Специальное математическое и программное обеспечение инструментальных систем конечноэлементного моделирования в условиях сложноконфигурируемых граничных областей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Троценко Александр Сергеевич

• Троценко Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Троценко Александр Сергеевич

Введение

Глава 1. Анализ современных средств препроцессирования в системах конечноэлементного моделирования

1.1. Препроцессирование в методе конечных элементов

1.2. Препроцессирование в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций15

1.2.1. Построение макроэлементов для цифровых моделей объектов простой формы в МВКА

1.2.2. Препроцессирование в системе Procision

1.2.3. Препроцессирование в системе Altair SIMSOLID

1.3. Выводы

Глава 2. Разработка алгоритма разбиения цифровой модели объекта для МВКА

2.1. Разработка базовой схемы алгоритма разбиения

2.1.1. Постановка задачи на разбиение

2.1.2. Разработка схемы алгоритма разбиения исследуемой области

2.2. Разработка алгоритма поиска ограничивающего макроэлемент параллелепипеда минимального объема

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Разработка алгоритма

2.3. Определение структуры выходных данных препроцессора МВКА

2.3.1. Формат данных результата разбиения

2.3.2. Применение концепции объектно-ориентированной базы данных для организации результата разбиения

2.3.3. Перспективы использования базы данных результата разбиения

2.4. Визуализация результата разбиения модели

2.4.1. Обоснование применения метода визуализации

2.4.2. Алгоритм цветовой визуализации макроэлементов

2.5. Распараллеливание процесса разбиения

2.6. Выводы

Глава 3. Учет особенностей геометрической формы цифровой модели объекта в

подготовке данных в рамках МВКА

3.1. Регуляризация множества макроэлементов как способ повышения точности инженерного анализа

3.2. Величина измерения симметрии

3.2.1. Предыдущие работы

3.2.2. Разработка величины измерения симметрии

3.2.3. Разработка алгоритма вычисления величины измерения симметрии

3.2.4. Результаты вычисления величины измерения симметрии

3.3. Алгоритм классификации цифровой модели объекта по признаку симметрии геометрической формы

3.3.1. Зеркальная симметрия трехмерной цифровой модели

3.3.2. Разработка алгоритма определения зеркальной симметрии

3.3.3. Вращательная симметрия цифровой модели

3.3.4. Функция обобщенного момента

3.3.5. Разработка алгоритма определения вращательной симметрии

3.3.6. Схема алгоритма классификации цифровой модели объекта по признаку симметрии геометрической формы

3.4. Алгоритм разбиения модели на макроэлементы с учетом симметрии

3.4.1. Разработка алгоритма разбиения с учетом зеркальной симметрии

3.4.2. Разработка алгоритма разбиения с учетом вращательной симметрии

3.5. Алгоритм разбиения форм вращения

3.5.1. Разработка алгоритма определения формы вращения

3.5.2. Разработка схемы разбиения в полярной системе координат

3.6. Использование объектов привязки в процессе разбиения

3.6.1. Объект привязки

3.6.2. Разработка схемы выбора объекта привязки на итерации разбиения

3.6.3. Разработка алгоритма разбиения с учетом объектов привязки

3.7. Выводы

Глава 4. Разработка структуры программного обеспечения подготовки данных в рамках МВКА. Оценка его эффективности

4.1. Выбор инструментов разработки

4.2. Структура специального программного обеспечения препроцессора МВКА

4.3. Результаты разбиений

4.4. Корректность функционирования разработанного препроцессора

4.5. Определение методики оценки эффективности разработанного препроцессора

4.6. Математическая модель оценки сложности цифровой модели объекта

4.6.1. Обзор существующих подходов к оценке сложности моделей

4.6.2. Разработка математических моделей оценки сложности цифровой модели

4.6.3. Анализ разработанных математических моделей оценки сложности цифровой модели

4.7. Сравнение с препроцессором Procision

4.8. Сравнение с препроцессором МКЭ

4.9. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Детализация базы данных результата разбиения разработанного

препроцессора МВКА

Приложение Б. Нормализованная кумулятивная угловая функция

Приложение В. Демонстрация результатов препроцессирования в МКЭ и МВКА

Приложение Г. Свидетельство о регистрации программы ЭВМ

Приложение Д. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Специальное математическое и программное обеспечение инструментальных систем конечноэлементного моделирования в условиях сложноконфигурируемых граничных областей»

Введение

Актуальность темы. Современные инструментальные системы в различных объектных областях обеспечивают процессы принятия инженерных решений на основе предоставления возможности формирования и оценки множества потенциальных вариантов. Широкое распространение такие системы (например, ANSYS, NASTRAN, COSMOS, FreeFEM) получили при решении задач в области электродинамики, теплообмена, гидродинамики, механики деформируемого твердого тела и т.д., в том числе в условиях сложноконфигурируемых граничных областей. При этом реализация технологии конечноэлементного моделирования в условиях анализа большого количества вариантов решений приводит к возникновению колоссальных потоков данных. Поиск лучших вариантов, определяющих конкурентоспособность соответствующих конечных продуктов на рынке, требует применения эффективных вычислительных ресурсов и алгоритмических средств.

Стремление к высоким эксплуатационным характеристикам, например, объектов механики, вынуждает специалистов применять численное моделирование. Это позволяет прогнозировать и анализировать поведение различных конфигураций объектов в виртуальных условиях, близких к реальным. Результаты моделирования подсказывают специалисту направления для совершенствования конфигураций, что в свою очередь может приводить к дальнейшему усложнению технических решений [1]. Наконец наступает момент, когда проблема «проклятия размерности» Ричарда Беллмана [2] начинает проявлять себя особенно остро. При этом становится актуальным поиск альтернативных средств, направленных на сокращение трудоемкости и повышение быстродействия требуемых вычислений в процессе принятия решений.

