Совместная оптимизация гладких и негладких функционалов в задачах управления пучками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Мизинцева Мария Александровна

• Мизинцева Мария Александровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Мизинцева Мария Александровна

Введение

Глава 1. Оптимизация с использованием гладких и негладких

функционалов

1.1 Постановка задачи совместного управления программным и возмущенными движениями

1.2 Некоторые вспомогательные соотношения и леммы

1.3 Вариации функционала и необходимые условия оптимальности

1.3.1 Совместное преобразование вариаций гладкого и негладкого функционалов

1.3.2 Последовательное преобразование вариаций гладкого и негладкого функционалов

Глава 2. Математические модели оптимизации с учетом

плотности распределения частиц

2.1 Постановка оптимизационной задачи

2.2 Вариации функционала качества и необходимые условия оптимальности

2.2.1 Совместное преобразование вариаций гладкого и негладкого функционалов

2.2.2 Последовательное преобразование вариаций гладкого и негладкого функционалов

2.3 Оптимизация комбинированного функционала с учетом интегральных характеристик пучка

Глава 3. Математическое моделирование динамики заряженных частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ)

3.1 Принцип действия ускорителя с ПОКФ

3.2 Продольная динамика заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ

Стр.

3.3 Математическая модель оптимизации динамики продольного движения заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ

3.3.1 Формализация задачи оптимизации

3.3.2 Вычислительные аспекты оптимизационной модели

3.4 Поперечная динамика заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ

Глава 4. Программная реализация математической модели оптимизации продольного движения заряженных

частиц в ускорителе с ПОКФ

4.1 Описание программного модуля оптимизации

4.2 Результаты оптимизации

4.3 Верификация результатов оптимизации

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совместная оптимизация гладких и негладких функционалов в задачах управления пучками»

Введение

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей оптимизации динамических процессов с использованием гладких и негладких функционалов качества.

Актуальность темы. Проблема оптимизации динамической системы в самом общем смысле представляет из себя задачу отыскания наилучших параметров системы, обеспечивающих достижение требуемых результатов. Эта задача сводится к отысканию экстремума целевой функции, характеризующей качество динамического процесса. К этому классу задач относится теория оптимального управления, получившая широкое развитие в прошлом веке. Среди работ, заложивших основы теории оптимального управления, отметим труды Л. С. Понтрягина, Р. Беллмана, Н. Н. Красовского, А. М. Летова, В. И. Зубова [1—7].

Задача отыскания оптимального управления есть задача отыскания закона изменения управления, при котором достигается экстремум заданного критерия качества системы. Критерии качества системы формализуются в виде целевых функций (или функционалов качества), которые в зависимости от моделируемого объекта могут иметь различный вид. При конструировании функционалов качества могут использоваться гладкие и негладкие функции. Развитие двух направлений, использующих гладкие и негладкие функционалы, нашло широкое применение в теории управления [8—19].

Задача оптимального управления возникает при моделировании динамических процессов в различных отраслях науки и техники. Эффективность, точность, экономичность расчетных режимов, а также быстродействие — вот основные требования, выдвигаемые к современным системам управления.

Особым классом задач, потребовавшим разработки новых математических моделей и методов оптимизации, стали задачи, связанные с разработкой и созданием ускорителей заряженных частиц. В работах Д. А. Овсянникова [20; 21] задачи управления пучками заряженных частиц сформулированы как математические задачи управления пучками (ансамблями) траекторий динамических систем.

На данный момент накоплен обширный опыт в области разработки и создания линейных ускорителей заряженных частиц и систем управления ими.

Различным задачам управления динамикой заряженных частиц в линейных ускорителях посвящены работы Д. А. Овсянникова, О. И. Дривотина, Ю. А. Свистунова и других авторов [22—40]. Результаты, полученные в этих работах, составляют основу разнообразных моделей, методов и алгоритмов, используемых при моделировании и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителях. Однако оптимизационные методы в упомянутых работах основаны в основном на использовании либо гладких, либо негладких функционалов.

Следует отметить, что при управлении пучками (ансамблями) траекторий методы гладкой оптимизации и методы минимаксной оптимизации по отдельности достаточно хорошо изучены. Это вызвано большим интересом к нестандартным задачам теории управления, нашедшим широкое применение в разнообразных областях науки и техники. Отметим также, что задачи управления пучками траекторий часто трактуются как задачи управления динамическими системами в условиях неопределенности или при неполной информации о начальных данных и наличии внешних возмущений [41]. Этому направлению посвящены многие работы А. Б. Куржанского, Ф. Л. Черноусько, Г. Уага1уа, а также работы А. С. Бортаковского, В. Ф. Демьянова, М. С. Никольского, А. В. Пантелеева, Т. Ф. Филипповой и других авторов [42—59].

При решении проблем оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителях хорошо зарекомендовал себя подход, в рамках которого динамика пучка заряженных частиц в ускоряющей структуре характеризуется системой уравнений, описывающей динамику некоторой программной частицы и уравнениями в отклонениях от этой частицы для всех других частиц, рассматриваемых в модели. Возникает задача совместной оптимизации программного и возмущенных движений, сформулированная в работах А. Д. Овсянникова [60—64]. Математическая модель управления в такой постановке подходит для описания широкого класса динамических процессов.

В данной диссертации впервые исследуется проблема совместной оптимизации программного (расчетного) движения и ансамбля возмущенных движений с использованием комбинации гладких и негладких функционалов качества в задачах оптимального управления пучками траекторий. Особенность предлагаемого подхода заключается в том, что он позволяет решать задачи оптимизации динамического процесса, одновременно учитывая динамику программного движения, интегральные характеристики пучка возмущенных

движений, плотность распределения частиц в пучке, а также максимальные отклонения выходных параметров пучка траекторий от заданных значений.

При этом, как уже отмечалось выше, во многих работах, посвященных самым разнообразным современным проблемам управления и оптимизации, исследуются гладкие или негладкие функционалы, как в задачах управления пучками, так и в задачах совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущенных движений.

В диссертации исследуются функционалы комбинированного типа, позволяющие проводить совместную оптимизацию программного и возмущенных движений с учетом плотности распределения частиц в пучке с использованием гладких и негладких функций. Именно функционалы такого типа и составляют центральный предмет исследования данной работы.

Целью диссертационной работы является развитие методов математического моделирования и оптимизации динамических процессов, описываемых как программным движением, так и ансамблем (пучком) возмущенных движений, с использованием комбинации гладких и негладких функционалов качества, а также исследование этих методов в приложении к оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителе с пространственно-однородной квад-рупольной фокусировкой (ПОКФ) [65; 66].

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Поставить различные новые задачи совместного управления программным и возмущенными движениями с использованием комбинации гладких и негладких функционалов.

2. Разработать новые математические модели оптимизации на основе функционалов комбинированного типа.

3. Для исследуемых функционалов найти аналитическое выражение для вариации и условия оптимальности.

4. Поставить новую задачу оптимального управления динамикой заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ с использованием гладких и негладких функционалов.

5. Разработать программный модуль оптимизации динамики заряженных частиц на основе функционала качества комбинированного типа.

6. Провести апробацию разработанного программного модуля и верификацию полученных результатов оптимизации на известных программных комплексах.

Научная новизна:

1. Осуществлена математическая постановка новых задач совместной оптимизации программного движения и пучка возмущенных движений с использованием гладких и негладких функционалов.

2. Получены выражения для вариации функционалов качества комбинированного типа и необходимые условия оптимальности в сформулированных новых оптимизационных задачах.

3. Разработана новая математическая модель оптимизации динамики пучка заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ с использованием функционала комбинированного типа.

4. Разработан программный модуль оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ, использующий предложенные новые математические модели оптимизации.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в разработке нового подхода к совместной оптимизации программного движения и ансамбля возмущенных движений с использованием гладких и негладких функционалов, который может быть использован при проектировании ускорителей заряженных частиц с целью получения необходимых выходных параметров пучка, а также при исследовании проблем управления и стабилизации в задачах при неполной информации о начальных данных и внешних возмущениях.

Создан эффективный метод оптимизации динамики заряженных частиц, позволяющий учитывать не только усредненные характеристики пучка и параметры программного движения, но также принимать во внимание «наихудшие» по пучку частицы, то есть наиболее отклоняющиеся от целевых параметров.

В частности, возникают задачи по разработке систем управления для компактных, непрерывно работающих линейных ускорителей на низкие и средние энергии, которые хорошо зарекомендовали себя в качестве начальной части в ускорительных комплексах. В установках такого типа необходимо минимизировать потери высокоэнергетических частиц, а также обеспечивать выполнение требований, предъявляемых к качеству пучка на каждом этапе ускорения [67—70]. Поэтому особенно интересным представляется применение подхода к оптимизации динамики заряженных частиц, использующего одновременно ин-

тегральные характеристики пучка и оценку динамики «наихудших» частиц в ускорителях такого типа.

В рамках описанного подхода к оптимизации сложной динамической системы рассматривается модель ускорения частиц в структуре с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой, которая позволяет разделить оптимизацию поперечного и продольного движения [24; 71]. Полученные математические результаты были реализованы в виде программного модуля оптимизации для программного комплекса BDO-RFQ, разработанного на базе кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой Санкт-Петербургского государственного университета [72—76].

