Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Колодий, Наталья Александровна

• Колодий, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колодий, Наталья Александровна

Введение

Глава 1. Измеримость по параметру квадратических вариаций сильных мартингалов и стохастических интегралов.

1.1. Элементы теории двупараметрических сильных мартингалов.

1.2. Измеримость по параметру взаимных квадратических вариаций сильных мартингалов.

1.3. Измеримость по параметру стохастических интегралов по сильным мартингалам.;.

Глава 2. Стохастические интегралы по сильным, мартингальным ядрам

2.1. Интегрирование по сильным мартингальным ядрам.

2.2. Неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов.

2.3. Интегрирование по полям ограниченной вариации.

Глава 3. Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости.

3.1. Существование и единственность решений с локально интегрируемыми траекториями.

3.2. Предельная теорема для уравнений Вольтерра на плоскости.

3.3. Существование и единственность решений с непрерывными траекториями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические уравнения Вольтерра на плоскости»

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на плоскости тесно связана с теорией многопараметрических мартингалов, теорией стохастических дифференциальных уравнений, управляемых однопараметрически-ми и двупараметрическими мартингалами, и теорией стохастических уравнений Вольтерра на действительной прямой.

Теория стохастических интегральных уравнений Вольтерра на активно развивается последние 30 лет. Например, в работе [5] М. Л. Клепцы-ной и А. Ю. Веретенникова получены условия существования и единственности сильного решения и условия существования слабого решения уравнения Вольтерра по винеровскому процессу с неслучайными коэффициентами. В работе Э. Парду, Ф. Проттера [47] получены условия существования и единственности решения уравнения Вольтерра с упреждающими коэффициентами. В работах А. М. Колодий [41] и [42] приведены теоремы существования и единственности сильных решений и существования слабых решений уравнений Вольтерра, содержащих стохастические интегралы по компонентам семи-мартингалов и криволинейные стохастические интегралы.

Теория многопараметрических мартингалов формируется с 70-х годов прошлого века. В работах Ж. Уолша [49], И. И. Гихмана [7], М. Доззи [29] даны определения и приведены результаты исследования двупараметрической винеровской меры, линии и множества остановки на плоскости, различных типов многопараметрических мартингалов и стохастических интегралов. В работе [9] А. А. Гущин исследовал различные типы разложений двупараметри-ческих субмартингалов, доказал теоремы о разложении сильных субмартингалов и о разложении квадрата сильного мартингала на мартингал и слабо предсказуемое поле. В работах [10] и [11] А. А. Гущин и Ю. С. Мишура доказали существование и исследовали свойства квадратической вариации двупараметрического сильного мартингала. В работе [3] В. М. Бородихина исследована двупараметрическая проблема мартингалов.

Значительное количество работ посвящено теории стохастических дифференциальных уравнений на плоскости, среди которых, наиболее значительными являются работы Ю. С. Мишуры [26] и [27], работы Ж- Ли [43], Я. Тюро [48] и Н. Ланжризади и Д. Нуаларта [44].

Диссертация посвящена исследованию стохастических интегральных уравнений Вольтерра

Ф)+ У J Ъ(г,х:£)ф,с1х), геЯ2+, (1)

О,я] [0,г] содержащих интегралы по таким случайным интегрирующим ядрам (7(2,2;); г,х е 13+) и (/¿(2,2); г,х е И+), что для любого фиксированного г е Щ. поле 7(2, •) является полем локально ограниченной вариации, а поле •) является сильным квадратично интегрируемым мартингалом.

