Структурные свойства семейств теорий групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Павлюк Инесса Ивановна

• Павлюк Инесса Ивановна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Павлюк Инесса Ивановна

1.1 Предварительные сведения

1.2 Теории абелевых групп и их шмелевские инварианты

1.3 Замыкания и ранги для семейств теорий конечных абелевых групп

1.4 Порождающие множества и замыкания в семействах теорий абелевых групп

1.5 е-минимальные семейства теорий абелевых групп

1.6 Аппроксимируемость и точки накопления для теорий абелевых групп

1.7 е-спектры и наименьшие порождающие множества для семейств теорий абелевых групп

1.8 Ранги для семейств теорий абелевых групп

1.9 Ранги предложений и генерические предложения

1.10 Богатые свойства и их характеристики

Глава 2. Алгебраические и определимые замыкания, вариации жесткости для

теорий абелевых групп

2.1 Алгебраические и определимые замыкания. Степени алгебраизации

2.2 Степени алгебраизации для конечных структур и их теорий

2.3 Степени алгебраизации для объединений конечных структур и их теорий

2.4 Степени алгебраизации для теорий абелевых групп

2.5 Степени и индексы жесткости

2.6 Степени и индексы жесткости для конечных абелевых групп

2.7 Степени и индексы жесткости для стандартных бесконечных абелевых групп

2.8 Иллюстрации

Г л а в а 3. Псевдо-счетно-категоричные и псевдо—сильно-минимальные структуры

3.1 Псевдо-счетно-категоричные структуры и теории

3.2 Псевдо-счетно-категоричные абелевы группы

и модули

3.3 Псевдо-сильно-минимальные структуры и теории

3.4 Псевдо-сильно-минимальные группы и их теории

Г л а в а 4. Арности и аритизируемости для теорий групп, моноидов и алгебр

4.1 Предварительные сведения

4.2 Арности и аритизируемости теорий групп

4.3 Аритизируемые теории моноидов и алгебр

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные свойства семейств теорий групп»

ВВЕДЕНИЕ

В современной теории моделей, наряду с изучением синтаксиса и семантики данных логических систем, включая конкретные элементарные теории и их модели, актуальным является изучение различных семейств элементарных теорий, взаимосвязей теорий в рамках данных семейств, видов аппроксимаций, а также построение теорий и их моделей на основе этих аппроксимаций. Основы для изучения аппроксимаций теорий положены в работе Дж. Акса [11], определившего понятие псевдоконечного поля, т.е. поля, аппроксимируемого конечными полями. Теория псевдоконечных структур получила широкое развитие в ряде работ известных специалистов. З. Шатзидакис, Л. ван ден Дрис, А. Ма-кинтайр изучили определимые множества над конечными полями и получили их мощностные оценки [14]. Р. Элвес, Э. Жалиго, Д. Макферсон, М. Райтен изучили свойства групп в псевдопростых и псевдоконечных теориях [17, 27]. Э. Хрушовский, Ф. Вагнер, Д. Гарсиа, Д. Макферсон, Ч. Стейнхорн исследовали понятие псевдоконечной размерности [20, 22]. А. Улд Хусин, Ф. Пуан описали альтернативы в псевдоконечных группах [32]. Е. Розен [39] и Ю. Вяанянен [61] систематизировали результаты по общей теории псевдоконечности. А.А. Степанова, Е.Л. Ефремов, С.Г. Чеканов изучили и описали свойства некоторых псевдоконечных полигонов [2, 42].

Структурная теория для семейств полных и неполных элементарных теорий в общем виде развита в работах Б.Ш. Кулпешова, Н.Д. Мархабатова, С.В. Су-доплатова: описаны свойства рангов для семейств сильно минимальных теорий относительно различных сигнатур [24], топологии, ранги и замыкания для семейств полных и неполных теорий [7, 8], аппроксимации теорий [49], ранги для семейств теорий и их спектры [52].

