Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хатько, Виктор Викторович

• Хатько, Виктор Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хатько, Виктор Викторович

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений.

§1 Основные определения из теории линейных отношений.

§2 Некоторые спектральные свойства линейных отношений. Понятие инвариантности и прямой суммы линейных отношений.

Спектральное разложение для линейных отношений.

Глава 2. Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях.

§1 Определение и некоторые свойства фактор-отношений.

§2 Относительно ограниченные и относительно компактные линейные отношения.

§3 Спектральные свойства относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношений.

Глава 3. О полноте системы спектральных подпространств линейного отношения.

§ 1 Общий случай.

§2 О полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ некоторых классов линейных отношений»

При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [5]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография [45], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статьях [4], [53], [54], а в монографии [47] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

Теория линейных отношений является, в некотором смысле, обобщением теории операторов. Поэтому метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений часто используется для развития теории линейных отношений. В частности, обобщение классов ограниченных и компактных операторов на линейные отношения имеется в монографии Р. Кросса [45]. Однако, выделенные им классы линейных отношений не адаптированы к построению их спектральной теории. Таким образом, одна из целей данной работы - выделение и изучение классов линейных от ношений, которые близки к ограниченным и компактным линейным операторам именно по своим спектральным свойствам.

Метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений в полной мере применим и к спектральной теории линейных отношений, спектральные свойства которых часто являются аналогом некоторых спектральных свойств линейных операторов, что находит свое отражение в настоящей работе.

Современное состояние вопросов полноты собственных и присоединенных векторов компактных операторов, операторов с компактной резольвентой, пучков операторов в значительной степени определили работы М. В. Келдыша [13] пятидесятых годов прошлого века. Анализ этой и последующих работ показывает, что постановка задачи о полноте системы спектральных подпространств для линейных отношений позволяет с единых позиций подойти к доказательству соответствующих теорем для различных классов операторов.

В третьей главе диссертации ставится задача о полноте систем спектральных подпространств, подробно рассматривается ключевое (по важности) подпространство векторов, спектр которых сосредоточен в точке оо расширенной комплексной плоскости. Использование техники сопряженных линейных отношений (в случае линейных отношений, в отличие от линейных операторов, не возникает проблем с операцией взятия сопряженного линейного отношения) и соответствующих теорем типа Фрагмена-Линделефа позволяет получать разнообразные теоремы о полноте спектральных подпространств.

Основными целями работы являются:

1) выделение классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, развитие их спектральной теории;

2) постановка проблемы полноты системы спектральных подпространств для линейных отношений, изучение условий полноты системы спектральных подпространств;

3) получение теоремы о полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков);

В работе используются методы линейной алгебры, комплексного и функционального анализа, результаты' из спектральной теории линейных операторов.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1) введено понятие фактор-отношения - аналог понятия фактор-оператора для линейных операторов;

2) выделены классы линейных отношений, близкие по своим спектральным свойствам к ограниченным и компактным линейным операторам, изучены их свойств;

3) введено понятие спектрального подпространства линейных отношений, изучены свойства спектральных подпространств линейных отношений, отвечающих компактным изолированным частям спектра, изучены свойства спектрального подпространства, отвечающего точке бесконечность в расширенном спектре линейного отношения;

4) доказана теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, подпространство, в котором система спектральных подпространств оказывается полна, описано в терминах заданного линейного отношения;

5) результаты о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений применены для изучения вопросов полноты системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их доказательства могут могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков), дифференциальных уравнений.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хатько, Виктор Викторович, 2007 год

1. Азизов, Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов - М.: Наука, 1989. - 352 с.

2. Баскаков, А.Г. Упорядоченные пары операторов и полугруппы / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. -1998. Т.2, №3. - С.39-69.

3. Баскаков, А.Г. Об условиях компактности спектра упорядоченных пар линейных операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Изв. РАЕН. МММИУ. 1999. - Т.З, №3. - С.5-24.

4. Баскаков, А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, Ml. - С.3-42.

5. Баскаков, А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. - Т.406, №6. - С.727-729.

6. Бурбаки, Н. Спектральная теория. / Н. Бурбаки М.: Мир. -1972.

7. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн М.: Наука, 1965. - 448 с.

8. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

9. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория. -Т.Н. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц М.: Мир. - 1966.

10. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

11. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений /М.В. Келдыш // ДАН СССР 1951. - Т.77, М. - С.11-14.

12. Келдыш, М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов /М.В. Келдыш // УМН 1971. - Т.27, вып.4. - С.15-47.

13. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 624 с.

14. Крейн, М.Г. О признаках полноты системы корневых векторов диссипативного оператора / А.Г. Баскаков // УМН, 1959. - Т. 14, вып.З. - С.145-152.

15. Кутателадзе, С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

16. Лидский, В.Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряженных операторов с дискретным спектром / В.Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1959. - Т.8. - С.84-120.

17. Лидский, В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР 1959. - Т.125, №3 - С.485-488.

18. Лидский, В.Б. О суммируемости рядов по главным векторам несамосопряженных операторов / В.Б. Лидский // Труды Московского математического общества 1969. - Т.П. - С.3-35.

