Статистическая механика классического релятивистского газа с учетом флуктуации давления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Кейта Ибраима

• Кейта Ибраима
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кейта Ибраима

Введение

Глава 1. Функция Гамильтона, метод Гиббса и уравнения состояния

1.1 Динамические величины и уравнения состояния.

1.2 Средние значения и флуктуации. Леммы Гиббса.

1.3 Проблема вычисления флуктуаций давления.

1.4 Давление и сжимаемость как квазидинамические величины.

Глава 2. Динамические уравнения состояния

2.1 Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева

2.2 Общие выражения для систем с однородной функцией Гамильтона

2.2.1 Неидеальные системы

2.2.2 Идеальные газы.

2.3 Классический релятивистский идеальный газ.

Глава 3. Термодинамические уравнения состояния. Точные соотношения

3.1 Общие соотношения

3.2 Соотношения для классического идеального газа.

3.2.1 Общий неоднородный случай.

3.2.2 Предельные однородные случаи.

3.3 Классический релятивистский идеальный газ.

3.3.1 Общие соотношения.

3.3.2 Низкотемпературное представление. Точные формулы.

Глава 4. Приближенные термодинамические уравнения состояния классического релятивистского идеального газа

4.1 Низкотемпературное разложение.

4.2 Высокотемпературное разложение.

4.3 Эффективный показатель однородности и релятивистские поправки к термодинамическим уравнениям состояния

4.4 Деформированный (не-лоренцев) закон дисперсии и двухтемпературное разложение.

4.4.1 Модифицированный закон дисперсии.

4.4.2 Динамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии

4.4.3 Термодинамический анализ следствий модифицированного закона дисперсии.

4.4.4 Численные оценки.

Рисунки к диссертации !.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статистическая механика классического релятивистского газа с учетом флуктуации давления»

Несмотря на прошедшие уже более ста лет с момента создания Дж. У. Гиббсом [1] классической равновесной статистической механики, многие ее задачи по-прежнему остаются актуальными для теоретической и математической физики, поскольку они или не поддаются точному решению, или вообще не имеют достаточно ясной и общепризнанной постановки.

К числу задач первого типа относится построение статистической механики идеального газа частиц с зависящей только от импульсов релятивистской функцией Гамильтона (законом дисперсии) во всем интервале значений импульсов, а к числу задач второго типа вычисление равновесных флуктуаций давления в рамках общего подхода Гиббса, причем обе задачи весьма актуальны и рассмотрены нами в данной диссертации.

Основная цель исследований, проведенных в настоящей диссертации, состоит в том, чтобы построить регулярную теорию возмущений для основных термодинамических величин классического релятивистского идеального газа в области как низких температур (но превышающих температуру квантового вырождения) в нерелятивистской области импульсов, так и высоких температур соответственно, в ультрарелятивистской области импульсов.

Знание термодинамических свойств релятивистских газов необходимо для ряда практических приложений, прежде всего применительно к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий. Кроме того, эти результаты актуальны для релятивистской ядерной физики например, при анализе термодинамической устойчивости фаейерболов, "адронных мешков"и т.п. феноменологических моделей. Наконец, поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур необходимы при анализе физических свойств идеального газа легких (но принципиально не безмассовых) частиц например, некоторых видов нейтрино. к

Проблема флуктуаций в физических системах в состоянии теплового равновесия приобрела значительную актуальность в связи с активным изучением мезо- и микроскопических систем и разработке на их основе на-нотехнологий. Знание флуктуаций дает основу для изучения термодинамической устойчивости этих систем как тепловой, так и механической. Особый интерес представляют весьма мало изученные флуктуации давления (ФД), определяющие — наряду с флуктуациями энергии — термодинамическую устойчивость любой физической системы, объем которой ограничен извне твердыми стенками.

Длительное время проблема вычисления флуктуаций давления не имела последовательного решения в рамках подхода Гиббса или нуждалась в привлечении каких-либо дополнительных предположений. Трудности изучения флуктуаций давления обусловлены тем, что сопряженный им термодинамический параметр — объем (также способный к флуктуациям) сложным нелинейным образом входит в функцию Гамильтона системы. Ряд имеющихся в литературе попыток, предпринятых известными физиками (Фаулер [5], Вергеланд [6], Клейн [7], Мюнстер [4], Терлецкий [2]), не привел к успеху даже в простейшем случае классического нерелятивистского идеального газа.

