Стабилизация решения уравнения планетарных волн в неограниченных по пространственным переменным областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Огородников, Игорь Евгеньевич

• Огородников, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Огородников, Игорь Евгеньевич

Введение

1 Задача в области с неограниченной границей

§ 1,1 Постановка задачи

§ 1.2 Существование решения и интегральные тождества.

§ 1.3 Преобразование Лапласа и свойства решения краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца

§ 1.4 Стабилизация решения задачи.

2 Задача в ограниченной области со смешанными граничными условиями

§ 2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Существование и единственность решения, оценка энергии

§ 2.3 Полнота системы собственных функций спектральной задачи

§ 2.4 Асимптотическое поведение решения.

3 Стабилизации решения в области с неограниченной границей и смешанными граничными условиями

§ 3.1 Построение и свойства решения стационарной задачи

§ 3.2 Оценка поведения решения при больших значениях времени

Выводы

Список основной использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация решения уравнения планетарных волн в неограниченных по пространственным переменным областях»

Диссертация посвящена исследованию поведения при больших значениях времени решений некоторых краевых задач для уравнения, описывающего длинные океанические волны, которые возникают на поверхности Земли вследствие ее вращения.

Проблема изучения поведения по времени решений нестационарных задач для уравнений вращающейся жидкости играет важную роль в математической гидродинамике. Необходимость ее решения возникает при анализе математических моделей в различных областях физики и техники: геофизике, гидротехнике и др. Различным аспектам теории движений вращающейся жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб, 1932; А.И. Некрасов 1918, 1944; И.Е. Кочин 1926, 1935, 1949; М.В. Келдыш 1935; Л.И. Седов 1936, 1967; Л.Н. Сретенский 1933, 1977; М.А. Лаврентьев 1937, 1946, 1958; В.Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953, 1959; Дж. Лайтхил 1959, 1981; Дж. Уизем 1950, 1977, С,Л. Соболев 1954, Т.И.Зеленяк 1970,

B.П. Михайлов 1970, А. К. Гущин, В. П. Михайлов, Л. А. Муравей 1975,

C.B. Успенский, Г.В. Демиденко, В.Г. Перепелкин 1984, A.C. Габов, А.Г. Свешников 1986,1990, Н.Д.Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан 1989, и др).

Математическое описание процессов распространения волн в идеальной жидкости, находящейся на вращающейся сфере большого радиуса, в случае когда вертикальная составляющая частоты вращения линейным образом зависит от горизонтальной координаты приводит к изучению свойств решений следующего уравнения (К.Россби 1939, Н.К. Блинова 1943, и др.):

AUt(x,t) + UXl — О (В.1) где Д = щг + . + щ-, х = (хих2,.:,хп).

Уравнение (В.1) называется уравнением планетарных волн или уравнением волн Россби (Россби-Блиновой) [10,11] и является основным предметом исследований в работе.

Актуальность изучения данного уравнения подтверждена крупномасштабными экспериментами в северной Атлантике (программы " Полигон" и "Mode"), установившими существование медленно меняющихся течений, которые описываются с помощью линейной теории планетарных волн. Получение новых качественных результатов для решений краевых задач для уравнения (В.1) является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Цель работы. Целью настоящей работы является изучение поведения при больших значениях времени решения краевых задач для уравнения (В.1) в пространственной области с неограниченной границей, нахождение достаточных условий стабилизации решений, получение асимптотических оценок.

Объем и структура работы. Работа содержит три главы, заключение, содержащее перечень основных результатов и список цитированной литературы. В состав работы входит 1 иллюстрация. Объем работы — 101

ЛИСТ;

Перейдем к изложению содержания работы по главам.

Первая глава посвящена вопросам стабилизации при больших значениях времени решения первой краевой задачи для уравнения (В.1) в случае, когда область изменения пространственных переменных имеет неограниченную границу.

