Следующее за ведущим логарифмическое приближение КЭД тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Возная Ульяна Евгеньевна

• Возная Ульяна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Возная Ульяна Евгеньевна

Введение

Глава 1. Подход партонных распределений КЭД

1.1 Уравнения эволюции в квантовой электродинамике

1.2 Бегущая константа связи

1.3 Свертки и плюс-прескрипция

1.4 Решение методом итераций

1.5 Численные результаты

Глава 2. е+е--аннигиляция

2.1 Факторизация в следующем за ведущим порядке

2.2 Результаты и обсуждение

Глава 3. Спектр распада мюона

3.1 Выбор масштаба факторизации

3.2 Результаты

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Приложение А. Функции расщепления КЭД

Приложение Б. Функции партонных распределений и

фрагментации

Приложение В. О-части коэффициентов с^ в поправках к

е+е--аннигиляции

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Следующее за ведущим логарифмическое приближение КЭД»

Введение

Данная диссертация посвящена радиационным поправкам высших порядков (в следующем за ведущим логарифмическом приближении) в квантовой электродинамике. Основные результаты опубликованы в работах [Л1 — Л6].

В настоящее время Стандартная модель является наиболее успешной моделью элементарных частиц и их взаимодействий. Результаты практически всех экспериментов в физике высоких энергий согласуются с предсказаниями Стандартной модели. Открытие бозона Хиггса, последней частицы Стандарной модели, еще раз показало ее предсказательную силу. Однако существуют явления, не описываемые этой теорией, такие как гравитация, темная материя и темная энергия. Стандартная модель не дает предсказаний массы бозона Хиггса, не объясняет барионную асимметрию, не дает решения проблемы иерархии энергетических масштабов. Она содержит 19 параметров, которые определяются только из эксперимента. Все это приводит к выводу, что Стандартная модель является не окончательной фундаментальной теорией нашей Вселенной, а некоторой эффективной теорией, низкоэнергетическим приближением фундаментальной теории, которое имеет свои границы применимости.

Поэтому актуальным направлением исследований становится поиск новой физики, выходящей за пределы Стандартной модели, и границ применимости Стандартной модели. Для этого проводятся наблюдения в наземных и космических обсерваториях и эксперименты на ускорителях, таких как Большой адронный коллайдер, ВЭПП-2000, BEPCII, Bellell и других. Существуют и проекты коллайдеров, которые превзойдут имеющиеся по энергии и светимости (FCC, СЕРС, ILC, Супер чарм-тау фабрика) [1—4]. При этом особое внимание уделяется проектам коллайдеров, предназначенных для изучения отдельных процессов, такие как е+е—- и -коллайдеры, хиггс-фабрики. Благодаря

этому можно будет поставить эксперименты с большей точностью и чувствительностью, в которых будет возможно увидеть небольшие отклонения от Стандартной модели, указывающие на Новую физику. К таким экспериментам относятся, например, эксперименты по исследованию электрон-позитронной аннигиляции и распада мюона. Также важным тестом Стандартной модели является измерение аномального магнитного момента мюона и сравнение его с теоретическими предсказаниями. Задачей эксперимента MUonE, например,

является измерение адронных поправок к электромагнитной константе связи и аномальному магнитному моменту мюона. В этом эксперименте исследуется рассеяние мюона на электроне (рассеяние пучка мюонов на электронах в атомах неподвижной мишени) [5]. В 2023 году был проведен тестовый запуск этого эксперимента.

Для описания и предсказания процессов на существующих и будущих коллайдерах необходимы точные теоретические расчеты. Их точность должна превосходить точность экспериментов, чтобы в итоге величина результирующей систематической ошибки не была слишком большой. Большинство расчетов в квантовой теории поля производится в рамках теории возмущений. В ней величина, например, амплитуда, раскладывается в ряд по малому параметру (константе связи). Таким образом, чем больше порядок по теории возмущений, тем более точно будет рассчитана величина.

Особое значение имеют радиационные поправки, связанные с процессами взаимодействия с электромагнитным полем или виртуальными частицами. На эксперименте такие процессы неотличимы от основного, но при расчете сечения процессов радиационные поправки дают существенный вклад. Расчет радиационных поправок высших порядков представляется технически сложной задачей, поэтому были разработаны методы, позволяющие упростить эту задачу путем расчета не всех, а только наиболее численно значимых вкладов. Например, можно учитывать только слагаемые, дающие в сумме геометрическую прогрессию. Один из подходов (Йенни, Фраучи и Сууры [6]) учитывает только экспоненцирование вкладов мягких фотонов. Другой подход позволяет избежать проведения прямых многопетлевых вычислений, если учесть только логарифмические слагаемые. Это подход партонных распределений, который обсуждается и развивается в данной работе. В нем разложение идет не только по степеням константы связи, но и по степеням так называемого большого логарифма, который представляет собой логарифм отношения некоторых характерных для данного процесса энергетических масштабов:

Ь = 1п 4, (1)

где ^р - масштаб факторизации, ц,д - масштаб перенормировки.

Этот подход основан на партонной модели Р.Фейнмана [7; 8] и подходе ренормализационной группы, строгая формулировка которого была дана

Н. Н. Боголюбовым и Д. В. Ширковым [9]. Масштабная инвариантность, лежащая в основе подхода ренормгруппы, позволяет эффективно учитывать зависимость от логарифма масштаба факторизации. Данный подход был разработан для КХД Ю. Л. Докшицером, В. Л. Грибовым, Л. Н. Липатовым, Г. Алтарелли и Дж. Паризи в 1970-х годах.

Для КЭД этот подход (он был назван подходом структурных функций) был разработан по аналогии с таким же подходом в КХД Э. А. Кураевым и B.C. Филиным [10] как один из этапов подготовки к экспериментам при высоких энергиях на коллайдере LEP. Кроме того, он этот подход был применен для описания глубоко неупругого рассеяния нейтрино на нуклоне в работе [11].

Подход структурных функций имеет много общего с методом эквивалентных фотонов. Метод эквивалентных фотонов был основан на идеях Ферми и разработан Вайцзеккером [12] и Вильямсом [13]. Основная идея метода состоит в том, что поле быстро движущегося (ультрарелятивистского) электрона можно приближенно заменить на поле фотонов [14; 15]. При такой замене в выражении для сечения возникает логарифм отношения двух квадратов импульсов. Можно проследить аналогию между сечением процесса с участием фотонов в данном случае и безмассовыми коэффициентами Вильсона в подходе структурных функций.

Результаты теоретических расчетов радиационных поправок в КЭД можно применить для предсказания и описания процессов на лептонных коллайдерах [16]. В ведущем логарифмическом приближении (ВЛП) подход структурных функций (функций партонных распределений, ФПР) очень широко используется, например, для расчета радиационных поправок к рассеянию нейтрино высоких энергий [17], глубоко неупругому рассеянию нейтрального и заряженного тока для экспериментов на ускорителе HERA [18; 19], радиационному распаду пиона на два электрона [20], энергетическому спектру электрона при распаде мюона [21], времени-подобному комптоновскому рассеянию на протоне [22].

