Стохастические свойства двухдиффузионной конвекции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Ильяс Наильевич

• Сибгатуллин, Ильяс Наильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Ильяс Наильевич

Введение

1.1 Обзор работ.

Использование прямых методов является основной альтернативой применению конечно-разностных схем в исследовании возникновения и развития турбулентной конвекции. При применении прямых методов естественно обнаруживаются свойства течения, которые при применении конечно-разностных методов можно выявить только с помощью достаточно громоздких конструкций, например при изучении бифуркаций и использовании отображения Пуанкаре. Г.И. Петров впервые начал широко применять метод Галеркина в задачах гидромеханики. При использовании метода Галеркина решение краевой задачи ищется в виде разложения по полной системе базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Значения коэффициентов разложения находятся из условия ортогональности невязки уравнений функциям базисной системы. В работе [1] Г.И. Петров показал, что для отыскания коэффициентов разложения можно использовать другую систему функций, являющуюся базисом в более широком функциональном пространстве (метод Бубнова-Галеркина-Петрова). В тоже время метод Галеркина фактически использовался только для линейных задач, так как в случае нелинейных задач аналитическое вычисление коэффициентов являлось достаточно трудоемкой задачей. До Г.И. Петрова метод Галеркина был обосновал только для самосопряженных операторов. В [1] приведено обоснование применения в случае несамосопряженных операторов на примере задачи Орра-Зоммерфельда. Основная же часть проблем связанных с турбулентным течением не может быть обьяснена с помощью линейной теории [2; 3; 4; 5] и необходимо рассматривать полные уравнения Навье-Стокса.

Л.Д. Ландау в 1944 году в статье "О проблеме турбулентности" предложил теорию возникновения турбулентности, основная идея которой состоит в том, что при увеличении силы, приложенной к жидкости извне, возрастает количество мод (периодических движений), пока их не станет столько, что движение жидкости извне будет казаться турбулентным. Аналогичную теорию в 1948 году предложил Хопф [6]. Такое объяснение на первый взгляд казалось вполне естественным, но ее главное ограничение состоит в том, что моды должны быть независимыми (или почти независимыми). И такая ситуация конечно не могла в полной мере удовлетворить исследователей временной эволюции динамических систем. Гораздо более вероятно, что в вязкой жидкости существует сильное взаимодействие мод. И к тому же, по теории Ландау чувствительная зависимость от начальных данных отсутствовала.

В 1963 году Эдвард Лоренц опубликовал статью, которая стала культовой в течение последующих десятилетий вплоть до настоящего времени [7]. Будучи метеорологом и исследуя конвективные атмосферные движения, Лоренц учел первые гармоники при разложении двумерных уравнений и получил нелинейную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, которую теперь принято называть системой Лоренца. Сам Лоренц называет ее системой Сольцмена (Барри Сольцмен), который рассматривал подобные системы и привлек внимание Лоренца к существованию непериодических решений уравнений [8]. Высокий математический уровень и знание работ Пуанкаре позволили ему не побояться неожиданного результата, полученного в результате численного расчета и списать результат на "барбарашку" в вычислительной машине. В результате мы получили то, что сейчас чаще всего называется аттрактором Лоренца, или странным аттрактором, имея в виду частный случай странного аттрактора, общее определение которого дал позднее Рюэль [9].

Центральным понятием в работах Лоренца является чувствительная зависимость от начальных данных [10; 11; 12; 13; 14; 15]. Адамар, Дюгем и Пуанкаре еще в конце девятнадцатого века активно развивали теорию динамических систем и говорили о чувствительной зависимости от начальных данных, непредсказуемости и случайности при рассмотрении отдельных задач [16; 17; 18]. Одна из самых известных - о бильярде, более общий вид которой был решен уже в 1970 году Синаем [19; 20]. В качестве второго примера Пуанкаре приводил метеорологию. Работа Лоренца наглядно показала чувствительную зависимость от начальных данных в ограниченном объеме фазового пространства. Тем не менее несколько лет работа Лоренца оставалась без резонанса. В 1971 году Рюэль и Такенс преодолевая скептицизм окружающих сумели опубликовать работу "О природе турбулентности"[9], в которой была развита качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений для описания турбулентных явлений. После этой работы началось лавинообразное развитие нелинейной науки и применения численных методов для исследования стохастических свойств динамических систем. Еще одним базовым понятием здесь является то, что на западе чаще всего называют бифуркацией Хопфа [21], хотя основные утверждения были доказаны еще A.A. Андроновым [22; 23; 24; 25; 26]. Работа Лоренца очень эффектно демонстрирует стохастические свойства динамической системы на наиболее простом примере. В тоже время с точки зрения механики она не имеет никакого отношения к реальности. Двух гармоник при разложении по тригонометрическому ряду совершенно не достаточно для сколь-нибудь адекватного приближения исходных уравнений Навье-Стокса. Более помпезным языком, описанное явление можно даже назвать ложным хаосом. Тем не менее фундаментальное значение этой работы состоит в том что на картинке можно увидеть турбулентность, описываемую динамической системой. Фраза "Взмах крыльев бабочки может привести к тайфуну" сейчас у всех на языке и стала нарицательной.

Изобретение в 1965 году Кули и Тьюки быстрого преобразования Фурье [27] позволило вычислять коэффициенты в методе Галеркина не проводя громоздких сверток. После этого популярность метода Бубнова-Галеркина для расчета конвективных течений сильно выросла.

Параллельно происходило развитие нелинейных систем строгими методами. Была доказана теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера, появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем Крылова-Боголюбова-Митропольского. Важнейшим событием явилось введение понятия энтропии Колмогорова-Синая как свойства нелинейных систем. Энтропию как понятие ввели основатели статистической механики прошлого века Кла-зиус, Максвелл, Больцман, Гиббс и другие в результате исследований явлений необратимости. Новый смысл энтропия приняла после ее появлении в теории информации и теории динамических систем, образовав новое направление в эргодической теории [28; 29]. Новый метрический инвариант динамических систем h был введен Колмогоровым в 1958 году [30; 31]. Синай развил это определение [32; 33]. Энтропия отражает в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием, свойством, которое ранее исследовалось в работах Е. Хопфа и Н.С. Крылова. Советские ученые занимали ведущее место в развитии нелинейной науки на протяжении многих лет. Работы в области эргодической теории В.И. Арнольда, Д.В. Аносова, Г.М. Заславского, В.В. Козлова, А.И. Нейштадта, А.Н. Колмогорова, Р.З. Сагдеева, Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова и других [34; 35; 36; 37; 38; 39; 40] широко используются и цитируются во всем мире, являясь фундаментом для дальнейших исследований [41]. Широкое практическое применение находит фрактальная механика [42; 43; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55; 56; 57]

Авторами школы А.М.Обухова выполнен большой цикл исследований посвященный изучению моделей, названных ими системами гидродинамического типа [58], в частности посвященным турбулентным течениям [59; 60; 61; 62; 63; 64; 65].

