Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лукъяненко, Ольга Александровна

• Лукъяненко, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукъяненко, Ольга Александровна

Введение

1 Вспомогательные результаты и константы Лебега

1.1 Основные понятия

1.2 Свойства систем Виленкина

1.3 Константы Лебега по системе Виленкина

2 Сходимость рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца

2.1 Основные понятия и вспомогательные утверждения

2.2 Сходимость простых рядов Фурье-Виленкина

2.3 Сходимость кратных рядов Фурье-Виленкина

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сходимость простых и кратных рядов Виленкина в пространствах Лоренца»

Хорошо известно[6,9], что если функция / € Lp, (1 < р < оо), то ряд Фурье но тригонометрической системе сходится к / по норме пространства Lp и для частичных сумм ряда Фурье функции / выполняется неравенство ш/)||р<адР1 (1<р<оо).

Аналогичный результат справедлив и для системы Виленкина. В работе Янг Восанг [40] было доказано, что для частичных сумм Фурье-Виленкина выполняется аналогичное неравенство и, следовательно, система Виленкина является базисом в Lp для 1 < р < оо. Причем этот результат Янг Восанг был доказан без всяких ограничений на образующую последовательность системы Виленкина.

Ситуация меняется, если / принадлежит пространствам, лежащим между Lp и Lqo или L\ и Lp .

Вначале этот вопрос обсуждался для пространств Орлича [13,23,32,39], лежащих между L\ и Ьр.

В монографии А. Зигмунда [9] для классов Орлича!/^, где </?(«) = иа(и) и а(и) слабо колеблющаяся функция, доказано, что если е^(0,27г),то 1

J <p(\Sn(f)-f\)dt^O, о и где <р(и) = uf t~2ip(t) dt (см. [9], гл. 12, теорема 4.39). о

Схожая проблема рассматривалась в статье Файпа и Ткебуча-вы [29] для сепарабельных пространств Орлича L1р. (Заметим, что сепарабельность пространств L^ равносильно тому, что для функции (р выполняется условие Д2, а именно: ip(2x) < ^{х)). В этой работе Файна и Ткебучавы вопросы сходимости были рассмотрен-ны для систем Виленкина, образующие последовательности которых ограничены. Было доказано, что если функция / 6 где и р(и) = uf t~2ip(t) dt, то Фурье-Виленкина сходится к ней по норме 1 более широкого пространства Lv.

В работах Лукомского С.Ф. [33,34] был рассмотрен вопрос сходимости кратных рядов Фурье-Уолша в пространствах Орлича, лежащих между L\ и Lp.

В работе [15] были определены пространства ЬРА(д,Т) (р > 1 ,а > О), как пространства измеримых па [0,Т] функций, для ко

00 /||/|| \ р\ р п

Па торых конечна норма iii/nu=(E п=1 и было доказано, что если функция / £ Ьр>а, то ||5„(/) — /||р,а+1

О (Sn(f) - частичные суммы ряда Фурье-Уолша). Отметим, что пространства ЬРА лежат между Lp и L^ и LP:0l+i более широкое пространство. Таким образом, доказанная в [15] теорема означает, что система Уолша не базис в пространствах LpM) но тем не менее ряд Фурье-Уолта сходится в более широком пространстве ЬРА+\

Асташкин С.В. в своей работе [4] отметил, что пространстваLp^a есть ни что иное, как пространства Лоренца.

Вопрос сходимости рядов Фурье но тригонометрической системе и системе Уолша в пространствах Лоренца был также изучен Лукомским С.Ф. в работах [16,35|. Было доказано, что если / £ Лф)Р при некоторых ограничениях на скорость роста функции Ф), то тригонометрический ряд Фурье функции / тем не менее сходится в более широком пространстве Лоренца Л^ , где № f^dt, при 0 < гс <

1)

Ф(ж) = <

Ф (i) , при \ < X < 1. и была показана точность данного результата. Более того, для тригонометрической системы результаты остаются справедливыми независимо от того, но какой последовательности щ стремится к бесконечности номер частичной суммы Snk(f), Т +оо).

В случае системы Уолша результаты отличаются. Сходимость частичных сумм Фурье-Уолша зависит от того, ограничены или нет в совокупности константы Лебега Ln с номерами, пробегающими последовательность {щ}.

В данной диссертационной работе будем рассматривать вопросы сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [32] близких к Ьж. Условие близости записывается в виде ограничения на скорость роста функции Ф. Покажем, что система Виленки-на не является базисом в пространствах Лоренца, однако для любой функции / G Лф)(? частичные суммы Фурье-Виленкина Sn(f) сходятся в более широком пространстве Л^ (функция Ф определена равенством (1)). Также будут рассмотрены аналогичные вопросы для кратных рядов Фурье-Виленкина.

