Схемотехника сверхпроводниковых квантовых цепей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Беседин Илья Станиславович

• Беседин Илья Станиславович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Беседин Илья Станиславович

Введение

Глава 1. Теоретические сведения и обзор литературы

1.1 Квантовые компьютеры и симуляторы

1.1.1 Непрерывные и дискретные симуляторы

1.1.2 Квантовый компьютер и квантовые алгоритмы

1.1.3 Квантовые процессы и супероператоры

1.2 Квантовое описание электрических цепей

1.2.1 Функции Лагранжа и Гамильтона электрической цепи. Вторичное квантование

1.2.2 Сверхпроводимость и джозефсоновский контакт

1.2.3 Кинетическая индуктивность тонких плёнок сверхпроводников

Глава 2. Резонаторы

2.1 Резонансное рассеяние

2.2 Многопроводные линии передачи

2.3 Конформное отображение многопроводниковой копланарной линии

2.4 Матрица уравнений граничных условий модели передающих

линий. Теория возмущений

2.5 Матрица граничных условий для связанного передающей линией четвертьволнового резонатора

2.6 Добротность и сдвиг частоты распределённо связанного резонатора

2.7 Сравнение с численным расчётом

Глава 3. Трансмоны

3.1 Введение

3.1.1 Зарядовый кубит и трансмон

3.1.2 Квантовая электродинамика в электрической цепи

3.1.3 Трансмон под действием микроволнового излучения.

Сфера Блоха

3.2 Трансмон в объёмном резонаторе

3.2.1 Микроволновая полость

3.2.2 Трансмон

3.3 Экспериментальная установка

3.3.1 Микроволновая электроника и импульсы

3.3.2 Криогенное окружение

3.4 Спектроскопия

3.4.1 Однотоновая спектроскопия

3.4.2 Двухтоновая спектроскопия

3.5 Импульсные измерения

3.5.1 Калибровка считывающего импульса по насыщению

3.5.2 Осцилляции Раби и Рамзея, время релаксации

3.5.3 Единовременное считывание и оптимизация считывающих импульсов

3.5.4 Гауссовые импульсы и HD DRAG

3.5.5 Рандомизированное тестирование квантовых вентилей

3.6 Выводы

Глава 4. Двухкубитный квантовый процессор на трансмонах

4.1 Описание устройства

4.1.1 Электрическая схема и гамильтониан

4.1.2 Описание измерительной установки

4.1.3 Вычислительная модель

4.2 Калибровки

4.2.1 Спектроскопия

4.2.2 Калибровка смесителей

4.2.3 Прохождение считывающих импульсов

4.2.4 Осцилляции Раби под действием прямоугольных импульсов

4.2.5 Калибровка единовременного считывания

4.2.6 Точное определение частоты кубита с помощью последовательности измерений осцилляций Рамзея

4.2.7 Осцилляции Раби под действием последовательности гауссовых импульсов переменной амплитуды

4.2.8 Двухкубитное единовременное считывание

4.2.9 Измерение точности однокубитных операций при помощи рандомизированного тестирования

4.2.10 Двухкубитный вентиль

4.3 Квантовая томография процесса

4.4 Реализация алгоритма Гровера

4.4.1 Принцип работы алгоритма Гровера

4.4.2 Постановка задачи для двухкубитного сверхпроводникового квантового процессора

4.4.3 Результаты измерений

4.5 Выводы

Глава 5. Цепочка трансмонов

5.1 Описание эксперимента

5.2 Основные результаты эксперимента

5.2.1 Однофотонные возбуждения

5.2.2 Двухфотонные связанные состояния

5.2.3 Формирование дублонных зон

5.3 Экспериментальные и теоретические методы

5.3.1 Двухфотонные волновые функции

5.3.2 Изготовление образца

5.3.3 Измерение населённости трансмонов

5.3.4 Симуляция стационарной населённости узлов

5.3.5 Модель электрической цепи

5.3.6 Калибровка частот трансмонов

5.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Базис Паули и группа Клиффорда

Приложение Б. Результаты измерений проекций процессов для

квантовой томографии

Приложение В. Измерение вольт-амперной характеристики

джозефсоновского контакта

Приложение Г. Результаты экспериментальных измерений резонаторов с конечной кинетической индуктивностью и учёт поправки на кинетическую индуктивность в расчётах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Схемотехника сверхпроводниковых квантовых цепей»

Введение

Одно из первых обстоятельных и получивших популярность описаний концепции квантовой симуляции было дано Р. Фейнманом [1]. В её основе лежит невозможность эффективной симуляции поведения большой квантовомеханической системы на классическом вычислительном устройстве, и предположение, что для эффективной симуляции эволюции квантовомеханической системы можно использовать другую квантовомеханическую систему. Позже было показано, что универсальный квантовый компьютер может быть использован и для решения других, не связанных напрямую с квантовой механикой задач, таких как факторизация больших чисел [2]. В основе любой реализации квантового компьютера лежит система управляемых связанных квантовых степеней свободы, например ядерных спинов [3], различных переходов в ионах [4] или нейтральных атомах [5]. Степени свободы могут быть и искусственными, например, уровни энергии в сверхпроводниковых квантовых электрических цепях [6].

Сверхпроводниковые квантовые электрические цепи - это интегральные электрические микросхемы, в которых энергии сигналов сопоставимы с энергией кванта [7]. Наибольшую практическую значимость для квантовых компьютеров и симуляторов имеют сверхпроводниковые кубиты - искусственные квантовые двухуровневые системы. Наибольшее распространение получил самый простой кубит - трансмон [8], который представляет собой нелинейный ЬС-контур. Нелинейность обеспечивается за счёт джозефсоновского контакта, который играет роль индуктивности в этой цепи. На основе трансмонов созданы управляемые массивы "среднего" числа кубитов (на сегодняшний день - до 53-х [9]), на которых были продемонстрированы и охарактеризованы все типы операций, требуемые для реализации универсального квантового компьютера. Практическая значимость таких вычислительных устройств невысока: 53 кубитов - это недостаточно, чтобы решить какую-то полезную задачу При меньших размерах квантовой системы она может быть легко просимулирована с помощью гораздо более простого в применении классического компьютера. Таким образом, масштабирование является одной из первостепенных задач, стоящих на пути к созданию практически полезного квантового компьютера.

На сегодняшний день направление сверхпроводниковых кубитов получило очень большое развитие по всему миру, и существует большое количество

научных коллективов, опубликовавших хотя бы одну работу по реализации универсального набора квантовых логических операций на двухкубитной системе, в первую очередь - в США [10—14]. Данное направление развивается и в других странах, в том числе в Китае [15], Нидерландах [16], Швейцарии [17], Японии [18], Англии [19]. Следует отметить, что все перечисленные работы в качестве кубита используют трансмон. Эта же задача - реализация полноценного двухку-битного квантового процессора на трансмонах - была поставлена перед автором. Несмотря на важное значение для развития направления квантовых вычислений на сверхпроводниковых кубитах в России, эта задача едва ли претендует научную новизну в мировом масштабе. В связи с этим результаты реализации двухкубит-ного квантового процессора не выносятся в качестве положений на защиту.

Наиболее существенной проблемой при масштабировании универсальных квантовых компьютеров является необходимость в большом количестве аналоговых контрольных сигналов. В получивших на сегодняшний день распространение архитектурах универсальных квантовых компьютеров операции над кубитами осуществляются посредством аналоговых сигналов. Это ставит современные квантовые компьютеры в класс аналоговых вычислительных устройства. Для любого аналогового вычислительного устройства остро стоит проблема накопления ошибок. Такие ошибки возникают, например, в из-за шумов и наводок в управляющих сигналах.

С другой стороны, квантовые симуляторы на основе нейтральных атомов [20] и ионов [21] существенно лучше масштабируются, чем универсальные квантовые компьютеры. Во-первых, результат симуляции может представлять физический интерес даже в том случае, если он получен с ошибкой, при условии, что влияние ошибок адекватно оценено. Во-вторых, для симулятора необязательна универсальность: конкретный симулятор может быть использован для решения узкого класса задач, что существенно уменьшает количество необходимых контрольных сигналов.

Сверхпроводниковые квантовые метаматериалы - новое направление, которое предлагает подход к созданию квантовых симуляторов на основе сверхпроводниковых квантовых электрических цепей без необходимости большого количества контрольных линий. В отличие от универсальных квантовых вычислительных устройств, где используется адресация управляющих сигналов, метаматериал предполагает приложение глобальных управляющих полей ко всему массиву кубитов одновременно, и измерение глобального отклика всего

массива. Наиболее простые и в то же время интересные с фундаментальной и теоретической точки зрения системы, которые могут быть исследованы в концепции метаматериала - это массивы кубитов, связанные с электромагнитным полем [22] и цепочки кубитов с взаимодействием между ближайшими соседями [23].