На лептонных коллайдерах (е+е—, Ц+Ц—) наблюдаются более чистые процессы, чем на адроннных. Таким образом, можно изучать отдельные процессы и получать результаты с большой точностью. Например, на электрон-пози-тронном коллайдере LEP с высочайшей точностью были измерены параметры электрослабого взаимодействия, установлены ограничения на массу t-кварка и бозона Хиггса, измерена константа сильного взаимодействия as, проведе-

ны проверки КХД и показано, что существует только три поколения (легких) фермионов [23]. Сейчас этот ускоритель не работает, в его туннеле размещен Большой адронный коллайдер. Существуют также проекты ц+ цг-коллайдеров [16], которые имеют определенные преимущества перед электроп-позитроппы-ми. На кольцевых мюон-антимюонных коллайдерах благодаря большей массе мюона (тц ~ 200те) и, следовательно, меньшему синхротронному излучению, возможно достижение больших энергий при меньшем диаметре колец. Также благодаря тому, что мюон является элементарной частицей в отличие от протона, будет возможным достичь больших энергий сталкивающихся элементарных частиц, чем на протон-протонных коллайдерах. Для описания процессов на будущих мюон пых коллайдерах можно развить подход функций партонных распределений, добавив функции типа мюон в электроне (позитроне, фотоне) и электрон (позитрон, фотон) в мюоне [24].

Актуальность темы данной работы связана с необходимостью расчета поправок высших порядков (в следующем за ведущим логарифмическом приближении, СВЛП) к процессам физики высоких энергий. Поправки в ведущем логарифмическом приближении известны довольно давно. Расчет поправок СВЛП представляет собой технически сложную задачу, поэтому необходимо развивать методы, позволяющие избежать прямых многопетлевых вычислений, такие, как метод структурных функций. Результаты важны для предсказания результатов высокоточных и высокочувствительных экспериментов, в которых потенциально можно найти небольшие отклонения от Стандартной модели, указывающие на Новую физику. Проявлением Новой физики также могут стать запрещенные в Стандартной модели или редкие процессы.

В случае процессов с мюоном это могут быть запрещенные в СМ безней-триннные распады мюона на электрон и фотон (фотоны) или на два или три электрона. Например, в работе [25] рассматривается процесс распада мюона с появлением новой аксионоподобной частицы (ALP) и показана важность радиационных поправок к процессам с участием мюона для поиска Новой физики.

Целью данной работы является развитие метода структурных функций в следующем за ведущим логарифмическом приближении (СВЛП) теоретическое предсказание характеристик процессов электрон-позитронной аннигиляции и распада мюона с точностью, необходимой для будущих экспериментов.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи.

1. Построить уравнения эволюции и решить их для функций партонных распределений и функций фрагментации КЭД.

2. Рассчитать радиационные поправки высших порядков к сечению процесса электрон-позитронной аннигиляции в виртуальный фотон или виртуальный ^-бозон.

3. Рассчитать радиационные поправки к энергетическому спектру электрона в распаде мюона.

4. Исследовать эффекты, связанные с бегущей константой связи.

5. Исследовать зависимость поправок от выбора масштаба факторизации.

Научная новизна:

1. Впервые получены явные выражения для функций партонных распределений и функций фрагментации в ведущем и следующем за ведущим логарифмическом приближении (СВЛП) в порядках0(а4Ь4), 0(а5Ь5), 0(а3Ь2) и О (а4 Ь3), где Ь = 1п (О*2,/т2е) ж 0>2 являются большим логарифмом и масштабом факторизации, соответственно.

2. Уточнены выражения для радиационных поправок к сечению процесса электрон-позитронной аннигиляции в виртуальный фотон/виртуальный ^-бозон в подходе партонных распределений в порядке 0(а3Ь2), С(а4Ь3).

3. Впервые рассчитаны радиационные поправки к энергетическому спектру электрона при распаде поляризаванного мюона в порядках 0(а3Ь2)) 0(а4Ь4).

4. Было выполнено оригинальное исследование зависимости от масштаба факторизации бегущей константы связи.

Методология и методы исследования. Был использован подход структурных функций (партонных распределений), в рамках которого уравнения эволюции решались методом итераций. Применялся метод коллинеарной факторизации, позволяющий заменить прямое вычисление диаграмм Фейнма-на на вычисление сверток.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построены и решены методом итераций уравнения эволюции для функций партонных распределений и фрагментации КЭД в следующем за ведущим логарифмическом приближении. Впервые в явном виде получены аналитические выражения для структурных и фрагмента-

ционных функций электрона в порядках 0(а4Ь4), 0(а5Ь5), 0(а3Ь2) и С(а4Ь3).

2. При решении уравнений эволюции и построении предсказаний для наблюдаемых величин систематически учтены вклады переходов электрона в позитрон и наоборот. Показано, что включение этих вкладов важно для обеспечения точности теоретических предсказаний на уровне 10-5.

3. Найдена и исправлена ошибка в более ранних вычислениях ведущих логарифмических вкладов в структурную функцию типа электрон в электроне в порядке 0(а3Ь3) и в функцию фрагментации типа электрон в электроне в порядке 0(а2Ь1).

4. Метод структурных функций КЭД применен для расчета поправок к электрон-позитронной аннигиляции в виртуальный фотон или Х-бо-юн. Исправлены имеющиеся в литературе результаты в порядках0(а3Ь2), 0(а4Ь3), 0(а4Ь4) и 0(а5Ь5). Исследована зависимость от выбора масштаба факторизации, и выбрано его значение, позволяющее улучшить сходимость ряда теории возмущений по степеням большого логарифма.

5. Впервые рассчитаны радиационные поправки порядков 0(а3Ь2) и (а4Ь4) к энергетическому спектру электрона в распаде поляризованного мюона. Уточнены выражения для поправок порядков 0(а2Ь) и С(а3Ь3).

6. Исследованы эффекты, связанные с нелогарифмическими вкладами в бегущую константу связи. Показана эквивалентность разных схем учета таких слагаемых.

Достоверность. Достоверность результатов обеспечивается использованием надежных методов и численной проверкой в некоторых случаях. Отдельные результаты сравнивались с результатами других авторов, было выявлено соответствие.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались автором на следующих научных мероприятиях.

1. XXVI Международная конференция молодых ученых и специалистов (ОМУС-2022), 24-28 октября 2022 г., Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.

2. Всероссийская школ а-конференция государственного университета "Дубна" "Фундаментальная физика и прикладные технологии", г.Дубна, Государственный университет "Дубна", 24-27 апреля 2023 г.

3. The 16th International Conference on Interconnections between Particle Physics and Cosmology (PPC 2023), Institute for Basic Science, Тэджон, Республика Корея, 12-16 июня 2023 г.

4. 21-я Международная Ломоносовская конференция по физике элементарных частиц, 24-30 августа 2023 г., Москва, МГУ.

5. XXVII Международная конференция молодых ученых и специалистов (ОМУС-2023), 30 октября - 3 ноября 2023 г., Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.

6. Научная сессия секции ядерной физики ОФН РАН, 1-5 апреля 2024 г., Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.

7. Вторая Всероссийская школа-конференция государственного университета "Дубна" "Фундаментальная физика и прикладные технологии", г.Дубна, Государственный университет "Дубна", 22-26 апреля 2024 г.

Личный вклад. Все результаты, приведенные в диссертации, получены лично автором или при его непосредственном участии.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных работах в рецензируемых журналах, включенных в список ВАК и/или международных баз данных Web of Science и или Scopus.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 113 страниц, включая 16 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 112 наименований.

Глава 1. Подход партонных распределений КЭД

Первая глава работы посвящена подходу структурных функций в квантовой электродинамике. В ней дается обзор метода, описывается формализм, приводятся результаты решения уравнения эволюции структурных функций КЭД методом итераций в терминах сверток. В явном виде эти функции приведены в приложении. Эти результаты во второй и третьей главе применяются для расчета радиационных поправок к процессам электрон-позитронной аннигиляции и распад мюона. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [А1 — Л3].

