // Mathematics in Science, Engineering, and Aerospace. 2023. № 4 (14). C. 1043-1064.

145. Putov V. V. [h gp.]. Adaptive robust tricopter control with pivot screws under conditions of parametric uncertainty and effects of external disturbances Prague, Czech Republic:, 2025.C. 020005.

146. Putov V. V., Polushin I. G. Majorizing functions approach in adaptive

control design of nonlinear systems // Automation of The Russian Academy of Sciences (SPIIRAS). 1997. C. 951.

147. Pyrkin A. A. [и др.]. Fradkov Theorem-Based Control of MIMO Nonlinear Lurie Systems // Automation and Remote Control. 2018. № 6 (79). C. 1074-1085.

148. Qiao Z. [и др.]. New Sliding-Mode Observer for Position Sensorless Control of Permanent-Magnet Synchronous Motor // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2013. № 2 (60). C. 710-719.

149. Ram G., R S. K. Review of Sliding Mode Observers for Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Drives // International Journal of Power Electronics and Drive Systems (IJPEDS). 2018. № 1 (9). C. 46-54.

150. Ramp M., Papadopoulos E. On Modeling and Control of a Holonomic Tricopter // Journal of Intelligent & Robotic Systems. 2022. № 3 (105). C. 51.

151. Rao M. P. R. V., Leckie T. J. Robust Adaptive Control: Improved e -Modification // IFAC Proceedings Volumes. 1998. № 22 (31). C. 127-132.

152. Servais E., Novel B. d'Andrea-, Mounier H. Ground control of a hybrid tricopter Denver, CO, USA: IEEE, 2015.C. 945-950.

153. Shiva B. S., Verma V. MRAS Based Speed Sensorless Vector Controlled PMSM Drive Advances in Intelligent Systems and Computing / под ред. A. P. Pandian, K. Ntalianis, R. Palanisamy, Cham: Springer International Publishing, 2020.C. 549-556.

154. Siswoyo Jo R. [и др.]. Design and Modeling of Actuation System of Unmanned Tricopter with Thrust-Vectoring Front Tilt Rotors for Sustainable Flying Lecture Notes in Mechanical Engineering / под ред. P. Rajendran [и др.]., Singapore: Springer Singapore, 2020.C. 45-55.

155. Slotine J., Li W. Adaptive robot control: A new perspective Los Angeles, California, USA: IEEE, 1987.C. 192-198.

156. Slotine J.-J. E., Li W. Composite adaptive control of robot manipulators // Automatica. 1989. № 4 (25). C. 509-519.

157. Slotine J.-J. E., Li W. Applied nonlinear control / J.-J. E. Slotine, W. Li, Internat. ed-e изд., Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1991. 459 c.

158. Slotine J.-J. E., Weiping Li On the Adaptive Control of Robot Manipulators // The International Journal of Robotics Research. 1987. № 3 (6). C. 49-59.

159. Soliman H. M. Improve the performance characteristics of the IPMSM under the effect of the varying loads // IET Electric Power Applications. 2019. № 12 (13). C. 1935-1945.

160. Song B., Hedrick J. K. Dynamic surface control of uncertain nonlinear systems: an LMI approach / B. Song, J. K. Hedrick, London New York: Springer, 2011. 254 c.

161. Stotsky A., Hedrick J. K., Yip P. P. The use of sliding modes to simplify the backstepping control method Albuquerque, NM, USA: IEEE, 1997.C. 1703-1708 т.3.

162. Sun H., Aschemann H. A Backstepping Sliding Mode Control for a Hydrostatic Transmission with Unknown Disturbances // IFAC-PapersOnLine. 2016. № 18 (49). C. 879-884.

163. Sun Q., Zhu X., Niu F. Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on New Sliding Mode Observer with Single Resistor Current Reconstruction // CES Transactions on Electrical Machines and Systems. 2022. № 4 (6). C. 378-383.

164. Swaroop D. [и др.]. Dynamic surface control of nonlinear systems Albuquerque, NM, USA: IEEE, 1997.C. 3028-3034 т.5.

165. Swaroop D. [и др.]. Dynamic surface control for a class of nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2000. № 10 (45). C. 1893-1899.

