Структура постриманова пространства Римана-Картана типа плоской волны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Щербань, Владимир Николаевич

• Щербань, Владимир Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Щербань, Владимир Николаевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1. Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм

1.1. Основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм

1.2. Вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм

1.3. Вывод уравнений поля квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана на языке внешних дифференциальных форм

2. Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в общем аффино-метрическом пространстве

2.1. Основные понятия теории гравитации в общем аффинно-метрическом пространстве в формализме внешних форм

2.2. Получение уравнений гравитационного поля методом неопределенных множителей Лагранжа

а

3. Структура плоских волн кручения в пространстве Римана-

Картана

3.1. Плоско-фронтовые волны

3.2. Плоские волны кручения в пространстве Римана-Картана. Теорема о структуре кручения

3.3. Теорема о плоских волнах кручения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура постриманова пространства Римана-Картана типа плоской волны»

ВВЕДЕНИЕ

С самого начала создания ОТО не прекращались попытки объяснить новые явления в астрофизике и космологии путем постоянного усложнения структуры пространства-времени. Эйнштейн сделал предположение, что четырехмерное пространство-время является искривленным пространством Римана, и на этой основе создал современную теорию гравитации, названную общей теорией относительности (ОТО). Современные модели, объясняющие явления в астрофизике и космологии, основаны именно на ОТО - фундаментальной идеи о том, что геометрическая структура пространства-времени совместна со свойствами материи, заполняющей пространство-время, в том смысле, что динамика материи влияет на метрику и связность пространственно-временного многообразия, а также зависит от геометрических свойств пространства-времени. В рамках теории гравитации Эйнштейна в пространстве Римана созданы различные астрофизические и космологические модели, достаточно успешно описывающие основные структуры наблюдаемой части Вселенной.

Одну из весомых ролей в этом сыграл тот факт, что общая теория относительности достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными [21], [24]. Но, несмотря на все вышесказанное, в ОТО существует множество нерешенных проблем [25], [26]. К ним относятся сингулярность, определение тензора энергии-импульса гравитационного поля, проблема определения начальных данных и другие. Данный факт

привел к необходимости поиска путей обобщения и модификации общей теории относительности. Одним из таких обобщений является предположение о том, что пространство-время является по свой геометрической структуре более сложной, чем риманово пространство.

Значительный интерес представляет собой изучение точных решений уравнений поля в пространствах, наделенных более сложной структурой, чем риманово пространство ОТО. Особое место здесь занимает поиск волновых решений, что обладает как теоретическим, так и возможным практическим значением [1] - [6].

В настоящее время одним из обобщений ОТО является пуанкаре-калибровочная теория гравитации [10]. Соответствие между гравитационными потенциалами и свойствами симметрии материи достигается наложением определенных ограничений на обобщенную аффинную связность. Этот подход к теории гравитации дает лучшее понимание связи между природой источников гравитационного поля и группой симметрий пространства-времени.

Группа пространства-времени в области низкой энергии, связанная с полями материи, - это группа Пуанкаре. Калибровочная теория гравитации для этой группы была рассмотрена в [34] - [38], где в [37] эта теория в математической форме была представлена Траутманом. Теория Эйнштейна-Картана естественным образом определяется в пространстве Римана-Картана [/4, т.е. в пространстве, где метрика и связность согласованы. В этой теории с кривизной содержится дополнительная структура - кручение пространства-времени. В настоящее время существует достаточно большое количество работ о теории гравитации с кручением [39]. Основным свойством данной теории является связь между кручением и его источником, спиновым моментом внешнего поля [10].

На следующем этапе развития науки многие исследователи считают, что в области высоких энергий группа Пуанкаре заменяется на более общую группу симметрий пространства-времени. На основании этого становится возможным существование связности, несогласованной с метрикой, что дает возможность исследовать пространство с новой геометрической структурой - неметричностью. Одна из наиболее общих канонических калибровочных теорий группы пространства-времени является аффинно-метрическая теория, построенная на базе аффинно-метрического пространства. С рассмотрением пространств, являющихся более сложными, чем пространство ОТО, стала актуальной проблема нахождения и исследования возможных источников гравитационного поля в различных теориях [13].

Разработка и исследование современной теории гравитации основаны на использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [10]. Выбор лагранжиана теории является вопросом, открытым на сегодняшний день. Главная причина этого заключается в том, что прямое обобщение теории Эйнштейна-Картана приводит к теории, где часть уравнений является алгебраическими, что не является удовлетворительным фактом. Естественно, кручение может играть весомую роль только в том случае, когда нелинейные лагранжианы берутся за основу теории гравитации. В построении теории гравитации в пространстве Римана-Картана используются квадратичные лагранжианы [6]. Большая часть квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картана являются суммой линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

Так, в [1] изучались гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида,

состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В [2] волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. В [3] авторы рассматривали плоские волны в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Работа [4] была посвящена исследованию волн кручения для 2-формы кручения алгебраически специального И-типа. В [5] исследована структура плоских волн бесследовой части кручения, а в работе [6] кратко приведены результаты по исследованию свойств плоских волн также следа и псевдоследа кручения.