Подход структурных функций (партонных распределений) в КЭД был разработан по аналогии с подходом партонных распределений в КХД Е. А. Ку-раевым и В. С. Филиным [10] в 1980-х как один из этапов подготовки к экспериментам при высоких энергиях на коллайдере ЬЕР. Этот подход широко используется для расчетов радиационных поправок в КЭД в физике высоких энергий. Он подразумевает разложение в ряд не только по степеням константы связи, но и по степеням так называемого большого логарифма (1). В КХД такие логарифмы называются коллинеарными, так как наибольший вклад в них дает область интегрирования при малых относительных углах между импульсами партонов. Такое разложение позволяет учитывать только дающие наиболее значимый вклад слагаемые, усиленные большим логарифмом. При этом нет необходимости выполнять прямые многопетлевые вычисления.

Заметим, что в КЭД масштаб перенормировки цд обычно выбирается равным массе электрона. Масштаб факторизации обычно выбирается равным энергетическому масштабу жесткого подпроцесса. Например, для процесса элек-трон-позитронной аннигиляции в ^-бозон цр = Мг и цд = те, а большой логарифм имеет большое численное значение: Ь = 1п(М|/ш;2) ~ 24. Для процесса распада мюона цр берется равным массе мюона, а большой логарифм принимает значение Ь = 1п(тЦ/т2) ~ 11.

Уравнения эволюции партонных распределений в КЭД представляют собой редукцию уравнений ДГЛАП (уравнений Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи) в КХД |26 281 к абелеву случаю. Уравнения ДГЛАП успешно применяются в КХД при высоких энергиях для описания процессов

с сильными взаимодействиями. Для некоторых величин в КХД радиационные поправки были найдены в высших порядках для безмассовых частиц.

В работе В. Л. Грибова и Л. Н. Липатова [26] были получены структурные функции и применены для процесса электрон-позитронной аннигиляции в адроны, установлена связь между структурным функциями для электрон-пози-тронной аннигиляции и рассеяния. Позднее на основе это метода Ю. Л. Док-шицером [28] и независимо Г. Алтарелли и Дж. Паризи [27] были выведены уравнения эволюции.

В более ранних работах В. Л. Грибова, Л. Н. Липатова, В.Г. Горшкова и Г. В. Фролова 1960-х годов [29; 30] рассматривались дважды логарифмические асимптотики КЭД процессов: е+е- ^ ц+цг-рассеяпия вперед, ц,-е--рассеяния назад, е+е- ^ ц+ц,--аннигиляции, е-е+ и е-ц+-рассеяпия назад. В работе [31] были получены дважды логарифмические (пропорциональные (а 1п2 в)п) амплитуды е+е--аннигиляции в произвольное число фотонов.

Также Л. Н. Липатовым, В. Л. Грибовым и Г. В. Фроловым [32] были получены асимптотики уу, еу и ее-рассеяния при высоких энергиях, отобраны и вычислены диаграммы, дающие главный логарифмический вклад. Л. Н. Липатова и В. Л. Грибова [33; 34] рассматривались главное ((а 1п й)п) и двойное ((а 1п2 в)п) логарифмические приближения. В работе [33] рассматривалось е+е--рассеяние назад, было выведено интегральное уравнение для сечения этого процесса с испусканием произвольного числа фотонов, получено выражение для амплитуды в двойном логарифмическом приближении. В работе В. Л. Грибова, Л. Н. Липатова [35] показана связь между структурными функциями электрон-позитронной аннигиляции в адроны и глубоко неупругого рассеяния электрона на протоне в псевдоскалярной и векторной теории, а также между структурными функциями рассеяния электрона на мезоне и элек-трон-позитронной аннигиляции в мезоны.

Эти уравнения основаны на ренормгруппе и масштабной инвариантности. Они позволяют эффективно учитывать логарифмическую зависимость от масштаба факторизации.

В работе [10] показана возможность экспоненцировать и таким образом пересуммировать часть функций партонных распределений, больше деталей приведено в работе [36]. Естественность такого экпоненцирования определяется теоремой Йенни-Фраучи-Сууры [6]. Оно может быть произведено на основе известных решений уравнений эволюции в пределе мягкого излучения [26].

Пертурбативные решения уравнений эволюции в КЭД в ведущем логарифмическом приближении известны до пятого порядка для несинглетных функций распределения электрона [37; 38]. Синглетные функции высших порядков в ведущем логарифмическом приближении были вычислены в работе [39]. Таким образом, существующие результаты для функций типа электрон в электроне и фотон в электроне в коллинеарном ведущем логарифмическом приближении (ВЛП) хорошо проверены и уже были использованы для широкого класса процессов. Однако, с одной стороны, для каждого нового эксперимента требуется отдельный анализ эффектов, связанных с радиационными поправками, с другой стороны, в имеющихся результатах возможны ошибки. Ниже будет показано, как была исправлена ошибка в синглетной части функции Dee.

Функции партонных распределений в КЭД в следующем за ведущим логарифмическом приближении (СВЛП) исследованы и используются намного меньше. Структурные (пространственно-подобные, spacelike) функции типа электрон в электроне и фотон в электроне порядка О (a2L) впервые были приведены в работе [40]. Позже функции фрагментации (времени-подобные, timelike) типа электрон в электроне и электрон в фотоне того же порядка были использованы для описания радиационных поправок к спектру распада мюо-на [41] и глубоко неупругого рассеяния [42]. Пересуммирование в ведущем порядке в неполяризованном случае было рассмотрено в работе [43]. Также недавно в серии статей |44 461 были представлены результаты для радиационных поправок к электрон-позитронной аннигиляции в виртуальный фотон или Z-бозон до порядка О (a6L5). Эти результаты были получены с помощью структурных (пространственно-подобных) функций партонных распределений КЭД, но сами функции не были приведены в явном виде. Также эти результаты не совсем полны, так как не учитывались переходы электрона в позитрон, и была допущена ошибка в определении поправки к однопетлевому сечению, как будет показано ниже.

Мы используем стандартную модифицированную минимальную схему факторизации MS [47]. В некоторых недавних работах были рассмотрены альтернативные способы факторизации (схемы DIS (глубоко неупругого рассеяния) [48] и FKS (схема Фриксионе-Кунста-Зигнера) [49], дипольный формализм [50; 51] ) и разные схемы перенормировки (<x(mz) Gp) [48; 52—54]. Учитывались и электроны, и все остальные заряженные лептоны КЭД.

Вклады ведущего порядка в КЭД в нуклонные функции партонных распределений в КХД были рассмотрены в работах [55] и применены к нуклонным функциям в работах [56—59]. Эффекты КЭД были включены в систему уравнений эволюции партонных распределений кварков, антикварков, глюонов и фотонов в нуклоне.

В данной работе рассматривается чистая КЭД, в которой партонами являются фотон и безмассовые электрон и позитрон. Также возможно расширение нашего подхода с добавлением других лептонов, например, мюона [24].

Сечение высокоэнергетического процесса аЬ т сс1 с заряженными частицами в начальном и конечном состоянии в следующем за ведущим порядке можно представить следующим образом [60]:

^Т* = Е/ ^ / ^^г2,Ь)х

X (^Ты(^ъ) + йк1 (*1,22) + О(а2Ь0)) х

1 1

х П! ^ (| (| , (и)

У\ У2

где 0{ и у1 - некоторые минимальные доли энергии, определяемые условиями эксперимента; ^ - доли энергии налетающих партонов, - доли энергии вылетающих частиц, дг1, г2) и сЮ^Тк¿(z1, х2) - борновское сечение для

безмассовых партонов и О (а) вклад в пего. Такая форма представления сечения основана на теореме факторизации [61]. Метод факторизации позволяет отделить жесткие подпроцессы от мягких на основании того, что можно представить вероятность процесса через произведение вероятностей подпроцессов. Та же теорема утверждает, что функции партонных распределений и фрагментации, определенные для одного процесса, можно использовать и для других. Черта в йд^Тк 1 (г1, х2) означает, что для исключения массовых сингулярностей применена некоторая схема вычитания. Пространственно-подобные ('^г") и времени-подобные функции зависят от долей энергии и большого

логарифма Ь (1).