Отметим, что ранее поведение решения рассматриваемого уравнения исследовалось в неограниченных областях только специального вида (пространство, полупространство, полоса, внешность компакта). Задача Коши изучалась в работах С. В. Успенского, Г. В. Демиденко [28], И. М. Петрушко [24], В.Г.Лежнева [12]. Для первой краевой задачи в полупространстве из работы С. В. Успенского, Г. В. Демиденко [29] вытекает оценка: \11(х,{)\ < С £(п1)/2 для любого х Е — {х = {хХ1х21 .•■■,хп) : х\ > 0}, £ > ¿о- В случае если пространственная область имеет вид полосы (жья') <Е (—ос,+ос) х где - ограниченная область в Д"-1, то справедливо неравенство \и(х, г)| < С £~1//2, £ —> +оо (А. А. Тикиляйнен [27]). В работе В.Г.Лежнева [12] рассмотрено решение во внешности круга в Л2 и (в некоторой подобласти) получена оценка вида 0(£~1//2).

§1.1 Постановка задачи. Рассматривается первая смешанная краевая задача для уравнения (В.1) в области О. С Ип, лежащей в правом полупространстве и имеющей неограниченную звездную (относительно начала координат) границу Г. Начальное возмущение 17о(х) предполагается финитной и достаточно гладкой в О функцией.

§1.2 Существование решения и интегральные тождества. Строится обобщенное решение, сформулированной в §1.1, задачи и доказывается его единственность. Здесь же устанавливаются равномерные по t Ç: (0, +оо) оценки:

I\VxU(x, t)\2dx ^ I \VUo\2dx

О euppUç,

J\VxUt(x,t)\2dx^C f \VU0\2dx il supplia где константа С зависит только от размерности пространства п и начальной функции Uq(x).

§1.-3 Преобразование Лапласа и свойства решения краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца. Обосновывается применение преобразования Лапласа к решению и изучаются свойства соответствующей стационарной задачи, которая после проведения ряда замен переменных сводится к первой краевой задаче для неоднородного уравнения Гельмгольца:

Av + k2v = e~ikxiAU0i Im(k) > О, (B.2) для решения которой устанавливается оценка: равномерная в замкнутой верхней полуплоскости Im(k) > 0.

§1.4 Стабилизация решения задачи. Из результатов разделов §1.2 и §1.3 вытекает убывание решения при t —» -foo, а именно,

U{x,t)\\Lm 0 на любом компакте ß С О, лежащем правее, по отношению к оси Охi, носителя начальной функции Supp U{). Наличие геометрического условия расположения области D связано с наличием энергетической зоны, находящейся левее носителя начальной функции и характеризующейся существенно медленным убыванием решения даже в случае задачи Коши (см., например, [12]).

Зависимость стабилизации решения краевых задач для (В.1) в неограниченных областях от пространственного расположения носителя начального возмущения проявляется и во второй краевой задачи во внешности компакта в R2. При этом играет роль геометрическое расположение suppUo и компактного препятствия. При выполнении требуемого расположении, для любой точки из рассматриваемой пространственной области имеем оценку (см. [18]):

1гт/ М С(х) -¿174- ПРИ

Вторая глава посвящена получению достаточных условий стабилизации при больших значениях времени решений краевых задач для уравнения (В.1) в ограниченных по пространственным переменным областях специального вида (в областях типа цилиндра с произвольным сечением).

Как известно из результатов В.Г. Лежнева [12], для первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченных областях общего вида из IIй решение является почти периодической функцией по времени. В случае, когда область изменения пространственных переменных является прямоугольником, в работах A.M. Ильина [5, 6] установлены оценки, показывающие убывание среднего по времени решения для этой же краевой задачи.