Естественно, что появление новых теорий стимулирует огромный интерес к гравитационному эксперименту. Каждый год появляются все новые и новые работы, посвященные экспериментальному изучению различных гравитационных эффектов, различным методам их наблюдения. Существенными становятся вопросы по экспериментальному изучению кручения [14] - [17], [42]. Особое значение занимают проблемы поиска исследования волн кручения, гравитационных волн, а также волн кручения и неметричности. Пока окончательно нерешенным вопросом является и определение возможных источников таких волн.

Изучение волновых решений уравнений поля имеет достаточно давнюю историю. Естественно, здесь необходимо упомянуть о Коши. Из анализа задачи Коши для системы уравнений гравитационного и электромагнитного поля в пространстве-времени ОТО, пространстве Рима-на следует, что основные представления геометрической оптики являются общими для гравитационного и электромагнитного полей [43]. Различные типы гравитационных волн определяются различными типами

фронта волны. Данный факт дал возможность создать общековариант-ную классификацию типов гравитационных волн в зависимости от свойств волнового фронта, определяемых заданием волнового вектора. В пространстве Римана различают сферические и плоские волны [44] - [47]. Данной теме огромное внимание в своих работах уделил Кундт [44], который не только нашел ряд волновых решений уравнений поля в пространстве Римана, но и описал их свойства. Ему удалось открыть широкий класс волновых решений уравнений поля с изотропной конгруэнцией без сдвига, растяжения и вращения. Этот класс носит название кундтов-ского класса. В кундтовский класс волновых решений входит пространство плоско фронтовой гравитационной волны с параллельными лучами, так называемые рр-волиы, другими словами пространство-время, которое допускает ковариантно постоянное изотропное векторное поле [44]. Кроме описанного выше существует, в частности, и другой, так называемый, групповой подход к классификации волновых пространств [48] -[52]. Подробное описание классификации и свойств пространств в зависимости от размерности допускаемой группы симметрий дано в [53]. Особое внимание в исследовании гравитационных волн в пространстве ОТО уделялось гравитационным волнам, носящим название плоские. Аналогично с плоской электромагнитной волной в случае гравитационного излучения требуют, чтобы метрический тензор пространства-времени обладал группой движений размерности пять которая не меняет изотропную гиперповерхность в описывающую фронт волны с постоянной амплитудой [45].

Есть достаточно много работ, описывающих различные волновые решения в пространствах с кручением определенного типа [54] - [56], а также проведено исследование волн самого кручения [1], [57] - [61]. Как

уже говорилось выше, такой интерес к проблеме связан с возможным экспериментальным исследованием волн наряду с их теоретическим описанием. Здесь также используются различные методы. Например, в [1] гравитационные волны в пространстве с отличным от нуля кручением в теории с лагранжианом специального вида, состоящим из линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана, одного из шести возможных квадратов тензора кривизны и всех возможных квадратов тензора кручения. В [57] волны кручения исследовались на фоне плоского пространства в теории с квадратичным по кривизне лагранжианом. А в работе [58] для анализа волновых точных решений используется спинорный метод. Здесь были найдены волны кручения для 2-формы кручения алгебраически специального ]Ч-типа. Стоит отметить, что здесь, в отличие от работы [1], где предполагалось, что 1-форма конторсии должна быть пропорциональна 0°, что позволило свести значительную часть уравнений поля в вакууме к алгебраическим соотношениям, в работе [58] изначально накладывались более строгие ограничения на структуру кручения, а, конкретно, предполагалось, что кручение связано с главным изотропным направлением метрики, и конторсия не изменяет алгебраической структуры связности, откуда следует, что только одна компонента бесследового спинора кручения может быть отличной от нуля. Тогда уравнение гравитационного поля сводится к системе одного вещественного и одного комплексного линейных уравнений с постоянными коэффициентами для функции метрики и компонент кручения. И в отличие от уравнений гравитационного поля в [1] нелинейные слагаемые в уравнениях исчезают, что позволяет применять методы линейной теории. В работе [59] рассматриваются гравитационные волны в двумерной Пуанкаре калибровочной теории гравитации. Здесь кручение неприводимо и содержит

только векторную часть. Особый интерес вызывает случай, когда компонента кручения тесным образом связана с космологической константой Л. Тогда уравнения поля сводятся к волновому уравнению для тетрад, решением которого является метрика, представляющая аналог плоской волны в четырехмерной теории гравитации [24].