В качестве такого эффективного средства В. Н. Апановичем был предложен метод внешних конечноэлементных аппроксимаций (МВКА). Вклад в его развитие в разное время внесли Апанович В. Н. [3], [4], [5], Апанович Ю. Н., Долгова Т. А. [6], Dvorak P. [7], Kurowski P. [8]. Данный метод может использоваться для решения широкого спектра задач в области механики деформируемого тела, теплообмена,

электродинамики и т. д. Главной отличительной особенностью МВКА является его ориентированность на всестороннее снижение размерности решаемой задачи при сохранении точности результата. Метод в общем случае требует представления исследуемого объекта в виде множества макроэлементов произвольной формы, а также предоставляет большую свободу выбора аппроксимирующих функций для каждого отдельного макроэлемента. Поскольку макроэлемент может иметь произвольную форму, метод проявляет особую эффективность там, например, где рассматриваются сложные пространственные формы, сочетающие объединение тонкостенных, стержневых и массивных элементов в одно монолитное тело.

Множество достоинств потенциально ставит МВКА на один уровень с другими современными методами конечноэлементного моделирования, но отсутствие необходимых для его использования эффективных специальных программных средств генерации множеств макроэлементов (препроцессоров) ограничивает возможность его широкого применения на практике. Согласно специфике МВКА такое программное средство следует называть генератором макроэлементов.

Таким образом, актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью разработки средств специального математического и программного обеспечения, составляющих функциональную основу препроцессора МВКА, с учетом возможностей современных многоядерных вычислительных систем и распараллеливания процесса генерации макроэлементов, для повышения эффективности и качества подготовки данных в процессе формирования и принятия инженерных решений.

Тематика диссертационной работы соответствует научному направлению ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» «Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».

Цель и задачи исследования. Цель работы заключается в повышении производительности и качества процесса конечноэлементного моделирования на базе МВКА в условиях сложноконфигурируемых граничных областей за счет

разработки специальных средств математического и программного обеспечения моделей подготовки исходных данных.

Указанная цель предусматривает решение следующих задач:

1. Провести анализ существующих подходов к процессам подготовки данных в рамках альтернативных конечноэлементных методов при разработке программных средств численного моделирования.

2. Разработать формальные требования к процессу подготовки данных в рамках МВКА и разработать алгоритм разбиения исходной области на макроэлементы, обеспечивающий возможность параллельного программирования и позволяющий повысить регулярность результирующего множества макроэлементов путем учета особенностей геометрии исходной области.

3. Разработать структуру данных результата генерации множества макроэлементов, соответствующую требованиям математической модели МВКА и обеспечивающую возможность параллельной и распределенной обработки.

4. Реализовать в виде специального программного обеспечения алгоритм разбиения цифровой модели на макроэлементы с применением параллельного программирования, провести исследование его производительности для цифровых моделей объектов различной геометрической формы, сформировать качественную и количественную оценку результата.

5. Провести численные эксперименты для анализа эффективности разработанного специального математического и программного обеспечения процесса подготовки данных в рамках МВКА.

Объект исследования: процесс подготовки исходных данных в системах конечноэлементного моделирования.

Предмет исследования: математическое и программное обеспечение процесса подготовки данных в МВКА.

Методы исследования. В работе использованы методы теории аналитической и вычислительной геометрии, методы теории анализа сигналов, оптимизации, объектно-ориентированного программирования, а также формальные методы разработки и тестирования средств программного обеспечения.

Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 2.3.5: п.3. «Модели, методы, алгоритмы, языки и программные инструменты для организации взаимодействия программ и программных систем.», п.8. «Модели и методы создания программ и программных систем для параллельной и распределенной обработки данных, языки и инструментальные средства параллельного программирования».

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Алгоритм разбиения цифровой модели объекта на макроэлементы для МВКА, учитывающий степень густоты разбиения и отличающийся способом разветвления для реализации параллельного программирования.

2. Алгоритм классификации цифровой модели объекта по признаку симметрии геометрической формы, отличающийся определением нестрогих зеркальных и вращательных симметрий и обеспечивающий учет информации о геометрической форме цифровой модели в процессе ее разбиения на макроэлементы.

3. Структура данных результата разбиения, соответствующая требованиям математической модели МВКА, отличающаяся применением объектно-ориентированного подхода для хранения данных макроэлемента без дублирования информации и обеспечивающая реализацию параллельной обработки на уровне процессора МВКА.

4. Структура программного комплекса генерации расчетных данных в рамках МВКА, отличающаяся механизмом интеграции с программными средствами на базе МВКА посредством командного интерфейса и реализующая параллельную генерацию данных, эффективную с точки зрения времени выполнения.

Теоретическая значимость исследования состоит в разработке нового алгоритма подготовки данных в МВКА применительно к трехмерным цифровым моделям объектов, позволяющего применять параллельное программирование. Положения и выводы, содержащиеся в данной работе, могут быть использованы в развитии программных комплексов на базе МВКА.

Практическая значимость. Программная реализация разработанного алгоритма препроцессирования в рамках МВКА в виде специального программного средства, позволяет генерировать исходные данные в процессе численного моделирования, в том числе осуществлять оценку качественных и количественных характеристик модели разбиения. Кроме того, доступный интерфейс программного средства дает возможность организовать эффективное взаимодействие в рамках комплекса программ компьютерного моделирования на базе МВКА. На программное средство получено свидетельство о государственной регистрации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм разбиения цифровой модели объекта на макроэлементы для МВКА позволяет учитывать степень густоты разбиения и использовать в реализации параллельное программирование.

2. Алгоритм классификации цифровой модели объекта по признаку симметрии геометрической формы позволяет определять нестрогие зеркальные и вращательные симметрии и учитывать информацию о геометрической форме цифровой модели в процессе ее разбиения на макроэлементы.

3. Структура данных результата разбиения, разработанная с применением объектно-ориентированного подхода, позволяет хранить данные макроэлементов без дублирования информации и обеспечивает реализацию параллельной обработки на уровне процессора МВКА.

4. Структура программного комплекса генерации расчетных данных в рамках МВКА обеспечивает механизм интеграции с программными средствами на базе МВКА посредством командного интерфейса и реализует параллельную генерацию данных.

Внедрение результатов работы. Результаты исследований внедрены в производственную деятельность ООО «ДМ Солюшн» и используются при создании CAD/CAE систем, в целях программного обеспечения альтернативных средств конечноэлементного моделирования. Основные положения и результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет» на кафедре

компьютерных интеллектуальных технологий проектирования при чтении профильных дисциплин «Инструментальные средства моделирования сложных систем», «Разработка САПР».