Актуальным является расширение и приложение общей проблематики об аппроксимациях структур и элементарных теорий к различным естественным классам. Получение и описание новых структурных свойств для семейств элементарных теорий необходимо для классификации семантических и синтаксических объектов. В настоящей работе общая структурная теория адаптируется и развивается применительно к классам коммутативных и некоммутативных

групп и их элементарных теорий. Для исследования рассматриваются задачи описания рангов и аппроксимаций для семейств теорий абелевых групп, характеристик алгебраических и определимых замыканий, а также жесткости для теорий абелевых групп, характеризации псевдо-счетной категоричности, псевдо-сильной минимальности и аритизируемости для теорий групп.

Классы абелевых групп и их элементарные теории широко известны, достаточно богаты и продуктивны как в теории классификаций, так и в приложениях [4, 18, 19]. Классификация элементарных теорий абелевых групп основана на шмелевских инвариантах [1, 16, 58], позволяющих определять абелевы группы с точностью до элементарной эквивалентности со стандартными представлениями, построенными как прямые суммы циклических, квазициклических групп и абелевых групп без кручения. Эти инварианты играют важную роль в доказательстве разрешимости теории класса абелевых групп [1]. Они приводят к эффективному управлению замыканиями семейств теорий абелевых групп, для подсчета рангов этих семейств, для характеризации аппроксимируемости над заданными семействами.

Цель работы. Целью данной работы является: описание характеристик, взаимосвязей и аппроксимаций теорий групп, а также смежных с ними теорий, в рамках данных семейств теорий, включая описание рангов, структурных свойств и замыканий для этих семейств.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и своевременно опубликованы в ведущих рецензируемых журналах. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теоретико-модельной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и теории групп, написании учебных пособий и монографий.

Методология и методы исследования. Для достижения поставленной цели исследования используются методы теории моделей и теоретико-модельной алгебры, основанные на использовании классических и новых понятий общей теории моделей, а также алгебраические, включая групповые, и топологические методы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Описаны аппроксимации и значения рангов для семейств теорий абелевых групп. В терминах шмелевских инвариантов охарактеризовано условие псевдоконечности теорий абелевых групп. Получена классификация свойств семейств теорий абелевых групп, с указанием их характеристик в терминах рангов и шмелевских инвариантов.

Результаты получены совместно с С.В. Судоплатовым и опубликованы в ра-

ботах [67]-[70]. С.В. Судоплатов в работе [67] определил классы абелевых групп с заданными положительными значениями шмелевских инвариантов и указал их содержание. На основе этого анализа автором были описаны замыкания данных классов и получено описание е-спектров, представленное в теоремах 1.7.1, 1.7.3, 1.7.4. С.В. Судоплатов в работе [68] провел анализ предельных переходов для шмелевских инвариантов и подсчетов рангов. С помощью этого анализа автором были доказаны теоремы 1.3.2, 1.4.6, 1.5.6. Кроме того, в этой работе автором представлено доказательство теорем 1.8.2 и 1.8.4. С.В. Судоплатов в работе [69] предложил подходы к получению аппроксимаций теорий абелевых групп. С помощью этих подходов автором была доказана теорема 1.6.1, а затем получены совместные следствия для конкретных семейств теорий. С.В. Судо-платовым в работе [70] доказаны леммы о значениях рангов семейств теорий абелевых групп. С помощью этих утверждений автором доказаны теоремы 1.9.5 и 1.10.3.

2. Описаны возможности алгебраических и определимых замыканий для абелевых групп. Доказано, что имеет место трихотомия для степеней алгебраиза-ции. Установлена дихотомия значений разности между алгебраическими замыканиями и определимыми замыканиями для абелевых групп, определяемых шмелевскими инвариантами для циклических частей. Описаны степени жесткости для стандартных абелевых групп.

Результаты о степенях алгебраизации получены автором лично и опубликованы в работе [73], включая теоремы 2.4.7 и 2.4.8. Основная теорема 2.7.4 о степенях жесткости стандартных абелевых групп доказана путем рассмотрения структуры конечных абелевых групп, проведенных С.В. Судоплатовым, и бесконечных абелевых групп, проведенных лично автором, и опубликована в совместной работе [72].