Нельзя не упомянуть, что достаточно много работ, например, [54] - [56], посвящены поиску точных решений уравнений поля в вакууме в теории с квадратичным по кручению и кривизне лагранжианом без линейной части. Здесь используется техника спиновых коэффициентов, изначальное наложение ограничений на форму тензора конторсии. Например, в [55] считается, что тензор конторсии антисимметричен, тогда кручение описывается одной комплексной и двумя чисто мнимыми компонентами. После чего показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной калибровочной теории в вакууме с полностью антисимметричным тензором конторсии, описанным в тензорах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в вакууме с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип 14, с автопараллельной главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращения и сгиба. А в [54] уже изначально предполагается, что тензор конторсии псевдосимметричен. Здесь показывается, что любое решение уравнений поля квадратичной Пуанкаре калибровочной теории в вакууме с тензором конторсии, описанным в терминах изотропного вектора, риманова часть которого является решением уравнений Эйнштейна в пустоте с космологической постоянной, имеющей алгебраический тип с автопараллелыгой главной изотропной конгруенцией без растяжения, вращений и сгиба. В пространствах данного типа кручение представляет распространяющуюся плоскую волну кручения с за-

паздывающей изотропной координатой времени. А вот в [56] основным методом исследования является метод спиновых коэффициентов. Первоначально накладываются ограничения не только на форму кручения, но и на тензор кривизны. Кручение описывается двумя комплексными компонентами и одной чисто мнимой компонентой. Также предполагается, что риманова часть тензора Риччи равна нулю, что дает возможность метрике соответствовать вакуумному решению ОТО, и обобщенный тензор Вейля имеет алгебраический тип III или N. Все эти ограничения приводят к тому, что кратная главная изотропная конгруенция является геодезической без растяжения, вращения и сдвига. Из этого делается вывод, что пространство V4 найденного типа принадлежит к кундтов-скому классу плоскофронтовых гравитационных волн. В [71] получены ограничения на константы связи квадратичного лагранжиана, которые позволяют ударным волнам [63] распространяться в пространстве с кручением. Кстати, ударные волны при этом могут распространяться только вдоль изотропных гиперповерхностей. Одно из полученных условий исключает так называемое условие «жизнеспособности» [60], что дает возможность распространения тахионной ударной волны. В [61] показано, что возникновение таких нефизических полей кручения связано с теми частями связности Леви-Чивита, которые вертикальны на гиперповерхности распространения ударных волн. Распространение тахионной ударной волны противоречит предположению о том, что полное поле кручения является динамическим, и любая его компонента измерима. Напомним, что это предположение лежит в основе Пуанкаре калибровочной теории. В [61] была предпринята попытка разрешения возникшей проблемы возникновения нефизических полей с помощью 3+1 разложения пространства-времени. Но открытой осталась проблема измерения

нединамических полей.

Итак, исследование волн кручения в большинстве работ проводится путем изначального введения ограничений на основные структуры пространства - кривизны и кручения.

Целью данной работы является исследование структуры непрерывных компонент кручения, зависящих от 4-х произвольных функций, при распространении в виде плоских волн в пространстве Римана-Картана.

Стоит отметить, что в работе изначально не вводится никаких ограничений на форму кривизны и кручения. Наоборот, структура 2-формы кручения пространства волнового типа непосредственно вытекает из условий симметрий, которым должны удовлетворять такие волны.

Построение современной пуанкаре-калибровочной теории гравитации основано на существенном использовании нелинейных по кривизне и кручению лагранжианов [7] - [13]. Использование квадратичных лагранжианов в теории гравитационного поля стимулируется также построением перенормируемой теории гравитации в пространстве Римана-Картана. Большинство квадратичных теорий гравитации в пространстве Римана-Картаиа могут быть описаны как частные случаи общего 10-параметри-ческого лагранжиана, введенного в [7], [8] в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей тензоров кривизны и кручения.

На современном этапе теория гравитации описывается на языке внешних дифференциальных форм Картана. Мы будем использовать вариационный формализм на языке внешних форм, основываясь на лемме, сформулированной и доказанной в [5], о коммутации операторов варьирования и дуализации Ходжа.

В пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитацион-

ного поля может быть осуществлено несколькими методами. Данные уравнения могут быть получены как частный случай уравнений поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля. Другой метод состоит в получении этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Наконец, третий метод состоит в явном разрешении условий метричности и построении лагранжиана гравитационного поля непосредственно в пространстве Римана-Картана. Одной из целей данной работы является обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Сформулируем кратко структуру работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм. Сделан вывод, что в данном формализме 10-параметрический квадратичный лагранжиан представляется в виде суммы линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве иПриводится исследование связи этого лагранжиана с другими квадратичными лагранжианами, имеющими место в теории гравитации. Во втором параграфе первой главы рассматривается вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм. Рассматривается доказательство леммы о коммутационном соотношении между операцией дуализации Ходжа [64] и операциями получения вариационной производной. Лемма необходима

для проведения новым методом вариационной процедуры в рамках внешних дифференциальных форм. В третьем параграфе первой главы выводятся уравнения поля квадратичной теории гравитации в пространстве Римана-Картана на языке внешних дифференциальных форм.

Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена вариационному подходу к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм в общем аффинно-метрическом пространстве. В первом параграфе рассмотрены основные понятия теории гравитации в общем аффинно-метрическом пространстве в формализме внешних форм. Второй параграф посвящен анализу различных подходов к методу получения уравнений поля в пространстве Римана-Картана.

Отметим, что в пространстве Римана-Картана получение уравнений гравитационного поля может быть осуществлено несколькими методами. Данные уравнения могут быть получены как частный случай уравнений поля в общем аффинно-метрическом пространстве при наложении условия метричности (согласованности метрики и связности) после варьирования и получения уравнений поля. Другой метод состоит в получении этих уравнений при наложении условия метричности до вариационной процедуры с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа.

Наконец, третий метод состоит в явном разрешении условий метричности и построении лагранжиана гравитационного поля непосредственно в пространстве Римана-Картана. В данном параграфе проводится обоснование эквивалентности последних двух методов варьирования и неэквивалентности этих методов первому методу.

Главные результаты диссертации изложены в третьей главе, в которой проводится исследование плоских волн кручения в пуанкаре-калибровочной

в теории гравитации. Здесь рассмотрены плоско-фронтовые волны; доказаны теорема о структуре кручения и теорема, выявляющая условия существования плоских волн кручения; сформулировано и доказано следствие о распространении неприводимых частей кручения в виде плоских волн, где кванты этих волн обладают нулевой массой покоя.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Глава 1

Вариационный подход к описанию теории гравитации с квадратичным лагранжианом на языке внешних дифференциальных форм

1.1. Основные понятия теории гравитации в пространстве Римана-Картана в формализме внешних форм

Для начала определим, что под пространством Римана-Картана [/4 будем понимать четырехмерное ориентированное дифференцируемое многообразие Л4, наделенное метрическим тензором даь (а, 6=1, 2, 3, 4) индекса 1, 4-формой объема 77, 1-формой линейной связности Гаь, согласованной с метрикой, 2-формой кривизны Иаь и 2-формой кручения.

2-форма кривизны и 2-форма кручения задаются следующим образом:

= \яаЬс(1ес лвй = <1т\ + га„ д (1.1.1)

ra = -rabceb л вс = dea + га ь л вь

(1.1.2)

Первые части уравнений (1.1.1) и (1.1.2) соответственно представляют собой второе и первое структурные уравнения Картана.

ва (а = 1, 2, 3, 4) - кобазис 1-форм пространства t/4; Л - оператор внешнего умножения.

Будем использовать локальный неголономный векторный базис еь (Ъ = О, 1, 2, 3), причем еь\ ва = 6%, J - операция внутреннего произведения (свертка) и даЬ := д (еа, еь) = const.

Под согласованностью метрики и связности будем понимать равенство нулю обобщенного внешнего дифференциала!) = сЙ-ГЛ... (¿¿-оператор внешнего дифференцирования)

Обобщенный внешний дифференциал от метрического тензора имеет вид:

(1.1.3) представляет собой связь, налагаемую на 1-форму связности которая может быть явно разрешена, если в качестве независимых переменных рассматривать 1-форму связности, удовлетворяющую условию:

В [10] поля 3-форм т)а, 2-форм г)аЪ, 1-форм 7]аЬс и 0-форм r]abcd определены в следующем виде:

Dg ab = dgab - Г сьдА - Г съдас = -2Г(аЬ) = 0

(1.1.3)

Га6 = —Г Ъа

(1.1.4)

Г)а = еа] Г] = *0а,

Vabc = ecJ 7)аЬ = *{ßa A 9b А 0С),

Vab = еЪ\ 7]а = * {ва А вЬ) (1.1.5)

Vabcd = ed\ rjabc = *(ва А 0b А 6с А 9d), 16

еаЛт)ь = 6%г1, ваАщс = -2бр1ф

0й А 1]аЬс = 3б^Чьс], в? Л Г)аШ = -4б{аГ)Ьс(1],

где * - оператор дуального сопряжения Ходжа [72] - [74]. В пространстве Римана-Картана и4 2-формы кривизны 71аь и 2-формы кручения Та могут быть разбиты на части, которые являются неприводимыми представлениями группы псевдо ортогональных преобразований четырехмерного пространства-времени. В пространстве-времени [/4 2-форма кривизны антисимметрична:

Т1аЬ = ЩаЬ), (1.1.6)

и имеет следующее разложение на неприводимые части [10]:

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

ПаЪ = ПаЪ + паЬ + паЬ + ^аЬ + ^аЪ + ^ (1.1.7)

где

(2) (3)

ПаЬ = - * (в[а Л Фь]) , ПаЬ = * (X Л ва Л вь),

(4) (5)

ПаЬ = -в[а Л Фь], п*ь = -\9{а Л е6]] (0е Л И^),

(6) 1 (1) 6 (п)

каЪ = -т^« Л вь, паЪ = ПаЬ - (1.1.8)

