Структурные и магнитные свойства полидисперсных феррожидкостей: теория и компьютерное моделирование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Соловьева Анна Юрьевна

• Соловьева Анна Юрьевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Соловьева Анна Юрьевна

3.1 Расчет намагниченности

3.2 Расчет начальной магнитной восприимчивости

3.2.1 Использование предела намагниченности в малых полях

3.2.2 Использование формулы Вертхейма

3.3 Определение эффективного набора слагаемых

3.4 Использование обратного кумулянтного преобразования свободной энергии Гельмгольца

3.5 Основные результаты главы

4 Магнитогранулометрический анализ реальных образцов феррожидкостей

4.1 Исследование дисперсного состава образцов феррожидкостей

4.2 Анализ экспериментальных кривых намагничивания

4.3 Анализ экспериментальных кривых начальной магнитной восприимчивости

4.4 Основные результаты главы

5 Компьютерное моделирование полидисперсных феррожидкостей

5.1 Постановка компьютерного эксперимента

5.2 Компьютерное моделирование структурных свойств

5.2.1 Алгоритмы численного расчета структурных свойств

5.2.2 Сравнение теоретических и численных результатов

5.3 Компьютерное моделирование магнитных свойств

5.3.1 Алгоритмы численного расчета магнитных свойств

5.3.2 Сравнение теоретических и численных результатов

5.3.3 Оценка погрешности вычислений магнитных свойств

5.4 Основные результаты главы

6 Разработанные программные комплексы

6.1 Общее описание программных комплексов

6.2 Программный комплекс для моделирования структурных свойств бидисперсной феррожидкости

6.3 Программный комплекс для моделирования магнитных свойств полидисперсной феррожидкости

6.4 Алгоритм генерации начальной расстановки частиц в полидисперсных концентрированных системах

6.5 Основные результаты главы

Заключение

Литература

Приложение А. Вычисление парной корреляционной функции

Приложение Б. Вычисление радиальной функции распределения

Приложение В. Вычисление потенциала средней силы

Приложение Г. Вычисление начальной магнитной восприимчивости через формулу Вертхейма

Приложение Д. Вычисление второго и третьего вириальных коэффициентов в разложении свободной энергии Гельмгольца в нулевом магнитном поле

Приложение Е. Точные значения численного расчета начальной магнитной восприимчивости

Приложение Ж. Свидетельство о регистрации программы ЭВМ №2014610517

Приложение З. Свидетельство о регистрации программы ЭВМ №2017616222

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные и магнитные свойства полидисперсных феррожидкостей: теория и компьютерное моделирование»

Введение

Актуальность темы исследований и степень ее разработанности.

Феррожидкости (магнитные жидкости, ферроколлоиды) - это искусственно синтезируемые стабильные коллоидные системы ферро- или ферримагнитных на-ночастиц, взвешенных в жидкости-носителе. Форма магнитных дисперсных частиц близка к сферической, характерный диаметр магнитного ядра составляет около 10 нм. Феррожидкости представляют собой уникальные системы, сочетающие в себе свойства магнитного материала и жидкости с возможностью управления реологическими, теплофизическими и оптическими характеристиками под воздействием магнитного поля. Сочетание этих свойств, не встречающееся в известных природных материалах, способствует активному применению феррожидкостей в приборо- и машиностроении: магнитоуправляемые узлы конструкций, вакуумные уплотнители, жидкие подшипники, амортизаторы, демпферы, чернила для струйной печати и многое другое. С использованием магнитных жидкостей разрабатываются новые методы медицинской диагностики и лечения: магнитная очистка биотканей от загрязнения и токсинов, терапия раковых заболеваний при помощи создаваемой магнитным полем локальной гипертермии, магнитотранспорт лекарств в пораженную область организма. Магнитные жидкости и среды на их основе производятся и исследуются во многих странах, лидирующие позиции занимают Россия, Германия, США, Япония, Франция, Великобритания, Бразилия, Индия.

В природе отсутствуют жидкие материалы, подобные феррожидкостям, способные ощутимо взаимодействовать с внешним магнитным полем. Создание такой системы, сочетающей текучесть и высокую намагниченность, являлось сложной научной задачей, которая привлекала ученых достаточно давно. Впервые устойчивые магнитные жидкости были синтезированы и систематически изучены научной группой Р. Розенцвейга в середине XX века. К настояще-

му времени в теоретическом изучении разбавленных низкоконцентрированных феррожидкостей достигнуты значительные результаты. Однако наиболее сильно реагируют на приложенное внешнее магнитное поле концентрированные феррожидкости, но для их промышленного применения необходимо создание надежных теоретических основ, которые в данной области развиты достаточно слабо. Для того, чтобы корректно описывать магнитные жидкости, необходимо учитывать межчастичные взаимодействия феррочастиц, влияние внешнего магнитного поля и полидисперсность системы. Межчастичные магнитные диполь-дипольные взаимодействия особенно сильно проявляются в концентрированных феррожидкостях и до сих пор остаются слабо изученными. Приложенное магнитное поле делает феррожидкость анизотропной средой, в которой ориентация магнитного момента каждой наночастицы определяется как внешним магнитным полем, так и магнитными полями, создаваемыми другими магнитными диполями. Полидисперсность - это неотъемлемая характеристика реальных коллоидных систем, она способна влиять на термодинамические, маг-нитостатические, оптические, структурные, гидродинамические свойства. Производство феррожидкостей с очень узким распределением частиц по размерам -достаточно сложный процесс и, к тому же, невозможный в больших объемах. Современные теории, учитывающие межчастичные диполь-дипольные взаимодействия в магнитных жидкостях, как правило, опираются на монодисперсные или бидисперсные модели. Увеличение количества фракций или использование непрерывных распределений частиц по размерам создают большую сложность в вычислениях, однако это является необходимым шагом для корректного описания реальных полидисперсных ферроколлоидов, чему и посвящена данная диссертационная работа.

Преимущество математического моделирования заключается в определении аналитических зависимостей между исследуемыми свойствами и режимными параметрами системы (размер, форма феррочастиц, температура, концентрация феррочастиц, и т. п.). Статистико-термодинамическое описание свойств ди-польных систем крайне затруднено, поскольку каждая частица обладает пятью степенями свободы, а межчастичное взаимодействие является нецентральным. В диссертационном исследовании математическое моделирование феррожидкостей основывается на групповом разложении парной функции распределения в

ряды, которые медленно сходятся и являются знакопеременными. Это приводит к тому, что учет большего количества слагаемых ряда не всегда приводит к улучшению результата, а сложность вычисления коэффициентов следующих порядков растет экспоненциально. Поэтому всякий раз полученные аналитические аппроксимации нуждаются в независимой проверке. Такой независимой оценкой является компьютерный вычислительный эксперимент, где заложена та же идеализированная система, что и в теоретических расчетах. Численная обработка модельных образцов феррожидкости позволяет значительно углубить представления о природе диполь-дипольных и стерических межчастичных взаимодействий в сильноконцентрированных системах. Сочетание техник математического и компьютерного моделирования открывает огромные возможности для исследований: теоретические аппроксимации способны прогнозировать поведение изучаемых систем, а компьютерный эксперимент позволяет тестировать теоретические результаты и определять области их применимости. Математическое и компьютерное моделирование - два мощных инструмента в проектировании новых материалов с заданными свойствами в сравнении с экспериментами, где поиск нужных свойств происходит методом проб и ошибок.

Цель работы заключается в математическом и компьютерном моделировании равновесных магнитных и структурных свойств полидисперсных феррожидкостей во внешнем однородном магнитном поле для системы взаимодействующих дипольных феррочастиц с произвольным распределением диаметров магнитных ядер.

Для достижения цели были решены следующие задачи:

1. Разработать теоретическую модель полидисперсной феррожидкости, позволяющую прогнозировать свойства реальных коллоидных систем во внешнем магнитном поле произвольной напряженности.

2. Построить новые аналитические зависимости намагниченности, начальной магнитной восприимчивости, парной функции распределения и структурного фактора рассеяния, учитывающие влияние гранулометрического состава.

3. Определить эффективные алгоритмы численного расчета магнитных характеристик и описания микроструктуры модельной системы.

4. Разработать комплексы проблемно-ориентированных программ для проведения компьютерного моделирования магнитостатических и структурных свойств полидисперсных феррожидкостей.

5. Провести сравнение теоретических аппроксимаций с данными компьютерного моделирования, выявить области применимости новых аналитических выражений.

6. Проанализировать зависимость магнитных и структурных свойств феррожидкости от гранулометрического состава системы.