В.И. Юдовичем дано обоснование принципа линеаризации в гидродинамике, в ряде задач о бифуркациях стационарных и периодических течений получены математически строгие результаты [66; 67]. В.В. Колесов, A.JI. Урин-цев и В.И. Юдович в статье [68] рассматривали конвективную неустойчивость в горизонтальном слое теплопроводя-щей вязкой жидкости с примесью. В работах Ладыженской доказаны некоторые теоремы существования решений уравнений Навье-Стокса [69]. Работы Гершуни и Жу-ховицкого в области конвективных течений стали классич-скими, образовалась большая пермская школа [70; 4; 71]. Д.В. Любимов получил ряд результатов касающихся переходов к турбулентности в конечноразмерных моделях конвекции [72; 73; 74; 74; 75]. Ряд задач естественной конвекции был рассмотрен Е.Л.Таруниным методами математического моделирования [76]. В.И. Полежаев один из первых начал активно исследовать конечно-разностными методами турбулентные режимы в различных ситуациях в том числе в условиях малой гравитации и невесомости [77; 78; 79; 80; 81? ]. Работы A.A. Павельева показали важную роль чувствительности от начальных данных в экспериментальных исследованиях [82; 83; 84; 85; 86; 87; 88; 89; 90; 91; 92].

Начиная с 1970-х годов в институте механики МГУ получен ряд результатов в области нелинейной гидродинамической устойчивости. Герценштейн и Шмидт впервые исследовали механизм нелинейного взаимодействия возмущений конечной амплитуды при конвекции во вращающемся горизонтальном слое [93; 94; 95; 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106] и обнаружили возникновение стохастических конвективных течений (гидродинамический странный аттрактор). В.Я. Шкадов был одним из первых, кто начал решать нелинейные задачи методом Галеркина [107; 108]. Н.В. Никитин впервые численно расчитал турбулентное течение в трубе методом Галеркина и конечно-разностными методами, развил эффективный численный аппарат для прямого численного моделирования турбулентных течений на базе решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса [109; 110; 111; 112; 113].

В прикладном отношении исследование турбулентных течений - одна из важнейших задач механики [114; 70; 115; 116; 117; 118] Палымский провел расчеты конвекции Релея-Бенара для больших надкритичностей по числу Релея и сделал большую работу по сравнению численных и физических экспериментов с различными граничными условиями [119; 120].

В представленной работе исследуется конвекция с двумя диффузионными механизмам. Двухдиффузионная конвекция может встречаться при рассмотрении следующих задач [121; 122]:

1) Диффузия раствора соли в жидкости, которую можно встретить в океанологии.

2) Диффузия простейших микроорганизмов Tetrahymena pyriformis в задаче биоконвекции, где микроорганизмы обладают свойством всплывания.

3) Диффузия гелия в звездах, в которых температура падает от нескольких миллионов градусов в центре звезды (где происходит термоядерная реакция синтеза атомов водорода в атом гелия) до нескольких тысяч градусов на поверхности.

4) Наличие в растворе двух компонент, одна из которых легче, а другая тяжелее растворителя в задачах химической инженерии.

Все исследования проведены при контроле невязки решения в норме Поэтому все представленные картины странного аттрактора являются не абстрактными, а объективно отражающими свойства исходной системы уравнений Навье-Стокса.

Результаты работы, в частности, подтверждают, что из различных принципиально разных картин возникновения турбулентности похоже, что сценарий Рюэля-Такенса наиболее адекватно соответствует численным расчетам и явление странного аттрактора соответствует сущности начальной стадии развития турбулентного режима.

Для численного счета автором был создан собственный комплекс программ.

1.2 Содержание диссертации.

Диссертация посвящена изучению конвективного движению жидкости между двумя горизонтальными пластинами.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий обзор состояния исследований турбулентных конвективных течений вязкой жидкости и математических работ повлиявших на формирование направления, связанного с гидродинамической устойчивостью и турбулентностью.

Во второй главе излагается математическая постановка задачи и вывод основных уравнений движения, который в дальнейшем будут анализироваться.

В третьей главе проводится линейный анализ уравнений, полученных в первой главе, и нелинейный анализ системы, аналогичной системе Лоренца, но состоящей из пяти уравнений. Показано, что имеет место бифуркация рождения предельного цикла Пуанкаре-Андронова. Исследована устойчивость стационарных состояний нелинейной системы.

Четвертая

глава содержит описание применения метода Бубнова-Галеркина к полной системе уравнений в частных производных, полученной ранее.

Определяется и вычисляется невязка решения, полученного по методу Бубнова-Галеркина. Показывается расходимость классической цепочки моментных уравнений. Исследуется сходимость модифицированной цепочки моментных уравнений относительно когерентных структур.

Пятая

глава посвящена изучению последовательности бифуркаций, приводящих к стохастическому решению. Показывается как развивается стохастический режим с увеличением надкритичности.

Глава

Математическая постановка

2.1 Уравнения движения среды

В представленной работе исследуется нелинейное развитие двумерных конвективных возмущений в горизонтальном слое вязкой жидкости, на границах которой поддерживаются постоянные, но разные температуры. Модель жидкости содержит два диффузионных механизма.

Для определенности будем рассматривать раствор соли, заключенный между двумя бесконечными горизонтальными пластинами.

Вывод уравнений движения и диффузии основан на классических уравнениях Навье-Стокса и уравнениях диффузии двухкомпонентной среды [123; 124].

Рассмотрим классическую задачу об образовании стационарных конвективных валов в слое вязкой жидкости с постоянным градиентом температуры. Для этого, сле

-уу.'-уу.''

Рис. 2.1: Схематический вид цилиндрических конвективных валов при небольшой надкритичности. дуя Релею, используем граничные модельные условия: при г = 0 и г = Н условие непротекания и условие отсутствия касательного трения, температура при £ = 0 и г = Н поддерживается постоянной: Т = То при г = 0 и Т = Т\ при г = Н. Исходная традиционная для теории конвекции система состоит из уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности и уравнения теплопроводности. Жидкость обладает способностью расширяться при нагревании, поэтому р = ро(1 — а(Т — Т0)), где ро - плотность жидкости при температуре Т0. При отсутствии конвекции температура в слое линейно зависит от высоты ТаЬ = То Н--;-г.