В соответствии с перечисленными общими проблемами, в диссертации были поставлены следующие конкретные задачи:

1. Получение динамических уравнений состояния для динамического давления и динамической сжимаемости для классического релятивистского идеального газа.

2. Выявление особенностей этих уравнений состояния в предельных случаях однородных (в смысле Эйлера) выражений для функции Гамильтона.

3. Получение термодинамических уравнений состояния классического релятивистского идеального газа на основе общего вида статистической суммы.

4. Получение регулярных низкотемпературных (нерелятивистских) и высокотемпературных (ультрарелятивистских) разложений для термодинамических средних величин и их флуктуаций.

5. Анализ влияния деформации закона дисперсии свободных релятивистских частиц за счет не-лоренцевских слагаемых на термодинамические свойства идеального газа этих частиц.

В соответствии с перечисленными выше целями и задачами диссертация построена следующим образом. В главе 1 кратко формулируются основные элементы метода статистической механики Гиббса, причем особый акцент сделан на вычисление не только средних значений, но и флуктуаций основных динамических величин (раздел 1.2). В разделе 1.3 изложены трудности, связанные с имевшимися ранее в литературе попытками нахождения флуктуаций давления.

Особое внимание уделяется корректному введению в метод Гиббса квазидинамических понятий объема, давления и сжимаемости (раздел 1.4), которое опирается на идеи метода квазисредних Боголюбова [8] (его краткое описание дано в Приложении 1).

В главе 2 приведена обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [10] (доказательство, полученное в работе Рудого и Суханова [3], находится в Приложении 2) и дано ее приложение к получению динамических уравнений состояний для классического релятивистского идеального газа (КРИГ)(раздел 2.3), а также дан анализ предельных случаев, соответствующих однородным (в смысле Эйлера) законам дисперсии (раздел 2.2). Обобщенная теорема Боголюбова—Зубарева [3, 8, 10] позволяет получить выражение для динамического давления и его флуктуаций через первые и вторые производные от функции Гамильтона. Поэтому при вычислении температурных средних значений этих величин удается в противоположность высказанному ранее мнению ряда авторитетных исследователей [2, 4, 5, 6] полностью оставаться в рамках канонического подхода Гиббса.

Глава 3 посвящена получению термодинамических уравнений состояния, или равновесных средних значений динамических величин, а также их флуктуаций как в общем виде, так и конкретно для КРИГ в предельных однородных случаях (раздел 3.2.2) и в общем неоднородном случае (раздел 3.2.1). В разделах 3.1 и 3.2 рассмотрены наиболее важные и употребительные виды уравнений состояния (УС) для классического идеального газа с произвольным законом дисперсии.

Наряду со средними значениями внутренней энергии и давления релятивистского газа в диссертации рассмотрены (раздел 3.2) также и флуктуации этих величин: теплоемкость при постоянном объеме и средняя динамическая сжимаемость, причем последняя величина получена нами для КРИГ впервые. Существенно, что средняя сжимаемость относится к числу так называемых нетермодинамических средних, которые в отличие от обычных средних не могут быть получены посредством дифференцирования найденной для системы статистической суммы и требуют специального вычисления.

В разделе 3.1 показано, что термическое УС всегда имеет вид уравнения Клапейрона—Менделеева и устанавливает линейную связь между давлением и температурой. Показано также, что в отличие от термического УС калорическое и барокалорическое УС устанавливают линейную связь между внутренней энергией и температурой (и, соответственно, давлением и внутренней энергией) только в предельных случаях однородного (в смысле Эйлера) вида зависящей только от импульсов функции Гамильтона. В разделе 3.3.1 все полученные термодинамические соотношения конкретизируются для случая КРИГ, а в разделе 3.3.2 приведены точные формулы, удобные для построения низкотемпературных разложений.

В главе 4 на основе общих выражений, полученных в главе 3, построены низко- и высокотемпературные разложения (разделы 4.1 и 4.2) для термических и калорических величин, а также для их равновесных тепловых флуктуаций. По аналогии с обычным, или фиксированным, показателем однородности для закона дисперсии, в диссертации введено и использовано (раздел 4.3) понятие эффективного, или зависящего от температуры, показателя однородности. Это понятие позволяет интерполировать барокалорическое уравнения состояния КРИГ в промежуточную область температур, сохраняя его привычный квазилинейный вид. Кроме того, эффективный показатель однородности оказывается весьма простым образом связан с теплоемкостью КРИГ и потому может быть определен экспериментально.