п=2

использованы обозначения [10]

:= еь] IV := еь\ \¥ь, Ха := * (ЯаЬ А вь) ,

X := еа\ Фа := Ха - - I е,] Л Хь) ,

Фа := Ж, - -и?еа - 1 еа] Л ИЪ) , (1.1.9)

Кручение имеет следующий вид разложения на неприводимые части:

(1) (2) (3)

Та = га + Та + Та, (1.1.10)

где Та - бесследовая часть, (2)

Та - след, (3)

Та - псевдослед. На основе [10] задаются:

И 1

(3)

Та = -вал(еь\Ть) (1.1.11)

(3) 1

Та = --*{ва Л*(ть Лвь)} (1.1.12)

О

(1) (2) (3)

Та = Та -Та-та (1.1.13)

при этом неприводимые слагаемые кручения обладают свойствами [10]:

(1) (2) Та Ава = 0, Та Ава = 0

(1) (3)

еа] Та = 0, еа\ Та = О

(1)\ /(1)\ ( (2)\ Лз)\ ( (з) \ /(2) * 7~а ) = * ( Та ] , (*Та = * Та , (*Та =*1Та

(1.1.14)

Получается, что в формализме внешних форм общий 10-параметрический квадратичный лагранжиан представляет собой сумму линейного лагранжиана теории Эйнштейна-Картана и квадратов всех неприводимых частей 2-форм кривизны и кручения в пространстве £/4:

6 (г) (0 3 ({) •

с = /о7гаьд^+^л{7гаЬд*7гаЬ + ^хгГад*га (1.1.15)

г=1 г=1

где /о = 1/(2Л) (/с = 8тгС/с4)

Ai, "Xi ~~ константы взаимодействия

(г) - индекс над формой, который перечисляет все неприводимые компоненты кривизны и кручения.

Данный лагранжиан подробно рассмотрен в работах [41], [54] - [56] и

[1].

Теперь преобразуем (1.1.15) к виду, более удобному для проведения процедуры варьирования. С этой целью рассмотрим отдельно каждое из квадратичных слагаемых (1.1.15).

Итак, для квадрата следа кручения получим следующее выражение:

Та А * Та = ~ {Та А вь) А * ('ТЪ А ва) + Х-Та А *Та (1.1.16) Для квадрата псевдо следа: (3) (3) 1

ТаА*Та = -(ТаА ва) А * (ТЬ А вь) (1.1.17)

О

Для второй неприводимой части кривизны: (2) (2) 1

КаЬ А * ПаЬ = -- (Rab А 9а) А * (R\ А 0Г) +

((Rab А ва А вь) А * (Rnt А вп А et) - 2 (R\ Ава А в9) А * А 0t А вь))

(1.1.18)

Квадрат третьей неприводимой части кривизны: (3) (3) 1

ПаЪ А * ПаЬ = (Rab А ва А вь) А * (Rtn А вп А 9t) (1.1.19)

Итак, разложим слагаемое лагранжиана (1.1.15), квадратичное по четвертой неприводимой части кривизны:

(4) (4) 1

паЬ л*паЬ = - (я\ л *яьа - (яаЬ л ¿у л * {я\ л вг)) +

(ЯаЬ А вг А вп) А * (Я111 ЛваЛ вь) + (1.1.20)

+\ {Я\ А да А О3) А * (Л*в А 0г Л Аналогично, для пятой неприводимой части:

(5) (5) 1 1

КаЬ А*11аЬ = -- {П\ А 9а А 0»)Л* (7^ Л вь А 9Ь)+- (ПаЬ А 0а)Л* (7^ Л 0Г)

(1.1.21)

Шестая неприводимая часть имеет вид: (6) (6) 1

11аЬА *ЦаЬ = -— (ЯаЬ АвпА91)А* (Яы А 9а А 9Ь) +

(.Яа ъ А 0Р) А * (Я? а А 9Ь) + (1.1.22)

+±Яа ъА*ЯЬа Подставим (1.1.16) - (1.1.22) в (1.1.15), получим:

С = А Г)Ъа + Т{Я\ А *тг6а+ +т2 (КаЬ А 9а) А * (7гс6 Л 0С) + +т3(КаЬА9с) А*71сьА9а) +

+т4 (7гаь Л 9а А 9Ь) А * (Псй А 9С А вА) + (1.1.23)

+т5 (■А 9а А 9а) А * (Пса А 9с А 9Ь) +

+тб (А 9С А 9й) А * (Кса А 9а А 9Ь) + в1Га А *Та+

+92{Та А 9а) А *{ТЬ А вь) + д3(Та А 9Ь) А *{ТЬ А 9а)

где 7*1 — те, д\— бз~ константы взаимодействия, связанные с константами взаимодействия лагранжиана (1.1.15) следующими соотношениями:

