Смешанные ряды по полиномам Мейкснера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гаджиева, Зульфия Джамалдиновна

• Гаджиева, Зульфия Джамалдиновна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаджиева, Зульфия Джамалдиновна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I Смешанные ряды по полиномам Мейкснера

§1.1 Основные свойства полиномов Мейкснера

§1.2 Дальнейшие свойства полиномов Мейкснера

§1.3 Дискретное преобразование Фурье-Мейкснера.

§1.4 Смешанные ряды по полиномам Мейкснера.

§1.5 Операторы C^+r q(d)

§1.6 Операторы C^+r q(d)

§ 1.7 Приближение функций на сетке {0,5,2(5,.}

§ 1.8 Приближение полиномов на [0,оо).

Глава II Приближение суммами Фурье-Мейкснера

§2.1 Введение.

§2.2 Вспомогательные результаты

§2.3 Оценка функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

§ 2.3.1 Оценка функции Лп^{х) на G\: случай n/N < А

§ 2.3.2 Оценка функции АП)дг(ж) на Сг

§ 2.3.3 Оценка функции ЛП)дг(гг) на G3 и G

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанные ряды по полиномам Мейкснера»

В настоящее время теория многочленов, ортогональных на дискретных сетках, стала бурно развиваться. Это было вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве (сетках) и их конечных разностей. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение новые ряды по полиномам Мейксне-ра, которым, следуя работам Шарапудинова И.И.[55]-[59], мы дали название "Смешанные ряды" и исследуются их аппроксимативные свойства. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппроксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам. Исследования, проведенные в 1-й главе, показывают, что смешанные ряды по полиномам Мейкснера также не являются исключением в указанном смысле. Другая задача, рассмотренная в главе 2 настоящей работы, посвящена исследованию вопросов приближения непрерывных функций, заданных на полуоси [0, оо) и дискретных функций, заданных на сетке, суммами Фурье-Мейкснера. Здесь, в свою очередь, возникают вопросы об оценке функции Лебега указанных сумм.

Объект исследования.

В работе исследуются смешанные ряды по полиномам Мейксне-ра, ортогональным на равномерной сетке, изучаются их частичные суммы и аппроксимативные свойства этих сумм. Также рассматривается функция Лебега частичных сумм Фурье-Мейкснера.

Цель работы.

1) Построить смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке и изучить их свойства.

2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.

3) Получить оценки сверху отклонения частичной суммы смешанного ряда от дискретной функции, заданной на равномерной сетке и принадлежащей пространству 12,р.

4) Получить оценки сверху отклонения конечных разностей частичной суммы ряда от дискретной функции.

5) Получить оценки сверху функции Лебега сумм Фурье-Мейкснера.

Общие методы исследования.

В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.

Научная новизна.

Вводятся новые-смешанные ряды по полиномам Мейкснера, ортогональным на бесконечной равномерной сетке, и исследуются их аппроксимативные свойства. Главным преимуществом этих новых ("смешанных") рядов, по сравнению с рядами Фурье, является то, что их частичные суммы являются хорошим аппаратом для одновременного приближения дискретных функций из /2,р и их конечных разностей (разностных производных).

Практическая ценность.

Полученные в работе результаты могут быть использованы в некоторых вопросах теории приближений и численного анализа, при построении смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.

Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались: на ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (1999-2003г), на Воронежской зимней математической школе (2003г.), на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2003г.), на 6-й Казанской международной летней школе-конференции (2003г.), в Дагестанском научном центре (2003г.), на Саратовской зимней математической школе (2004г).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 60 наименований. Общий объем работы 103 страницы компьютерного набора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаджиева, Зульфия Джамалдиновна, 2004 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Агаханов С.А., Натансон Г.И. Функция Лебега сумм Фурье-Якоби // Вестник Ленингр. ун-та. Вып. 1. 1968. С. 11-13.

3. Ахмед Н., Рао К.Г. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1980.

4. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье-Якоби // Сиб. Мат.Ж. Т.9. Вып. 6. 1968. С. 1263-1283.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. 1987.

6. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Носков Ю.В. О практическом вычислении значений ортогональных многочленов непрерывного и дискретного аргумента // Препринт Отдела выч.мат. АН СССР. М.: 1987. Вып. 158.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ТТ. 1,2. М.: Наука. 1973, 1974.

8. Бернштейн С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке // Полн.собр.соч. Т.2. 1954. М.: Изд. АН СССР. С. 7-106.

9. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. 1987.

10. Гаджиева З.Д. Об одном дискретном аналоге частичных сумм смешанного ряда по полиномам Чебышева // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы" Современные методы теории функции и смежные проблемы" 2003. Воронеж, ВГУ, с.64-65.

11. Гаджиева З.Д. Оценка функции Лебега для сумм Фурье-Мейкснера на 0, оо) // Тез.докл.научной сессии преподавателей и сотрудников Даггоспедуниверситета. Махачкала, 2003. С,

12. Гаджиева З.Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкснера // Вестник Дагестанского научного центра 15. 2003. Махачкала, с.17-29.

13. Гаджиева З.Д. Приближение дискретных функций суммами Фурье-Мейкснера // Тез.докл. 12-ой Саратовской зимней" Со-временые проблемы теории функции и их приложения". 2004. Саратов: Изд-во Гос УНЦ "Колледж", с. 50-51.

14. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

15. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша, теория и приложения. М.: Наука. 1987.

