Системы из экспонент и частотно-временных сдвигов гауссиана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кузнецов Александр Сергеевич

• Кузнецов Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов Александр Сергеевич

Введение

Глава 1 Основные определения и точные формулировки главных результатов

1.1 Гильбертовы пространства целых функций

1.1.1 Пространства Фока и Пэли-Винера

1.1.2 Полные минимальные системы воспроизводящих ядер

1.2 Полные минимальные системы Габора для гауссиана

1.3 Биортогональная система на двух отрезках

1.4 Приближение заданной функции экспонентами

1.5 Необходимые сведения о росте целых функций

Глава 2 Полные минимальные системы Габора для гауссиана

2.1 Подготовительная работа

2.2 Построение субгармонической фукнции /

2.3 Построение целой функции ^

Глава 3 Биортогональная система на двух отрезках

3.1 Биортогональные элементы полной минимальной системы на двух отрезках

3.2 Соотношения между биортогональными элементами

3.3 Порождающая функция полной минимальной системы

3.4 Полнота биортогональной системы

Глава 4 Приближение заданной функции экспонентами

4.1 Переход к интерполяционной задаче для гипербол

4.2 Построение множеств / и V

4.3 Построение функций /±

4.3.1 Оценки функции О(Ь)

4.3.2 «Исправление» функции О(Ь)

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы из экспонент и частотно-временных сдвигов гауссиана»

Введение

Один из важнейших вопросов гармонического анализа состоит в изучении геометрических свойств систем функций специального вида — гармоник. В диссертации мы рассмотрим два семейства гармоник. Во-первых, экспоненциальные системы |егЛх}лел на отрезке или на конечном объединении отрезков вещественной оси. Во-вторых, системы Габора из частотно-временных сдвигов гауссиана:

|е2пгшхе-п(х-)2 }(4>ш)ел Л С К2.

Системы экспоненциальных функций на отрезке возникают в различных разделах математического анализа: гауссовы процессы, спектральная теория дифференциальных операторов, теория сигналов. Они активно изучаются уже более ста лет, начиная с работ Р. Пэли, Н.Винера, Н.Левинсона, Ж.-П. Кахана, Л. Карлесона [19, 27, 32, 36, 37]. Несмотря на это, к настоящему времени многие вопросы остаются открытыми. В последнее время этой тематикой занимались, в частности, А. Боричев, А. Полторацкий, М. Содин, А. Олевский, А. Улановский [18, 38].

Вопросы полноты, минимальности, базисности систем экспонент на отрезке, связанные с именами А. Берлинга, М. Кадеца, П. Мальявена, Н. Никольского, Б. Павлова, С. Хрущева [1, 3, 4, 14, 15], дали основу для дальнейших исследований. Тонкие вопросы, связанные с геометрическими свойствами экспонент на отрезке и похожие результаты для систем воспроизводящих ядер в пространствах де Бранжа можно найти в работах Е. Фрикэна, А. Баранова, Ю. Белова и А. Боричева [6, 7, 10, 23].

Аналогичные вопросы для систем из экспонент на нескольких отрезках рассматривались Г.Ландау, А. Кохленбергом, В. Кацнельсоном [16, 28, 31]. В силу более сложной структуры, результатов про такие системы сильно меньше. Только в 2014 году Г. Козма и Ш. Ницан доказали [29], что на любом конечном объединении отрезков существует вещественный базис Рисса из экспонент. Десятилетие спустя этими же авторами совместно с А. Олевским было установлено [30], что у некоторого ограниченного подмножества прямой такого базиса Рисса нет. Обзор последних достижений в этой области представлен в книге А. Олевского и А. Улановского [35].

Частотно-временной анализ возникает в первой половине XX века в работах по квантовой механике и теории информации Д. фон Неймана и Д. Габора [24, 42]. К концу прошлого века он выделяется в отдельную область математического исследования, тесно связанную как с прикладной, так и теоретической математикой, основу чему заложили результаты Г. Янсена,

И. Добеши, К. Гроссмана, И. Мейера [20, 26]. Время и частота рассматриваются как два равноправных параметра и гауссиан, как собственная функция преобразования Фурье, оказывается важным объектом исследования. Этому способствует его локализация по времени и частоте, наилучшая в смысле принципа неопределённости Гейзнеберга.

Системы частотно-временных сдвигов гауссиана в пространстве £2(К) и системы из экспонент в пространстве С2(—п,п) оказываются связанными с системами воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций — пространстве Фока и пространстве Пэли-Винера соответственно.