7. Протестировать полученные теоретические выражения на данных физических экспериментов, провести магнитогранулометрический анализ реальных образцов феррожидкостей.

В качестве методов решения поставленных задач были использованы методы статистической физики и методы термодинамической теории возмущений, методы компьютерного моделирования с применением вероятностного подхода Монте-Карло и суммирования Эвальда, метод магнитогранулометрического анализа экспериментальных образцов феррожидкостей.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

1. Разработана теоретическая модель, позволяющая учитывать межчастичные диполь-дипольные взаимодействия, произвольное распределение размеров частиц, влияние внешнего магнитного поля при описании магнито-статических и структурных свойств феррожидкости.

2. На базе разработанной теоретической модели получены аналитические выражения начальной магнитной восприимчивости, намагниченности, парной функции распределения и структурного фактора рассеяния.

3. Показано, что для корректного описания начальной магнитной восприимчивости и намагниченности полидисперсной феррожидкости требуется учитывать слагаемые высоких порядков по параметру интенсивности диполь-дипольного взаимодействия.

4. Обнаружено, что экстремально высокие магнитные характеристики реальных полидисперсных феррожидкостей при низких температурах могут

быть вызваны, в основном, интенсивными межчастичными корреляциями между крупными частицами, диаметр которых превосходит средний диаметр системы более чем в два раза.

5. Теоретически продемонстрирована анизотропия парной функции распределения и структурного фактора рассеяния полидисперсного феррокол-лоида во внешнем магнитном поле в отсутствие агрегатов.

6. Разработаны комплексы программ, позволяющие численно моделировать магнитостатические и структурные свойства полидисперсной системы ди-польных твердых сфер во внешнем магнитном поле.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построение математической модели полидисперсных феррожидкостей, учитывающей межчастичные диполь-дипольные взаимодействия и влияние гранулометрического состава при описании магнитостатических характеристик и микроструктуры системы.

2. Результаты теоретического расчета кривой намагничивания, начальной восприимчивости, парной функции распределения и структурного фактора рассеяния для феррожидкостей с широким распределением частиц по размерам.

3. Объяснение анизотропии парной функции распределения и структурного фактора во внешнем магнитном поле для полидисперсных ферроколлои-дов, не содержащих цепочечные агрегаты.

4. Обоснование экстремально высоких магнитных характеристик реальных полидисперсных феррожидкостей при низких температурах.

5. Разработанные комплексы программ для моделирования магнитных и структурных свойств полидисперсных систем дипольных твердых сфер.

6. Результаты сравнения аналитических выражений начальной восприимчивости, намагниченности, парной функции распределения и структурного фактора с данными компьютерного моделирования и физических экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в полученных новых аналитических выражениях для структурных и магнитостатических характеристик полидисперсных феррожидкостей, позволяющих прогнозировать свойства системы с различным гранулометрическим составом во внешнем магнитном поле произвольной напряженности. Практическая значимость состоит в возможности применения построенной теории для проектирования новых мягких магнитных материалов с заданными свойствами. Практическую ценность также представляют разработанные комплексы программ, позволяющие численно описывать микроструктуру и макросвойства полидисперсных феррожидкостей.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается использованием апробированных статистико-термодинамических методов исследования, математической строгостью получения аналитических выражений, согласованностью теоретических представлений с данными компьютерных и физических экспериментов, сопоставлением полученных результатов работы с известными данными других авторов.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных международных и всероссийских научных форумах: 14 Международной конференции про магнитным жидкостям (2016); Всероссийской конференции по магнитной гидродинамике (2012, 2015); Международной Плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям (2012, 2014); Всероссийской научной конференции "Физико-химические и прикладные проблемы магнитных нанодисперсных наносистем"(2013); 18, 19 и 21 Зимних школах по механике сплошных сред (2013, 2015, 2019); Московских международных симпозиумах по магнетизму (2014, 2017); Международной Балтийской конференции по магнетизму (2015). По теме диссертации опубликовано более 30 работ, в числе которых 4 статьи в сборниках научных трудов, 2 комплекса программ и 7 статей в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК и входящих в базы данных Web of Science и Scopus.

Настоящая работа выполнялась в соответствии с одним из основных направлений научных исследований кафедры теоретической и математической физики Института естественных наук и математики Уральского Федерального Университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина при поддерж-

ке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-31-00089 мол_а "Математическое моделирование магнитных свойств полидисперсных феррожидкостей", 2016 - 2017 гг.).

Диссертация состоит из введения, шести глав основного содержания, заключения и списка цитируемой литературы.

Первая глава состоит из шести подразделов и носит обзорный характер. В ней рассмотрены особенности микроструктуры магнитных жидкостей, способы их стабилизации и технологии производства. Детально обсуждаются теоретические работы, направленные на изучение структурных и магнитостатических свойств феррожидкостей. Также приведены примеры экспериментальных исследований коллоидных систем и описаны методики компьютерного моделирования.

Во второй главе с помощью методов статистической физики получены новые аналитические выражения для парной функции распределения, радиальной функции распределения и структурного фактора рассеяния полидисперсной системы дипольных твердых сфер. При этом были учтены сложные межчастичные взаимодействия между частицами, влияние внешнего магнитного поля произвольной напряженности на магнитные моменты феррочастиц, а также влияние гранулометрического состава модельной системы. Кроме того, удалось провести сравнение теоретического структурного фактора с экспериментальными измерениями малоуглового нейтронного рассеяния для реального образца полидисперсной феррожидкости, получено хорошее согласие результатов.

Третья глава посвящена исследованию магнитных свойств полидисперсных феррожидкостей во внешнем однородном магнитном поле. Теоретический подход был основан на модифицированной теории среднего поля второго порядка, которая широко известна в научной литературе. Аналитические выражения для намагниченности и начальной магнитной восприимчивости были дополнены важными слагаемыми более высокого порядка по дипольной энергии взаимодействия, содержащими сложную зависимость от гранулометрического состава полидисперсной системы дипольных твердых сфер.

В четвертой главе проведен магнитогранулометрический анализ двух групп реальных образцов феррожидкости. Исследование первой группы образцов позволило сравнить эффективность нескольких теорий между собой, а также про-

демонстрировать отличное согласие экспериментальных кривых намагничивания с аналитическим выражением, разработанным в диссертационной работе. Вторая группа образцов отличалась аномально высокими значениями начальной магнитной восприимчивости, которые удалось описать в рамках новой полидисперсной теории, построенной в настоящем исследовании.

В пятой главе приводятся алгоритмы численного расчета структурных и магнитных свойств полидисперсных феррожидкостей во внешнем однородном магнитном поле. Проиллюстрированы внутренние флуктуации намагниченности в процессе компьютерного моделирования, нестабильное поведение начальной магнитной восприимчивости при низких температурах, парциальные радиальные функции распределения в разные моменты компьютерного эксперимента. Описаны методы, используемые для оценки погрешности численных результатов. В рамках бидисперсной модели дипольных твердых сфер исследовано влияние дисперсного состава системы на радиальную функцию распределения и структурный фактор рассеяния. Продемонстрирована анизотропия микроструктуры бидисперсного ферроколлоида с ростом напряженности внешнего магнитного поля. Проведен сравнительный анализ магнитостатических свойств монодисперсных и полидисперсных систем. Новые аналитические выражения намагниченности и начальной магнитной восприимчивости показали хорошее согласие с численными расчетами в широкой области параметров.

Шестая глава содержит детальное описание программных комплексов, разработанных для численного моделирования структурных и магнитных свойств полидисперсных систем во внешнем однородном магнитном поле. Показан общий алгоритм запуска симуляции, работы с программными файлами и анализа статистических данных. Описан способ построения начальной конфигурации модельной системы при высоких концентрациях феррочастиц разного размера.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы, а также обсуждаются возможные пути дальнейших исследований по тематике диссертации.

Общий объем диссертации составляет 182 страницы машинописного текста. Диссертация содержит 30 рисунков, 7 таблиц, 130 ссылок на литературные источники и 8 приложений.

Глава 1. Обзор современных исследований феррожидкостей

1.1. Методы синтеза феррожидкостей

Феррожидкости (магнитные жидкости, ферроколлоиды) - это устойчивые коллоидные взвеси частиц ферри- и ферромагнитных материалов в немагнитных жидкостях-носителях. Требования к составу феррожидкости определяются технической или медико-биологической областью применения. Как правило, в качестве ферромагнитного материала используется магнетит, окислы железа, никель или кобальт, а в роли жидкости-носителя выступает вода, керосин, толуол, минеральные и кремнийорганические масла. Внешнее однородное магнитное поле оказывает ориентирующее воздействие на магнитные моменты ферроча-стиц, а феррожидкость в целом является парамагнетиком. Данные системы обладают уникальным сочетанием свойств текучей жидкости и способности ощутимо реагировать на магнитное поле. Магнитные жидкости всегда являются продуктом искусственного синтеза, поскольку в природе не существует подобных жидких материалов с управляемыми свойствами.

