Система геометрических задач дивергентного типа как средство обучения учащихся основной школы анализу информации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат наук Калинова Юлия Александровна

• Калинова Юлия Александровна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Калинова Юлия Александровна

Введение

Глава 1. Теоретические основы активизации дивергентного мышления с целью

развития умения анализировать информацию

§ 1. Роль дивергентного мышления в анализе

информации

§ 2. Виды заданий дивергентного типа и их функции

§ 3. Виды дивергенции, возникающей в процессе анализа текста геометрической

задачи

§ 4. Принципы построения системы геометрических задач дивергентного типа,

направленных на обучение анализу информации

Выводы по первой главе

Глава 2. Методика работы с геометрическими задачами дивергентного типа

§ 1. Методика обучения анализу словесной формулировки

§ 2. Методика обучения анализу чертежа

§ 3. Методика обучения анализу информации на предмет ее достоверности

§ 4. Методика обучения анализу информации на предмет ее полноты

§ 5. Приемы обучения конструированию информации

§ 6. Организация и основные итоги экспериментальной работы

Выводы по второй главе

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Система геометрических задач дивергентного типа как средство обучения учащихся основной школы анализу информации»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. В результате ускорения темпов развития общества школа должна готовить своих учеников к будущей жизни при условии, что невозможно предсказать, какой будет эта жизнь. Для адаптации в современном мире человеку требуется способность порождать необычные идеи, отклоняться в мышлении от традиционных схем, быстро разрешать проблемные ситуации. Но порождение идей, разрешение проблемных ситуаций начинается с выяснения того, что имеем и к чему хотим прийти, т.е. с анализа имеющейся информации (под информацией будем понимать сведения о чем-либо, независимо от формы их представления). Чем разностороннее выполнен анализ информации, тем более эффективное решение проблемы, наиболее рациональное решение задачи можно найти. В ФГОС ОО в качестве одного из метапредметных результатов обучения выделено умение работать с информацией. Предмет «математика» вносит вклад в получение этих метапредметных результатов, поскольку при ее изучении учащиеся постоянно работают с информацией, заданной словесно, символьно и (или) образно-графически и преобразуют ее из одного способа представления в другой при решении задач.

Учащимся необходимо анализировать различные математические тексты, в частности, тексты задач, которые являются и инструментом усвоения теоретического материала, и имеют свою собственную цель - овладеть умением решать задачи. Поэтому умение выполнять разносторонний анализ текста математической задачи, включающий выявление различных свойств и качеств описанного в задаче объекта, «исчерпание» из объекта новых свойств и качеств имплицитно (неявно) заданных является необходимым умением для овладения математикой. Для целенаправленного обучения этому умению целесообразно использовать задачи, в процессе решения которых активизируется мышление в разных направлениях, при этом можно четко управлять изменением направления мыслительного процесса за счет конструирования определенного текста задачи и организации работы с ним. Такими возможностями обладают задачи

дивергентного типа, т.е. задачи в процессе решения которых происходит дивергенция (расхождение направлений мыслительного процесса).

В научный обиход задания дивергентного типа, как средство проверки развития дивергентного мышления, ввел Дж. Гилфорд. Дивергентное мышление позволяет менять направление поиска в процессе нахождения ответов на различные вопросы, что ведет к появлению целого веера разнообразных и неожиданных решений и результатов. В качестве заданий дивергентного типа Дж. Гилфорд использует, прежде всего, открытые задания - то есть задания, имеющие неограниченное количество решений. Выполняя такое задание, можно придумать новое оригинальное решение, которое до испытуемого не находил никто другой. Но Дж. Гилфорд приводит и примеры закрытых заданий, т.е. заданий, имеющих единственный, заранее известный ответ, в процессе решения которых также происходит дивергенция.

Однако, по мнению ряда ученых (Д.Б. Богоявленской, М.А. Холодной, А.Н. Поддьякова, В.В. Петухова, А.Г. Асмолова и др.), данные тесты недостаточно надежны для выявления с их помощью детей-креативов, но у них существует другое применение: они могут быть использованы в программах по обучению творчеству. В настоящее время такие программы разработаны следующими авторами: Э. Торренс, М. Карне, И.А. Майданник, К.В. Дрязгунов, А.Н. Иванов и др.

Анализ данных программ показал, что в них предлагается работать с различным материалом: с картинками, игрушками и т.д., но в большинстве программ не задействован материал школьной программы. Кроме того, в них используются в основном открытые задачи. В этих задачах можно придумать оригинальные варианты решения, но данные варианты нередко невозможно оценить с точки зрения их истинности. Поэтому такие задачи могут быть средством развития воображения, но при их решении недостаточно задействовано критическое мышление.

Есть исследования, в которых рассматриваются задачи дивергентного типа с математическим содержанием на материале начальной школы. Эти задачи могут

иметь несколько вариантов ответа, но каждый из этих ответов заранее определен и известен преподавателю. Поэтому такие задачи целесообразно причислить к закрытым задачам. Открытых задач, в которых можно придумать нечто оригинальное, разработанных на математическом материале основной школы, нам не встречалось.

Таким образом, был выявлен ряд противоречий:

- между необходимостью умения выполнять разносторонний анализ информации и неразработанностью средств обучения данному умению;

- между необходимостью создания условий для получения учащимися новых оригинальных результатов в области математики и неразработанностью соответствующей методики.

Эти противоречия обусловили проблему, решению которой посвящено данное исследование: поиск путей и методов обучения учащихся разностороннему анализу информации, включающему выделение в описанном объекте различных сторон, свойств, элементов, связей, отношений, а также конструированию новой информации при обучении математике.

Мы предполагаем, что закрытые математические задачи дивергентного типа могут быть средством обучения выполнять разносторонний анализ информации, содержащейся в задаче. Открытые математические задачи дивергентного типа могут быть средством обучения конструированию новой информации. Данное обучение будет способствовать и развитию креативности учащихся. Преимуществом математических задач дивергентного типа по сравнению с тестами Гилфорда является то, что их решения всегда можно оценить с точки зрения истинности. Поэтому они могут быть еще и средством развития критического мышления. Особыми возможностями для обучения анализу информации обладает геометрия, поскольку при работе с геометрическим материалом анализируется информация, представленная не только словесно и символьно, но и в образной форме (при работе с геометрическими чертежами или мысленно без опоры на чертеж). Геометрические задачи дивергентного типа могут быть средством обучения анализу не только словесной формулировки и чертежа,

но и информации, содержащейся в задаче, на предмет ее достоверности и полноты. Анализ литературы, выявляющей особенности мышления учащихся разных возрастов (Л.И. Божович, E.H. Кабанова-Меллер, Н.С. Лейтес, А.Н. Леонтьев, H.A. Менчинская, Н.И. Чуприкова), показал, что систематической работой с дивергентными задачами целесообразно начинать заниматься в подростковом возрасте. Поэтому мы решили разрабатывать задачи дивергентного типа на геометрическом материале, ограничившись при этом планиметрией, изучаемой в 7-9 классах.

Различные исследователи пытались разбить решение задачи на этапы, на которых преобладает дивергентное или конвергентное мышление. Так А.Н. Поддъяков выделяет два этапа в процессе экспериментирования ребенка с предметами с целью выявления свойств этих предметов - дивергенцию и конвергенцию. Дж. К. Джонс выделяет три этапа в процессе продуктивной конструкторско-проектировочной деятельности - дивергенцию, трансформацию и конвергенцию. Ученые сходятся на том, что дивергенция возникает, прежде всего, на начальных этапах решения задачи. При решении математической задачи это этапы анализа текста задачи и поиска решения задачи.

В зависимости от вида дивергенции, происходящей в процессе анализа текста геометрической задачи, целесообразно выделить несколько направлений, в которых может осуществляться данный анализ: 1) анализ словесной формулировки, 2) анализ чертежа, 3) анализ информации на предмет достоверности, 4) анализ информации на предмет полноты.

Для овладения дивергенцией каждого вида необходима работа не с отдельными задачами дивергентного типа, а с системой, включающей не только задачи, но и задания дивергентного типа - специальные задания, направленные не на решение задачи, а на анализ задачной ситуации, в процессе которого возникает дивергенция. Проанализировав исследования, связанные с системами задач, выполненные различными авторами (С.П. Поленковой, Г.В. Дорофеевым, Н.Г. Килиной, Г. И. Саранцевым, В.П. Радченко, Ф.М. Юнусовым, В.В. Гузеевым, И.В.

Кононенко, Л.Д. Беловой и др.), мы выделили принципы разработки системы геометрических задач дивергентного типа.