Актуальность работы обусловлена, с одной стороны, потребностью в масштабировании сверхпроводниковых квантовых электрических цепей, используемых для квантовой симуляции, а с другой стороны - интересом к практической реализации универсального квантового компьютера и квантовых симуляторов среднего масштаба с десятками кубитов. Исследованные в диссертации структуры на основе трансмонов и методы реализации квантовых вентилей могут быть использованы при разработке таких устройств.

Цель работы - проектирование, теоретическое и экспериментальное исследование сверхпроводниковых квантовых электрических схем и метаматериалов на их основе. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать аналитический метод расчёта внешней добротности сверхпроводниковых копланарных резонаторов, связанных посредством распределённых взаимных индуктивностей и ёмкостей с передающей линией;

2. Развить методы проектирования и измерения характеристик систем сверхпроводниковых кубитов, связанных как с объёмными, так и с ко-планарным резонаторами;

3. Разработать экспериментальную установку для измерения микроволнового отклика сверхпроводниковых квантовых электрических схем;

4. Реализовать вентиль iSWAP в двухкубитной схеме на основе трансмо-нов;

5. Продемонстрировать работу простейшего квантового алгоритма - алгоритма Гровера - на квантовом процессоре из двух кубитов;

6. Разработать и исследовать симулятор интересной квантовой системы — гамильтониана Бозе-Хаббарда для модели Су-Шриффера-Хигера.

Научная новизна:

1. Впервые получена аналитическая модель для частоты и внешней добротности копланарного резонатора со слабой распределённой связью с передающей линией в геометрии, используемой для частотно-мультиплексированного считывания кубитов;

2. В квантовом метаматериале на основе цепочки ёмкостно связанных сверхпроводниковых кубитов-трансмонов, реализующий гамильтониан Бозе-Хаббарда с константами связи, отвечающими модели Су-Шриффера-Хигера, впервые экспериментально исследованы зоны двухфотонных возбуждений - дублонов.

Практическая значимость связана, во-первых, с возможностью использования аналитической модели для быстрого проектирования систем частотно-мультиплексированного считывания в микроволновых интегральных микросхемах, и во-вторых, с демонстрацией возможности использования сверхпроводниковых электрических цепей для симуляции квантовой динамики больших систем мета-атомов. Кроме того, развитые методы проектирования сверхпроводниковых схем с кубитами и импульсные методы реализации вентилей являются фундаментом для построения более масштабных квантовых процессоров и симуляторов на основе сверхпроводниковых кубитов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан оригинальный метод расчёта вносимой добротности копла-нарного резонатора, позволяющий на основе аналитических формул принципиально ускорить масштабирование микросхем с частотным мультиплексированием сигнала.

2. Разработан метод проектирования сверхпроводниковых кубитов-трансмонов, связанных с объёмным резонатором, и алгоритм калибровки квантовых вентилей и считывания. Впервые в России реализована логическая операция в сверхпроводящем кубите-трансмоне.

3. Впервые разработан и экспериментально исследован метаматериал на основе цепочки ёмкостно связанных сверхпроводниковых кубитов-трансмонов, в котором реализуется гамильтониан Бозе-Хаббарда с константами связи, отвечающими модели Су-Шриффера-Хигера. В этом метаматериале впервые обнаружены дублонные зоны и зарождение краевого дублона.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

1. конференция "Оптические и информационные технологии" (Новосибирск, 2017) - приглашённый устный доклад,

2. международная конференция "Лазерные и плазменные технологии" (Москва, 2017) - устный доклад,

3. международная конференция "Superconducting Quantum Technologies" (Москва, 2018) - стендовый доклад,

4. 687. WE-Heraeus-Seminar "Scalable Hardware Platforms for Quantum Computing" (Bad Honnef, Германия, 2019) - стендовый доклад,

5. V International Conference on Quantum Technologies (Москва, 2019) - стендовый доклад,

6. IV International Conference on Quantum Technologies (Москва, 2021) - устный доклад.

Личный вклад. Автор самостоятельно получил аналитические выражения для добротности и частоты копланарного резонатора, проектировал микросхемы и рассчитывал их свойства, проектировал экспериментальную установку, программировал сценарии микроволновых измерений, проводил измерения, автоматизировал обработку их результатов, проводил квантовомеханические и электродинамические симуляции исследованных систем. Автор также принимал активное участие в интерпретации экспериментальных результатов и подготовке публикаций.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 3 статьях в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus; одна из этих статей опубликована в журнале, также рекомендованном ВАК.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и четырёх приложений. Полный объём диссертации составляет 217 страниц, включая 84 рисунка и 8 таблиц. Список литературы содержит 107 наименований.

Глава 1. Теоретические сведения и обзор литературы 1.1. Квантовые компьютеры и симуляторы 1.1.1. Непрерывные и дискретные симуляторы

Симулятор - это физическое устройство, которое воспроизводит поведение какой-то заданной системы. Для классических динамических систем, состояние которых однозначно задаётся координатами и импульсами всех её частиц, симуляция - это интегрирование этих уравнений движения (1.1):

= (1 1)

Яп = !п(0-1, ••• , Уп, 9п(^))-

Система с п степенями свободы задаётся п уравнениями. В качестве симуля-тора системы может выступать любая другая система, подчиняющаяся таким же уравнениям. Для этого в ней, очевидно, так же должно быть не менее п степеней свободы. От симулятора, как правило, хотят получить решение ••■ в момент времени при заданном начальном условии

Я1(^о),Я2(^о), ••• ,Яп(^о). Система может находится под воздействием внешних сил, зависящих от времени [д^(Ь)}г-=1. У такой симуляции всегда есть конечная точность: во-первых, сами уравнения движения и начальные условия симулируемой системы известны лишь с какой-то точностью; во-вторых, точность задания коэффициентов в уравнениях в симуляторе также конечна.

С точки зрения практического применения не важно, в каком виде существует симулятор, если он быстро и практично приходит к правильному результату. Симулятор может существовать в виде "компьютера" (вычислительной машины или человека), который выполняет математические операции по решению уравнений (1.1). Для такого симулятора существует очевидная трудность - невозможность их решения в общем виде с помощью конечного числа математических операций. Это свойство называется невычислимостью, и связано с тем, что

переменные 00,01, ■ ,Оп и £ могут принимать бесконечное число значений, и формально для их учёта необходимо бесконечное количество вычислительных операций с бесконечной точностью. Чтобы свести задачу симуляции к чему-то, что можно решить в общем виде, используется дискретизация переменных. Аппроксимированные уравнения могут решаться на цифровых компьютерах:

о\+1 = + Ь^д^дЪ, ■ Яг2+1 = 0.2 + Ь/ъЫ!' 0.2, ■■■1 О-гл 92),

Оп Оп 0.1, 0.2, • • •, Оп, 9п),

где Н называется временным шагом, а координаты и коэффициенты принимают конечный набор возможных значений, дг- Е Ж/ЫЖ, где d = N - разрядность переменных. Верхний индекс здесь и далее обозначает номер шага по времени. Эти уравнения, помимо того, что они являются приближением для динамики любой классической непрерывной системы, являются общим видом описания любой дискретной системы - например, того же самого цифрового компьютера.

В качестве примера универсального вычислительного устройства используют машину Тьюринга - абстрактное математическое устройство, в состав которого входит "лента", "каретка" и машина состояний. "Лента" представляет собой счётный бесконечный набор дискретных ячеек каждая из ко-

торых может принимать одно из конечного множества значений, и может быть изменена в процессе работы машины (память). "Каретка" - это указатель текущего положения на ленте, её можно двигать на конечное количество ячеек в любую сторону. На каждом дискретном временном шаге машина состояний выполняет команду, соответствующую данному состоянию. По команде машина Тьюринга может включать чтение значения из текущей ячейки памяти, и в зависимости от прочитанного значения, изменять своё состояние, записывать значение в текущую ячейку памяти и двигать ленту на конечное число шагов в любую сторону.

Универсальность машины Тьюринга заключается в том, что не существует более "сильного" дискретного вычислительного устройства, чем машина Тьюринга: согласно гипотезе Чёрча-Тьюринга, машина Тьюринга способна вычислить любую алгоритмически вычислимую функцию. Таким образом, принадлежность вычислительного устройства к классу универсальных определяется как способность про симулировать работу машины Тьюринга. Формально размер ленты в машине Тьюринга бесконечен. Если размер ленты машины Тьюринга ограничить,

то это будет обыкновенная машина состояний, или конечный автомат; уравнения (1.2) как раз описывают конечный автомат общего вида.