Пространство Фока впервые появилось в работе В. Фока в 1932 году [22], затем изучалось В. Баргманом и И. Сигалом в 1960-х [9, 39], оно играет важную роль в математической физике и квантовой механике. Пространство Фока устроено сложнее пространства Пэли-Винера. Например, в этом пространстве нет базисов Рисса из воспроизводящих ядер [40, 41]. Областью активного исследования стали системы функций, схожие по свойствам с базисами Рисса, например, фреймы Габора, полные и минимальные системы, базисы суммирования, им посвящены недавние работы Р. Аскензи, Ю.Белова, Ю.Любарского, К. Сейпа [5, 11, 33].

Цель диссертации — исследование полных и минимальных систем из частотно-временных сдвигов гауссиана, систем из экспоненциальных функций, а также соответствующих биортогональных систем.

Научная новизна работы. Все результаты, включённые в диссертацию, новые, они снабжены подробными, математически строгими доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании систем Габора, экспоненциальных систем, а также геометрических свойств систем воспроизводящих ядер в гильбертовых пространствах целых функций.

Методы исследования. В работе задействованы методы функционального, гармонического, вещественного анализа и теории гармонических функций. Также интенсивно используются методы теории целых функций, в частности, свойства функций экспоненциального типа, связи между ростом целой функции и плотностью множества её нулей.

Апробация работы. Результаты диссертации были опубликованы в трёх печатных работах [8, 12, 13].

Также они были представлены на различных научных конференциях и семинарах.

a) Аналитический семинар факультета Математики и Компьютерных Наук (лаб. Чебы-шева СПбГУ 19.09.2019);

b) «Вероятностные методы в анализе» (ФТ «Сириус» 06.12-10.12.2021);

c) «Дни анализа в Сириусе» (ФТ «Сириус» 24.10-28.10.2022);

Ь) «Наука будушего» (г. Орёл 20.09-23.09.23)

е) «Школа-конференция по анализу института им. Л.Эйлера» (ФТ «Сириус» 13.10 — 17.10.2023).

Г) Санкт-Петербургский семинар по теории операторов и теории функций (ПОМИ РАН, 31.03.2025).

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Нумерация формул двойная, в соответствии с главой, в которой они находятся. Объём работы составляет 41 страницу. Список литературы включает 44 наименования.

Автор диссертации выражает глубочайшую благодарность своему научному руководителю Юрию Сергеевичу Белову за многолетнюю совместную научную работу, невероятное терпение и высокий профессионализм, а также внёсшим огромный вклад в математическое образование автора Сергею Евгеньевичу Рукшину и Дмитрию Васильевичу Максимову.

Основные научные результаты

1. Пример полной минимальной системы Габора для гауссиана с верхней плотностью 1, (см. теорему 2.1а) в статье [12]).

2. Полнота биортогональной системы для полной минимальной системы экспоненциальной системы на двух отрезках, удовлетворяющей естественному условию на верхнюю плотность множества частот (см. раздел 4 в статье [8]).

3. Разложение типичной функции f в пространстве квадратично-суммируемых функций

на отрезке длины 2п в сходящийся по норме ряд f = а\егХЬ для некоторого множества

лел

частот Л = Л(f) С К плотности меньшей, чем 1, (см. теорему 1 в статье [13]).

Из работ, написанных в соавторстве, в диссертацию включены доказательства теорем, полученные лично автором диссертации.

Положения, выносимые на защиту

• Построен пример полной минимальной системы Габора для гауссиана с верхней плотностью 1/п.

• Получен аналог теоремы Юнга для пространства С2(Е), где Е — объединение двух отрезков.

• Доказано, что типичную функцию в пространстве £2(0, 2п) можно разложить в сходящийся по норме ряд по экспоненциальным функциям с плотностью множества частот, меньшей чем 1.

Глава 1 Основные определения и точные формулировки главных результатов

В первом разделе настоящей главы мы соберём необходимые определения и известные теоремы, на которые мы будем опираться. В следующих разделах мы приведём точные формулировки основных результатов диссертации.

1.1 Гильбертовы пространства целых функций

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и V = {vn} — его счётное подмножество, дальше будем называть его системой.

Определение 1.1. Говорят, что система V полна в гильбертовом пространстве H, если конечные линейные комбинации элементов V образуют всюду плотное множество:

Cl span V = H.