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях: II Международная научно-практическая конференция «Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн» (Тамбов, 2015); Second Young Scientist's International Workshop on Trends in Information Processing (Домбай, 2017); XV Международная научно-техническая конференция «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2017); II Международная научно-практическая конференция «САПР и моделирование в современной электронике» (Брянск, 2018), а также на научных семинарах кафедры КИТП (2015-2021 г.г.).

Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в 12 работах, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ и 1 статья с индексацией в международной базе Scopus.

Структура научно-квалификационной работы: введение, 4 раздела, заключение, список литературы (87 наименований) и 5 приложений; материалы работы (без приложений) включают 117 страниц текста, 88 рисунков и 14 таблиц.

Глава 1. Анализ современных средств препроцессирования в системах конечноэлементного моделирования

1.1. Препроцессирование в методе конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) [9], [10], [11], [12], [13] отличается от МВКА многообразием подходов к препроцессированию, когда обеспечиваются различные типы сеток элементов для разного рода задач. Анализ по МКЭ, как и для многих других методов моделирования, состоит из трех основных этапов: препроцессирование, расчет и постпроцессирование (рисунок 1). В рамках данного исследования нас интересует этап подготовки данных - препроцессор.

Гоаничные условия Препроцессор Модуль Постпроцессор Ъ

Гзометрическая модель Расчетная модель моделирования Решение Результаты

Рисунок 1 - Схема инженерного анализа по МКЭ

Результатом работы препроцессора является расчетная модель, пригодная для обработки модулем моделирования. Расчетная модель в МКЭ представляет собой совокупность однотипных элементов, связанных друг с другом по определенным правилам и называемых сеткой элементов. Для упрощения определения искомых величин во внутренней области элемента его форма должна быть достаточно простой: тетраэдр, гексаэдр, призма и т. п. [14] (рисунок 2). Порядок аппроксимирующих функций тоже может быть разный (рисунок 3): линейный, когда КЭ представлен только угловыми точками, и квадратичный или кубический, когда между угловыми точками применяются дополнительные узлы.

тетраэдр гексаэдр призма

Рисунок 2 - Основные типы элементов, используемых в МКЭ

11

линейная квадратичная кубическая

Рисунок 3 - Демонстрация элементов с разным порядком аппроксимации

В зависимости от типа элемента и порядка аппроксимации функции в МКЭ различают И -метод и р -метод, а элементы, применяемые в этих методах, И -элементы и р -элементы соответственно [15], [8] (рисунок 4).

И -элементы р -элементы

Рисунок 4 - Демонстрация И - и р -элементов в МКЭ

В И -методе используются элементы простой формы. Поэтому не всегда возможно построить расчетную модель с хорошо сформированными элементами и с их достаточно небольшим количеством. Сетки элементов часто получаются либо с вырожденными элементами, либо количество элементов оказывается чрезмерно большим, либо и то и другое одновременно. Поля перемещений в И -методе описываются полиномами низких порядков (первого или второго), что тоже способствует увеличению размерности расчетной модели, так как при желании повысить точность моделирования придется увеличивать количество элементов.

Ослабить жесткие требования И -метода призван р -метод путем использования более сложных КЭ. Это значит, что в р -методе требуется меньшее

количество элементов для отражения исследуемой геометрии. Метод позволяет использовать элементы с большим отклонением от их идеальной формы, но в тоже время это может приводить к ошибкам на ребрах или поверхностях высокой степени кривизны. Поля перемещений могут быть описаны полиномами высоких порядков (вплоть до девятого), что позволяет повышать точность моделирования без добавления новых элементов, т. е. повторной генерации сетки.

Рассмотрим подход к препроцессированию в МКЭ на примере системы инженерного анализа NX 7.5 [16]. NX позволяет строить сетки элементов как с h -, так и с р -элементами. Подготовка данных реализована с высоким уровнем автоматизации: при наилучших условиях от пользователя требуется лишь выбрать тип элемента, а его размер система может установить автоматически путем анализа геометрии цифровой модели объекта.

На рисунке 5 продемонстрирована сетка элементов МКЭ по h -методу в среде NX. Для демонстрации выбрана цифровая модель клапанной крышки двигателя внутреннего сгорания, включающей в себя различные конструктивные элементы. Сетка элементов сгенерирована без ошибок и вырожденных элементов. В таблице 1 указаны характеристики полученной сетки.

Рисунок 5 - Демонстрация сетки элементов МКЭ, построенной И -методом в NX

На рисунке 6 продемонстрирован пример построения сетки элементов по р -

методу в среде NX. При построении возникли ошибки в виде вырожденных КЭ,

которые система выделила и попыталась автоматически исправить. Количественные

характеристики полученной сетки также указаны в таблице ниже.

13

Рисунок 6 - Демонстрация сетки элементов МКЭ, построенной р -методом в NX

Таблица 1 - Количественные характеристики сеток элементов МКЭ

Метод Размер элемента Кол-во элементов Кол-во узлов Время генерации

И -метод 5,44 110494 30009 00:01:00.01

р -метод 5,58 99417 176189 00:00:31.42

Результаты построения сеток h - и р -методом в среде NX показали преимущество р -метода. Помимо более точной аппроксимации формы исследуемой цифровой модели метод обеспечивает меньшее количество элементов. Время, затрачиваемое на генерацию, при этом сократилось практически вдвое.

Примеры подготовки данных для МКЭ в среде NX доказывают высокую степень автоматизации этапа препроцессора. В окне настройки параметров сетки (рисунок 5 и 6, слева) пользователю достаточно указать исследуемую область — остальные параметры принимают значения по умолчанию. Такой подход предоставляет возможность использования системы не только специалистами по инженерному анализу, но и конструкторами или разработчиками изделий. В этом отношении р -метод является более подходящим и рекомендуется к использованию специалистами различных направлений [8], в то время как И -метод требует специальной подготовки и опыта работы.

1.2. Препроцессирование в методе внешних конечноэлементных

аппроксимаций

1.2.1. Построение макроэлементов для цифровых моделей объектов простой

формы в МВКА

В диссертационной работе [6] автором разработаны основные принципы построения макроэлементов для МВКА, рассмотрены общие примеры для простых трехмерных областей исследования. Предложенный автором подход наиболее ценен для исследовательских и образовательных целей, чем для прикладных, но это ничуть не уменьшает значимости исследования. В текущем разделе мы рассмотрим принципы предложенного подхода, на которых будет основываться разработка алгоритмов нового препроцессора для МВКА.