Гидростатическое давление рз1 = ро — ^ рд ¿г. В задаче о конвекции используют приближение Буссинеска, которое позволяет несколько упростить задачу.

Основное уравнение механики сплошной среды имеет вид:

Выделяя из тензора напряжений шаровой тензор давления для поверхностной силы имеем: = — Угр + У^т1-7.

Тогда уравнения движения приобретают вид

Используя выражение тензора вязких напряжений с помощью феноменологического закона Навье-Стокса ту = + где егз = ~(угуэ У-7?/), I = е\ = сИуу, получаем уравнения Навье-Стокса р— = -+ рАуг + (А + цУ7хйШ + рГ

Сл/1/

Или вводя "вторую вязкость" формулой А = —+ £ окончательно получаем у1 ■ /1 \ р— = Чгр + рАуг + (-р + С ) У1(Иуу + рГ. (2.1)

В отличие, например, от течения с ударными волнами, где вторая вязкость принципиальна, при конвективном движении вторую вязкость не учитывают.

2.2 Приближение Буссинеска

Далее приведем несколько аргументов в оправдание использования приближения Буссинеска. Из уравнения теплопроводности =кАТ' предположения о том что плотность р линейно зависит от температуры р = р0(1 — а(Т — То)) и уравнения неразрывности + рагуу = О, р йр (1Т представляя — в виде —, получаем что аъ а± аъ

СИуу = —акАТ. Р

В задачах конвекции движение возникает за счет перепада температуры (Т\ — То) в слое толщиной Н и теплопроводности сплошной среды. Введем параметр е = (7\ — То)а, считая его малой величиной. Если перейти к безразмерным величинам у => ку/Н; х,у,х х1г, ук, гк; Т т = (Т - То)

Ti - Т0) выписанное уравнение примет вид aivv = — --Л г.

Отсюда, в нулевом порядке по е, получаем условие несжимаемости diyy = 0 и, таким образом, исключаем из уравнений Навье-Стокса (2.1) члены с diyy.

Зависимость массовой плотности от температуры проявится в архимедовой силе, возникающей в уравнениях Навье-Стокса.

В статическом случае из уравнения

Pdt = ~VP + ^ + ~ ^ " Т°^ получаем Vlpst = /?о(1 — ol(T — То))дг. Учитывая то, что гр г£

Tst = Т0 -1--——вводим обозначения: р = pst + р, Т =

Tst +т. Тогда уравнения движения перепишутся в виде р— = Чгр + рАуг - p0atig\ at

В безразмерных переменных перед последним членом в правой части возникнет новый параметр - число Релея (а не е), который не является малым. Далее поделим обе части уравнений движения на р и пренебрежем в них членами порядка £ : йд{ V *р

- адг$ + иАуг, где а - коэффициент теплового расширения, т - отклонение температуры от статической Т = То Н--г + т.

Указанные приближенные уравнения носят название уравнений Буссинеска. Таким образом эти уравнения могут быть получены как асимптотические при разложении по малому параметру е = а(Т—То). Подробное обсуждение приближения Буссинеска как асимптотического разложения см. в книге [125], страница 143.

2.3 Полная система уравнений тепловой конвекции

Уравнения Навье-Стокса в форме Громеки-Лэмба в приближении Буссинеска можно записать в виде: дг) /г;2\ + дгаа I — 1 + гоЬу х у =

- дгайР + г/Ау — д (- — 1 ) ё2. Р о \Ро ) дух дуь л + ^=(2-2)

Из уравнения неразрывности следует, что существует функция тока ф, такая, что дф дф х — "7Г~ г — о ? ох ох гоШ)у = фхх + фгг = А ф. (2.3)

С учетом этого берем ротор от обеих частей уравнения (2.2) чтобы исключить давление: д <9ф {дф дАф дф дАф\ дЬ \ дх дх дх дх )

Л2/ ( дТ Ж

В результате имеем следующую полную систему уравнений: д дфдАф дфдАф а + иА2 . дЬ дг дх дх дг ^ дх ^ ' оЬ дг ох ох ох а ох При потере устойчивости статистического решения возникают стационарные конвективные валы. Исключая д из линеаризованной системы, в которой левая часть уравнений (2.4 ) равна нулю, получим ад(Т0 - Г,) 8= дз

Ъук дх

Если перейти к безразмерным координатам х' = х/к, г' = ¿//г, то, после введения числа Релея Ят = — Т\)кгк1/, это уравнение запишется в виде

Решение, удовлетворяющее граничным условиям ф = Аф = 0 при г = 0,1, можно искать в виде

Соответствующие дисперсионные уравнения имеют вид

Ятк2 = (п27г2 + к2)3.

Для того, чтобы оценить наименьшее значение числа Релея, при котором происходит возникновение конвективных валов, найдем минимальное значение числа Релея как т12тт функции к2, получим к2 = . Таким образом мини

27тг4 г мальное число Релея равно Нт = —;— = 657.5.

Перепишем теперь уравнения теории конвекции в безразмерном виде, введя обозначения а = у/к (число

Прандтля), £ = Н2/Ы', ф = кф', = ад{Т0 - Т^ки число Релея), х = х'И, х = х'И, Т' = —-—-. Далее у

То — Т\ безразмерных переменных знак "штрих" опустим: д | дфдАф дфдАф | (пдт Л дЬ дг дх дх дг \ дх ) ' т + дфдт д±вт + дФ АТ = 0ш (2 5) дЬ дх дх дх дх дх Аналогично представленным выводам уравнений конвекции в плоском слое получаем уравнения для двухдиф-фузионной конвекции.

Пусть на границах плоского слоя х = 0 и х = Н поддерживаются постоянными температура и соленость, ускорение силы тяжести направлено вдоль оси г, К - расстояние между пластинами,

1^=9010 1^=8000 а=0.71 о=1 \1/11(0)=1е-006 п=161=

Т+ДТ, Б+АЭ

Рис. 2.2: Постановка задачи. На верхней и нижней границах температура и соленость постоянны и отличаются на ДТ и А 5 соответственно. Изображены линии тока для параметров, указанных сверху рисунка. На рисунке высота слоя равна 1, при этом по оси х волновое число а = Подробнее поведение линий тока и изотерм будет рассмотрено в главе 6.

Б1 - температура и соленость на верхней пластине, То, 5о - на нижней.

В дальнейшем считаем, что плотность не зависит от давления, а от температуры и концентрации зависит линейно р = ро(1 — а(Т — Т0) + /35). Для потока концентрации соли в растворе будем считать справедливым закон Фика, и следовательно для солености имеет место уравнение диффузии 7 АО

В статическом случае (при отсутствии конвекции) считается, что температура и соленость распределены по высоте линейно.