Методология и методы исследования, используемые в диссертации, включают в себя методы из области дифференциальных уравнений, теории управления и оптимизации, математического моделирования, математической физики и физики пучков заряженных частиц.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новые математические модели совместной оптимизации программного движения и пучка возмущенных движений с использованием комбинации гладких и негладких функционалов.

2. Условия оптимальности и аналитические представления для вариаций исследуемых комбинированных функционалов качества в предложенных новых математических моделях оптимизации.

3. Новая математическая модель оптимизации продольного движения частиц для ускорителя с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) на основании функционала качества комбинированного типа.

4. Программная реализация разработанной модели оптимизации продольного движения частиц в ускорителе с ПОКФ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной математической постановкой решаемых задач, строгостью доказательств и обоснованным применением математического аппарата, а также апробацией предложенной модели оптимизации при решении примеров практических задач с использованием разработанного на ее основе программного модуля оптимизации продольной динамики частиц в ускорителе с ПОКФ (в составе пакета программ BDO-RFQ) с последующей верификацией результатов численной оптимизации с помощью комплекса программ LIDOS RFQ Designer [77; 78].

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на кафедре теории систем управления электрофизической аппаратурой Санкт-Петербургского государственного университета, международных и всероссийских конференциях: Stability and control processes 2015, Russian particle accelerator conference 2016, Constructive nonsmooth analysis and related topics 2017, Physics and control 2017 [79—84].

Личный вклад. Все положения, выносимые на защиту, получены лично автором.

Публикации.Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 публикациях, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [85; 86], 4 проиндексированы в наукометрических базах Scopus и Web of Science [80—82; 86].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, оттека рисунков и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 94 страницы, включая 14 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 109 наименований.

Краткое содержание. Во введении рассмотрена актуальность диссертационной работы, приведен обзор литературы по тематике, изложены основные цели, задачи, методы и результаты исследования. Обсуждается научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

Первая глава диссертации посвящена постановке задачи совместной оптимизации программного и возмущенных движений без учета плотности распределения частиц. Новая математическая модель оптимизации включает функционал Больца на программной траектории и негладкий терминальный функционал, заданный на ансамбле возмущенных движений. Получены две формы вариации комбинированного функционала качества и сформулированы необходимые условия оптимальности.

Во второй главе исследуются функционалы качества, учитывающие плотность распределения частиц. Предложены математические модели оптимизации, оценивающие динамику программного движения и различные интегральные характеристики возмущенных движений, а также «наихудшие» терминальные положения частиц в пучке. Также получены соответствующие вариации исследуемых функционалов и выписаны необходимые условия оптимальности.

Третья глава посвящена разработке модели оптимизации динамики заряженных частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ) с использованием гладких и негладких функционалов качества. Предложена новая математическая модель оптимизации продольного движения заряженных частиц, учитывающая динамику программной (синхронной) частицы, средние (интегральные) характеристики динамики пучка с учетом изменения плотности распределения частиц в процессе ускорения, а также наибольшие отклонения частиц в пучке от синхронной частицы по фазам и энергиям. Приведен алгоритм оптимизации на основании полученного выражения для вариации функционала комбинированного типа.

В четвертой главе описывается программная реализация предложенной модели оптимизации продольной динамики заряженных частиц в ускорителе с ПОКФ, реализованная в программном комплексе BDO-RFQ. Приводятся результаты оптимизации динамики заряженных частиц, а также результаты верификации эффективности предложенных подходов и алгоритмов оптимизации с использованием пакета программ LIDOS RFQ Designer.

В заключении изложены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Глава 1. Оптимизация с использованием гладких и негладких

функционалов

1.1 Постановка задачи совместного управления программным и

возмущенными движениями

Сформулируем задачу совместного управления программным и возмущенными движениями [62]. Рассмотрим дифферециальное уравнение, описывающее некоторый динамический процесс:

Здесь £ Е Т0 = [0,Т] — независимая переменная, где Т фиксировано, То С Я1; х = (х\,... ,хп) Е С Кп — п-мерный фазовый вектор; и = и(р) — г-мерная кусочно-непрерывная вектор-функция управления, /(Ъ,х,и) — п-мерная вектор-функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производныи д^/дхк,ъ,к = 1,п на множестве Т0 х х и, где — открытое односвязное множество.

Будем считать, что управления и(Ъ) составляют класс кусочно-непрерывных вектор-функций О, принимающих значения в компактном множестве и С Дг. Управления из класса И будем называть далее допустимыми управлениями.

Решение х = х(Ь) = х(Ь,х0,и) уравнения (1.1) — программное (выделенное, расчетное) движение, определяемое выбором начального условия х0 и заданием управляющей вектор-функции и(Ъ).

Совместно с уравнением (1.1) будем рассматривать систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.1)

с начальным условием

х(0) = х0.

(1.2)

(1.3)

с начальными условиями

у(0) = У0 Е М0.

(1.4)

Здесь у = (у\,... ,ут) Е иу с Кт — т-мерный фазовый вектор; Т(Ь,х,у,и) — т-мерная вектор-функция, определенная и непрерывная по совокупности своих аргументов на множестве То х х х и вместе со своими частными производными по х и у вплоть до второго порядка — д¥^/дхк, дРг/дУз, д2рг/дхкдх3, д2¥г/дхкдуг, д2¥г/ду1 дун, к,] = 1,п, к,г,1 = 1,т; множество начальных данных М0 с — компактное множество ненулевой меры, — открытое односвязное множество.

Решения системы (1.3) с начальными условиями (1.4) представляют из себя ансамбль (или пучок) траекторий, который мы в дальнейшем также будем называть возмущенными движениями. При этом решения у = у(Ъ, у0) = у(Ь,х,у0,и) в данной постановке будут зависеть не только от выбранного управления и = и(Ъ) и вида начального множества М0, но и от некоторого фиксированного программного движения х = х(Ъ) = х(Ъ,х0,и), что отражено в правой части системы (1.3).

Будем считать, что на всем интервале £ Е [0,Т] и при всех допустимых управлениях и Е И система (1.1) с начальным условием (1.2) и система (1.3) с начальными условиями (1.4) имеют единственное решение задачи Коши.

Отметим, что уравнения (1.3) могут рассматриваться как уравнения в отклонениях от заданного программного движения.

Задача совместной оптимизации программного и возущенных движений заключается в совместном решении уравнений (1.1), (1.3) с начальными условиями (1.2), (1.4) для поиска оптимального управления из множества допустимых управлений.

Для формализации задачи совместной оптимизации введем в рассмотрение следующие функционалы качества.

На решении системы (1.1) будем рассматривать функционал Больца

т

11(и) = ! ф!(Ь,Х(ЬУ)ЛЬ + д(х(Т)). (1.5)

0

Рассмотрим сечение пучка траекторий при £ = Т — множество Мт;П, определяемое выражением

Мт,и = {ут = у(Т,У0) = у(Т,х,У0,и),У0 Е М0}.

(1.6)

На множестве Мт,и введем функционал максимума

h(u) = max ф2(ут). (1.7)

ут емт,и

Так как решения уравнений (1.3) однозначно определяются заданием начальных данных у0 Е М0 и управления и = u(t), функционал (1.7) можно представить в виде

I2(u) = max ф2(у(Т,х,уо,и)). (1.8)

уоЕМо

В выражениях (1.5), (1.7), (1.8) (pi, ф2 и д — неотрицательные гладкие функции.

Если говорить о том, что уравнение (1.3) описывает динамику некоторых частиц, то функционалы максимума типа (1.7) оценивают динамический процесс по «наихудшим», то есть наиболее отклоняющимся по тому или иному параметру, частицам при t = Т.

Далее будем рассматривать комбинацию гладкого функционала h(u) и негладкого функционала 12(и)

I (и) = h(u) + h(u). (1.9)

Функционал (1.9) одновременно учитывает динамику программного движения и ансамбля возмущеных движений, при этом совместно используются гладкий функционал смешанного типа (1.5) и минимаксная оценка динамического процесса на конечном сечении пучка траекторий (1.7).

Оптимальным управлением будем называть допустимое управление и0, доставляющее минимиум функционалу I(и), то есть

I (и0) = min I (и).

u&D

Таким образом, в данной постановке задача совместной оптимизации программного и возмущенных движений с использованием гладких и негладких функционалов сводится к задаче отыскания минимума функционала (1.9).

1.2 Некоторые вспомогательные соотношения и леммы

Выпишем некоторые вспомогательные выражения, которые потребуются для записи вариаций функционалов качества.

Рассмотрим допустимые управления u(t) и u(t) и соответствующие им решения систем (1.1) и (1.3)

ж = x{t) = x{t,xo,u), yt = y{t) = y(t,x,yo,u) = y{t,yo);

X = x(t) = x(t,xo,u) , yt = y(t) = y(t,x,yo,u) = y{t,yo).

При вариации управления Au(t) = u(t) — u(t) приращение траекторий обозначим

Ax(t) = x(t) — x(t), Ay(t) = у (t) — y(t).