Рассмотрим некоторую область Ф , ограниченную в трехмерном евклидовом

3 г

пространстве ( Ф с кусочно-гладкой границей Г . Требуется осуществить разбиение т данной области на конечное число подобластей К (макроэлементов) таким образом, чтобы удовлетворялись следующие условия [3], [6], [17]:

1. Ф = иК , где Кет .

2. Для любого К ет область К замкнута и множество ее внутренних

о о

точек К непустое ( КФ0 ).

о о

3. Для произвольных различных К , Кет К П К =0 , т. е. множества внутренних точек макроэлементов не пересекаются.

Гранью о Кг макроэлемента называется связный участок его границы, отделяющий данный макроэлемент от смежного, либо совпадающий с частью общей границы Г . Гладкий участок грани обозначается как о Кг1 ( о Кг1со Кг ), где г и I идентифицируют грань и гладкий участок (рисунок 7).

Форму макроэлемента предлагается представлять в виде произвольного и не обязательно выпуклого многогранника. Это позволяет наиболее простым способом описать и проанализировать его форму. Описание макроэлемента состоит из двух частей:

1. Геометрическое описание;

2. Топологическое описание.

Рисунок 7 - Грани макроэлементов в МВКА [6]

Рисунок 8 - Топология макроэлементов на примере двухэлементного разбиения

модели [6]

Геометрическое описание определяет форму и размеры макроэлемента, а

топологическое — связи между его узлами, ребрами и гранями (рисунок 8). Грани

отдельно взятого макроэлемента подразделяются на внешние и внутренние.

16

Внешние грани формируются на границах рассматриваемой области Ф , в то время как внутренние образуются в местах рассечения области. Так как каждая внутренняя грань является общей сразу для двух соседних макроэлементов, возникает проблема определения вектора нормали данной грани относительно каждого их них. Решению этой проблемы автор посвятил отдельный раздел диссертации.

Таким образом, автором данной работы сформулировано описание трехмерного макроэлемента и расчетной модели в целом, но вопрос их автоматизированной генерации остается открытым. Приведенные примеры расчетных моделей составлены вручную на простой геометрии. Использовать такой подход для решения реальных задач анализа на областях со сложной геометрией, конечно, не представляется возможным. Не смотря на это, значимость этой работы для нашего исследования трудно переоценить. Представленные описания макроэлементов положены в основу нового автоматизированного генератора.

1.2.2. Препроцессирование в системе Procision

Наряду с многообразием инструментальных программных средств препроцессирования в МКЭ, в МВКА известен подход, предложенный в системе Procision. Рассмотрим его подробнее.

Procision был разработан как модуль к системе Pro/Engineer [18], [8]. Так как это коммерческий продукт, который по неизвестным нам причинам уже достаточно давно остановлен, у нас не было возможности использовать его на практике. Поэтому мы вынуждены ограничиться сведениями, представленными в публикациях авторов программного средства, и технической документацией.

Специально для Procision на основе МВКА был разработан Precise Solids Method (PSM). PSM, как и МВКА, требует разбиения исследуемой области на макроэлементы произвольной формы. Технические детали реализации PSM нам не известны, поэтому приведем данные из публикаций.

Рассмотрим процесс построения расчетной модели в модуле Procision. В силу полной интеграции модуля Procision в Pro/Engineer анализ начинается с построения

твердотельной цифровой модели исследуемого объекта (рисунок 9) с помощью инструментов Pro/Engineer.

Рисунок 9 - Пример исходной области для анализа в Procision

Рисунок 10 - Секущие плоскости, установленные на исследуемой области в Procision

Как только цифровая модель объекта построена, от пользователя требуется выполнить ее разбиение на макроэлементы. Разбиение осуществляется путем установки специальных секущих поверхностей (divider). Пользователь создает объект множества разбиения (Split Set) и указывает секущие плоскости. На рисунке 10 показана одна поверхность рассечения, представленная несколькими плоскостями, созданными для проведения разбиения. Единый divider использован для выполнения разбиения в одну итерацию. Секущие плоскости можно создавать как на уровне Pro/Engineer, так и на уровне модуля Procision. Для разбиения моделей с более сложной геометрией потребуется большее количество секущих

поверхностей. После проведения разбиения получаем расчетную модель (рисунок 11), пригодную для анализа.

Рисунок 11 - Расчетная модель в Procision

Так как в Procision для разбиения исследуемой области на макроэлементы требуется непосредственное участие пользователя, авторы разработали список рекомендаций [19], направленных на повышение качества расчетной модели, а, следовательно, и точности расчета. Авторы рекомендуют проводить разбиения основываясь на геометрии модели и распределении полей напряжений, полученных на предыдущих итерациях анализа. Рассматривать пункты по полям напряжений мы не будем, так как этими полями не располагаем.

Первая рекомендация, которой должен следовать пользователь, заключается в

представлении об идеальном макроэлементе. Идеальным макроэлементом для

МВКА считается прямоугольный блок, т. е. параллелепипед. При разбиении

предлагается представить макроэлемент внутри параллелепипеда минимального

объема. Макроэлемент должен заполнять параллелепипед не менее, чем на 50%.

Области L- и ^формы редко заполняют описанный параллелепипед в требуемом

отношении, поэтому они должны быть разбиты. Ребра жесткости и прочие выступы

также рекомендуется разбивать на отдельные макроэлементы. На рисунке 12

продемонстрированы несколько вариантов разбиения области L-формы слева-

направо от худшего варианта к лучшему [20]. Первый вариант разбиения не

рекомендуется, так как практически не влияет на результат расчета.

19

Исходная модель Разбиение 1 Разбиение 2 Разбиение 3

Рисунок 12 - Демонстрация вариантов разбиения области L-формы (слева-направо

от худшего варианта к лучшему)

В Procision указано, что процесс разбиения модели на макроэлементы носит итеративный характер. Часто бывает необходимо выполнять доразбиение некоторых участков исследуемой области, где наблюдается слишком высокая величина ошибки непрерывности функционала полей на границах макроэлементов [4], [5]. Хотя снизить ошибку можно путем повышения порядка аппроксимирующей функции, но когда степень уже максимальная, остается только доразбивать проблемный участок.