Проанализировав литературу по педагогике и методике обучения математике следующих авторов: Н.М. Бескина, Г.В. Бурменской, Я.И. Груденова, В.А. Гусева, О.Б. Епишевой, Ю.М. Колягина, О.А. Лисимовой, В.В. Орлова, Н.С. Подходовой, Д. Пойа, Г.И. Саранцева, Снегуровой В.И., Н.Л. Стефановой, А.А. Столяра, В.А. Тестова, Л.М. Фридмана, П.М. Эрдниева и др., мы разработали методику работы с системой геометрических задач дивергентного типа, отвечающую определенным требованиям. В ходе исследования мы пришли к выводу, что при работе с задачами дивергентного типа целесообразно не только обучение учащихся разностороннему анализу информации, но и систематическому перебору вариантов, возникающих в результате дивергенции.

Объект исследования: процесс обучения планиметрии учащихся 7-9 классов.

Предмет исследования: система геометрических задач дивергентного типа как средство обучения разностороннему анализу информации учащихся 7-9 классов, и приемы работы с такими задачами.

Цель исследования: разработать систему геометрических задач дивергентного типа как средства обучения разностороннему анализу информации учащихся 7-9 классов, разработать приемы работы с такими задачами.

В области методики обучения математике вопрос использования геометрических задач дивергентного типа для обучения анализу информации рассматривается впервые.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности и новизне темы исследования.

Нами была сформулирована следующая гипотеза исследования: если в процесс обучения геометрии учащихся 7-9 классов включить систему геометрических задач и заданий дивергентного типа, удовлетворяющую принципам полноты, иерархичности, связности, определенной последовательности задач в процессе обучения и организовать работу с ними на основе разработанных

требований: учет субъектного опыта учащихся, создание проблемных ситуаций разного типа, организация взаимодействия учащихся и т.д., то это будет способствовать:

1) овладению учащимися умением анализировать информацию, содержащуюся в задаче, по следующим направлениям: анализ словесной формулировки; анализ чертежа; анализ информации на предмет ее достоверности; анализ информации на предмет ее полноты.

2) овладению учащимися приемами организации систематического перебора вариантов, возникающих в результате дивергенции.

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования.

• Проанализировать литературу по теме исследования.

• Обосновать возможность использования геометрических задач дивергентного типа как средства обучения разностороннему анализу информации.

• Разработать приемы конструирования геометрических задач дивергентного типа.

• Разработать на материале планиметрии открытые и закрытые задачи дивергентного типа.

• Организовать разработанные задачи в систему, подчиняющуюся ряду требований.

• Разработать методику работы с полученной системой задач.

• Разработать приемы систематического перебора вариантов, возникающих в процессе дивергенции при решении данных задач.

• Осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.

При решении поставленных задач нами использовалась следующая методологическая основа исследования:

• Исследования по проблемам обучения информационным умениям (Гендина Н.И., Горелова Е.В., Доброва Л.В., Паршукова Г.Б., Тришина C.B., Урсул А.Д., Харчевникова Е.Л. и др.).

• Теоретические разработки в области функционирования и развития креативности (Алиева Е.Г., Бескова И.А., Выготский Л.С., Матюшкин A.M., Петровский В.А., Пономарев Я.А., Тихомиров O.K., Гилфорд Дж., Торренс Дж. Э., Дорфман Л.Я., Юдин Е.Г., Медник С., и др.).

• Исследования, выявляющие роль перецентрирования и сходных механизмов в творческом процессе (Дункер К., Секей Л., Вертгеймер М., Пиаже Ж., Брудный А.А. и др.).

• Методики диагностики и развития дивергентного мышления (Гилфорд Дж., Торренс Э., Медник С., Карне М., Майданник И.А., Дрязгунов К.В., Иванов А.Н. и др.).

• Исследования, выявляющие роль мыслительной операции анализа и этапа дивергенции при решении творческой задачи (Уоллес Г., Болес С., Макшанов С.И., Хрящева Н.Ю., Сапп Д., Поддъяков А.Н., Джонс Дж. К. и др.).

• Исследования, связанные с возрастной психологией (Божович Л.И., Кабанова-Меллер E.H., Лейтес Н.С., Леонтьев А.Н., Менчинская H.A., Чуприкова Н.И.).

• Исследования по проблеме организации задач в систему (Поленкова С.П., Дорофеев Г.В., Килина Н.Г., Саранцев Г. И., Радченко В.П., Юнусов Ф.М., Гузеев В.В., Кононенко И.В., Белова Л.Д. и др.).

• Логическая трактовка понятия и его основные характеристики (Фреге Г.).

• Исследования по проблеме восприятия зрительных объектов (Грановская Р.М., Рубинштейн С.Л. и др.)

• Исследование субъектного опыта учащихся в образовательном процессе (Якиманская И.С.).

• Исследования по педагогике и методике обучения математике (Бурменская Г.В., Груденов Я.И., Колягин Ю.М., Пойа Д., Саранцев Г.И., Сенькина Г.Е.,

Снегурова В.И., Стефанова Н.Л., Столяр А.А., Тестов В.А., Фридман Л.М., Эрдниев П.М. и др.).

• Исследования и разработки в области методики обучения геометрии (Александров А.Д., Атанасян Л.С., Бескин Н.М., Боженкова Л.И., Вернер А.Л., Гусев В.А., Епишева О.Б., Ермак Е.А., Колмогоров А.Н., Лисимова О.А., Орлов В.В., Погорелов А.В., Подходова Н.С., Рыжик В.И. и др.).

Также в ходе исследования учитывался собственный опыт работы учителем и педагогом дополнительного образования в школе.

В ходе исследования использовались следующие группы методов:

• теоретический анализ научной литературы по теме исследования;

• диагностические методы;

• констатирующий, поисковый и формирующий педагогические эксперименты;

• математические методы обработки результатов исследования.

Основные этапы и организация исследования.

Исследование проводилось на кафедре методики обучения математике в РГПУ им А.И. Герцена с 2008 по 2017 год и включало три этапа.

На первом этапе (2008-2010 гг.) формулировалась исследовательская проблема, изучалось ее состояние в теории и практике, проводился анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования. Была определена методология исследования: проблема, объект, предмет, цель исследования и соотнесенные с ней задачи, сформулирована гипотеза исследования. Также уточнялась терминология исследования и осуществлялся первичный сбор эмпирического материала.

На втором этапе (2011-2013 гг.) были разработаны геометрические задачи дивергентного типа, эти задачи были организованы в систему, была разработана методика работы с системой задач дивергентного типа, методика обучения приемам систематического перебора вариантов при решении этих задач. Была уточнена формулировка гипотезы, проведен поисковый эксперимент. Была определена общая процедура (схема) проведения формирующего эксперимента.

На третьем этапе (2014-2017 гг.) проведен формирующий эксперимент по разработанным методикам, осуществлена количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию.

На защиту выносятся следующие положения.

Первое положение. Средством обучения учащихся 7-9 классов анализировать информацию выступают открытые и закрытые геометрические задачи дивергентного типа. При решении геометрической задачи дивергенция происходит, прежде всего, на этапах анализа текста задачи и поиска решения задачи. В зависимости от вида дивергенции целесообразно выделить четыре направления, в которых может осуществляться анализ текста такой задачи: 1) анализ словесной формулировки, 2) анализ чертежа, 3) анализ информации, содержащейся в задаче, на предмет ее достоверности, 4) анализ информации, содержащейся в задаче, на предмет ее полноты. Для обучения учащихся разностороннему анализу информации требуются различные задачи и задания дивергентного типа, соответствующие каждому из выделенных направлений, которые целесообразно организовать в систему.

Второе положение. Система геометрических задач дивергентного типа, направленных на обучение разностороннему анализу информации, удовлетворяет следующим принципам: полнота, иерархичность, связность, определенная последовательность задач в процессе обучения.

В соответствии с принципом полноты данная система содержит задачи, соответствующие каждому из выделенных направлений, в которых может осуществляться анализ текста задачи: 1) задания на выявление различных характеристик понятий, включенных в текст задачи, 2) задания на выделение различных объектов из фона на геометрическом чертеже, 3) задачи, в которых описанный объект может не существовать, 4) задачи, в которых описанный объект может быть не единственным.

В соответствии с принципом иерархичности система геометрических задач дивергентного типа состоит из четырех подсистем, каждая из которых, в свою

очередь, является системой, обладающей свойством полноты. Каждая подсистема включает несколько видов задач, при составлении которых необходимо использовать разработанные нами приемы конструирования таких задач.

В соответствии с принципом связности система может быть представлена связным графом, в узлах которого - основные задачи, выше них подготовительные и вспомогательные, ниже - следствия, обобщения. При этом к основной задаче дивергентного типа прилагается набор сопутствующих задач, которые можно разделить на следующие типы: мотивационная задача, задача на актуализацию знаний, подготовительная задача, вспомогательная задача».