Если при удалении любого элемента свойство полноты нарушается, такая система называется минимальной.

Для полной минимальной системы V = {vn} существует единственная биортогональная система {gn}, т.е.

{0, m = n; 1, m = n.

Отметим, что биортогональная система не обязательно полна. Действительно, выберем в пространстве H ортонормированный базис {en}^=0. Легко видеть, что система

Vn = eo + en, n = 1, 2, 3,... (1.1)

полна и минимальна, а биортогональная ей система gn = en, n = 1, 2, 3,... ортогональна e0.

Если система V может быть получена из ортогонального базиса линейным обратимым преобразованием, она называется базисом Рисса пространства H, это условие более сильное, чем полнота и минимальность.

Система V = {vn} — фрейм, если существуют такие константы A,B > 0, что

A||u||2 ^ |<u,Vn>|2 ^ BIHI2, u eH.

n

1.1.1 Пространства Фока и Пэли-Винера

Рассмотрим гильбертово пространство Н, состоящее из целых функций. Обычно вычисление значения в каждой точке — непрерывный линейный функционал в пространстве Н. По теореме Рисса это означает для каждой точки А существует такая функция кл Е Н, что

Г (А) = <Г,кл)н

для любой функции Г Е Н. Функция кл называется воспроизводящим ядром в точке А.

Гильбертовы пространства целых функций с воспроизводящим ядром (ИКИБ) часто возникают при унитарном спектральном преобразовании другого функционального пространства. Так для преобразования Фурье

п

Ю)(*) = / f (х)ег'Хах

—п

образом пространства С2(-п,п) выступает пространство Пэли-Винера . Скалярное произведение функций Г, С Е наследуется из пространства £2(-п,п) и, в силу теоремы Планшереля, задаётся формулой

(F,G)pw = J F(x)G(x)dx.

R

Заметим, что для каждого Л Е C воспроизводящим ядром в пространстве PW выступает функция

' SÍn (П (Z - Л))

(z) = ^F И) = ^

Действительно, пусть F = Ff G PW. Тогда

(Ff, Fe~iXx)vw = (/,e"iAx

/ (x)eiAxdx = V2^F (A).

Пространство Пэли-Винера PW имеет и непосредственное описание. Его дает теорема Пэли-Винера. Функция F лежит в пространстве PW в том и только в том случае, когда F — целая функция экспоненциального типа не выше п, квадратично-суммируемая на вещественной прямой, то есть

lim sup ^ | ( ^ ^ п; [ |F(x)|2dx < ж ^r |z 1 J

В такой формулировке теорему можно найти в книге Б.Левина [2]. Определение 1.2. Пространство Фока Т состоит из всех целых функций Г, которые

квадратично-суммируемы с весом е , а норма и скалярное произведение в этом пространстве задаются соотношениями:

1|Г= / \Г(г)\2е-^2ф(г); (Г, 0)^ = / Г(г)ОДе-^'2ф(г).

с с

Здесь и далее через ^(г) мы обозначаем Лебега на плоскости.

Приведём иное описание пространства Т. Преобразование Баргмана В функции / € £2(Е) задаётся формулой

В/(г) = 24 I f (х)е-пх42пх*-П*2ах.

к

Хорошо известно, что преобразование Баргмана — унитарное, оно переводит пространство £2(К) в пространство Фока Т, причём воспроизводящие ядра пространства Т оказываются пропорциональны образам частотно-временных сдвигов гауссиана [25, Теорема 3.4.3].

1 2

Определение 1.3. Положим ф(х) = 24е-пх , ||ф||2 = 1 — гауссиан. Для Ь,ш € К и Л = Ь + гш определим его частотно-временной сдвиг следующим образом:

плф(х) = п4>шф(х) = е2тшхф - Ь).

Факт 1.4. Для воспроизводящего ядра пространство Фока в точке Л = Ь+гш справедливо соотношение

4

(г) = ежл* = е-ПЬше-П 1 л 12/2 Впл ф.

Таким образом, полнота и минимальность системы экспоненциальных функций |е-гЛ4}лел на отрезке, ровно как и системы частотно-временных сдвигов гауссиана {плф}лел в пространстве £2(К) эквивалентна полноте и минимальности системы соответствующих воспроизводящих ядер |кл}лел,Л = {Лк} в пространстве Н, где Н — это или Т. Такая система кл полна в том и только в том случае, когда не найдётся нетривиальной функции Г € Н, ортогональной всем этим воспроизводящим ядрам, то есть обращающейся в нуль во всех точках множества Л. Иными словами, Л должно быть множеством единственности пространства Н. Аналогично условие минимальности равносильно тому, что для каждого Л найдётся нетривиальная функция Гд € Н, для которой Гд(Лj) = 0 при к = ].