Подводя итог, надо сказать, что в Procision разработали стоящий внимания подход к препроцессированию в МВКА. Однако на фоне МКЭ, где реализовано множество алгоритмов препроцессоров, он не выдерживает конкуренции. Современные системы инженерного анализа на основе МКЭ приучили пользователей меньше заботиться о подготовке данных, сосредотачивая все свои усилия на анализе. Низкий уровень автоматизации препроцессора, предложенного Procision, не может обеспечить высокой производительности труда инженера, когда тому приходится отвлекаться на подготовку данных практически на каждой итерации анализа.

1.2.3. Препроцессирование в системе АИ;а^ SIMSOLID Акак SIMSOLID - это современная реализация МВКА, позволяющая решать задачи структурного, модального и термического анализа [21], [22]. Ключевая особенность SIMSOLID состоит в возможности анализировать сложные цифровые модели деталей и их сборки больших размеров, которые с помощью МКЭ обычно не решают. При этом SIMSOLID эффективен при использовании вычислительных

систем класса «настольный компьютер». Как и в Procision, анализ в SIMSOLID позволяет пропустить этапы упрощения геометрии и создания сетки. В МКЭ именно эти этапы занимают от 30% до 70% всего времени анализа [23]. Решение задачи в SIMSOLID выполняется многопроходным способом, когда на каждой итерации решение уточняется [24].

Так как SIMSOLID является коммерческим продуктом, часть информации о его реализации недоступна. Однако, попробуем выявить по открытым публикациям авторов особенности препроцессирования системы, а именно этапа разбиения исследуемой области на части.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Троценко Александр Сергеевич, 2022 год

Список литературы

1. Шишкин, А. Представляем Procision — программу инженерного анализа /

A. Шишкин, М. Иванова // САПР и графика. - 2002. - №8.

2. Беллман, Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. - М.: Издательство иностранной литературы. - 1960. - 400 с.

3. Апанович, В. Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций /

B. Н. Апанович. - Минск: Издательство "Вышэйшая школа". - 1991. - 172 с.

4. Apanovitch, V. Discretization Error Control In the Precise Solids Method (PSM) / V. Apanovitch, P. Kurowski // BENCHmark. - 2001. - P. 4-7.

5. Apanovitch, V. Discretization Error Control In the Precise Solids Method (PSM) Part 2 / V. Apanovitch, P. Kurowski // BENCHmark. - 2001. - P. 7-9.

6. Долгова, Т. А. Разработка конечных элементов для внешних аппроксимаций трехмерных задач теории упругости: дис. ... канд. техн. Наук: 01.02.04 / Долгова Татьяна Александровна. - 1994. - 122 с.

7. Dvorak, P. Meshless analysis breaks with FEA traditions / P. Dvorak // Machine Design. - 1999. - №9.

8. Kurowski, P. Say Good-Bye To Defeaturing And Meshing / P. Kurowski // Machine Design. - 2000. - №17.

9. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич ; пер. с англ. - М. : Мир, 1975. - 541 с.

10. Зенкевич, О. Конечные элементы и апроксимация / О. Зенкевич, К. Морган ; пер. с англ. Б. И. Квасова; под ред. Н. С. Бахвалова. - М. : Мир, 1986. - 318 с.

11. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в теории сооружений и механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чанг ; пер. с англ. О. П. Троицкого и

C. В. Соловьева ; под ред. Ю. К. Зарецкого. - М. : недра, 1974. - 239 с.

12. Галлагер, Р. Метод конечных элементов: основы / Р. Галлагер ; пер. с англ. В. М. Картвешвили ; под ред. Н. В. Баничука. - М. : Мир, 1984. - 428 с.

13. Сабоннадьер, Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон ; пер. с франц. В. А. Соколова, М. Б. Блеер ; под ред. Э. К. Стрельбицкого. - М. : Мир, 1989. - 190 с.

14. Шимановский, А. О. Применение метода конечных элементов в решении задач прикладной механики : учеб.-метод. пособие для студентов технических специальностей / А. О. Шимановский, А. В. Путято. - Гомель : БелГУТ, 2008. - 61 с.

15. Deust. h-Method & p-Method. URL: https://deust.wordpress.com/2014/11/30/h-method-p-method/ (дата обращения: 10.06.2019).

16. Wikipedia. Siemens NX. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Siemens_NX (дата обращения: 11.06.2019).

17. Apanovitch, V. External Approximations by Finite Elements / Victor Apanovitch. - SIMSOLID Corporation, 2016. - 227 p.

18. Wikipedia. PTC Creo Elements/Pro. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/PTC_Creo_Elements/Pro (дата обращения: 22.06.2019).

19. Procision Analysis Software. - User Manual. Release 4.0, 2001.

20. Procision Analysys Software. - Training Manual. Release 4.0, 2001.

21. Altair SimSolid. Structural Analysis for Rapid Design Iterations. URL: https://www.altair.com/simsolid/ (дата обращения: 10.02.2020).

22. Altair SimSolid Datasheet. URL: https://www.altair.com/resource/altair-simsolid-datasheet (дата обращения: 10.02.2020).

23. Simulation-Driven Design: Solving the Geometry Problem. URL: https://www.altair.com/resource/simulation-driven-design-solving-the-geometry-problem (дата обращения: 13.02.2020).

24. Altair SimSolid Technology Overview. URL: https://www.altair.com/resource/altair-simsolid-technology-overview (дата обращения: 12.02.2020).

25. Abbey, T. Altair SIMSOLID Walkthrough / Tony Abbey. URL: https://www.digitalengineering247.com/article/altair-simsolid-walkthrough (дата обращения: 11.02.2020).

26. SIMSOLID Cloud bolt tightening loads. URL: https://youtu.be/Xz3hU86dELo (дата обращения: 12.02.2020).

27. SIMSOLID - Fast Start Training Guide. URL: https://www.simsolid.com/simsolid-demo-models/SIMSOLID-FastStartTrainingGuide.pdf (дата обращения: 12.02.2020).