В настоящее время развитие теории стохастических уравнений Вольтерра на плоскости представляется актуальным, что подтверждается вниманием к этой теме исследователей, развивающих стохастический анализ, и возможностью приложений теории многопараметрических мартингалов и многопараметрических стохастических интегральных уравнений к построению и исследованию математических моделей в некоторых областях естествознания. Например, в работе [45] М. Санз-Соле и К. Ровира доказали принцип больших уклонений для семейств решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости. Авторы исследуют стохастическое уравнение Вольтерра на плоскости управляемое /¿-мерным двупараметрическим винеровским полем IV:

Х{г) = Н(г) + I [/(2, ж, Х(х))Ш{(1х) + к{г, х, Х{х))(Ы\, х е Т = [О, I]2, (2) М где функция / : Т2 х н-> х ^ удовлетворяет требованию существования производных ММЬе^ о/(Ш),х,у) и ? сверХ того? эти производные и функции Я : Т ь-» ^ и /г : Т2 х ^ н->• ^ удовлетворяют условию Липшица. Отметим, что при таких условиях, стохастическое интегральное уравнение (2) может быть преобразовано в стохастическое дифференциальное уравнение для которого существование единственного решения с непрерывными траекториями легко может быть доказано применением стандартных методов исследования стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех утверждениях диссертации среди условий, налагаемых на коэффициенты а{г: х, д) и Ь(г, х, д) уравнения (1), нет предположений дифференцируемое™ или условия Липшица по первому аргументу. В тех теоремах, где доказывается существование и единственность решений с непрерывными справа траекториями или непрерывных решений уравнения (1), условия на а(г,х,д) и Ь(г,х,д) по первому аргументу ограничиваются предположениями равномерной непрерывности функции а(г,х,д) и предположением гельдеровости Ь(г,х,д). Условия на а(г,х,д) и Ь(г,х,д) по функциональному аргументу д в теоремах существования и единственности решений уравнения (1) включают условие линейной ограниченности и локальное условие Липшица. В диссертации доказаны теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости (1) при таких условиях на коэффициенты, которые потребовали применения как известных общих методов исследования стохастических дифференциальных и интегральных уравнений, так и создания и использования новых результатов о свойствах стохастических интегралов, в которых подынтегральные функции и интеграторы зависят от пределов интегрирования.

Основными целями диссертации являются: 1) доказательство измеримости по параметру квадратической вариации сильного двупараметрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупараметрическому мартингалу; 2) построение стохастических интегралов, управляемых мартин-гальными ядрами; 3) доказательство неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности стохастических интегралов и полей, управляемых мартингальными ядрами; 4) поиск условий существования, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений стохастических уравнений Вольтерра вида (1) с локально интегрируемыми траекториями; доказательство непрерывности справа траекторий решения уравнения (1) при дополнительных предположениях равномерной непрерывности функции а(г, х, д) и гельдеровости Ь(г, х, д) по первому аргументу; 5) поиск условий существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметриче-ским винеровским процессом.

Методы доказательств утверждений, представленных в данной работе, опираются на применение: общих методов стохастического анализа; аппарата теории многопараметрических мартингалов и, в частности, результатов А. А. Гущина и Ю. С. Мишуры [9], [ 10], [ 11 ] о существовании и свойствах квад-ратической вариации сильного мартингала; неулучшаемых достаточных условий И. А. Ибрагимова [12] существования непрерывных модификаций случайных процессов; общих идей построения измеримых по параметру модификаций однопараметрических семимартингалов и стохастических интегралов, о содержащихся в работах К. Долеан [28] и К. Стрикера и М. Иора [46]; общих методов доказательств существования и единственности решений однопараметрических стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегральных уравнений Вольтерра, содержащихся в работах [4], [6], [5] и [41].

Методы исследования стохастических уравнений Вольтерра на плоскости в диссертации основаны на применении неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых несколькими типами стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам. Эти неравенства получены автором и опубликованы в работе [21]. Их доказательства приведены в §2.2 главы 2.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1) измеримость по параметру квадратической вариации сильного двупара-метрического мартингала и стохастического интеграла по сильному двупара-метрическому мартингалу;

2) построение стохастических интегралов по сильным мартингальным ядрам и неравенства для моментов равномерных норм и модулей непрерывности случайных полей, определяемых стохастическими интегралами по сильным мартингальным ядрам;

3) теоремы существования и единственности решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости с локально интегрируемыми траекториями и с непрерывными справа траекториями, теорема о непрерывной зависимости от параметра решения стохастического уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями;

4) теоремы существования и единственности непрерывного решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости, управляемого стандартным двупараметрическим винеровским процессом.