19. Маркус, А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / А.С. Маркус Кишинев, Штиинца -1986.- 260 с.

20. Маркус, А.С. О базисе из корневых векторов диссипативного оператора / А.С. Маркус // ДАН СССР 1960. - Т.132, №3 -С.524-527.

21. Маркус, А.С. О разложении по корневым векторам слабо возмущенного самосопряженного оператора / А.С. Маркус // ДАН СССР 1962. - Т. 142, №3 - С.538-541.

22. Маркус, А.С. Некоторые признаки полноты системы корневых векторов линейного оператора в банаховом пространстве / А.С. Маркус // Мат. сб. 1966. - Т.70(112), №4 - С.526-561.

23. Мацаев, В.И. Об одном классе вполне непрерывных операторов / В.И. Мацаев // ДАН СССР -1961. Т.139, №3 - С.548-552.

24. Мацаев, В.И. Несколько теорем о полноте корневых подпространств вполне непрерывных операторов / В.И. Мацаев // ДАН СССР 1964. - Т. 155, №2 - С.273-276.

25. Наймарк, М. А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединенных векторов линейного оператора в гильбертовом пространстве / М.А. Наймарк // ДАН СССР -1954. Т.98, №5 - С.727-730.

26. Рицнер, B.C. Об одном преобразовании линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т, Воронеж, 1980 - 20 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.03.1980, №830-80.

27. Рицнер, B.C. Матричное представление линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1981 - 10 с. -Деп. в ВИНИТИ 28.12.1981, №5872-81.

28. Рицнер, B.C. Теория линейных отношений / B.C. Рицнер; Воронежский гос. ун-т. Воронеж, 1982 - 150 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.1982, №846-82.

29. Рицнер, B.C. Линейные отношения и индефинитная геометрия: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / B.C. Рицнер Воронеж, 1982. - 127 с.32} Рудин, У. Функциональный анализ / у. Рудин М: Мир. - 1975.

30. Свиридюк, Г.А. Необходимые и достаточные условия относительной и-ограниченности линейных операторов / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева, Л.Л. Дудко // ДАН. 1995. - Т.345, №1. -С.25-27.

31. Хатько, В.В. О факториально ограниченных и факториаль-но - компактных линейных отношениях / В.В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2003. - №1. - С.194-199.

32. Хатько, В.В. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений / В.В. Хатько // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ-2005). 2006. - Вып. 16. - С.66-69.

33. Хатько В.В. О спектральных свойствах некоторых классов линейных отношений / В.В. Хатько // Тез. докл. ВЗМШ С.Г.Крейна 2006., ВорГУ. - Воронеж, 2006. - С.104.

34. Хатько, В.В. Об относительно ограниченных и относительно компактных линейных отношениях / В.В. Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2006. - М. - С.208-214.

35. Хатько, В.В. О полноте системы спектральных подпространств линейных отношений // В. В. Хатько; Препринт НИИ математики ВГУ. Воронеж, 2007. - №25. - 33 с.

36. Хилле, Э, Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс М.: ИЛ. - 1962.

37. Arens, R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math. 1961. - V.U. - P.9-23.

38. Birkhoff, G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations / G.D. Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. - V.9. - P.373-395.

39. Cech, E. Point sets / E. Cech; Translation from the Czech Bodovu Mnoziny into English by Ales Pultr; Preface: M. Katetov. Acadernia, Prague, 1969.•

40. Coddington, E.A. Adjoint subspaces in Banach spaces with applications to ordinary differential subspaces / E.A. Coddington, A. Dijksma // Ann. Mat. Рига Appl. 1978. - - P.l-118.

41. Cross, R. Multivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

42. De Wilde, M. Closed graph theorems and webbed spaces / M. De Wilde Pitman, London, 1978.

43. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

44. Gohberg, I. Classes of Linear Operators. Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek Birkhauser Verlag. - Basel-Boston-Berlin. - 1990.

45. Lee, S.J. Algebraic and topological selections of multi-valued linear relations / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa- 1990. V.17. - P.lll-126.

46. Lee, S.J. Normed linear Relations: Domain Decomposability, Adjoint Subspaces, and Selections / S.J. Lee, M.Z. Nashed // Linear Algebra Appl. 1991. - V.153. - P.135-159.

47. Mac Lane, S. An algebra of additive relations / S. Mac Lane // Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A. 1961. - V.47. - P.1043-1051.

48. Neumann, J. von. Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. von Neumann // Ann. of Math., 1932 - V.33(2) - P.294-310.

49. Sandovici, A. Ascent, descent, nullity, defect, and related notions for linear relations in linear spaces / A. Sandovici, H. de Snoo, H. Winkler // Linear Algebra and its Applications, 2007 - V.423 -P,456-497.

50. Saveliev, P. Lomonosov's invariant subspace theorem for multivalued linear operators / P. Saveliev // Proc. Am. Math. Soc.,- 2003 V.131(3) - P.825-834.

51. Tretter, C. Linear operator pencils A-XB with discrete spectrum / C. Tretter // Integr. equ. oper. theory 2000. - V.37(3). - P.357-373.

52. Yakubov, S. Completeness of Root Functions of Regular Differential Operators; Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics Series, No. 71 / S. Yakubov Longman Scientific & Technical - 1990.