Конечные автоматы интересны тем, что несмотря на всю их сложность, у них ограниченный набор состояний, который определяется всевозможными комбинациями значений динамических переменных. Для простоты допустимые состояния д = {я1,я2, • ,Яп] конечного автомата можно нумеровать одним (очень большим) скалярным индексом 5 £ 1,2, • , М, М = а внешние воздействия - д1,д2, • ,дп - числом с большим количеством разрядов С. С такими обозначениями уравнения (1.2) можно переписать в виде

8г+1 = 8г + Нр(8г,аг)^ (1.3)

Кроме цифровых симуляторов, которые, как правило, реализуют в виде программ для компьютеров общего назначения, до 90-х годов существовали аналоговые компьютеры. Аналоговые компьютеры также использовались для расчёта эволюции динамических систем без дискретизации. Ограниченная точность аналоговых устройств не позволяет решить невычислимые задачи, зато им требуется значительно меньше ресурсов: для хранения состояния с разрядностью ё, в цифровом компьютере требуется в ё, раз больше ячеек памяти, чем в аналоговом компьютере. Похожая ситуация и с количеством элементарных физических операций, необходимых для перехода ^ . В качестве награды за замену маленького по размеру аналогового компьютера на дискретный (цифровой) компьютер мы получаем мультистабильность. Так, например, в цифровом компьютере на транзисторах один бит может принимать лишь значения "0" или "1"; если какое-то внешнее воздействие, например космическая частица, приведёт к не слишком большому изменению напряжения на бите, то отрицательная обратная связь вернёт бит в ближайшее допустимое состояние. В принципе, аналоговые компьютеры существуют и по сей день, но создание таких устройств сегодня не оправдывает затраченных на них усилий - гораздо проще и надёжнее запрограммировать цифровой компьютер общего назначения.

Ошибки могут возникать как в цифровых, так и в аналоговых компьютерах. Ошибка - это неправильное и зачастую непредсказуемое изменение значения динамических переменных; у цифрового компьютера, в силу конечности количества состояний, распределение вероятности по возможным конечным состояниям после одного такта имеет конечные значения, в том числе возможно полностью безошибочное поведение. В аналоговом симуляторе множество состояний

бесконечно, распределение вероятности является плотностью распределения; вероятность безошибочного поведения за единицу времени равна строго нулю. При построении большого вычислительного устройства необходимо учитывать, как растёт вероятность хотя бы одной ошибки в нём, с увеличением количества динамических переменных. Наиболее простые и частые ошибки - некоррелированные ошибки одной степени свободы. Для цифрового компьютера - это случайный переворот бита, который может произойти в любом такте с равной вероятностью. Именно такие ошибки легче всего корректировать. Другой возможный тип ошибок - это одновременное изменение двух или более рядом находящихся битов. При этом "рядом" может означать как физическую близость внутри симулятора, так и то, что изменение состояния этих битов от такта к такту взаимосвязано. Такие ошибки называют локальными, и с ними, в принципе, тоже можно бороться.

Безошибочный режим работы компьютера важен в задачах, где из-за них может возникнуть неустойчивость. Для непрерывных динамических систем неустойчивость означает, что небольшие ошибки в начальный момент времени могут привести к произвольно большому отклонению траектории от истинной через достаточно большое время. Неустойчивости возникают в динамических системах, где затухание мало. Некоторые интегралы движения (например, энергия или импульс) могут быть не подвержены таким неустойчивостям. С другой стороны, в больших физических системах именно такие физические неустойчивости в симулируемой системе являются причиной термализации и необратимости динамики. Если ошибки в симуляторе термализуют симуляцию похожим способом, но медленнее чем система термализуется сама из-за случайных внешних сил дп(£), то ошибки могут и не оказывать влияние на конечный результат расчёта.

1.1.2. Квантовый компьютер и квантовые алгоритмы

Состояние дискретной квантовой системы с п степенями свободы описывается не п переменными с N возможными состояниями каждая, а волновой функцией ф(д1, д2, ■ , дп), которая определена на множестве наборов из п положительный целых чисел не превышающих N (Ж/МЖ)п и принимает непрерывный ряд комплексных значений. Динамические уравнения для дискретной квантовой системы - это уравнение Шрёдингера, только с дискретным време-

нем, и вместо динамических переменных оно составлено относительно амплитуд вероятностей сд д д — ф(д1,д2,..., яп). Для упрощения обозначений можно использовать скалярный индекс с], как в соотношении (1.3). В силу линейности уравнения Шрёдингера динамическая система для амплитуд вероятности линейна:

— с\ + ИЗцс! + Н812^2 + ••• + hslмcм, С2+1 — с2 + Ьв21с1 + Н822с2 + ••• + ,

(1.4)

С.М1 — СМ + Ь$М1С1 + + ••• + Ь$ММСМ-

Квадрат модуля волновой функции является вероятностью обнаружить систему в состоянии, отвечающему аргументу волновой функции. Сумма таких квадратов модулей (Ь2-норма волновой функции) должна давать полную вероятность найти квантовую систему в любом состоянии - единицу.

м

2

]—1

Закон эволюции динамической системы (1.4) должен обладать свойством унитарности, то есть сохранять Ь2-норму векторов состояния \ф) — {с]}]—1.

Основной тезис работы Фейнмана [1] заключается в том, что симуляция квантовой системы интегрированием уравнений (1.4) неэффективна. При этом эффективность здесь понимается как количество вычислительных ресурсов (шагов динамической системы и количества динамических переменных или памяти), необходимых для симуляции. Квантовая динамическая система с п степенями свободы по N возможных конечных значений симулируется классической динамической системой с Мп непрерывными переменными. Это экспоненциальная зависимость; она несвойственна для классических симуляторов классических систем, где в количество памяти (и операций), необходимых для симулятора, является полиномиальной функцией числа степеней свободы и количества операций, необходимых самой симулируемой системе, для реализации функции Е(вг,Сг).

Самая простая квантовая степень свободы - это двухуровневая система, или кубит. Физическая система, которая реализует кубит, может быть какой угодно; это может быть спин ядра или электрона, состояние одноэлектронного атома (при условии, что в течении работы квантового симулятора он будет находиться только

в двух состояниях), или вовсе какая-нибудь макроскопическая степень свободы. В качестве обозначений для состояния кубита принято использовать символы |0) и 11). Эти состояния являются собственными для оператора Паули az и соответствуют собственным значениям +1 и —1 этого оператора. Двухкубитные состояния, или состояния квантового симулятора из двух кубитов, представляются в виде суперпозиции состояний |00), |01), |10), |11), где первый разряд (справа налево) обозначает состояние первого кубита, а второй - второго. Эти состояния являются собственными для операторов а^ и о)22, действующих только на первый и только на второй кубит. Операторы а^ и а^ называются однокубитными.

На практике для описания алгоритмов используют квантовые "вентили", т.е. операции, отвечающие определённому n-кубитному оператору. Для того, чтобы эффективно реализовать любой квантовый алгоритм, достаточно, чтобы на каждом кубите были реализованы любые два однокубитных вентиля, являющиеся генераторами группы SU(2), например вентиль Адамара Н и вращения фазы на угол ж/4 Т, и любой двухкубитный запутывающий вентиль, например, CX. Матрицы операторов этих вентилей имеют вид:

CX =

(1 0 0 0\ 0100 0 0 0 1 \0 0 1 0J

н =

1

V2

(1 1) т=(1 0) \1 —1у \0 ешI4) '

Кроме того, универсальный квантовый компьютер должен реализовать возможность считывания состояния кубита. При этом гильбертово пространство состояний квантового компьютера проецируется на подпространство, соответствующее считанному (случайному) значению кубита.

1.1.3. Квантовые процессы и супероператоры

Действие ошибок как на классические, так и на квантовые конечные автоматы можно рассмотреть как случайный процесс. В этом формализме вместо детерминистических законов эволюции состояния (1.2) и (1.4) рассматриваются вероятности переходов из состояний в состояния. Для классического дискретного симулятора обозначим вероятность на ¿-том временном шаге находиться в состоянии 5 как р(в). Величина р(в) - это функция распределения состояния системы.

Для функции распределения выполняются свойства нормировки и неотрицательности:

м

- сумма вероятностей всех состояний равна единице: ^ р(в) = 1,

¿=1

- все вероятности неотрицательны: р(в) > 0.

Вероятность перехода из состояния в состояние зг+1 в зависимости от внешних сил Сг обозначим как Ж (зг+1|зг, С1). Величина Ж (зг+1|зг, С1) в таком случае играет роль условной вероятности, а уравнение эволюции принимает вид

м

р (вг+1) = ^ ^ (зг+11зг, С1) р (зг). (1.5)

Закон эволюции случайного дискретного симулятора сводится к детерминистическому закону, когда вероятность одного перехода равна единице, а все остальные вероятности - нулевые:

, + . (1, если зг+1-8г = иГ(зг,Ог),

Ш(81+11з\С1) = I к 7 (1.6)

[0, иначе.

Случай, когда вся зависимость динамики системы от предыдущих состояний сводится к текущему состоянию, называется марковским. Классический случайный конечный автомат также называют марковской цепью. Закон эволюции марковской цепи (1.5) можно записать в матричном виде: эволюция распределения вероятности является линейной; это является фундаментальным свойством теории вероятности. В матричном представлении распределение вероятности р(в) является вектором.