Первую попытку искусственно синтезировать такой материал осуществил Элмор в тридцатых годах прошлого века [1], однако она не была удачной. Полученная система оказалась неустойчивой - из-за большого размера частицы быстро слипались друг с другом и выпадали в осадок. Для применения в промышленности жидкости должны были сохранять свои магнитные и термодинамические характеристики продолжительное время. Только в начале 60-х годов Ресслеру и Розенцвейгу удалось решить проблемы седиментации и предотвращения необратимой агрегации (слипания) частиц [2,3]. После этого технология изготовления магнитных жидкостей стала успешно развиваться, и в настоящее

время они сохраняют свои свойства в течение многих лет.

Классические феррожидкости состоят из частиц, форма которых близка к сферической, а характерный диаметр магнитного ядра х составляет порядка 10 нм, что позволяет говорить об однодоменности феррочастиц [4]. Каждая такая частица обладает собственным магнитным моментом т, величина которого определяется произведением намагниченности насыщения ферромагнитного материала М3 и объема магнитного ядра частицы ут: т = Маут. Для феррожидкости, синтезированной на основе магнетита с намагниченностью насыщения материала М3 = 480 кА/м, средние значения магнитного момента дисперсной частицы имеют порядок т ~ 10"19 Ам2. Число феррочастиц, приходящееся на один кубический метр, имеет порядок величины ~

1022 _ 1023.

Однородность состава и стабильность первоначальных свойств - это наиболее важные качества магнитных жидкостей, поскольку ферроколлоиды подвергаются воздействию сильных магнитных полей при практическом использовании. Малый размер феррочастиц позволяет им участвовать в интенсивном броуновском движении, обеспечивая тем самым однородное распределение частиц по всему объему феррожидкости. Агрегативная устойчивость современных ферроколлоидов достигается за счет создания на поверхности частиц специальных адсорбционных слоев, которые не дают феррочастицам сближаться на критические расстояния с энергией притяжения, превосходящей разупорядочи-вающую энергию теплового движения.

Первые образцы магнитных жидкостей были получены методом диспергирования, который заключался в измельчении грубых частиц твердого магнита до коллоидных размеров. Ферритовый порошок смешивался с жидкой основой (керосином) и стабилизатором (олеиновой кислотой), доля которого составляла 10 - 20 % объема основы. В результате длительного механического помола в шаровых мельницах частицы порошка измельчались и покрывались ПАВ, что обеспечивало агрегативную устойчивость конечного продукта. Описанный метод отличается свой простотой, что привело к его широкому распространению. Однако по-прежнему метод диспергирования обладает рядом недостатков - это низкая производительность, загрязнение полученной магнитной жидкости продуктами разрушения шаров мельницы при длительной работе, а также значительный разброс феррочастиц по размерам.

В методе конденсации заложен противоположный механизм получения магнитных жидкостей: отдельные молекулы или атомы объединяются до частиц коллоидных размеров, уменьшая при этом свободную энергию системы, что способствует свободному течению процесса. Существуют различные варианты этого общего подхода, например, конденсация паров металлов в жидкости, электролитическая конденсация, химическая конденсация. В методе химической конденсации используется первичное растворение солей двух- и трехвалентного железа с дальнейшим их осаждением из раствора в виде частиц магнетита. Далее проводится многократное расщепление возникшего осадка до коллоидных размеров под действием избытка щелочи. Описанный метод существенно повысил производительность изготовления феррожидкостей, что снизило их стоимость и способствовало применению в промышленных масштабах.

При использовании любого способа приготовления магнитной жидкости ее дисперсный состав оказывается неоднородным. Распределение частиц по размерам их магнитных ядер таково, что практически в любой феррожидкости присутствуют частицы с диаметром от нескольких нанометров до нескольких десятков нанометров. Влияние крупных и мелких частиц на механические, оптические, реологические и магнитные свойства феррожидкостей оказывается различным. Наличие даже небольшого количества крупных частиц может оказывать значительное воздействие на характеристики системы за счет величины магнитных моментов, пропорциональных объему частицы.

1.2. Основные виды взаимодействия феррочастиц

Магнитные частицы взаимодействуют между собой через жидкость-носитель (гидродинамические взаимодействия), через микроскопические магнитные поля (магнитодипольные взаимодействия), через защитные оболочки (стериче-ские взаимодействия) и за счет Ван-дер-Ваальсовых сил. Ясно, что учет всех взаимодействий сразу является невозможной задачей. Было надежно установлено [5,6], что именно взаимодействия магнитных моментов друг с другом и с внешним магнитным полем являются определяющими для поведения феррожидкости.

Парное диполь-дипольное взаимодействие магнитных моментов ферроча-стиц определяется формулой

ив (г,3 ) = -

3

)(шз • гу) (т • т)

I5 \ГгЗ I3

(1.2.1)

где радиус-вектор Гу = г — Г; соединяет центры частиц г и з. Диполь-дипольное взаимодействие имеет порядок убывания ~ 1/\Гу| 3, то есть является дальнодей-ствующим. Также следует отметить нецентральный характер данного взаимодействия, поскольку оно зависит не только от расстояния между феррочасти-цами, но и от взаимной ориентации их магнитных моментов. Если в качестве расстояния между двумя частицами одинакового размера выбрать дистанцию максимального их сближения, то есть диаметр феррочастицы с учетом сте-рической оболочки а = х + 5, то можно определить безразмерный параметр Л = т2/а?квТ, имеющий смысл отношения магнитной энергии двух частиц при их контакте к тепловой энергии системы квТ. Этот параметр можно использовать для оценки интенсивности диполь-дипольного взаимодействия магнитных моментов пары частиц при их контакте относительно тепловых флуктуаций.

Определим характерные размеры магнетитовых частиц при комнатной температуре в зависимости от величины параметра Л. Так, например, для Л = 1 характерный диаметр магнитного ядра составляет 11-12 нм. При этом данные электронной микроскопии указывают на то, что для широко использующихся магнетитовых жидкостей на основе углеводородов средний по ансамблю диаметр частиц равен 8-10 нм. Это означает, что для таких феррожидкостей среднее значение Л < 1 при комнатных температурах. Однако при рассмотрении крупных частиц с диаметром магнитного ядра порядка 18 нм величина параметра Л = 5 при Т = 293 К и может достигать значений 6-7 при понижении температуры до 220 К. Из этого следует, что вклад диполь-дипольных взаимодействий в гамильтониан системы с увеличением размера частиц существенно возрастает.

Также можно отметить, что магнитные моменты крупных частиц с характерным значением Л > 4 могут образовывать энергетически выгодную структуру типа "голова-хвост" даже в отсутствие внешнего магнитного поля. Несмотря

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Соловьева Анна Юрьевна, 2019 год

Литература

[1] Elmore, W. C. Ferromagnetic colloid for studying magnetic structures / W. C. Elmore // Physical Review. — 1938. — V. 54, N. 4. — P. 309310.

[2] Resler, E. L. Magnetocaloric power / E. L. Resler, R. Rosensweig // AIAA Journal. — 1964. — V. 2, N. 8. — P. 1418-1422.

[3] Розенцвейг, Р. Феррогидродинамика / Р. Розенцвейг. — М. : Мир, 1989.

[4] Вонсовский, С. В. Магнетизм / С. В. Вонсовский. — М. : Наука, 1971. — 1032 с.

[5] Бибик, Е. Е. Влияние взаимодействия частиц на свойства феррожидкостей / Е. Е. Бибик // Физические свойства магнитных жидкостей. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. — С. 3-21.

[6] Scholten, P. C. How magnetic fluid can a magnetic fluid be? / P. C. Scholten // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1983. — V. 39, N. 1-2. — P. 99-106.

[7] de Gennes, P. G. Pair correlation in a ferromagnetic colloid / P. G. de Gennes, P. A. Pincus // Physik der kondensierten Materie. — 1970. — V. 11, N. 3. — P. 189-198.

[8] Lennard-Jones, J. E. On the Determination of Molecular Fields / J. E. Lennard-Jones // Proceedings of the Royal Society of London A. — 1924. — V. 106. — P. 441-462.