Выпишем уравнения в вариациях для системы (1.1):

о* = адi^u) Sx + AJ ы (1.10)

с начальным условием

bx(0) = 0. (1.11)

Уравнение в вариациях системы (1.3), задающей динамику ансамбля траекторий, имеет вид:

dby dF (t ,х,у,и) dF (t ,x,y,u)

~dt =-dx- +-ду-Ьу + F (l ,х,У,и), (L12)

с начальным условием

by (0) = 0. (1.13)

Здесь и далее символ Аи означает приращение функции при приращении управления:

Ам f (t ,х,и) = f(t ,х,и + Аи) — f(t ,х,и), (1.14)

AUF (t,x,y,u) = F (t,x,y,u + Аи) — F (t,x,y,u). (1.15)

Стоит отметить, что вариация bx(t) вычисляется вдоль программного движения x(t) = x(t,х0,и), при этом вариация by(t) зависит как от программного

движения х = x(t), так и от траекторий y(t) = у(t,x,y0,u),y0 Е М0. В дальнейшем будем использовать запись by(t) = by(t,y(t,y0)) = by(t,y0).

Определим норму векторной функции управления u(t) следующим образом:

т

= J \\u(t)\\dt.

о

Нормы фазовых векторов x(t) и y(t) определим как

||жМ||с = max \\x(t)\\, ||^(£)||с = max IMi)!!. и v j\\c t^o,T] \ v ли te[0,T] ^ Л|

Здесь и далее под обозначением H^i)!, \\^^(^)М, \\У(^)\\ понимается евклидова норма вектора, если не оговорено иное.

Имеют место следующие леммы.

Лемма 1.

Пусть u(t) — допустимое управление, а у = y(t,x,y0,u) — соответствующее ему решение системы (1.3) с начальными условиями (1.4), Au(t) — допустимая вариация управления, тогда при ЦДи^Цх ^ 0 выполняется следующее соотношение:

\^y(t,y0)Hc = max ЦДу^^у^Ц ^ 0 равномерно по у0 Е М0. (1.16)

te[o,T ]

Доказательство.

Введем в рассмотрение вектор-функцию z* = (х,у), где х = x(t,x0,u), у = y(t,x,y0,u) — решения системы (1.1), (1.3) с фиксированными начальными условиями (1.2), (1.4).

В силу теоремы о непрерывной зависимости решений системы (1.1), (1.3) от управления u(t) [21], при ЦДи^Ць ^ 0 имеем

\д и* = ион« ^0.

В силу непрерывной зависимости решений системы (1.3) при фиксированном х0 от начальных данных у0 Е М0 и компактности множества М0 будет также иметь место соотношение (1.16).

Лемма доказана.

Лемма 2.

Пусть и(Ъ) Е И, тогда при 11^^ ^ 0 выполняется

ДУ(^,Уо) - Ьу^доЦс = о(\\Ду(г, уо)\\с + У^^У

равномерно по у0 Е М0.

Доказательство этой леммы может быть проведено по аналогии с доказательством Леммы 1.

Введем в рассмотрение множество Ят(и), зависящее от управления и = и(р) и определяемое выражением

Здесь ф — некоторая неотрицательная функция.

Замечание 1.1. Рассматривая уравнения в вариациях (1.10), (1.12) с начальными условиями (1.11), (1.13) и используя теорему Гронуолла [21], нетрудно показать, что имеют место соотношения

Здесь с\, с2, с3 — некоторые неотрицательные константы. Замечание 1.2. Нетрудно получить так же, как и в Замечании 1.1, рассматривая дифференциальные уравнения для Дх и Ду, соотношения

где С\, с2, с3 — некоторые неотрицательные константы.

Докажем следующую лемму. Лемма 3.

Рассмотрим множества Ят(и) и Ят(и), определяемые соотношением (1.17), соответствущие допустимым управлениям и(Ъ) и и(Ъ) = и(Ъ) + Ди(Ъ),

Ят(и) = {уо : уо Е Мо, ф(у(Т,х, уо, и)) = тах ф(у(Т, х, уо, и))}.

УоЕМ0

(1.17)

Ьх(1)\\с ^ С1\\Ди/(г,х,и)\ь,

Ьу(Ъ,уо)\\с < с2\\Ди/(Ъ,х,и)\\ь + сз\\Д„Т(Ь,х,у,и)\\ь.

Дх(г)\с < с1\\Ди/(г,х,и)\ь,

Ду(г,уо)\\с < С2\\Ди/{Ъ,х,и)\\ь + Сз\\ДиР(Ъ,х,у,и)\\ь,

тогда

(1.18)

Доказательство.

Соотношение (1.18) означает, что для любого £ > 0 найдется 6 > 0 такое, что при ЦДиЦх < 6 для любого у'0 G Rt(и) можно указать у'0 G Rt(и), при котором ||у'0 - У0\\с < £.

Предположим, что это не так. Тогда существует последовательность допустимых управлений {щ} : \\Ащ\\l < 6k, где 6k > 0, 6k ^ 0 при к ^ ж.

При этом найдутся такие у\~ G Rt (и + Ащ), что

min ||ук - у0\\с ^ £. (1.19)

У0 gRt (и)

По определению

ф(у(Т,х, ук,и) + Ay(T,ук)) = max ф(у(Т,х,у0,и) + Ay(T,y0)), (1.20)

Уо£М0

где

АУ(Т,Уо) = У(Т,х,У0,и + Ащ) - у(Т,х,уо,и).

Все ук G M0, поэтому, не умаляя общности, будем считать, что последовательность yk сходится к некоторому у0 G M0.

Из Леммы 1 следует, что \Ay(t,y0)\c ^ 0 при к ^ ж,у0 G M0. Перейдя в выражении (1.20) к пределу при к ^ ж, получаем

Ф(У(Т,х,У0,и)) = max Ф(y(T,х,УoU)),

yogMo

откуда следует, что у0 G Rt (и), что противоречит (1.19). Лемма доказана.

1.3 Вариации функционала и необходимые условия оптимальности

Рассмотрим введенный в разделе 1.1 функционал

I (и) = 1\(и) + 12(и). (1.21)

Напомним, что 1\(и) — это гладкий функционал смешанного типа следующего вида:

т

1г(и)= ф^х^йЪ + д(х(Т)). (1.22)

Функционал I2(u) — функционал максимума, заданный на конечном сечении пучка траекторий Мт,и, который в силу непрерывной зависимости решений системы (1.3) от начальных условий (1.4) и управления u(t), можно переписать в виде максимума по начальному множеству М0:

12(и) = max ф2(ут) = max ф2(у(Т,х,у0,и)). (1.23)

ут еМт,и УоеМо

Выражение для вариации гладкого функционала (1.22) хорошо известно и в данном случае будет иметь вид [62]

bhiu, Ди) = / 9Ф'^'»bxdt + Щ™bx(T). (1.24)

J OX ox

0

Здесь bx(t) — вариация программного движения, определяемая уравнением в вариациях (1.10) с начальным условием (1.11).

Получим выражение для вариации функционала (1.23). Отметим, что в [21] была получена вариация для аналогичного функционала максимума, однако в указанной работе не рассматривался случай зависимости пучка траекторий от выделенного программного движения.

Рассмотрим допустимое управление u(t) = u(t) + Ди^) и определим множество Qt(и,Ди) = Rt(и) URt(и), где множества Rt(и) и Rt(и) определяются соотношением (1.17). Используя Qt(и,Ди), выпишем выражение для функционала 12(и):

h(u) = max ф2(у(Т,х,у0,и)) = max ф2(у(Т,х,У0,и)) =

УоеМо УоЕЯт (и)

= ,Ф2(У(T,x,У0,и)).

Уое^т (и,Аи)

(1.25)

Представим ф2(у(Т,х,уо,и)) в виде

ф2(у(Т,х,у{])й)) = ф2 (у(Т,х,уо,и) + Ду(Т,уо)) =

( (гт Л Л , дФ2 (У(Т,х,уо,и)) (1.26) = ф2 (у(Т,х,уо,и)) +-—-Ьу(Т)уо)+ О (\Д (Т,Уо)\\с) .

Здесь Ьу(Т,уо) — вариация траектории у(Ь,х,уо,и) при допустимой вариации управления Ди(Ъ), определяемая уравнением в вариациях (1.12) при £ = Т.

Получим оценку для полного приращения функционала максимума 12. В силу выражений (1.25) и (1.26) выполняется неравенство

12(и) ^ max Ф2(У(Т,У0)) + max 9 Ф2(У})Т,У 0)) 6у (Т, ш) + =

Уо gQt (и,Аи) уо gQt (и,Аи) Оу

= max Ф2(У(T, У0))+ max 0 ф2 У° )) Ьу (T, У0)+ 01 + 02,

уо gRt (и) yoGRT (и) Оу

где

О! = max \ о(\Ау(Т,у0)\с) \, (1.27)

Уо gMo

0ф2(У(ГТ 1 У0)), (гг S. 0ф2(У(ГТ 1 У0)), (гг S. (л ос.