В соответствии с принципом определенной последовательности задач в процессе обучения при обучении геометрическим задачам дивергентного типа необходимо соблюдать определенную последовательность, а именно: «при работе с определенным понятием сначала изучаются задачи первого и второго типов, а только потом задачи третьего и четвертого типов.

Третье положение. Геометрические задачи дивергентного типа могут иметь конечное или бесконечное количество вариантов решения. Если вариантов конечное число, нужно найти их все. Для этого может потребоваться систематический перебор этих вариантов. При работе с такими задачами необходимо познакомить учащихся с различными приемами систематического перебора, включающими разделение всех вариантов на группы по выбранному основанию, упорядочивание выделенных групп и т.д.

Четвертое положение. Организация работы с геометрическими задачами дивергентного типа подчиняется ряду требований.

1) Для получения личностно значимых знаний при обучении данным задачам должно происходить выявление субъектного опыта учащихся и дальнейшее обогащение этого опыта за счет включения в него научного содержания. Для этого учащимся предлагаются задачи, которые они решают на основании своего жизненного опыта, а потом аналогичные геометрические задачи.

2) Необходимо применять формы работы, позволяющие создать благоприятные условия для разностороннего анализа информации, а именно:

• обсуждение, дискуссия, пусковым механизмом которой является проблемная ситуация, доступная для разрешения учащимся;

• создание учащимися общего продукта совместной деятельности;

• взаимопроверка учащимися выполненной ими работы;

• выполнение учащимися практических работ.

3) С целью преодоления психологического барьера работа открытыми с геометрическими задачами начинается с подготовки учащихся к решению таких задач (применение открытых тестов Гилфорда в качестве средства привлечения субъектного опыта учащихся, выполнение учащимися открытых заданий по аналогии с образцом).

4) Поскольку решение открытых геометрических задач требует повышенной мотивации, при работе с такими задачами используются приемы активизации деятельности учащихся (постановка перед учащимися развивающей цели занятия, трансформация открытой геометрической задачи в проблему, которую учащийся может поставить перед другими людьми, применение игровой деятельности).

Научная новизна исследования заключается в:

• использовании геометрических задач дивергентного типа в качестве средства обучения учащихся разностороннему анализу информации;

• выделении этапов решения задачи, на которых наиболее целесообразно использовать задачи и задания дивергентного типа, и направлений, в которых может осуществляться анализ текста задачи;

• определении оснований типологии задач дивергентного типа;

• конструировании системы геометрических задач дивергентного типа, включающей различные виды и подвиды;

• разработке требований к организации работы с геометрическими задачами дивергентного типа;

• разработке приемов обучения систематическому перебору вариантов, возникающих в процессе дивергенции при решении данных задач.

Теоретическая значимость исследования заключается в:

• обосновании целесообразности использования задач дивергентного типа для обучения учащихся умению анализировать информацию;

• разработке приемов конструирования геометрических задач дивергентного типа, направленных на обучение разностороннему анализу информации;

• выделении принципов построения системы геометрических задач дивергентного типа;

• выделении оснований деления системы геометрических задач дивергентного типа на виды и подвиды;

• разработке приемов работы с геометрическими задачами дивергентного типа.

Практическая значимость исследования заключается в:

• разработке учебных материалов по обучению учащихся разностороннему анализу информации при работе с геометрической задачей;

• создании учебных материалов по обучению учащихся систематическому перебору вариантов при решении геометрических задач;

• определении приемов работы с геометрическими задачами дивергентного типа;

• разработке методических рекомендаций для учителей;

• возможности применения результатов, полученных в данной работе, при работе с другими разделами математики, а также другими школьными предметами.

Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования: разработанная методика и учебный материал могут быть использованы учителями математики общеобразовательных школ в процессе работы, кафедрами методики обучения математике при подготовке учителей математики, структурами системы повышения квалификации учителей математики.

Обоснованность и достоверность полученных выводов основывается на анализе научной литературы по проблеме исследования, проведении констатирующего и формирующего экспериментов, в которых участвовало 283 учащихся, применении методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования, апробацией результатов опытной работы в школах.

Апробация и внедрение результатов исследования:

- экспериментальная проверка разработанной методики обучения задачам «на перецентрирование» осуществлялась автором и учителями следующих образовательные учреждений: МБОУ «СОШ № 390» (С-Петербург), МБОУ «Лицей №№ 393» (С-Петербург), МБОУ «СОШ №№ 530» (С-Петербург), МБОУ «СОШ № 55 имени А.И. Анощенкова» (Архангельск), МБОУ «СОШ №2 22» (Архангельск), МБОУ «СОШ № 9» (Архангельск), МБОУ «СОШ № 45» (Архангельск), МБОУ «СОШ № 54» (Архангельск);

- основные результаты исследования докладывались автором на методических семинарах кафедры методики обучения математике и информатике РГПУ им. А. И. Герцена (2006-2010 г.г.);

- основные положения и результаты диссертационного исследования обсуждались на межвузовских научных и научно-практических конференциях: Международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2009-2013, 2016 гг.); Научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик обучения» (Санкт-Петербург, 2010-2013 г.г.);Международной научно-методической конференции «Совершенствование математического образования: состояние и перспективы развития» (Тирасполь, 2016 г.), научно-методических семинарах (Архангельск, Бокситогорск, 2009-2010 г.г.);

- основные положения исследования - в статьях, опубликованных в четырех журналах, включенных в перечень рецензируемых изданий ВАК Министерства образования и науки РФ, сборниках научных трудов и научных журналах России.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 4 в журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (10 параграфов), заключения, списка литературы и семи приложений. Работа изложена на 149 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 148 источников.

Глава 1. Теоретические основы активизации дивергентного мышления с целью развития умения анализировать информацию

§ 1. Роль дивергентного мышления в анализе информации

В современном информационном обществе человеку приходится постоянно искать и использовать полученную извне информацию (информацией можно назвать любые сведения). Адаптация человека в жизни во многом зависит от умения работать с информацией. Поэтому школа должна развивать в учащихся данное умение.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калинова Юлия Александровна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. - М.: Изд-во «Советское радио», 1970. -152 с.

2. Александров, А.Д. Геометрия: учебник для 7-9 классов / А.Д. Александров [и др.] - М.: Просвещение, 2009. - 292 с.

3. Алиева, Е.Г. Творческая одаренность и условия ее развития / Е.Г. Алиева. - М.: Изд-во ИП РАН, 1991. - 183 с.

4. Ананьев, Б.Г. О проблемах современного человекознания / Б.Г. Ананьев. - М.: Наука, 1977. - 380 с.

5. Анастази, А. Психологическое тестирование / А. Анастази, С. Урбина. - СПб.: Питер, 2001. - 688 с.

6. Артемов, А.К. Формирование эвристических приемов в процессе обучения геометрии / А.К. Артемов // Математика в школе. - 1973. № 6. - С. 25-28.

7. Асмолов, А.Г. Психология личности / А.Г. Асмолов. - М.: Академия, 1990. - 213 с.

8. Атанасян, Л.С. Геометрия: учебник для 7-9 классов / Л.С. Атанасян [и др.] - М.: Просвещение, 2014. - 384 с.

9. Атаханов, Р.А. К диагностике развития математического мышления / Р.А. Атаханов // Вопросы психологии. -1992. № 9. - С. 61-68.

10.Байков, Ф.Я. Ученье и творчество / Ф.Я. Байков. - Л: Лениздат, 1979. - 149 с.

11.Балл, Г.А. Теория учебных задач: психолого-педагогический аспект / Г.А. Балл. -М.: Педагогика, 1990. - 183 с.

12. Бершадский, М.Е. Дидактические и психологические основания образовательной технологии / М.Е. Бершадский, В.В. Гузеев. - М.: Центр «Педагогический поиск», 2003. - 256 с.

13.Бескова, И.А. Как возможно творческое мышление? / И.А. Бескова. - М.: Институт философии РАН, 1993. - 198 с.

14.Беспалько, В.П. Слагаемые педагогической технологии / В.П. Беспалько. - М.: Педагогика, 1989. - 192 с.

15. Богоявленская, Д.Б. Интеллектуальная активность как проблема творчества / Д.Б. Богоявленская. - Ростов: Изд. Рост. ун-та, 1983. - 173 с.

16. Богоявленская, Д.Б. Психология творческих способностей / Д.Б. Богоявленская. -М.: Академия, 2002. - 320 с.

17.Боженкова, Л.И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии / Л.И. Боженкова. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. -205 с.

18.Божович, Л.И. Личность и ее формирование в детском возрасте: Психологическое исследование / Л.И. Божович. - М.: Просвещение, 1968. - 464 с.