[9] Матвеев, А. Н. Молекулярная физика / А. Н. Матвеев. — М. : Высшая школа, 1981.

[10] Weeks, J. D. Role of Repulsive Forces in Determining the Equilibrium Structure of Simple Liquids / J. D. Weeks, D. Chandler, H. C. Andersen // Journal of Chemical Physics. — 1971. — V. 54. — P. 5237-5247.

[11] Kaiser, R. Magnetic properties of stable dispersions of subdomain magnetic particles / R. Kaiser, G. Miskolczy // Journal of Applied Physics. — 1970. — V. 41, N. 3. — P. 1064-1072.

[12] Магнитостатические свойства коллоидов магнетита / Е. Е. Бибик, Б. Я. Матыгуллин, Ю. Л. Райхер, М. И. Шлиомис // Магнитная гидродинамика. — 1973. — N. 1. — С. 68-72.

[13] Шлиомис, М. И. Магнитные жидкости / М. И. Шлиомис // Успехи физических наук. — 1974. — Т. 112, N. 3. — С. 427-458.

[14] Langevin, P. Magnetisme et theorie des electrons / P. Langevin // Annales de Chimie et de Physique. — 1905. — V. 5. — P. 70-128.

[15] Бибик, Е. Е. Достижения в области получения и применения магнитных жидкостей / Е. Е. Бибик, О. Е. Бузунов. — М. : ЦНИИ, Электроника, 1979. — 60 с.

[16] Neel, L. Influence des fluctuations thermiques sur l'aimantation de grains ferromagnetiques tres fins / L. Neel // Academic des sciences. Comptes rendus. — 1949. — V. 228, N. 8. — P. 1927-1937.

[17] Bean, C. P. Hysteresis loops of mixtures of ferromagnetic micropowdes / C. P. Bean // Journal of Applied Physics. — 1955. — V. 26, N. 11. — P. 1381-1383.

[18] Диканский, Ю. И. Экспериментальное исследование эффективных магнитных полей в магнитной жидкости / Ю. И. Диканский // Магнитная гидродинамика. — 1982. — Т. 18, N. 3. — С. 33-36.

[19] Pshenichnikov, A. F. Effect of interaction between particles on the magneto-static properties of magnetic liquids / A. F. Pshenichnikov, A. V. Lebedev, K. I. Morozov // Magnetohydrodynamics. — 1987. — V. 23. — P. 31-36.

[20] Pshenichnikov, A. F. Equilibrium magnetization of concentrated ferrocol-loids / A. F. Pshenichnikov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials.

— 1995. — V. 145, N. 3. — P. 319-326.

[21] Magnetic properties of ferrocoloids: the effect of interparticle interaction / K. I. Morozov, A. F. Pshenichnikov, Y. L. Paikher, M. I. Shliomis // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1987. — V. 65. — P. 269-272.

[22] Holmes, M. Curie-Weiss behaviour in ferrofluids: the effect of particle size distribution / M. Holmes, K. O'Grady, J. Popplewell // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1990. — V. 85. — P. 47-50.

[23] Morozov, K. I. The effect of magneto-dipole interactions on the magnetization curves of ferrocolloids / K. I. Morozov, A. V. Lebedev // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1990. — V. 85. — P. 51-53.

[24] Bean, C. P. Magnetic granulometry and superparamagnetism / C. P. Bean, I. S. Jacobs // Journal of Applied Physics. — 1956. — V. 27. — P. 1448-1452.

[25] Shliomis, M. I. Experimental investigations of magnetic fluids / M. I. Shliomis, Y. L. Raikher // IEEE Transactions on Magnetic. — 1980. — V. MAG-16, N. 2. — P. 1064-1072.

[26] Weiss, P. Molecular field and ferromagnetic property / P. Weiss // Journal de Physique: Theorique et Appliquee. — 1907. — V. 6, N. 1. — P. 661-690.

[27] Debye, P. Einige resultate einer kinetischen theorie der isolatoren / P. Debye // Physikalische Zeitscrift. — 1912. — N. 13. — P. 97-100.

[28] Tsebers, A. O. Thermodunamic stability of magnetofluids / A. O. Tsebers // Magnetohydrodynamics. — 1982. — V. 18. — P. 137-142.

[29] Sano, K. Theory of agglomeration of ferromagnetic particles in magnetic fluids / K. Sano, M. Doi // Journal of the Physical Society of Japan. — 1983.

— V. 52. — P. 2810-2815.

[30] Лебедев, А. В. Экспериментальное исследование температурной зависимости намагниченности феррожидкости / А. В. Лебедев // Структурные

свойства и гидродинамика магнитных коллоидов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. — С. 22-24.

[31] Лебедев, А. В. К расчету кривых намагничивания концентрированных магнитных жидкостей / А. В. Лебедев // Магнитная гидродинамика. — 1989. — N. 4. — С. 121-124.

[32] Wertheim, M. S. Exact solution of the mean spherical model for fluids of hard spheres with permanent electric dipole moments / M. S. Wertheim // Journal of Chemical Physycs. — 1971. — V. 55, N. 9. — P. 4291-4298.

[33] Морозов, К. И. Термодинамика магнитных жидкостей / К. И. Морозов // Известия АН СССР, серия физическая. — 1987. — Т. 51, N. 6. — С. 1073-1080.

[34] Magnetic properties of ferrocolloids / M. I. Shliomis, A. F. Pshenichnikov, K. I. Morozov, I. Y. Shurubor // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1990. — V. 85, N. 1-3. — P. 40-46.

[35] Балеску, Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика / Р. Балеску. — М. : Мир, 1978. — Т. 1. — 408 с.

[36] Berkovsky, B. M. On equilibrium properties and phase diagram of magnetic fluids / B. M. Berkovsky, V. I. Kalikmanov, V. S. Filinov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1987. — V. 65, N. 2-3. — P. 191-194.

[37] Берковский, Б. М. Статическая теория магнитных жидкостей / Б. М. Бер-ковский, В. И. Каликманов, В. С. Филинов // Магнитная гидродинамика. — 1987. — N. 2. — С. 41-49.

[38] Kalikmanov, V. I. Statistical thermodynamics of ferrofluids / V. I. Kalikmanov // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 1992. — V. 183, N. 1-2. — P. 25-50.

[39] Багаев, В. Н. К теории магнитных свойств ферроколлоидов / В. Н. Багаев, Ю. А. Буевич, А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1989. — Т. 25, N. 1. — С. 58-62.

[40] Иванов, А. О. К теории магнитостатических свойств полидисперсных феррожидкостей / А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1989. — N. 4. — С. 54-59.

[41] Buyevich, Y. A. Statistical thermodynamics of ferrocolloids / Y. A. Buyevich, A. O. Ivanov, A. Y. Zubarev // Journal of Magnetism and Magnetic Materials.

— 1990. — V. 85. — P. 33-36.

[42] Иванов, А. О. Термодинамические свойства и кинетика расслоения ферро-коллоидов : дисс. ... канд. физ.-мат. наук / А. О. Иванов. — Свердловск, 1990. — 148 с.

[43] Буевич, Ю. А. Броуновская диффузия в концентрированных феррокол-лоидах / Ю. А. Буевич, А. Ю. Зубарев, А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1989. — N. 2. — С. 39-43.

[44] Buyevich, Y. Equilibrium properties of ferrocolloids / Y. Buyevich, A. Ivanov // Physica A. — 1992. — V. 190. — P. 276-294.

[45] Иванов, А. О. Магнитостатические свойства умеренно-концентрированных ферроколлоидов / А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1992. — N. 4. — С. 39-46.

[46] Зубарев, А. Ю. Магнитостатические свойства ферроколлоидов вблизи критической точки фазового расслоения / А. Ю. Зубарев, А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1993. — N. 2. — С. 43-49.

[47] Иванов, А. О. Фазовое расслоение магнитной жидкости : дисс. ... д-ра физ.-мат. наук / А. О. Иванов. — Екатеринбург, 1998. — 295 с.

[48] Пшеничников, А. Ф. Магнетитовый коллоид с высокой магнитной восприимчивостью / А. Ф. Пшеничников, А. В. Лебедев // Коллоидный журнал.

— 1995. — Т. 57, N. 6. — С. 844-848.

[49] Pshenichnikov, A. F. Magneto-granulometric analysis of concentrated ferrocolloids / A. F. Pshenichnikov, V. V. Mekhonoshin, A. V. Lebedev // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1996. — V. 161. — P. 94-102.