Важное значение для построения статистической механики КРИГ имеет раздел 4.4, где для КРИГ строится "двухтемпературное"разложение; оно обусловлено появлением в теории свободного квантового поля дополнительного энергетического (и, следовательно, температурного) параметра, который описывает возможное нарушение лоренц-инвариантности указанной теории. Ранее неизвестным в литературе является проведенный в разделе 4.4 анализ термодинамических следствий "деформации"обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.

Предполагаемое (см., например, [21-23]) нарушение лоренц-симметрии очень мало, поскольку оно определяется отношением энергии частицы к энергии Планка. Однако, как показано в диссертации (разделы 4.4.3), это нарушение может оказывать влияние на термодинамические свойства газа при значительно меньших (по сравнению с планковскими) энергиях и температурах. В частности, этим обстоятельством обусловлены возможные практические приложения полученных в диссертации результатов (разделы 4.4.4), прежде всего к астрофизическим явлениям например, космическим лучам сверхвысоких энергий.

Аналогично, барокалорическое уравнение с эффективным показателем однородности может найти применение в ряде космологических моделей в рамках общерелятивистских теорий гравитации. Кроме того, результаты диссертации могут быть использованы в релятивистской ядерной физике например, при анализе термодинамической устойчивости фаейер-болов, "адронных мешков"и т.п. феноменологических моделей.

Наконец, рассчитанные в диссертации поправки в ультрарелятивистской области импульсов и/или температур (с учетом также не-лоренцевских слагаемых) могут быть полезны при анализе физических свойств идеального газа легких, в том числе безмассовых, частиц например, фотонов и различных видов нейтрино.

Основные результаты работы доложены на трех Всероссийских конференциях по проблемам математики, физики и химии (физические секции) (Москва, РУДН, 2005-2007 годы), на научных семинарах на кафедре теоретической физики РУДН. Также эти результаты приняты в качестве доклада на IX Международной конференции ФССО-07. Секция "Профессиональное физическое образование". 2007, 4-8 июня. Санкт-Петербург, РПГУ им. А.И. Герцена

Основные результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка научных публикаций автора и цитируемой литературы, а также трех приложений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кейта Ибраима

выводы

В заключении диссертации сформулированы основные результаты диссертации:

1. На основе общего подхода статистической механики Гиббса и метода квазисредних Боголюбова проведено комплексное исследование динамических и термодинамических свойств классического идеального релятивистского газа и выявлены характерные особенности, отличающие его от нерелятивистского случая.

2. Получены общие выражения для основных термодинамических величин давления и внутренней энергии, а также для равновесных флук-туаций этих величин, причем впервые в литературе для флуктуаций давления.

3. Впервые получено обобщение уравнения состояния, связывающего термодинамическое давление и внутреннюю энергию, посредством введения зависящего от температуры эффективного показателя однородности.

4. Впервые рассмотрены термодинамические следствия, к которым приводит деформация обычного релятивистского закона дисперсии свободных частиц за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых.

5. Впервые получена зависимость всех термодинамических величин классического идеального релятивистского газа от произвольного числа трансляционных степеней свободы частицы. on

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими положениями:

1. Впервые в рамках общего подхода статистической механики Гиббса на основе метода квазисредних Боголюбова и обобщенной теоремы Боголюбова—Зубарева получены и исследованы динамические уравнения состояния, связывающие функцию Гамильтона классического релятивистского идеального газа с его динамическим давлением и динамической сжимаемостью.

2. Показано, что, в отличие от ранее известного случая классического нерелятивистского идеального газа, в общем случае нарушается прямая пропорциональность между давлением и сжимаемостью, с одной стороны, и зависящей от импульсов части функции Гамильтона с другой, что связано с нарушением однородности (в смысле Эйлера) функции Гамильтона в промежуточной области значений импульсов.

3. Показано, что в ультрарелятивистской области указанная однородность и пропорциональность восстанавливаются и введено понятие эффективного (зависящего от импульса) показателя однородности.

4. Получены и исследованы в общем виде точные выражения для термодинамических уравнений состояния, а также получены регулярные разложения в низко- и высокотемпературных областях для основных термодинамических величин, в том числе равновесных флуктуаций давления такого газа, которые также впервые найдены в диссертации.

5. Проведен анализ термодинамических следствий деформации обычного релятивистского закона дисперсии за счет так называемых не-лоренцевских слагаемых, обусловленных наличием максимальной, или планковской, энергии. Предсказана принципиальная возможность наблюдения соответствующих явлений при температурах значительно ниже планковской.