Т1 = (2А1 + ЗЛ4 4- Лб), т2 = 1(-Х1 + Л2 - Л4 + Л5), т3 = ±(А1 - Л6), т4 = ¿(2Л1 - ЗЛ2 + А3), т5 = |(-Л1 + Л2 + Л4 - Л5), 61 = + Х2), 62 = \{~Х1 + Хз), 0ъ = \{Х1-Х2)-

(1.1.24)

Из (1.1.23) через константы (1.1.15) легко получить обратные соотношения:

XI = 61+ вз, Х2 = б1~2бз, Хз = ~3б2 + 61 + 6з, (1.1.25)

А1 = — 7~1 + 2 Тб + Г3, Л2 = -Г! + 72 + г3 + 75 + 2гб,

Аз = -71 + Зт2 + т3 - 12г4 + Зт5 + 2тб, Л4 = -тх - 2тб,

Л5 = Т\ + т2 - т5 - 2гб, А6 = Т\ - 2т3 + 2г6.

Видно, что в компонентной форме лагранжиан (1.1.23) совпадает с лагранжианом Хаяши [40]: С = Х?7, где

£ = /оД + ДаЬссг (/]_ЯаЬсс1 + /г^асЬс? + /з^сйаь) +

(1.1.2 б)

+Даь (/Ль + /5Д&а) + /бД2 + (й1тя6с + а^ТсЬа) + а3ТаТс для простоты записи было использовано:

ЯаЬ = ЯСасЬ Я — ДСс» Та = Т°ас (1.1.27)

Константы лагранжианов (1.1.23) и (1.1.26) связаны соотношениями:

/х = +Т2-Т3 + 2г4 + т5 + 27б), /2 = г4, (1.1.28)

/з = -2г2 - 4т4 - г5, /4 = -г3 - т5 - 4тб, /5 = т5, /6 = т6, 01 = ^(^1 + ^2 + ^3), а2 = ~б2, а3 = ~вз-

1.2. Вариационная процедура в формализме внешних дифференциальных форм

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Щербань, Владимир Николаевич, 2013 год

Литература

[1] Adamovich W. Plane waves in gauge theories of gravitation. //Gen. Rel. Grav.-1980.-V. 12.-P. 677-691.

[2] Sipper R, Goenner H. //Gen. Relat. Grav.-1986.-V. 18.-P. 1229-1243.

[3] Jogia S., Griffiths J. B. //Gen. Rel. Grav. - 1980. - V.12 - P.597-617.

[4] Zhytnikov V. V. //J. Math. Phys.-1994.-V. 35.-P. 6001-6017.

[5] Babourova О. V., Frolov B. N., Klimova E. A. //Class. Quantum Grav.-1999.-V. 16.-P. 1149-1162.

[6] Бабурова О. В., Фролов Б. H., Щербань В. Н. //Известия вузов. Физика.-2012.-Т. 55.-№ 6.-С. 114-116.

[7] Frolov В. N. //Вестник Моск. ун-та, сер. физ., астрон.-1963.-№6.-С. 48-58.

[8] Hayashi К. //Prog. Theor. Phys.-1968.-V. 39.-Р. 494-515.

[9] Frolov В. N. //Acta Phys. Polon.-1978.-V. B9.-P. 823-829.

[10] Hehl F. W., McCrea J. D., Mielke E. W., Neeman Y. Metric affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors and breaking of dilaton invariance. //Phys. Rep.-1995.-V. 258.-P. 1-171.

[11] Фролов Б. H. Пуанкаре калибровочная теория гравитации.-М.: МПГУ, Прометей, 2003.-160 с.

[12] Frolov В. N. //Grav. Cosmol. (Гравитация и космология).-2004.-V. 6.-N. 4(24).-P. 116-120.

[13] Obukhov Yu. N. //Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys.-2006.-V. 3.-P. 95-138 (gr-qc/0601090vl).

[14] Бабурова О.В., Фролов Б.Н. Математические основы современной теории гравитации.- М.: МПГУ, Прометей, 2012.-128 с.

[15] Бабурова О. В., Косткин Р. С., Фролов Б. Н. //Известия вузов. Физика.-2011.-Т. 54.-JMH.-C. 111-112.

[16] Бабурова О. В., Липкин К. Н., Фролов Б. Н. //Известия вузов. Физика.-2012.-Т. 55.-ДО7.-С. 113-115.

[17] Babourova О. V., Frolov В. N., Lipkin К. N. //Grav. Cosm.-2012.-V. 18-No 4.-Р. 225-231.

[18] Trautman А. //In: Recent development in general relativity (Pergamon Press, Oxford-London-New York-Paris, PNN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1962)-P. 459-464.

[19] Zhang Y. Z. //Phys. Rev. D.-1983.-V. 28.-P. 1866-1871.

[20] Zhytnikov V. V. GRG. Computer algebra system for differential geometry, gravity and field theory. Ver. 3.2.-Moscow, 1997.

[21] Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны.-М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.- 162.-271 с.