1.1.2 Полные минимальные системы воспроизводящих ядер

Пусть Н — гильбертово пространство целых функций с воспроизводящим ядром.

Определение 1.5. Говорят, что гильбертово пространство целых функций Н удовлетворяет аксиоме деления, если для всякой функции Г € Н и любого её нуля Л € С функция также лежит в пространстве Н.

Отметим, что пространства и Т удовлетворяют аксиоме деления. Далее речь пойдёт о полных минимальных системах воспроизводящих ядер в таких пространствах, а также о структуре биортогональной системы.

Аксиома деления позволяет определить пространство функций с «лишним» нулём.

Предложение 1.6. Пусть гильбертово пространство целых функций Н удовлетворяет, аксиоме деления. Положим

Н0 = Н + гН.

Тогда

г. Если Г Е Н, то Г(г)(г — А) Е Н0 при любом А Е С. и. Если С Е Н0 и С(А) = 0 при некотором А Е С, то ^гл Е Н.

Первая часть тривиальна:

Г (г)(г — А) = —АГ (г) + гГ (г).

Вторая часть следует из аксиомы деления. Действительно, положим ) = Г^^+гГ^г). Тогда

) ВД + АГ2(г)

г — А г — А

+ г2(г) ен.

Предложение 1.7. Пусть Н — гильбертово пространство целых функций, удовлетворяющее аксиоме деления; Л = {АкС С — счетное подмножество комплексной плоскости.

г. Если система {кЛ}лел полна и минимальна, то существует функция Г Е Н0, у которой Л — множество нулей, причем все нули простые.

И. Пусть существует функция Г Е Н0, у которой Л — множество нулей, причем все нули — простые. Кроме того, для любой нетривиальной целой функции Т функция ГТ не лежит в пространстве Н. Тогда система {кл}лел полна и минимальна.

Функция Г называется порождающей для системы {кл}лел. В части (г) в качестве такой функции можно взять Г (г) = (г — А1)Г1(г), где функция Г1 определена в рассуждении выше. Если £ — нуль функции Г, не лежащий в Л, или же кратный нуль из Л, то функция Г(г)/(г — £) обращается в нуль на Л и лежит в пространстве Н, что противоречит полноте системы {кл}лел. Отметим, что функции Г,, ] > 1 могут быть выбраны как

Г,(г) Г(г)

В части (гг) начнём с доказательства полноты. Предположим обратное, тогда некоторая функция С Е Н обращается в нуль на множестве Л. Следовательно, С(г) = Г(г)Т(г) для некоторой целой функции Т, противоречие. Теперь положим Г, (г) = Г(г)/(г — А,). Тогда Г, Е Н, откуда и следует минимальность.

1.2 Полные минимальные системы Габора для гауссиана

В этом разделе речь пойдёт о плотности полных минимальных систем Габора для гауссиана

12 ф(х) = 21 е-пх .

Определение 1.8. Пусть Л С К2. Системой Габора ОЛ = ОЛф называется система соответствующих частотно-временных сдвигов гауссиана:

Ол = {пг,шф \ (Ь,ш) € Л}.

Далее мы будем отождествлять точки плоскости с комплексными числами: (Ь,ш) О Ь + гш, множество Л будет не более чем счётным, т. е. последовательностью.

В 1946 году Д. Габором [24] была выдвинута идея разложить произвольную функцию / € С2 (К) в ряд по элементарным функциям — целочисленным частотно-временным сдвигам гауссиана. Иными словами, представить функцию / в виде

/ ^ ^ ст,ппт,пф.

Ранее Д. фон Нейман высказал более слабое предположение, что соответствующая система Габора Оч2 полна и минимальна. Оказалось, что данная система Габора даже «переполнена» — при удалении любого элемента остаётся полная минимальная система, которая, однако, не будет базисом Рисса, более того, гипотеза Габора выполнена только в терминах сходимости в более слабом смысле, нежели сходимость по норме [26].