Работа имеет теоретический характер. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно, за исключением формулировок нескольких утверждений, цитируемых с приведением источников. Ее результаты могут быть применены для дальнейшего развития теории стохастических интегро-дифференциальных уравнений и для построения математических моделей в некоторых областях приложений теории стохастических интегральных уравнений.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка литературы, насчитывающего 49 библиографических источников, и указателя символов. Анонсируем содержание диссертации по главам.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Колодий, Наталья Александровна

Заключение

В данной работе исследованы стохастические уравнения Вольтерра на плоскости, содержащие интегралы по случайному интегрирующему ядру локально ограниченной вариации и сильному мартингальному интегрирующему ядру. Доказаны теоремы существования и единственности решений с локально интегрируемыми траекториями, с траекториями в пространстве ЕУ и с непрерывными траекториями. Кроме того, доказана теорема о непрерывной зависимости от параметра решения уравнения Вольтерра с локально интегрируемыми траекториями.

Доказательства теорем существования и единственности решений с траекториями в пространстве и с непрерывными траекториями опираются на применение доказанных в главе 2 данной работы результатов о существовании непрерывных модификаций и модификаций с траекториями в ПУ стохастических интегралов по сильным мартингальным интегрирующим ядрам и неравенств для моментов равномерных норм и модулей непрерывности таких интегралов. Эти результаты имеют самостоятельное значение и могут быть применены для доказательства теорем о существовании слабых решений стохастических уравнений Вольтерра на плоскости, для доказательств предельных теорем и теорем о сходимости дискретных аппроксимаций для таких уравнений.

Результатам глав 2 и 3 данной работы предшествуют доказанные в главе 1 теоремы об измеримости по параметру взаимных квадратических вариаций двупараметрических сильных квадратично интегрируемых мартингалов и стохастических интегралов по таким мартингалам. Эти результаты об измеримости по параметру имеют важное значение для строгого обоснования всех тех построений, которые осуществляются в главах 2 и 3 данной работы.

Результаты данной работы могут быть применены в исследованиях по другим направлениям развития стохастического анализа, среди которых можно выделить, например, такие: построение оптимальных и е -оптимальных управлений стохастическими системами, описываемыми многопараметрическими стохастическими интегральными уравнениями; исследование устойчивости и больших уклонений для стохастических интегральных уравнений на плоскости. Практическая значимость диссертации заключается в возможности применения ее результатов для построения и исследования математических моделей в некоторых областях естествознания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колодий, Наталья Александровна, 2008 год

1. Баласанов, Ю. Г. Неулучшаемое достаточное условие непрерывности с вероятностью 1 траекторий случайного процесса/Ю. Г. Баласанов, И. Г. Журбенко// Доклады АН СССР. - 1982. - Т. 263, №2. - С. 270-274.

2. Булинский, А. В. Теория случайных процессов/ А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 400 с.

3. Бородихин, В. М. Доказательство теорем существования в двупарамет-рической проблеме мартингалов/ В. М. Бородихин// Сибирский математический журнал. 1995.- Т. 36, №2. - С. 248-265.

4. Ватанабэ, С. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы /С. Ватанабэ, Н. Икэда; под. общ. ред. А. Н. Ширяева. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1986. - 448 с.

5. Веретенников, А. Ю. О сильных решениях стохастических уравнений Ито-Вольтерра/А. Ю. Веретенников, М. Л. Клепцина// Теория вероятностей и ее применение. 1984. - №12. - С. 32—40.

6. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения/ И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1982. -612 с.

7. Гихман, И. И. Два типа стохастических интегралов по мартингальным мерам на плоскости/ И. И. Гихман, Т. Е. Пясецкая// Доклады АН УССР. Серия А. 1975. - №11. - С. 963-965.