3. Описаны аппроксимации, замыкания и ранги для семейств счетно категоричных и сильно минимальных теорий, в частности, для счетно категоричных и сильно минимальных теорий групп.

Результаты об аппроксимируемости счетно категоричными и сильно минимальными теориями получены совместно с Б.Ш. Кулпешовым и С.В. Судо-платовым, которым принадлежит постановка задачи и результаты об упорядоченных псевдо-счетно категоричных и псевдо-сильно-минимальных теориях. Теоремы 3.1.2, 3.1.3, 3.1.7, 3.3.1 о сигнатурных возможностях предельных переходов для счетно категоричных и сильно минимальных теорий, а также теоремы 3.2.2, 3.2.4, 3.4.2 о шмелевских инвариантах и строении моделей псевдо-счетно категоричных и псевдо-сильно-минимальных теорий групп и модулей доказаны лично автором и опубликованы в совместных работах [64]-[66].

4. Изучены приложения общего подхода для арностей и аритизируемостей теорий к теориям групп и моноидов. Доказано, что теория группы G аритизиру-ема тогда и только тогда, когда группа G конечна. Показано, что для моноидов и группоидов этот критерий не выполняется: существует бесконечный моноид, имеющий бинарную теорию.

Результаты получены в соавторстве с С.В. Судоплатовым, которому принадлежит идея адаптации общего подхода исследования аритизируемости к функциональным сигнатурам и характеризация аритизируемости. Основные теоремы 4.2.3 и 4.2.4 об аритизируемости групп доказаны лично автором и опубликованы в совместной работе [71].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• 11 Panhellenic Logic Symposium, Дельфы, Греция, 2017 (очно);

• 14-я, 15-я, 16-я международные летние школы-конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры", Эрлагол, 2021 (дистанционно), 2023, 2024 (очно);

• 6 World Congress and school on universal logic, Виши, Франция, 2018 (очно);

• 16 International congress on logic, methodology and philosophy of science and technology (CLMPST), Прага, Чехия, 2019 (очно);

• Logic Colloquium, Прага, Чехия, 2019 (очно); Познань, Польша, 2021 (дистанционно);

• Традиционная международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2020, 2021 (дистанционно), 2023, 2024 (очно);

• Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня работников науки Республики Казахстан, Алматы, Казахстан, 2021, 2024 (дистанционно);

• 8-я Всероссийская конференция "Синтаксис и семантика логических систем", Аршан, 2024 (очно);

• Семинар "Теория моделей имени Е.А. Палютина" ИМ СО РАН, 2022 (очно).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 28 печатных изданиях, 10 из которых изданы в рекомендованных ВАК рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук,

а также индексируемых в наукометрической системе "Белый список" [64, 65, 66], [67]-[73], 18 — в сборниках статей трудов конференций и тезисах докладов [74]-[77], [78]-[91].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 91 страницу машинописного текста. Библиография содержит 90 наименований.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность исследований семейств теорий групп, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В первой главе рассматривается ранг семейства теорий, подобный рангу Морли, который может служить мерой сложности или богатства данного семейства. Увеличением ранга расширениями семейства получаются более богатые семейства, которые в случае достижения рангом бесконечности могут рассматриваться как "достаточно богатые". В данной главе реализуются ранги для семейств теорий абелевых групп. В частности, изучаются ранги и замыкания для семейств теорий конечных абелевых групп. Показано, что множество теорий конечных абелевых групп не является тотально трансцендентным, т.е. его ранг равен бесконечности. В терминах шмелевских инвариантов характеризуются псевдоконечные абелевы группы. Кроме того, характеризуются е-минимальные семейства теорий абелевых групп как на языке размерности, т.е. числа независимых пределов шмелевских инвариантов, так и в терминах неравенств для шмелевских инвариантов. Эти характеризации получены для конечных абелевых групп и в общем случае. Найдены характеризации аппроксимируемости теорий абелевых групп и показаны возможности подсчета шме-левских инвариантов через параметры аппроксимаций. Описаны возможности построения ^-определимых семейств теорий абелевых групп, имеющих данный счетный ранг и данную степень. Рассмотрены формулы первого порядка, которые отражают информацию о семантических и синтаксических свойствах. Адаптированы общие подходы, описывающие связи между формулами и свойствами, для семейств абелевых групп и их теорий, определяющие возможности характеристик формул и свойств, включая значения рангов. Эта адаптация основана на позитивно примитивных формулах, сводящих каждую формулу к подходящей булевой комбинации формул, определяющих шмелевские инварианты для теорий абелевых групп. На основе этой базируемости описана трихотомия возможностей значений ранга для предложений, определяющих окрест-