Особенностью данной работы является введение на части границы области краевого условия, обеспечивающего поглощение кинетической энергии движения жидкости E(t), и как следствие, убывание решения при больших значениях времени в каждой точке области пространственных переменных,

В качестве модельной мы рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения планетарных волн в ограниченной цилиндрической области Q из Е'\ имеющей произвольное сечение и образующую параллельную оси Ох 1. Тогда на части Ti границы dQ = Ti U Г2, Г1ПГ2 = 0, удовлетворяющей условию:

Гг = {х 6 dQ\cos(i/, Охг) < 0} (В.З) где v - внешняя нормаль к dQ в точке х £ 8Q, ставится краевое условие = 0, физическая интерпретация которого состоит в возможности движения жидкости через данный участок границы. На остальной части границы (Г2) требуем выполнение первого однородного краевого условия, обеспечивающего непротекание этого участка.

При достаточной гладкости начальной функции, из полученных в разделе § 2.3 свойств спектральной задачи, вытекает убывание энергии: E(i) —* 0 при больших значениях времени t. Кроме того, при дополнительном условии на вид начальных данных справедлива оценка; С <-==[1 + о(1)1 при г -)■ +оо \tnit

В тоже время, анализ выбора места на для введения поглощающего энергию граничного условия, позволяет сделать вывод о том, что при расположении участка Г\ на части границы, удовлетворяющей условию Г! — {х £ : сое (г/, Ох\) — 0} - энергия задачи Е{€) будет оставаться постоянной при больших значениях времени, а при задании его условием Г\ = {х Е соОжх) > 0}, v- внешняя нормаль, она может иметь растущую при £ —> +оо составляющую - раздел § 2 Л Асимптотическое поведение решения.

Третья глава посвящена вопросам нахождения достаточных условий стабилизации решения краевых задач для уравнения (В.1) в пространственных областях с неограниченной границей.

Стабилизацию решения за счет поглощающего энергию второго краевого условия на участке границы, удовлетворяющего (В.З) и звездности границы мы рассмотрим на примере задачи для уравнения планетарных волн в пространственной области специального вида.

Исследование временного поведения решения задачи будем проводить по его первому приближению, для которого, при достаточной гладкости начальной функции, будет доказана асимптотическая оценка вида о( 1/£) ("о-малое") для х £ О, при £ —» +оо.

Этот результат показывает, что, во-первых, введение второго краевого условия на (В.З) в краевой задаче для уравнения планетарных волн в

- 10 областях с неограниченной звездной границей позволяет получить стабилизацию решения независимо от пространственного расположения рассматриваемых точек относительно носителя начального возмущения. Во-вторых, полученное убывание решения является более быстрым, при тех же требованиях гладкости начальной функции, по сравнению с убыванием задачи Коши.

При этом также отметим, что изученная в данной главе математическая модель позволяет анализировать поведение движения вращающейся жидкости, описываемого уравнением (В,1), при так называемом искусственном сужении береговой линии, выраженном в распространенной практике создания оградительных молов при проектировании портов и портовых сооружений [25].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Огородников, Игорь Евгеньевич

Выводы

Я ПЯ^ПТР ТТГИТЛГХТРТТТ^Т Г ТТРЧТЛТ-ТОТТТТ/ТР ТТГЛ}Т,ТР> ПР^ЛГ ТТТ.ТЯТТ^Г Г» ПРТТТРТП/Г^Г краевых задач для уравнения планетарных волн и связанных с ними соответствующих стационарных задач.

1. Доказана стабилизация решения первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной звездной границей для любого компакта лежащего вне некоторой ограниченной зоны, определяемой носителем начального возмущения.

2. Получены оценки поведения по спектральному параметру решения первой краевой задачи в неограниченной области со звездной бесконечной границей для неоднородного уравнения Гельмгольца, с правой частью нелинейно зависящей от спектрального параметра.

3. Установлены достаточные условия стабилизации решения краевой задачи для уравнения планетарных волн в ограниченной области со смешанными граничными условиями, получены асимптотические оценки решения.

4. Доказана полнота собственных функций и установлено распределение собственных значений спектральной задачи в ограниченной области, являющейся несамосопряженной краевой задачей в специальном гильбертовом пространстве.