8. Гихман, И. И. Управляемые случайные процессы/ И. И. Гихман, А. В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1977. - 250 с.

9. Гущин, А. А. К общей теории случайных полей на плоскости/ А. А. Гущин// Успехи мат. наук. 1982. - Т. 37, вып. 6. - С. 53—74.

10. Гущин, А. А. Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупарамет-рических сильных мартингалов. I/ А. А. Гущин, Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1990. - №42. - С. 27—35.

11. Гущин, А. А. Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупарамет-рических сильных мартингалов. II/ А. А. Гущин, Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1990. - №43. - С. 59—69.

12. Ибрагимов, И. А. Об условиях гладкости траекторий случайных функций/И. А. Ибрагимов // -Теория вероятностей и ее применение. 1983. -Т. 28, вып. 2. - С. 229-250.

13. Колодий, Н. А. Стохастические интегральные уравнения на плоскости/ Н. А. Колодий // Обозрение прикладной и пром. мат. 2000. - Т. 7, вып. 2.-С. 500-501.

14. Колодий, Н. А. Теоремы существования решений и предельные теоремы для двупараметрических стохастических уравнений Вольтерра/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2001. - Т. 8, вып. 2. - 775 с.

15. Колодий, Н. А. О свойствах стохастических интегралов по непрерывному двупараметрическому сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2002. - Т. 9, вып. 2. - С. 399—400.

16. Колодий, Н. А. О сходимости дискретных аппроксимаций стохастических уравнений Вольтерра на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2003. - Т. 10, вып. 3. - С. 671—672.

17. Колодий, Н. А. Интегралы по двупараметрическим сильным мартингаль-ным интегрирующим ядрам и их применения / Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2004. - Т. 11, вып. 1. - С. 120—121.

18. Колодий, Н. А. Об условиях существования непрерывных справа модификаций стохастических интегралов на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2004. - Т. 11, вып. 4. - С. 840—841.

19. Колодий, Н. А. Неравенства для стохастических интегралов по непрерывному сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Вестник ВолГУ. Сер. Мат. Физ. 2003-2004. - Вып. 8. - С. 35-47.

20. Колодий, Н. А. Некоторые свойства случайных полей, связанных со стохастическими интегралами по сильным мартингалам/ Н. А. Колодий// Зап. Науч. Сем. ПОМИ. 2004. - Вып. 320. - С. 80-96.

21. Колодий, Н. А. Уравнения Вольтерра на плоскости со стохастическими интегралами по сильным мартингалам/ Н. А. Колодий// Обозрение при-кл. и пром. матем. 2005. - Т. 10, вып. 3. - С. 659—661.

22. Колодий, Н. А. Непрерывность по параметру решения стохастического уравнения Вольтерра на плоскости/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2007. - Т. 14, вып. 4. - С. 659—660.

23. Колодий, Н. А. Измеримость по параметру двупараметрического стохастического интеграла по сильному мартингалу/ Н. А. Колодий// Обозрение прикладной и пром. мат. 2008. - Т. 15, вып. 4. - С. 639—640.

24. Липцер, Р. Ш. Теория мартингалов/ Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. М.: «Наука», 1986. -512 с.

25. Мишура, Ю. С. Стохастические дифференциальные уравнения на плоскости, содержащие сильные семимартингалы/ Ю. С. Мишура// Теория вероятностей и мат. статистика. 1991. - №45. - С. 79—88.

26. Miiuypa, Ю. С. Стохастичш штеграли та стохастичш диференщальш piB-няння, що мютять дробове броушвське поле/ Ю. С. Mimypa// Теор1я flMOBip. та матем. статист. 2006. - №75. - С. 80—94.

27. Doleans, С. Intégrales stochastiques dependant d'un paramétré/ С. Doleans// Publ. Inst, statist. Univ. Paris. 1967. - Vol. 16, - №1. - P. 23-33.