02 = max ---6у(Т,у{)) - max ^-^-6у(Т,у{)). (1.28)

yogQT (и,Аи) Оу yogRT (и) Оу

С другой стороны

12(й) > тах{ф2(у(Т,уо)) + дф2{у(т,уЬу(Т,уо)\ — ог > уоем^ ду )

> тах I ф2(,(Т,Ы) + дф2(У(Т,Уо))ЬУ(Г,№)} - * =

УоgRт (мД ду )

( (гг Л Л , д ф2(У(Т,У0))я ( л = тах ф2(У(Т,уо)) + тах ---Ьу(Т,уо) — оъ

УоgRт (и) уо gRт (и) ду

Таким образом, для полного приращения функционала А12 = 12(и) — 12(и) имеет место неравенство

Ь 12(и, Аи) — ох < А 12(и, Аи) < Ь 12(и, Аи) + ох + о2. (1.29)

Вариацией функционала (1.23) при допустимой вариации управления Аи(^ будем называть

СГ/ ДА д ф2(У(Т)Х) Уо ,и))

Ьщи, Аи) = тах ---Ьу(Т,уо), (1.30)

УоgRт (и) ду

где Ят(и) — множество, определяемое выражением (1.17), а вариация фазовой переменной у определяется уравнением (1.12).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мизинцева Мария Александровна, 2020 год

Список литературы

1. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин [и др.]. Москва : Наука, 1983. 393 с.

2. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Москва : Наука, 1968. 476 с.

3. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Москва : Наука, 1985. 520 с.

4. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. Москва : Наука, 1981. 256 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. Москва : ИЛ, 1960. 400 с.

6. Зубов В. И. Лекции по теории управления. Москва : Наука, 1975. 495 с.

7. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. Москва : Высшая школа, 1982. 290 с.

8. Warga J. Optimal control of differential and functional equations. New York : Academic press, 1972. 546 p.

9. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. Москва : Наука, 1979. 432 с.

10. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Москва : Наука, 1972. 576 с.

11. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I-III // Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, № 10, 11, 12. С. 1320—1334, 1441—1458, 1561—1578.

12. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. Москва : Мир, 1974. 376 с.

13. Железнов Е. И. Необходимые условия оптимальности по минимаксу программного управления при наличии ограничений // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1487—1495.

14. Поляк Л. И. Минимизация негладких функционалов // Вычислительная математика и математическая физика. 1969. Т. 9, № 3. С. 509—521.

15. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва : Наука, 1981. 400 с.

16. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва : Наука, 1988. 552 с.

17. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. К. Качественная теория оптимальных процессов. Москва : Наука, 1971. 508 с.

18. Шор Н. З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. Киев : Наукова думка, 1979. 200 с.

19. Нестеров Ю. Е. Алгоритмическая выпуклая оптимизация. Дисс. на соискание степени д. ф.-м. наук : 01.01.07 / Нестеров Юрий Евгеньевич. М., 2013. 370 с.

20. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1980. 228 с.

21. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Ленинград : Изд-во СПбГУ, 1990. 310 с.

22. Ovsyannikov D. A. Mathematical methods of optimization of charged particle beams dynamics // Proceedings of European particle accelerator conference. Vol. 2. Barcelona, Spain, 1996. P. 1382-1384.

23. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. Санкт-Петербург : Изд-во СПбГУ, 1998. 274 с.

24. Ovsyannikov A. D. New approach to beam dynamics optimization problem // Proceedings of the 6th International Computational Accelerator Physics Conference. Darmstadt, Germany, 2000.

25. Beam dynamics optimization: models, methods and applications / D. A. Ovsyannikov [et al.] // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2006. Vol. 558. P. 11-19.

26. Ovsyannikov D. A. Mathematical modeling and optimization of beam dynamics in accelerators // Proceedings of RuPAC 2012. Saint Petersburg, Russia, 2012.

27. Дымников А. Д. Метод огибающих в задачах управления пучками частиц // Программирование и математические методы решения физических задач. 1978. С. 300—304.

28. Разработка малогабаритного ускорителя дейтронов для нейтронного генератора на энергию 1 МэВ / Ю. А. Свистунов [и др.] // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. Т. 14, № 1. С. 49—59.

29. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. Санкт-Петербург : Изд-во СПбГУ, 2003.

30. Овсянников Д. А., Едаменко Н. С. Моделирование динамики пучков заряженных частиц // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. № 2. С. 60—65.

31. Андрианов С. Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. Санкт-Петербург : Изд-во СПбГУ, 2004.

32. On the beam optimization problem / D. A. Ovsyannikov [et al.] // International Journal of Modern Physics A. 2009. Vol. 24, no. 5. P. 941-951.

33. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Chung S.-L. Optimization of a radial matching section // International Journal of Modern Physics A. 2009. Vol. 24, no. 5. P. 952-958.

34. Optimization of matching section of an accelerator with a spatially uniform quadrupole focusing / D. A. Ovsyannikov [et al.] // Technical Physics. 2009. Vol. 54, no. 11. P. 1663-1666.

35. Оптимизация согласующей секции ускорителя с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой / Д. А. Овсянников [и др.] // Журнал технической физики. 2009. Т. 79, № 11. С. 102—105.

36. Балабанов М. Ю. Оптимизация динамики пучков заряженных частиц с использованием высокопроизводительных вычислительных комплексов. Диссертация на соискание степени к. ф. -м. наук : 05.13.01 / Балабанов Михаил Юрьевич. Спб, 2010. 124 с.

37. Altsybeyev V. V., Ovsyannikov D. A. Optimization of beam parameters in APF channel // 27th International linear accelerator conference, LINAC 2014. 2014. P. 722-725.

38. Оптимизация динамики частиц в ускорительной установке с учетом возбуждения резонаторов пучком / Л. В. Владимирова [и др.] // Вопросы атомной науки и техники. Серия Техника физического эксперимента. 1987. 4(35). С. 64—67.

39. Овсянников А. Д. Об одном классе задач оптимизации в электростатическом поле // Доклады Академии наук. 2013. № 4. С. 383—385.

40. Svistunov Y. A., Durkin A. P. Beam dynamics investigation for 433 Mhz RFQ accelerator // Proceedings of RuPAC 2012. Saint Petersburg, Russia, 2012. P. 82-84.

41. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. Москва : Наука, 1977. 392 с.

42. Куржанский А. Б., Месяц А. И. Управление эллипсоидальными траекториями. Теория и вычисления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54, № 3. С. 404—414.

43. Куржанский А. Б., Месяц А. И. Оптимальное управление эллипсоидальными движениями // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1525.

44. Kurzhanski A. B., Varaiya P. Dynamic optimization for reachability problems // Journal of optimization theory and applications. 2001. Vol. 108, no. 2. P. 227-251.

45. Kurzhanski A. B., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I: external approximations // Optimization methods and software. 2002. Vol. 178, no. 2. P. 177-206.

46. Kurzhanski A. B., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for reachability analysis: internal approximation // Systems & control letters. 2000. Vol. 41, no. 3. P. 201-211.

47. Демьянов В. Ф., Виноградова Т. К., Никулина В. Н. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1982. 324 с.

48. Vinogradova T. K., Demyanov V. F. On the minimax principle in optimal control problems // Доклады Академии наук СССР. 1973. Т. 213, № 3. С. 512.

49. Ананьина Т. Ф. Задача управления по неполным данным // Диффирен-циальные уравнения. 1976. Т. 12, № 4. С. 612—620.

50. Ананьев Б. И. Задачи оптимизации дифференциального включения со случайными начальными данными // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 12—24.

51. Пантелеев А. В., Семенов В. В. Оптимальное управление нелинейными вероятностными системами по неполному вектору состояния // Автоматика и телемеханика. 1984. № 1. С. 91—100.

52. Филиппова Т. Ф. Оптимизация интегрального функционала на пучке решений управляемого дифференциального включения // Диффиренци-альные уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 457—464.

53. Филиппова Т. Ф. Оценки множеств достижимости систем с импульсным управлением, неопределенностью и нелинейностью // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2017. Т. 19. С. 205—216.

54. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Москва : Наука, 1988. 318 с.

55. Черноусько Ф. Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, № 6. С. 940—950.

56. Пантелеев А. В., Семенов В. В. Синтез оптимальных систем управления при неполной информации. Москва : МАИ, 1992. 192 с.

57. Бортаковский А. С. Оптимальное и субоптимальное управления пучками траекторий детерминированных непрерывно-дискретных систем // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2009. № 1. С. 18—33.

58. Бортаковский А. С. Субоптимальное управление логико-динамическими системами в условиях параметрической неопределенности // Автоматика и телемеханика. 2007. № 11. С. 105—121.

59. Никольский М. С., Беляевских Е. А. Принцип максимума Л. С. Понт-рягина для некоторых задач оптимального управления пучками траекторий // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2018. Т. 14, № 1. С. 59—68.

60. Овсянников А. Д. Оптимизация программного и возмущенных движений // Труды XXX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ Процессы управления и устойчивость. СПбГУ. Санкт-Петербург, 1999.

61. Овсянников А. Д. Математическое моделирование и оптимизация динамики заряженных частиц и плазмы. Диссертация на соискание степени к. ф. -м. наук : 01.01.09 / Овсянников Александр Дмитриевич. Спб, 1999. 118 с.

62. Овсянников А. Д. Математические модели оптимизации динамики пучков. Санкт-Петербург : ВВМ, 2014. 181 с.

63. Овсянников А. Д. Управление программным и возмущенными движениями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2006. № 4. С. 111—125.

64. Овсянников А. Д. Управление пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2009. № 2. С. 82—92.

65. Капчинский И. М. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жесткой фокусировкой // Препринт ИФВЭ. 1972.

