Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Бесаева, Светлана Владимировна

• Бесаева, Светлана Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бесаева, Светлана Владимировна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список обозначений

Введение

1 Спектр разностных операторов в весовых простран-

ствах последовательностей векторов. Приложение к

дифференциальным операторам

§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории линейных

операторов и линейных отношений

§1.2 Спектральные свойства разностных операторов в весовых

пространствах последовательностей векторов

§1.3 Приложение к исследованию линейных дифференциальных операторов

2 Спектральные свойства разностных отношений в весо-

вых пространствах последовательностей векторов

§2.1 Общие свойства разностных отношений

§2.2 Спектральные свойства разностных отношений в весовых

пространствах последовательностей векторов

Литература

Список обозначений

N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел;

Ъ+ — N и {0} — множество неотрицательных целых чисел;

Л — одно из множеств: Ъ, Z+

М — множество действительных чисел;

С — множество комплексных чисел;

С — расширенная комплексная плоскость;

Т(г1, Г2) - множество {Л € С : г\ < |Л| < Г2}, где 0 < г\ ^ Г2 ;

Т=={ЛеС:|Л| = 1} — единичная окружность;

X, У, 2 — комплексные банаховы пространства;

X — конечномерное линейное нормированное пространство;

X х У — декартово произведение двух банаховых пространств X и У;

1 < р < оо, — банахово пространство суммируемых с весом а : 1 —> (О, оо) последовательностей х : 1 —> X векторов с нормой

1М1 = ( Е

хрНЛ3

Ш)

а(к) I

Ш

1™($,Х) — банахово пространство ограниченных относительно веса

а : 1 —(0, оо) последовательностей х : 1 —> X векторов с нор- п п 1М*0И мои ||ж|| = виру^;

Ш

1Ра(1Х) = 1РЦ,Х),есша = 1]

1 < р < оо, — банахово пространство измеримых по Бохнеру функций, определенных на множестве со значениями в банаховом пространстве X и суммируемых с весом а : К —>• (0, оо)

со степенью р и нормой ||ж|| = ^¿¿^ ;

— банахово пространство существенно ограниченных относительно веса а : К. —> (0, оо) измеримых функций х : К —> X с

" и и • IMOII нормой (IxII = vrai sup " )t ";

LP(R,X) = 1 < p < oo, если a = 1;

LR(X,y) — множество линейных отношений между линейными пространствами X и У] LRC(X ,У) — множество замкнутых линейных отношений между банаховыми пространствами X и У; LO(X, У) — множество линейных замкнутых операторов, с областью

определения из X со значениями в Ь(Х,У) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве У] L(X) — банахова алгебра ограниченных операторов в Х\ LO{X) = LO{X, X), LR(X) = LR(X, X), LRC{X) = LRC(X, X); I — тождественный оператор в любом из банаховых пространств; D(Á) = {у Е У : (х,у) £ А} — область определения отношения А; Ker А = {x G X : (х, 0) G А} — ядро отношения A G LR(X); Im А = {у G X : существует x G D(A) : (ж, у) G А} — образ отношения A G LR(X);

А\Хо — сужение линейного отношения на инвариантное подпространство

Хо пространства X; А + В — сумма двух линейных отношений из LR(X, 3^); АБ — произведение линейных отношений В G LR(X,y) и А Е LR(y, Z)\

A~l = {(у,х) (х,у) G A} G LR(X,y) — обратное отношение к линейному отношению A G LR(X,y)\ о {А) — спектр линейного отношения Л G LRC(X)\ cr(A) — расширенный спектр линейного отношения A G LRC(X); р(А) — резольвентное множество линейного отношения A G LRC{X)\ р(А) — расширенное резольвентное множество линейного отношения AeLRC{X);

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов»

Введение

Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств разностных операторов и разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов.

В последние годы значительно возросла роль теории разностных операторов и разностных отношений при исследовании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (в том числе и с неограниченными операторными коэффициентами). Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [25], Х.Массера, X. Шеф-фера [37], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона [56] и А. Пуанкаре [57] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.

Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоневича [1],[2],[50], А.Г.Баскакова [4]-[б],[8],[9],[12],[51], Р.Беллмана и .Ж.Л.Кука [13], Бичегкуева [20]-[22], И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [24], П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня [28],

В.Г.Курбатова [34],[35],[54] Х.Л.Массера и Х.Х.Шеффера [37], В.М.Тюрина [46], Д.Хенри [48].

Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях Ю.Д. Латушкина и A.M. Стёпина [36], З.Нитецки [42], П.Халмоша [47] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [32], А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова [38],[39], В.Д.Степанова [43],[44] и А.Л.Шилдса [60],[61].

Спектральные свойства для разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем [1], Э.М.Мухамадиевым [40], Э.М. Мухам адиевым и Б.Н.Садовским [41],Б. Роейдсом [58],[59].

При этом отметим, что как правило, разностные операторы изучались в банаховых пространствах ограниченных последовательностей. Необходимость исследования разностных операторов в весовых пространствах возникает как при выяснении разрешимости разностных уравнений в пространствах растущих последовательностей, так и при разрешимости линейных дифференциальных уравнений с растущим свободным членом. Таким образом, тематика диссертации является актуальной.

Основные результаты диссертации получены с применением спектральной теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов). Отметим, что исследуемые разностные отношения возникают непосредственно при изучении дифференциальных операторов рассматриваемых в весовых пространствах функций, определенных на полуоси с начальным условием из подпространства. В диссертации получены приложения к описанию спектра таких дифференциальных операторов. Важно отметить, что на рассматриваемые весовые функции не делается каких-либо ограничений.

Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффи-

циентами. Во второй главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте изучаемого линейного отношения.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Работа состоит из двух глав разбитых на параграфы.

В первой главе диссертации описаны спектральные свойства разностных операторов в весовых пространствах последовательностей векторов.

В §1.1 приводятся основные определения и факты из теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и используются для получения последующих результатов. Ниже приведены некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

Определение 1. Любое линейное подпространство А из декартового произведения X х у называется линейным отношением между комплексными банаховыми пространствами X и У. Если подпространство замкнуто в X х У, то отношение называется замкнутым линейным отношением.

Определение 2. Подпространство И (А) = {х £ X : существует у £ У : (х,у) £ А}, являющееся проекцией А на X, называется областью определения линейного отношения . Через Ах, где х £ О (А), обозначается множество {у е У : {х,у) £ А}; кроме того, КегА = {х £ £>(Д) : (ж,0) £ А} — ядро отношения и 1тЛ = {у Е У : существует х £ И (А) : (х,у) £ •А} — иЖбГ>(Л) Ах ~ область его значений, являющаяся проекцией А на 3^-

Множество замкнутых линейных отношений из X х У обозначим через ЬЯС(Х, У), а множество линейных отношений между X и У обозначим через ЬЯ(Х, У) \ если же X — У положим Ы1(Х) — Ы1(Х, X). Множество ЬИС{Х, У) содержит банахово пространство Ь(Х,У) линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определенных на X со значениями в ЗЛ Если X = У, то Ь{Х) — банахова алгебра линейных ограниченных опера-

торов (эндоморфизмов), действующих в X.

Определение 3. Обратным к линейному отношению А С X х У называется линейное отношение Л~1 — {(у,х) £ У х X : (х, у) £ А} С У х X.

Определение 4• Резольвентным множеством отношения А £ LRC(X) называется множество /э(Д) всех Л £ С, для которых (А — Л/)-1 £

Определение 5. Спектром отношения А £ LRC(X) называется множество <з(А) = С\р(*4).

Множество р(Л) открыто, спектр сг(А) отношения А £ LRC(X) замкнут.

Определение 6. Отображение

R(-,A) : р(А) L{X). R(X,A) = (А - А/)"1, Л £ р(А),

называется резольвентой отношения А £ LRC(X).

Определение 7. Расширенным спектром отношения А £ LRC(X) называется подмножество сг(А) из С, которое совпадает с а (А), если А £ и а (А) = а (А) U {оо}, если ЛёЬ(Х).

Определение 8. Замкнутое линейное подпространство Лд С X назовем инвариантным относительно А £ LR(X), если Джо П Xq {0} для любого х0 £ £>(Д) П ЛЬ-

Определение 9. Сужением отношения А £ LR(X) на инвариантное подпространство Xq назовем линейное отношение Ао = А П (Xq х Xq) с Xq х Xq на подпространстве Xq.

Определение 10. Пусть

X = Xq © Х\

есть прямая сумма инвариантных относительно А £ LR(X) подпространств и пусть Aq = Д|Яо, = А\Х\. Тогда будем говорить, что отношение А является прямой суммой отношений Aq и А\, и записывать

Л = Л®Л.

Определение 11. Отношения А, В G LR{X) называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U G Ь{Х) такой, что Л = {{U~lx, U~ly) : (х,у) е В}, последнее эквивалентно равенству А = U~lBU.