Таким образом, в сечении учитываются радиационные КЭД поправки, усиленные большим логарифмом, и сечение имеет вид

= ^J 1 + £ (£) £ сиL> + OtfL»M , (1.2)

I к=1 l=k-1 )

где Ckj некоторые коэффициенты. Слагаемые типа а.кЬк относятся к ведущему логарифмическому приближению (ВЛП), а слагаемые типа акLk-1 - к следующему за ведущим (СВЛП), акLk-2 - к следующему за следующим за ведущим (ССВЛП) и т.д. Традиционно в КХД в подходе структурных функций ВЛП называется LO (leading order, ведущий порядок), СВЛП называется NLO (next-to-leading order, следующий за ведущим порядок), и т.д. Мы также будем следовать этим обозначениям по аналогии с КХД. В большинстве случаев поправки ведущего порядка дают наибольший численный вклад.

1.1 Уравнения эволюции в квантовой электродинамике

Рассмотрим уравнения эволюции в КЭД для функций партонного распределения в пространственно-подобной области. Эти уравнения представляют собой уравнения ренормгруппы и имеют следующий вид [62]:

i4 1

Dba(X,^F) = 6(1 - x)6ba + £ у ^ J ^DM(y,t)Pu( f) , (1.3)

«=e,e,Y, ,2 х

где индекс а соответствует начальной частице, например, электрону; индексами Ь и г обозначены партоны в КЭД, которые могут быть фотонами (у), безмассовыми электронами (е) или позитронами (е). Функция партонных распределений Иъа(х,£) описывает плотность вероятности найти безмассовый партон Ь в начальной массивной частице а с долей энергии х от энергии начальной частицы. Здесь цр - масштаб факторизации, физический смысл которого - масштаб энергии, отделяющий жесткие процессы от мягких, цд - масштаб перенормировки. Функции Р^(х) называются функциями расщепления, они описывают пер-

х. Они могут быть разложены в ряд по а:

Р,,(х) = Р(?(х) + 2П^'(х) + О (а2). (1.4)

Выражения для функций Р^(х)(0) и Р^(х)(1) приведены в приложении А.

Выражение для функции Ре^)(ж) было получено, исходя из выражения для функции расщепления Р^^х) в КХД [63]. Она содержит вклады различных подпроцессов: чисто фотонную, синглетную, несинглетную и интерференционную части. Чисто фотонная часть соответствуют диаграммам с излучением только фотонов, синглетные - диаграммам с излучением электрон-позитронных пар виртуальным фотоном, несингл етные - с непрерывной электронной линией от вершины распада, интерференционные - интерференции синглетных и несингл етных [40; 62]. Мы следуем этой терминологии и приводим в приложении А выражения для четырех частей пространственно-подобных и времени-подобных функций. Следует отметить, что в работе [63] функция Рд1 (ж) разделена на две части: в одну входят только синглетные, а в другую все остальные вклады.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Возная Ульяна Евгеньевна, 2025 год

Список литературы

1. FCC Physics Opportunities: Future Circular Collider Conceptual Design Report Volume 1 [Текст] / A. Abada [и др.] // Eur. Phys. J. C. — 2019. — T. 79, № 6. - C. 474.

2. The International Linear Collider Technical Design Report - Volume 2: Physics [Текст]. — 2013. — Июнь.

3. CEPC Conceptual Design Report: Volume 2 - Physics & Detector [Текст] / M. Dong [и др.]. — 2018. — Нояб.

4. Эксперименты на Супер чарм-тау фабрике [Текст] / М. Н. Ачасов [и др.] // Усп. физ. наук. — 2024. — Т. 194, № 1. — С. 00 70.

5. Abbiendi, G. Status of the MUonE experiment [Текст] / G. Abbiendi // Physica Scripta. - 2022. - Аир. - T. 97, № 5. - C. 054007.

0. Yennie, D. R. The infrared divergence phenomena and high-energy processes [Текст] / D. R. Yennie, S. C. Frautschi, H. Suura // Annals Phys. — 1901. — T. 13. - C. 379-452.

7. Feynman, R. The behavior of hadron collisions at extreme energies [Текст] / R. Feynman // Conf. Proc. C. - 1909. - T. 090905. - C. 237-258.

8. Feynman, R. Photon-hadron interactions [Текст] / R. Feynman. — Westview press, 1998.

9. Боголюбов, H. Ведение в теорию квантованных полей [Текст] / Н. Боголюбов, Д. Ширков. - М., ГИЗТТЛ, 1957.

10. Kuraev, Е. A. On Radiative Corrections to e+ е- Single Photon Annihilation at High-Energy [Текст] / E. A. Kuraev, V. S. Fadin // Sov. J. Nucl. Phys. — 1985. - T. 41. - C. 400-472.

11. Rujula, A. D. Radiative corrections to high-energy neutrino scattering [Текст] / A. D. Rujula, R. Petronzio, A. Savoy-Navarro // Nuclear Physics

B. - 1979. - T. 154, № 3. - C. 394 420.

12. Weizsäcker, С. F. von. Radiation emitted in collisions of very fast electrons [Текст] / С. F. von Weizsäcker // Z. Phys. - 1934. - T. 88. - C. 012 025.

13. Williams, E. J. Nature of the high-energy particles of penetrating radiation and status of ionization and radiation formulae [Текст] / E. J. Williams // Phys. Rev. - 1934. - T. 45. - C. 729 730.

14. Байер, В. Излучение релятивистских электронов [Текст] / В. Байер. — М., Атомиздат, 1973.

15. Двухфотонное рождение частиц и приближение эквивалентных фотонов [Текст] / В. Буднев [и др.] // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1973. - Т. 4. - С. 239 284.

16. Gray, Н. М. Future colliders for the high-energy frontier [Текст] / H. M. Gray // Rev. Phys. - 2021. T. 6. C. 100053.

17. De Rujula, A. Radiative Corrections to High-Energy Neutrino Scattering [Текст] / A. De Rujula, R. Petronzio, A. Savoy-Navarro // Nucl. Phys. B. — 1979. - T. 154. - C. 394 426.

18. Blumlein, J. Leading Log Radiative Corrections to Deep Inelastic Neutral and Charged Current Scattering at HERA [Текст] / J. Blumlein // Z. Phys. C. — 1990. - T. 47. - C. 89-94.

19. Blumlein, J. Leading log radiative corrections to deep inelastic e p scattering at LEP x LHC [Текст] / J. Blumlein // ECFA Large Hadron Collider (LHC) Workshop: Physics and Instrumentation. — 11.1990. — C. 897—898.

20. Kuraev, E. A. Radiative tail in pi(e2) decay and some comments to mu -e universality. [Текст] / E. A. Kuraev // JETP Lett. - 1997. - T. 65. -

C. 127-130.

21. Arbuzov, A. Muon decay spectrum: Leading logarithmic approximation [Текст] / A. Arbuzov, A. Czarnecki, A. Gaponenko // Phys. Rev. D. — 2002. - T. 65. - C. 113006.

22. Heller, M. Leading-order QED radiative corrections to timelike Compton scattering on the proton [Текст] / M. Heller, N. Keil, M. Vanderhaeghen // Phys. Rev. D. - 2021. - T. 103, № 3. - C. 036009.

23. Steinberger, J. First results at the LEP e+e- collider [Текст] / J. Steinberger // Phys. Rept. / под ред. Т. Huang [и др.]. — 1991. — Т. 203. - С. 345—381.