С началом активного развития частотно-временного анализа стали изучаться геометрические свойства систем Габора и для других множеств Л. Важным параметром этого множества оказывается его плотность. Например, если последовательность Л — разделённая (расстояние между любыми двумя точками множества Л не меньше некоторого фиксированного положительного числа), то система Ол — фрейм в пространстве С2(К) в том и только в том случае, когда плотность Берлинга-Ландау множества Л превышает 1 [33, 40, 41].

Для полных минимальных систем описание в терминах плотности неизвестно. Например, самая естественная полная минимальная система

Ол, Л = Ч2 \{(0,0)}

имеет плотность 1 для любой разумной плотности. С другой стороны, положим

Г = {(-1, 0), (1, 0), (о, ±^2п) ; (±^2п; о) \ п ^ 1}. (1.2)

В 2009 году Г. Аскензи, Ю.Любарский и К. Сейп доказали [5], что система ОГ полна и минимальна. При этом плотность множества Г равна П < 1, а равномерная верхняя плотность Берлинга-Ландау равна бесконечности. Таким образом, представляет интерес вопрос

о возможных значениях плотности полной минимальной системы Габора. Разумеется, ответ зависит от определения плотности.

Определение 1.9. Плотность D множества Л, а также его нижняя плотность D_ и верхняя плотность D+ задаются равенствами

, ч card (Л П B(0,r)) £>(Л) = lim -^-о ;

т^те nr2

card (Л П B(0,r)) £>+(Л) = lim sup-i-2 1 ' п ;

Г^-те ПГ

, ч card (Л П B(0,r)) D_ (Л) = liminf-^-о .

т^те ПГ2

В статье [5] также доказано, что при некоторых условиях регулярности множества Л система Gr имеет минимальную возможную плотность. А именно, пусть множество Л имеет угловую плотность

card (Л П{А : |А| < r, 01 < arg А ^ 02})

lim -2-

т^те nr2

для всех 01, 02, кроме, возможно, конечного числа пар (0i, 02) (иными словами, порождающая

функция G(z) — функция вполне регулярного роста). Кроме того, конечен предел

lim А-2.

т^-те ' ^

|А|<т,леА

При указанных выше условиях плотность множества Л, соответствующего полной минимальной системе Сл, лежит в промежутке [2,1, то есть множество Г и множество Z х Z\ {(0, 0)} соответствуют наименьшему и наибольшему возможному её значению.

Откажемся от условия регулярности. Теперь плотность множества Л может быть не определена. Нетрудно построить пример для нулевой нижней плотности. Для этого нужно расположить точки множества Л на концентрических окружностях с достаточно быстро растущей последовательностью радиусов. Порождающая функция будет иметь вид

те

П (1 - (г/г,^)

для некоторой последовательности радиусов {гп} и количеств точек на соответствующей окружности {¿„}.

Вопрос о возможных значениях верхней плотности полной минимальной системы оказывается более сложным, ему посвящён основной результат настоящего раздела диссертации.

Теорема 1.10. Существует подмножество Л С С, для которого £>+(Л) = 1/п и система Габора £л полна и минимальна в С2'

Переформулируем эту теорему в терминах порождающей функции в пространстве Фока. Для целой функции ^ множество её нулей будем обозначать через Др.

Теорема 1.11. Существует такая функция Г € Т0, у которой все нули простые, Т>+(Др) = П и условие ГТ € Т не выполняется ни для какой нетривиальной целой функции Т.

Порождающая функция Г будет иметь максимальный рост вдоль луча К+ и некоторой медленно вращающейся кривой. Таким образом, на любой окружности \г\ = Я будет две точки пересечения с этими линиями. В примере (1.2), соответствующем порождающей функции

0(г)

г2 - 1 пг2

—81Пт-

максимальный рост достигается вдоль четырёх биссектрис углов между между координатными осями, и эти прямые пересекают окружность \г\ = Я в четырех точках. Уменьшив число точек максимального роста на каждой окружности вдвое, удалось уменьшить в два раза и плотность множества нулей.

Отметим, что верхняя плотность любой полной системы не может быть равна нулю. Более того, она не меньше 3П, её максимальное значение равно е, а наименьшее возможное значение не известно [12].

1.3 Биортогональная система на двух отрезках

Биортогональная система для полной минимальной системы на обязательно полна (1.1). Однако, для полных минимальных систем специального вида выполняется условие полноты биортогональной системы.

Пусть Л = {Лj— последовательность вещественных чисел. Определим соответствующую ей систему экспонент:

Е(Л) = {еш \ Л € Л}.