66. Капчинский И. М., Тепляков В. А. Линейный ускоритель ионов с пространственно однородной жесткой фокусировкой // Приборы и техника эксперимента. 1970. № 2. С. 19.

67. Ворогушин М. Ф., Гавриш Ю. Н., Демской М. И. Линейные ускорители электронов для промышленности и медицины // Атомная энергия. 1999. Т. 87, № 2. С. 145.

68. Young L. 25 years of technical advances in RFQ accelerators // Proceedings of the 20th IEEE Particle Accelerator Conference. Vol. 1. Portland, USA : IEEE, 2003. P. 60-64.

69. Свистунов Ю. А., Овсянников А. Д. Разработка компактных ускоряющих структур для комплексов прикладного назначения // Вопросы атомной науки и техники. Серия Техника физического эксперимента. 2010. Т. 53, № 2. С. 48—51.

70. Свистунов Ю. А., Кудинович И. В., Головкина А. Г. Электроядерная установка на базе подкритического реактора, управляемого ускорителем //В сборнике: XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ 2014. Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. 2014. С. 4974—4985.

71. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov D. A. New mathematical optimization models for RFQ structures // Proceedings of the 18th IEEE Particle Accelerator Conference. New York, USA : IEEE, 1999. P. 2808-2810.

72. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. №2016612975 Программа для расчета и оптимизации параметров различных динамических процессов (BDOShelll .0) / Д. А. Овсянников [и др.].

73. Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Антропов И. В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. №2016612976 Программа для моделирования и оптимизации продольного движения пучка частиц в поле эквивалентной бегущей волны в структуре с ПОКФ (BDO RFQ TW1.0).

74. BDO-RFQ code and optimization models / D. A. Ovsyannikov [et al.] // Proceedings of 2005 International conference Physics and control. Saint Petersburg, Russia : IEEE, 2005. P. 282-288.

75. BDO-RFQ program complex of modelling and optimization of charged particle dynamics / D. A. Ovsyannikov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. 2014. Vol. 747, no. 1. P. 116-119.

76. Software complex BDO-RFQ / D. A. Ovsyannikov [et al.] // Proceedings of 2015 International conference Stability and control processes in memory of V. I. Zubov. 2015. P. 335-337.

77. RFQ optimization: methods and codes / B. I. Bondarev [et al.] // Proceedings of the 6th International Computational Accelerator Physics Conference. Darmstadt, Germany, 2000.

78. The LIDOS.RFQ.Designer Development / B. Bondarev [et al.] // Proceedings of the 19th IEEE Particle Accelerator Conference. Chicago : IEEE, 2001. P. 2947-2949.

79. Мизинцева М. А., Овсянников Д. А. О задаче совместной оптимизации программного и возмущенных движений // Материалы III международной конференции Устойчивость и процессы управления. 2015. С. 195—196.

80. Mizintseva M. A., Ovsyannikov D. A. On the minimax problem of simultaneous optimization of the controlled and disturbed motions // Proceedings of 2015 International conference Stability and control processes in memory of V. I. Zubov. 2015. P. 175-176.

81. Mizintseva M., Ovsyannikov D. On the minimax problem of beam dynamics optimization // Proceedings of the 25th Russian Particle Accelerator Conference, RuPAC 2016. 2016. P. 360-362.

82. Mizintseva M, Ovsyannikov D. Minimax problem of simultaneous optimization of smooth and non-smooth functionals // Proceedings of 2017 Constructive nonsmooth analysis and related topics (dedicated to the memory of V. F. Demyanov). IEEE, 2017. P. 1-4.

83. Mizintseva M, Ovsyannikov D. Beam dynamics optimization in a linear accelerator // Proceedings of the 8th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2017). 2017. http://lib.physcon.ru/doc?id=764c50870dd4.

84. Mizintseva M. A., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D. Joint optimization of smooth and nonsmooth functionals on beams of trajectories // Proceedings of the International conference Optimal Control and Differential Games dedicated to the 110th anniversary of L. S. Pontryagin. 2018. P. 203—205.

85. Мизинцева М. А. Об одной задаче минимизации гладких и негладких функционалов // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета технологии и дизайна. Серия 1: естественные и технические науки. 2018. № 2. С. 37—41.

86. Balabanov M. Y., Mizintseva M. A., Ovsyannikov D. A. Beam dynamics optimization in a linear accelerator // Vestnik SPbSU. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2018. Vol. 14, no. 1. P. 4—13.

87. Капчинский И. М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. Москва : Атомиздат, 1966. 300 с.

88. Капчинский И. М. Теория линейных резонансных ускорителей. Москва : Энергоиздат, 1982. 240 с.

89. Линейные ускорители ионов / Б. П. Мурин, А. П. Бондарев Б. И. and Федотов, В. В. Кушин. Москва : Атомиздат, 1978. 260 с.

90. Молоковский С. И., Сушков А. Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. Ленинград : Энергия, 1972. 304 с.

91. Власов А. Д. Теория линейных ускорителей. Москва : Атомиздат, 1965. 306 с.

92. Reiser M. Theory and Design of Charged Particle Beams. Weinheim : WI-LEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2008. 666 p.

93. Рошаль А. С. Моделирование заряженных пучков. Москва : Атомиздат, 1979. 224 с.

94. Анисимов Г. М., Тепляков В. А. Фокусировка ускоряющим полем // Приборы и техника эксперимента. 1963. № 1. С. 21.

95. Владимирский В. В. Вариант жесткой фокусировки в линейном ускорителе // Приборы и техника эксперимента. 1956. № 3. С. 35—36.

96. Капчинский И. М., Тепляков В. А. О возможности снижения энергии ин-жекции и повышения предельного тока в ионном линейном ускорителе // ПТЭ. 1970. № 4. С. 17.

97. Капчинский И. М. Сильноточные линейные ускорители ионов // Успехи физических наук. 1980. Т. 132, № 12. С. 639—661.

98. Коноплев Е. А., Мальцев А. П., Степанов В. Б. Численное моделирование динамики частиц в начальной части ускорителя с ВЧ квадрупольной фокусировкой // Препринт ИФВЭ. 1972.

99. Антропов И. В., Овсянников А. Д. Моделирование и оптимизация динамики частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2009. № 4. С. 111—125.

100. Weiss M. Radio-frequency quadrupole // Proceedings of the 5th CERN accelerator school. Vol. 2. Geneva, 1995. P. 959-991.

101. Овсянников А. Д. Оптимизация динамики заряженных частиц в структуре RFQ // Труды XXX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ Процессы управления и устойчивость. СПбГУ. Санкт-Петербург, 1999.

102. Application of optimization techniques for RFQ design / A. D. Ovsyan-nikov [et al.] // Problems of atomic science and technology. 2014. 3(91). P. 116-119.

103. Optimization of beam parameters in RFQ channel / A. D. Ovsyannikov [et al.] // 20th International workshopmon beam dynamics and optimization (BDO) 2014. IEEE, 2014.

104. Ovsyannikov A. D., Shirokolobov A. Y. Mathematical model of beam dynamics optimization in traveling wave // Proceedings of RuPAC 2012. Saint Petersburg, Russia, 2012.

105. О согласовании пучка с пространственно-однородным квадрупольным каналом / А. И. Балабин [и др.] // Препринт ИТЭФ. 1984. № 26.

106. Балабин А. И., Капчинский И. М., Липкин И. М. О выборе профиля электродов согласующего раструба на входе линейного ускорителя с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой // ВАНТ. Серия Техника физического эксперимента. 1983. 3(15). С. 39—41.

107. Вьюга Е. Н., Зуев Ю. В. Компьютерное моделирование согласующей ИОС инжектора компактного ускорителя ионов с ПОКФ // XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц. Т. 3. 1994. С. 118—123.

108. Дерновой Г. Н., Мальцев А. П. Высокочастотное согласование пучка на входе линейного ускорителя с пространственно-однородной фокусировкой // Препринты ИФВЭ. 1980.

109. Буданов Ю. А. Рост эмиттанса пучка и связь степеней свободы по пространственному заряду // XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц. Т. 3. Протвино, 1994. С. 243.