[50] Huke, B. Magnetization of ferrofluids with dipolar interactions: A Born-Mayer expansion / B. Huke, M. Lücke // Physical Review E. — 2000. — V. 62, N. 5. — P. 6875-6890.

[51] Huke, B. Magnetization of concentrated polydisperse ferrofluids: Cluster expansion / B. Huke, M. Lücke // Physical Review E. — 2003. — V. 67, N. 5.

— P. 051403-1-11.

[52] Huke, B. Magnetic properties of colloidal suspensions of interacting magnetic particles / B. Huke, M. Lücke // Reports on Progress in Physics. — 2004. — V. 67, N. 10. — P. 1731-1768.

[53] Иванов, А. О. Межчастичные корреляции и магнитные свойства концентрированных ферроколлоидов / А. О. Иванов, О. Б. Кузнецова // Коллоидный журнал. — 2001. — Т. 63, N. 1. — С. 64-72.

[54] Ivanov, A. O. Magnetic properties of dense ferrofluids: an influence of inter-particle correlations / A. O. Ivanov, O. B. Kuznetsova // Physical Review E.

— 2001. — V. 64, N. 4. — P. 041405-01-12.

[55] Ivanov, A. O. Magnetogranulometric analysis of ferrocolloids: Second-order modified mean field theory / A. O. Ivanov, O. B. Kuznetsova // Colloid Journal. — 2006. — V. 68. — P. 430-440.

[56] Magnetic properties of polydisperse ferrofluids: A critical comparison between experiment, theory, and computer simulation / A. O. Ivanov, S. S. Kan-torovich, E. N. Reznikov et al. // Physical Review E. — 2007. — V. 75, N. 6. — P. 061405-01-12.

[57] Magnetic measurements as a key to the particle size distribution in ferrofluids: experiment, theory and computer simulations / A. O. Ivanov, S. S. Kan-torovich, E. N. Reznikov et al. // Magnetohydrodynamics. — 2007. — V. 43.

— P. 393-400.

[58] Szalai, I. Nonlinear dielectric effect of dipolar fluids / I. Szalai, S. Nagy, S. Dietrich // Journal of Chemical Physics. — 2009. — V. 131, N. 15.

— P. 154905-1-9.

[59] Szalai, I. Magnetization of multicomponent ferrofluids / I. Szalai, S. Dietrich // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2011. — V. 23, N. 32. — P. 3260041-7.

[60] Szalai, I. Comparison between theory and simulations for the magnetization and the susceptibility of polydisperse ferrofluids / I. Szalai, S. Nagy, S. Dietrich // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2013. — V. 25, N. 46. — P. 465108-1-8.

[61] Pshenichnikov, A. F. Low-temperature susceptibility of concentrated magnetic fluids / A. F. Pshenichnikov, A. V. Lebedev // Journal of Chemical Physics. — 2004. — V. 121, N. 11. — P. 5455-5467.

[62] Pshenichnikov, A. F. Magnetic susceptibility of concentrated ferrocolloids / A. F. Pshenichnikov, A. V. Lebedev // Colloid Journal. — 2005. — V. 67, N. 2. — P. 189-200.

[63] Lebedev, A. V. Low-temperature magnetic fluid stabilized with mixed fatty acids / A. V. Lebedev // Colloid Journal. — 2010. — V. 72, N. 6. — P. 815-819.

[64] Lebedev, A. V. Dipole interparticle interaction in magnetic fluids / A. V. Lebe-dev // Colloid Journal. — 2014. — V. 76, N. 3. — P. 334-341.

[65] Joslin, C. G. The third dielectric and pressure virial coefficients of dipolar hard sphere fluids / C. G. Joslin // Molecular Physics. — 1981. — V. 42, N. 6. — P. 1507-1518.

[66] Morozov, K.I. The dielectric virial expansion and the models of dipolar hard-sphere fluid / K. I. Morozov // Journal of Chemical Physics. — 2007. — V. 126, N. 19. — P. 194506-1-12.

[67] Elfimova, E. A. Thermodynamics of ferrofluids in applied magnetic fields / E. A. Elfimova, A. O. Ivanov, P. J. Camp // Physical Review E. — 2013. — V. 88, N. 4. — P. 042310-1-11.

[68] Ivanov, A. O. Low-temperature magnetic susceptibility of concentrated ferrofluids: The influence of polydispersity / A. O. Ivanov, E. A. Elfimova //

Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2015. — V. 374. — P.327-332.

[69] Camp, P. J. The effects of polydispersity on the initial susceptibilities of ferrofluids / P. J. Camp, E. A. Elfimova, A. O. Ivanov // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2014. — V. 26, N. 45. — P. 456002-1-10.

[70] Temperature dependence of initial magnetic susceptibility of polydisperse ferrofluids: A critical comparison between experiment and theory / O. A. Goldina, A. V. Lebedev, A. O. Ivanov, E. A. Elfimova // Magnetohydrodynamics.

— 2016. — V. 52. — P. 35-42.

[71] Goldberg, P. Polarization of light in suspensions of small ferrite particles / P. Goldberg, J. Hansford, P. J. van Heerden // Journal of Applied Physics.

— 1971. — V. 42, N. 10. — P. 3874-3876.

[72] Rosman, R. Interparticle correlations in Fe3O4 ferrofluids, studied by the small-angle neutron-scattering technique / R. Rosman, J. S. M. Janssen, M. T. Rekveldt // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1990.

— V. 85, N. 1-3. — P. 97-99.

[73] Hess, P. H. Polymers for stabilization of colloidal cobalt particles / P. H. Hess, P. H. Parker // Journal of Applied Polymer Science. — 1966. — V. 10, N. 12.

— P. 1915-1927.

[74] Zubarev, A. Y. Rheological properties of dense ferrofluids. Effect of chain-like aggregates / A. Y. Zubarev, S. Odenbach, J. Fleischer // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2002. — V. 252. — P. 241-243.

[75] Zubarev, A. Y. Towards a theory of dynamical properties of polydisperse magnetic fluids: Effect of chain-like aggregates / A. Y. Zubarev, J. Fleischer, S. Odenbach // Physica A. — 2005. — V. 358. — P. 475-491.

[76] Wiedenmann, A. Field-induced ordering phenomena in ferrofluids observed by small-angle neutron scattering / A. Wiedenmann, A. Heinemann // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2005. — V. 289. — P. 58-61.

[77] Dynamics of field-induced ordering in magnetic colloids studied by new time-resolved small-angle neutron-scattering technique / A. Wiedenmann, U. Kei-derling, K. Habicht et al. // Physical Review Letters. — 2006. — V. 97. — P. 057202-01-04.

[78] Avdeev, M. V. Particle interaction in polydisperse magnetic fluids: Experimental aspects of small-angle neutron scattering applications / M. V. Avdeev // Journal of Molecular Liquids. — 2014. — V. 189. — P. 68-73.

[79] Neutron investigations of ferrofluids / M. V. Avdeev, V. I. Petrenko, A. V. Feoktystov et al. // Ukrainian Journal of Physics. — 2015. — V. 60, N. 8. — P. 728-736.

[80] Structural analysis of aqueous ferrofluids with cobalt ferrite particles stabilized with lauric acid and sodium n-dodecyl sulphate / A. Balasoiu-Gaina, M. Balasoiu, O. Ivankov et al. // Journal of Physics: Conference Series. — 2017. — V. 848, N. 1. — P. 012026-01-06.

[81] Structural aspects of magnetic fluid stabilization in aqueous agarose solutions / A. V. Nagornyi, V. I. Petrenko, M. V. Avdeev et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2017. — V. 431. — P. 16-19.

[82] Pshenichnikov, A. F. Equilibrium magnetization and microstructure of the system of superparamagnetic interacting particles: numerical simulation / A. F. Pshenichnikov, V. Mekhonoshin // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2000. — V. 213. — P. 357-369.

[83] Kristof, T. Magnetic properties and structure of polydisperse ferrofluid models / T. Kristof, I. Szalai // Physical Review E. — 2003. — V. 68, N. 4. — P. 041109-01-08.

[84] Equilibrium properties of a bidisperse ferrofluid with chain aggregates: theory and computer simulations / C. Holm, A. Ivanov, S. Kantorovich et al. // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2006. — V. 18, N. 38. — P. S2737-S2756.

[85] Prokopieva, T. A. Ground State Microstructure of a Ferrofluid Thin Layer / T. A. Prokopieva, V. A. Danilov, S. S. Kantorovich // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 2011. — V. 113, N. 3. — P. 435-449.