166. Talole S. E., Kolhe J. P., Phadke S. B. Extended-State-Observer-Based Control of Flexible-Joint System With Experimental Validation // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2010. № 4 (57). C. 1411-1419.

167. Tian L., Zhao J., Peng Z. Phase-Locked Loop (PLL) Type Sensorless Control of PMSM Using Neural Network Filter Communications in Computer and Information Science / под ред. L. Pan [и др.]., Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2014.C. 440-446.

168. Turner M. C. Positive ^ modification as an anti-windup mechanism // Systems & Control Letters. 2017. (102). C. 15-21.

169. Underwood S. J., Husain I. Online Parameter Estimation and Adaptive Control of Permanent-Magnet Synchronous Machines // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2010. № 7 (57). C. 2435-2443.

170. Utkin V., Guldner J., Shi J. Sliding Mode Control in Electro-Mechanical Systems / V. Utkin, J. Guldner, J. Shi, 2-е изд., CRC Press, 2017.

171. Utkin V. I. Sliding Modes in Control and Optimization / V. I. Utkin, Berlin Heidelberg: Springer, 1992. 286 c.

172. Utkin V. I., Poznyak A. S. Adaptive Sliding Mode Control Lecture Notes in Control and Information Sciences / под ред. B. Bandyopadhyay, S. Janardhanan, S. K. Spurgeon, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2013.C. 21-53.

173. Utkin V. I., Poznyak A. S. Adaptive sliding mode control with application to super-twist algorithm: Equivalent control method // Automatica. 2013. № 1 (49). C. 39-47.

174. Wang Y., Li J. Equivalent-Input-Disturbance-Based Speed Control of Two-Mass System Using Generalized Extended State Observer Nanjing, China: IEEE, 2023.C. 870-873.

175. Wilcox H. J., Myers D. L. An introduction to Lebesgue integration and Fourier series / H. J. Wilcox, D. L. Myers, Nachdr.-е изд., Mineola, NY: Dover Publ, 2009. 159 c.

176. Xiangbin Liu [и др.]. Immersion and Invariance Adaptive Control of

Nonlinearly Parameterized Nonlinear Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. № 9 (55). C. 2209-2214.

177. Xu L., Yao B. Adaptive robust control of mechanical systems with nonlinear dynamic friction compensation // International Journal of Control. 2008. № 2 (81). C. 167-176.

178. Xu W. [h gp.]. Improved Nonlinear Flux Observer-Based Second-Order SOIFO for PMSM Sensorless Control // IEEE Transactions on Power Electronics. 2019. № 1 (34). C. 565-579.

179. Xu Y. [h gp.]. Anti-disturbance Position Sensorless Control of PMSM Based on Improved Sliding Mode Observer with Suppressed Chattering and No Phase Delay // Journal of Electrical Engineering & Technology. 2023. № 4 (18). C. 2895-2907.

180. Yang H. [h gp.]. FPGA-Based Sensorless Speed Control of PMSM Using Enhanced Performance Controller Based on the Reduced-Order EKF // IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics. 2021. № 1 (9). C. 289-301.

181. Ye S., Yao X. A Modified Flux Sliding-Mode Observer for the Sensorless Control of PMSMs With Online Stator Resistance and Inductance Estimation // IEEE Transactions on Power Electronics. 2020. № 8 (35). C. 8652-8662.

182. Younesi A. [h gp.]. A Backstepping Control with Nonlinear Disturbance Observer for BDISO Converter Tehran, Iran, Islamic Republic of: IEEE, 2024.C. 1-6.

183. Zeinali M., Notash L. Adaptive sliding mode control with uncertainty estimator for robot manipulators // Mechanism and Machine Theory. 2010. № 1 (45). C. 80-90.

184. Zhang F., Deng X., Wei L. Adaptive Dynamic Surface Control of Strict-Feedback Fractional-Order Nonlinear Systems with Input Quantization and External Disturbances // Fractal and Fractional. 2022. № 12 (6). C. 698.

185. Zhang X. [h gp.]. Improved finite-time command filtered backstepping fault-tolerant control for flexible hypersonic vehicle // Journal of the Franklin Institute. 2020. № 13 (357). C. 8543-8565.