19. Болтянский, В.Г. Как учить поиску решения задач / В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов // Математика в школе. - 1988. №1. - С. 8-14.

20.Брудный, А.А. Психологическая герменевтика / А.А. Брудный. - М.: Лабиринт, 1998. - 201с.

21.Брушлинский, A.B. Психология мышления и проблемное обучение / A.B. Брушлинский. - М.: Знание, 1983. - 96 с.

22.Бурменская, Г.В. Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков. / Г.В. Бурменская, Л.В. Евдокимова // Вопросы психологии. - 2007. № 2. - С. 31- 43.

23.Веккер, Л.М. Психические процессы: мышление и интеллект / Л.М. Веккер. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. - 342 с.

24.Величковский, Б.М. Современная когнитивная психология / Б.М. Величковский. -М.: Изд-во МГУ, 1982. - 336 с.

25.Вертгеймер, М. Продуктивное мышление / М. Вертгеймер. - М.: Прогресс, 1987. -355 с.

26.Волович, М.Б. Наука обучать: технология преподавания математики / М.Б. Волович. - М.: linka-press, 1995. - 280 с.

27.Выготский, Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте / Л.С. Выготский -М.: Педагогика, 1967. - 230 с.

28.Гальперин, П.Я. К исследованию интеллектуального развития ребенка / П.Я. Гальперин // Вопросы психологии. - 1969. №1. - С. 15-25.

29.Гендина, Н.И. Информационная культура личности: диагностика, технология формирования: учебно-методическое пособие / Н.И. Гендина. - Кемерово: Кемеровская гос. академия культуры и искусств, 1999. - 143 с.

30.Гетманова, А.Д. Логика: Учебник для педагогических учебных заведений. 6-еизд. / А.Д. Гетманова. - М.: ИКФ Омега-Л; Высшая школа, 2002. - 416 с.

31.Гилфорд, Дж. Три стороны интеллекта // Психология мышления / Под ред. A.M. Матюшкина. - M.: 1965. - 210 с.

32.Гласс, Дж. Статистические методы в педагогике и психологии / Дж. Гласс, Дж. Стэнли. - М.: Прогресс, 1976. - 494 с.

33.Голуб, И.Б. Стилистика русского языка / И.Б. Голуб. - М.: Айрис-Пресс, 1997. -448 с.

34. Горелова, Е.В. Информационная культура и ее роль в формировании личности: дисс. ... канд. пед. наук: 24.00.01 / Горелова Елена Витальевна. - Нижневартовск, 2008. - 135 с.

35.Грабарь, М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. -М., Педагогика, 1977. - 136 с.

36. Грановская, P.M. Творчество и преодоление стереотипов / P.M. Грановская, Ю.С. Крижанская. - СПб.: Иматон, 1994. - 239 с.

37. Грановская, Р.М. Элементы практической психологии / Р.М. Грановская. - Л.: Ленингр. ун-т, 1988. - 560 с.

38.Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике / Я.И. Груденов. - М.: Педагогика, 1987. -158 с.

39.Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя / Я.И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

40.Гурова, Л.Л. Психологический анализ решения задач / Л.Л. Гурова. - Воронеж: Изд-во Воронеж, 1976. - 327 с.

41.Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. - М.: Вербум-М, 2003. - 430 с.

42.Гусев, В.А. Как помочь ученику полюбить математику? / В.А. Гусев. - М.: Авангард, 1994. - 168 с.

43. Джонс, Дж. К. Методы проектирования / Дж. К. Джонс. - М.: Мир, 1986. - 326 с.

44.Доброва, Л.В. Формирование информационной компетентности студентов в процессе активного обучения в техническом университете / Л.В. Доброва // Гуманизация образования. - 2009. № 2. - С. 58-64.

45. Дорофеев, Г.В. Дифференциация в обучении математике / Г.В. Дорофеев [и др.] // Математика в школе. -1990. № 4. - С. 15-21.

46.Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования / Г.В. Дорофеев // Математика в школе. - 1990. № 6. - С. 2-5.

47.Дорфман, Л.Я. Дивергентное мышление и дивергентная индивидуальность: Ресурсы креативности // Ежегодник РПО. - М, 2002. - Т. 8. Вып. 1.

48.Дружинин, В.Н. Психология общих способностей. 2-е изд. Серия "Мастера психологии". / В.Н. Дружинин. - СПб.: Изд-во "Питер", 1999. - 368 с.

49.Дрязгунов, К.В. Формирование дивергентного мышления учителей в системе повышения квалификации: дисс. ... канд. педаг. наук: 13.00.08 / Дрязгунов Константин Викторович. - Калуга, 2002. -142 с.

50.Дункер, К. Психология продуктивного мышления // Психология мышления / Под ред. A.M. Матюшкина. - M.: 1965. - 210 с.

51.Епишева, О.Б. Методическая система обучения математике на основе формирования приёмов, учебной деятельности / О.Б. Епишева. - Тобольск, 1999. -176 с.

52.Епишева, О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода / О.Б. Епишева. - М.: Просвещение, 2003. - 224 с.

53.Ермак Е.А. Средства повышения уровня геометрической компетентности будущих учителей математики//Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «69 Герценовские чтения» /Под ред. В.В. Орлова. - Санкт-Петербург: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. - С.107-110.

54.Ермакова, Е.С. Гибкость как свойство продуктивного мышления и её развитие в детском возрасте. / Е.С. Ермакова. - Шуя: Изд-во Шуйского гос. пед. ун-та, 1999. -149 с.

55.Ермакова, Е.С. Изучение гибкости мышления дошкольников / Е.С. Ермакова // Вопр. психологии. - 1987. № 2. - С.118-122.

56.Зильберг, Н.И. Урок математики: подготовка и проведение / Н.И. Зильберг. - М.: Просвещение, 1996. - 176 с.

57.Зимняя, И.А. Педагогическая психология / И.А. Зимняя. - М.: Логос, 1999. - 384 с.

58.Иванов, А.Н. Задачи конвергентные и дивергентные / А.Н. Иванов // Начальная школа: до и после. - 2007. № 7. - С. 68-73.

59.Иванов, А.Н. Система специальных заданий как дидактическое средство развития дивергентного мышления младших школьников: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.01 / Иванов Андрей Николаевич. - Мурманск, 2007. - 160 с.

60.Ильин, Е.П. Психология творчества, креативности, одаренности. Мастера психологии / Е.П. Ильин. - СПб: Питер, 2009. - 434 с.

61.Ильницкая, И.А. Проблемные ситуации и пути их создания на уроке / И.А. Ильницкая. - М.: Просвещение, 1985. - 80 с.

62.Ильясов, И.И. Система эвристических приемов решения задач / И.И. Ильясов. - М.: РОУ, 1992. - 127 с.

63.Кабанова-Меллер, E.H. Учебная деятельность и развивающее обучение / E.H. Кабанова-Меллер. - М.: Знание, 1981. - 96 с.

64.Калинова Ю.А. Приемы мотивации проверки учащимися описанной в геометрической задаче фигуры на предмет ее существования / Ю.А. Калинова // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «69 Герценовские чтения» - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2016. - с. 56-61. (0,3 п.л.)

65.Калинова Ю.А. Работа с характеристиками понятий при изучении геометрии как средство развития научного стиля речи учащихся / Ю.А. Калинова, Н.С. Подходова // Стандартизация математического образования: проблемы внедрения и оценка эффективности: материалы XXXV международного научного семинара

преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. - Ульяновск: Изд-во Ульяновского ун-та, 2016. - с. 210- 218. (0,4/0,2 п.л.)

66.Калинова, Ю.А. Геометрические задачи на выделение объектов из фона как средство обучения систематическому перебору / Ю.А. Калинова, Н.С. Подходова // Совершенствование математического образования - 2016: состояние и перспективы развития: Материалы 9 Международной научно-методической конференции - Тирасполь: Изд-во Приднестр. ун-та, 2016. - с. 107-112. (0,4/0,2 п.л.)

67.Калинова, Ю.А. Классификация геометрических задач, связанная с вопросом существования геометрических фигур / Ю.А. Калинова // Вестник Московского Государственного областного университета: Педагогика - 2016, № 2. - C. 32 - 43 (0,8 п.л.)

68.Калинова, Ю.А. Методика работы с геометрическими задачами с открытым концом / Ю.А. Калинова // Современные проблемы социально-гуманитарных наук: Научно-теоретический журнал - Казань: Знание, 2016, № 4 (6) - с. 5-10. (0,6 п.л.)

69.Калинова, Ю.А. Применение механизма перецентрирования для развития дивергентного мышления на уроках геометрии в 7-9 классах/ Ю.А. Калинова // Научное мнение: Научный журнал. Педагогические, психологические и философские науки - 2016, № 3. - с. 120-126 (0,7 п.л.)