24. Frixione, S. The muon parton distribution functions [Текст] / S. Frixione, G. Stagnitto // JHEP. - 2023. - T. 12. - C. 170.

25. High-precision muon decay predictions for ALP searches [Текст] / P. Banerjee [и др.] // SciPost Phys. - 2023. - T. 15, № 1. - C. 021.

26. Грибов, В. H. Глубоко неупругое е р рассеяние в теории возмущений [Текст] / В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов // Яд. Физ. — 1972. — Т. 15. — С. 781-807.

27. Altarelli, G. Asymptotic Freedom in Parton Language [Текст] / G. Altarelli, G. Parisi // Nucl. Phys. B. - 1977. - T. 126. - C. 298-318.

28. Докшицер, Ю. Calculation of the Structure Functions for Deep Inelastic Scattering and e+ e- Annihilation by Perturbation Theory in Quantum Chromodynamics. [Текст] / Ю. Докшицер // ЖЭТФ. — 1977. — Т. 73. — С. 1216-1240.

29. Дважды логарифмические асимптотики в квантовой электродинамике [Текст] / В. Г. Горшков [и др.] // Яд. Физ. — 1967. Т. 6. С. 129.

30. Электрон-позитронное рассеяние назад при высоких энергиях [Текст] / В. Г. Горшков [и др.] // Яд. Физ. — 1967. — Т. 6. — С. 361.

31. Горшков, В. Г. Дважды логарифмическая асимптотика аннигиляции пары е+е- в произвольное число фотоное [Текст] / В. Г. Горшков, Л. Н. Липатов // Яд. Физ. - 1969. Т. 9. С. 818-831.

32. Грибов, В. Н. О ведущей особенности в j-плоскости в квантвой электродинамике [Текст] / В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г. В. Фролов // Яд. Физ. — 1970. - Т. 12. - С. 994.

33. Липатов, Л. Н. Тормозное излучение в е+е--рассеянии назад как муль-тиреджевский процесс [Текст] / Л. Н. Липатов // Яд. Физ. — 1971. — Т. 14. - С. 160-177.

34. Липатов, Л. Н. Тормозное излучение в процессе е+е--рассеяния назад при высокой энергии [Текст] / Л. Н. Липатов // Яд. Физ. — 1971. — Т. 14. - С. 396-407.

35. Грибов, В. Н. Аннигиляция е+ е- пар и глубоко неупругое ер-рассеяние в теории возмущений [Текст] / В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов // Яд. Физ. — 1972. - Т. 15. - С. 1218-1237.

36. QED structure functions: A Systematic approach [Текст] / М. Cacciari [и др.] // ЕРЬ. - 1992. - Т. 17. - С. 123-128.

37. Przybycien, М. A Fifth order perturbative solution to the Gribov-Lipatov equation [Текст] / M. Przybycien // Acta Phys. Polon. B. — 1993. — T. 24. — С. 1Ю5-1114.

38. Arbuzov, A. B. Nonsinglet splitting functions in QED [Текст] / A. B. Arbuzov 11 Phys. Lett. B. - 1999. - T. 470. - C. 252-258.

39. Blumlein, J. Universal higher order QED corrections to polarized lepton scattering [Текст] / J. Blumlein, H. Kawamura // Nucl. Phys. B. — 2005. — T. 708. - C. 467-510.

40. Berends, F. A. Higher Order Radiative Corrections at LEP Energies [Текст] / F. A. Berends, W. L. van Neerven, G. J. H. Burgers // Nucl. Phys. B. — 1988_ _ T_ 297. - C. 429. - [Erratum: Nucl.Phys.B 304, 921 (1988)].

41. Arbuzov, A. 0(a2 ln(m(^)/m(e)) corrections to electron energy spectrum in muon decay [Текст] / A. Arbuzov, K. Melnikov // Phys. Rev. D. — 2002. — T. 66. - C. 093003.

42. Blumlein, J. 0(a2L) radiative corrections to deep inelastic ep scattering [Текст] / J. Blumlein, H. Kawamura // Phys. Lett. B. — 2003. — T. 553. — C. 242-250.

43. Blumlein, J. Universal higher order singlet QED corrections to unpolarized lepton scattering [Текст] / J. Blumlein, H. Kawamura // Eur. Phys. J. C. — 2007. - T. 51. - C. 317-333.

44. Blumlein, J. Two-loop QED Operator Matrix Elements with Massive External Fermion Lines [Текст] / J. Blumlein, A. De Freitas, W. van Neerven // Nucl. Phys_ в _ 2012. - Т. 855. - С. 508-569.

45. Subleading Logarithmic QED Initial State Corrections to e+e- ^ у*/Z°* to 0(<x6L5) [Текст] / J. Ablinger [и др.] // Nucl. Phys. B. - 2020. - T. 955. -C. 115045.

46. Blumlein, J. The QED initial state corrections to the forward-backward asymmetry of e+e- ^ у*/Z°* to higher orders [Текст] / J. Blumlein, A. De Freitas, K. Schonwald // Phys. Lett. B. - 2021. - T. 816. - C. 136250.

47. Deep Inelastic Scattering Beyond the Leading Order in Asymptotically Free Gauge Theories [Текст] / W. A. Bardeen [и др.] // Phys. Rev. D. — 1978. — T. 18. - C. 3998.

48. Frixione, S. On factorisation schemes for the electron parton distribution functions in QED [Текст] / S. Frixione // JHEP. - 2021. - T. 07. - C. 180. -[Erratum: JHEP 12, 196 (2012)].

49. Engel, T. A subtraction scheme for massive QED [Текст] / Т. Engel, A. Signer, Y. Ulrich // JHEP. - 2020. - T. 01. - C. 085.

50. Catani, S. A general algorithm for calculating jet cross sections in NLO QCD [Текст] / S. Catani, M. Seymour // Nuclear Physics B. — 1997. — Февр. — Т. 485, № 1/2. - С. 291-419.

51. The dipole formalism for next-to-leading order QCD calculations with massive partons [Текст] / S. Catani [и др.] // Nuclear Physics B. — 2002. — Аир. — T. 627, № 1/2. - C. 189-265.

52. Frixione, S. Initial conditions for electron and photon structure and fragmentation functions [Текст] / S. Frixione // JHEP. — 2019. — T. 11. — C. 158.

53. The partonic structure of the electron at the next-to-leading logarithmic accuracy in QED [Текст] / V. Bertone [и др.] // JHEP. - 2020. - Т. 03. -С. 135. - [Erratum: JHEP 08, 108 (2022)].

54. Improving methods and predictions at high-energy e+e- colliders within collinear factorisation [Текст] / V. Bertone [и др.] // JHEP. — 2022. — Т. 10. - С. 089.

55. Spiesberger, H. QED radiative corrections for parton distributions [Текст] / H. Spiesberger // Phys. Rev. D. - 1995. - T. 52. - C. 4936-4940.

56. Roth, M. QED corrections to the evolution of parton distributions [Текст] / M. Roth, S. Weinzierl // Phys. Lett. B. - 2004. - T. 590. - C. 190-198.

57. Parton distributions incorporating QED contributions [Текст] / A. D. Martin [и др.] // Eur. Phys. J. C. - 2005. - T. 39. - C. 155-161.

58. Parton distributions with QED corrections [Текст] / R. D. Ball [и др.] // Nucl. Phys. B. - 2013. - T. 877. - C. 290-320.

59. Bertone, V. APFEL: A PDF Evolution Library with QED corrections [Текст] / V. Bertone, S. Carrazza, J. Rojo // Comput. Phys. Commun. — 2014. - T. 185. - C. 1647-1668.