Список рисунков

3.1 Схематическое изображение структуры с

пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой...... 50

4.1 Структура программного комплекса BDO-RFQ ............ 68

4.2 Основное окно BDO-RFQ......................... 71

4.3 Управляющие функции.......................... 73

4.4 Характеристики программного движения................ 73

4.5 Среднеквадратические разбросы ..........................................74

4.6 Энергия пучка частиц (МэВ)....................... 75

4.7 Отклонение частиц пучка от синхронной частицы по фазе ...... 75

4.8 Фазовый портрет на выходе ....................... 76

4.9 Пучок частиц на входе в ускоряющую структуру ........... 77

4.10 Результаты оптимизации. Управляющие функции, продольное и поперечное движение ......................................................78

4.11 Результаты оптимизации. Разброс по фазе и энергии на выходе ускоряющей структуры ....................................................79

4.12 Результаты оптимизации для 10000 частиц. Распределение по фазе

и энергии ....................................................................80

4.13 Фазовый портрет пучка в поперечных плоскостях (х,йх/йг),

(у,(1у/(1х), (х,у) для 10000 частиц .................... 81

Saint Petersburg State University

Manuscript copyright

Mizintseva Maria Alexandrovna

Joint optimization of smooth and non-smooth functionals in

the problems of beam control

Speciality 05.13.18 — «Mathematical modeling, numerical methods and program complexes»

Thesis for the scientific degree of a candidate of physical and mathematical sciences

Scientific supervisor: doctor of physical and mathematical sciences, professor

Ovsyannikov Dmitri Alexandrovich

Saint Petersburg —2019

Contents

Introduction................................98

Chapter 1. Optimization using smooth and non-smooth functionals 104

1.1 Statement of the problem of joint control of a program motion and disturbed rations...........................104

1.2 Some auxiliary relations and lemmas....................................106

1.3 Variations of the functional and the necessary optimality conditions . 110

1.3.1 Joint transformation of the variations of smooth and non-smooth functionals..........................................112

1.3.2 Successive transformation of the variations of smooth and non-smooth functionals..........................................117

Chapter 2. Mathematical models of optimization considering the

particle distribution density................. 120

2.1 Optimization problem statement.................... 120

2.2 Variations of the functional and necessary optimality conditions . . . 121

2.2.1 Joint transformation of the variations of smooth and non-smooth functionals..................... 124

2.2.2 Successive transformation of the variations of smooth and non-smooth functionals..................... 129

2.3 Optimization of the combined functional considering integral characteristics of the beam....................... 131

Chapter 3. Mathematical modeling of the charged particle beam dynamics in a radio-frequency quadrupole (RFQ) accelerator............................ 140

3.1 Operating principle of an RFQ accelerator .............. 140

3.2 Longitudinal dynamics of the charged particles in an RFQ accelerator 142

3.3 Mathematical model of optimization of the longitudinal charged

particle dynamics in an RFQ accelerator ............... 146

3.3.1 Formalization of the optimization problem .......... 147

3.3.2 Computational aspects of the optimization model ............150

3.4 Transverse dynamics of the charged particles in an RFQ accelerator . 156

Chapter 4. Software implementation of the mathematical model of optimization of the longitudinal motion of the

charged particles in an RFQ accelerator....................159

4.1 Description of the optimization program module......................159

4.2 Optimization results ....................................................162

4.3 Verification of the optimization results..................................167

Conclusion........................................................................172

References........................................................................174

List of figures....................................................................184

Introduction

The dissertation focuses on the development of mathematical optimization models of dynamic processes using smooth and non-smooth quality functionals.

Research relevance. The problem of optimization of a dynamic system in the most general sense is the task of finding the best parameters of the system that deliver the desired results. This task can be reduced to the task of finding the extremum of an objective function characterizing the quality of the dynamic process. The theory of optimal control, which developed extensively in the last century, belongs to this class of problems. Among the works that laid the foundations of the optimal control theory we can name the works of L. S. Pontryagin, R. Bellman, N. N. Krasovsky, A. M. Letov, V. I. Zubov [1—7].

The problem of finding the optimal control is the problem of finding the law of the variation of the control function which delivers the extremum of a given criterion of the system quality. The system quality criteria are formalized as objective functions (or quality/cost functionals) which, depending on the considered object, can have different forms. Both smooth and non-smooth functions can be used to construct those quality functionals. Two approaches, based on the use of smooth and non-smooth functionals, are widely used in control theory [8—19].

The problem of optimal control of dynamic processes arises in various fields of science and technology. Efficiency, accuracy, computational effectiveness, and processing speed are the main challenges of the modern control systems.

The problems, associated with the design and creation of charged particle accelerators, turned out to be a particular class of problems that required the development of new mathematical models and optimization methods. The works of D. A. Ovsyannikov [20; 21] address the problems of charged particle beam control as mathematical problems of control of beams (ensembles) of trajectories of dynamic systems.

Extensive expertise has been accumulated in the matter of design and development of linear charged particle accelerators and their control systems. Various problems of charged particle beam dynamics control in linear accelerators were addressed in the works of D. A. Ovsyannikov, O. I. Drivotin, Yu. A. Svistunov, and other authors [22—40]. The results, obtained in these works, form the basis of various models, methods, and algorithms used in modeling and optimization of

the dynamics of charged particle beams in accelerators. However, the optimization methods considered in the mentioned papers are mainly based on the use of either smooth or non-smooth functionals.

It should be noted that both the methods of smooth optimization and minimax optimization are well studied in application to the problem of control of beams (ensembles) of trajectories. This fact is caused by the great interest in non-standard questions of control theory, which found applications in various fields of science and technology. Note that the problems of control of the beams of trajectories are also often interpreted as control problems of dynamic systems in case of uncertainty or incomplete information about the initial data and in the presence of external perturbations [41]. This approach is developed in numerous works of A. B. Kurzhansky, F. L. Chernousko, P. Varaiya, as well as the works of A. S. Bortakovsky, V. F. Demyanov, M. S. Nikolsky, A. V. Panteleev, T. F. Filippova and other authors [42—59].

An approach, describing the dynamics of a beam of charged particles in an accelerating structure using a system of equations of the dynamics of a individual program particle and equations in deviations from this particle for all the other particles considered in the model, has proven itself useful in the problems of optimization of the charged particle dynamics in accelerators. Hence, a problem of joint optimization of a program motion and disturbed motions, formulated in the works of A. D. Ovsyannikov, arises [60—64]. The mentioned approach to mathematical modeling can be applied to a wide range of dynamic processes.

This dissertation investigates the new problem of joint optimization of a program motion and an ensemble of disturbed motions using a combination of smooth and non-smooth quality functionals in the problems of optimal control of beams of trajectories. The distinguishing feature of the proposed approach is that it allows to take into account jointly the dynamics of the program motion, the integral characteristics of the ensemble of trajectories, the particle distribution density in the beam, and the maximum deviations of the output parameters of the trajectory beam from the given values in the problem of optimization of a dynamic process.

At the same time, as mentioned above, many papers devoted to diverse modern problems of control and optimization study both smooth and non-smooth functionals in beam control problems as well as problems of joint optimization of a program motion and an ensemble of trajectories.

The dissertation studies the functionals of the combined type. Functionals of this type allow to perform joint optimization of a program motion and disturbed motions taking into account the particle distribution density in the beam using smooth and non-smooth functions. Combined functionals constitute the central subject of the present research.

Aim of the dissertation consists in the development of methods of mathematical modeling and optimization of dynamic processes described by both a program motion and an ensemble (beam) of disturbed motions using a combination of smooth and non-smooth quality functionals, as well as the study of these methods in application to optimization of charged particle dynamics in a radio-frequency quadrupole (RFQ) accelerator [65; 66].

It was necessary to fulfull the following objectives to achieve the aim in view:

1. Set various new problems of joint control of a program motion and disturbed motions using a combination of smooth and non-smooth functionals.

2. Develop new mathematical optimization models based on functionals of the combined type.

3. Find analytical expressions for the variation and optimality conditions for the considered functionals.

4. State a new problem of optimal control of charged particle dynamics in an RFQ accelerator using smooth and non-smooth functionals.

5. Develop a software optimization module for the charged particle beam dynamics based on the combined quality functional.

6. Test the developed software module and verify the obtained optimization results using known software systems.

Scientific novelty:

1. New problems of joint optimization of program motion and a beam of disturbed motions using smooth and non-smooth functionals are stated.

2. The expressions for the variation of quality functionals of the combined type and the necessary optimality conditions in the new optimization problems are obtained.

3. A new mathematical model of optimization of the dynamics of charged particles in an RFQ accelerator using a functional of the combined type is developed.

4. A software module of optimization of the dynamics of charged particles in an RFQ accelerator using the proposed new mathematical optimization models is developed.

Theoretical and practical significance of the work consists in the development of a new approach to the joint optimization of a program motion and an ensemble of disturbed motions using smooth and non-smooth functionals. This approach can be used in the design of charged particle accelerators in order to obtain the necessary output beam parameters, as well as in the study of control and stabilization problems in case of incomplete information about the initial data and external disturbances.

An effective method of optimization of charged particle dynamics is developed. This method allows to consider various characteristics of the dynamic process jointly: the parameters of the program motion, the average beam characteristics, as well as the "worst" particles in the beam, meaning the particles, most deviating from the target parameters.

Particular problems arise in the development of control systems for compact, continuously operating linear accelerators of low and medium energies widely used as the initial part in accelerator complexes. In such installations it is necessary to minimize the loss of high-energy particles, and also to ensure that the beam quality requirements are met at each stage of acceleration [67—70]. Therefore, application of the approach to charged particle dynamics optimization using both the integral characteristics of the beam and the dynamics of the "worst" particles in case of accelerators of this type seems particularly appealing.

In the framework of the described approach to the optimization of a complex dynamic system, we consider a model of particle acceleration in a radio-frequency quadrupole. This model allows to separate the optimization of the transverse and the longitudinal motion [24; 71]. The obtained mathematical results were implemented as an optimization module for the BDO-RFQ software package, developed at the Department of Theory of Control Systems for Electrophysical Facilities of St. Petersburg State University [72—76].

Methods and methodology, used in the dissertation, include methods from the theory of differential equations, control and optimization theory, mathematical modeling, mathematical physics, and physics of charged particle beams.