28. Успехов, А. А. Автоматизированное разбиение плоских областей на макроэлементы в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / А. А. Успехов, А. С. Троценко, Д. А. Болотцев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. - Т. 11. - № 2. - С. 37-40.

29. Википедия. Метод золотого сечения. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_ %D0%B7%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE_

%D 1%81%D0%B5%D 1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D 1 %8F (дата обращения: 23.06.2019).

30. Morris, K. Database Management Systems in Engineering / Katherine C. Morris, Mary Mitchell, Christopher Dabrowski, Elizabeth Fong // Gaithersburg, Maryland: National Institute of Standards and Technology, 1992. - 55 p.

31. Хабрахабр. Введение в объектно-ориентированные базы данных. URL: https://habr.com/ru/post/56399/ (дата обращения: 16.02.2020).

32. Wikipedia. Wavefront .obj file. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Wavefront_.obj_file (дата обращения: 17.02.2020).

33. Чижов, М. И. Автоматизированное разбиение 3D моделей в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн : материалы II междунар. науч.-практ. конф. / под общ. ред. В. А. Немтинова. - Тамбов : Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2016. - Вып. 2. - Т. I. - С. 211-216.

34. Trotsenko, A. S. Automated Splitting Of 3D Models For The External Finite-Element Approximations Method / A. S. Trotsenko // Развитие личности как стратегия современной системы образования: матер. междунар. НПК 22-23 марта 2016 года Воронеж, Россия; отв. ред. Э. П. Комарова. Часть 2. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга", 2016. - С. 435-437.

35. Троценко, А. С. Генерация макроэлементов на дискретных границах тел в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / А. С. Троценко, М. И. Чижов, А. А. Успехов // Информатика: проблемы, методология, технологии: сборн. матер. XIX междунар. науч.-практ. конф. / под ред. Д. Н. Борисова. - Воронеж : Издательство "Научно-исследовательские публикации", 2019. - С. 1761-1765.

36. Diskin, B. Effects of mesh regularity on accuracy of finite-volume schemes / Boris Diskin, James L. Thomas. // 50th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition 09 - 12 January 2012, Nashville, Tennessee. - Tennessee, 2012.

37. ЛИРА Софт. 53. Выбор размеров конечных элементов. URL: https://lira-soft.com/wiki/notes/53-vybor-razmerov-konechnykh-elementov/ (дата обращения: 16.07.2019).

38. Буялич, Г. Д. Регулярная сетка конечных элементов манжетного уплотнения гидростоек / Г. Д. Буялич, К. Г. Буялич // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). - 2012. - С. 119-121.

39. Zabrodsky, H. Symmetry as a Continuous Feature / H. Zabrodsky, S. Peleg, D. Avnir // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1996. -№17(12). - P. 1154-1166.

40. Sadiq, A. 3D Object Symmetry Measurement Using Extended Gaussian Image / A. Sadiq, Y. Tabil // Journal of Theoretical and Applied Information Technolog. - 2015. -№2. - P. 193-198.

41. Sun, C. 3-D Symmetry Detection Using The Extended Gaussian Image / C. Sun , J. Sherrah. URL: https://pdfs.semanticscholar.org/7598/9ea6762cef738da71c043b9db03f3f184c80.pdf (дата обращения: 09.07.2019).

42. Pan, G. Finding Symmetry Plane of 3D Face Shape / Gang Pan, Yueming Wang, Yipeng Qi, Zhaohui Wu. URL: https://www.researchgate.net/publication/220932807_Finding_Symmetry_Plane_of_3D_F ace_Shape (дата обращения: 09.07.2019).

43. Horn, B. Extended Gaussian Images / B. Horn. URL: http://people.csail.mit.edu/ bkph/AIM/AIM-740-OPT.pdf (дата обращения: 09.07.2019).

44. Little, J.J. Determining Object Attitude from Extended Gaussian Image / J. J. Little. URL: https://www.researchgate.net/publication/220812603_Determining_Object_Attitude_from _Extended_Gaussian_Image (дата обращения: 09.07.2019).

45. Ikeuchi, K. Determining Attitude of Object from Needle Map Using Extended Gaussian Image / Katsushi Ikeuchi. URL: https://www.researchgate.net/publication/37597227_Determining_Attitude_of_Object_fro m_Needle_Map_Using_Extended_Gaussian_Image (дата обращения: 09.07.2019).

46. Martinet, A. Accurate Detection of Symmetries in 3D Shapes / A. Martinet, C. Soler, N. Holzschuch, F. Sillion // ACM Transactions on Graphics. - 2006. - №2. - P. 439-464.

47. Kazhdan, M. A Reflective Symmetry Descriptor for 3D Models / M. Kazhdan, B. Chazelle, D. Dobkin, T. Funkhouser, S. Rusinkiewicz // Algorithmica. - 2003. - №38. -P. 201-225.

48. Чижов, М. И. Автоматизированное разбиение 3D моделей с учетом особенностей симметрии в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Прогрессивные технологии и процессы: сборник научных статей 3-й Междунар. молодежной науч.-практ. конф. (22-23 сентября 2016 г). - Курск : ЗАО "Университетская книга", 2016. - С. 227-234.

49. Википедия. Момент инерции. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции (дата обращения: 14.07.2019).

50. MYsopromat. Главные оси и главные моменты инерции. URL: http://mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sopromat/geometricheskie_harakteristiki/ glavnye_osi_glavnye_momenty_inertsii/ (дата обращения: 13.07.2019).

51. Nixon, M. Feature Extraction and Image Processing / Mark S. Nixon, Alberto S. Aguado // Great Britain: Newnes, 2002. - 360 p.

52. Википедия. Линейный коэффициент корреляции. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB

%D 1%8F%D 1%86%D0%B8%D 1%8F#%D0%9B%D0%B8%D0%BD %D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%8D %D 1%84%D 1 %84%D0%B8%D 1 %86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D 1%82_ %D0%BA%D0%BE%D 1%80%D 1 %80%D0%B5%D0%BB%D 1%8F %D1%86%D0%B8%D0%B8 (дата обращения: 14.07.2019).