60. Arbuzov, А. В. Next-to-leading order corrections to Bhabha scattering in renormalization group approach. I. Soft and virtual photonic contributions [Текст] / A. B. Arbuzov, E. S. Scherbakova // JETP Lett. - 2006. - T. 83. -C. 427-432.

61. Collins, J. C. Factorization for hard exclusive electroproduction of mesons in QCD [Текст] / J. C. Collins, L. Frankfurt, M. Strikman // Phys. Rev. D. -1997. - T. 56. - C. 2982-3006.

62. Arbuzov, A. B. Leading and Next-to-Leading Logarithmic Approximations in Quantum Electrodynamics [Текст] / A. B. Arbuzov // Phys. Part. Nucl. — 2019. - T. 50, № 6. - C. 721-825.

63. Ellis, R. K. The Evolution of parton distributions beyond leading order: The Singlet case [Текст] / R. K. Ellis, W. Vogelsang. — 1996. — Февр.

64. Curci, G. Evolution of Parton Densities Beyond Leading Order: The Nonsinglet Case [Текст] / G. Curci, W. Furmanski, R. Petronzio // Nucl. Phys. B. - 1980. - T. 175. - C. 27-92.

65. The relation between the QED charge renormalized in MSbar and on-shell schemes at four loops, the QED on-shell beta-function at five loops and asymptotic contributions to the muon anomaly at five and six loops [Текст] / P. A. Baikov [и др.] // Nucl. Phys. B. - 2013. - T. 867. - C. 182-202.

66. Gorishnii, S. G. The three loop QED contributions to the photon vacuum polarization function in the MS scheme and the four loop corrections to the QED beta function in the on-shell scheme [Текст] / S. G. Gorishnii, A. L. Kataev, S. A. Larin // Phys. Lett. B. - 1991. - T. 273. - C. 141-144. -[Erratum: Phys.Lett.B 275, 512 (1992), Erratum: Phys.Lett.В 341, 448 (1995)].

67. Ruijl, B. FORM version 4.2 [Текст] / В. Ruijl, Т. Ueda, J. Vermaseren. — 2017. — Июль.

68. Mait/re, D. HPL, a mathematica implementation of the harmonic polylogarithms [Текст] / D. Maitre // Comput. Phys. Commun. — 2006. — T. 174. - C. 222-240.

69. MT: A Mathematica package to compute convolutions [Текст] / M. Hdschele [и др.] // Comput. Phys. Commun. - 2014. - T. 185. - C. 528-539.

70. NLO QCD corrections to Drell-Yan processes in the SANC framework [Текст] / A. Andonov [и др.] // Phys. Atom. Nucl. — 2010. — T. 73. — C. 1761-1769.

71. Penin, A. A. Two-loop photonic corrections to massive Bhabha scattering [Текст] / A. A. Penin // Nucl. Phys. B. - 2006. - T. 734. - C. 185-202.

72. Becher, T. Two-loop QED corrections to Bhabha scattering [Текст] / Т. Becher, К. Melnikov // JHEP. - 2007. - T. 06. - C. 084.

73. Small-mass effects in heavy-to-light form factors [Текст] / Т. Engel [и др.] // JHEP. - 2019. - Т. 02. - С. 118.

74. Skrzypek, М. Leading logarithmic calculations of QED corrections at LEP [Текст] / M. Skrzypek // Acta Phys. Polon. B. - 1992. - T. 23. -C. 135-172.

75. Furmanski, W. Singlet Parton Densities Beyond Leading Order [Текст] / W. Furmanski, R. Petronzio // Phys. Lett. B. - 1980. - T. 97. - C. 437-442.

76. Drell, S. D. Massive Lepton Pair Production in Hadron-Hadron Collisions at High-Energies [Текст] / S. D. Drell, T.-M. Yan // Phys. Rev. Lett. - 1970. -T. 25. - C. 316-320. - [Erratum: Phys.Rev.Lett. 25, 902 (1970)].

77. Matveev, V. A. Automodelity in strong interactions [Текст] / V. A. Matveev, R. M. Muradyan, A. N. Tavkhelidze // Teor. Mat. Fiz. - 1973. - T. 15. -C. 332-339.

78. Numerical Implementation of Harmonic Polylogarithms to Weight w 8 [Текст] / J. Ablinger [и др.] // Comput. Phys. Commun. — 2019. — T. 240. — C. 189-201.

79. Review of Particle Physics [Текст] / R. L. Workman [и др.] // PTEP. — 2022. - T. 2022. - С. 083C01.

80. Kinoshita, T. Radiative corrections to Fermi interactions [Текст] / T. Kinoshita, A. Sirlin // Phys. Rev. - 1959. - Т. 113. - C. 1652-1660.

81. Fronsdal, C. ц-Meson Decay with Inner Bremsstrahlung [Текст] / С. Fronsdal, H. Überall 11 Phys. Rev. - 1959. - Янв. - Т. ИЗ, вып. 2. - С. 654-657.

82. Eckstein, S. Radiative muon decay [Текст] / S. Eckstein, R. Pratt // Annals of Physics. - 1959. - T. 8, № 2. - C. 297-309.

83. Kuno, Y. Muon decay and physics beyond the standard model [Текст] / Y. Kuno, Y. Okada // Rev. Mod. Phys. - 2001. - T. 73. - С. 151-202.

84. Hincks, E. P. Search for Gamma-Radiation in the 2.2-Microsecond Meson Decay Process [Текст] / E. P. Hincks, В. Pontecorvo // Phys. Rev. — 1948. — Февр. — T. 73, вып. 3. — С. 257—258.

85. Nishijima, К. Vanishing of the Neutrino Rest Mass [Текст] / К. Nishijima // Phys. Rev. - 1957. - Нояб. - T. 108, вып. 3. - С. 907-908.

86. Investigation of the п+ ^ e+e- electron-neutrino e+e- decay [Текст] / S. M. Korenchenko [и др.] // Sov. Phys. JETP. - 1976. - T. 44. - С. 35.

87. Search for muH--> e+ e+ e- decay [Текст] / V. A. Baranov [и др.] // Sov.

J. Nucl. Phys. - 1991. - T. 53. - C. 802-807.

88. Berti, W. A new upper limit for the decay ц+ ^ e+e-e+ [Текст] / W. Berti, R. Eichler // Physics Letters B. - 1984. - T. 140, № 5. - C. 299-303.

89. Search for the decay ц+ ^ e+e-e+ [Текст] / U. Bellgardt [и др.] // Nuclear Physics B. - 1988. - T. 299, № 1. - C. 1-6.

90. Bernstein, R. H. The Mu2e Experiment [Текст] / R. H. Bernstein // Front, in Phys. - 2019. — T. 7. — С. 1.

91. The Mu3e Experiment [Текст] / G. Hesketh [и др.] // Snowmass 2021. — 04.2022.

92. Mischke, R. E. TWIST: Precision Measurement of the Muon Decay Parameters [Текст] / R. E. Mischke // J. Phys. Conf. Ser. / под ред. J. Dilling, J. Thomson. - 2011. - T. 312. - C. 102004.

93. Bayes, R. The final measurements of the muon decay parameters from the TWIST experiment [Текст] / R. Bayes // J. Phys. Conf. Ser. / под ред. A. Blondel, I. Efthymiopoulos, G. Prior. - 2013. - T. 408. - C. 012071.

94. Arbuzov, A. Higher order QED corrections to muon decay spectrum [Текст] / A. Arbuzov // JHEP. - 2003. - T. 03. - C. 063.

95. Anastasiou, C. The Electron energy spectrum in muon decay through 0(a2) [Текст] / С. Anastasiou, К. Melnikov, F. Petriello // JHEP. - 2007. -T. 09. - C. 014.

