Сопровождение объектов с применением частотно-временных преобразований в информационно-измерительных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.11.16, кандидат технических наук Шаталов, Игорь Евгеньевич

• Шаталов, Игорь Евгеньевич
• кандидат технических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шаталов, Игорь Евгеньевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОБЪЕКТАХ В ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

1.1. Информационно-измерительная система, осуществляющая сопровождение объектов

1.2. Локализация объектов на телевизионных изображениях и их последующее сопровождение

1.3. Сравнительный анализ методов обработки сигналов с целью сопровождения объектов

1.4. Постановка задачи частотно-временного анализа сигналов сопровождаемых объектов

1.5. Выводы

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОКОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТОВ

2.1. Частотно-временное преобразование и оконное преобразование Фурье как частные случаи двумерного интегрального преобразования

2.2. Двумерное преобразование Фурье непрерывного частотно-временного преобразования

2.3. Выбор масштаба анализа и шага смещения базисной функции частотно-временного преобразования

2.3.1. Конечная длительность базисной функции и конечная ширина спектра сигнала сопровождаемого объекта

2.3.2. Конечная длительность сигнала сопровождаемого объекта и конечная ширина спектра базисной функции

2.3.3. Выбор шага смещения базисных функций при частотно-временном анализе дискретных сигналов объектов

2.4. Вычисление оконного преобразования Фурье для дискретных значений аргументов

2.4.1. Выбор шага смещения оконной функции при анализе непрерывных сигналов сопровождаемых объектов

2.4.2. Выбор шага смещения оконной последовательности при анализе дискретных сигналов сопровождаемых объектов

2.5. Выводы 62 3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ И СОПРОВОЖДЕНИЕ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

3.1. Обнаружение разрыва первого рода в значении сигнала объекта или его производной

3.1.1. Математическая модель события

3.1.2. Требования к базисной функции

3.1.3. Определение момента наступления события

3.2. Обнаружение момента перехода от одного сигнала к другому

3.2.1. Математическая модель события

3.2.2. Требования к базисной функции

3.2.3. Определение момента наступления события

3.3. Построение оптимальных базисных функций частотно-временных преобразований

3.4. Определение скорости объекта с помощью частотно-временного преобразования

3.5. Частотно-временное преобразование стационарных случайных процессов

3.6. Локализация и сопровождение объекта, наблюдаемого на фоне белого гауссова шума

3.7. Выводы 93 4. БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА СОПРОВОЖДАЕМОГО ОБЪЕКТА

4.1. Постановка задачи

4.2. Вычисление частотно-временного преобразования в сигнальной области

4.3. Вычисление частотно-временного преобразования в спектральной области

4.4. Исследование производительности алгоритма вычисления частотно-временного преобразования

4.5. Выводы 114 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 115 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 116 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТА И ЕГО ДАЛЬНЕЙШЕГО СОПРОВОЖДЕНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сопровождение объектов с применением частотно-временных преобразований в информационно-измерительных системах»

Актуальность темы. Широкое распространение в настоящий момент получили информационно-измерительные системы (ИИС), осуществляющие сопровождение объектов [53]. С целью повышения точности функционирования, помехоустойчивости и снижения вычислительных затрат необходимо усовершенствование методов и алгоритмов, лежащих в основе их построения.

Указанные обстоятельства обусловили выбор объекта исследования диссертации, которым является ИИС локализации и сопровождения объектов.

В качестве исходного сигнала в исследуемых ИИС используются модели изображений [15, 63], под которыми понимается электронный образ фоно-це-левой обстановки, формируемый на выходе телевизионного или тепловизион-ного датчика. Характерными особенностями сигналов изображений, обрабатываемых ИИС рассматриваемого класса, являются [18]:

- размеры участка изображения, в пределах которого находится объект, могут изменяться в широких пределах;

- расположение и ориентация объекта заранее неизвестны;

- на анализируемый сигнал объекта воздействует аддитивный шум (обусловленный помехами в узлах и блоках системы сопровождения и сигналами фона).

