Спектр Галуа и генерирующие многочлены тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сергеев, Александр Эдуардович

• Сергеев, Александр Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сергеев, Александр Эдуардович

Введение

Глава 1. Спектр Галуа многочленов.

§ 1. Факторизационный спектр многочлена.

§ 2. Спектры Галуа многочленов.

§ 3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена.

Глава 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов.

§ 1. Теорема Гильберта о неприводимости.

§ 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени

§ 3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени.

Глава 3. Генерирующие многочлены над полями характеристики два.

§ 1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два.

§ 2. Циклические расширения 4-ой степени над полями

--------- харакхерисхики два.

§ 3. Циклические расширения 8-ой степени над полями характеристики два.

§ 4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А над полями характеристики нуль.

§ 5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А над полями характеристики два.!.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектр Галуа и генерирующие многочлены»

В работе изучаются спектры и полные спектры Галуа параметрических многочленов и рассматривается построение генерирующих многочленов над различными полями.

Понятие факторизационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена были введены впервые автором.

Понятие спектра Галуа параметрического многочлена связано с теоремой Гильберта о неприводимости, изучением Гильбертовых множеств, со свойствами параметрических многочленов. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена связано с нахождением целых точек на эллиптических кривых. Факторизационный спектр используется также при нахождении полного спектра Галуа параметрического многочлена.

В теории Галуа есть ряд известных задач, связанных с теоремой Гильберта о неприводимости, которые формулируются следующим образом:

1) Пусть f(x, у) неприводимый над Q многочлен с целыми коэффициентами. Нужно охарактеризовать множество целых специализаций х = а, для которых многочлен f(a,y) приводим над полем рациональных чисел (часто это множество оказывается конечным). Эту задачу изучали М.Fried [24] и P.Muller [50].

2) Пусть д[х) - многочлен с коэффициентами из поля К. Надо охарактеризовать группу Галуа G многочлена вида д(х) — t над полем K(t).

Эту группу G называют группой монодромии многочлена д{х). По задаче 2 имеются результаты P.Muller [51]. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена тесно связано с задачей 1, а понятие спектра Галуа параметрического многочлена с задачей 2. Так как, если К - Гильбертово поле и группа G есть группа монодромии многочлена д{х) (т.е. группа Галуа многочлена д{х) — t над полем K(t)), то по теореме Гильберта о неприводимости существует бесконечно много специализаций t = а, таких, что группа Галуа многочлена д{х) — а над полем К есть G. Таким образом, задача об определении спектра Галуа параметрического многочлена обобщает и углубляет задачу 2.

Дадим соответствующие определения и приведём полученные результаты. Пусть К - поле и дан многочлен / от г +1 переменной t\, • • •, tr, х, то есть = ao(h,t2,. ,tr) + • • .,tr)x + . + an(ti,t2,. ,tr)xn, где ao(ti,t2,. ,tr) E K[ti,t2,.,tr], an ф 0.

Определение 1. Факторизационным спектром многочлена f(ti,. ,ts;x) Е K[ti,., степени п относительно х называется набор разбиений (п^ > ., > nff}) числа п, где 1 < i < г, такой что:

1. Для любого г, 1 < г < s существуют такие элементы (специализации) а\., as Е К, что многочлен /(ai,., as, х) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней п(\., п^).

2. Если для некоторых ai,.,aseK многочлен /(ai,. •, as, х) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней п^ > . > n's, то существует г, 1 < г < г, такое что (п[,. n's) = ., п^}).

Напомним, что разбиением числа п называется набор натуральных чисел ni > п2 > . > пр, сумма которых равна п. Рассмотрен пример: Пример 1. Многочлен вида f(x) = х5 + тх + п\ + nl + п\ + п\ + 1 Е Q[m, пь п2, пз, П4, х] имеет следующий факторизационный спектр над Q, состоящий из разбиений: (5), (4,1), (3,2), (3,1,1) и (2,2,1).