70. Калинова, Ю.А. Развитие дивергентного мышления при изучении геометрии в 7-9 классах / Ю.А. Калинова // Письма в Эмиссия. Оффлайн. (The Emissia Offline Letters) (электронный журнал) - 2015 (июль); URL: http://www.emissia.org/offline/2015/2387.htm . - (0,2 п.л.)

71.Калинова, Ю.А. Развитие поленезависимости учащихся при изучении геометрии / Ю.А. Калинова // Вопросы педагогики: журнал научных публикаций - М.: Литера, 2017, № 7 - с. 35-38. (0,3 п.л.)

72.Калинова, Ю.А. Система задач на «перецентрирование» как средство развития дивергентного мышления/ Ю.А. Калинова, Н.С. Подходова // Современные проблемы науки и образования (электронный журнал) - 2015. - № 6; URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=23362.- (0,2/0,1 п.л.)

73.Калмыкова, З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З.И. Калмыкова. - М.: Педагогика, 1981. - 200 с.

74.Калошина, И.П. Структура и механизмы творческой деятельности / И.П. Калошина. - М: Изд-во МГУ, 1983. - 168 с.

75.Канин, Е.С. Учебные математические задачи / Е.С. Канин. - Киров, 2003. - 191 с.

76.Карне, М. Одаренные дети / М. Карне. - М.: Прогресс, 1991. - 246 с.

77.Касумова, Б.С.-А. Дивергентные математические задачи как средство развития креативности мышления у младших школьников: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Касумова Банати Солт-Ахмедовна. - Махачкала, 2010. - 147 с.

78.Кирсанов, А.А. Индивидуализация учебной деятельности как педагогическая проблема / А.А. Кирсанов. - Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1982. - 224 с.

79. Колмогоров, А.Н. Геометрия. Учебн. пос. для 6 - 8 классов средней школы / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. - М.: Просвещение, 1982. - 383 с.

80.Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике / Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1977. - 184 с.

81.Крупич, В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Методические разработки по спецкурсу для слушателей ФПК / В.И. Крупич. - М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1985. - 118 с.

82.Крутецкий, В.А. Психология математических способностей / В.А. Крутецкий. - М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

83.Крылов, В.В. Установление содержательных взаимосвязей учебного материала на практикуме по решению математических задач посредством качественных заданий: дисс. ... канд. пед. наук : 13.00.02 / Крылов Валерий Валентинович. -Санкт-Петербург, 2000. - 128 с.

84.Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание / Л.Д. Кудрявцев. -М.: Наука, 1980. -144 с.

85.Кулюткин, Ю.Н. Эвристические методы в системе решений / Ю.Н. Кулюткин. - М.: Педагогика, 1970. - 232 с.

86. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. / Под ред. Е.И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

87.Лейтес, Н.С. Умственные способности и возраст / Н.С. Лейтес. - М.: Педагогика, 1971. - 280 с.

88. Леонтьев, А.Н. Проблемы развития психики / А.Н. Леонтьев. - М.: МГУ, 1979. -575 с.

89.Лернер, И.Я. Дидактические основы методов обучения / И.Я. Лернер. - М.: Педагогика, 1981. - 183 с.

90.Лернер, И.Я. Процесс обучения и его закономерности / И.Я. Лернер. - М.: Просвещение, 1980. - 96 с.

91. Лернер, И.Я. Развитие мышления в процессе обучения / И.Я. Лернер. - М., 1982. -204 с.

92. Лисимова, О.А. Система конструктивных задач как метод изучения планиметрии в 7 классе: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Лисимова Ольга Анатольевна. - С-Петербург, 1997. - 149 с.

93.Майданник, И.А. Развитие дивергентного мышления у старших дошкольников в процессе креативных игр: дис. канд. психол. наук. - Ставрополь, 1997. - 165 с.

94.Майданник, И.А. Развитие дивергентного мышления у старших дошкольников в процессе креативных игр: дисс. ... канд. психол. наук: 19.00.07 / Майданник Ирина Александровна. - Ставрополь, 1997. - 165 с.

95.Майданник, И.А. Развитие дивергентной исследовательской активности у учащихся младших классов // Соврем, проблемы истории, экономики и техники. -М., 2000. - Т. 4. - С. 57-59.

96.Манвелов, С.Г. Конструирование современного урока математики / С.Г. Манвелов. - М.: Просвещение, 2002. - 175 с.

97.Матюшкин, A.M. Мышление, обучение, творчество / A.M. Матюшкин. - М.: Изд-во МПСИ, 2003. - 720 с.

98.Матюшкин, A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении / A.M. Матюшкин. - М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

99.Менчинская, H.A. Проблемы учения и умственного развития школьника / H.A. Менчинская. - М.: Педагогика, 1989. - 218 с.

100. Метельский, Н.В. Дидактика математики. 2-е изд., перераб. / Н.В. Метельский. - Минск: Изд-во БГУ, 1982. - 255 с.

101. Методика и технология обучения математике. Курс лекций / под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 418 с.

102. Методика преподавания математики: Общая методика Текст. / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

103. Наследов, А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. Учебное пособие / А.Д. Наследов. - СПб.: Речь, 2004. - 392 с.

104. Обухова, Л.Ф., Чурбанова, С.М. Развитие дивергентного мышления в детском возрасте / Л.Ф. Обухова, С.М. Чурбанова. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 79 с.

105. Орлов, В.В. Построение основного курса геометрии общеобразовательной школы в концепции личностно-ориентированного обучения: дисс. ... докт. пед. наук: 13.00.02 / Орлов Владимир Викторович. - С-Петербург, 2000. - 384 с.

106. Орлянская, О.Н. Методика формирования у будущих учителей математики умения конструировать системы задач: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Орлянская Ольга Николаевна. - Волгоград, 2004. - 165 с.

107. Паршукова, Г.Б. Информационная компетентность личности. Диагностика и формирование: монография / Г.Б. Паршукова. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. - 253 с.

108. Педагогика Текст. / Под ред. П.И. Пидкасистого. - М.: Педагогическое общество России, 1998. - 640 с.

109. Петровский, В.А. Психология неадаптивной активности / В.А. Петровский. -М.: ТОО Горбунок, 1992. - 152 с.

110. Петухов, В.В. Психология мышления: Учебно-методическое пособие / В.В. Петухов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 89 с.

111. Пиаже, Ж. Психология интеллекта. / Ж. Пиаже. - СПб.: Питер, 2003. - 192 с.

112. Погорелов, А.В. Геометрия: учебник для 7-9 классов / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2003. - 240 с.

113. Поддьяков, А.Н. Развитие исследовательской инициативности в детском возрасте: дисс. ... докт. психол. наук: 19.00.07 / Поддьяков Александр Николаевич.

- М. 2001. - 350 с.

114. Подходова, Н.С. Реализация ФГОС ОО: новые решения в обучении математике / Н.С. Подходова, О.А. Кожокарь, Е.Ф. Фефилова. - Архангельск: Изд-во «Кира», 2014. - 255 с.

115. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. - М.: Учпедгиз, 1961. - 208 с.

116. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа. - М.: Наука, 1970. - 456 с.

117. Пономарев, Я.А. Психология творчества / Я.А. Пономарев. - М.: Наука, 1976.

- 303 с.

118. Развитие и диагностика способностей / Под ред. В. Н. Дружинина, В.Д. Шадрикова. - М., 1991. - 177 с.

119. Рубинштейн, СЛ. О мышлении и путях его исследования / С.Л. Рубинштейн.

- М.: Изд-во АН СССР, 1958. -147 с.

120. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. - М.: Учпедгиз, 1946. - 704 с.

121. Рыжик, В.И. 25000 уроков математики: Кн. для учителя / В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1993. - 239 с.

122. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе / Г.И. Саранцев. - Саранск: Красный Октябрь, 2001. - 144 с.

123. Сенькина Г.Е. Единый государственный экзамен: проблемы и тенденции математической подготовки обучающихся / Г.Е. Сенькина // Современные проблемы науки и образования. 2018. № 6. С. 256.

124. Скаткин, М.Н. Проблемы современной дидактики / М.Н. Скаткин. - М.: Педагогика, 1980. - 96 с.

125. Слепкань, 3.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Методическое пособие / 3.И. Слепкань. - Киев: Рад. шк., 1983. - 190 с.

126. Столяр, А.А. Педагогика математики. Курс лекций / А.А. Столяр. - Минск: «Вышэйшая школа», 1969. - 368 с.

127. Тестов, В.А. Стратегия обучения математике / В.А. Тестов. - М.:ТШБ, 1999.

- 304 с.

128. Тихомиров, O.K. Психологические исследования творческой деятельности / O.K. Тихомиров. - М.: Наука, 1975. - 344 с.