У закона эволюции марковской цепи есть те же свойства нормировки и неотрицательности вероятности, что и у распределения вероятности:

- сумма вероятностей всех конечных состояний равна единице для любого

м

начального состояния: ^ Ш (8%+11з%,С%) = 1.

- все условные вероятности неотрицательны Ш (зг+1|зг, Сг) > 0.

Утверждение о сохранение полной вероятности в терминах линейной алгебры можно сформулировать как сохранение Ь1 -нормы вектора состояния случайной дискретной динамической системы.

В квантовой системе по аналогии можно ввести распределение вероятности по волновым функциям р(ф) = р(с1, с2,..., см), но из-за непрерывного характера значений волновой функции, это будет плотностью вероятности. Если умножить

плотность вероятности на меру р^Ы) бесконечно малого множества dП, то это будет вероятностью вектору состояния оказаться внутри этого множества:

Р(ф е dП) — р(\ф))^П). (1.7)

Используя правило Борна можно записать математическое ожидание значения произвольной наблюдаемой величины О, соответствующей оператору О:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беседин Илья Станиславович, 2022 год

Список литературы

1. Feynman, R. P. Simulating physics with computers [Text] / R. P. Feynman // International Journal of Theoretical Physics. — 1982. — Vol. 21, no. 6. — P. 467—488.

2. Shor, P. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring [Text] / P. Shor //. — Institute of Electrical, Electronics Engineers (IEEE), 12/1994. - P. 124-134.

3. Gershenfeld, N. A. Bulk spin-resonance quantum computation [Text] / N. A. Ger-shenfeld, I. L. Chuang // Science. - 1997. - Jan. - Vol. 275, no. 5298. -P. 350—356.

4. Cirac, J. I. Quantum computations with cold trapped ions [Text] / J. I. Cirac, P. Zoller // Physical Review Letters. — 1995. — Vol. 74, no. 20. — P. 4091-4094.

5. Fast Quantum Gates for Neutral Atoms [Text] : tech. rep. / D. Jaksch [et al.]. — 2000.

6. Nakamura, Y. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box [Text] / Y. Nakamura, Y. A. Pashkin, J. S. Tsai // Nature. — 1999.

7. Leggett, A. J.Macroscopic Quantum Systems and the Quantum Theory of Measurement [Text] / A. J. Leggett//Progress of Theoretical Physics Supplement. — 1980. — Mar. — Vol. 69. — P. 80—100.

8. Charge-insensitive qubit design derived from the Cooper pair box [Text] / J. Koch [et al.] // Physical Review A. — 2007. — Oct. — Vol. 76, no. 4.

9. Quantum supremacy using a programmable superconducting processor [Text] / F. Arute [et al.] // Nature. — 2019.

10. Demonstrating a Continuous Set of Two-Qubit Gates for Near-Term Quantum Algorithms [Текст] / B. Foxen [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Сент. — Т. 125, вып. 12. - С. 120504.

11. Procedure for systematically tuning up cross-talk in the cross-resonance gate [Текст] / S. Sheldon [и др.] //Phys. Rev. A. — 2016. —Июнь. — Т. 93, вып. 6. — С. 060302.

12. Implementation of XY entangling gates with a single calibrated pulse [Текст] / D. M. Abrams [и др.] // Nature Electronics. — 2020. — Т. 3, № 12. — С. 744—750.

13. Realization of High-Fidelity CZ and ZZ -Free iSWAP Gates with a Tunable Coupler [Текст] / Y. Sung [и др.] // Physical Review X. — 2021.

14. Suppression of Qubit Crosstalk in a Tunable Coupling Superconducting Circuit [Текст] / P. Mundada [и др.] // Phys. Rev. Applied. — 2019. — Нояб. — Т. 12, вып. 5.— С. 054023.

15. High-Fidelity, High-Scalability Two-Qubit Gate Scheme for Superconducting Qubits [Текст] / Y. Xu [и др.] // Physical Review Letters. — 2020.

16. High-Fidelity Controlled- Gate with Maximal Intermediate Leakage Operating at the Speed Limit in a Superconducting Quantum Processor [Текст] / V. Negirneac [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Июнь. — Т. 126, вып. 22. — С. 220502.

17. Implementation of Conditional Phase Gates Based on Tunable ZZ Interactions [Текст] / M. C. Collodo [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Дек. — Т. 125, вып. 24. - С. 240502.

18. Fast parametric two-qubit gates with suppressed residual interaction using the second-order nonlinearity of a cubic transmon [Текст] / A. Noguchi [и др.] // Phys. Rev. A. — 2020. — Дек. — Т. 102, вып. 6. — С. 062408.

19. Calibration of a Cross-Resonance Two-Qubit Gate Between Directly Coupled Transmons [Текст] / A. Patterson [и др.] // Phys. Rev. Applied. — 2019. — Дек. — Т. 12, вып. 6. — С. 064013.

20. Probing many-body dynamics on a 51-atom quantum simulator [Text] / H. Bernien [et al.] // Nature. — 2017. — Nov. — Vol. 551, no. 7682. — P. 579—584.

21. Observation of a many-body dynamical phase transition with a 53-qubit quantum simulator [Text] / J. Zhang [et al.] // Nature. — 2017. — Nov. — Vol. 551, no. 7682. — P. 601—604.

22. Observation of a collective mode of an array of transmon qubits [Text] / K. V. Shulga [et al.] // JETP Letters. - 2017.

23. Implementation of a quantum metamaterial using superconducting qubits [Text] / P. Macha [et al.] // Nature Communications. — 2014.

24. Choi, M. D. Completely positive linear maps on complex matrices [Text] / M. D. Choi // Linear Algebra and Its Applications. — 1975. — Vol. 10, no. 3. — P. 285—290.

25. Vool, U. Introduction to quantum electromagnetic circuits [Text] / U. Vool, M. Devoret // International Journal of Circuit Theory and Applications. — 2017. — Vol. 45, no. 7. — P. 897—934.

26. A broadband superconducting detector suitable for use in large arrays [Text] / P. K. Day [et al.] // Nature. — 2003. — Vol. 425, no. 6960. — P. 817—821.

27. Flux-driven Josephson parametric amplifier [Text] / T. Yamamoto [et al.] // Applied Physics Letters. — 2008. — Vol. 93, no. 4.

28. Strong coupling of a single photon to a superconducting qubit using circuit quantum electrodynamics [Text] / A. Wallraff [et al.] // Nature. — 2004. — Vol. 431, no. 7005. — P. 162—167.

29. Childress, L. Mesoscopic cavity quantum electrodynamics with quantum dots [Text] / L. Childress, a. S0rensen, M. Lukin // Physical Review A. — 2004. — Vol. 69, no. 4. — P. 042302.

30. Hybrid quantum circuit with a superconducting qubit coupled to a spin ensemble [Text] / Y. Kubo [et al.] // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 107, no. 22.

31. Frequency division multiplexing readout and simultaneous manipulation of an array of flux qubits [Text] / M. Jerger [et al.] // Applied Physics Letters. — 2012. - Vol. 101, no. 4.

32. Coplanar waveguide resonators for circuit quantum electrodynamics [Text] / M. Göppl [et al.] // Journal of Applied Physics. — 2008. — Vol. 104, no. 11. — P. 113904.

33. Inductively coupled superconducting half wavelength resonators as persistent current traps for ultracold atoms [Text] / D. Bothner [et al.] // New Journal of Physics. —2013. — Vol. 15.

34. An analysis method for asymmetric resonator transmission applied to superconducting devices [Text] / M. S. Khalil [et al.] // Journal of Applied Physics. — 2012. - Vol. 111, no. 5.

35. Fast accurate state measurement with superconducting qubits [Text] / E. Jeffrey [et al.] // Physical Review Letters. — 2014. — Vol. 112, no. 19.

36. Wheeler, H. A. Transmission-Line Properties of Parallel Wide Strips by a Conformal-Mapping Approximation [Text] / H. A. Wheeler // IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques. —1964. —Vol. 12, no. 3. —P. 280—289.

37. Wen, C. Coplanar Waveguide: A Surface Strip Transmission Line Suitable for Nonreciprocal Gyromagnetic Device Applications [Text] / C. Wen// IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1969. — Vol. 17, no. 12. — P. 1087-1090.

38. Veyres, C. Extension of the application of conformal mapping techniques to coplanar lines with finite dimensions [Text] / C. Veyres, V. Fouad Hanna // International Journal of Electronics. — 1980. — Vol. 48, no. 1. —P. 47—56.

39. Ghione, G. Coplanar Waveguides for MMIC Applications: Effect of Upper Shielding, Conductor Backing, Finite-Extent Ground Planes, and Line-to-Line Coupling [Text] / G. Ghione, C. U. Naldi // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1987. — Vol. 35. — P. 260—267.

40. Linner, L. J. A Method for the Computation of the Characteristic Immittance Matrix of Multiconductor Striplines with Arbitrary Widths [Text] / L. J. Linner // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 1974. — Vol. 22, no. 11. - P. 930-937.