Пример 1 уточняет результат Рабиновича [53] (он рассматривал лишь факторизации вида (1,4) и (2,3)). Приведем определение спектра Галуа параметрического многочлена. Определение 2. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G2,., Gs группы Sn г-параметрическим спектром Галуа многочлена G K[ti,t2,. ,tr,x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров ti,t2,. ,tr в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения" Gi, G2, • • • , Gs.

Этот факт будем обозначать так:

Sp GalK(f; tb • • • ,tre A) = {Gh G2, • • • , Ga}.

Наряду с понятиями факторизационного спектра и спектра Галуа параметрических многочленов, вводится понятие полного спектра Галуа параметрического многочлена.

Определение 3. Назовём последовательность неизоморфных между собой подгрупп (j?2j • • •) Gp группы Sn г-параметрическим полным спектром Галуа многочлена f €Е K[ti,t2,. .,tr,x] над К по отношению к множеству АС. К, если при изменении параметров • • * в А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения" G\, G2, • • • , Gp.

Этот факт будем обозначать так:

Spt GalA-C/; tu ■ - • , U е А) = {Gu G2, • • ■ , Gp}.

В §2 приводятся примеры спектров и полных спектров Галуа параметриче-скюГмногочленов над полем рациональных чисел Q.

В общем случае нахождение спектров Галуа параметрических многочленов степени больше трёх затруднительно, так как связано с решением нетривиальных диофантовых уравнений. Исключение составляют генерирующие многочлены [22], для которых, при определенных условиях, связанных с решением обратной задачи теорий Галуа полный спектр Галуа определяется сразу (см. следствие 2), благодаря результату Кемпера [35].

Понятие генерирующего многочлена впервые упоминается в работах [57],[22] и было связано с обратной проблемой теории Галуа, проблемой Нётер, генерирующими расширениями. В дальнейшем возникла следующая проблема: существует ли для данной конечной группы G над бесконечным полем К генерирующий (7-многочлен? Ниже приводится таблица, отражающая полученные результаты.

Определение 4 (Кемпер). Пусть К - поле и G - конечная группа. Назовём нормированный, сепарабельный многочлен g(ti,., tm, X) ё K(t\,., tm)[X генерирующим для группы G над К, если выполняются следующие два свойства:

1) Группа Галуа многочлена д (как многочлена от X над K(ti,. ,tm)) есть G.

2) Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют Ai,., Am Е L, такие, что N является полем разложения многочлена д(Х\,., Am, X) над L.

Определение 5. (Kemper) Назовём многочлен д спускающимся генерирующим многочленом (descent-generic), если он удовлетворяет условию (1) определения 3. (см. выше), а также, кроме того, выполняется следующее свойство:

2') Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой Н < G, тогда существуют Ai,., Am G L, такие что N является полем разложения многочлена g(\i,., Am, X) над L.

Имеет место следующая теорема [35]: "Теорема~17Каждый генерирующий многочлен g{t\,. ,tm,X) для группы G над бесконечным полем К является спускающимся генерирующим многочленом.

Из этой теоремы вытекает следствие:

Следствие 2. Если д(Х) - генерирующий многочлен для группы G над бесконечным полем К, то полный спектр Галуа многочлена д(Х) над полем К состоит из всех подгрупп группы G, для которых обратная задача теории Галуа имеет решение над полем К.

Замечание 1. Спектр Галуа генерирующего для группы G многочлена состоит из транзитивных подгрупп группы G. В рассмотренных нами примерах (часть из них приведена чуть ниже, а также в конце второго параграфа первой главы) оказалось, что он состоит из всех транзитивных подгрупп группы G.

Приведём теперь таблицу, связанную с генерирующими многочленами.