ности для множества теорий абелевых групп: ранг может быть равен -1, 0 или то. Тем самым, окрестности либо конечны, либо содержат континуальное число теорий. С помощью трихотомии установлено, что каждое предложение, определяющее окрестность, либо принадлежит конечному множеству его теорий, либо является генерическим. Также введено понятие богатого свойства и обобщены основные результаты для таких свойств.

Приведем некоторые основные результаты первой главы.

Теорема 1.3.2. Для любой теории Т абелевых групп следующие условия эквивалентны:

1) Т е ТАр1;

2) теория Т имеет некоторое бесконечное значение ар,п или бесконечное число положительных конечных значений ар,п, и при этом все положительные значения /Зр и тр влекут \{п \ ар,п}\ = ш и /Зр = тр = ш, а равенство е = 1 влечет \{(р,п) \ ар,п = 0}\ = ш.

Теорема 1.4.6. Если Т — бесконечное семейство теорий абелевых групп, и Тф Т — теория абелевой группы, то Т е С\е (Т) тогда и только тогда, когда Т имеет бесконечные модели (т. е. Т имеет некоторые бесконечные некоторые положительные @р, тр, е) и локально соответствует Т.

Теорема 1.5.6. Для любой теории Т абелевой группы Л следующие условия эквивалентны:

1) теория Т аппроксимируется некоторым семейством теорий;

2) теория Т аппроксимируется некоторым е-минимальным семейством;

3) группа Л бесконечна.

Теорема 1.6.1. Для любого бесконечного семейства ТО {Т} теорий абеле-вых групп следующие условия эквивалентны:

1) Т является Т-аппроксимируемым;

2) Т имеет бесконечную модель, и для любого конечного набора шмелевских инвариантов ^ для Т существует бесконечно много теорий Т^ е Т, к е ш, таких, что каждая £ либо совпадает для всех Т^ и для Т, либо ^ для Т является пределом соответствующих шмелевских инвариантов для Тп (либо с тем же именем ^, либо как предел для а1р^п).

Теорема 1.7.1. Для любого X е ш и {ш, 2Ш} существует Е-комбинация Т теорий конечных абелевых групп (в А П Т и с наименьшим порождающим множеством), для которой е-Бр(Т) = X.

Теорема 1.7.3. Для любого X е ш О {ш, 2Ш} существует Е-комбинация Т теорий из ВЕ (соответственно, ГЕ, АГЕ, ВГЕ, Та) и с наименьшим порождающим множеством, так что при этом е-Бр(Т) = X.

8

Теорема 1.7.4. Существует 2Ш семейств С1е(ВЕ)_р (соответственно, С\е(ГЕ)_р, (ЛГЕ)д, (ВГЕ)^, (Та)б), у которых Е-замыкания не имеют наименьших порождающих множеств и у которых Е-комбинации Т удовлетворяют равенству е-Бр(Т) = 2Ш.

Теорема 1.8.2. Пусть а —не более чем счетный ординал, п € ш\{0}. Тогда существует (1-определимое подсемейство (Та)Ф такое, что и8((7а)ф) = & и ¿в((7л) ф) = п.