В качестве единиц длины и времени выберем Н и Н2/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла.

Обезразмерим все длины с помощью расстояния между границами Л, время с помощью Ь?/кт, где кт — коэффициент диффузии тепла, функцию тока с помощью коэффициента теплопроводности, температуру с помощью Т0 -Тх : г = Г/(Г0 -Тх), соленость 50 -з = 5/(50 - 5х). Введем обозначение: и* а) = ^^

Итак, имеем следующую систему уравнений (относительно возмущений г, ф и в):

1 А дф <9г ^ а2 , 1 т/ / а /\ дт дф » т/ , ч сЬ дф 4 / , х /

Для этой системы уравнений должны быть выполнены граничные условия

Равенство = 0 (г = 0,1) означает отсутствие касательных напряжений на границах. Здесь введены обозначения: адН?(Т0 - Тг) Кт - температурное число Релея: Кт =-;-, р » - Я

Кз - число Релея солености: Кз =-^-, а - число Прандтля: <т = и/к, к - отношение коэффициента диффузии соли к коэффициенту теплопроводности: к = кз/к.

Отметим любопытное обстоятельство. Если отношение коэффициентов к равно единице, то система уравнений может быть сведена к системе уравнений чисто температурной конвекции заменой числа Релея на разность температурного числа Релея и числа Релея солености. Поэтому при к = 1 термосолевые валы появляются при Rt — Rs = 277г4/4 . Эти конвективные валы в свою очередь теряют устойчивость при A(Rt — Rs)/277т4 = (<т+17/3)а/(а-11/3).

Далее будем предполагать к < 1, при котором выход на режим стационарной конвекции происходит в виде раскачивающихся осцилляций.

В литературе полученную систему уравнений обычно записывают в виде.

Ai/;t + a(RTrx - Rssx - А2ф) = Аф); (2.8)

П+фх-Ат = ^ф,т); (2.9) st + Фх ~ kAs = J(V>, s). (2.10) ф = Аф = г = s = 0 при ¿ = 0,1. (2.11)

В статье [121] уравнения (2.8-2.11) решались с помощью разностных схем. Там же были построены области устойчивости в пространстве Rt, Rs для линеаризованной системы.

2.4 Граничные условия Релея

Голдстейн и Грэхэм [126; 127] изучали конвекцию в слое силиконового масла, заключенном между слоем ртути (находящимся снизу) и слоем гелия (сверху). Измеренное кри

Рис. 2.3: Сравнение экспериментальной и расчетной изотерм при Яа/Касг = 2. тическое число Релея оказалось в разумном согласии с теоретическим значением для граничных условий отсутствия вязких касательных напряжений и в хорошем согласии со значением, найденным при учете конечной теплопроводности ртути и гелия.

Большая работа по исследованию адекватности граничных условий Релея отсутствия касательных вязких сил проведена в работах [119; 128; 120; 129; 130]. И.Б.Палымский сделал сравнительный анализ, основываясь на собственных расчетах и на результатах многочисленных работ других авторов - см. например [131; 132; 133; 134; 135; 136; 137; 138; 139] - как по численному моделированию, так и связанных с физическими экспериментами [140; 141; 142; 143; 144; 145; 146; 140; 147; 148; 149; 150; 151; 152; 153; 154]. Это сопоставление показывает, что в широком диапазоне надкритичности отличия в осреднен-ных характеристиках не превышает двадцати процентов, то есть при этом основные качественные характеристики фактически мало изменяются.

Далее приведем некоторые примеры сопоставления экспериментов и расчетов конвекции с жесткими и свободными границами. Везде где речь идет о расчете без указания ссылки имеется в виду расчеты граничными условиями Ре-лея. На рис. 2.3 изображены изотермы полной температуры, слева - экспериментальная интерферограмма [140] при Ra/Racr = 2.2 (вода), справа - расчет предлагаемым методом при Ra/Racr = 2 и Рг = 2. Примечательно поразительное визуальное соответствие изотерм температуры, полученных экспериментальным и расчетным путем.

Рис. 2.4 представляет профиль среднеквадратичных пульсаций температуры при умеренной надкритичности г = 1250. Здесь черные кружочки обозначают результаты экспериментов [145] (г = 1470, воздух), пустой квадратик -результаты экспериментов [146] (г = 1400, воздух), знак о - результаты экспериментов [143] (г = 1250, газообразный Не), сплошная - результаты настоящей работы (г = 1250, Рг = 10).

Рис. 2.5 представляет профиль пульсаций температуры при высокой надкритичности г = 6000. Здесь знак • обозначает результаты экспериментов [145] (г = 5900, воздух), пустые квадратики - результаты экспериментов [146] (г = 5900, воздух), знак о - результаты экспериментов [143] (г = 5900, газообразный Не), сплошная - результаты настоящей работы с [128*32] и прерывистая - результаты настоящей работы с [256*64] гармониками (г = 6000, Рг = 10).

Рис. 2.4 и 2.5 показывают согласование наших численных результатов с экспериментальными данными в воздухе и газообразном гелии. Рис. 2.5 показывает также, что увеличение числа гармоник приводит к изменению профиля среднеквадратичных пульсаций температуры только в приграничных точках.

Значение среднеквадратичных пульсаций вертикальной д,2>0.

0.0 +

Рис. 2.4: Профиль пульсаций температуры при г =

Рис. 2.5: Профиль пульсаций температуры при г = ■ ■ ■ ■ I ■ ■ I ■ .> . «

Рис. 2.6: Пульсации вертикальной скорости при у = 0.5 как функция надкритичности г

Но, / Яасг [155] [139] Настоящая работа Отклонение в %

5 3.30* - 3.47 5.

10 4.24 - 4.47 5.

20 5.33 5.32 5.48 2.

40 6.68 6.67 6.55 2.

50 7.16 7.34 7.01 3.6+

Таблица 2.1: Сравнение чисел Нуссельта при небольшой надкритич-ности скорости при у = 0.5 представлено на рис. 2.6 как функция надкритичности до г = 34000. Здесь черные кружочки - результаты настоящей работы (Рг = 10), сплошная - трехмерное численное моделирование [136] (воздух), прерывистая - результаты экспериментов [146] (воздух), знак 0 - результаты экспериментов [145] (воздух) и знак о- результат численного моделирования [133] со свободными граничными условиями.