[22] Will С.М. Theory and experiment in gravitation physics-Cambridge: Cambridge University Press, 1981.-214 p.

[23] Douglass D.H., Braginsky V.B. Gravitational radiation experiments. //General Relativity, an Einstein Centenary Survey/ ed. S.W. Hawking and W. Israel.-Cambridge: Cambridge University Press, 1979.

[24] Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation-San Francisco: Freeman, 1973.

[25] Trautman A. Foundations and current problems of General Relativity. //Lectures on General Relativity / ed. S. Deser, K.W. Ford.-Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1965.

[26] Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации.-М.: Изд-во МГУ, 1985.-141 с.

[27] Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинами-чекие методы и калибровочный подход к теории гравитационных взаимодействий.-М.: Энергоатомиздат, 1985.

[28] Thirring W. Gauge theories of gravitation. //Lecture Notes in Physics, V. I16.-Berlin: Springer, 1980.-P. 272-275.

[29] Hehl F.W., Sijacki D. Toward a Unified Gauge Theory of Gravitational and Strong Interactions? //Gen. Rel. Grav.-1980.-V.12-P. 83-90.

[30] Julve J., Lopez-Pinto A., Tiemblo A., Tresguerres R. Nonlinear Gauge Realization of Spacetime Symmetries Including Translations. // Gen. Rel. Grav..-1996.-V.28.-P. 759-768.

[31] Kuhfuss R., Nitsch J. Propagating Modes in gauge field theories of Gravity. //Gen. Rel. Grav.-1986.-V.18.-P. 1207-1227.

[32] Mielke E.W. Geometrodynamics of Gauge Fields.-Berlin: Alademie-Verlag, 1987.

[33] Bosombrio F.G. A comparative review of certain gauge theories of the gravitational field. //Gen.Rev.Grav.-1980.-V.12.-P. 109-136.

[34] Kibble T.W.B. Lorentz invariance and the gravitational field. //J. Math. Phys.-1961.-V.2.-P. 221-221.

[35] Utiama R. Invariant theoretical interpretation of interaction. //Phys. Rev.-1956.-V.101.-P. 1597-1607.

101

[36] Sciama D.W. Recent Developments in General Relativity-Oxford: Pergamon, 1962.-415 p.

[37] Trautman A. On the Einstein-Cartan Equations. I. //Bull. Acad. Polon. Sci., Se r. Sci. Math. Astr. Phys.-1972.-Vol. XX.-N 2.-P. 185-190.

[38] Trautman A. On the Einstein-Cartan Equations. II. //Bull. Acad. Polon. Sci., Se r. Sci. Math. Astr. Phys.-1972.-Vol. XX.-N 6.-P. 503506.

[39] Khodunov A.V., Zhytnikov V.V. Gravitational equations in space-time with torsion. //J. Math. Phys.-1992.-V.33.-P. 509-3520.

[40] Hayashi K., Shirafyji T. Gravity from Poincare Gauge Theory of the Fundamental Particles. I. //Prog. Theor. Phys.-1980-V.64.-P.866-882; II, ibid, P. 883-896; III, ibid, P. 1435-1452; IV, ibid, P. 2222-2241; V, ibid.-1981.-V.65.-P. 525-532.

[41] Garecki J. The Maxwellian tensor and the superenergy tensor in a quadratic gravitational theory. //Atca Phys. Polon. B.-1982.-V.13.-P. 397-403.

[42] Пронин П.И. Как измерить кручение? //Сб. Экспериментальные тесты теории гравитации/ ред. В.Б. Брагинский и В.Д. Денисов.-М.: Изд-во МГУ.-1988.-С. 146-152.

[43] Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна.-М.: Наука, 1972.-200 с.

[44] Ehlers J., Kundt W. Exect solutions of the gravitational field equations. //Gravitation / ed L. Witten, John Wiley.-New York.-1962.-P. 49-101.

[45] Bondi H., Pirani F.A.E., Robinson I. Gravitational waves in general relativity III. Exact plane waves. //Proc. Roy. Soc. A.-1959.-V.251.-P. 519-533.

[46] Bondi H., Van der Burg M.G.J., Metzner A.W.K. Gravitational waves in general relativity VII. Waves from Axi-symmetric Isolated Systems. //Proc. Roy. Soc. A.-1962.-V.269.-P. 21-52.

[47] Robinson I., Trautman A. Some spherical gravitation waves in general relativity. //Proc. Roy. Soc. A.-1962.-V.265.

[48] Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Групповые, геометрические и топологические методы в теории поля.-М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

[49] Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований.- М.: Изд-во иностранной литературы, 1947.-359 с.

[50] Trautman A. On Gauge transformations and symmetries. //Bull. Acad. Polon. Sci., Se r. Sci. Math. Astr. Phys.-1979.-Vol. XXVII.-N1.-P. 713.

[51] Bargman V., Wigner E.P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations. //Proc. Nat. Acad. Sci. US.-1948.-V.34.-P. 211-223.