Теорема 1.8.4. Пусть а — не более чем счетный ординал, п € ш \ {0}. Тогда существует подсемейство Т С 7дйп такое, что И$(Т) = а, ds(T) = п и С1е (Т) С 7дйп и Тар является (1-определимым семейством с условием (ИЗ(С1я (Г)), ds(Cl£ (Г)) = (а,п).

Теорема 1.9.5. Для любого предложения € 8еП;(20) и Р = Та либо Р^ Е-замкнуто и конечно, либо Р^ Е-замкнуто с | = 2Ш.

Теорема 1.10.3. Для любого предложения € 8еП;(20) и богатого Р С Та имеют место следующие возможности:

1) И^р(<р) = — 1, если Тл-несовместно;

2) ИВр(<р) = 0, если Та-совместно и принадлежит (в конечном количестве) теориям из Та, имеющим только конечные модели;

(3) ИВр(<р) = то, если принадлежит теории Т € Та, имеющей бесконечную модель.

Во второй главе показано, что при классификации абелевых групп и их элементарных теорий возникает ряд характеристик, описывающих те или иные особенности рассматриваемых объектов. Среди этих характеристик особую роль играют шмелевские инварианты, задающие возможности делимости элементов, порядков элементов, размерности подгрупп, и позволяющие описывать данные абелевы группы с точностью до элементарной эквивалентности. Тем самым в терминах шмелевских инвариантов представляются синтаксические свойства абелевых групп, т.е. свойства, зависящие лишь от их элементарных теорий. В работе на базе шмелевских инвариантов приведено описание поведения операторов алгебраического и определимого замыканий на основе двух характеристик: степеней алгебраизации и разницы между алгебраическими и определимыми замыканиями. Тем самым изучены и описаны возможности для алгебраических и определимых замыканий, адаптированные к теориям абелевых групп. Доказана теорема о трихотомии для степеней алгебраизации: либо эта степень минимальная, если в стандартных моделях кроме единственной двухэлементной группы нет положительно конечного числа циклических и квазициклических частей, либо степень положительная и натуральная, ес-

ли в стандартной модели нет положительного конечного числа циклических и квазициклических частей, кроме единственной копии двухэлеметной группы и некоторой конечной прямой суммы конечных циклических частей, и степень бесконечна, если стандартная модель содержит неограниченное число неизоморфных конечных циклических частей или положительное конечное число копий квазиконечных частей. Кроме того установлена дихотомия значений разности между алгебраическими замыканиями и определимыми замыканиями для абелевых групп, определяемых шмелевскими инвариантами для циклических частей. В частности, показано, что абелевы группы без кручения квазиурбани-ковы. Описаны степени жесткости для стандартных абелевых групп.

Приведем некоторые основные результаты второй главы.

Теорема 2.4.7. Для любой теории Т абелевой группы А выполняется ровно одно из следующих условий:

1) degacl(T) = 1, если € {0,^} для любых р, ар,п € {0,^} для любых (р,п) = (2,1) и «2,1 € {0,1,^};

2) degacl(T) € ш \ {0,1}, если /Зр € {0, ш} для любого р, некоторый положительный ар,п конечен помимо возможности а2,1 = 1, и существует конечное число натуральных положительных аРуП;

3) degacl(T) = то, если значения р или п для натуральных ар,п > 0 не ограничены, или /Зр € ш \ {0} для некоторого р.

Теорема 2.4.8. Для любой абелевой группы А и ее теории Т либо ас1-dc1dif(Т) конечно, если А конечна или все ар,п € {0,^}, за исключением, может быть, а2д = 1 и /Зр € {0,^}, либо ас1^с1^(Т) = то в противном случае, т.е. если А бесконечна и существуют положительные ар,п € ш или /Зр € ш помимо а2,1 = 1.