Рис. 2.9 и 2.6 показывают, что данные нашего двумерного численного моделирования с Рг = 10 согласуются с экспериментальными данными и результатами трехмерных численных расчетов конвекции в воздухе и газообразном гелии, большой разброс результатов численных расчетов ДО V ~ 1000 отражает существующий разброс экспериментальных данных (см. например [145]). Возможно, что некоторая потеря точности настоящего численного моделирования при высоких значений надкритичности (г > 104) обусловлена ограничениями двумерного моделирования.

В таблице 2.1 сравниваются значения числа Нуссельта, полученные предлагаемым спектрально-разностным методом (Рг = 10) и данные работ [155; 139]. В работе

0.4

0.2 о 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 О.Э

Рис. 2.7: Профиль средней температуры при Ra/Racr =

155] использовался спектральный метод, а в работе [139] - конечно-разностный с разрешимостью 48*34. Значение, обозначенное * получено линейной интерполяцией по значениям при близких надкритичностях, а отклонение, обозначенное знаком + вычислено как среднее арифметическое двух отклонений.

На рис. 2.7 изображен профиль средней температуры. у обозначает поперечную координату. На рис. 2.7 черные кружочки обозначают результаты экспериментов [145] (Ra/Racr = 5900, воздух), прерывистая - результаты экспериментов [142] (г = 5500, вода), сплошная - результаты численного расчета (Ra/Racr = 6000, Рг = 10).

Значение среднеквадратичных пульсаций температуры при у = 0.5 представлено на рис. 2.9 как функция надкри-тичности до г = 34000. Здесь черные кружочки - результа

2^,0.

Рис. 2.8: Профиль пульсаций вертикальной скорости при Ла/Ласг = ты настоящей работы (Рг = 10), прерывистая - трехмерное численное моделирование [136] (воздух), штрих пунктирная - экспериментальные результаты [146] (воздух) и [143] (газообразный Не), знак х обозначает результат экспериментов [147] (только одна точка, воздух), знак о - экспериментальные результаты [145] (воздух), и пустой ромбик -результат численного моделирования [133] со свободными граничными условиями.

На рис. 2.10 представлено число Нуссельта как функция надкритичности при 200 < г < 34000. Здесь жирным кружочком обозначен результат численного счета И.Б. Па-лымского (свободные границы и Рг = 10), сплошной - экспериментальные данные [142] (вода), пустой квадратик -результат трехмерного численного расчета [136] (воздух),

12 0.

Рис. 2.9: Пульсации температуры при у = 0.5 как функция надкри-тичности Ra/Rac

2.10:

Число Нуссельта как функция надкритичности г

Рис. 2.11: Число Нуссельта при умеренной надкритичности г прерывистой - экспериментальные данные [146] (воздух), знаком х - результат двумерного численного расчета [137] (вода) и знаком о - результаты трехмерных численных расчетов [133; 134; 135] со свободными от напряжений границами на горизонтальных плоскостях.

На рис. 2.11 также представлено число Нуссельта как функция надкритичности, но при 20 < г < 1350. Здесь черными кружочками показаны результаты расчета Палым-ского (Рг = 10), квадратиками - результат трехмерного численного расчета [136], ромбиками - результаты численных расчетов [138; 137], знаком х - результат двумерного расчета [137], прерывистой линией - результат двумерного численного расчета [139] (for 5 < г < 50) со свободными граничными условиями (тонкая линия), метастабильная часть режима 1 (for 340 < г < 610) и данные эксперимента [148] (вода) (толстая линия), сплошной - данные эксперимента [142] (вода), знаком о - экспериментальные данные Silveston, 1958 (вода, данные из работы [148]) и знаком + (прерывистая) - результат двумерного численного расчета [139] со свободными граничными условиями.

Глава

Аналитический вывод критериев устойчивости стационарных решений нелинейной системы (второе приближение по методу Бубнова-Галеркина)

3.1 Температурная конвекция

Решение системы (2.5) для возмущений периодических по координате х будем искать в виде разложения по полной системе ф = Фт,п(I) &т{шхт) вт(7гаг), т,п

Т = ^ тт>п(£) 8т(тгахт) сов^пг).

Тогда граничные условия выполняются автоматически. В качестве длины волны для определенности выберем такую, для которой неустойчивость будет проявляться при минимальном значении числа Релея. Если ограничиться двумя первыми гармониками

Т = Гц соз(7пе/\/2) зт(тг^) + т02 зт(27г^), то согласно методу Бубнова-Галеркина получим фи + сгЗтг2^/2 + о-Ял/2гц/(37г) = О,

Гц + пфп/у/2 + 37Г2Тц/2 + л/27Г2^цГ02 = о, г02 - 7Г2^11гЦ/2\/2 + 4тг2г02 = 0. (3.1)

Система уравнений (3.1) после очевидных замен запишется в виде системы уравнений Лоренца

Х = а(У-Х); У = гХ -У- ¿ = +

Система уравнений (3.1) допускает стационарное решение при Ят > 27тг4/4: п = 24(^д-1), N4 = 1 - ТГГ02 = 27^4/4Д, ч/2^ц27тг

Здесь имеет смысл числа Нуссельта, определяемого через тепловой через тепловой поток, осредненный по длине волны на нижней границе г = 0. Этому стационарному решению соответствуют стационарные конвективные валы с функцией тока ф = 2\/б(27^4/4 ~~ ^ 8т(7Г2//&).

3.2 Потеря устойчивости конвективных валов

Однако с увеличением надкритичности числа Релея конвективные валы теряют устойчивость. Действительно, представим

Х = у/(г- 1)Ь(1+х), У =у/(г-1)Ь(1+у), г = 1 -г+г.

Тогда для малых возмущений х,у,г получим х = а(у — х), у = х = у — г,. ¿ = —Ьг + (г — 1)Ъ(х + у).

Соответствующее характеристическое уравнение для этой системы имеет вид

Л3 + (а + 1 + Ь)\2 + Ъ(ст + г)Л + 2(г - = 0.

При потере устойчивости пара комплексно-сопряженных корней, переползает из левой полуплоскости комплексного плоскости Л в правую полуплоскость. Для кубического уравнения Л3 + а\\2 + агЛ + аз = 0 это происходит тогда, когда коэффициенты а,- связаны соотношением а\а% = а3 (критерий Раусса-Гурвица). Таким образом условие устойчивости стационарных решений системы (2) имеет вид т(а + 3 + Ь) г<гст = ----А сг — 1 —

При г > гсг система Лоренца приобретает стохастические свойства, подробно изученные в 60-е годы. Именно в связи с этой системой был введен термин странный аттрактор.

Может возникнуть предположение, что странный аттрактор возникает только при приближенном описании гидродинамических систем с помощью конечного числа гармоник. Укажем остроумный пример, найденный Велан-дером, где система Лоренца получается точно.