Определение 12. Будем говорить, что линейное отношение A G LR(X) перестановочно с оператором В G L(X), если (Вх, Ву) € Л для любой пары {х,у) G А, т.е. В Л С АВ

Все результаты диссертации получены с существенным применением следующей теоремы, доказанной в [11].

Теорема 1.1. Пусть A G LRC(X) и его расширенный спектр о''(А) представим в виде

а (А) = его U <Ti,

где сто — компактное подмножество из С, о\ — замкнутое подмножество из С и сто П о-! = 0. Тогда банахово пространство X допускает представление в виде

Х = Х0ФХ1 (1)

прямой суммы замкнутых инвариантных относительно А подпространств Хо и Xi, и А = Ао ® А\, где Ао = A\Xq, А\ = А\Х\ G LRC(X) обладают следующими свойствами:

. 1) Ао G L(X0),a{A0) = <j{A0) = сто; 2) AiO = АО, D{A) = Д^о Ф D(Ai),a(Ai) = аг.

Разложение (1) осуществляет перестановочный с отношением А проектор Рисса Pq на подпространство Х0, который задается формулой

P0 = ~jR(X,A)dX.eL(X),

где 7 — замкнутая жорданова кривая, расположенная в р(А) так, что внутри нее лежит сто, а вне — ai. При этом Х0 = ImPo, Xi = Im(I — Ро)-В §1.2 описывается спектр разностного оператора, заданного на банаховом пространстве 1ра = 1ра{Ъ, X), где р G [1, оо], состоящем из (двусторонних)

последовательностей х \Ъ -л X векторов, принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : Ъ —»• (0, оо) с нормой ,

ычии = (Е(^)Р)1/!>> Р е [1,00),

и ограниченных относительно а

п н н п \\'х(п)\\ ж = Ж оо,а = вир---, р = ОО.

П62 а{п)

Рассматриваемый разностный оператор имеет вид

В:1ра-+ 1ра, (Вх)(п) = Вх{п- 1), пех.же 1ра,

гд еВеЬ(Х).

На вес а накладываются условия

а(к — 1) . .

Бир -^^тт—^ < со, (2)

keZ

а(к)

ос(к-1)

sup-—— = оо, (4;

к&Ъ

а(к)

а(к + 1)

sup < оо, (4)

к£ z

а (к)

а(к + 1

sup--- = оо. (5)

keZ а{к)

Как отмечалось ранее, базовый метод получения результатов основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве lva к оператору, действующему в невесовом пространстве 1Р, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет оператор

{Uax)(n) = a{n)x(n), n£Z,x£lp.

При этом рассматривается подобный оператору В оператор Вш 6 Ь(1Р) вида

Все спектральные свойства, полученные для оператора Вш имеют место и для оператора В согласно следующей лемме.

Лемма 1.11. Спектры операторов Вш, В совпадают и инвариантны относительно вращений в С вокруг нуля, т.е.

где Т— единичная окружность на комплексной плоскости С.

Основными результатами параграфа являются теоремы 1.4, 1.5, 1.6. В теореме 1.6. используются следующие величины

Теорема 1.4. Если нуль принадлежит спектру а (В) оператора В и выполнено условие (3), то спектр сг(В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Теорема 1.5. Пусть для веса одновременно выполняется условие (3) и условие (5) тогда спектр а (В) оператора В заполняет всю комплексную плоскость С.

Далее через Т(г) обозначается множество {А € С : |А| = г}, являющееся окружностью радиуса г ^ 0.

Пусть сг(В) = {Аь ..., Ад} — спектр оператора В. Рассмотрим модули гз — 1 ^ 3 ^ собственных значений оператора В и упорядочим

их по возрастанию:

а(В)=а(Ви})=Та(Вш),

1/71

о < п < г2 < ... < гн-

Теорема 1.6. Спектр су (В) оператора В представим в виде

¡г к

су (В) = У^- аеы{а),г^ аеои4(а!)]Т = У [зе^(а), 8еои1(аО]Т(гД

1=1 з=1

если выполнено условие (2), и

а(В) = <г{Вы) = {А е С : |А| >

если оператор В обратим и выполнены условия (3) и (4).

В §1.3 приводится применение теоремы 1.6 для вычисления спектра линейного дифференциального оператора

С = -^ + А: 0{С) С ЩШ, X) ЬР&(Ш, х),ре [1, оо],

где А £ £>(Х), а : К. —> (0, оо) — весовая функция, представимая в виде а(£) = ехра(£), { £ I, и а - дифференцируемая функция с а — Ь £ 1/°°(Е,Е). Символом обозначается банахово пространство изме-

римых (классов) функции х : Е —> X, для которых конечна величина

\к /

п н и п • мм

М Н ж коо = уга1 эир , , р = оо.