186. Zhou J., Wen C. Robust adaptive control of uncertain nonlinear systems in the presence of input saturation // IFAC Proceedings Volumes. 2006. № 1 (39). C. 149-154.

187. Zhou L. [h gp.]. Backstepping-sliding-mode-based prescribed-time control for a class of nonlinear systems with disturbances // AIMS Mathematics. 2025. № 10 (10). C. 22791-22816.

188. Zou X., Ding H., Li J. Sensorless Control Strategy of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Fuzzy Sliding Mode Controller and Fuzzy Sliding Mode Observer // Journal of Electrical Engineering & Technology. 2023. № 3 (18). C.2355-2369.

ПРИЛОЖЕНИЕ А Теоретические основы адаптивного метода обхода интегратора

Рассмотрим следующую нелинейную неопределенную систему, представленную в нижней треугольной (каскадной) форме [104-107]:

х = е7^ (х) + gl (х1

х2 = 9^2 (хЬх2 ) + <§2 (хЬх2 )x3,

хп = ^^ (x1,x2,•••,хп ) + §п (x1,x2,•••,хп )и

(А.1)

где е - вектор неизвестных параметров, 11,12,...,1п е^Ят - известные вектор- функции.

Целью управления является синтез закона управления, обеспечивающего отслеживание выходом системы у = х1 заданного сигнала

уг (). Процедура синтеза управления методом адаптивного обхода

интегратора состоит в выполнении следующих шагов: Шаг 1. Введем первую переменную ошибки

^ = х1 - уг. (А.2)

С учетом (А.1) и (А.2), преобразуем первое уравнение системы к виду

= х1 - уг = (х1) + <1 (х1)х2 - уг. (А.3)

На данном этапе производится расширение алгоритма обхода интегратора путем введения оценки 0 параметра е. Ошибку оценивания

обозначим как (0 = 0 - 0 (следовательно, (0 = -0).

Для анализа устойчивости первой подсистемы вводится функция Ляпунова следующего вида:

( 0 ) = 2 + 2 0 Т г-10, (А.4)

Учитывая (А.2) и (А.3), производная функции (А.4) по времени вычисляется следующим образом:

V = 2121 + ет г-1е = 21 (етГ1 + ^1^2 - л) - (е - е)т г-1е (а.5)

= 21 (2 - Л) + ет (^ - г-1е) + етг-1е.

Закон настройки параметров на этом шаге выбирается как

е = г^. (А.6)

С учетом (А.6), выражение (А.5) преобразуется к следующему виду:

V (21,е) = 21 (( + - Уг ).

Таким образом, исходя из этого уравнения, в качестве желаемого значения Х2 а можно выбрать следующее выражение:

х2,а =(( + Уг -)) (А.7)

где С1 > 0 - положительное число.

Шаг 2. Используя желаемое значение Х2 а, рассмотрим второе уравнение системы. Введем вторую переменную ошибки

22 = х2 - х2,а. (А.8)

С учетом (А.1) и (А.8), преобразуем второе уравнение системы к виду

22 = х2 - х2,а = е^2 (x1,х2) + ё2 (x1,х2)х3 - х2,а (А9)

Функция Ляпунова на втором шаге выбирается как

У2 (21,22, е) = 2 212+2 222 + 2 ет г-1е. (А.10)

Учитывая (А.8) и (А.9), производная функции (А.10) по времени вычисляется следующим образом:

¥2 = 2121 + 2222 + 9тг-10 = 21 [б^ + ё1 (22 + Х2, а ) - У

+

(А.11)

х2,

дх2, а дх2, а Ш дх2 а . дх2, а тт дх2 а д

Л =- =- х1 +-— уг +-— уг +-ТТ- 0

дг дх1 дуг дуг д0

дх2,Л (пТг \ дх2,Л . дх2, Л .. дх2, Л Т (0 11 + ^ ) + Уг + уг +-0.