53. Чижов, М. И. Эффективный метод оценки близости геометрических форм полигональных моделей / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Информатика: проблемы, методология, технологии: сборн. матер. XVIII междунар. науч.-метод. конф: в 7 т. / под ред. Н. А. Тюкачева. - Воронеж : Издательство "Научно-исследовательские публикации", 2018. - Т. 6. - С. 180-184.

54. Чижов, М. И. Метод точной оценки близости геометрических форм полигональных моделей / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Вестник воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2018. - № 2. - С. 118-122.

55. Чижов, М.И. Автоматизированное разбиение 3D моделей с учетом симметрии в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Приоритетные направления и актуальные проблемы развития средств технического обслуживания летательных аппаратов: матер. докладов II Всеросийской НПК 15-16 марта 2016г. - Воронеж: ВУНЦ ВВС "ВВА", 2016. - С. 44-45.

56. Chizhov, M. Splitting Features of Rotation Shapes in the External Finite-Element Approximations Method / M. Chizhov, A. Uspehov, A. Trotsenko // Young Scientist's International Workshop on Trends in Information Processing. CEUR Workshop proceedings. Dombai, Russian Federation. - 2017. - V. 1837. P. - 38-44.

57. Чижов, М. И. Автоматизированное разбиение 3D моделей с использованием объектов привязки в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / М. И. Чижов, А. А. Успехов, А. С. Троценко // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве: труды междунар. науч.-техн. конф. - Воронеж : ФГБОУ ВО "ВГТУ", 2017. - Т. 1. - С. 174178.

58. Троценко, А. С. Подготовка сетки макроэлементов с учетом формы тел в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / А. С. Троценко, М. И. Чижов, А. А. Успехов // САПР и моделирование в современной электронике : матер. II междунар. науч.-практ. конф. / под общ. ред. Л. А. Потапова. - Брянск : БГТУ, 2018. - Ч. 1. - С. 235-239.

59. Open CASCADE Technology. OPEN CASCADE. URL: https://www.opencascade.com/ (дата обращения: 06.07.2019).

60. Wikipedia. C3D Toolkit. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/C3D_Toolkit (дата обращения: 06.07.2019).

61. Wikipedia. Parasolid. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Parasolid (дата обращения: 06.07.2019).

62. Qt. Qt Creator. URL: https://www.qt.io/development-tools (дата обращения: 22.02.2020).

63. CMake. Main page. URL: https://cmake.org/ (дата обращения: 22.02.2020).

64. Refactoring GURU. Шаблонный метод. URL: https://refactoring.guru/ru/design-patterns/template-method (дата обращения: 23.02.2020).

65. Wikipedia. ISO 10303. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_10303 (дата обращения: 06.07.2019).

66. GRABCAD. GrabCAD: Design Community, CAD Library, 3D Printing Software. URL: https://grabcad.com/ (дата обращения: 06.07.2019).

67. GitHub. OpenCppCoverage. URL: https://github.com/OpenCppCoverage/OpenCppCoverage (дата обращения: 10.12.2021).

68. Еремин, А. А., Поэлементный метод оценки конструктивной сложности деталей / А. А. Еремин, Д. И. Троицкий // Известия ТулГУ. Технические науки. -Тула, 2013. - Вып. 12. - Ч. 1. - С. 254-261.

69. Page, D. L. Shape Analysis Algorithm Based on Information Theory / D. L. Page, A. F. Koschan, S. R. Sukumar, B. Roui-Abidi, M. A. Abidi // Proceedings of the International Conference on Image Processing. - Barcelona, Spain, 2003.

70. Дубровин, Б. А., Современная геометрия: методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - М.: Наука, 1986. - 760 с.

71. Александров, А. Д. Геометрия: учеб. пособие / А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев. - М.: Наука, 1990. - 672 с.

72. Википедия. Кривизна поверхности. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A

%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0#%D0%9A %D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0_%D0%BF %D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE %D 1%81%D 1 %82%D0%B8 (дата обращения: 01.06.2019).

73. Valentan, B. Evaluation of shape complexity based on STL data / B. Valentan, T. Brajlih, Drstvensek, J. Balic // Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering, 2006. - Vol. 17. - Issue 1-2. - P. 293-296.

74. Rossignac, J. Shape Complexity / Jarek Rossignac. URL: https://www.academia.edu/2792051/Shape_complexity (дата обращения: 01.06.2019).

75. Open CASCADE Technology. BRepLProp_SLProps Class Reference. URL:

https://www.opencascade.com/doc/occt-7.1.0/refman/html/class_b_rep_l_prop_s_l_pro

ps.html (дата обращения: 02.06.2019).

76. Wikipedia. Freeform surface modelling. URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Freeform_surface_modelling (дата обращения: 02.06.2019).

77. Open CASCADE Technology. GeomAbs_SurfaceType.hxx File Reference.

URL:

https://wwwopencascade.com/doc/occt-7.L0/refman/html/_geom_abs_surface_type_8h

xx.html (дата обращения: 02.06.2019).

78. Ansys | Engineering Simulation Software. URL: https://www.ansys.com/ (дата обращения: 23.01.2022).

79. ANSYS — Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ANSYS (дата обращения: 23.01.2022).

80. NX and the Ansys environment. URL: https://www.plm.automation.siemens.com/en_cz/Images/nx%20environment%20for %20ansys%20fs%20W%203_tcm841-4402.pdf (дата обращения: 23.01.2022).

81. ANSYS Workbench CAD Interface for NX: How To Create Named Selections and Parameters. URL: https://youtu.be/m9bUMJW1qOk (дата обращения: 23.01.2022).

82. CAENDKOELSCH. Difference between h-method and p-method in FE Analysis (FEA). URL: https://caendkoelsch.wordpress.com/2019/01/15/difference-between-h-method-and-p-method-in-fe-analysis-fea/ (дата обращения: 23.01.2022).

83. Babuska, I. The h, p and h-p version of the finite element method; basis theory and applications / I. Babuska, B. Q. Guo // Advances in Engineering Software. - 1992. -V. 15. - Issues 3-4. - P. 159-174.

84. Mesh Generation Overview (Tetrahedral). URL: https://space.mit.edu/RADIO/CST_online/mergedProjects/3D/common_overview/ common_overview_mesh_tet.htm (дата обращения: 23.01.2022).