Рассмотрим вертикально поставленную тороидальную трубу, заполненную вязкой жидкостью с термическим коэффициентом расширения а: р = р0(1 — а(Т — То). Радиус поперечного сечения трубы будем предполагать много меньше радиуса кольца (тора) Я. Плотность, давление, температуру будем считать постоянными по сечению трубы, а скорость жидкости распределенной по сечению по параболическому закону. Применяя интегральную теорему о моменте количества движения ко всей массе жидкости получим

ЗСо = — В?д / рътфйф — рш, (3.2) где и = угловая скорость движения жидкости (из уравнения несжимаемости следует, что она не зависит от угла ф. Уравнение теплопроводности в данном случае можно записать в виде дТ дТ д

Здесь Тгп- температура стенок трубы, которая предполагается распределенной линейно по высоте

Т1 — Тп Тп -Ь Т То — Тл тш = То + = + соз ф.

Предполагается, что приток тепла в жидкость пропорционален разности температур жидкости и трубы с коэффициентом теплообмена К. Коэффициенты V здесь пропорциональны соответствующим диссипативным коэффициентам. Будем искать решение системы (3.2, 3.3) в виде

Т — Т^ = ]Г]П апсоз(пф) + Ьп зт(п0). Тогда из системы (3.2, 3.3) получим

ЗСо = В?др^аЬ\/2 — 1усо,

1 = — а\{к + К) + 07&1, = -(к + К)Ьг - аю7(3]Ь - Г1)/2.

Эта система относительно о;, ах, 61 после очевидных замен сводится к системе Лоренца. Таким образом в вертикально поставленной трубе находящейся в температурном линейно убывающем поле, жидкость начнет вращаться с постоянной угловой скоростью при ародВ?(Т0 — /2(К + к)1У > 1. Однако это вращение становится неустойчивым для достаточно больших чисел Релея, приобретая стохастические свойства.

3.3 Особенности двухдиффузионной конвекции

Двухдиффузионная конвекция (биоконвекция, конвекция в соленой жидкости, некоторые модели конвекции в звездах) отличается от чисто температурной конвекции: интенсивность движения подсаливаемой и подогреваемой жидкости может нарастать даже когда плотность убывает с высотой, т. е. когда базовое статичное состояние устойчиво. Этот явление связано с эффектом диффузии, который оказывает стабилизирующее влияние в случае температурной конвекции, но в двухдиффузионной конвекции может выступать в роли освободителя потенциальной энергии, заключенной в одной из компонент и переводить ее в кинетическую энергию движения. Описанные эффекты имеют свое отражение в свойствах динамических систем, полученных по методу Бубнова-Галеркина.

Физический механизм, лежащий в основании одной из основных форм двухдиффузионного движения, может быть прояснен следующим рассуждением:

Рассмотрим жидкость, у которой соленость и температура монотонно убывают с высотой.

Если жидкая частица поднимается, она попадает в более холодную, менее соленую и менее плотную среду. Из-за того,что скорость молекулярной диффузии тепла (теплопроводности) больше, чем солености, температурное поле частицы выравнивается быстрее, чем ее поле солености. Тогда частица становится тяжелее окружающей среды и тонет. Но из-за конечности температурного коэффициента дуффузии, температурное поле частицы не успевает выравниваться с температурным полем среды в которую она попала и т. о. приходит в свое изначальное положение тяжелее. Вследствие чего она опускается еще глубже. Далее процесс повторяется, что ведет к нарастающим колебаниям. Последние в конце концов приводят к появлению термосолевых конвективных валов, которые, в отличие от чисто температурной конвекции, при потере устойчивости конечным образом отличаются от статического решения.

Если градиент температуры достаточно большой, чтобы быть сравнимым с градиентом солености, могут существовать нелинейные возмущения, которые ведут к стационарным движениям, т.к. большой градиент температуры способен подавить восстанавливающую тенденцию поля солености.

3.4 Линейный анализ

Для линейного анализа статического решения системы пренебрежем в ней правыми частями и будем ее решение искать в виде

Ф = Фп sin(7тха) sin 7rz), Т = Гц COs(7тха) SÍn(7T2:), S = su cos(7nm) sin(7rz).

При этом граничные условия выполняются автоматически. Для функций фп(t), Tu(t), su(t) из (2.8) получаем систему

-7г2(1 + а2)фп + ЯтгП7га - Rssn7ra + 7Г4(1 + а2)2фп = О, о

7-ц + фцтта + 7г2(1 + а2)гц = О,

5ц + фцтта + Х7Г2(1 + a2)sn = 0. (3.4)

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид det О = 0, где матрица Q равна

Л + к2а RTirak 2 —Rs^ak 2 \ к2 = 7г2(1 + а2). па \ + к2 О

7Га 0 Л 4- як2 У

Раскрывая определитель имеем:

Л3 + к4{а + х + 1)А2 + (к4(а + ая+1)~ 7Г2а2к~2^т - Rs)) + - тг2а2о-(Дтх - #<?)) = 0.

При потере устойчивости происходит переход комплексно сопряженной пары корней из левой полуплоскости в

Рис. 3.1: Линейная теория устойчивости для о = 1. Для каждой области и разделяющих границ схематично указано положение корней дисперсионного уравнения. правую. При таком переходе корни характеристического уравнения Л3 + а\\2 + + аз = 0 удовлетворяют условию а\а2 = а3 (3.1).

Для характеристического уравнения при заданных значений параметров <т, х, а число Релея определится из условия а\й2 = аз следующим образом: к2(а + х + 1)[к4(а + <тх + 1) + тг2а2АГ2(Дт - Д5))] = ахк6 + тг2а2и(Ктх - Я3)) = 0, откуда т + х . ч. 1Ч7Г4(1 + а2)

Ят = —+ (1 + к) 1 + ха 1 ^ ;

7 + 1 а'

Минимальное значение критическое число Релея при

2 1 Ж (1 + <*2)3 нимает при а = - т.к. функция---имеет минимум при а2 = -. Итак, критическое число Релея равно Ri: л сг + х .л W1 1ч 7Г4(1 + а2)

Ri = —TTRS + (1 + X 1 + KG 1 v } . a +1 cr

3.5 Нестационарные режимы конвекции

Решение нелинейной системы уравнений (2.8) можно аппроксимировать с помощью двух гармоник: ф = Фи (0 sin KZ sin —J=,

Т — Гц (¿) sin 7TZ COS —=. + T02 (¿) sin 27Г£,

S = 5ц (t) Sin 7TZ COS —-=. + Tq2 (t) sin 27TZ.