Классический результат Р. Юнга утверждает [43], что для полной минимальной системы экспонент на отрезке биортогональная система обязательно полна. Аналоги теоремы Юнга для пространств фоковского типа доказаны в статьях [6, 10]. В диссертации речь пойдёт про обобщение этого результата на случай объединения двух непересекающихся отрезков.

Для объединения нескольких непересекающихся отрезков Е С К будем обозначать сумму их длин через \Е\. В случае, когда система Е(Л) полна и минимальна в пространстве С2(Е), будем обозначать биортогональную систему через

С(Л) = {£Л \ Л € Л}.

Теорема 1.12. Пусть Е — объединение двух отрезков. Если система Е(Л) полна и минимальна в пространстве С2(Е), а также

^ ,п п сага(Л П (-Я,Я)) \Е\ , л

Р+(Л) = 11т 8пр-( 2( , ))= -Е, (1.3)

2 Я 2п

то биортогональная система С(Л) также полна в С2(Е).

Отметим, что для полной и минимальной системы экспоненциальных функций на отрезке условие (1.3) на плотность выполняется всегда. Однако, уже в случае двух отрезков не ясно, выполнено ли такое условие для любой полной и минимальной системы.

Развитие идей из доказательства этой теоремы позволяет установить аналогичный результат и в случае трёх отрезков [8], а также структуру биортогонональной системы для их произвольного числа. Для большего числа отрезков (начиная с четырёх) аналог теоремы Юнга не известен.

1.4 Приближение заданной функции экспонентами

Как известно, система функций Е(Ч) = {ет4}пеЧ, образует ортогональный базис в пространстве С2(0, 2п). Таким образом, любая функция / представляется в виде

/ = £

Опе",

печ

где ряд в правой части равенства сходится по норме. Коэффициент ап при этом задаётся формулой

2п

Оп = /(п) = ^ / / (х)е-гпхах. 0

Несколько изменим постановку вопроса. Будем искать разложения по экспонентам заданной функции / € С2(0, 2п) с меньшим числом экспонент, то есть с плотностью множества частот, меньшей чем 1.

Мы введём вероятностную меру на пространстве С2(0, 2п). Автору диссертации неизвестен классический способ это сделать, ниже приведём конструкцию, которая представляется достаточно естественной.

Пусть в: Ч ^ К+, в € С2(К) — чётная функция, убывающая на положительной полуоси,

при чем для некоторого а > 0 выполнено неравенство

0(x) x , „.

log^T ^ а - log-, 1 <x<y. (1.4)

0Ы У

Пусть {Znjnez — последовательность комплексных независимых случайных величин, равномерно распределённых на множестве {z = x + iy | x, y G [-1,1]}. Мы будем рассматривать случайную функцию в пространстве L2(0, 2п), задаваемую соотношениями:

f(n) = <ra0(n), n G Z.

Теорема 1.13. При некотором £ = £(а) > 0 для почти любой функции f G L2(0,2п) найдётся множество Л С R такое, что D(A) ^ 1 — £ и

f (t) = £ аЛеш лел

где ряд в правой части сходится по норме в пространстве L2(R) для некоторой последовательности комплексных чисел {ал}лел G l2(C).

В полученном результате плотность множества частот не превосходит 1 — £ не только в смысле обычной плотности, но и в смысле плотности Бёрлинга-Мальявена. Условие (1.4) может быть заменено на следующее: при некотором 8 > 0 и любом x > 0 выполнены неравенства

x0(x) ^ 8, 0(2x) ^ 80(x).

Значение £ не может быть меньше 1/2. Представляют интерес более точные оценки на £. Также отметим, что существует функция f G L2(0, 2п) для которой заключение теоремы неверно ни для какого Л С R плотности меньше 1 [13].

1.5 Необходимые сведения о росте целых функций

Прежде чем переходить к доказательствам основных теорем, рассмотрим известные результаты, связанные с ростом целых функций экспоненциального типа. Для целой функции F и r > 0 положим

MF(r) = max |F(z)|.

|z|=r

Согласно принципу максимума модуля, функция MF (r) не убывает.

Определение 1.14. Говорят, что целая функция F имеет порядок р, если р — наименьшее число, для которого выполнено следующее условие: для любого £ > 0 при достаточно больших значениях r имеет место неравенство

MF (r) < exp(rp+£).

Иными словами,

log log MF (r)

p = limsup--——-.

log(r)

Далее в этом разделе речь пойдёт о функциях порядка 1.