(А.12)

дх1 V > дуг дуг

Подставляя (А.7) и (А.11) в (А.12), получаем

д0

¥2 = -С^2 +<12122 - ^1<ЭТ11 +0Т

+

дх2

дх2

21Ъ1 + 22 дм а

f2, Л л

2 -Ъ

V дх1 Л

-Г-10

+

дх2

Л

(А.13)

§ 2 х3

дх1

-<1х2

дуг

■у г

ду г

-уг

д0

0

+ 0Т Г-10.

В результате получено сложное уравнение, содержащее параметр 0. Компенсация его соответствующего члена требует модификации динамики

его оценки 0. Переопределим закон адаптации параметров на данном шаге следующим образом:

0 = Г

21Ъ1 + 22

12 -

дх2

дх1

1

(А.14)

4 Л

С учетом (А.14), выражение (А.13) преобразуется к следующему виду:

Л дх2 Л

¥2 = -с121 + 22

<1^1 +0

12 1

дх

+

дх2, Л дх2, Л .

+<2 х3 —;— <1х2 —;— уг

дх2

дх

1

дуг

дУг

■уг

1 Л дх2,

д0

0

Таким образом, исходя из этого уравнения, в качестве желаемого значения х3,Л можно выбрать следующее выражение:

Г ^ Л

х3, Л = ■

дх2

1

§ 2

-с222 - §121 - 0

дх2 12 —^ 1 V дх1 Л

+

дх2

дх2

дх2

■<1х2 +

■уг +

дуг

-уг +

д0

0

(А.15)

дх1 дуг

где > 0 - положительное число.

Шаг I Ц = 3.....п). Используя желаемое значение хг а, рассмотрим 1-е

уравнение системы. Введем 1-ю переменную ошибки

2 = X - X,а. (А16)

С учетом (А.1) и (А.16), преобразуем 1-е уравнение системы к виду

2 = хг -хг,а = ^^(хьx2,•••,хг) + ё\(X1,x2,•••,хг)хг+1- х/,а, (А.17) где при г = п : х,= хп= и.

Функция Ляпунова на г-м шаге выбирается как

V (21,22,..., 2г, е ) = 2 2\ + 2 222 + + ^ 2? + ^ е1 г^. (А.18)

Введем параметр щ, задав его как

г-1 дхг а

щ = Ъ -Х-^Ъ

к=1 дхк

(А.19)

дх2 а

где Щ = 0; Щ = ^ Ю 2 = --~ ^

дх1

Учитывая (А.19), рекуррентная процедура определения функции настройки т, принимает следующий вид

тг = тг_1 + 2гщг:

(А.20)

где т0 = 0; т = 21Ъ1; т 2 = 21Ъ1 + 22

f2, а л

2 I-*1

V дх1 )

е г = гт г.

Определим закон настройки параметров на г-м шаге следующим образом:

(А.21)

Определим желаемое значение хг+1 а на г-м шаге (или управление/ управляющее воздействие и = хп+1 а при г = п) следующим выражением:

1

хг+1, а ='

ёг г

-С2 - ёг-12г-1 - 9 щ + X

к=1

г-1( дхг

+ х

к=1

дх-

дУ

г, а к (к-1) Уг

дхг а л г-1

е+ X

де к=2

2к-

V

дх

хк, а

де

шёкхк+1

V 'к Г дхг

+

гюг

(А.22)

Отметим, что последнее слагаемое с членом 2к в (А.22), отсутствующее в выражениях для желаемого х^+1 ^ значения при / < 3, впервые формируется в выражении для х4 ^ (шаг / = 3).

В итоге, как упоминалось ранее, окончательный закон настройки параметров принимает вид

0 п = Гт п

а управляющее воздействие на объект определяется соотношением

"И'

(А.23)

u

1

=- cn

gn

f

n dx

+ X / /

k=1

Ч d yk ik-1) ^

dx,

+ ■

n, d

n-1

n-1

X

k=1

i

dx

n, d

V ~ "k

0 + X

dB k=2

dx

dxk, d d0

gkxk+1

Гш,

+

(А.24)

Тогда адаптивный закон управления (А.24) с адаптивным законом настройки параметров (А.23) гарантирует неположительную определенность производной функции Ляпунова (А.18)

Vn = -c1z12 - c2z2

cnzn