Таблица генерирующих многочленов группа поле генерирующий многочлен ЯВНЫЙ вид

С2, С4 Q Существует Построен [32]

С4 char К = 2 Существует Построен [10]

С2 X С2 Q Существует Построен [32]

С2, хС2 х С2 Q Существует Построен [54]

С2, хС2 х С2 х с2 Q Существует Построен [54]

Сп,п- нечётное char К ф 2 Существует Построен [32]

Сп, п - нечётное char К = 2 Существует Построен для Ср, р -простое [36]

С2«,е > 2 Q Не существует

С„, n = 5,7,8, .9,11,12,13, QW, = Cn + Cn 1 Существует Построен [54] р-группа char К = p Существует[49] Не построен

Qs char К ф 2 Существует Построен [32]

Qin char К f 2n, o;n = Cn + Cn 1L, Существует Построен [36]

Q2n, 71 = 6, 8 Q(C») Существует Построен [54]

Dn, n—нечётное char К ф 2 Существует Построен для Z?5 над Q [32]

Ds,QD8,Mle char К ф 2 Существует Построен [44]

D6 Q Существует Построен [54]

Dn, n = 5,7,8 QK). wn = Cn + Cn1 Существует Построен [54]

Fvi char К ф 2 Существует, 8 {1 Построен для f20 [42]

Sn char К \ n Существует Построен [36] a4 char К ф 2,3 Существует Построен [36] a4 char К = 2 Существует Построен (гл. 3, § 6) a5 Q Существует Построен [32]

С6 char К = 2 Существует Построен [5]

С8 char К = 2 Существует Построен [10]

С2 х С2 char К = 2 Существует Построен [5]

С2, хС2 х С2 char К = 2 Существует Построен [5]

SL2{ 3) char К Ф 2,3, причём ypi ек Существует Построен [36]

PSL2{ 7) char К ф 2,3,7, причём \f—7 G К Существует [36] Не построен

Ср X Cm Щр Существует Построен [57]

GLn(q),SLn(q) Существует Построен [65]

Sp2n(q) FP Существует Не построен [17]

CSp2n(q) Fp Не существует [36]

Приведём примеры нахождения спектров (и полных спектров) Галуа некоторых генерирующих многочленов.

Пример 2. Многочлен д(Х) = X3 — tX2 + (t — 3)Х +1 - является генерирующим многочленом для группы Сз над полем Q, поэтому SpGal<Q(^(X)) = ш

Пример 3. Многочлен д{Х) = X4 + 2hX2 - At2t3X + (fa + t2)2 - 2t2t\) являетсяТенёрирующим многочленом для группы D4 над полем Q, поэтому Spt GalQb(X)) = {Da, С4, С2 х С2, С2, е}.

Как показывает таблица к настоящему времени построено над различными полями не много генерирующих многочленов даже для групп небольших порядков над полем Q.

В §3 изучается влияние преобразования Чирнгаузена на спектр Галуа параметрического многочлена. В следующей теореме 3 будем рассматривать преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из K[ti,., tr]. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 3. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X /i(X; t\,., tr) и f2(X] ti,.,tr) из кольца K\t\y., tr][X] эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над K[ti,. ,tr], то их спектры Галуа совпадают.

Теорема 4. Пусть группа G реализуется как группа Галуа над полем К. Пусть также в группе G существуют две несопряжённые подгруппы Т и Н одинакового порядка такие, что выполняются следующие соотношения:

П aeGvTcr-1 = {е}, П тесгИт'1 = {е}.

Тогда существуют два неприводимых многочлена над полем К одинаковой степени, не эквивалентных относительно преобразования Чирнгаузена над полем К и имеющих одно и то же поле разложения.

Доказано, что над полем Q свойством, описанном в теореме 3, обладают многочлены f(X) = X4 - 2 и g(X) = X4 + 8.

Одной из основных проблем теории Галуа является обратная проблема теории Галуа, которая для фиксированного поля К формулируется следующим образом: Какие группы G реализуются над полем К в качестве групп К-автоморфизмов расширений Галуа поля К? Для конечного поля К обратная проблема теории Галуа решена: циклические конечные группы и только они реализуются в качестве групп Галуа над К.