41. Ghione, G. An efficient, CAD-oriented model for the characteristic parameters of multiconductor buses in high-speed digital GaAs ICs [Text] / G. Ghione // Analog Integrated Circuits and Signal Processing. — 1994. — Vol. 5, no. 1. — P. 67—75.

42. Conformal mapping for multiple terminals [Text] / W. Wang [et al.] // Nature Publishing Group. —2016. —November. —P. 1—10.

43. Modeling the Conductor Losses of Thick Multiconductor Coplanar Waveguides and Striplines: A Conformal Mapping Approach [Text] / F. Bertazzi [et al.] // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. — 2016. — Vol. 64, no. 4. - P. 1217-1227.

44. Efficient and robust analysis of complex scattering data under noise in microwave resonators [Text] / S. Probst [et al.] // Review of Scientific Instruments. — 2015. — Vol. 86, no. 2.

45. Paul, C. R. Analysis of Multiconductor Transmission Lines [Text] / C. R. Paul. — 2nd. — Wiley-IEEE Press, 2007.

46. A. Barybin, A. Modern electrodynamics and coupled-mode theory: Application to guided-wave optics [Text] / A. A. Barybin, V. Dmitriev. — 2002.

47. Besedin, I. Quality factor of a transmission line coupled coplanar waveguide resonator [Text] /1. Besedin, A. P. Menushenkov // EPJ Quantum Technology. — 2018. — Jan. —Vol. 5, no. 1. — P. 2.

48. Martinis, J. M. Superconducting phase qubits [Text] / J. M. Martinis // Quantum Information Processing. — 2009.

49. Approaching unit visibility for control of a superconducting qubit with dispersive readout [Text] / A. Wallraff [etal.] //Physical Review Letters. —2005. — Aug. — Vol. 95, no. 6. — P. 060501.

50. Three-Dimensional Superconducting Resonators at T < 20 mK with Photon Lifetimes up to t > 2 ms [Text] / A. Romanenko [et al.] // Physical Review Applied. — 2020.

51. Boissonneault, M. Dispersive regime of circuit QED: Photon-dependent qubit dephasing and relaxation rates [Text] / M. Boissonneault, J. M. Gambetta, A. Blais // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2009. — Vol. 79, no. 1.

52. Pozar, D. M. Microwave engineering [Text] / D. M. Pozar. — Fourth edition. Hoboken, NJ : Wiley, [2012] ©2012.

53. Dielectric surface loss in superconducting resonators with flux-trapping holes [Text] / B. Chiaro [et al.] // Superconductor Science and Technology. — 2016.

54. Qubit architecture with high coherence and fast tunable coupling [Text] / Y. Chen [et al.] // Physical Review Letters. — 2014. — Vol. 113, no. 22.

55. Energy-participation quantization of Josephson circuits [Text] / Z. K. Minev [etal.]. —2020. — Oct.

56. Clerk, A. A. Using a qubit to measure photon-number statistics of a driven thermal oscillator [Text] / A. A. Clerk, D. W. Utami // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2007.

57. Lukashenko, A. Improved powder filters for qubit measurements [Text] / A. Lukashenko, A. V. Ustinov // Review of Scientific Instruments. — 2008.

58. Microwave attenuators for use with quantum devices below 100 mK [Text] / J. H. Yeh [et al.] // Journal of Applied Physics. — 2017.

59. High-fidelity readout in circuit quantum electrodynamics using the jaynes-cummings nonlinearity [Text] / M. D. Reed [et al.] // Physical Review Letters. — 2010. — Vol. 105, no. 17.

60. Measurement-Induced State Transitions in a Superconducting Qubit: Beyond the Rotating Wave Approximation [Text] / D. Sank [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2016. — Nov.— Vol. 117, no. 19. — P. 190503.

61. Simple Pulses for Elimination of Leakage in Weakly Nonlinear Qubits [Text] / F. Motzoi [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Sept. — Vol. 103, no. 11. — P. 110501.

62. Reduced phase error through optimized control of a superconducting qubit [Text] / E. Lucero [et al.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2010. — Oct. — Vol. 82, no. 4. — P. 042339.

63. Randomized benchmarking of quantum gates [Text] / E. Knill [et al.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2008.

64. Efficient measurement of quantum gate error by interleaved randomized benchmarking [Text] / E. Magesan [et al.] // Physical Review Letters. — 2012.

65. Magesan, E. Characterizing quantum gates via randomized benchmarking [Text] / E. Magesan, J. M. Gambetta, J. Emerson // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2012.

66. Gross, D. Evenly distributed unitaries: On the structure of unitary designs [Text] / D. Gross, K. Audenaert, J. Eisert // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — May. — Vol. 48, no. 5. — P. 052104.

67. Разработка сверхпроводящих кубитов в России [Текст] / И. С. Беседин [и др.] // Квантовая электроника. — 2018. — Т. 48, вып. 10. — С. 880—885.

68. Tunable Coupling Scheme for Implementing High-Fidelity Two-Qubit Gates [Text] / F. Yan [et al.] // Physical Review Applied. — 2018. — Nov. — Vol. 10, no. 5. — P. 054062.

69. Universal Gate for Fixed-Frequency Qubits via a Tunable Bus [Text] / D. C. McKay [et al.] // Physical Review Applied. — 2016.

70. Rigetti, C. Fully microwave-tunable universal gates in superconducting qubits with linear couplings and fixed transition frequencies [Text] / C. Rigetti, M. De-voret // Physical Review B - Condensed Matter and Materials Physics. — 2010.

71. Gambetta, J. M. Control of Superconducting Qubits [Text] / J. M. Gambetta //. — 2013. - Chap. B4.

72. Analysis of a parametrically driven exchange-type gate and a two-photon excitation gate between superconducting qubits [Text] / M. Roth [et al.] // Physical Review A. —2017.

73. Performing a calibration process in a quantum computing system [Text] : pat. req. US10282675B2 US / B. J. Bloom [et al.] (US); R. C. Inc. — 03/07/2019.

74. Jamiolkowski, A. Linear transformations which preserve trace and positive semidefiniteness of operators [Text] / A. Jamiolkowski // Reports on Mathematical Physics. — 1972.

75. Universal quantum gate set approaching fault-tolerant thresholds with superconducting qubits [Text] / J. M. Chow [et al.] // Physical Review Letters. — 2012.

76. Self-consistent quantum process tomography [Text] / S. T. Merkel [et al.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2013.

77. Gr over, L. K. A fast quantum mechanical algorithm for database search [Text] / L. K. Grover // Proceedings of the Annual ACM Symposium on Theory of Computing. — 1996.

78. Demonstration of two-qubit algorithms with a superconducting quantum processor [Text] / L. Dicarlo [et al.] // Nature. — 2009.

79. Characterization of a two-transmon processor with individual single-shot qubit readout [Text] / A. Dewes [et al.] // Physical Review Letters. — 2012.

80. Jung, P. Progress in superconducting metamaterials [Text] / P. Jung, A. V. Ustinov, S. M. Anlage // Superconductor Science and Technology. — 2014. — May. — Vol. 27, no. 7. — P. 73001.

81. Magnetically induced transparency of a quantum metamaterial composed of twin flux qubits [Text] / K. Shulga [et al.] // Nature Communications. — 2018. — Vol. 9, no. 1.

82. Gorlach, M. A. Topological edge states of bound photon pairs [Text] / M. A. Gorlach, A. N. Poddubny // Physical Review A. — 2017.

83. Topological two-body bound states in the interacting {H}aldane model [Text] / G. Salerno [etal.] //Phys. Rev. A. —2018. — Jan. — Vol. 97, no. 1. — P. 13637.

84. Topological edge states of interacting photon pairs emulated in a topolectrical circuit [Text] / N. A. Olekhno [et al.] // Nat. Commun. — 2020. — Mar. — Vol. 11, no. 1.

85. Interaction-induced lattices for bound states: Designing flat bands, quantized pumps, and higher-order topological insulators for doublons [Text] / G. Salerno [et al.] // Phys. Rev. Research. — 2020. — Mar. — Vol. 2, no. 1.

86. Solitons in conducting polymers [Text] / A. J. Heeger [et al.] // Rev. Mod. Phys. — 1988. — July. — Vol. 60, no. 3. — P. 781—850.

87. Topological protection of photonic path entanglement [Text] / M. C. Rechtsman [et al.] // Optica. - 2016. - Vol. 3, no. 9. - P. 925-930.

88. Mittal, S. Topologically robust transport of entangled photons in a 2D photonic system [Text] / S. Mittal, V. V. Orre, M. Hafezi // Opt. Express. — 2016. — Vol. 24, no. 14. - P. 15631-15641.

89. Topological protection of biphoton states [Text] / A. Blanco-Redondo [et al.] // Science. —2018. — Vol. 362. — P. 568—571.