129. Туник, Е.Е. Психодиагностика творческого мышления. Креативные тесты / Е.Е. Туник. - СПб.: Изд-во «Дидактика Плюс», 2002. - 48 с.

130. Унт, И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения / Унт И.Э. - М.: Педагогика, 1990. - 192 с.

131. Урсул, А.Д. Информация и мышление / А.Д. Урсул. - М: Знание, 1970. - 50 с.

132. Флейвелл, Дж. Генетическая психология Жана Пиаже / Дж. Флейвелл. - М.: Просвещение, 1967. - 623 с.

133. Фреге, Г. Логика и логическая семантика: Сборник трудов / Г. Фреге. - М.: Аспект Пресс, 2000. - 512 с.

134. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий.

- М.: Просвещение, 1989. - 175 с.

135. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ учебных задач / Л.М. Фридман. - М.: Педагогика, 1977. - 208 с.

136. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике / Л.М. Фридман. - М.: МПСИ: Флинта, 1998. - 216 с.

137. Халперн, Д. Психология критического мышления / Д. Халперн. - СПб.: Питер, 2000. - 506 с.

138. Харчевникова, Е.Л. Педагогические условия использования книги как средства формирования информационной культуры ребенка: дисс. ... канд. пед. наук: 13.00.01 / Харчевникова Елена Львовна. - Владимир, 1999. - 265 с.

139. Холодная, М.А. Когнитивные стили. О природе индивидуального ума / М.А. Холодная. - СПб.: Питер, 2004. - 367 с.

140. Холодная, М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования. 2-е изд., перераб. и доп. / М.А. Холодная. - СПб.: Питер, 2002. - 272 с.

141. Хрящева, Н.Ю., Макшанов, С.И. Тренинг креативности / Н.Ю. Хрящева, С.И. Макшанов. - СПб.: Ювента, Институт тренинга, 1999. - 256 с.

142. Хуторской, А.В. Компетентностный подход в обучении. Научно -методическое пособие / А.В. Хуторской. - М.: Эйдос, 2013. - 73 с.

143. Черкасов, В.А. Дидактические основы построения системы упражнений: Учеб. пособие / В.А. Черкасов. - Челябинск: Челяб. ГПИ, 1978. - 91 с.

144. Чернов, А.А. Становление глобального информационного общества: проблемы и перспективы / А.А. Чернов. - М.: «Дашков и К°», 2003. - 232 с.

145. Чуприкова, Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения / Н.И. Чуприкова. - М.: Столетие, 1995. - 56 с.

146. Юдин, Э.Г. Исследование творчества в науке и обучение творчеству в школе // Научное творчество (сб.). - М.: Наука, 1969. - 165 с.

147. Якиманская, И.С. Знания и мышление школьника / И.С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1985. - 78 с.

148. Якиманская, И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе / И.С. Якиманская. - М.: Педагогика, 1996. - 95 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А.

Результаты констатирующего эксперимента -первая контрольная работа.

Первая контрольная работа была составлена из закрытых задач и состояла из двух частей. Первая часть (задачи № 1-3) была составлена из задач, в которых дивергенция происходит при анализе словесной формулировки. Вторая часть (задачи №2 4-6) - из задач, в которых дивергенция происходит при анализе чертежа. Рассмотрим вариант первой контрольной работы, который предлагался учащимся 9 класса экспериментальной группы в рамках констатирующего эксперимента.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1.

Первая часть.

Общей целью задач первой части является проверка способности учащихся мыслить в разных направлениях при анализе словесной формулировки задачи.

т

Задание № 1. Предположим, что учитель задал классу задачу: «Определите пересечение треугольника MNP и четырехугольника RTGF» (рис. 117). Школьники дали разные ответы. Одни считали, что это точки L и K, другие - Рис. 117

что это четырехугольник LKFR. Решите, кто из них прав.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одного значения понятия к другому.

Правильный ответ: правы по-своему и те и другие, поскольку они имеют в виду разные верные значения понятия «многоугольник».

Задание № 2. Учитель попросил двоих учеников назвать стороны угла АВС. Витя сказал: «Стороны угла АВС - это полупрямые ВА и ВС». Аня сказала: «Стороны угла АВС - это лучи ВА и ВС». Кто из ребят прав?

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одного термина понятия к другому.

Правильный ответ: правы и Витя и Аня, поскольку они используют разные верные термины (луч и полупрямая) одного понятия.

Задание № 3. Предположим, что учитель задал двум ученикам вопрос: «Что такое квадрат?».

Витя сказал, что квадрат - это ромб с равными углами.

Саша сказал, что квадрат - это прямоугольник со взаимно перпендикулярными

диагоналями.

Решите, кто из них прав.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одного смысла понятия к другому.

Правильный ответ: оба ученика правы, поскольку они предлагают различные верные определения квадрата.

Вторая часть.

Общей целью задач второй части является проверка способности учащихся мыслить в разных направлениях при анализе чертежа, а также способности организовывать систематический перебор вариантов.

DE F х

Задание № 4. ADTN - параллелограмм. Определите количество трапе ifuü на чертеже

r м n

(рис. 118).

Рис. 118

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одной фигуры, выделяемой из фона, к другой. Правильный ответ: чертеж содержит 8 трапеций.

Данное задание проверяет также способность учащихся организовывать систематический перебор вариантов. При этом рассуждение может быть

следующим: все трапеции можно разделить на четыре группы. Со стороной ЕМ существуют 2 трапеции (ADEM, TNME), со стороной ЯЕ - 2 трапеции (ADFR, КЕТК), со стороной ВК - 2 трапеции (АВККК ВБТК), со стороной СУ - 2 трапеции (СБТУ, АСУЫ). Всего 8 трапеций.

в

Задание № 5. Определите количество пар смежных углов на чертеже (рис. 119).

Рис. 119

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одной пары фигур, находящихся в некотором отношении, к другой.

Правильный ответ: чертеж содержит 6 пар смежных углов.

Данное задание проверяет также способность учащихся организовывать систематический перебор вариантов. При этом рассуждение может быть следующим: на чертеже есть две пары дополняющих друг друга лучей. Одна пара - это лучи, принадлежащие прямой AD, другая пара - это лучи, принадлежащие прямой СО. Поэтому все объекты можно разделить на две группы.

Первая группа: смежные углы, у которых дополняющие друг друга лучи принадлежат прямой AD. В эту группу входят три пары смежных углов: углы, у которых общая сторона ОВ, ОС, и ОО.

Вторая группа: смежные углы, у которых дополняющие друг друга лучи принадлежат прямой СО. В эту группу входят три пары смежных углов: углы, у которых общая сторона ОА, ОВ, и ОБ.

Всего 6 пар смежных углов.

В

Задание № 6. Напишите названия всех четырехугольников, диагональю которых является отрезок СЫ (рис. 120).

А

с

о

Рис. 120

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одной фигуры, находящейся в некотором отношении с данной фигурой, выделяемого из фона, к другой.

Правильный ответ: в этом чертеже содержится 10 четырехугольников, диагональю которых является отрезок CN.

Данное задание проверяет также способность учащихся организовывать систематический перебор вариантов. При этом рассуждение может быть следующим: две вершины четырехугольника, диагональю которого является отрезок CN, известны - это точки С и N. А две другие вершины могут быть разными, но в каждом таком четырехугольнике они лежат по разные стороны от прямой CN. С одной стороны от прямой CN находятся точки А, В и S, с другой стороны - точки R, F, D и G. Поэтому все четырехугольники можно разделить, например, на три группы:

• четырехугольники, содержащие точку А и ANGC),

• четырехугольники, содержащие точку В (BNRC, BNDC, BNFC и BNGC),

• четырехугольники, содержащие точку S (SNRC, SNDC, SNFC и SNGC).

Поэтому всего 10 четырехугольников.

Проверка контрольной работы показала, что испытуемые в большинстве случаев не справляются с данными задачами. При решении задач первой части большинство испытуемых даже не рассматривали возможность, что правильными могут быть оба варианта. Они исходили из того, что правильным может быть лишь один из вариантов, и нужно только определить, какой именно. В первой задаче все

учащиеся присоединились к одному из мнений, верный ответ не дал никто, во второй задаче большинство испытуемых присоединились ко второму мнению, однако 6 человек (что составляет 8 %) дали верный ответ, в третьей большинство учащихся также присоединялись к одному из мнений, но 4 человека (что составляет 5 %) все же дали верный ответ.

При решении задач второй части большинству испытуемых не удалось выделить из фона все объекты. В четвертой задаче это смогли сделать 12 испытуемых (что составляет 16 %), в пятой - 3 человека (что составляет 4 %), в шестой - 4 человека (что составляет 5 %). Причем большинство учащихся из тех, кому удалось получить правильный ответ, располагали названия четырехугольников в некоторой системе.