[86] Elfimova, E. A. Theory and simulation of anisotropic pair correlations in ferrofluids in magnetic fields / E. A. Elfimova, A. O. Ivanov, P. J. Camp // Journal of Chemical Physics. — 2012. — V. 116. — P. 194502-01-12.

[87] Structure factor of model bidisperse ferrofluids with relatively weak interpar-ticle interactions / E. Novak, E. Minina, E. Pyanzina et al. // Journal of Chemical Physics. — 2013. — V. 139. — P. 224905-01-14.

[88] Sreekumari, A. Anisotropy of magnetoviscous effect in structure-forming ferrofluids / A. Sreekumari, P. Ilg // Physical Review E. — 2015. — V. 92, N. 1. — P. 012306-01-17.

[89] Парные корреляции в бидисперсной феррожидкости во внешнем магнитном поле: теория и компьютерное моделирование / У. Е. Нехорошкова, О. А. Гольдина, Ф. Д. Камп и др. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — 2014. — Т. 145, N. 3. — С. 508-524.

[90] Allen, M. P. Computer simulation of liquids / M. P. Allen, D. J. Tildesley. — Oxford University Press, 1989.

[91] Frenkel, D. Understanding molecular simulation / D. Frenkel, B. Smit. — Academic Press, A Division of Harcourt. Inc., 1996.

[92] Wang, Z. Structure and magnetic properties of polydispersed ferrofluids: a molecular dynamics study / Z. Wang, C. Holm // Physical Review E. — 2003. — V. 68. — P. 041401-01-11.

[93] Ilg, P. Anisotropy of the magnetoviscous effect in ferrofluids / P. Ilg, M. Kröger, S. Hess // Physical Review E. — 2005. — V. 71. — P. 051201-01-06.

[94] Influence of dipolar interactions on the magnetic susceptibility spectra of ferrofluids / J. O. Sindt, P. J. Camp, S. S. Kantorovich et al. // Physical Review E. — 2016. — V. 93. — P. 063117-01-11.

[95] Kuznetsov, A. A. Sedimentation equilibrium of magnetic nanoparticles with strong dipole-dipole interactions / A. A. Kuznetsov, A. F. Pshenichnikov // Physical Review E. — 2017. — V. 95, N. 3.

[96] Metropolis, N. The Monte Carlo Method / N. Metropolis, S. Ulam // Journal of the American Statistical Association. — 1949. — V. 44, N. 247. — P. 335—341.

[97] Equation of state calculations by fast computing machines / N. Metropolis, M. N. Rosenbluth, A. N. Teller, E. Teller // Journal of Chemical Physics. — 1953. — V. 21. — P. 1087—1092.

[98] Bradbury, A. Monte-Carlo calculation of the magnetic properties of a ferrofluid containing interacting polydispersed particles / A. Bradbury, S. Menear, R. W. Chantrell // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1986.

— V. 54. — P. 745-746.

[99] Camp, P. J. Structure and scattering in colloidal ferrofluids / P. J. Camp, G. N. Patey // Physical Review E. — 2000. — V. 62. — P. 5403-5408.

[100] Elfimova, E. A. Thermodynamics of dipolar hard spheres with low-to-intermediate coupling constants / E. A. Elfimova, A. O. Ivanov, P. J. Camp // Physical Review E. — 2012. — V. 86. — P. 021126-01-09.

[101] Моделирование неелевской релаксации однодоменной частицы методом МонтеКарло / П. В. Меленев, В. В. Русаков, Ю. Л. Райхер, Р. Пержин-ски // Известия РАН. Серия физическая. — 2010. — Т. 74, N. 19. — С.1500-1502.

[102] Monte Carlo model for the dynamic magnetization of microspheres / P. V. Me-lenev, R. Perzynski, Y. L. Raikher, V. V. Rusakov // Physics Procedia. — 2010. — V. 9: 12th International Conference on Magnetic Fluids, N. 247. — P. 54-57.

[103] Turysheva, E. V. Thermodynamics of dipolar square-well fluids / E. V. Tury-sheva, A. Y. Solovyova, E. A. Elfimova // Fluid Phase Equilibria. — 2015.

— V. 386. — P. 125-133.

[104] Thermodynamics of the Stockmayer fluid in an applied field / E. A. Elfimova,

A. O. Ivanov, J. O. Sindt, P. J. Camp // Molecular Physics. — 2015. — V. 113, N. 23. — P. 3717-3728.

[105] Vtulkina, E. D. Fourth and fifth virial coefficients and thermodynamic properties of the dipolar hard sphere fluids in zero external magnetic field / E. D. Vtulkina, E. A. Elfimova // Fluid Phase Equilibria. — 2016. — V. 417. — P. 109-114.

[106] Yang, S. Evaluation of second and third dielectric virial coefficients for non-polarisable molecular models / S. Yang, A. J. Schultz, D. A. Kofke // Molecular Physics. — 2017. — V. 115, N. 8. — P. 991-1003.

[107] Pshenichnikov, A. F. Cluster structure and the first-order phase transition in dipolar systems / A. F. Pshenichnikov, V. Mekhonoshin // The European Physical Journal E. — 2001. — V. 6. — P. 399-407.

[108] Greengard, L. A fast algorithm for particle simulations / L. Greengard, V. Rokhlin // Journal of Computational Physics. — 1987. — V. 73, N. 2. — P. 325-348.

[109] Schmidt, K. E. Implementing the fast multipole method in three dimensions / K. E. Schmidt, M. A. Lee // Journal of Statistical Physics. — 1991. — V. 63, N. 5-6. — P. 1223-1235.

[110] Ichiki, K. Improvement of the Stokesian Dynamics method for systems with a finite number of particles / K. Ichiki // Journal of Fluid Mechanics. — 2002. — V. 452. — P. 231-262.

[111] An integral equation formulation for rigid bodies in Stokes flow in three dimensions / E. Corona, L. Greengard, M. Rachh, S. Veerapaneni // Journal of Computational Physics. — 2017. — V. 332. — P. 504-519.

[112] Abade, G. C. Sedimentation of non-Brownian suspensions / G. C. Abade,

B. Cichocki // Journal of Physics: Conference Series. — 2012. — V. 392, N. 1. — P. 012002-01-09.

[113] Fu, S. Efficient Brownian dynamics simulation of DNA molecules with hydro-dynamic interactions in linear flows / S. Fu, Y. Young, S. Jiang // Physical Review E. — 2015. — V. 91, N. 6.

[114] Koo, S. Large-scale calculation of hydrodynamic transport properties for random suspensions of hard-sphere particles / S. Koo // Korean Journal of Chemical Engineering. — 2016. — V. 33, N. 8. — P. 2298-2307.

[115] Onsager, L. Electric moments of molecules in liquids / L. Onsager // Journal of the American Chemical Society. — 1936. — V. 58, N. 8. — P. 1486-1493.

[116] Gil-Villegas, A. Reaction-field and Ewald summation methods in Monte Carlo simulations of dipolar liquid crystals / A. Gil-Villegas, S. C. McGrother, G. Jackson // Molecular Physics. — 1997. — V. 92, N. 4. — P. 723-734.

[117] Nymand, T. M. Ewald summation and reaction field methods for potentials with atomic charges, dipoles, and polarizabilities / T. M. Nymand, P. Linse // Journal of Chemical Physics. — 2000. — V. 112, N. 14. — P. 6152-6160.

[118] Jia, R. Dipolar particles in an external field: Molecular dynamics simulation and mean field theory / R. Jia, R. Hentschke // Physical Review E. — 2009. — V. 80, N. 5. — P. 051502-01-09.

[119] Solovyova, A. Y. Thermodynamics of bidisperse ferrofluids in zero external magnetic field: Theory and simulations / A. Y. Solovyova, E. A. Elfimova // Solid State Phenomena. — 2015. — V. 233-234. — P. 331-334.

[120] Hansen, J.-P. Theory of Simple Liquids, 2nd ed. / J.-P. Hansen, I. R. McDonald. — London : Academic Press, 1986.

[121] Пшеничников, А. Ф. Магнитные свойства концентрированных ферроко-лоидов : дисс. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.04.11 / А. Ф. Пшеничников. — Екатеринбург : Институт физики металлов УрО РАН, 1992. — 258 с.

[122] Иванов, А. С. Измерение поперечной восприимчивости и намагниченности магнитных жидкостей / А. С. Иванов, А. Ф. Пшеничников // Приборы и техника эксперимента. — 2008. — N. 3. — С. 147-152.

[123] Charles, S. W. Progress in the development of ferromagnetic liquids / S. W. Charles, J. Popplewell // IEEE Transactions on Magnetics. — 1980.

— V. 16, N. 2. — P. 172-177.