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

Подставляя эти выражения в систему (2.8) и приравнивая слева и справа члены при одинаковых гармониках получим нелинейную систему пятого порядка

Ц^п + Ятт- Пвзи^д + = 0, (3.5) . , 7Г 23 у/2 2 /

Гц + + п 2Тп = — 7г 3 о л/2 о

5ц + 'Фп-^д + 271 К81Х = —2-71" Г02 + 47Г2Т02 =

502 + 47Г2Х502 = (3.6)

Для докритических значений Ят линейная система (3.4) имеет затухающие по времени решения. Поэтому по теореме Ляпунова нелинейная система (3.5) при Ят < Лх также будет устойчива в смысле Ляпунова.

При переходе через критическое число Релея имеет место бифуркация Пуанкаре-Андронова рождения предельного цикла (как заметил В.И. Арнольд за рубежом ее неправильно называют бифуркацией Хопфа). В этой области возникают нестационарные автоколебания малой но конечной амплитуды. Аналитические и численные результаты в данном случае свидетельствуют о мягком характере потере устойчивости, когда возникают осцилляции, которые асимптотически приводят к установлению периодических решений амплитуда и частота которых полностью определяются числами Релея, Прандтля и коэффициентом я. Решения с произвольными начальными данными выходят асимптотически на этот режим (наматывание траекторий на предельный цикл).

Для описания периодических режимов конвекции обратимся к нелинейной системе (3.5). Для упрощения вида ее коэффициентов введем новое время £ 37г2/2£, и новые искомые функции фп %/2^п/3,Тц => 7ГТц,Т02 7ГТ11,5ц 7Г5П,802 7Г802. Тогда система (3.6) примет вид

Периодические решения системы (3.7) будем искать в виде фп(г) = аеш +с, Гц = Ъеш +с, зц =1и)Ь +с. г02 = ¿е2{шЬ +с. + /, 502 = ее2Ш +с. + га. (3.8)

Подставляя эти выражения в систему (3.7) и приравнивая в ней члены с нулевой, первой и второй гармониками

Фп + ГТТц - Гзвп + фп = о,

Гц + Фп + Гц = -фцТ02, ¿11 + Фп + НЭП = -^11502, получим алгебраическую систему:

1 + г—)а + гтЬ - г5с = О, а + (1 + гш)Ь + а*й + а1 = О, а + (ги + х)с + а*е 4- ат = О,

8 1 8 1 (ш + -)бI - -аЪ = О, (ш + -х)е - -ас = О, о А О ¿

1 = тттИ* + а*ъ)»ш = ттг-(ас* + а* с). (3.9)

1о 16х

Из этой алгебраической системы можно исключить функции Ь, с, б?, е, т и получить одно комплексное уравнение для ш и |а2|. Приравнивая нулю вещественную и мнимую части этого уравнения получим систему для определения квадрата амплитуды колебаний \а2\ и частоты ш, которые таким образом оказываются однозначно определенными. Итак система для определения |а2|,о; имеет вид , 1 11 угт , г5[(х2 + (|)2а>2)(х-1) + г/(х+|)] п а 88 + . х , гг[(1 +

§) У)(х - 1) - + 1)] , \\Ухг5 п + а <5 + 8«! ~

Здесь введены обозначения

Ч 1 ^

Л = (1 + ь>2)(1 + (|а,)2) + 32/2 + 22,(2 - ^о;2), (х2 + о;2)(х2 + (Цы)») + Зг/2 + 2у(2к2

На границе области устойчивости статического решения х + сг) ^ ч(х + ст)

Гт = Г1= Г57Т~-Г + (1 + -^ выписанная система имеет решение п 2 ~ *)<?

Для малых надкритичных значений гТ эта система имеет решения, пропорциональные гт — П : а2\ = а(гт - п), и2 - = -¡5{гт - г1), где а, /3 есть некоторые положительные константы, выражающиеся через 7*5, х, а.

Итак при достаточно малых надкритичных значений температурного числа Релея в солевом растворе возникают периодические по времени термосолевые валы. Проблема получения границы области устойчивости этих периодических решений остается открытой, хотя численные расчеты говорят о том, что на самой границе может иметь место апериодический режим. Однако характер этой флуктуа-ционной неустойчивости проявляющейся в данном случае сильно отличается от стохастизации, происходящей при сверхкритических значений температурного числа Релея в чисто тепловой конвекции, когда становятся неустойчивыми стационарные конвективные валы и в теории возникает явление странного аттрактора.

Систему 3.5 путем замены переменных можно привести к виду уравнений Лоренца. х + а(х-у + р) =0; (3.10) у-гтх + у + хг = 0; г + ьг-ху = 0;

Р + кР - гбх + х(э = 0;

Э + ад - хр = о.

В системе 3.10 введены обозначения

X = фц/З; У = -тггц/л/2; £ = -7гг025 р = —7г5ц/у/2]

Я = -7Г502; Гт = 4^т/27тг4; г5 = 4Я5/27тг4; Ь ее 8/3.

3.6 Стационарные термосолевые валы и их устойчивость

В некотором диапазоне значений Ят система (3.5) имеет устойчивые стационарные решения, которые соответствуют термосолевым конвективным валам.

Для их нахождения в системе (3.5) производные по времени положим равными нулю. Получим:

Фити Фпзц

Т02~Ш' 502 ^ + + ^ =

3 + ^ Зх+^х 4 Обозначим ^ = Зу, = гт, ^г = Тогда для у из

0 4 7Г 4 7Г уравнения (3.6) получим квадратное уравнение

У2 + у[{х? + 1) + (г<?х - гт)] + х2 + (г5 - хгт)х =

Если положить здесь х = гз = 0, то получим у = гт — 1, откуда следует результат, полученный нами в первом параграфе: при отсутствии солености стационарные волны появляются только при числах Релея 11т > х71"4 = 657.5. При наличии же солености уравнение (3.6) всегда имеет один положительный корень при я + гз — ягт < О или при Ят > ^ + ^7г4. Но это есть неустойчивая область по линейному приближению, где у характеристического уравнения имеется два отрицательных и один положительный корень. Рассмотрим теперь возможность, когда уравнение (3.6) имеет два положительных корня в области гт < + 1. Тогда, очевидно, должны одновременно выполнятся неравенства ^ + 1 > гт > х2 + 1 + т^х, что возможно лишь при х < 1. Для существования корней необходимо потребовать положительность детерминанта Б = (гт — г^х-Ь х2 — I)2 — 4x^(1 — х2). Итак, положительные корни существуют только в диапазоне + 1 > гт > к2 = г5х+1 - х2 + 1 + 2л/х(1 - х2)г5.