Поэтому выделение полезной информации о координатах объектов и их сопровождение является далеко не тривиальной задачей.

Её решением занимались зарубежные и отечественные ученые: А. Хаар [21], И. Мейер [34], И. Добеши [67], В.А. Рвачев [47], В.Ф. Кравченко [26, 27, 28] и другие, но предложенные ими алгоритмы зачастую отличались излишней общностью, большими вычислительными затратами и не учитывали специфики конкретных обрабатываемых сигналов.

Указанные обстоятельства обусловили выбор предмета исследования диссертации, который может быть охарактеризован как процесс выделения информации о координатах объектов из сигнала изображения, поступающего в ИИС, и дальнейшего автосопровождения обнаруженных объектов.

Стандартный спектральный анализ, основанный на использовании преобразования Фурье, позволяет осуществить разложение исследуемого сигнала на отдельные частотные компоненты и установить интенсивность каждой такой компоненты [56]. Однако, этот спектр является малоинформативным, так как ничего не говорит о том, в какой момент времени в сигнале появляются те или иные частоты [59, 66].

Применение математического аппарата теории частотно-временного анализа (ЧВА) является одним из путей повышения эффективности алгоритмов локализации и сопровождения объектов в ИИС. Это достигается за счет обобщенного представления сигналов на плоскости "время - частота" [16, 68], учитывающего их нестационарность.

Целью диссертационной работы является создание математических методов локализации и сопровождения объектов на основе теории частотно-временных преобразований (ЧВП), а также реализация указанных методов в программном комплексе ИИС.

В соответствии с поставленной целью автором решены следующие задачи:

1. Предложен метод выбора функций, позволяющих извлекать из наблюдаемого сигнала изображения ИИС информацию о расположении объектов с использованием ЧВП.

2. Разработан метод локализации и сопровождения объектов в ИИС с помощью ЧВП, обеспечивающий требуемую точность за счет выбора масштабов анализа, соответствующих спектральным характеристикам сигнала объекта.

3. Исследовано влияние шума с заданными статистическими характеристиками на значения ЧВП сигнала ИИС и разработан метод синтеза базисных функций ЧВП, оптимальных для сигнала сопровождаемого объекта.

4. Разработан метод вычисления ЧВП сигнала ИИС, основанный на алгоритмах быстрого преобразования Фурье, оценена погрешность вычисления при представлении сигнала сопровождаемого объекта с ограниченной точностью.

Методы исследования. В работе используются методы теории линейной фильтрации, теории ортогональных преобразований, теории случайных процессов, теории аппроксимации.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построены модели сигналов, регистрируемых исследуемой ИИС, позволяющие на их основе разрабатывать эффективные методы локализации и сопровождения объектов.

2. Разработан метод обнаружения и последующего сопровождения объектов с помощью функций конечной длительности.

3. Решена задача выбора длительности и шага смещения базисной функции в зависимости от ширины спектра анализируемых в ИИС сигналов сопровождаемых объектов.

4. Разработан метод частотно-временного анализа сигнала сопровождаемого ИИС объекта на основе быстрого преобразования Фурье, позволяющий уменьшить вычислительные затраты.

Практическая ценность работы заключается в применении теоретических положений и выводов диссертации для решения практических задач обработки измерительной информации в системах исследуемого класса:

1. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение вычисления ЧВП, позволяющее сократить временную и вычислительную сложность анализа сигналов в ИИС за счет использования алгоритмов быстрого преобразования Фурье.

2. Разработан алгоритм построения базисных функций ЧВП, оптимальных для сигнала сопровождаемого объекта.

3. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение локализации разрывов в значении сигнала объекта или его производных: определения момента времени, в который произошло это событие; выявления вида изменения сигнала (нарушение непрерывности значения самого сигнала или его производной); определения величины разрыва.

4. Разработано алгоритмическое и программное обеспечение определения пространственного положения объектов и их дальнейшего автосопровождения.

Реализация результатов диссертационной работы.

Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в рамках выполнения хоздоговорной ОКР "Разработка комплекса программного обеспечения телевизионного автомата боевой машины комплекса "Панцирь" по договору № 17001 от 15.09.2000 г. с ФГУП "Конструкторское бюро приборостроения", г. Тула.

Теоретические результаты работы внедрены в учебных курсах "Компьютерная графика", "Системы отображения информации с высоким разрешением" на кафедре ЭВМ Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: II Всероссийская научно-техническая конференция "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, НГТУ, 3-4 февраля 2000 г.); всероссийская научно-практическая конференция "Системы управления электротехническими объектами" (г. Тула, ТулГУ, 25-26 мая 2000 г.); международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях" (г. С.-Петербург, СПГТИ, 26-29 июня 2000 г.); региональная научно-техническая конференция "Интеллектуальные и информационные системы" (г. Тула, ТулГУ, 24-26 октября 2000 г.); XXVI Всероссийская молодежная научная конференция "Гагаринские чтения" (г. Москва, МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2000 г.); XVIII научная сессия, посвященная дню радио (г. Тула, ТулГУ, 2001 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 10 печатных работ.

Характеристика работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и заключения, изложенных на 122 страницах машинописного текста, и включает 29 рисунков, 1 таблицу, содержит список использованной литературы из 82 наименований и 2 приложения.

Заключение диссертации по теме «Информационно-измерительные и управляющие системы (по отраслям)», Шаталов, Игорь Евгеньевич

4.5. Выводы

1. Спектр сигнала сопровождаемого объекта ограничен по ширине, поэтому разработан метод вычисления ЧВП для сигнала с ограниченным частотным спектром и базисной функции конечной протяженности во временной области.

2. С целью реализации алгоритма вычисления ЧВП на ПЭВМ предложена аппроксимация интеграла ЧВП суммой с конечным числом слагаемых как в сигнальной, так и в спектральной областях.

3. Найдена ошибка аппроксимации в общем случае, а также учитывающая степень гладкости базисной функции ЧВП.

4. Проанализирована вычислительная сложность алгоритма вычисления

ЧВП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В целом по диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты.

1. На базе сравнительного исследования существующих методов сопровождения объектов в ИИС предложено использовать частотно-временные преобразования для решения задачи локализации объекта и его последующего сопровождения.

2. Разработан метод локализации и сопровождения объектов с помощью ЧВП, обеспечивающий заданную точность измерения.

3. Разработан метод выбора масштаба анализа и шага смещения базисной функции, учитывающий спектральные характеристики сигнала объекта в ИИС и уменьшающий влияние шума.

4. Разработан метод построения базисных функций ЧВП, оптимальных для наблюдаемого сигнала объекта исследуемой ИИС.

5. Разработан метод расчета ЧВП сигнала сопровождаемого объекта, позволяющий уменьшить временные и вычислительные затраты.

6. Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в рамках выполнения хоздоговорной ОКР "Разработка комплекса программного обеспечения телевизионного автомата боевой машины комплекса "Панцирь" по договору № 17001 от 15.09.2000 г. с ФГУП "Конструкторское бюро приборостроения", г. Тула, в ООО "Тульское информационное агентство". Теоретические результаты работы внедрены в учебных курсах "Компьютерная графика", "Системы отображения информации с высоким разрешением" на кафедре ЭВМ Тульского государственного университета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Шаталов, Игорь Евгеньевич, 2002 год

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. - Т. 166, № 11. - С. 1145-1170.

2. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. М.: Связь, 1980. - 248 с.

3. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 448 с.

4. Вайдьянатхан П.П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор // ТИИЭР. 1990. - № 3. - С. 77-120.

5. Власенко В.А., Лаппа Ю.М., Ярославский Л.П. Методы синтеза быстрых алгоритмов свертки и спектрального анализа сигналов. М.: Наука, 1990. -180 с.

6. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи: Пер. с англ. / Под ред. Р.Л. Добрушина. М.: Мир, 1969. - 640 с.

7. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразо-вания. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. - 204 с.