ос [и)

Если а — 1, то пространство X) обозначается через № = 1/(К, X).

Областью определения В (С) оператора С считается подпространство = Ш?'\Ж,Х) абсолютно непрерывных функции х : М. —X, для которых X е ЬЦЖ, X).

Используя теорему 3 из статьи [9], утверждение теоремы 1.6 и введя обозначения

т+п т+п

Ащт(Ь) = Ит т£ - / Ъ(т)йт, Атах(6) = Ит вир - / Ъ(т)(1т,

п—»оо ТЬ J п—>оо П J

т т

получим следующее утверждение

Теорема 1.7. Спектр оператора С : £>(£) С Ьр& допускает пред-

ставление вида

н

а(С) = е С •' лшш(6) + йе/Ъ- ^ Ке л ^ ^тах(Ь) + Ке^-},

■если = {/¿1,...

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена изучению спектральных свойств разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов. В §2.1 описываются общие свойства разностных отношений, приводятся вспомогательные леммы, используемые для получения основных результатов главы 2.

В §2.2 рассматривается банахово пространство 1Р = 1Р{1<+, X), р <Е [1, оо], Ъ+ = Ми {0}, состоящее из последовательностей х : Z+ —» X векторов принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) а : Z+ —> (0,оо) с нормой

\ 1/Р

I V- ЛЖИУ\ и n

\х\\ = ЦЖ||„ „ = ( \ ) ' I1'00)'

neZ+ ^ ^ / у

и ограниченных относительно а

il и и и 1НП)11

ж = \\х loo,а = sup ——Y", р = оо. ne z+ »(ri)

При этом описываются спектральные свойства линейного разностного отношения К,е £ LRfâ) вида

{Вх(п — 1), п ^ 1, гс0 € Е, п — 0,

где х Е lp, Е ~ подпространство пространства X, В Е L{X). Далее для веса а рассматриваются следующие условия

а(к- 1) , .

sup-77v- < 00, (6)

kez+ o¿{k)

a(k - 1) /r7N

sup-t— = 00, (7)

fee z+

sup < 00, (8)

a(fcH-l)

sup-тут = 00. (9)

keZ+

В рассматриваемой главе используется преобразование подобия исследуемого отношения в весовом пространстве 1ра к отношению, определенному в невесовом пространстве 1Р, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет линейный оператор Ua : lp —> 1ра, вида (Uax)(n) = а(п)х(п),п € Z+, а: € Все результаты параграфа получены для отношения Ке,ш G LR(lp) подобного /Сд, и определяемого следующим образом

zc£,w = .{(z,2/) € х /р : г/(п) = ш{п)Вх{п — 1), n ^ 1, у(0) g Е},

где со : N —> (0, оо), — последовательность вида ш(п) = ^ 1. Эти

результаты имеют место и для отношения /Се, согласно лемме 2.8. Обозначим через Be, Be,w, отношения, определяемые равенствами

Be,и — I ~ Be = I - /СЕ.

Лемма 2.8. Для спектров отношений Be, Be,и, имеют ме-

сто равенства

С{Ве)=су{ВЕ,ш),

носительно вращений в С вокруг нуля.

Отметим, что все рассматриваемые отношения являются замкнутыми и их области определения совпадают со всем пространством последовательностей 1ра и Р соответственно.

Основные результаты второй главы изложены в теоремах 2.2, 2.4, 2.6 и 2.7, при этом используются следующие величины

Теорема 2.2. Пусть Е — {0}, тогда

а{1С{0}) = о-(/С{0}^) = {Л € С : |Л| ^

если выполнено условие (6), и

5(Х{о}) = сг(/С{о},и;) = С и {оо},

если выполнено условие (7).

Теорема 2.4. Пусть Е = X и оператор В обратим, тогда

если выполнено условие (8), и

= € и {оо} = С,

если выполнено условие (9).

Теорема 2.6. Если Е = X и оператор В не обратим,то спектр о(1Сх) отношения Кх имеет вид

Утверждение теоремы 2.7 верно при выполнении следующих двух предположений.

Предложение 2.2. Е - ненулевое замкнутое подпространство из X, причем Е -ф X, и выполнены условия (6), (8).