В нервом параграфе первой главы дается определение системы Виленкина. Уточняется общепринятая терминология и приводятся необходимые определения и обозначения относительно рядов Фурье-Виленкина.

Пусть {рк} образующая последовательность системы Виленкина

Vn(x)} [1,2,3,10,11,12,24,31,38], m0 = 1, тк+1 = рктк, рк £ N, рк > 2, тогда для любого п £ N справедливо представление

00 п = актк, (ак = 0,1,. ,рк - 1).

Функции Виленкина с соответствующими номерами п определяются равенством

00

Vn(x) = Y[r?(x), к=О где г^(х) = ехр(27гг^). В работе введено понятие модифицированного ядра Дирихле для системы Виленкина:

D*n{x) = Vn*(x)Dn(x), где

00 п* = актк, {а*к = (Рк - ак) mod рк), к=О

- дополнительное число для п, и модифицированной частичной суммы

S*n(f,x) = J D*n(x 0 t)f(t) dt. G

Заметим, что в частном случае, когдарк = 2 для любого к, т.е. в случае системы Уолша, число п совпадает с п*, модифицированное ядро Дирихле [27] соответственно имеет вид D*n{x) = Wn(x)Dn{x) (Wn(x) - функции Уолша.)

В параграфе 1.2 рассмотрены свойства системы Виленкина и доказана следующая лемма о разложении ядра Дирихле. Лемма 1.2.2 Пусть число п G N записано ввиде S п = + ак2г-1-2ГПк2^-2 + . + ak2imk2i) i=1 где a,j = pj -qi, 1 < q{ < pj - 1 j = At2»—i - 1, hi-i ~ 2,k2i, г = 1,2,., 5, ki > к>2 > . > fe определяет пачку в разложении числа п), тогда модифицированное ядро Дирихле можно записать в виде

ВД =Y,[Dmk2lJx) - Dm^-гМ Е + г=1 ^ г/=0

Ап*и1,(я) - Dm^^ix) rL-i-2(X) + v=0

При рассмотрении вопросов сходимости рядов Фурье-Виленкина важную роль сыграли оценки констант Лебега Ln [1,7,17,26,28,36].

Отметим, что при п = rrik меет место следующее соотношение: Lmk = 1. Таким образом, по некоторой подпоследовательности номеров Константы Лебега ограничены. По другой подпоследовательности они растут неограниченно. Вместе с тем порядок этого роста ограничен сверху функцией Inn, а имеено справедливо неравенство In < log2n [1,8J.

Известно, что для системы Уолша имеет место более аккуратная оценка констант Лебега в терминах вариации числа п [37]

Ln< V(n), где

00

V(n) = + -sk-i\ k=1

- вариация числа

00 k=0

До сих пор аналогичных оценок для системы Виленкина не было.

В третьем параграфе первой главы дается оиределениер-вариации для системы Виленкина [18].

Определение 1.3.1. Пусть

00

П = ^ актк к=0

- р-ичное разложение числа п

00 п* = J2akmk к=О 9

- дополнительное число к п, тогда число

00 00 Var(n) = а*0 + £ ((4 + aU) mod 2dk) + £ (4i - 1), fc=l /c=0 где dk — max{a*kv a^.}^ назовем р-вариацией числа п. (в случае, когда dk = 0, будем считать (а*к + а*кг) mod 2dk = (а*к + ), В случае когда образующая последовательность^, не ограничена вместо Var(n) будем рассматривать число

Var{n) = + f К + «Ц 24 А 4 («U - 1) <*> ^ н Я to Й которое будем называть р-вариации числа п ио последовательности ы

В терминах определенной вариации найдена двусторонняя оценка для констант Лебега Ln как в случае ограниченной образующей последовательности, так и в случае неограниченной. Терема 1.3.1 Пусть число п записано ввиде S п = ^(a^-i-i^feai-i-i + 0^-1-2^-1-2 + . + ak2imk2i), i=i где cij = pj - qu 1 < g,- < pj - I, j = hi-1 - 1, &2i-i - 2,k2i, г = 1,2, .,s, k\ > k2 > . > (Qi определяет пачку в разложении числа п), о

- константы Лебега для системы Виленкипа, тогда

Var{n) <Ln< Var(n) W

Если последовательность ограничена числом р сверху, то

Ln< Var(«).

Рг

Очевидно, что в случае, когда р^ = 2, для любого к = 0,1,., р-вариация определенная в определении 1.3.1 принимает вид вариации V(n), а обе оценки из условия теоремы 1.3.1 превращаются в известную оценку для контант Лебега по системе Уолша в терминах вариации, которая была приведена выше.