85. Zlamal, M. Curved Elements in the Finite Element Method. I / Milos Zlamal // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1973. - Vol. 10. - No. 1. - P. 229-240.

86. Троценко, А. С. Математическая модель оценки сложности 3D модели применительно к препроцессору метода внешних конечноэлементных аппроксимаций / А. С. Троценко, А. А. Успехов, М. И. Чижов // Системы управления и информационные технологии. - 2020. - № 1(79). - С. 19-22.

87. Троценко, А. С. Специальное программное средство генерации макроэлементов в методе внешних конечноэлементных аппроксимаций / А. С. Троценко, А. А. Успехов, М. И. Чижов // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. - 2021. - № 9(2), URL: https://moitvivt.ru/ru/journal/pdf?id=994 (дата обращения: 22.01.2022).

Приложение А. Детализация базы данных результата разбиения разработанного препроцессора МВКА

Файл nod .

Файл nop

Тройки индексов полигонов. Расположены последовательно

от 0 до size.

Индексы nl, п2, пЗ соответствуют порядку узлов в файле nod.

-М

пор

size <-

4 п 1 п2 пЗ

п 1 п2 пЗ

4 п 1 п2 пЗ

-Количество полигонов в файле

Файл ssf

Файл яя/

¡1

¡2

¡3

Позиции начала записи данных межэлементных граней -в файле лл/ Порядок позиций соответствует порядку межэлементных граней в файле яя/.

Файл е1е

Индексы полигонов внешних границ макроэлемента

Индексы межэлементных граней макроэлемента

Ориентация межэлементных граней макроэлемента

ele

ID *

sizel

nop1 nop2

Г порЗ (sizel)

size_2 ■4

V ss1 ss2

ss3

(size2)

- sol so2 so3

(size2)

"Идентификатор макроэлемента

Количество граничных полигонов

макроэлемента (не принадлежащих межэлементным граням)

.Количество межэлементных граней элемента

Приложение Б. Нормализованная кумулятивная угловая функция

Рассмотрим замкнутую кривую г (Г) (рисунок 89) [59], определенную в двумерном евклидовом пространстве. Определим угловую функцию ф(г) , которая характеризует угловую составляющую касательной линии в данной точке кривой.

У' 1

/ 2(3) \

/ ■2(0)

/С ■ф(5) ф(0)

X

Рисунок 89 - Обозначение угловой функции ф(г) на замкнутой кривой г (г) в

точках 0 и 5 .

Главной проблемой угловой функции является ее разрывность даже для гладких кривых (рисунок 90). Это происходит из-за того, что область значений функции находится в пределах от 0 до 2 п . Таким образом, функция терпит разрыв в местах, где ее значение превышает 2 п , или оказывается ниже 0. Для устранения этой проблемы используется нормализованная кумулятивная форма угловой функции.

Кумулятивная угловая функция у(г) (рисунок 90, третий ряд) в некоторой точке кривой г (Г) определяется как количество изменения угловой величины, начиная с первой точки кривой. Функция называется кумулятивной так как она представляет сумму изменения угла с первой точки. Угловое изменение определяется как первая производная угловой функции ф( Г) , что соответствует ее кривизне к (5) . Таким образом, кумулятивная угловая функция в некоторой точке 5 может быть определена как:

у(5)=| к (г) dr-к (0) ,

где 5 принимает значения от 0 до L - длины кривой.

Контур 1

100

50

0 50 100 150 200 250

Контур 2

Угловая функция 1

Угловая функция 2

Кумулятивная угловая функция 1 Кумулятивная угловая функция 2 Рисунок 90 - Визуализация угловых и кумулятивных угловых функций для двух

контуров разной формы

Начальное и конечное значения кумулятивной угловой функции равны соответственно у(0)=0 и у(L)= — 2п . Конечное значение —2п может быть получено при обходе кривой по часовой стрелке.

Кумулятивная угловая функция не содержит разрывы, присущие угловой функции. Однако остаются две проблемы: функция до сих пор разрывна в конце; значение функции зависит от длины кривой L . Проблемы могут быть решены путем определения нормализованной кумулятивной угловой функции (НКУФ) (рисунок 91):

У*(*) = *(2т*)+* ,

2 п

где * принимает значения от 0 до 2 п , а коэффициент нормализует

2п

угловую функцию так, что функция становится инвариантной к масштабированию.

Таким образом, у*(0) = у*(2п) = 0 , что устраняет разрыв на конце кумулятивной угловой функции. Кроме того, это значит, что для окружности на всей области определения функция обращается в 0.

-2 -4

-4

НКУФ1 НКУФ2

Рисунок 91 - Визуализация НКУФ для контуров 1 и 2 с рисунка 90

Приложение В. Демонстрация результатов препроцессирования в МКЭ и

МВКА

В приложении продемонстрированы расчетные модели МКЭ и МВКА для тестовых цифровых моделей из главы 4.

Рисунок 3 - Конечноэлементная модель МКЭ модели 3

Рисунок 7 - Конечноэлементная модель МКЭ модели 5

Приложение Г. Свидетельство о регистрации программы ЭВМ

Приложение Д. Акты внедрения

УТВЕРЖДАЮ :гор по учебной работе I , ФСЕОУ ВО «ВГТУ» А.И, Колосов

АКТ

внедрения результатов кандидатской диссертации

Троценко Александра Сергеевича на тему

«Специальное математическое и программное обеспечение инструментальных систем конечноэлементного моделирования в условиях сложноконфигурируемых граничных областей» в учебный процесс ФГБОУ ВО «Воронежский государственный

технический университет»

Настоящим актом удостоверяется, что результаты исследований, полученные в диссертационной работе Троценко A.C., внедрены в учебный процесс по направлению подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника».

Разработанное в диссертационном исследовании специальное математическое и программное обеспечение по подготовке данных в рамках систем численного моделирования по методу внешних конечноэлементных аппроксимаций, в том числе алгоритмы классификации формы исходных цифровых моделей, используется в учебном процессе при проведении лекционных и практических занятий по дисциплинам «Инструментальные средства моделирования сложных систем», «Разработка САПР».

Зав. кафедрой КИТП

М.И. Чижов

Декан ФИТКБ

П.Ю. Гусев