Если К = Q - поле рациональных чисел, то полный ответ на эту проблему неизвестен. Аналогом обратной проблемы теории Галуа для параметрических многочленов над полем К является следующая проблема (обратная проблема для спектров Галуа параметрических многочленов):

Проблема 1. Пусть {G i, G2, • • • , Gsj - набор транзитивных подгрупп группы Sn и 1 < г < п. Существует ли многочлен / 6Е K[ti,t2, • • • ,tr,x], спектр

Галуа которого над К в точности равен {C?i, G2, • • • , Gs}?

Теперь обратную проблему теории Галуа можно переформулировать так:

Проблема 2. Для всякого ли натурального числа п существует параметрический многочлен степени п, полный спектр Галуа которого над полем Q совпадает (с точностью до изоморфизма групп) с множеством всех подгрупп симметрической группы Sn?

Благодаря многим конкретным результатам разных авторов известно к настоящему времени, что проблема 2 имеет положительное решение для всех натуральных п < 15 [40].

Вторая глава посвящена обратной проблеме для спектров Галуа параметрических многочленов. Благодаря теореме Гильберта о неприводимости и теореме о группе Галуа многочлена, получающегося при помощи специализации, обратная проблема для спектров Галуа многочленов решена над полем Q для спектров Галуа многочленов третьей и четвёртой степеней. В рассматриваемых случаях удаётся найти Н - Гильбертовы множества для некоторых (■^-параметрических многочленов, когда Н - транзитивная подгруппа группы Sn (п = 3, 4). Доказаны следующие теоремы:

Теорема 5. Любой многочлен третьей степени, неприводимый над полем Q(£i,. •, tr), г Е N с коэффициентами из Q[£i,., tr], при целых специализациях, имеет один из следующих спектров Галуа: {£3}, {-Аз} и {S3, A3}.

Теорема 6. Целочисленным спектром Галуа, неприводимого HadQ(t±,. ,tr) многочлена четвёртой степени с коэффициентами из Q[ti,.,£r] может быть любой из следующих наборов подгрупп группы S4: {£4}, {А4}, {D4}, {V4}, {С4}; {54, А4}, {S4, D4}, {S4, V4}, {S4, C4}, {A4, V4}, {D4, V4}, {D4, C4}; {S4,A4,D4}, {54,Л4, C4}, {S4, A4, V4}, {S4,D4,V4}, {S4,D4,C4}, {S4,V4,C4}, {D4, V4, C4}; {S4, A4, D4, V4}, {S4, D4, V4, C4}, {£4, A4, D4, C4}, {S4, A4, V4, C4}; {S4, A4, D4, C4,V4}. Ни один из наборов подгрупп S4, не входящий в этот список, не может быть целочисленным спектром Галуа такого многочлена.

В третьей главе для некоторых групп G небольших порядков рассматривается построение (^-параметрических и (^-генерирующих многочленов в основном над полями характеристики два.

Случай, когда char К = 2 - особый, но благодаря функции Берлекэмпа [14] (играющей в полях char К = 2 роль функции д/D(f) в полях char К = 0), в первом параграфе третьей главы сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие находить группы Галуа неприводимых многочленов соответственно 3-ей и 4-ой степеней над полями характеристики два. Приводятся соответствующие примеры.

О генерирующих многочленах над полями charK = 2 известно немного, так как большинство известных методов не работают над полями charK = 2.

Так в [61] упоминается многочлен f(x,t) = х3 — tx2 + {t — 3)я:+1, являющийся генерирующим многочленом для циклической группы Сз над любым полем (в том числе и над полем char К = 2). Построенные далее генерирующие многочлены для групп С^С^и А* над полем char К = 2 приводятся впервые.

Во втором и третьем параграфах, с помощью теоремы Витта [66], построены над полями характеристики два генерирующие многочлены для циклических групп С а и Cjg. В частности доказаны теоремы:

Теорема 7. Пусть К - поле характеристики два. Тогда многочлен вида f(x; fi, t2) = х4 + (1 + ti)x2 + t\x + t3 + t2 + hh из K[x, ti, £2] является C±-генерирующим многочленом над полем К.