[124] Agglomerate formation in a magnetic fluid / R. W. Chantrell, A. Bradbury, J. Popplewell, S. W. Charles // Journal of Applied Physics. — 1982. — V. 53, N. 3. — P. 2742-2744.

[125] Martinet, A. Aggregation Processes in Solution / A. Martinet. — Amsterdam : Elsevier, 1983. — 509 P.

[126] Phase diagram of an ionic magnetic colloid: Experimental study of the effect of ionic strength / J.-C. Bacri, R. Perzynski, V. Cabuil, R. Massart // Journal of colloid and interface science. — 1989. — V. 132, N. 1. — P. 43-53.

[127] Quantum Size Effects in Light Absorption Spectra of Magnetite Fine Particles Dispersed in Magnetic Fluids / S. Taketomi, H. Takahashi, N. lnaba, H. Miya-jima // Journal of the Physical Society of Japan. — 1991. — V. 60, N. 10.

— P. 3426-3432.

[128] Pshenichnikov, A. F. The effect of temperature on the separation of polydisperse magnetic fluids / A. F. Pshenichnikov, I. Y. Shurubor // Magnitnaya Gidrodinamika. — 1988. — V. 24, N. 4. — P. 417-420.

[129] Pshenichnikov, A. F. Dynamic susceptibility of magnetic liquids / A. F. Pshenichnikov, A. V. Lebedev // Journal of Experimental and Theoretical Physics. — 1989. — V. 95. — P. 869-876.

[130] Пшеничников, А. Ф. Приборы и методы измерения физических параметров ферроколоидов / А. Ф. Пшеничников, В. А. Силаев, Л. А. Авдеева ; под ред. М. И. Шлиомиса. — Свердловск : УрО АН СССР, 1991. — 3 с.

Вычисление парной корреляционной функции

В каноническом ансамбле парная корреляционная функция определяется

как

2) =

N(N - 1) J d3 ... J dN exp (-вUhs - efiUn) P2 J d1... J dN exp (-eUHs - efiUn) '

(А.1)

где интегрирование J di = J dr^ J dФi имеет смысл усреднения по всем трансляционным и ориентационным степеням свободы с учетом влияния внешнего магнитного поля.

Для компактности дальнейшей записи введем обозначение

Fi[ • ] = / di... i dN [ • ] .

Разложение g(1, 2) в ряд Маклорена до второго порядка e имеет форму

g(1, 2) = gs(1, 2) +

dg(1, 2) de

e=0

1

+ 2

д 2g(1,2) de2

(А.2)

e=0

где д3 (1, 2) есть парная функция распределения системы твердых сфер. Ее общий вид может быть найдет из выражения (А.1), если положить е = 0.

После вычисления первой производной выражения (А.1) возникает дополнительная степень ив под знаком интеграла:

дд(1, 2)'

de

N(N - 1) F3 -Une-l3UHS] [-PUDe-^}

" 9s(1, 2) ^ г _атт„„л . (А.3)

e=0

P2

Fi [е-винз]

Fi [е-винз]

Проведем комбинаторный перерасчет для суммы ив = и в (ъ, ]) при усреднении по всем частицам:

Un = 2 N (N - 1)Ud (1,2).

(А.4)

В конструкции ^з \~PUdе~вПн^ необходимо особо выделять частицы с номерами 1 и 2, по которым не проводится усреднения по степеням свободы. В таком случае выражение для полной дипольной энергии системы ив с учетом комби-

наторного пересчета выглядит следующим образом:

ип = ип(1, 2) + (Ж - 2) [ип(1, 3) + ип(2,3)] + - 2)(Ж - 3)^(3,4). (А.5)

Отметим, что для монодисперсной системы вклад от энергий ив(1,3) и ив(2,3) в данное разложение не различим, но для полидисперсного случая приходится рассматривать такие вклады отдельно ввиду учета разных размеров частиц.

Используя выражения (А.4) и (А.5) при вычислении производной (А.3), получаем следующий результат:

в

-1

д~д(1,2) де

= -дя(1, 2)ив(1, 2) - р а3 дя(1, 2,3)Цв(1,3) + ив(2,3)]

е=0 ^

1 2 ' '

2р2 ё3 / а4[дв(1, 2,3,4) - дв(1, 2)дв(3,4)]ив(3,4). (А.6)

Последнее слагаемое в формуле (А.6) на первый взгляд имеет квадратичный порядок по концентрации, однако ниже будет показано, что разность дв(1, 2, 3,4) - д5(1, 2)д3(3,4) понижает степень р на один порядок.

Проведем аналогичные вычисления для второй производной функции д(1, 2):

д29(1, 2)

де2

е=о р2

N N - 1)

- х

, А р-1 \-виве-^П р \(-вив)2е~ви^] , ч

Далее ввиду громоздкости комбинаторного пересчета для полидисперсной модели, формулы будут записаны в монодисперсной форме с учетом топологии вкладов ив(г,]) и ив(г,к) (],к > 2). Так, квадрат дипольной энергии при усреднении по всем частицам выглядит следующим образом:

и2в = ^(Ж - 1)ив(1, 2) + NN - 1)(Ж - 2)ив(1, 2)ив(1,3) + 2

+ 1N (Ж - 1)(Ж - 2)(Ж - 3)ив (1, 2)ив (3,4). (А.8)

Разложение ив с отдельным выделением 1 и 2 частицы оказывается более слож^

ным:

и2в = и2в(1, 2) + 2(Ж - 2)ив(1,3) + - 2)(Ж - 3)и2в(3, 4) + +2(Ж - 2) [2ив(1, 2)ив(1,3) + ив(1,3рв(2,3)] + +(Ж - 2)(Ж - 3) [2ив(1,3)ив(1,4) + ив(1, 2рв(3,4)] + +2(Ж - 2)(Ж - 3) [2ив(1,3)ив(3,4) + ив(1,3)ив(2,4)] + +(Ж - 2)(Ж - 3)(Ж - 4) [2ив(1,3)ив(4, 5) + ив(3,4)ив(4, 5)] + - 2)(Ж - 3)(Ж - 4)(Ж - 5) ив(3,4)ив(5,6).

(А.9)

Учитывая (А.8) и (А.9) при вычислении производной второго порядка (А.7), получаем выражение:

в

2

д2д(1, 2)

де2

= дв(1, 2)ив(1, 2) +

е=0

+р а3 дя(1, 2,3)[2ив(1, 3) + 4ив(1, 2)ив(1,3) + 2ив(1,3)ив(2,3)

+р2 / а3 / а4 [да(1, 2, 3, 4) - дя(1, 2)дя(3, 4)]

Ц*в (3,4)

2

+ ив(1, 2)ив(3,4)

+

+р2 J d3J а4 да(1, 2,3,4)[2ив(1, 3)ив(1,4) + 4ив(1,3)ив(3,4)] + +рзУ а5 [да(1, 2,3,4, 5) - да(1, 2,3)да(4, 5)]2ив(1,3)ив(4, 5) +

+р3 / а3 / а4 / а5 [да(1, 2,3,4, 5) - да(1, 2)да(3,4, 5)] ив(3,4)ив(4, 5) +

+р3 а3 / а4 / а5 / аб [да(1, 2,3,4, 5,6) - да(1, 2,3, 4)да(5,6)

-да(1, 2)да(3,4)да(5,6)]

ив (3,4)ив (5,6) 4

(А.10)

Стоит подчеркнуть, что при вычислении результатов (А.6) и (А.10) не было применено никаких приближенных методов, формулы получены в точном виде для конечной системы из N частиц без использования термодинамического предела.

Чтобы выписать конечную формулу для д(1, 2), необходимо в выражениях (А.6) и (А.10) учесть все слагаемые с точностью до первой степени по концен-

трации. Однако, как было отмечено ранее, сначала необходимо дополнительно оценить разность Дд4 = д8(1, 2,3,4) — д8(1, 2)д8(3,4), которая имеет порядок 0(1/Ы). Для этого рассмотрим асимптотическое поведение функций распределения при малых концентрациях, где частицы с номерами 1 и 2 расположено достаточно далеко от частиц 3 и 4. В этом случае, используя определение п-частичной корреляционной функции (2.2.3), имеем

Д* - (1 — N)(1 — IX1 — I)е—^М)—""",3'4) —

_ (л 2 р—вииз(1,2)— /Зииз(3,4) _

V1 к) 6 -

— — N р—вииз (1,2) — вииз (3,4). (А.11)

Это приводит к тому, что слагаемые, включающие Дд4, оказываются линейными по концентрации:

р2 I аз у а4 Дд4[ • ] = — 4рр—винз(1,2) J а(з4) р—винз(3,4)[ • ], (А.12) где а(з4) = аг34аФ3аФ4 = V—Чг3аг4аФ3аФ4.