8. Воробьев Н.Н. Теория рядов. М.: Наука, 1975. - 367 с.

9. Галягин Д.К., Фрик П.Г. Адаптивные вейвлеты (алгоритм спектрального анализа сигналов с пробелами в данных) // Математическое моделирование систем и процессов. 1996. - № 4. - С. 10-14.

10. Ю.Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.11 .Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977.-608 с.

11. Гречихин В.А., Евтихиева О.А., Есин М.В., Ринкевичюс Б.С. Применение вейвлет-анализа моделей сигналов в лазерной доплеровской анемометрии // Автометрия. 2000. - № 1. - С. 51-58.

12. Гужов В.И., Турунтаев Д.А. Применение вейвлет-преобразования для расшифровки спекл-интерферограмм // Автометрия. 2000. - № 1. - С. 116120.

13. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 488 с.

14. Денисов Д.А., Низовкин В.А. Сегментация изображений на ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника. 1985. - № 10. - С. 5-30.

15. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

16. П.Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. - Т. 171, № 5. - С. 465-561.

17. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен: Пер. с англ. -М.: Мир, 1976.-420 с.

18. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов // Доклады РАН.- 1994.-Т. 335, № 1.-С. 9-13.

19. Кирушев В.А. Быстрый алгоритм сжатия изображений // Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика. 1997. - № 1. - С. 4-10.

20. Кирушев В.А., Малоземов В.Н., Певный А.Б. Вейвлетное разложение пространства дискретных периодических сплайнов // Математические заметки. 2000. - Т. 67, Вып. 5. - С. 712-720.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 544 с.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. - 832 с.

23. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. "Wavelet''-системы и их применение в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. - № 4. - С. 3-20.

24. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Алгоритм построения "wavelet'-CHCTeM для обработки сигналов // Доклады РАН. 1996. - Т. 346, № 1.-С. 31-32.

25. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А., Пустовойт В.И. Ортонормированные системы типа "wavelet" на основе атомарных функций // Доклады РАН. 1996. -Т. 351, № 1.-С. 16-18.

26. Лоренц Р.А., Саакян А.А. О подпространствах, порожденных всплеск-системами // Математические заметки. 1998. - Т. 63, Вып. 2. - С. 299-302.

27. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Доклады РАН. 1993. - Т. 332, № 1. с. 15-17.31 .Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: Пер. с франц. -М.: Мир, 1983. Т. 1, 2.

28. Малоземов В.Н., Певный А.Б., Третьяков А.А. Быстрое вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи информации. 1998. - Т. 34, Вып. 2. - С. 77-85.

29. Новиков Л.В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборостроение. 1999. - Т. 9, № 2. - С. 52-54.

30. Новиков И.Я. Онделетты И. Мейера — оптимальный базис в С(0,1) // Математические заметки. 1992. - Т. 52, № 5. - С. 88-92.

31. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. - Т. 3, № 4. - С. 999-1028.

32. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53, № 6. - С. 53-128.

33. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. - Т. 10, № 3. - С. 57-64.

34. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.39.0ппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ. / Под ред. С.Я. Шаца. М.: Связь, 1979. - 416 с.

35. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. - Т. 2. - С. 15-40.

36. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. - 132 с.

37. Петухов А.П. Периодические всплески // Математический сборник. 1997. Т. 188, № 10. - С. 69-94.

38. Петухов А.П. Периодические дискретные всплески // Алгебра и Анализ. 1996.-Т. 8, № 3. - С. 151-183.

39. Применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Э. Оппенгейма. М.: Мир, 1980. - 552 с.

40. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.- Т. 1,2.

41. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. - 848 с.

42. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы в теории приближений в краевых задачах. Киев: Наук, думка, 1979. - 214 с.

43. Сиберт М.У. Цепи. Сигналы. Системы: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. -Т. 1,2.

44. Стаховский И.Р. Вейвлетный анализ временных сейсмических рядов // Доклады РАН. 1996. - Т. 350, № 3. - С. 393-396.