Для наглядности результаты контрольной работы №2 1 мы представили в виде диаграммы (рис. 121).

Количество испытуемых, справившихся с задачей (%) 0 Р е Ы л ь гаи 8 5| контрольно 5 >й р 16 >аботы № 1 5 4

1 2 3 4 5 6 Номер задачи

Рис. 121

Таким образом, анализ результатов первой контрольной работы показывает, что большинство испытуемых не проявляет способность к дивергенции при анализе словесной формулировки и чертежа или проявляет ее в недостаточной степени.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б.

Результаты констатирующего эксперимента -вторая контрольная работа.

Вторая контрольная работа также была составлена из закрытых задач и состояла из двух частей. Первая часть (задачи № 1, 2) была составлена из задач, в которых дивергенция происходит при переходе от выполнения требования задачи к вопросу о том, существует ли фигура, описанная в задаче. Вторая часть (задачи № 3, 4) - из задач, в которых дивергенция происходит при переходе от одной ситуации, к которой применимо условие задачи, к другой ситуации, к которой оно так же применимо. Рассмотрим вариант второй контрольной работы, который предлагался учащимся 9 класса экспериментальной группы в рамках констатирующего эксперимента.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.

Первая часть.

Общей целью задач первой части является проверка способности учащихся изменять направление мысли при переходе от выполнения требования задачи к вопросу о том, существует ли фигура, описанная в задаче.

Задание № 1. Определите периметр пятиугольника со сторонами 4, 5, 6, 7 и 23.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от выполнения требования задачи к вопросу о том, существует ли фигура, описанная в задаче (в ситуации, когда несуществование фигуры определяется невыполнением условий теоремы существования).

Правильный ответ: описанная фигура не существует, поскольку 23 больше, чем сумма чисел 4, 5, 6 и 7.

Задание № 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 4. Основание высоты делит гипотенузу на отрезки длиной 3 и 7. Определите катеты треугольника.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от выполнения требования задачи к вопросу о том, существует ли фигура, описанная в задаче (в ситуации, когда несуществование фигуры определяется наличием лишних данных, которые являются противоречивыми).

Правильный ответ: описанная фигура не существует. Действительно, высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна квадратному корню из произведения отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу. Значит, описание фигуры содержит лишние данные. Проверяем, что они являются

противоречивыми: V3 • 7 Ф 4 . Значит, описанная фигура не существует. Вторая часть.

Общей целью задач второй части является проверка способности учащихся изменять направление мысли при переходе от одной ситуации, к которой применимо условие задачи, к другой ситуации, к которой оно так же применимо. Задание № 3. Один из углов прямоугольного треугольника в 9 раз больше другого. Определите углы этого треугольника.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одной ситуации, к которой применимо условие задачи, к другой ситуации, к которой оно также применимо (в ситуации, когда количество ситуаций - конечное).

Правильный ответ: углы треугольника могут быть равны 15°, 75° и 90° или 18°, 72° и 90°, поскольку два угла треугольника, один из которых в 9 раз больше другого, могут быть оба острые или один острый, другой прямой. Задание № 4. Две стороны треугольника равны 8 и 12. Определите среднюю линию треугольника, параллельную третьей стороне.

Целью данного задания является проверка способности учащихся совершать перецентрирование при переходе от одной ситуации, к которой применимо условие задачи, к другой ситуации, к которой оно также применимо (в ситуации, когда количество ситуаций - бесконечное).

Правильный ответ: средняя линия треугольника, параллельная третьей стороне, может принимать любое значение из промежутка: (2; 10), поскольку она является стороной треугольника, две другие стороны которого равны 4 и 6.

Проверка контрольной работы показала, что испытуемые в большинстве случаев не справляются с данными задачами. При решении задач первой части большинство испытуемых не заметили, что описанная в задаче фигура не существует. При решении первой задачи 68 человек (что составляет 92 %) написали, что периметр пятиугольника равен 45. И только один человек (что составляет 1 %) написал, что «периметр пятиугольника равен 45, хотя вообще-то этот пятиугольник не существует». При решении второй задачи 31 человек (что составляет 41 %) нашли катеты треугольника. При этом никто из испытуемых не заметил, что описанная в задаче фигура не существует.

При решении третьей задачи большинство испытуемых работали в рамках только одной из возможных ситуаций, 33 человека (что составляет 45 %) написали, что углы треугольника равны 15°, 75° и 90°, 13 человек (что составляет 18 %) написали, что углы треугольника равны 18°, 72° и 90°. И только 4 человека (что составляет 5 %) увидели, что можно дать два ответа. При решении четвертой задачи 3 человека (что составляет 4 %) написали, что медиана треугольника может принимать разные значения, что можно приравнять к правильному ответу. Остальных испытуемых вопрос задачи поставил в тупик, они не написали никакого решения задачи.

Результаты контрольной работы №2 2 мы представили в виде диаграммы (рис.

122).

Результаты контрольной работы № 2

1 >в щ гг н ед _а я в « « Я к о « ЛЛ И 5 4

Н В с а « в т Й

в 8 § и * £ и 1 0

1 2 Номер задачи 3 4

Рис. 1 22

Таким образом, анализ результатов второй контрольной работы показывает, что большинство испытуемых не проявляет способность к дивергенции при анализе описанной в задаче фигуры на предмет ее существования и единственности или проявляет ее в недостаточной степени.

ПРИЛОЖЕНИЕ В.

Результаты констатирующего эксперимента -третья контрольная работа.

Третья контрольная работа была составлена из открытых задач и состояла из трех частей. Первая часть (задачи № 1-3) была составлена из тестов Гилфорда. Такие задания не требуют специальных знаний, учащиеся могут их выполнять, используя свой субъектный опыт. Вторая часть (задачи № 4-6) состояла из математических задач - аналогов тестов Гилфорда, для решения которых требуется некоторое знание алгебры и геометрии. В третьей части (задача № 7) был задан вопрос, позволяющий выяснить отношение учащихся к задачам первой и второй части. Рассмотрим вариант третьей контрольной работы, который предлагался учащимся 9 класса экспериментальной группы в рамках констатирующего эксперимента.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. Первая часть.

Общая цель задач первой части: проверить способность учащихся совершать перецентрирование при решении открытых задач, позволяющих учащимся использовать свой субъектный опыт.

Задание № 1.Обычное употребление газеты: ее читают. Найдите как можно больше других способов употребления газеты.

Задание № 2. Напишите предложения из четырех слов, в котором каждое слово начинается с указанной буквы. «Б...у...ж...б...». Каждое предложение должно быть осмысленным.

Задание № 3. Перечислите различные последствия следующей гипотетической ситуации. « Что было бы, если люди не нуждались бы во сне и не хотели спать?».

Вторая часть.

Общая цель задач второй части: проверить способность совершать перецентрирование при решении математических открытых задач.

Задание № 4. Напишите как можно больше различных уравнений, корнем которых будет число 3.

Задание № 5. Составьте несколько задач, в которых нужно определить площадь какой-нибудь фигуры. Напишите ответы к каждой задаче.

Задание № 6. Сформулируйте определение ромба. Постарайтесь выполнить это задание несколькими способами.

Третья часть.

Цель задания третьей части: узнать отношение учащихся к задачам первого и второго типа.

Задание № 7. Какие из данных заданий вам понравились? Напишите номера трех заданий, которые вам понравились больше других.

Анализ результатов контрольной работы позволил сделать вывод, что испытуемые демонстрируют совершенно разное поведение при работе с первой и второй частями. Учащиеся заинтересовались отрытыми задачами, которые они могли решать на основе своего субъектного опыта. При решении этих задач они проявляли большую изобретательность и предложили много интересных вариантов ответа в каждой задаче. Задачи второй части многие учащиеся проигнорировали.

Решение каждой задачи данной контрольной работы оценивалось нами по методике Гилфорда по трем параметрам: беглость, гибкость, оригинальность. Беглость в каждой задаче определялась как количество верных ответов, которые испытуемый дал в данной задаче. В каждой задаче мы вычисляли средний балл по беглости мышления испытуемых как среднее арифметическое баллов, набранных всеми испытуемыми. (Результаты представлены в диаграмме (рис. 123), темно-серый цвет соответствует задачам первой части, светло-серый - задачам второй части.)

При решении задач первой части учащиеся предлагали значительно больше вариантов, чем при решении задач второй части. Поэтому средние баллы по беглости мышления в первой части оказались значительно выше соответствующих баллов во второй части.

Рис. 123

Гибкость в каждой задаче определялась как количество различных категорий ответов (при условии, что однотипные ответы попадали в одну категорию). В каждой задаче мы вычисляли средний балл по гибкости мышления испытуемых как среднее арифметическое баллов, набранных испытуемыми. Результаты представлены в диаграмме (рис. 124).