Предложение 2.3. Резольвентное множество р(КЕ,и>) отношения /Се,ш не пусто, т.е. р(1СЕ,ш) Ф

При выполнении данных предложений спектр отношения Ке,ш представим в виде объединения двух множеств

где аш = {А £ (у{К,е,со) ■ |А| < п} и а0щ = {А £ (у{Ке,ш) ■ |А| > г2}, п ^ О, П < г2.

Поэтому по спектральной компоненте ст^г можно построить проектор Рисса (см. теорема 1.1)

где R{X,]Ce,u>) = ~ А/)-1, А € р{К,Е,и) — резольвента отношения

К<е,ш- При этом существует ограниченная проекторнозначная функция Р^ : Z+ —> L(X), такая что (Vintx)(n) = Pint(n)x(n), п £ Z+, х £ lp, и выполняются равенства

Следовательно, оператор В перестановочен с проекторами 0) и Рои*(0) = I - Рть{о), поэтому подпространства 1тРощ(0) и 1тР^(0) являются инвариантными для оператора В.

а{Кх) = = С U {оо} = С.

= aint U (J0ut,

Pint{k)B = BPint(k),k £ Z+.

Теорема 2.7. Для величин ееои^а) и £е^(а) верны неравенства

П

Жои^а) <

г{В\1тРш(0)У

яш(а)>г2г((В\1тРоЫ(0))~1). Спектр сг(1Се,ш) отношения Ке,ш представим в виде

о{К.Е») = С\Т(^(а)г(В|/тР^(0)),8ег^(а)/г((Б|/тРо^(0))-1)).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бесаева, Светлана Владимировна, 2011 год

Литература

1. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А.Б. Антоневич. — Минск, 1988.

2. Антоневич А.Б., Лебедев A.B. Функциональные и функционально-операторные уравнения. С* - алгебраический подход / А.Б. Антоневич, А.В.Лебедев // Труды Санкт-Петербургского матем. общества. — 1998,- Т.6. - С. 34-140.

3. Баскаков А. Г. Лекции по алгебре. / А.Г. Баскаков // Воронеж. ВГУ, - 2004. - 306 с.

4. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функц. анализ и его прилож,— 1996.— Т. 30.— № 3.— С. 1—11.

5. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем.заметки. — 1996.— Т. 59,— № 6.— С. 811-820.

6. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов. I / А.Г. Баскаков // Дифференц.уравнения.— 1997 - Т. 33,- № 10.- С. 1299-1306.

7. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сборник,- 1999 - Т. 190- № 3 - С.3-28:

8. Баскаков А.Г. Об обратимости линейных разностных операторов с постоянными коэффициентами / А.Г. Баскаков // Изв. вузов. Математика,- 2001 - № 5.- С. 3—11.

9. Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов // Сиб. матем. журн,- 2001,— Т. 42 — № 6 — С. 1231— 1243.

10. Баскаков А.Г. Линейные отношения, дифференциальные включения и вырожденные полугруппы / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Функц. анализ и его прил,- 2002.- Т.36 — № 4,- С. 65-70.

11. Баскаков А. Г. Спектральная анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем.сборник,- 2002,- Т. 193,- № 11- С. 3-42.

12. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. - 2009.- Т.73,- № 2,- С.3-68.

13. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук - VI.:Мир,— 1967.

14. Бесаева С. В. О спектре разностных операторов в весовых пространствах/ С. В. Бесаева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика — 2011- № Î.- С.94-99.

15. Бесаева С. В. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ С. В. Бесаева, М.С. Бичегкуев, // Изв. вузов. Математика,— 2011 — № 2,— С. 16-21.

16. Бесаева С. В. О спектральных свойствах разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / C.B. Бесаева // ВЗМШ им. С.Г. Крейна. Тезисы докладов,— Воронеж: ВГУ.— 2010,— С. 21—22.

17. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей/ C.B. Бесаева // Современные методы теории функций и смежные проблемы :материалы ВЗМШ. — Воронеж: ВГУ.- 2011.-С. 44.

18. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей / C.B. Бесаева // Современные методы теории краевых задач :материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XXII". - Воронеж: ВГУ,- 2011.-С. 33.

19. Бесаева С. В. Спектральный анализ разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов/ С. В. Бесаева // Воронежский государственный университет, 2011,— Препринт № 41,— С.32

20. Бичегкуев М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки,— 2009,— Т.86.— № 5.— С. 673-680.

21. Бичегкуев М. С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил..- 2010,- Т.44 - № 1.- С.80-83.

22. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн,- 2010,- Т. 51- № 4.- С. 751-768.

23. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. — М.: Мир.— 1972.

24. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А.Фельдман.— М.: Наука— 1971.

25. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.— М.: Наука,—

1970.

26. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц,- ИЛ, М,- 1962.

27. Жиков В.В. "Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения" / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем - 1976Т. 40.- № 6 - С. 1380-1408.

28. Забрейко П.П. Группа характеристических операторов и её применение в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов / П.П. Забрейко, Нгуен Ван Минь //Доклады Академии Наук,— Серия Математика,- 1992,- Т. 324,- № 1- С. 24-28.

29. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида,— М.: Мир,— 1967.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като,— М.:Мир,— 1972.

31. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука. — 1968.

32. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах / Ю.Ф. Коробейник.— Ростов на Дону:изд-во РГУ,— 1983.

33. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.— М.: Наука,— 1967.

34. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов,— Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та,— 1990.

35. Курбатов В. Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов / В.Г. Курбатов //Функц. анализ и его прил,— 1990,— Т. 24,— № 2,— С. 9899.

36. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Стёпин // Успехи матем. наук,- 1991.- Т. 46,- № 2 - С. 85-143.

37. Массера X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, Х.М. Шеффер.— М.: Мир,— 1970.

38. Миролюбов A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов,— М.:Наука — 1981.

39. Миролюбов A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов. М.:Наука.— 1986.

40. Мухамадиев Э.М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений /Э.М. Мухамадиев — Автореферат дисс. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук Ленинград,— 1979.

41. Мухамадиев Э.М. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа / Э.М. Мухамадиев, Б.Н. Садовский // Матем. заметки,— 1973,— Т. 13,— № 1,— С. 61-78.

42. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки.— М.:Мир,— 1975.

43. Степанов В.Д. Об одном случае регулярности резольвенты самосопряженного гипоэллиптического оператора в L2 / В Д. Степанов — В кн. Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики. Новосибирск — 1973.— С. 193-196.

44. Степанов В.Д. Об операторах в пространствах L2(.Rn) перестановочных со сдвигами / В.Д. Степанов // Сиб. матем. журн.— 1974,— Т. 15.— № 3-С. 693-699.

45.Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин,— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. — 1980.

46. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин //Сиб.матем.журн,— 1991,- Т. 32,- № 3,- С. 160-165.

47. Халмош П.Р. Гильбертово пространство в задачах / П.Р. Халмош.— М.:Мир.— 1970.

48. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри,- М.: Мир,- 1985.

49. Хилле Е. Функциональный анализ и полугруппы / Е. Хилле, Р. Филлипс,- М.: ИЛ.- 1962.

50. Antonevich A., Levedev A. Functional differential equations: I. C*-theory, Longman Scientifical&Technical. / A. Antonevich, A. Levedev.— 1994.

51. Baskakov A.G. Spectral analisis of operators with the two-point Bohr spectrum / A.G. Baskakov, I.A. Krishtal // J. Math. Anal. Appl — 2005 — V. 208 - P. 420-439.

52. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi — New York: M. Dekker.- 1998.

53. Gohberg I. Classes of Linear Operators. V.l. / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek.— Basel—Boston—Berlin: Birkhauser Verlag — 1990.

54. Kurbatov V. G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov.— Kluwer Academic, Dordrecht — 1999.

55. Parrot S. Weighted translation operators/ S. Parrot // Dissert. Abstr.— 1965,- V. 26,- № 5,- P. 2781.

56. Perron 0. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung / O. Perron // J. reine angvar. Math.- 1975,- V. 37,- № 2,- P. 295.

57. Poincare H. Sur les equations lineaires aux différentielles ordinaries et aux difference fines / H. Poincare // Amer. J. Math - 1885,— № 7,— P. 203-258.

58. Rhoades B.E. The fine spectra of some weighted mean operators in B(lp) / B.E. Rhoades //Integral Equat. Operator Theory.- 1989,- V. 12 — P. 8298.

59. Rhoades B.E. The spectra of weighted mean operators on two / B.E. Rhoades // J. Austral. Math. Soc. (Series A).- 1992 - V. 52 - P. 242250.

60. Shields A.L. Weighted shift operators and analytic function theory/ A.L. Shields // Mathematical Surveys - 1974,- № 13. Providence, P. 51-128.

61. Shields A.L. Some problems in operator theory/ A.L. Shields // Lect.Notes Math.— 1978,- № 693,- P. 157-164.