28. Dozzi, M. Twoparameter stochastic processes/ M. Dozzi// Math. Research 1991,-Vol. 61.-P. 17-43.

29. Horvath, L. Gronwall-Bellman type integral inequalities in measure spaces/ L. Horvath// J. Math. Analysis and Application. 1996. - Vol. 202, №1. -P. 183-193.

30. Kolodii, N. A. Some properties of stochastic integrals on the plane/ N. A. Kolodii// Abstracts of Communie, of Inter. Conf. on Stoch. and Global Analysis./ Voronezh, January 13—19, 1997. Voronezh, 1996. - 31 p.

31. Kolodii, N. A. On Volterra type stochastic integral with respect to a continuous strong martingale/ N. A. Kolodii// Theory of Stochastic Processes. 2000. - Vol. 6(22). №1-2. - P. 58-61.

32. Kolodii, N. A. Inequalities for moments of Volterra type stochastic integrals on the plain/ N. A. Kolodii// Abstr. of Communication of Intern. Conf. "Stochastic Analysis and its Applications." Lviv. - 2001. - P 62.

33. Kolodii, N. A. Existence theorems and limit theorems for stochastic Volterra equations on the plane/ N. A. Kolodii// Abstr. of Communication of Conf.

34. Kolmogorov and Contemporary Mathematics", Moscow, June 16—21 2003 y. Moscow. - 2003. - P. 473-474.

35. Kolodii, N. A. Some properties of random fields related to stochastic integrals with respect to strong martingales/ N. A. Kolodii// J. of Math. Sciences. 2006. - Vol. 137, №1. - P. 4531-4540.

36. Kolodii, N. A. Stochastic integrals with- respect to strong martingale integral kernels/ N. A. Kolodii// Тез. докл. международной шк.-конф. "Геометрический анализ и его прил." Волгоград. - 2004. - С. 85—87.

37. Kolodii, N. A. Volterra equations on the plane driven by strong martingale kernels/ N. A. Kolodii// Abstr. of 12 gen. meet. "Europ. women in math.", Volgograd, September 18-24, 2005 y. Volgograd. - 2005. - P. 52-53.

38. Kolodii, N. A. Volterra equations driven by strong martingale kernels/ N. A. Kolodii// Abstr. of the Intern. Conf. Modern Stochastic: Theory and Application, Kyiv, June 19-23, 2006 y. Kyiv. - 2006. - P. 165-166.

39. Kolodii, A. M. On conditions for existence of strong and weak solutions of stochastic Volterra equations/A. M. Kolodii// Theory of Stochastic Processes 1996. Vol. 2(18). №3-4. - P. 67-78.

40. Kolodii, A. M. On conditions for existence of solutions of integral equations with stohastic line integrals/ A. M. Kolodii // Probability Theory and Math. Statist. 1994.-P. 405-422.

41. Liu, J. On the existence and uniqueness of solutions to stochastic differential equations of mixed Brownian and Poissonian sheet type/ J. Liu// Stochastic processes and their applications. 2001. - Vol. 94. - P. 339—354.

42. Lanjrizaïdi, N. Backward stochastic differential equations in the plane/ N. Lanjrizaïdi, D. Nualart// Potential analysis. 2002. - Vol. 16. - P. 373386.

43. Sanz-Sole, M. Large deviations for stochastic Volterra equations in the plane/M. Sanz-Sole, C. Rovira//Potential Analysis. 2000. - Vol. 12. №4. - P. 359-383.

44. Strieker, C. Calcul stochastique d'ependant d'un paramétré/ C. Strieker, M. Yor// Ztchr. Wahrscheinlichkeits theorie verw. Gebiete. 1978. - Vol. 45. - P. 109-133.

45. Pardoux, E. Stochastic Volterra equations with anticipating coeffi-cients/E. Pardoux, P. Protter// The Annals of Probabability. 1990. - Vol. 18, №4.-P. 1635-1655.

46. Turo, J. Nonlinear stochastic functional integral equation in the plane/ J. Turo// Journal of applied mathematics and stochastic analysis. 1995. -Vol.8, №4.-P. 371-379.