Определение 1.15. Говорят, что целая функция F порядка один имеет конечный тип, если для некоторого a G R и всех достаточно больших r выполнено неравенство

MF (r) < eAr.

Инфимум чисел A, для которых выполняется это неравенство, называется типом а = aF функции F.

Формула для типа имеет вид

log MF (r)

а = lim sup-.

r

Определение 1.16. Целая функция порядка 1 и конечного типа называется функцией экспоненциального типа (EFET).

Положим

+ I log(x), x ^ 1;

log+(x) = <

[ü,x < 1.

Определение 1.17. Говорят, что целая функция экспоненциального типа F принадлежит, классу Картрайт, если

Г log+ |F(t)|

1 +t2

-dt < oo.

Как уже отмечалось ранее, функции из пространства Пэли-Винера — конечного

экспоненицального типа. Поскольку они квадратично-суммируемы на вещественной прямой, то они принадлежат и классу Картрайт.

Предложение 1.18. Пусть функции ^ и С лежат в классе Картрайт. Тогда функция ^С также лежит в этом классе, причём

о^с = + (1.5)

То, что функция ^С также принадлежит классу Картрайт непосредственно вытекает из его определения. Равенство для типов — тонкое утверждение. В более общем виде его можно найти, например, в книге Р. Боаша [17].

Отметим, что без условия принадлежности классу Картрайт верно лишь неравенство

о^с ^ ^ + Ос,

которое легко вытекает из определения.

Оценка на тип функции может быть также получена в терминах плотности множества её нулей с помощью формулы Йенсена. Приведём ее формулировку.

Для целой функции F, удовлетворяющей условию F(0) = 0, обозначим через n(t) число её нулей с учетом кратности, по модулю не превосходящих t. Тогда для каждого r, при котором F(z) = 0 при |z| = r, имеет место равенство

r 2п

2п У n(t) dt = J log |F(re^)| d^ — log |F(0)|. 0 0

Напомним, что для целой функции F множество её нулей мы обозначаем через Др. Из формулы Йенсена вытекает следующая оценка на тип целой функции.

Предложение 1.19. Для целой функции экспоненциального типа F выполнено неравенство

card(Zp П Br) ар

limsup-—-^—. (1.6)

я^те 2R п

Глава 2 Полные минимальные системы Габора для

гауссиана

В этой главе речь пойдёт о примере полной минимальной системах Габора для гауссиана малой плотности. Как было объяснено в разделе 1.2, полнота и минимальность таких систем может быть сформулирована в терминах порождающей функции в пространстве Фока. Продублируем формулировку основного результата о верхней плотности полной минимальной системы.

Теорема 2.1 (Теорема 1.11). Существует такая функция ^ е Т0, у которой все нули простые, Т>+(Др) = П и условие ^Т е Т не выполняется ни для какой нетривиальной целой функции Т.

2.1 Подготовительная работа

Положим С = С2 ^С \ В1, е-п|г|2/^ , т. е. множество всех функций д, которые заданы хотя бы

-2

во внешности единичного шара и удовлетворяют условию

J |д(г)|2е-^фф) < ^

Лемма 2.2. Существует целая функция ^, подходящая под четыре следующих условия. г. Все нули функции ^ простые.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов Александр Сергеевич, 2025 год

Литература

[1] М. Кадец, Точное значение постоянной Палея-Винера, Докл. АН СССР, 155:6 (1964), 1253-1254.

[2] Б.Левин, Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, Москва (1956), 498-504.

[3] Н. Никольский, Б. Павлов, С. Хрущев, Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер, Комплексный анализ и спектральная теория (Ленинград 1979/1980), 214-335.

[4] Б. Павлов, Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта, Докл. АН СССР, 247:1 (1979), 37-40.

[5] G.Ascensi, Y. Lyubarskii, K. Seip, Phase Space Distributions of Gabor expansions, Applied and Computational Harmonic Analysis, 26 (2009), 277-282.

[6] A. Baranov, Y. Belov, Systems of Reproducing Kernels and their Biorthogonal: Completeness or Incompleteness?, International Mathematics Research Notices, 22 (2011), 5076-5108.

[7] A. Baranov, Y. Belov, A. Borichev, Hereditary completeness for systems of exponentials and reproducing kernels, Advances in Mathematics, 235 (2013), 525-554.

[8] A. Baranov, Y. Belov, A. Kuznetsov, Systems biorthogonal to exponential systems on a finite union of intervals, J. Fourier Anal. Appl. 29, 23 (2023).