Вторая глава посвящена вопросам сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца [19,20,21].

В первом параграфе приведены определения одномерные [32] и m-мерные пространства Лоренца. Даны основные определения и изложены вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем.

Пусть /* - невозрастающая перестановка функции |/|. Назовем Ф функцией Лоренца, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Ф(£) > 0 на (0,1], убывает на (0,1] и выпукла;

2) lim Ф(£) = -foo; 1

В работе рассматриваются пространства Лоренца

- порожденные функцией Лоренца Ф(£), которая удовлетворяет следующему условию: для любого р £ N существует константа Ср> О такая, что справедливо неравенство

Условие (2) есть ограничения на скорость роста функции Ф в нуле. При таком условии на функцию Ф пространства Лоренца лежат «между» Lp и Loo.

Пространства Лоренца для функций многих переменных определяется как и в одномерном случае, а именно

Отметим, что несмотря на то, что / есть функция т переменных, ее перестановка /* есть функция одной переменной.

В параграфе 2.2 рассмотрены простые (однократные) ряда Фурье-Виленкина. Доказана следующая теорема.

Терема 2.2.1 Существует постоянная константа С = С(Ф, q) > О такая, что V/ 6 Лф;<г sn(f)hq < C\\fh,q. где Ф определяется равенством (1).

В силу сепарабельности пространства из э той теоремы следует

Терема 2.2.2 Если / £ то ряд Фурье-Виленкина функции f сходится в более широком пространстве Л j iQ

В следующей теореме построен пример, доказывающий точность теоремы 2.2.2. Пример был построен для случая, когда образующая последовательность ограничена сверху.

Терема 2.2.3 Пусть образующая последовательность {рк}ь=\ ограничена числом р сверху, функция Лоренца Ф(х) удовлетворяет дополнительному условию

V i + bg^y р

Если N = {щ} произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел таких, что supneN Ln = +схэ, то для любой функции a(t) j 0 при t | О существуют функции f Е Лф;(? такие, что отношение - неограничено.

Эта теорема означает, что для / £ Лф)9 сходимости по норме более узкого пространства, чем Л^ нет. iQ

В параграфе 2.3 рассмотрены вопросы сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина. Также как и для одномерного случая справедлива следующая теорема.

Терема 2.3.1. Пусть функция Лоренца Ф удовлетворяет условию

Тогда существует постоянная С = С(Ф, q) > О такая, что V/ G Лф)9([0,1)т) выполняется

WSniDh, < C\\f\\%q, где

Ф(х) = < тп—1

Ini) Sl^dt npuO<i<i,

Ф (I) при \ < X < 1.

В силу сепарабельности пространств Лоренца из теоремы 2.3.1 следует

Терема 2.3.2. Если / £ Лф)9([0,1)т), то т-кратный ряд Фурье-Виленкина функции f сходится по прямоугольникам в более широком пространстве Л^ ([0,1)ш)

Теорема доказывающая точность теоремы 2.3.2 доказана для случая сходимости по кубам, следовательно тем более предыдущая теорема является точной и в случае сходимости но прямоугольникам. Пример построен для случая, когда образующая последовательность системы Виленкина ограничена сверху.

Терема 2.3.3. Пусть {T4(t)} - кратная система Виленкина, порожденная последовательностью {рк}™= о> которая ограниченна числом р, и Sn(f, t) - кубические частичные суммы ряда Фурье-Виленкина,

7 > т)- Тогда для любой функции a(t) J, 0 при 11 0 отношение

Таким образом, в кратном случае для / £ ^ РЯД Фурье-Виленкина сходится в пространстве А^ ^ по Прингсгейму, но в более узких пространствах не сходится даже по кубам.

Ф(я) = < при 0 < х <

Ф (±) при \ < X < 1, пеограничено.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Jly-комскому Сергею Федоровичу за постоянную поддержку и советы при подготовке диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукъяненко, Ольга Александровна, 2007 год

1. Агаев, Г.Н. Об одном классе мультипликативных ортонормиро-ванных систем функций / Г.Н. Агаев, Г.М. Джафарли // Изв. АН Азерб. ССР, серия физ.-матем. и техн. наук. 1963, №2, с.27-36

2. Агаев, Г.Н. К теории мультипликативных ортонормированных систем / Н.Я. Виленкин, Г.Н. Агаев, Г.М. Джафарли // ДАН Азерб ССР, 18,1962, №9 с.3-7.

3. Асташкин, С.В. Об экстраиоляционных свойствах шкалы Ьр— пространств / С.В. Асташкин // Матем. сб.-2003.-Т.194.-№6-С.26-42.

4. Асташкин, С.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марценкевича близких к L00 / С.В. Асташкин, К.В. Лыков // Сиб. матем. ж., 2006. Т. 47. № 5. с.974-992.

5. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К.Бари. М.: Физмат-гиз, 1961.

6. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды. Т.2 / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965, 538 с.

7. Кашин, Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.А. Саакян. М.: АФЦ, 1999.

8. Красносельский, М.А. Выпуклые функции и пространства Ор-лича / М.А. Красносельский, Рутицкий Я.Б. Физматгиз 1958 272.С.

9. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М., 1967. 550.С

10. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Фурье Уолша в пространствах, близких к Loo / С.Ф. Лукомский // Матем. заметки,2001,т. 70,М, С. 882-889.

11. Лукомский, С.Ф. О подпоследовательностях частичных сумм рядов Фурье Уолша в пространствах Лоренца / С.Ф. Лукомский // Известия ВУЗов.-2006.-Математика.-№6.-С.48-55.

12. Лукъяненко, О.А. Об оценке констант Лебега по системе Виленкина / О.А. Лукъяненко // Воронежская зимняя математическая школа 2005. Тезисы докладов. Воронеж, 2005 - с.150.

13. Лукъяненко О.А. О константах Лебега для систем Виленкина / О.А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. -Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Выи. 7 с. 70-73.

14. Лукъяненко О.А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Саратовская зимняяматематическая школа 2006. Тезисы докладов. Саратов, 2006 -с.110-111.

15. Лукъяненко О.А. О сходимости рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Математика. Механика.: Сб. науч. тр. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Выи. 8 -с. 72-74.

16. Лукъяненко О.А. О сходимости кратных рядов Фурье-Виленкина в пространствах Лоренца / О.А. Лукъяненко // Известия Сарат. ун-та. Математика. Механика. Информати-ка:Саратов, 2007. с. 15-22.

17. Понтрягин, Л.С. Непрерывные группы / Л.С. Понтрягин. М.: Наука, 1973.

18. Симоненко, И.Б. Интерполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б. Симоненко // Матем. сб. 1964. Т.63. С.536-553

19. Хеладзе, Ш.В. О расходимости всюду рядов Фурье-Виленкина ио ограниченным системам Виленкина / Ш.В. Хеладзе // Тр. Тбилисского матем. института АН Груз. ССР. Вып. 58, 1978. С.225-242.

20. Шнейдер, А.А. О единственности разложений по системе функций Уолша / А.А. Шнейдер j j Матем. сб., 24 , 1949, 279300.

21. Шнейдер, А.А. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша 7~А.А. Шнейдер // Мат. сб. 1954.Т.34. №3. С.441-472.

22. Billard, P. Sur la convergence presque par tout des series de Fourier-Walsh des fonctions de l'espace L2(0.1) / P. Billard // Studia Math-1967. V.28. №3. P.363-388.

23. Fine, N.I. On the Walsh functions / N.I. Fine // TYans. Amer. Math. Soc., 65, 1949, №3, 372-414.

24. Finet, C. Walsh-Fourier Series and TheirGeneralizations in Orlicz Spaces / C. Finet, G.E. Tkebuchava // J. Math. Anal. Appl. 221 (1996), 405-418.

25. Frendenthal, H. Die Haarschen Orthogonalsysteine von Gruppencharakteren in Lichte der Pontrjaginschen Dialitatstherue / H. Frendenthal // Сотр. Math., 5, 1938, c.354-357.

26. Gosselin, J. Almost everywhere convergence of Vilenkin -Fourier series / J. Gosselin // Trans. Amer. Math.Soc. 1973. V.185. P.345-370.

27. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces / J. Linderistrauss, L. Tzafriri. Berlin: Springer-verlag, 1979.

28. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple series in measure and in L / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 1997. V. 3. № 3. P. 317-332.

29. Lukomskii, S.F. Convergence of multiple Walsh series in near L^ Orlich spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9. № 3. P. 295-308.

30. Lukomskii, S.F. Convergence of fourier series in Lorents spaces / S.F. Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V.9. No. 2. P. 229-238.

31. Paley, R. A remarkable series of orthogonal functions / R.E.A.C. Paley // Proc. London Math. Soc. 1932. V.34 P.241-279.

32. Shipp, F. An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. / F. Shipp, W.R. Wade, P. Simon. W.R. Akademiami Kiado, Budapesht, 1990.

33. Simon, P. On the divergence of Vilenkin-Fourier series / P. Simon // Acta math. Hung. 1983. V.41. №3-4. P.359-370.

34. Watari, C. Mean convergence of Walsh-Fourier series. I / C. Watari // Tohoku Math. J. 16, 1964. №2. P.183-188.

35. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series / W.-S. Young// Trans. Amer. Math. Soc., 218. 1976, 311-320.