Thesis statements to be defended:

1. New mathematical models of joint optimization of a program motion and a beam of disturbed motions using a combination of smooth and non-smooth functionals.

2. Optimality conditions and analytical expressions for variations of the introduced quality functionals of the combined type in the proposed new mathematical optimization models.

3. A new mathematical model of optimization of the longitudinal motion of particles in a radio-frequency quadrupole (RFQ) accelerator based on the combined quality functional.

4. Software implementation of the developed model of optimization of the longitudinal motion of particles in an RFQ accelerator.

Reliability of the obtained results is based on the correct mathematical statement of the problems under consideration, the rigor of the proofs, and the justified use of the mathematical apparatus. The proposed optimization model was tested on practical problems using the software optimization module for the longitudinal particle dynamics in an RFQ accelerator (as part of the BDO-RFQ software package). The results of the numerical optimization were verified using LIDOS RFQ Designer program complex [77; 78].

Aprobation. The main results of the work were presented at the Department of Theory of Control Systems for Electrophysical Facilities of St. Petersburg State University, as well as international and national conferences: Stability and Control Processes 2015, Russian Particle Accelerator Conference 2016, Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics 2017, Physics and Control 2017 [79—84].

Personal contribution. All results, presented in the thesis, were obtained by the author.

Publications. The main results on the topic of the dissertation are presented in 8 publications, 2 of which are published in journals recommended by the Higher Attestation Commission [85; 86], 4 are indexed in the scientometric databases Scopus and Web of Science [80-82; 86].

Contents and structure of the dissertation. The disseratation consists of an introduction, four chapters, a conclusion, a list of references and a list of illustrations. The disseratation consists of 90 pages, including 14 figures and 1 table, the list of references consists of 109 positions.

Overview of the dissertation. The introduction addresses the relevance of the dissertation, review of the literature, the main aims, objectives, methods, and results of the research. The scientific novelty, theoretical and practical significance of the work are discussed.

The first chapter of the dissertation is devoted to the statement of the problem of joint optimization of a program motion and disturbed motions without taking into account the particle distribution density. The new mathematical optimization model includes a Boltz functional on the program trajectory and a non-smooth terminal functional defined on the ensemble of disturbed motions. Two forms of the variation of the combined quality functional are obtained and the necessary optimality conditions are formulated.

The second chapter considers the quality functionals that take into account the particle distribution density. Mathematical optimization models evaluating the dynamics of the program motion and various integral characteristics of the disturbed motions, as well as the "worst" terminal positions of the particles in the beam, are proposed. Variations of the functionals and corresponding necessary optimality conditions are written out for the proposed functionals.

The third chapter is devoted to the development of the optimization model of the dynamics of charged particles in a radio-frequency quadrupole (RFQ) using smooth and non-smooth quality functionals. A new mathematical model is proposed for the optimization of the longitudinal motion of the charged particles. This model considers the dynamics of the program (synchronous) particle, the average (integral) characteristics of the beam dynamics taking into account the variation of the particle distribution density during acceleration, as well as the most deviating from the synchronous particle in phase and energy particles in the beam. An optimization algorithm based on the obtained variation of the combined functional is presented.

The fourth chapter describes the software implementation of the proposed model of optimization of the longitudinal dynamics of charged particles in an RFQ accelerator, developed as a part of the BDO-RFQ software package. The results of optimization of the dynamics of charged particles are illustrated and discussed, as well as the results of the verification of the effectiveness of the proposed approaches and optimization algorithms using the LIDOS RFQ Designer software package.

The conclusion presents the main results of the research.

Chapter 1. Optimization using smooth and non-smooth functionals

1.1 Statement of the problem of joint control of a program motion

and disturbed motions

Let us state the problem of joint control of a program motion and disturbed motions [62]. We will consider a differential equation describing some dynamic process:

f = f (t,x,u), (1.1)

with initial condition

z(0) = xq. (1.2)

Here t E To = [0,T] is the independent variable, where T is fixed, To C R1; x = (x1,...,xn) E Qx C Rn — n-dimensional phase vector; u = u(t) — r-dimensional piecewise continuous control vector function, f (t,x,u) — n-dimensional vector function, defined and continuous with its partial derivatives

dfi/dxk, i,k = l,n on the set T0 x Qx x U, where Qx — open simply connected set.

Let us assume that controls u(t) constitute a class of piecewise continuous vector functions D with values in the compact set U C Rr. Here and further we will call the controls belonging to the class D the admissible controls.

Solution x = x(t) = x(t,x0,u) of equation (1.1) is the program (selected, calculated) motion, defined by the choice of initial condition x0 and control vector function u(t).

Jointly with equation (1.1) we will consider a system of differential equations

^ = F (t,x,y,u), (1.3)

with initial conditions

y(0)= yo E Mo. (1.4)

Here y = (y-\_,... ,ym) E Qy C Rm — m-dimensional phase vector; F(t,x,y,u) — m-dimensional vector function, defined and continuous on the set T0 x Qx x Qy x U with its partial derivatives with respect to x and y up to second order — dFi/dxk,

dFt/dy3, d2Ft/dxkdx3, d2Fl/dxkdyi, d2Ft/dyidyh, k,j = l,n, h,i,l = l,m\ the set of initial conditions Mo c Qy is a compact set of non-zero measure, Qy — open simply connected set.

The solutions of system (1.3) with initial conditions (1.4) constitute an ensemble (or beam) of trajectories, which we will also call the disturbed motions. In this case, solutions y = y(t,yo) = y(t,x,yo,u) are dependent not only on the chosen control function u = u(t) and the set of initial data Mo, but also on some fixed program motion x = x(t) = x(t,xo,u), which is reflected in the right part of the system (1.3).

Let us assume that on the entire interval t G [0,T] and with all admissible controls u G D system (1.1) with initial condition (1.2) and system (1.3) with initial conditions (1.4) have the unique solution of the Cauchy problem.

Note that equations (1.3) can be addressed as equations in deviations from a given program motion.

The problem of joint optimization of a program motion and an ensemble of trajectories consists in the joint solution of equations (1.1), (1.3) with initial conditions (1.2), (1.4) to find the optimal control from the set of admissible controls.

To formalize the problem of joint optimization, let us introduce the following quality functionals.

On the solution of system (1.1) we will consider a Boltz functional

T

h(u) = J wi(t,x(t))dt + g(x(T)). (1.5)

0

Let us consider a cross-section of the beam of trajectories at t = T — set Mt^u, defined as follows:

MT,u = {yT = y(T,yo) = y(T,x,yo,u),yo G Mo}. (1.6)

On the set Mt^u let us introduce a maximum functional

h(u) = max cp2(yT). (1.7)

yT GMT,U

Since the solutions of equations (1.3) are determined by the choice of the initial set y0 G M0 and control u = u(t), functional (1.7) can be represented in the following way:

l2(u) = max p2(y(T,x,yo,u)). (1.8)

voGm0

In (1.5), (1.7), (1.8) cp1, cp2 and g are non-negative smooth functions.

If we think of equation (1.3) as an equation of dynamics of some particles, then maximum functionals like (1.7) evaluate the dynamic process by the "worst" (meaning the most deviating in one way or another) particles at t = T.

Further, we will study the combination of the smooth functional I1(u) and the non-smooth functional I2(u):

I (u) = Ii(u) + h(u). (1.9)

Functional (1.9) takes into account the dynamics of the program motion and the ensemble of disturbed motions, using the smooth Boltz functional (1.5) and the minimax estimate of the dynamic process at the terminal cross-section of the beam of trajectories (1.7) jointly.

An optimal control is an admissible control u0 that delivers the minimum of the functional I(u):

I (u0) = min I (u).

ueD

Hence, in the given statement the problem of joint optimization of the program motion and the ensemble of disturbed motions can be reduced to the problem of finding the minimum of functional (1.9).

1.2 Some auxiliary relations and lemmas

Let us write down some auxiliary relations that will be required to write down the expressions for the variation of the functionals.

We will consider admissible controls u(t) u u(t) and corresponding solutions of systems (1.1) and (1.3):

X = x(t) = x (t,xo ,u), yt = y(t) = y(t,x,yo,u) = y(t,yo);

X = x(t) = x(t,xo,u), yt = y(t) = y(t,x,yo,u) = y(t,yo).

Given the variation of the control function Au(t) = u(t) — u(t), the increment of the trajectories will be

Ax(t) = x(t) — x(t), Ay(t) = y (t) — y(t).

Let us write down the variational equations for system (1.1):

dbx df (t,x,u)

dt dx

with initial condition

-Sx + Auf (t,x,u), (1.10)

bx(0) = 0. (1.11)

The equations in variations for system (1.3), defining the dynamics of the beam of trajectories, has the following form:

dby dF (t,x,y,u) dF (t,x,y,u) ,

~dt =-dx- +-dy-8y + AuF (f,x,y,u), (L12)

with initial conditions

by (0) = 0. (1.13)

Here and further the designation Au stands for the increment of a function corresponding to an increment of the control function:

Auf (t,x,u) = f (t,x,u + Au) - f (t,x,u), (1.14)

AUF(t,x,y,u) = F(t,x,y,u + Au) - F(t,x,y,u). (1.15)

It should be noted that variation bx(t) is calculated along the program motion x(t) = x(t,x0,u), while variation by(t) depends on the program motion x = x(t), as well as the dynamics of the beam of trajectories y(t) = y(t,x,y0,u),y0 G M0. Hereinafter we will use notation by(t) = by(t,y(t,y0)) = by(t,y0).