45. Стрелков Н.А. Универсально оптимальные всплески // Математический сборник. 1997. - Т. 188, № 1. - С. 147-160.

46. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991.-608 с.

47. Турин Г.Л. Введение в теорию цифровых согласованных фильтров // ТИИЭР. 1976. - Т.64, № 3. - С. 85-109.

48. Уваров Н.Е. Достижения прикладного телевидения // Итоги науки и техники. Сер. Радиотехника. 1985. - Т. 34. - С. 5-286.

49. Френкс JI. Теория сигналов: Пер. с англ. М.: Сов радио, 1974. - 344 с.

50. Харатишвили Н.Г. Пирамидальное кодирование. М.: Мысль, 1997.160 с.

51. Харкевич А.А. Спектры и анализ. -М.: Физматгиз, 1962. 236 с.

52. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. -М.: Наука, 1971.-408 с.

53. Цыбаков Б.С., Яковлев В.П. О точности восстановления функций с помощью конечного числа членов ряда Котельникова // Радиотехника и электроника. 1959. - Т. IV, Вып. 3. - С. 37-45.

54. Чуи К. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 с.

55. Шаталов И.Е., Ларкин Е.В. Вейвлет анализ сигналов, несущих информацию о наступлении события // Известия ТулГУ. Серия "Математика. Механика. Информатика". Том 6. Выпуск 3. Информатика. - Тула: ТулГУ, 2000. -С. 162-166.

56. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

57. Bartlett M.S. Periodogram analysis and continuous spectra // Biometrika. -1950.-№37.-P. 1-16.

58. Blackman R.B., Tukey J.W. The measurement of power spectra. New York: Dover Publications, Inc. - 1958. - P. 328

59. Carre J.C., Roullier F. Fenetres temporelles et fenetres spectrales // Rapport CEA. 1962. - P. 23-36.

60. Daubechies I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets // Comm. Pure Appl. Math. 1988. - Vol. 41. - P. 906-966.

61. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis // IEEE Transactions on Information Theory. 1990. - № 5. - P. 9611005.

62. Gabor D. Theory of communication // Journal of IEE. 1946. - № 93. -P. 429-457.

63. Jawerth В., Sweldens W. An overview of wavelet based multiresolution analysis // SIAM Rev. 1994. -№ 3. - P. 377-412.

64. Johnston J. A filter family designed for use in quadrature mirror filter banks // Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1980. - P. 291-294.

65. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. -1989. № 7. - P.674-693.

66. Malvar H.S. Lapped transforms for efficient transform / subband coding // IEEE Transactions on Acoustic, Speech, Signal Processing. 1990. - № 2. - P. 969978.

67. Page C.H. Instantaneous power spectra // Journal of Applied Physics. -1952.-Vol. 23, № l.-P. 103-106.

68. Parzen E. Mathematical considerations in the estimation of spectra // Tech-nometrika. 1961. - № 3. - P. 67-190.

69. Rihaczeck A.W. // IEEE Transactions on Information Theory. 1968. -№ 1. - P.35-46.

70. Rioul O., Vetterli M. Wavelets and signal processing // IEEE Signal Processing Magazine.-1991.-№ 10.-P. 14-38.

71. Smith M., Barnwell T. Exact reconstruction techniques for tree-structured subband coders // IEEE Transactions on Acoustic, Speech, Signal Processing. 1986. - №6.-P. 434-441.

72. Sweldens W. The lifting scheme: A custom-design construction of bior-thogonal wavelets //Applied and Computational Harmonic Analysis. 1996. - № 2. -P. 186-200.

73. Vetterli M. Filter banks allowing perfect reconstruction // IEEE Transactions On Signal Processing. 1986. - № 2. - P. 219-244.

74. Vetterli M., Herley C. Wavelets and Filter Banks: Theory and Design // IEEE Transactions on Signal Processing. 1992. - v. 40. - P. 2207-2232.

75. Ville J. Theorie et applications de la notion de signal analytique // Cables et transmissions. 1948. -№ 1. - P. 32-37.