- 96

5. Исследовано поведение решения краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной границей и смешанными граничными условиями: доказано убывание первого приближения решения, приведены его оценки при больших значениях времени. Установлены аналитические свойства решения соответствующей краевой задачи для неоднородного уравнения Гельмгольца, получены оценки решения по спектральному параметру.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Огородников, Игорь Евгеньевич, 2000 год

1. Бари Н. К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. // Учен. зап. МГУ., 1951., Т.4, вып.148

2. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч.1., М., 1949

3. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М., 1963

4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений., М., 1962

5. Ильин А. М. Об асимптотике решения одной краевой задачи. // Матем. заметки., 1970., Т.8., N3

6. Ильин А. М. О поведении решения одной краевой задачи при £ —* оо. // Матем. сборник., 1972., Т.87., N4

7. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. // ДАН СССР., 1951, т.77., 1

8. Келдыш М. В. О полноте собственных некоторых классов несамосопряженных операторов. // Успехи мат. наук., 1971, т.26., N4

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики., М., 1973

10. Jle Блон П., Мойсек Л. Волны в океане., М., 1981.

11. Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики., М., 1988.

12. Лежнев В. Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики., Краснодар., 1993

13. Михаилов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных., М., 1976

14. Муравей Л. А. Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца в неограниченной области со звездной границей. // Труды матем.ин-та им.В.А.Стеклова, М., 1988., Т.185.

15. Муравей Л. А. Асимптотическое поведение при больших значениях времени решений второй и третьей внешних краевых задач для волнового уравнения с двумя пространственными переменными. // Труды матем.ин-та им.В.А.Стеклова, М., 1973., Т.129.

16. Muravei L.,Filinovskii A. Wave equation and Helmholtz equation in domains with pertubed star-shaped boundary. // Russian journal of mathematical physics., 1998., v.5, no.4

17. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы., M., 1968

18. Огородников И. Е. Асимптотика по времени для уравнения планетарных волн. // "XXI Гагаринские чтения": Тез. докл. молодежной науч. конф. М.1996., Ч.4., С. 16-17

19. Огородников И. E. Стабилизация решения уравнения планетарных волн в прямоугольнике в случае смешанных граничных условий.// "XXV Гагаринские чтения": Тез. докл. Междунар. молодежной науч. конф., М.1999., Т.1., С. 162-163

20. Огородников И. Е. Стабилизация решения первой краевой задачи для уравнения планетарных волн в области с неограниченной границей. //"XXVI Гагаринские чтения": Тез. докл. Междунар. молодежной науч. конф., М.2000., Т.1., С. 297-298

21. Петрушко И. М. О поведении по t решения задачи Коши для уравнения Aut — их — 0 при большом времени. // Исследования по уравнениям матем.физики. Труды МЭИ., М., 1975., N250

22. Порты и портовые сооружения. / 4.1, Под редакцией H.H. Джунковский, М., 1964

23. Справочник по специальным функциям. / Под редакцией М.Абрамовича и И.Стиган, М., 1979

24. Тикиляйнен А. А. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн. // ЖВМ и МФ., 1988., Т.28., N 4.

25. Успенский С. В.,Демиденко Г. В. О смешанных краевых задачах для одного класса уравнений, неразрешенных относительно старшей производной. // Дифф.уравнения с частными производными: Труды семинара Соболева., 1980., N2.

26. Успенский С. В.,Демиденко Г. В. О поведении при t —»• оо решений некоторых задач гидродинамики. // ДАН СССР, 1985., Т.280., N.5

27. Федорюк М. В. Асимптотика, интегралы и ряды., М., 1987

28. Филиновский А. В. Стабилизация решений волнового уравнения в неограниченных областях. // Матем.сборник., 1996., Т.187., N6

29. Shkalikov A., Tretter С. Kamke problems. Properties of the eigenfunctions. // Math.Nachr., 1994., v.170.- 101

30. Shkalikov A., Tretter C. Spectral analysis for linear pencils N — XP of ordinary differential operators. // Math.Nachr., 1996., v.179.

31. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды сем. им. И.Г. Петровского., М., 1983., вып.9