16. Джамалов А.Ш. Об асимптотике полиномов Мейкснера // Ма-тем.заметки. Т. 62. Вып. 4. 1997. С. 624-625.

17. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. ТТ. 1,2. М.: Мир. 1965.

18. Касумов Н.М. Дискретный аналог полиномов Лежандра // Изв.АН Аз. ССР. Сер.физ.- техн. и мат.наук. Вып. 2. 1980. С. 9-25.

19. Кашин B.C., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984.

20. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука.

21. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука. 1967.

22. Минко А.А., Петунин Ю.И. Сходимость метода наименьших квадратов в равномерной метрике // Сиб.Мат.Ж. Т.31. Вып. 2. 1990. С. 111-122

23. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Госте-хиздат. 1949.

24. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной. М.: Наука. 1985.

25. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979.

26. Перов В.П. Прикладная спектральная теория оценивания. М.: Наука. 1982.

27. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука. 1977.

28. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз. 1962.

29. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука. 1979.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

31. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов.радио. 1975.

32. Чебышев П.Л. О непрерывных дробях (1855). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 103 126.

33. Чебышев П.Л. Об одном новом ряде. Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 236 238.

34. Чебышев П.Л. Об интерполировании по способу наименьших квадратов (1859). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947.С. 314-334.

35. Чебышев П.Л. Об интерполировании (1864). Полн.собр.соч. Т.2. М.: Изд.АН СССР. 1947. С. 357-374.

36. Чебышев П.Л. Об интерполировании величин равноотстоящих (1875). Полн.собр.соч. Т.З. М.: Изд.АН СССР. 1948. С. 66-87.

37. Шарапудинов И. И. Об асимптотике и весовых оценках полиномов Мейкснера, ортогональных на сетке {0,5,25,.} // Ма-тем.заметки. Т.62. Вып.4. 1997. С. 603-616.

38. Шарапудинов И. И. Приближение функций суммами Фурье по ортогональным многочленам Чебышева дискретного переменного // М.: Деп. в ВИНИТИ. Вып. 3137-80. С. 1-44. 1980.

39. Шарапудинов И.И. Функция Лебега частных сумм Фурье по полиномам Хана // Функциональный анализ, теория функций и их приложения. Махачкала. Изд-во Даг.гос.ун-та. С. 132-144. 1982.

40. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства многочленов, ортогональных на конечной системе точек // Изв.вузов. Математика. Вып. 5. 1983. С. 85-88.

41. Шарапудинов И. И. Весовые оценки многочленов Хана // Теория функций и приближений. Тр. Саратовской зимней школы (24 января 5 февраля 1982 г.)

42. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Хана // Изв.вузов. Математика. Вып. 5. 1985. С. 78-80.

43. Шарапудинов И. И. О применении многочленов Мейкснера к приближенному вычислению интегралов // Изв.вузов. Математика. Вып. 2. 1986. С. 80-82.

44. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства полиномов Кравчука // Матем.заметки. Т. 44. Вып. 2. 1988. С. 682-693.

45. Шарапудинов И. И. Асимптотические свойства ортогональных многочленов Хана дискретной переменной // Матем.сборник. Т.180. Вып. 9. 1989. С. 1259-1277.

46. Шарапудинов И.И. Некоторые свойства ортогональных многочленов Мейкснера // Матем.заметки. Т.47. Вып.З. 1990. С. 135-137.

47. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье // Дискретная математика. Т.2 Вып. 2. 1990. С. 33-44.

48. Шарапудинов И. И. К асимптотическому поведению ортогональных многочленов Чебышева дискретной переменной // Матем.заметки. Т.48. Вып. 6. 1990. С. 150-152.

49. Шарапудинов И.И. Асимптотические свойства и весовые оценки многочленов Чебышева-Хана // Матем.сборник. Т. 183. Вып. 3. 1991. С. 408-420.

50. Шарапудинов И.И. Некоторые вопросы теории ортогональных систем. Докторская диссертация. М.: МИАН им.В.А.Стеклова. 1991.

51. Шарапудинов И. И. Об асимптотике многочленов Чебышева, ортогональных на конечной системе точек // Вестник МГУ. Серия 1. Вып. 1. 1992. С. 29-35.

52. Шарапудинов И.И. О сходимости метода наименьших квадратов // Матем.заметки. Т.53. Вып.З. 1993. С. 131-143.

53. Шарапудинов И.И. Об ограниченности в С-1,1. средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Матем. сбор

54. Шарапудинов И.И. Многочлены, ортогональные на сетках. Теория и приложения. Махачкала. Изд-во Даг.гос. пед. ун-та. 1997 г. С. 1-252

55. Шарапудинов И.И. Приближение дискретных функций и многочлены Чебышева, ортогональные на равномерной сетке // Ма-тем. заметки. С.460-470. Т.67. Вып.З.

56. Шарапудинов И.И. Приближение функций с переменной гладкостью суммами Фурье-Лежандра // Матем. сб. 143-160. 191:1 (2000),

57. Шарапудинов И.И. Смешанные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства // Матем. сб. 115— 148. 194:3 (2003),

58. Шарапудинов И.И. Аппроксимативные свойства операторов ЗЛг+2г(/) и их дискретных аналогов // Матем.заметки. С.765-795. Т.72. Вып.5.

59. Gasper G. Positivity and Special Functions Theory and appl. Spec.Funct. Edited by Richard A. Askey. // 1975. P. 375-433.