96. Behrends, R. E. Radiative corrections to decay processes [Текст] / R. E. Behrends, R. J. Finkelstein, A. Sirlin // Phys. Rev. — 1956. — T. 101. - C. 866-873.

97. Berman, S. M. Some considerations on the radiative corrections to muon and neutron decay [Текст] / S. M. Berman, A. Sirlin // Annals Phys. — 1962. — T. 20, № 1. - C. 20-43.

98. Berman, S. M. Radiative corrections to muon and neutron decay [Текст] / S. M. Berman // Phys. Rev. - 1958. - T. 112. - C. 267-270.

99. Steinhauser, M. Second order corrections to the muon lifetime and the semileptonic В decay [Текст] / M. Steinhauser, Т. Seidensticker // Phys. Lett. В. - 1999. - Т. 467. - С. 271-278.

100. Ritbergen, Т. van. Complete two loop quantum electrodynamic contributions to the muon lifetime in the Fermi model [Текст] / Т. van Ritbergen, R. G. Stuart // Phys. Rev. Lett. - 1999. - T. 82. - C. 488-491.

101. Czarnecki, A. Semileptonic b —> u decays: Lepton invariant mass spectrum [Текст] / A. Czarnecki, K. Melnikov // Phys. Rev. Lett. - 2002. - T. 88. -C. 131801.

102. Fael, M. Third order corrections to the semileptonic b—»с and the muon decays [Текст] / M. Fael, K. Schonwald, M. Steinhauser // Phys. Rev. D. - 2021. -T. 104, № 1. - C. 016003.

103. Márquez, J. M. Michel parameters in the presence of massive Dirac and Majorana neutrinos [Текст] / J. M. Márquez, G. L. Castro, P. Roig // JHEP. - 2022. - T. 11. - C. 117.

104. Michel, L. Interaction between four half spin particles and the decay of the ц meson [Текст] / L. Michel // Proc. Phys. Soc. A / под ред. Т. Damour, I. Todorov, B. Zhilinskii. - 1950. - T. 63. - C. 514-531.

105. Bouchiat, C. Theory of ц-Meson Decay with the Hypothesis of Nonconservation of Parity [Текст] / С. Bouchiat, L. Michel // Phys. Rev. / под ред. Т. Damour, I. Todorov, B. Zhilinskii. — 1957. — T. 106. — C. 170-172.

106. Arbuzov, A. B. Michel parameters in radiative muon decay [Текст] /

A. B. Arbuzov, Т. V. Kopylova // JHEP. - 2016. - T. 09. - C. 109.

107. Ellis, R. K. QCD and collider physics [Текст]. Т. 8 / R. К. Ellis, W. J. Stirling,

B. R. Webber. — Cambridge University Press, 02.2011.

108. Mele, B. The Fragmentation function for heavy quarks in QCD [Текст] / В. Mele, P. Nason // Nucl. Phys. B. - 1991. - T. 361. - C. 626-644. -[Erratum: Nucl.Phys.B 921, 841-842 (2017)].

109. Cacciari, M. Soft gluon resummation for the fragmentation of light and heavy quarks at large x [Текст] / M. Cacciari, S. Catani // Nucl. Phys. B. — 2001. — T_ 617_ _ c. 253-290.

110. Kinoshita, T. Mass singularities of Feynman amplitudes [Текст] / Т. Kinoshita 11 J. Math. Phys. - 1962. — T. 3. — C. 650-677.

111. Lee, T. D. Degenerate Systems and Mass Singularities [Текст] / Т. D. Lee, M. Nauenberg // Phys. Rev. / под ред. G. Feinberg. — 1964. — T. 133. — B1549-B1562.

112. ZFITTER: A Semi-analytical program for fermion pair production in e+ e- annihilation, from version 6.21 to version 6.42 [Текст] / A. B. Arbuzov [и др.] // Comput. Phys. Commun. - 2006. - T. 174. - С. 728-758.

Приложение А Функции расщепления КЭД

Функции расщепления для КЭД могут быть получены из соответсвующих выражений для КХД ([63; 75] для пространственно-подобного случая и [75; 108] для времени-подобного. Мы редуцировали функции для абелева случая (КЭД), взяв соотвествующие значения констант: Сд = 1, Сс = 0, Тд • Жд = 1 для [75] и Сд = 1, = 0, и Т/ = 1 для [63]. Также бета функции равны во = — | и в1 = — 4 Следует помнить, что Р^ должны быть согласованы с выражением для бегущей константы а (см. раздел 1.2), чтобы избежать двойного счета. Здесь приведены выражения для функций расщепления в нашем подходе, где эффекты, связанные с уР;^ не входят в выражения для функций следующего

за ведущим порядка Функции низшего порядка (для ЬО):

^ууН^) = вТ^1 х), Р еу

= [у—^.• (ж) = в0§(1—рео'м=+(1—®)2,

Р(0'(^)=1 + (1 —Ж)2, ^(х^Р^х^О. (А.1)

х

Функции следующего за ведущим порядка, пространственно-подобные:

— 1п х 1п(1 — х) + 11п2 х + Ы2(1 — х)

2

3

+ 1пх + -— 2

— х — 4(1 + х) 1п2 х) + 5(1 — х) (16 — 2 02 + 3Сз), (А.2)

[Р«1^)]5(х) = 2(—31—2 — 3(1 — х) — 5(1 — х) (1 + 3С2)), (А.З)

[Ре(е1'*) (х)] * = 9х — 2 + 6х — 56х2 + (1 + 5х + 8х2) 1п х — (1 + х) 1п2 х,

1 + х2 / 1 2 т. ч Я Ч 7

[Ре(^)]* (х)=^1+х-(

I*

—4+2

—- 1п х — Ы2(1 — х) — - 1пх — -(1 + х) 1пх—

1 х 2 2 4 4

), (А.4)

Р^'^х) = 2^+^ 52(х) + 2(1 + х) 1пх + 4(1 — х), (А.5) 1+ х

[Р<е1,(х)]5 = [Р^]* (х) + (х) + [Р^]* (х) + )]* (х), (А.6)

[Р^ (х)] * = Р^ (х) + [Р<^ ] * (х), (А.7)

[P^s(x) = 4 - 9ж - (1 - 4ж) ln ж - (1 - 2ж) ln2 ж + 4ln(l - ж) +

+ (2(ln(l - ж) - ln ж)2 - 4(ln(l - ж) - ln ж) - 4Z(2) + lö) P(¡)(x), (A.8)

(ж) = -5 - Тж + (2 + 7x^J ln ж - (l - 1 ж^ ln ж2 - 2x ln(l - x)-

(Зln(l - x) + ln2(l - ж))Р^(ж) + ^-f - (2Ö +

(A.9)

[РЦ] s(ж) = -16 + 8ж + 20+ 4 - (6 + 10ж) ln ж - 2(1 + x) ln2 X- 6(1 - x). (A.10)

Времени-подобные функции:

Pe(e1,Y) = 2x ln x + ln x ln(l - ж) (-2 + y~¡c - 2^ + ln2 x 5 - Y~ic + 5Ж) + 4

+ 2 - --Li2(l - x) + 2Li2(l - x) - Зх + 2^Li2(l - x), (A.ll)

^="n -(2 - З<гЬ)+З ») - M-,

P£'s) = ln x\ -5 - 9ж - 8 x2) + ln2 ж(1 + x) - 8 - — + 4ж + 56 ж2, (A.13) V З ) 9x 9

p(l>mt) = ln x(-5 + —З--5x) - 7 + -^Li2(l - x) - 2Li2(1 - x) + 8ж-

\ 1 X J 1 Ж

- 2^Li2(1 - ж). (A.14)