При решении задач первой части разнообразные варианты встречались значительно чаще, чем при решении задач второй части. Так в четвертой задаче большинство учащихся придумывало линейные уравнения, в пятой - вычисляли в основном площади прямоугольника и квадрата, в шестой - давали только одно определение ромба (параллелограмм с равными сторонами). В результате средние баллы по гибкости мышления в первой части оказались значительно выше соответствующих баллов во второй части.

Результаты контрольной работы № 3

гибкость

5 Н и О

а ю

£ € О И

Сх

5 И

Ю -О

зв 2 X X

ч

а

и

3,7

2,1

1,7

0,4

0,3

0,1

3 4

Номер задачи

1

2

5

6

Рис. 124

Оригинальность в каждой задаче определялась как количество оригинальных ответов (оригинальность ответа оценивалась нами интуитивно). В каждой задаче мы вычисляли средний балл по оригинальности мышления как среднее арифметическое баллов, набранных испытуемыми. Результаты представлены в диаграмме (рис. 125).

При решении задач первой части было дано много оригинальных решений. При решении задач второй части оригинальные решения практически отсутствовали. В результате средние баллы по оригинальности мышления в первой части оказались значительно выше соответствующих баллов во второй части.

При ответе на последний вопрос все учащиеся в качестве задач, которые им понравились, указали три задачи из первой части.

5 Н и О 35 .а

П «

35

Результаты контрольной работы № 3 -оригинальность

1,3

1,1

0,8

« ю

35 X

0,1

0,1

0

и

1

2

3

4

5

6

Номер задачи

Рис. 125

Итак, проведенные контрольные работы показали, что учащиеся не проявляют в достаточной степени способность к перецентрированию при решении как открытых, так и закрытых задач. Большинство учащихся не прибегает к систематическому перебору вариантов, когда нужно найти все варианты. Контрольные работы были целенаправленно предложены учащимся разных школ, разного уровня успеваемости. В частности в эксперименте принимали участие учащиеся математических классов математического лицея № 393. Большинство испытуемых, проявивших способность к дивергенции и применивших систематический перебор вариантов при решении задач, были учащимися этих математических классов.

В ходе эксперимента был выявлен интересный факт, что учащиеся демонстрируют большой интерес к открытым задачам, которые они могут решать на основе своего субъектного опыта, в отличие от предметных математических задач. Как показало наше исследование, этот интерес в одинаковой степени присущ учащимся и математических, и других классов.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г.

Урок № 1. Выявление различных смыслов понятия «квадрат».

Основные цели урока:

1. Выявить субъектный опыт учащихся, связанный с различными смыслами понятия «квадрат», и обогатить этот опыт за счет научного содержания.

2. Развивать коммуникативную компетентность учащихся.

ПЕРВЫЙ ЭТАП УРОКА: выявление субъектного опыта учащихся.

«Для привлечения субъектного опыта учащихся можно предложить задание на нахождение разных смыслов понятия «квадрат» в следующей форме.

Задание. Представьте себе, что вы разговариваете по телефону со своим другом, и вам нужно объяснить, что такое квадрат. Вы можете употреблять любые слова, кроме самого слова «квадрат». Попробуйте это сделать разными способами.

Приведем примеры ответов, придуманных учащимися в ходе нашего эксперимента:

• Клетка в тетради по математике.

• Слово, состоящее из семи букв, первая из которых «к», вторая - «а», ..., последняя - «т».

• Круг с четырьмя углами.

• Название черной фигуры Малевича.

В процессе данной работы учащиеся очень редко обращались к геометрическим терминам. Самым распространенным из логически правильных определений связанных с геометрией было следующее: квадрат - это прямоугольник с равными сторонами» [77].

ВТОРОЙ ЭТАП УРОКА: коррекция и обогащение за счет научного содержания субъектного опыта учащихся.

Для обогащения субъектного опыта учащихся за счет научного содержания можно предложить им выполнять одновременно два задания: решать задачи на актуализацию знаний и при этом придумывать способы объяснения, что такое «квадрат». Задачи на актуализацию знаний являются подсказками для нахождения таких способов (после выполнения каждого задания учащимся следует остановиться и задуматься о том, какие еще способы определения квадрата существуют).

Целесообразно чтобы в процессе данной работы учащиеся занимались взаимопроверкой выполненных заданий и обсуждением придуманных ими вариантов определения квадрата. Для этого можно организовать групповую работу, разделив учащихся класса на команды (например, по четыре человека). В конце урока команда должна сдать листок с вариантами объяснения, что такое квадрат, которые они смогли придумать. Рассмотрим задания на актуализацию знаний, которые можно предложить учащимся.

Задание 1. Сделайте четыре рисунка по следующим описаниям.

1. Параллелограмм, не являющийся ни ромбом, ни прямоугольником (учащимися выполняется рисунок 1).

2. Прямоугольник, не являющийся квадратом (выполняется рисунок 2).

3. Ромб, не являющийся квадратом (выполняется рисунок 3).

4. Квадрат (выполняется рисунок 4).

Пользуясь этими рисунками, учащиеся выполняют задание 2 на отнесение существенных свойств из предложенного набора к ряду понятий.

Задание 2. Заполните таблицу (поставьте плюс, если утверждение верно, минус, если утверждение неверно).

Свойства четырехугольников на рисунках из предыдущего упражнения 1 2 3 4

1. Является параллелограммом.

2. Является прямоугольником.

3. Является ромбом.

4. Является квадратом.

5. Все стороны равны.

6. Все углы равны.

7. Диагонали равны.

8. Диагонали взаимно перпендикулярны.

9. Диагонали являются биссектрисами углов.

10. Около четырехугольника можно описать окружность.

11. В четырехугольник можно вписать окружность.

12. Есть оси симметрии.

13. Есть центр симметрии.

14. Является правильным четырехугольником.

Для того, чтобы скорректировать представления учащихся о соотношении объемов понятий можно предложить учащимся задания 3 и 4.

Задание 3. Определите, какие из утверждений являются истинными.

1. Существуют прямоугольники, которые не являются квадратами.

2. Существуют квадраты, которые не являются прямоугольниками.

3. Любой параллелограмм является ромбом.

4. Любой прямоугольник является параллелограммом.

5. Не любой квадрат является ромбом.

6. Не любой параллелограмм является квадратом.

Задание 4. Изобразите с помощью кругов Эйлера.

-1- -2- -3-

А) Множество А) Множество A) Множество

прямоугольников. ромбов. параллелограммов.

В) Множество В) Множество B) Множество

параллелограммов. прямоугольников. прямоугольников.

C) Множество ромбов.

D) Множество квадратов.

Для того, чтобы скорректировать представления учащихся о существенных свойствах понятий, можно предложить учащимся задание 5.

Задание 5. Определите, какие из утверждений являются истинными.

1. Диагонали ромба равны.

2. Диагонали прямоугольника равны.

3. Параллелограмм с равными сторонами является квадратом.

4. Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом.

Повторить существенные свойства понятий, связанные с симметрией, можно с помощью заданий 6 и 7.

Задание 6.

1. Определите, сколько осей симметрии имеет параллелограмм.

2. Определите, сколько осей симметрии имеет прямоугольник.

3. Определите, сколько осей симметрии имеет ромб.

4. Определите, сколько осей симметрии имеет квадрат.

Задание 7. Определите, какие из утверждений являются истинными.

1. Квадрат - это параллелограмм, имеющий ровно 4 оси симметрии.

2. Квадрат - это четырехугольник, имеющий ровно 4 оси симметрии.

3. Квадрат - это геометрическая фигура, имеющая ровно 4 оси симметрии.

Для развития дивергентного мышления нужно чтобы учащиеся мыслили в как можно большем количестве направлений. Полезно чтобы они осознали, что

квадрат - это объединение двух равнобедренных прямоугольных треугольников с общей гипотенузой. Прийти к этому учащиеся могут, выполнив задание 8.

Задание 8.

Попробуйте сложить квадрат, используя некоторые из фигур на рисунке.

Для развития дивергентного мышления полезно также обратиться к пространственным фигурам. Квадрат можно определить как грань куба или основание правильной четырехугольной пирамиды. Для осознания этого можно предложить задание 9.

Задание 9.

Рассмотрите следующие геометрические тела (учитель показывает макеты: куба, прямоугольного параллелепипеда, тетраэдра, правильной четырехугольной пирамиды).

Имеют ли они грани квадратной формы?

Для накопления запаса различных смыслов геометрических понятий можно предложить также задание 10.

Задание 10. Соедините линиями каждое облачко с названием фигуры с прямоугольниками, содержащими определения этой фигуры.

Прямоугольник с равными сторонами