[9] V. Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, Communications on Pure and Applied Mathematics, 14:3 (1961), 187-214.

10] Y. Belov, Complementability of exponential systems, Comptes Rendus Mathematique, 353:3 (2015), 215-218.

11] Y. Belov, Uniqueness of Gabor series, Applied and Computational Harmonic Analysis, 39 (2015), 545-551.

12] Y. Belov, A. Borichev, A. Kuznetsov, Upper and lower densities of Gabor Gaussian systems, Applied and Computational Harmonic Analysis, 49 (2020), 438-450.

13] Y. Belov, A. Borichev, A. Kuznetsov, Exponential approximation and meromorphic interpolation, Algebra and analysis, 37:3 (2025), 1-21.

14] A. Beurling, On the spectral synthesis of bounded functions, Acta Math., 81 (1949), 225-238.

16

17

18

19

20 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

A. Beurling, P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math., 118 (1967), 79-93.

L. Bezuglaya, V. Katsnel'son, The sampling theorem for functions with limited multi-band spectrum, Z. Anal. Anwendungen, 12:3 (1993), 511-534.

R.Boas, Entire Functions, Academic Press (1954) 127-128.

A. Borichev, M. Sodin, Weighted exponential approximation and non-classical orthogonal spectral measures, Advances in Mathematics, 226:3 (2011), 2503-2545.

L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math., 116 (1966), 135-157.

I. Daubechies, A. Grossmann, Y.Meyer, Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys., 27 (1986), 1271-1283.

R. Duffin, A. Schaeffer, A Class of Nonharmonic Fourier Series. Transactions of the American Mathematical Society, 72:2 (1952), 341-366.

V. Fock, Konfigurationsraum und zweite Quantelung. Zs. Phys., 75:9-10, (1932) 622-647.

E. Fricain, Complétude des noyaux reproduisants dans les espaces modeles, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 52:2 (2002), 661-686.

D.Gabor, Theory of communications, J. Inst. Elec. Eng. (London), 93 (1946), 429-457.

K. Grochenig, Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston, MA (2001).

A.Janssen, Gabor representation of generalized functions, J. Math. Anal. Appl. 83 (1981), 377-394.

J-P. Kahane, Pseudopériodicité et séries de Fourier lacunaries. Ann. Sci. Ecole Norm., 79 (1962), 93-150.

A.Kohlenberg, Exact Interpolation of Band-Limited Functions., J. Appl. Phys. 24:12 (1953), 1432-1436.

G. Kozma, S. Nitzan, Combining Riesz bases, Invent. math. 199 (2015), 267-285.

G. Kozma, S. Nitzan, A. Olevskii, A set with no Riesz basis of exponentials. Revista Matematica Iberoamericana, 39:6 (2023), 2007-2016.

H. Landau, Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions, Acta Math., 117 (1967), 37-52.

N. Levinson, Gap and Density Theorems, American Mathematical Society, Providence (1940).

[33] Y. Lyubarskii, Frames in the Bargmann space of entire functions, Entire and Subharmonic Function, Adv. Soviet Math., 11 (1992), 167-180.

[34] Y. Lyubarskii, E. Malinnikova, On approximation of subharmonic functions, Journal D'Analyse Mathematique, 83:1 (2001), 121-149

[35] A. Olevskii, A. Ulanovskii, Functions with disconnected spectrum,: Sampling, interpolation, translates, University Lecture Series, 65, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2016).

[36] R. Paley, On Fourier Series with Positive Coefficients, Journal of the London Mathematical Society, s1-7:3 (1932), 205-208.

[37] R. Paley, N. Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain, American Mathematical Society, Providence (1934).

[38] A. Poltoratski, A problem on completeness of exponential, Annals of Mathematics, 178 (2013), 983-1016.

[39] I. Segal, Mathematical problems of relativistic physics, American Mathematical Society, Providence, RI (1963).

[40] K. Seip, Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space. I, J. Reine Angew. Math., 429 (1992), 91-106.

[41] K. Seip, R. Wallsten, Density theorems for sampling and interpolation in the Bargmann-Fock space. II, J. Reine Angew. Math., 429 (1992), 107-113.

[42] J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin (1932).

[43] R. Young, On Complete Biorthogonal Systems, Proceedings of the American Mathematical Society, 83:3 (1981), 537-540.

[44] R.Yulmukhametov, Approximation of subharmonic functions, Anal. Math., 11:3 (1985), 257-282.