90. Chiral ground-state currents of interacting photons in a synthetic magnetic field [Text] / P. Roushan [et al.] // Nat. Phys. — 2017. — Vol. 13, no. 2. — P. 146.

91. Spectroscopic signatures of localization with interacting photons in superconducting qubits [Text] / P. Roushan [et al.] // Science. — 2017.

92. Subwavelength Topological Edge States in Optically Resonant Dielectric Structures [Text] / A. P. Slobozhanyuk [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Vol. 114. - P. 123901.

93. Observation of optical Shockley-like surface states in photonic superlattices [Text] / N. Malkova [et al.] // Opt. Lett. — 2009. — June. — Vol. 34, no. 11. — P. 1633-1635.

94. Lasing in topological edge states of a one-dimensional lattice [Text] / P. St-Jean [etal.] //Nat. Photonics. —2017. — Vol. 11. — P. 651—656.

95. Observation of a symmetry-protected topological phase of interacting bosons with Rydberg atoms [Text] / S. de Léséleuc [et al.] // Science. — 2019. — Aug. — Vol. 365, no. 6455. — P. 775—780.

96. Vila, /.Role of nonlinearities in topological protection: Testing magnetically coupled fidget spinners [Text] / J. Vila, G. H. Paulino, M. Ruzzene // Physical Review B. —2019.

97. Leib, M. Bose-Hubbard dynamics of polaritons in a chain of circuit quantum electrodynamics cavities [Text] / M. Leib, M. Hartmann // New Journal of Physics. —2010. — Vol. 12. — P. 93031.

98. Observation of Topological Magnon Insulator States in a Superconducting Circuit [Text] / W. Cai [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2019. — Aug. — Vol. 123, no. 8. — P. 80501.

99. Two-body physics in the Su-Schrieffer-Heeger model [Text] / M. Di Liberto [et al.] // Phys. Rev. A. — 2016. — Vol. 94. — P. 62704.

100. Quantum Engineering of Atomically Smooth Single-Crystalline Silver Films [Text] /1. A. Rodionov [et al.] // Scientific Reports. — 2019.

101. Topological excitations and bound photon pairs in a superconducting quantum metamaterial [Text] /1. S. Besedin [et al.] // Physical Review B. — 2021. — June. — Vol. 103, no. 22. — P. 224520.

102. Randomized benchmarking of single-qubit gates in a 2D array of neutral-atom qubits [Text] / T. Xia [et al.] // Physical Review Letters. — 2015.

103. Benchmarking Gate Fidelities in a Si/SiGe Two-Qubit Device [Text] / X. Xue [et al.] // Physical Review X. — 2019.

104. Superconducting quantum circuits at the surface code threshold for fault tolerance [Text] / R. Barends [et al.] // Nature. — 2014. — Vol. 508, no. 7497. — P. 500—3.

105. Process verification of two-qubit quantum gates by randomized benchmarking [Text] / A. D. Corcoles [et al.] // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2013. — Vol. 87, no. 3.

106. Watanabe, K. Kinetic inductance of superconducting coplanar waveguides [Текст] / K. Watanabe, K. Yoshida, T. Aoki // Japanese Journal of Applied Physics. — 1994.

107. Dependence of magnetic penetration depth on the thickness of superconducting Nb thin films [Текст] / A. I. Gubin [и др.] // Phys. Rev. B. — 2005. — Авг. — Т. 72, вып. 6.— С. 064503.

1.1 Представление состояния и законов переходов в машинах состояний: детерминистической, марковской цепи, идеальной квантовой и квантовой со считыванием и ошибками...................21

1.2 Примеры электрических цепей.......................23

1.3 Джозефсоновский SIS контакт.......................28

1.4 RС J-модель джозефсоновского контакта.................29

2.1 Конформное отображение сечения копланарного ответвителя......40

2.2 Схематическое изображение геометрии врезанного и торцевого порта

и общая электрическая схема с передающими линиями.........43

2.3 Геометрия резонатора, использованная для трёхмерного расчёта .... 51

2.4 Сравнение добротности и резонансной частоты фундаментальной моды резонатора, полученных при помощи трёхмерной симуляции с аналитическим методом ......................................................52

3.1 Электрическая схема трансмона......................54

3.2 Уровни энергии зарядового кубита и трансмона.............56

3.3 Эквивалентная электрическая схема трансмона в трёхмерной микроволновой полости ......................................................58

3.4 Трёхмерная микроволновая полость....................68

3.5 Напряжённость электрического поля на поверхности сверхпроводника для моды трансмона ......................................75

3.6 Электрические схемы трансмоноподобных кубитов, описываемых гамильтонианом (3.79)............................77

3.7 Электрическая схема квадратурного смесителя..............81

3.8 Спектральная характеристика сигнала на выходе реального смесителя 83

3.9 Комнатная часть микроволновой установки для управления и считывания состояния трансмона ..........................................84

3.10 Схема установки микроволновых компонентов и подключения

образца в криостате ..........................................................88

3.11 Коэффициент прохождения мощности через порошковый фильтр . . . 89

3.12 Схема установки для спектроскопии ........................................91

3.13 Однотоновый спектр резонатора в линейном режиме в зависимости

от мощности сигнала на ВАЦ........................92

3.14 Однотоновый спектр резонатора......................93

3.15 Двухтоновый спектр трансмона в резонаторе...............96

3.16 Последовательность импульсов для измерения отклика на прямоугольные считывающие импульсы и результаты измерения .... 98

3.17 Последовательность импульсов для наблюдения осцилляций Раби . . .100

3.18 Результаты измерений осцилляций Раби..................103

3.19 Последовательность импульсов для измерения осцилляций Рамзея и результаты измерений............................104

3.20 Последовательность импульсов для измерения времени релаксации кубита.....................................107

3.21 Последовательности импульсов для калибровки амплитуды считывающего импульса .......................... 110

3.22 Точность считывания при различных амплитудах считывающего импульса...................................112

3.23 Последовательности импульсов и результаты калибровки амплитуды гауссовых импульсов ............................ 115

3.24 Последовательность импульсов для наблюдения фазовой ошибки ... 116

3.25 Результаты выполнения последовательности импульсов APE и калибровочные измерения для ...................... 117

3.26 Последовательность импульсов для рандомизированного тестирования 119

3.27 Зависимость точности от длины последовательности вентилей из группы Клиффорда.............................119

4.1 Изображение двухкубитной микросхемы, полученное с помощью сканирующего электронного микроскопа.................122

4.2 Полная электрическая схема двухкубитной системы...........124

4.3 Схема подключения микроволновых линий и устройств.........127

4.4 Уровни энергии и важные энергетические параметры двухкубитной схемы в зависимости от потока в СКВИДе элемента связи ....... 129

4.5 Огибающая и фаза параметрического двухкубитного импульса, и фазы осцилляторов промежуточной частоты для однокубитных импульсов .................................. 134

4.6 Схематическое изображение примера последовательности вентилей, последовательности сигналов на этапе до модуляции промежуточной частотой (в представлении, вращающемся с кубитами) и после модуляции промежуточной частотой (лабораторное представление). . .135

4.7 Однотоновые спектры резонаторов кубитов и элемента связи......136

4.8 Сравнение экспериментальной и модельной зависимости в отсутствии напряжения ........................... 137

4.9 Двухтоновые спектры кубитов.......................138

4.10 Сигнал на приёмнике в зависимости от амплитуды импульса на генераторе сигналов произвольной формы.................139

4.11 Осцилляции Раби под действием прямоугольных импульсов......140

4.12 Признак линейного дискриминатора. Разными цветами обозначены

два квадратуры сигнала на приёмнике...................141

4.13 Осцилляции Рамзея для уточнения частоты кубита............142

4.14 Результаты измерения населённости кубитов после последовательности -к/2 импульсов . Разными цветами обозначены разные длительности последовательностей.................143

4.15 Результаты измерения населённости кубитов после последовательности -к/2 импульсов....................144

4.16 Последовательности импульсов для калибровки единовременного считывания двух и более кубитов .....................144

4.17 Гистограммы значений линейной формы 5 линейного дискриминатора для единовременного считывания ............ 145

4.18 Матрица ошибок единовременного считывания.............145

4.19 Результат рандомизированного тестирования однокубитных вентилей . 146

4.20 Последовательность импульсов для калибровки длительности параметрического iSWAP вентиля и частоты модуляции.........147

4.21 Результаты измерения вакуумных осцилляций Раби между уровнями |01) о 110) под действием параметрической модуляции потока элемента связи.................................148

4.22 Последовательность импульсов для калибровки однокубитных фаз, возникающих в результате выполнения вентиля..............149

4.23 Зависимость населённости кубитов от фазы 7г/2-импульса после

/2-импульса на другой кубит и параметрического потокового импульса....................................150

4.24 Алгоритм измерений для квантовой томографии процесса........153

4.25 Экспериментальная и теоретическая матрицы переноса Паули для "пустого" процесса..............................156