Любопытно отметить, что (Уттт(1 - +у/ЧГ^») 2 >

Я2 ее -^7г4гт. (3.11)

Таким образом, стационарные решения существуют в области устойчивости статического решения, граница которой как показано выше определено выражением (9). Осталось проверить устойчивость термосолевых конвективных валов. Для этого линеаризируем систему пятого порядка (3.7) около полученного стационарного решения. При этом получится линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка. Характеристический полином пятой степени для этой системы А5 + а1А4 + а2А3 + а3А2 + <24 А + аб имеет как показывают весьма громоздкие вычисления следующие коэффициенты:

11 / ,ч

1 = у(х+1) +<7,

8/9 \ 121 ч И / - \ а2 = + у) + -у х + -(1 + у) + —+ 1) ( гтяг

1 + у) (к + у/хГ аз = у (х2 + у + х(1 + у)) + <т|(х2 + у) +

8/1 ч гт ,8. ч И НгттФ** - у>+ х + ?//х)

4 = у (1 + ?/)(х2 + У) + <т[у (х2 + У + х(11 + У))~

Гт /88 ^ ч , 8,

-х(1 -2/) +-К+ ?/))+,

1 + 2/) 9 4 ^

3.7 Устойчивость стационарных решений нелинейной системы

Для устойчивости стационарного решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Раусса-Гурвица для определителей, составленных из коэффициентов щ, г = 1,., 5. Из этих условий нетривиальным является уелоа5 - й1а4)2 + (а3 - а1а2)(а3а4 - а2а5), куда нужно подставить выражения для коэффициентов

Для случая я = 1 выписанный полином пятой степени для Л факторизуется в произведение

11 8 16 [А3 + (у + с)А2 + -(<т + гт - г5)А + — <г(гт - г5 - 1)]

В этом случае конвективные валы будут устойчивы при 4(ЯТ - Д<?)/27тг4 = (<т + 17/3)сг/(сг - 11/3), что можно получить кубического полинома: здесь второй фактор (квадратный трехчлен) имеет всегда корни с отрицательной действительной частью.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сибгатуллин, Ильяс Наильевич

Заключение

В диссертации получены следующие результаты исследования двухдиффузионной конвекции в горизонтальном плоском слое, выносимые на защиту.

1. Получено временное и пространственное распределение абсолютной невязки для различных значений определяющих параметров и показана ее малость по отношению к главным физическим силам. Установлено монотонное уменьшение относительной невязки при увеличении числа базисных функций в стохастических режимах. Основные расчеты в стохастических режимах проводились при относительной невязке порядка Ю-3. Скорость сходимости продемонстрирована с помощью энергетической нормы и нормы дисси-пативной функции.

2. Показано, что классические моментные уравнения, определяющие напряжения Рейнольдса, расходятся. В тоже время модифицированная цепочка моментных уравнений, выписанная для разности между точным решением и когерентной структурой, может иметь тенденцию к сходимости. Например, в качестве когерентной структуры выбирается грубое решение с малым числом гармоник.

3. Исследован процесс перехода к турбулентности через последовательность бифуркаций, начиная от образования предельного цикла Пуанкаре-Андронова до формирования странного аттрактора с отображением Пуанкаре в виде кривой с одним минимумом.

4. Установлено, что странный аттрактор имеет вид листа Мебиуса. Изучена структура отображения Пуанкаре при умеренных надкритичностях. Показано что после возникновения турбулентности точки отображения Пуанкаре ложатся вдоль несамопересекающейся кривой с одним минимумом. При увеличении надкри-тичности после обратного каскада бифуркаций система проходит через периодические режимы, в частности, троякопериодический режим. Показано, что аттрактор сохраняет вид листа Мебиуса при дальнейшем увеличении надкритичности, но его структура значительно усложняется после прохождения через периодический режим. Отображение Пуанкаре сохраняет вид одномерной кривой, но с несколькими минимумами и самопересечениями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сибгатуллин, Ильяс Наильевич, 2006 год

1. Self-affine nature of the stress-strain behavior of an elastic fractal network / A. S. Balankin, O. Susarrey H, G. Urriolagoitia C., L. H. Hernández // |Physics Letters A. 2002. - Vol. 297. - Pp. 376-386.

2. Fractal radar scattering from soil / K. Oleschko, G. Korvin, B. Figueroa et al. // |Phys. Rev. E. 2003. -Vol. 67, no. 4. - Pp. 041403-+.

3. Erratum: Fractal radar scattering from soil Phys. Rev. E 67, 041403 (2003)] / K. Oleschko, G. Korvin, B. Figueroa et al. // |Phys. Rev. E.- 2003.- Vol. 68, no. 3.-Pp. 039904—h

4. Crossover from antipersistent to persistent behavior in time series possessing the generalyzed dynamic scaling law / A. S. Balankin, O. Morales Matamoros, E. Gálvez

5. Development of finite-amplitude two-dimensional and three-dimensional perturbations in jet flows / S. I. Gertsenshtein, I. I. Olaru, A. I. Rudnitskii,

6. An approach to wall modeling in large-eddy simulations / N. V. Nikitin, F. Nicoud, B. Wasistho et al. // |Physics of Fluids.- 2000.- Vol. 12.-Pp. 1629-1632.

7. Математическая постановка 11

8. Уравнения движения среды.1122 Приближение Буссинеска.13

9. Полная система уравнений тепловой конвекции .15

10. Граничные условия Релея .20

11. Аналитический вывод критериев устойчивости стационарных решений нелинейной системы (второе приближение по методу Бубнова-Галеркина) 32

12. Температурная конвекция .32

13. Потеря устойчивости конвективных валов . . 34

14. Особенности двухдиффузионной конвекции . 3634 Линейный анализ.38

15. Нестационарные режимы конвекции .40

16. Стационарные термосолевые валы и их устойчивость.45

17. Устойчивость стационарных решений нелинейной системы .4738 Заключение.48

18. Применение метода Бубнова-Галеркина. Оценка близости численного решения к истинному решению посредством вычисления невязки исходной модели. Оценка скоростисходимости решения. 50

19. Применение метода Бубнова-Галеркина . 50

20. Адекватность численных методов.56

21. Определение невязки с помощью нормы в ¿2 59

22. Сходимость и энергетические нормы.61

23. Моментные уравнения и когерентные структуры .62

24. Переход к турбулентности 68

25. Сценарий перехода к турбулентности.68

26. Поведение решения в фазовом пространстве . 72

27. Структура отображения Пуанкаре .776 Заключение 97