Явный вид генерирующего многочлена для группы Cg над полем К = F2(i) приведён в §3. Рассмотренный приём позволяет последовательно строить генерирующие многочлены для циклических групп C\q, Сз2, .

В четвёртом параграфе для знакопеременной группы А\ над Гильбертовым полем характеристики нуль строятся генерирующие многочлены шестой и четвёртой степеней над полем Q. В частности, доказаны теоремы: Теорема 8. Многочлен f(X]t,a,b,c) из кольца K(t,a,b,c)[X] вида: f{X; t, а, Ь) = Х6- Х4[3а2 + bc(t2 - St + 3) + 2abt + b2{t- 3)+ c2(t2 - 4t + 9) + 2ac(t2 - 2t + 6)] + X2[4a3bt + ac3{t4 - 6t3 + 2312 - 421 + 51)+ +a26c(2£3 - t2 + St + 9) + a2b2{t2 + St - 9) + a2c2{t4 - 413 + 1912 - 361 + 63)+ +c4 (t2 - 2t+ 6) + a3c(4t2 - 8t + 24) + 3a4 + 6ac3 + 362c2 - b4t + 2 bc3t+b3a(t2 -31-3) + b2ac(2t3 - 812 + 121 - 18) + 263c(3 -1) + abc2(t4 - 413 + lit2 - 181 + 27)--2b3c(t2 - 2t + 6) + b2c2(-t3 + t2-3t-3)~ bc3(t3 - 5*2 + 13* - 18)] - [ac2(t2--41 + 9) + a2bt + c3 + ab2(t - 3) + abc(t2 -3t + 3) + a2c(t2 -2t + 6)~ b3

-b2ct + a3 + bc2{3-t)]2 является A\-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Теорема 9. Многочлен p(X\t, a, b, с) из кольца K(t,a,b,c)[X] вида: р(Х\ t, а, Ъ) = Х4- 2Х2[За2 + bc(t2 - 3t + 3) + 2abt + b2(t - 3)+ c2(t2 - At + 9) + 2ac(t2 -21 + 6)] - 8X[ac2(t2 - At + 9) + a2bt + c3 + a(3 - t)b2+ abc(t2 - 3t + 3) + a2c(t2 - 2t + 6) - b3 - tb2c + bc2(t - 3) + a3] + b2c2(t4--312 + 36* - 45) + 6c3(2£4 - 10t3 + 2812 - 341 - 18) - 4<z3c(*2 - 2t + 6) - 4a3bt

6a2c2(t2 - At + 9) + b4(t2 - 2t + 9) + c4{t4 - 8*3 + 3012 - 6At + 57)+ +Ь3с(2*3 - At2 + 16t + 6) - 3a4 - 6b2a2{t - 3) - 66ca2(t2 - 3t + 3) - 12ac3+

12acb2t + 12ab3 + 12abc(t - 3) является A±-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0.

Заметим, что Ледет в [46] построил генерирующий многочлен для группы А4 4-ой степени с двумя параметрами над полем Q, но с дробно-рациональными коэффициентами. Полученный генерирующий многочлен для группы А4 6-ой степени над полем Q является новым.

В~пятом-параграфе для группы А4 над Гильбертовым полем характеристики два построены генерирующие многочлены степени шесть и четыре. В частности, доказаны теоремы:

Теорема 10. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен шестой степени F{X; t, и) вида

F{X; t, и) = (X2 + Xf + u2{t2 + t + 1)2(X2 + X) + u\t2 +1 + l)2 является А^-генерирующим над полем К.

Теорема 11. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен четвёртой степени G{X\ t, и) вида:

G(X-1, u) = X4 + (t2 + t + 1 )2Х2 + (t2 +1 + 1)2X + u2(t2 +1 + l)4 является A±-генерирующим многочленом над полем К характеристики два.