Применяя результат (А.12) к полному выражению второй производной функции д(1,2), можно выделить три первые строчки формулы (А.10), которые имеют первую степень по концентрации. Чтобы получить полидисперсный вид указанных линейных по концентрации слагаемых, достаточно заменить во второй строке сумму 2 и'П (1,3) + 4 ип (1, 2) ип(1,3) на комбинацию иВ(1, 3) + и2в(2,3) + 2 Цп(1, 2) Цп(1,3) + 2 ив(1, 2) ив(2,3).

Функции распределения твердых сфер д5(1, 2) и д5(1, 2,3) будем аппроксимировать через функции Майера ) = ехр[—виня(Ъ, ])] — 1 с учетом выбранного порядка по концентрации:

дв(1, 2) = [/Д1, 2) + 1]+ р^гзШ, 2) + 1]Л(1, 3)/в(2,3) + 0(р2),

да(1, 2,3) = [Л(1, 2) + 1][/в(1,3) + 1][Л(2,3) + 1] + О(р). (А.13)

Таким образом, учитывая (А.6), (А.10), (А.13) и результат (А.12), выпишем конечный вид функции д(1, 2) необходимой точности:

Ала, 2)+ц (io+Ii+12+р

\ V k=3

д(1, 2) = ([/s(1, 2) + 1]( Io + Ii + I2 + Р>.(4) , (А.14)

10 = 1,

11 = (1, 2),

12 = \[ßUn(1, 2)]2,

13 = I d3fs(1,3)fs(2,3),

14 = -ßUD(1, 2) I d3fs(1, 3)fs(2,3),

15 = -ßj d3[fs(1,3) + 1][fs(2, 3) + 1]Ud(1,3), Ia = -ßj d3[fs(1,3) + 1][fs(2, 3) + 1]Ud (2,3), I7 = 2ß^J d(34)[fs(3, 4) + 1]Ud(3,4^ ,

Is = 2[ßUD(1, 2)}2 J d3fs(1,3)fs(2,3),

I9 = 2/d3[fs(1, 3) + 1][fs(2,3) + 1][ßUD (1,3)]2,

110 = Ц d3[fs(1, 3) + 1][fs(2,3) + 1][ßün(2,3)]2,

111 = J d(34)[fs(3, 4) + 1][ßUD(3,4)]2^,

112 = ß2UD(1, 2) У d3[fs(1,3) + 1][fs(2, 3) + 1]Ud(1,3),

113 = ß2Un(1, 2)J d3[fs(1,3) + 1][fs(2, 3) + 1]Ud(2,3),

114 = -2ß2Un (1, 2)^J d(34)J[fs(3, 4) + 1]Ud (3, 4^ , (А.15)

115 = ß2f d3[fs(1, 3) + 1][fs(2, 3) + 1]Ud(1,3)UD(2,3). (А.16)

Обратим внимание в формуле (А.14) на общий сомножитель

= e-ßUHs(i,2) i 0 ri2 . (А.17)

[ 1, П'2 ^ Oi2

Его смысл заключается в том, что частицы с номерами 1 и 2 не могут проникать друг в друга, поскольку в модели заложен потенциал твердых сфер. Таким образом, парная корреляционная функция д(1, 2) = 0 при г12 < а12, где а12 -это полусумма эффективных диаметров частиц с номерами 1 и 2 с учетом толщины немагнитного слоя.

При усреднении по всевозможным ориентациям магнитного момента третьей частицы во внешнем магнитном поле достаточно знать действие оператора аФ3 на следующие комбинации скалярных произведений:

JdФз(тз • A) = тз(7 • A)L(a3), (А.18)

jdФ3(т3 • A)(m3 • B) = m2

(A • B)L^ + (z • A)(z • B)L3(«3) аз

где z - это единичный вектор, направленный вдоль H, а функция L3(a) определяется соотношением L3(a) = 1 — 3L(a)/a.

При усреднении по положению третьей частицы интегрирование проводится в новой системе координат (x',y',z'), полученной поворотом плоскости xOz. Новая ось Oz' направлена вдоль радиус-вектора г12, соединяющего центры 1 и 2 частиц, так что справедливы следующие соотношения:

z = (— sin 012, 0, cos 012), (А.19)

Г12 = 7-12(0, 0, 1),

r13 = т 13 (sin 013 cos ф'13, sin 0'13 sin ф'13, cos 013),

Г23 = т23 (sin 023 cos Ф23, sin 023 sin Ф23, cos 023).

При этом возникают дополнительные ограничения на область интегрирования: fs(i, 3) + 1 = 1 при тг3 ^ аг3 и fs(i, 3) = —1 при тг3 < аг3.

Проведя усреднения по всем ориентационным и трансляционным степеням свободы третьей частицы и учитывая соотношение (А.17), получим следующие выражения для слагаемых Ik на области т12 ^ а"12:

12 =

13 =

14 =

15 =

16 =

17 =

18 =

19 =

= 1,

(А.20)

т1т2

г

з

12

^(1, 2),

1 2

т1т2

г

з

12

вй¿(1, 2)

Сс(г12), т1 т2

[-£«¿(1, 2)] Сс(г12),

12

г 4п

—вттзЬ(аз) иг(1), 4п

вт2тзЬ(аз) иг(2),

1 2

8п

У

(ЗтзЬ(аз)(^т4Ь(а4)^ ,

т1 т2

г

з

12

№¿(1, 2)

пв 2т2т^ ^ [ аз

11о = пв2т2>т'з

\ Ь(аз)

{ аз

Со(Г12),

(т 1 • ?12)2Сз(г12) +

(Ш2 • ?12)2С4(Г12) +

4

Зазз

4

34з

+ Ьз(аз)И1(т 1, Г12,П2) |, + Ьз(аз)И2(т2, Г12,П2) >,

4^2 2 I о / т2 ¿(а4) \

-—в^тз{ 2( ) +

3^ з1 а4 /4

2 + 5 Ьз(аз)

аз 5

4п в 2т1 т2тз

"3

г

12

111 112 1X8

114

115 = ртт^з I ё3[/я(1,3) + 1][/я(2,3) + 1]

4},

4п в 2т1т2тз

"3

г

12

8п в 2т1т2тз

3

г

12

¿(аз) «¿(1, 2) «(1), ¿(аз) «¿(1, 2) «(2), Ь(аз) «¿(1, 2) ^4^4)^4,

«¿(1,3) «¿(2, 3)

г

13

г

23

Здесь г 12, тi - это единичные вектора, направленные вдоль г12, т.1 соответственно, а функции «¿(г,]), йг(к) и О^(г12) определены ниже:

2

2

з

з

йа(г,з) = — [3(гаг • г*.,-)(шу • г*.,-) — (ш* • тп])], йг(к) = (гпк • 7) — [3(ти • Г12)(Г12 • 7) — (гпк • 7)] Си(Г12),

(А.21)

Со(г12) = <

— 3(а 13 — 0"2З)2_| X Хп(&13 + &23 — Г12)2/12 Г12, &12 < Г12 < &12 + &3

0, Г12 > & 12 + &3

С1(П2) = ^

(&23 + 4&13&23 + &23 — Ч2)Х

х(т2Г2 — [&13 — &23]2)2/32г32&33, &23/г32,

&12 < Г12 < &12 + &3 Г12 > &12 + &3

С2(Г12) = <

(&23 + 4&13&23 + &23 — П2) X

Х(Т2Г2 — [&23 — &13]2)2/32г32&23,

&12 < Г12 < &12 + &3 Г12 > &12 + &3

С3(Г12) = , ^

С3(Г12), &12 < Г12 < &12 + &3 &31 (г 12), Г12 > а 12 + &3

{

С (г ) = I С4(Г12), &12 < Г12 < &12 + &3 С^ (Г12), Г12 > &12 + &3

Оз(Г12)

16гз2

1п

{ Г12 + ^2з \

V а1з )

+

7^ + 9г22^2з + 21г124з + 11^зз 12(Г12 + ^

г22 + 3а.

2

2з

2а 2з

г 42 + 2г 22а2з

4а4з

3а2з + _(г 22

- а2 )з а2з)

6а бз

О4(Г12)

3

16г з2

1п

г 12 + а 1Л 7г з2 + 9г 22а 1 з + 21г 12а 2з + 11а зз

{ г 12 + а1з \

V а2з )

+