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять связь функции Гамильтона системы с ее термодинамическими свойствами в рамках статистической механики Гиббса. Приводится новый простой метод по отысканию выражений для флуктуаций давления для сингулярного потенциала отталкивания стенок. Большинство существующих работ аппроксимируют этот потенциал с помощью регулярных функций, и в рамках этих аппроксимаций совершаются предельные переходы. В настоящей работе не делаются аппроксимации и результаты достигаются с помощью строгого математического аппарата обобщенных функций.

Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных в области космических лучей сверхвысоких энергий, космологических сценариев, релятивистской ядерной физики, а также физики массивных нейтрино.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кейта Ибраима, 2007 год

1. J. W. Gibbs. Elementary Principles in Statistical Mechanics. N. Y.: C. Scribner's Sons, 1902. Дж. У. Гиббс. Основные принципы статистической механики. Серия "Классики науки", пер. с англ. под ред. Д. Н. Зубарева, М.: Наука, 1982. 158 е.]

2. Я. П. Терлецкий. Статистическая физика. 3-е изд., М.: Высшая школа. 1994,350 стр.

3. Ю. Г. Рудой, А. Д. Суханов. Термодинамические флуктуации в подходах Гиббса и Эйнштейна. //Успехи физических наук, т. 170, вып. 12, 2000, с.1265-1296

4. A. Munster. Fluctuations en pression //Physica 1960. 26. P.1117-1123. См. также А.Мюнстер. Теория флуктуаций, в сб. Термодинамика необратимых процессов, пер. с англ. под ред. Д.Н.Зубарева, М.: ИЛ. 1962. С. 36-145.

5. R. Н. Fowler. Statistical Mechanics. 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 1936.6J H. Wergeland. // Det. Kgl. Norske Vidensk. Forh. 1955 28. P. 106.

6. M. J. Klein. Pressure fluctuations //Physica 1960. 26. P. 1073-1079.

7. H. H. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Препринт ОИЯИ Д-781, ЛТФ ОИЯИ, Дубна, 1961.

8. См. также Н. Н. Боголюбов. Квазисредние в задачах статистической механики. Серия "Классики науки", Собрание научных трудов в 12 томах. Том VI. М.: Наука, 2006. 156 с.

9. В. С. Владимиров. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

10. Д. Н. Зубарев. Неравновесная статистическая термодинамика. М.: Наука, 1971. 312 с.

11. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Статистическая физика 4.1. Изд 3-ье. М.:Наука, 1976. 583 с.

12. И. А. Квасников. Термодинамика и статистическая физика. Том 1. Теория равновесных систем, гл. 2, § 8. М.: Изд-во МГУ. 1991. 768 с.

13. F. Juttner. Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie //Annalen d. Physik 1911. 34. S. 856-882.

14. F. Juttner. Die relativistische Quantentheorie des idealen Gases // Ann. d. Phys., 1928, V. 47, S. 542-566.

15. W. Glaser. Zur Theorie des idealen Gasen // Annalen d. Physik 1935. 94. S. 317-328.

16. X. -Г. Шёпф. От Кирхгофа до Планка., М.: Мир, 1981. 190 с.

17. П. Ландсберг. Идеальные релятивистские классический и квантовый газы. В кн. Задачи по термодинамике и статистической физике (под ред. П. Ландсберга), гл. 5, пер. под ред. И.П. Базарова, М.: Мир, 1974. С. 156-164.

18. В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматлит, 1961. 524 с.

19. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М.: ГИТТЛ, 1953. 379 с.

20. Т. Хилл. Статистическая механика, пер. с англ. под ред. С.В. Тябли-кова. С. 123. М.: ИЛ, 1960. 485 с.

21. Д. А. Киржниц, В. А. Чечин. Космические лучи сверхвысоких энергий и возможное обобщение релятивистской теории //Ядерная физика. -1972.-15, вып. 5 с. 1051-1058

22. Т. Jacobson. et al. Lorentz violation at high energy: concepts, phenomena and astrophysical constraints.//arXiv: astro-ph/0505267 v. 2, 2005.

23. E. В. Дерищев, В. В. Кочаровский, ВЛ. В. Кочаровский. Космические ускорители для частиц сверхвысоких энергий //Успехи физ.наук.-2007.-177, №3.-с.323-330

24. Дж. Л. Синдж. Релятивистский газ, пер. с англ. под ред. Д.А. Франк Каменецкого. М., Атомиздат, 1960. 140 с.