[52] Wald R.M. General Relativity.-Chicago and London.: The University Chicago Press, 1984.-491 p.

[53] Kramer D., Stephani H., MacCallurn M., Herlt E. Exact Solutions of the Einstein's Field Equations / ed. E. Schmutzer.-Berlin.: Deutcher Verlag der Wissenschaften, 1980.

[54] Singh P. On null tratorial torsion in vacuum quadratic Poincare gauge field theory. //Class. Quant. Grav.-1990.-V.7.-P. 2125-2130.

[55] Singh P. On axial vector torsion in vacuum quadratic Poincare gauge field theory. //Phys. Lett. A.-1990.-V.145.-P. 7-10.

[56] Singh P., Griffiths G. A new class of exact solutions of the vacuum quadratic Poincare gauge field theory. //Gen. Rel. Grav.-1990.-V.22-P. 947-956.

[57] Ming-Quey Chen, De-Ching Chern, Rue-Ron Hsu and Wai Bong Yeung. Plane-fronted torsion waves in a gravitational gauge theory with quadratic Lagrangian. //Phys. Rev. D-1983-V.28.-P. 2094-2095.

[58] Zhytnikov V.V. Wavelike exact solutions of R + R2 + Q2 gravity. //J. Math. Phys.-1994.-V.35.-P. 6001-6017.

[59] Mielke E.W., Growald F., Obukhov Y.N., Tresquerres R., Hehl F.W. Towards complete intergrability of two-dimensional Poicare gauge gravity. //Phys. Rev. D.-1993.-V.48.-P. 3648-3662.

[60] Hecht R.D., Lemke J., Wallner R.P. Can Poincare gauge theory be saved? //Phys. Rev. D-1991-V.44-P. 2442-2451.

[61] Hecht R.D., Lemke J., Wallner R.P. Tachyonic torsion shock waves in Poincare gauge theory. //Phys. Lett. A-1990.-V.151-P. 12-14.

[62] Trautman A. Differential Geometry. //Symposia Mathematica-London.: Academic Press, 1973.-V.12.-p. 139.

[63] Taub A.H. Space-time with distribution valued curvature tensor. //J. Math. Phys-1980.-V.21.-P. 1423-1431.

[64] Бабуроава О.В., Климова Е.А., Фролов Б.Н. Плоские волны кручения в теории гравитации с квадратичными лагранжианами. //Научные труды МПГУ. Сер. Ест. науки.-М.: Прометей, 1997.-С. 142146.

[65] Климова Е.А. К вопросу о существовании плоских волн кручения в пространстве Римана-Картана. //Научные труды МПГУ. Сер. Ест. науки-М.: Прометей, 1998.-С. 167-170.

[66] McCrea J.D. Irreducible decomposition of non-metricity, torsion, curvature and Bianchi identities as Euler-Lagrange equations. //Class. Quant. Grav-1992-V.9.-P. 553-567.

[67] Baekler P., Hehl F.W., Mielke E.W. Vacuum solutions with double duality properties of a quadratic Poincare gauge field theory. //Proceeding of the second Marcel Grossman Meeting on General Relativity. Part А/ Ed. R.Riffini-1982.-P. 413-453.

[68] Hehl F.W., Lemke J., Mielke E.W. Two lectures on fermions and gravity. // in: Geometry and Theoretical Physics. Proc. of the Bad Honnef School 12-16 Feb. 1990/ ads. J. Debrus and A.C. Hirshfeld.-Heidelberg: Springer, 1991.-P. 56-140.

[69] Петров А.З. Пространства Эйнштейна.-М.: Физматизд, 1961.

[70] Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации.-М.: Энергоиздат, 1982.-256 с.

[71] Lemke J. Shock waves in the Poincare gauge theory of gravitation. //Phys. Lett. A.-1990.-V. 143.-P. 13-16.

[72] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения.-М.: URSS, 2012.-759 с.

[73] Шутц Б. Геометрические методы математической физики. Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.-304 с.

[74] Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. Пер. с англ.-Бибфизмат, 1987.-302 с.

[75] Hehl F.W., Kerlick G.D. Metric-affine variational principles in General Relativity. I. Riemannian space-time. // Gen. Relat. Gravit.-1978.-V.9.-N8.-P. 691-710.

[76] Hehl F.W., Lord E.A., Smalley L.L. Metric-affine variational principles in General Relativity. II. Relaxation of Riemannian constraint. // Gen. Relat. Gravit.-1981.-V.13.-Nll.-P. 1037-1056.

[77] Бабурова О.В. Вариационная теория идеальной жидкости с внутренними степенями свободы в обобщенных пространствах современной теории гравитации. Дисс. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук.-М.: ВНИЦПВ, 1989.-149 с.

[78] Baburova O.V., Frolov B.N. Variational theory of perfect hypermomentum fluid. // LANL e-archive qr-qc/9612055.-1996.

[79] Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория поля.-М.: Наука, 1973.-510 с.