We will define the norm of the control vector function u(t) in the following way:

T

IMOIU = J \\u(t)\\dt.

0

The norms of the phase vectors x(t) u y(t) will be

c = max |k(i)||, c = max .

\ v j\\c tG[o,T] 1 v JI ;Hc te[0,T] I|yv JI1

Here and further under notation H^i)!, \\^(i)\, the Euclidean norm of

a vector is understood, if not specified otherwise.

The following lemmas stand.

Lemma 1.

If u(t) is an admissible control and y = y(t,x,y0,u) is the corresponding solution of system (1.3) with initial conditions (1.4) and Au(t) is an admissible variation of the control vector function, then with \\Au(t)\\L ^ 0 we have

\\Ay(t,yo)\\c = max \\Ay(t,yo)\\ ^ 0 uniformly on yo G Mo. (1.16)

te[0,T ]

Proof.

Let us introduce vector function z* = (x,y), where x = x(t,x0,u), y = y(t,x,y0,u) are the solutions of system (1.1), (1.3) with fixed initial conditions (1.2),

(1.4).

Due to the continuous dependence of the solutions of system (1.1), (1.3) on the control function u(t), when \\Au(t)\\L ^ 0 [21], we have

\A\\c = \\Qllc ^

Due to the continuous dependence of the solutions of system (1.3) with a fixed x0 on initial conditions y0 G M0 and the compactness of the set M0 expression (1.16) will also be true.

The lemma is proven.

Lemma 2.

Consider u(t) G D, then with \\Au(t)\\L ^ 0 we have

\\Ay(t,yo) - by{t,yo^c = o(\\Ay(t,yo)\\c + \\Ax(t)\\c)

steadily on y0 G M0.

The proof of this lemma can be carried out by analogy with the proof of Lemma 1.

Let us introduce set Rt(u) depending on the control function u = u(t) and defined as follows:

RT(u) = {y0 : y0 G Mo, y(y(T,x, yo, u)) = max y(y(T,x,yo,u))}. (1.17)

yoGMo V '

Here y is some non-negative function.

Remark 1.1. Considering equations in variations (1.10), (1.12) with initial conditions (1.11), (1.13) and using Gronwall's theorem [21] the following statements can be proven:

Wbx(t)\\c < ci\\Auf (t,x,u)\\L,

\\by(t,yo)\\c ^ C2\\Auf (t,x,u)\\L + C3\\AMF(t,x,y,u)\\L. Here c\, c2, c3 are some non-negative constants.

Remark 1.2. Considering the differential equations for Ax and Ay and following the logic of Remark 1.1 it is not hard to obtain the following relations:

HAx(t)Hc < ci\\Auf (t,x,u)\\L,

\\Ay(t,yo)\\c < C2\\Auf (t,x,u)\\L + C3\\AuF(t,x,y,u)\\L, where c\, c2, c3 are some non-negative constants.

Let us prove the following lemma. Lemma 3.

Let's consider sets Rt(u) and Rt(u) defined by formula (1.17) and corresponding to the admissible controls u(t) and u(t) = u(t) + Au(t), then we have

max min Hv'o — y'0Hc ^ 0 , where j\ A^\^ ^ 0. (1.18)

v'^gRt(u) y'0gRt(u)

Proof.

Equation (1.18) means that for every e > 0 exists a b > 0 such that with HAuHl < b for each y" G Rt(u) can be pointed out a y'Q G Rt(u) such that

WvO — y'oWc < e.

Let's suppose it is not true. Then there exists a sequence of admissible controls {uk} : \\Auk\\L < bk, where bk > 0, bk ^ 0 with k ^ <x>. Can be found yk G Rt(u + Auk) such that:

min H\yk — yoHc > e. (1.19)

yoGRT (u)

By definition

p(y(T,x,yk,u) + Ay(T,yk)) = max y(y(T,x,yo,u) + Ay(T,yo)), (1.20)

yoGMo

where

Ay (T,yo) = y(T,x,yo,u + Auk) — y(T,x,yo,u).

All yk E M0, hence, without loss of generality, we can presume that the sequence yk converges to some y0 E M0.

Lemma 1 means that \\Ay(t,y0)\\c ^ 0 with k ^ (,y0 E M0. Passage to the limit k ^ ( in expression (1.20) gives us

v(y(T,x,yo,u)) = max y(y(T,x,yo,u)),

yoEMo

which means that y0 E Rt(u) which consequently contradicts (1.19). The lemma is proven.

1.3 Variations of the functional and the necessary optimality

conditions

We will consider functional I(u) introduced in Section 1.1:

I (u) = Ii(u) + h(u). (1.21)

We remind that I\(u) is a smooth functional of a mixed type defined the following way:

T

h(u) = j yi(t,x(t))dt + g(x(T)). (1.22)

0

Functional I2(u) is the maximum functional considered on the terminal cross-section of the beam of trajectories Mt^u which, due to the continuous dependence of the solutions of system (1.3) with respect to initial conditions (1.4) and control u(t), can be rewritten as a maximum on the initial set M0:

I2(u) = max y2(yT) = max q2(y(T,x,yo,u)). (1.23)

yT EMT,U yoEMo

The expression for the variation of the smooth functional (1.22) is well-known and in this particular case has the following form [62]:

mu, An) = j d Vl{!Mt)) 6xdt + d9if» ix(T). (1.24)

/ OX ox

Here bx(t) is the variation of the program motion, defined by the variational equation (1.10) with initial condition (1.11).

Let us obtain the expression for the variation of the functional (1.23). It should be noted that in [21] the variation for a similar maximum functional was obtained. However, the case of the dependence of the beam of trajectories on the selected program motion was not considered in the mentioned work.

Consider the admissible control u(t) = u(t) + Au(t) and set Qt(u,Au) = Rt(u) U Rt(u), where sets Rt(u) and Rt(u) are defined by relation (1.17). Using Qt(u,Au), we will write down the expression for the functional I2(u):

l2(u) = max W2(y(T,x,yo,u)) = max ^(y(T,x,yo,u)) =

yoEMo yo eRt (u)

= y2(y(T,x,yo,u)).

voeqt (u,Au)

Let us represent p2(y(T,x,yo,u)) in the following form:

(1.25)

W2(y(T,x,yo,u)) = cp2 (y(T,x,yo,u) + Ay(T,yo)) =

( (rr W , dP2 (y(T,X,yo,U)) (1.26) = P2 (y(T,x,yo,u)) +-—-8y(T,yo)+ o (\A (T,yo)\\c).

Here by(T,yo) is the variation of the trajectory y(t,x,yo,u) corresponding to an admissible variation of the control function Au(t), defined by the equations in variations (1.12) at t = T.

Let us obtain the evaluation of the total increment of the maximum functional

12.

Due to relations (1.25) and (1.26) the following inequality is true: h(u) ^ max P2(y(T,yo)) + max 9P2(y(T,yo)by(T,yo) + 0l =

VoEQt (u,Au) yoEQT (u,Au) Oy

= max P2(y(T,yo))+ max d P2 (y(T,y° )) hy(T,yo)+ 01 + 0'2,

yoERT (u) yoERT (u) Oy

where

0l = max \ o(\\Ay(T,yo)\\c) \, (1.27)

yo EMo

dP2(y(T,yo)h (rr , dp2(y(T,yo)), (rr , n OQ, 02 = max ---8y(T,yo) - max ---8y(T,y{)). (1.28)

yoEQT (u,Au) Oy yoERT (u) Oy

On the other hand

I2(u) > maxiV2(y(T,yo)) + 9^^"))by(T,yo)\ — 01 >

yoGMo l oy )

> max i ^ yo)) + Wjf*» by (T,Wl)| — 0l =

yoGRT («H °y J

= max V2(y(T,yo))+ max ^MIMby(T,yo) — 01.

yo gRt (u) yo gRt (u) oy

So for the total increment AI2 = I2(u) — I2(u) of the functional we have

bl2(u, Au) — o1 < AI2(u, Au) < bl2(u, Au) + o1 + o2. (1.29)

Variation of the functional (1.23), corresponding to an admissible variation of the control function Au(t), is bl2(u, Au) defined as follows:

cTi a \ 9^2(y(T,x,yo,u))

bl2(u, Au) = max ---by(T,yo), (1.30)

yoGRT (u) Oy

where Rt(u) is the set defined by (1.17), variation of the phase variable y is defined by equation (1.12).

1.3.1 Joint transformation of the variations of smooth and

non-smooth functionals

Variation of the functional (1.21) obviously is

bl(u, Au) = bli(u, Au) + bh(u, Au). (1.31)

Or, using the expressions (1.24) and (1.30):

bl (u, Au) = J 9 *l(*,x(t)) bxdt + d9 (f)) bx(T) +

J dx dx (1.32)

d v2(y(T,x,yo,u))

+ -5-by(T,yo).

yoGRT (u) dy

Let us transform the obtained expression.

Since the program motion doesn't depend on the beam of trajectories due to the problem statement, the variation (1.32) can be rewritten by moving the addend corresponding to b^ under the maximum function. We get