Автор благодарен своему научному руководителю, профессору Яковлеву Анатолию Владимировичу за советы, беседы и помощь в работе по теме диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сергеев, Александр Эдуардович, 2005 год

1. Ишханов В.В., Лурье Б.Б., Фаддеев Д.К. Задача погружения в теории Галуа. -М.: Наука, 1990. - 272 с.

2. Кнэпп Э. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс, 2004. - 487 с.

3. Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986. - 446 с.

4. Сергеев А.Э. Спектр Галуа полиномов // Применение функционального анализа в теории приближений. 2001. - Сборник научных трудов. -Тверь, с. 125 - 133.

5. Сергеев А.Э. Генерирующие полиномы для прямого произведения групп // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 784 В2003. - 10 с.

6. Сергеев А.Э. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 785 В2003. - 5 с.

7. Сергеев А.Э. Факторизация биномов и триномов степеней < 7 // Рукопись деп. ВИНИТИ 20.10.00., № 2669-В00. 48 с.

8. Сергеев А.Э. О задаче И. Капланского // Известия вузов. СевероКавказский регион. 2001. - № 1. - с. 14 - 17.

9. Сергеев А.Э. Проблема Нётер и генерирующие полиномы // Рукопись деп. в ВИНИТИ 23.04.03., № 786 В2003. - 39 с.

10. Сергеев А.Э. Циклические расширения 4-ой и 8-ой степени над полями характеристики два // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. 2004. - № 3. - с. 20 - 23.

11. Сергеев А.Э., Яковлев А.В. О спектрах Галуа многочленов, зависящих от целочисленных параметров. В кн.: Вопросы теории представлений алгебр и групп. Зап. научн. семин. ПОМИ, СПб, т.321., 2004, с. 275-280.

12. Сергеев Э.А. Элементы теории Галуа. Краснодар.: Кубанский гос. ун-т., 1987. - 104 с.

13. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М Л., 1949.

14. Berlekamp E.R. An analog to the discriminant over fields of characteristic two // Alg. 1976. - Vol. 38. - p. 315 - 317.

15. Buhler J., Reichstein Z. On Tschirnhaus transformations // Kluwer Academic Publishers. 1999. - p. 127 - 142.

16. Buhler J., McKay J. The transitive groups of degree up to eleven // Comm. in Algebra. 1983. - vol. 11. № 8. - p. 863-911.

17. Carlisle D., Kropholler P.H. Rational invariants of certain orthogonal and unitary groups // Bull. London. Math. Soc. 1992. - Vol. 24. - p. 57 - 60.

18. Cremona J. Algorithms for modular elliptic curves. Cambridge Univ. Press, 1992.

19. Debes P. Density results for Hilbert subsets // Indian J. Pure appl. Math. -1999. Vol. 30. № 1. - p. 109 - 127.

20. Debes P., Zannier U. Hilbert's irreducibility theorem and G-functions // Math. Ann. 1997. - Vol. 309. - p. 491 - 503.

21. Debes P. Hilbert subsets and s-integral points // Manuscripta Math. 1996. -Vol. 89.-p.-107- 137.

22. DeMeyer F. Generic polynomials // Alg. 1983. - Vol. 84. - p. 441 - 448.

23. Dummit D.S. Solving solvable quintics // Math, of Сотр. 1991. - Vol. 57.- p. 387 401.

24. Pried M.D., Jarden M. Field Arithmetic. Ergebnisse der Mathematik 11. —Springer-Verlag, 1986.

25. Fried M.D., Haran D., Volklein H. Real hilbertianity and the field of totally real numbers // Math. Сотр. 1994. - Vol. 174. - p. 1 - 34.26. 26] Fried M.D. On Hilbert's irreducibility theorem // Number Theory. 1974.- Vol. 6. p. 211 - 231.

26. Gaschutz W. Fixkorper von p-automorphismengruppen rein-transzendenter korpererweiterungen von p-charakteristik // Math. Zeitschr. 1959. - Vol. 71.- p. 466-468.

27. Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Math. Surveys and Monographs. - Vol. 40. № 1. - 1994. - p. 165.