4.26 Экспериментальная и теоретическая матрицы переноса Паули для вентиля iSWAP. ...............................156

4.27 Последовательность вентилей, реализующая алгоритм Гровера с использованием вентиля CZ.........................160

4.28 Эквивалентная замена для вентиля CZ...................160

4.29 Последовательность вентилей, реализующая алгоритм Гровера с использованием вентиля iSWAP......................161

4.30 Последовательность вентилей, реализующая алгоритм Гровера с использованием вентиля iSWAP, с учётом виртуальных SWAP вентилей. 162

4.31 Результаты выполнения алгоритма Гровера для различных оракулов. . 162

5.1 Электрические схемы эффективных сред для электромагнитных волн . 164

5.2 Сверхпроводниковый квантовый метаматериал, реализующий

модель Су-Шриффера-Хигера.......................166

5.3 Спектры однофотонных возбуждений цепочки..............168

5.4 Спектроскопия двухфотонных возбуждений цепочки ..........170

5.5 частота и пространственное распределение дублонного краевого состояния в зависимости от длины цепочки ................ 171

5.6 Двухтоновые спектры свободных и краевых состояний для

различных эффективных длин цепочки трансмонов...........173

5.7 Модель электрической цепи для индивидуального трансмона и его считывающего резонатора ......................... 178

5.8 Двухтоновые спектры, используемые для калибровки модели для частот трансмонов, и отклонения модели от полученных в эксперименте частот трансмонов......................183

А.1 Сфера Блоха.................................204

А.2 Последовательности вентилей, генерирующие элементы

двухкубитной группы Клиффорда разных классов............206

Б.1 Результат измерения количества отсчётов состояния 100) после приготовления начального состояния вентилями RxXy и R\y, "пустого" процесса и проецирующих вентилей RXy и R'Xу.......208

Б.2 Результат измерения количества отсчётов состояния 100) после приготовления начального состояния вентилями ВХу и у, параметрического iSWAP вентиля и проецирующих вентилей Я'^у и Я4ХУ......................................209

В.1 Тестовая структура джозефсоновского контакта, используемого в

качестве контакта трансмона в двухкубитной схеме............210

В.2 Электрическая схема для измерения ВАХ джозефсоновского контакта. 211 В.3 Вольт-амперная характеристика джозефсоновского контакта.......212

Г. 1 Топология тестовой схемы с микроволновыми резонаторами из ниобия 214

Г.2 Результаты измерения микроволнового отклика резонаторов......216

Г.3 Зависимости собственной, внешней и нагруженной добротностей от

мощности...................................217

1 Результаты извлечения параметров модели линейных осцилляторов . . 93

2 Номиналы элементов цепи двухкубитной схемы.............126

3 Времена жизни фотонов в модах системы.................129

4 Состояния, их вектора Блоха, угловые параметры и унитарный оператор, реализующие повороты в них из основного состояния кубита 153

5 Расчётные и измеренные параметры считывающих резонаторов, связанных с измеряемыми трансмонами..................179

6 Оптимальные параметры калибровочной модели.............182

7 Классификация элементов однокубитной группы Клиффорда......207

8 Классы элементов двухкубитной группы Клиффорда..........207

Приложение А Базис Паули и группа Клиффорда

Эрмитовые матрицы размерности 2x2 можно разложить по базису матриц Паули

? = {пг}?=о =

*=(0 1}'ах=(1 1)Гау=\г 0г)^=[1 -1

(А.1)

След матриц ах, ау, аг равен нулю. Из условия нормировки вероятности матрицы плотности, матрицу плотности кубита можно записать в виде

(А.2)

где а = {ах,ау,аг}, а вектор г называется вектором Блоха. Компоненты вектора Блоха можно выразить через математические ожидания операторов Паули:

г = Тг

ра

(А.3)

Для матриц Паули выполняется соотношение

= + б^1,

(А.4)

где и - символы Леви-Чивиты и Кронекера, соответственно. Произведение двух элементов из {П^}3=0 с точностью до фазового множителя входит это множество, что позволяет говорить об операторах Паули как о группе.

Действие унитарного оператора и, на состояние с матрицей плотности р{ описывается соотношением

(А.5)

В представлении векторов Блоха действие этого оператора выражается как вращение вектора состояния. Унитарный оператор можно связать с параметрами вращения

и = ехр

2

(А.6)

где длина вектора П - угол вращения, а его направление - ось вращения.

Рисунок А.1 — Сфера Блоха

Чистые состояния имеют длину |f| = 1. Сфера чистых состояний кубита называется сферой Блоха. Среди состояний на сфере Блоха особо можно выделить собственные состояния операторов Паули. Этих состояний 6, они соответствуют центрам граней куба, и их называют следующим образом:

|0> =

(А.7)

Группу Паули можно обобщить на случай нескольких кубитов. Много-кубитная группа Паули У® представляет собой всевозможные комбинации тензорных произведений операторов Паули, действующих на степени свободы, отвечающие различным кубитам. Обобщением вектора Блоха г является

представление Паули для состояния кубита. Оно представляет собой вектор размерности 4^. Соотношение (А.2) обобщается как

р = (А8)

где П - вектор, составленный из элементов многокубитной группы Паули. Аналогичным образом работает соотношение

г = Tr

pH

(А.9)

Матрица переноса Паули (Pauli Transfer Matrix, PTM) это представление супероператора квантового процесса в базисе Паули. Результат действия PTM на вектор Блоха даёт новый вектор Блоха:

Г; = ЛАГг (А.10)

Матрицу переноса Паули можно связать с тензорной записью процесса (1.12):

1 ^ А

= ^d ПптЛтпк1 (Щг ) , (А.11)

где сопряжение Т подразумевает переход вектор-столбца к вектору-строке операторов Паули.

Также матрицу переноса Паули можно записать в терминах операторов Кра-

уса:

1 _ Га _ 1

(А.12)

= Tr

то

Ы

Пктп к1

Группа Клиффорда 6а - это нормализатор группы Паули, то есть УС е еаУП е ^ СПС+ е

Однокубитная группа Клиффорда имеет всего 24 элемента; её можно задать с помощью двух генераторов. Примеры различных способов задания группы Клиффорда можно найти в работе [102—104]. При реализации вентилей при помощи микроволновых сигналов, наиболее короткие последовательности вентилей получаются, если в качестве генераторов взять микроволновый поворот на ж/2 вокруг оси х X и реализуемый виртуально поворот на ж/2 вокруг оси 2 Z. Альтернативный набор генераторов - микроволновые повороты на ±ж/2 вокруг осей

С1

— С1 — 31 — 3- с1

а) Одноку- — 31 — 3- с1

31 с1

31 с1

-X-

с1

с1

битные вращения

б) iSWAP-подобные вентили

в)

CPHASE-подобные вентили

г) SWAP-подобные вентили

Рисунок А.2 — Последовательности вентилей, генерирующие элементы двухкубитной группы Клиффорда разных классов

х Х± и у У+.

±-

1 Т1

у/2 1±1 1

(А.13)

У однокубитной группы Клиффорда есть геометрический смысл. Одно-кубитная группа Клиффорда преобразует куб, ориентированный вдоль осей координат, в себя же. Элементы однокубитной группы Клиффорда можно классифицировать по углу и классу эквивалентности оси вращения. Классификация приведена в таблице 7. Двухкубитные состояния и вентили уже нельзя красиво представить при помощи сферы Блоха из-за того, что размерность пространства матриц плотности составляет 15. Вместо классификации по типам направлений имеет смысл рассматривать классы эквивалентности вентилей с точностью до однокубитных вентилей. Эта классификация показана в таблице 8

Классификацию вентилей из двухкубитной группы Клиффорда можно найти, например, в статьях [104; 105]. В состав двухкубитной группы Клиффорда входят 11520 вентилей. Их можно разделить на 4 группы по признаку количества и/или типу двухкубитного вентиля. Классы и число элементов в них указаны в таблице 8.

Вентили из каждого из классов эквивалентности можно получить друг из друга при добавлением однокубитных вращений до и после вентиля. Чтобы перебрать всю группу, вместо каждого из элементов вида С1 следует по очереди все элементы С1, а вместо каждого из элементов вида б4 - по очереди элементы {I, £2}, где 5 - это любая "циклическая перестановка" среди однокубитой группы Клиффорда из таблицы 7.