[РЦЧ^Т = №°]т (x) + iP£NS) ]т M + t^T (*) + FÜ'^T (*), [рЦ)(ж)] т = -8 - ( 16 + З ln ж + 8 ln(l - ж)^ + (-2 + Зж + (-7 + 8ж) ln ж- 4 ln(l - x) + (1 - 2х) ln2 x + (-4 ln x ln(l - x) - 2 ln2 x - 2 ln(l - x) + +2 ln ж - 2 ln2(l - x) + 1651(ж) + 12Z2 - 10) ), (A.15)

[P(1J(x)]T = -2 + 2^-8 + 1 ^ ln ж + 2ж ln(l - x) + (l - ln2 ж+

+ (ln2(l - x) + 4lnж ln(l - x) - 851(ж) - 4n2^ (A.16)

[P^L(ж) = -4 + 12ж - 164ж2 + 92 - I 10 + 14ж + 16ж2 + 16 ) lnж+ L YY A1 9 9x \ З Зх J

+ 2(1 + ж) ln2 ж - 6(1 - x). (A.17)

1+х 2

52(х)= / — 1п^—^ = —3^2 — ^ + 21пх 1п(1 + х) + 2Ь12(1 + х); (А.18)

J X X 2

X

1+х

1—ж

51(х)= / — 1п(1 — *), (А.19)

о

где Рее*(х) и Рее(х) - несинглетный и синглетный вклады соответственно.

Приложение Б

Функции партонных распределений и фрагментации

Пространственно-подобные функции (функции партонных распределений, структурные функции):

ДО'МЬ =511 -г) + а (- - 21п<1 -г + а 11 +2

2

да^=да)]5+(2Л) ь

157 2

2п 1 - г ' 11 251

(Б.1)

18 г 9(1 - х)

+

18

-х- 2х2+

1 + х2 /8 + 4^21--(2 + 2^(1 - ^) + 1п х[ -— -

1

1- х

22 4

■----

3г 3(1 - 2) 3 3

8 \ / 14 \ 1 + г 2

+ -х2) +1п(1 -гИ 11 - --+ 3И - 61п2(1 - г+ 1пг 1п(1 - г)х

3 / V 1 — х / 1 — х

х

+

(

-4 + 11

О

---4^1 +1п2 х\ -7 - 7 х)

1 - 2 ) V 2 2 )

+ ()2

72

- 3 + 3^+

4 2 2 . .1 + (5

2 I о!„/1 + 1п ^ _ -

яи ^ - ч* - ч^ + 21п(1 - г) 3(1 - х) 3 3 1 - ^

2

о

М™^ )]5 = +ё) 1

\2п/

17 2

- — X2 + ^2 . 1

3 V 1 — г

с

539 11

+ — -

2 37

5

1-*+2*

)

; (Б.2)

27 3^ 54(1 - г)

1007

"54

18 - 19 + , + ^2 - Л - 10 Сз^ - (7 + 7г) х 3 3^ / 1 — ^

х 81,2(1 - 2) + Ы2(1 - х)( -12 - 102 + -+ 1п(1 - ^)(-12 - 12^) +

+ 1п 2(-9 - 9^)) + 12(1 + 2)Ыз(1 - г) + 1п(1 - х)

(

209

397

36 18(1 - 2)

+

1075 2 4 2 _ 1+

!°6-г " ^ " зг2 +—

2 53 2 34

+ 1п2(1 - х)[— - — -

15

2 3^ 1- х + 2 * +

2 Л 01 ^ Л + /65 + -х2\ - 81п3(1 - 2) ---+ 1пх\— +

17

3

1- х

_ 61 _ 4Г 1 + ¿2 ^ 4 1 6(1 - г) 4 * С2 1 - г +

28

9

8

— X2) + 1п 2 1п(1 - 2 )--- - — +

28

+ 121п2 1п2(1 - 2)

1- X

3 3^ 3(1 - 2) 3 + 1п2 х\-1 +

26 2

- —г + 42Г +

7

7

2 3(1 - х) 2

- -2 - 4^2 +

)

2

2

Iin2,in(1 - г)( -11 -11 z)Iin3, (3+3 г)

I

I ( )3-3

9Т1 S

491

216 2Т^ 10S(1 - z)

- 2Z2

1 + z2 1 -z

11

S

2

216^ 2Т2 +

26

(Т Т \ l \Т S

з + rJ+ln(1 - П-1Т + 9z + 3(1 - z)

- 3 z - S z2 ) I

_ 2/, Л + z2 /151

I 2 ln2(1 - z)--+ lnz

1

13

36 3(1 - z)

I

103

ln^ln(1 - 2) ( 13 -

36zIr

2

2

13 2 11

+ y-J+ln2- \-11+ 3(1 - z)

I

11

- 12z

9

)

;

5 5 + (

V2n/

4S79 55 I

2

10S

1S 2 3(1 - z)

14129

2+

37 2 40 23 20 4

+ ЭТ22 + ¥ — 23 2 — 20) Z2 I (14 I 2) Z3 + S1 1 — 2\—10 —

\ /6 4\ / 16 16 5

+ + Li2(1 + ^ y^10 + 6 + 4- + ^ у + Li2(1 4-16 - ^ - 3*+

+ ln(1 - z) ^-6 - S + 3 z) + lnz S I ILi3(1 - z)(^6 + S -- 4z^ I Li3(z2) ^-111 - 0 I Li3(1 I 4-S - S - 4z^ I ln(11 z) x x 412 112 I 6 z) I ln(1 - z^95 -

22 + 3 22 —6

12

(z - 1)2 + 1

1Бz 3(1 - z)

4Sr

"36'

^ Ы I ln2(1 - zH -1I 6 - 13*) - 3ln3(1 - z)x

(1 - ^ I1 !

x --1--h ln z

m 20

I — I

11

4

23 12Т 2 S

__y__22 + 6___

3 z 1 2(1 - z) 12* 36 V z

-z jZ2 I 4lí2(1 I zM + lnzln(1 - z) 3 - 19zj + lnzln2(1 - z) x

x^^ (- T + ê — D+^f—2I 2) +

2 1 Т 3 + ln<1 — 2>l —3 +2 - 2 ) + - 3 + 32

191 S 2

"гГ1^ - 3Z2

I ln3

2 (z - 1)2 + 1

)

i ( i, )"'•

193 62

4

36 2Т

4S

+ —Li2(1 - z) + ln(1 - z) - + —+

3

99

m 2л 2м ,(z - 1)2 + 1 / Т Б 10 . , + -z + - ln2(1 - zp----h ln z I -— - — + — z ] + ln zx

3

1S 9 9

x ln(l - г К4 - 2 z)+ln2 *(1 -1 г

)

r^(I), m a . n лл . (1 - z)2 + 1 a r (1 - z)2 + 1 [D(yl(z)]s = ^ (-2 - 4ln*) (-)-+ — L( )

2

47 18

2n 46 2

9z

z

(б.4) (б.5)

1- 2

133 18

-z + z2+

738 38 4 25 n 2 , + ln(l - 2) I — - — - -----2 + 2z2 ) +

3 3z 1 — z 3

2

. 2m .(1 - г)2 + 1 . / 2 8 29 \ , 2 / г \

- ln2(l - 2 -^-+ln 2 (r 3 + si + 6"z) +ln2 2 1 + 2)

f*\2г21 .J1 - +2 + ln г (l

+

1 - -z + ln(l - 2)-

[0<?(z)]s = Ö,

(Б.6) (Б.7)

2

1 -- + 3z - 2z2 - 6Z2 -, z 1 + z

1 + z

2

+ 4Li2(l + z)

1 + z2 1 + z