класс угол вентили вентили (2) направление

единичный вентиль 0 I - -

группа Паули ж п {+1,0,0}

х2+52 А2 {0,+1,0}

г2 Х+У+2 {0,0,+1}

"пипополамы" ж 2 К А {+1,0,0}

¿2х+52 Х- {_1,0,0}

гх+г3 у+ {0,+1,0}

г3х+г ¥_ {0,_1,0}

г Х_¥+Х+ {0,0,+1}

г3 Х+¥+Х_ {0,0,_1}

адамары Ж х2+г Х_¥+Х_ {+1,_1,0}

х+г 2 Х_¥+¥+ {0,+1,+1}

гх+ Х+¥+¥+ {+1,+1,0}

гх+г Х+Х+¥+ {+1,0,_1}

г2х+ Х+¥+¥+ {0,+1,_1}

¿3х+%3 Х+¥+Х+ {+1,+1,0}

циклические 2ъ 3 х+% ¥_Х+ {+1,_1,_1}

перестановки %х+ Х+¥+ {+1,+1,_1}

х+% 3 ¥+Х+ {+1, +1, +1}

2х+22 Х_¥+ {_1,+1,+1}

22х+т, ¥_Х_ {_1,_1,+1}

23х+ Х+¥_ {+1,_1,+1}

22х+^3 ¥+Х_ {_1,+1,_1}

23х+^2 Х_9_ {_1,_1,_1}

Таблица 7 — Классификация элементов однокубитной группы Клиффорда.

класс количество вентилей

однокубитные вращения 576

iSWAP-подобные 5184

CPHASE-подобные 5184

SWAP-подобные 576

Таблица 8 — Классы элементов двухкубитной группы Клиффорда

Результаты измерений проекций процессов для квантовой томографии

(0,0 {0

0, +г (0,1 (0

0,-i ,0

0Í

(

({-i

г 10000

■

Ж

8000

6000

4000

2000

|0,0> |0,1) | + , |0,+> |0,-> |0, +i) |0, -i)

0) | + ,1) |+г,0) l+i, 1) 11,0) |1,1) 1-,0) |—, 1> |-г,0) l-i, 1) + ,+) l + ,-) +,+) l+«,-) |1,+) 11, —) |-,+) |-,-) |-г,+) |-г,-) | + , +г) | + , -г) l+i, +г) l+i,-г) |1,+г) |1,-г) К+г) |-,-г) l-i,+í) l-i, Начальное состояние, Rxy&xyI0®)

Рисунок Б.1 — Результат измерения количества отсчётов состояния 100) после приготовления начального состояния вентилями ЯХу и Я2Ху, "пустого" процесса и проецирующих вентилей Я-Ху и ЯХу .

0

(0,0 {0

и {_

ы

10000

ял

«Ж»

8000

6000

4000

2000

|0,0> |0,1> |+,0>

10,+) \0,_> |0, +г> |0, _г>

| + ,1> И,0> \+М> |1,0> |1,1> |_,0> 1+,_> \+ь+> +-> |1,+> 11,_> _

| + , _г> \+г, +г> \+г,_г> \1,+г> \1,_г> Начальное состояние, ЯхуВ-ху\00>

,1> \_г,0> \_г, 1> \_,_> Н,+> \_г->

\_,_г> \_г,+г> \_г,_г>

Рисунок Б.2 — Результат измерения количества отсчётов состояния \00> после приготовления начального состояния вентилями Яху и , параметрического iSWAP вентиля и проецирующих вентилей и •

0

Измерение вольт-амперной характеристики джозефсоновского контакта

Традиционным способом измерения свойств джозефсоновских контактов является вольт-амперная характеристика (ВАХ).

Рисунок В.1 — Тестовая структура джозефсоновского контакта, используемого в

В данном приложении показаны результаты измерения ВАХ джозефсоновского контакта, являющегося тестовой структурой для образца, полностью аналогичного двухкубитной системе, описанной в главе 4. СЭМ-изображение этого контакта показано на рисунке В.1. Измерения проводились в криостате с рефрижераторов растворения Oxford Instruments Triton DR-200. Электрическая схема измерений показана на рисунке В.2. Для измерения SourceMeter (SMU) используется в режиме источника напряжения и измерения силы тока. Измерение напряжения осуществляется при помощи подключённого через другую пару резисторов вольтметра.

Результаты измерений показаны на рисунке В.3. Из результатов измерений могут быть оценены нормальное сопротивление контакта (24 кОм) и энергия щели в сверхпроводнике (0,375 мэВ). Значение энергии щели находится в диапазоне 0,35...0,40 мэВ, соответствующем тонким плёнкам алюминия. На ВАХ не наблюдается значительный гистерезис и квазичастичной ветви, что может быть связано с очень высоким уровнем шума в измерительной цепи. Значение критического

качестве контакта трансмона в двухкубитной схеме.

контакта.

тока, которое получается из соотношения Амбегаокара-Баратова (1.41), составляет 12 нА.

-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 Напряжение, мВ

Рисунок В.3 —

Вольт-амперная характеристика джозефсоновского контакта.

Результаты экспериментальных измерений резонаторов с конечной

кинетической индуктивностью и учёт поправки на кинетическую

индуктивность в расчётах

Представленная аналитическая модель предполагает бесконечно тонкий идеальный проводник на поверхности плоской подложки. На практике резонаторы имеют конечную толщину, причём сверхпроводник находится целиком над плоскостью интерфейса диэлектрик-вакуум. В данном разделе рассмотрен эффект изменения частоты резонатора из-за конечной толщины резонатора для реального образца микроволновых копланарных резонаторов из ниобия на подложке из кремния.

При увеличении толщины резонатора из ниобия, с одной стороны, понижается кинетическая и геометрическая индуктивность, а с другой стороны - растёт ёмкость, в том числе из-за увеличения доли энергии волны, находящейся в вакууме, а не в подложке. Такая геометрия вносит изменения в погонные индуктивность и ёмкость единицы длины резонатора. Поправка к ёмкости может быть рассчитана с помощью двумерного электростатического симулятора или приближённо с помощью дополнительного неявно определённого конформного отображения [38], однако её влияние меньше, чем вклад кинетической индуктивности.

Важным свойством микроволновых резонаторов при милликельвиновых температурах является эффект насыщения потерь. При низких энергиях электромагнитного поля в резонаторе добротность оказывается ниже, чем при более высоких энергиях. Именно режим низких энергий является наиболее важным для кубитных применений.

Геометрия исследуемого образца показана на рисунке Г.1. Ширина центральной микроволновой линии составляет 30 мкм, зазора между землёй и центральной линией - 16мкм. Резонаторы имеют ширину линии 11 мкм и зазор 6мкм. Расстояние между линией и резонаторами составляет 41 мкм. Длины резонаторов составляют 6,00 мм, 5,89 мм, 5,78 мм, 5,67 мм, 5,56 мм и 5,46 мм. Расчётные значения резонансных частот в приближении бесконечно тонкого идеального проводника составляют 5,00ГГц, 5,10ГГц, 5,20ГГц, 5,30ГГц, 5,40ГГц и 5,50ГГц, а внешние добротности находятся в диапазоне от 230000 до 290000.

Рисунок Г.1 — Топология тестовой схемы с микроволновыми резонаторами из

ниобия

Результаты экспериментов по измерению частоты и добротности резонаторов показаны на рисунке Г.2.

Из экспериментальных измерений видно, что частоты резонаторов примерно на 100 МГц ниже, чем было заложено в расчёте, не учитывающем эффекты кинетической индуктивности.

Из-за того, что эффективная глубина проникновения магнитного поля в плёнках ниобия составляет \ь = 85 нм, для учёта эффекта можно использовать приближение тонкой плёнки с конечной индуктивностью на квадрат. В таком случае для кинетической индуктивности единицы длины копланарной линии можно воспользоваться формулой из статьи [106]:

т = т д&'ш.ф

где безразмерный геометрический фактор д^, и(I) получается из конформных отображений для копланарной линии с конечной толщиной [38], и равен

д(в, и), б) =

2к2К(к)2

(1 'Ш (1 'М + в ,

- 1п---1п —-- +--1п

(Г.2)

причём к = 2/(т + 2в), К (к) - полный эллиптический интеграл первого рода. Подставляя феноменологическое значение для глубины проникновения \ь = 85 нм для тонких плёнок ниобия [107] в эти формулы, получаем Ьп = 9,1 фГн, = 3,94, и, наконец, Ьк = 24нГн • м-1. Кинетическая индуктивность

приводит к замедлению волн в копланарном волноводе и уменьшению частот ре-

/ьк+ьа т

зонансов в л/ —£ раз, где Ьд - геометрическая индуктивность единицы длины копланарного волнового. В рассматриваемой геометрии расчёт с помощью формул из раздела 2 даёт значение Ьд = 410 нГн • м_*. Таким образом, расчётные частоты резонаторов с учётом поправки на кинетическую индуктивность ниобия оказываются на 2,8% ниже, и составляют 4,86 ГГц, 4,96 ГГц, 5,05 ГГц, 5,15 ГГц, 5,25 ГГц и 5,35 ГГц. Поправка на кинетическую индуктивность, таким образом, по порядку величины соответствует сдвигу частоты резонаторов в эксперименте. Однако теперь частота резонаторов систематически недооценена. Этот эффект также может быть связан с конечной толщиной плёнки, однако уже влиянием толщины на ёмкость едницы длины.

£

со

48 4.9

50 51 52 53

частота, ГГц

54 55 56