Теорема 2.7.4. Для любой стандартной бесконечной абелевой группы А выполняется одно из следующих условий:

1) deg4(Д) = (1,1, 2, 2), если гк(Д) = 1;

2) deg4(Д) = (1,1,3,3), если гк(Д) = 2 и имеется свободный элемент порядка 2 для циклической части А;

3) deg4(Д) = (г — 1,г — 1, то, то), если гк(Д) = г > 2 конечно и имеется свободный элемент порядка 2 для циклической части А;

4) deg4(Д) = (г, г, то, то), если гк(Д) = г > 2 конечно и нет свободного элемента порядка 2 для циклической части А;

5) deg4(Д) = (то, то, то, то), если гк(Д) бесконечно.

В третьей главе описаны аппроксимации и замыкания для семейств счетно категоричных и сильно минимальных теорий, в частности, для счетно катего-

ричных и сильно минимальных теорий групп.

Отметим следующие основные результаты третьей главы.

Теорема 3.1.2. Любая теория Т сигнатуры X1 является псевдо-Н0-категоричной тогда и только тогда, когда Т не имеет конечных моделей и не является Н0-категоричной.

Теорема 3.1.3. Для любой сигнатуры Е имеет место Трсс ^Тя = 0 тогда и только тогда, когда Е содержит хотя бы один функциональный символ местности > 1 или хотя бы один предикатный символ местности > 2.

Теорема 3.1.7. Для любой счетно категоричной теории Т любое ее константное обогащение Т' либо счетно категорично, если добавляется лишь конечное число попарно различных констант, либо псевдо-счетно-категорично, если добавляется бесконечное число попарно различных констант.

Теорема 3.2.2. Для любой полной теории Т абелевых групп следующие условия эквивалентны:

1) теория Т псевдо-счетно-категорична;

2) теория Т имеет бесконечное число положительных значений ар,п, и при этом все положительные значения ЗР и тр влекут \{п \ ар,п = 0}| = ш и /Зр = Тр = ш, а равенство е = 1 влечет \{(р, п) \ ар,п = 0}\ = ш.

Теорема 3.2.4. Для любого счетного кольца Я и счетного Я-модуля А следующие условия эквивалентны:

1) А является псевдо-^0-категоричным;

2) существуют конечные или псевдоконечные Я-модули Вг, г < ш, и кардиналы < ш такие, что А = ф В; при этом если количество нетривиальных слагаемых конечно, то некоторый Я-модуль является псевдоконечным.

Теорема 3.3.1. Любая теория Т сигнатуры Е1, состоящей из константных, нульместных и одноместных предикатных символов, является псевдо-сильно-минимальной тогда и только тогда, когда Т не имеет конечных моделей и не является сильно минимальной.

Теорема 3.4.2. Пусть С — группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) группа С псевдо-сильно-минимальна,

2) группа С абелева и имеет вид С = Q(Л) 0ф , где X и Зр — некоторые

р

кардиналы, включая хотя бы один бесконечный Зр, т.е. для теории ТЬ(С) все

арп = 0, Зр £ ш + 1, Тр = 0, £ = 1, с тах ЗР = ш.

р

В четвертой главе изучены приложения общего подхода для арностей и

11

аритизируемостей теорий к теориям групп, моноидов и алгебр. Доказано, что теория группы С аритизируема тогда и только тогда, когда группа С конечна. Показано, что для моноидов и алгебр этот критерий не выполняется: существует бесконечный моноид, имеющий бинарную теорию.

Отметим следующие основные результаты четвертой главы.

Теорема 4.2.3. Пусть ^ — 0-определимая группа в структуре М. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) все формулы теории ТЬ(М), определяющие подмножества конечных декартовых степеней 0, п-аритизируемы для некоторого фиксированного натурального п, и образуют п-аритизируемую теорию ТЬ(^);

2) все формулы ТЬ(М), определяющие подмножества конечных декартовых степеней 0, являются унаризируемыми и задают унаризируемую теорию

ТЬ(а);

3) Я — конечная группа.

Теорема 4.2.4. Для любой группы ^ следующие условия эквивалентны:

1) ТЬ(^) аритизируема,

2) ТЬ(^) почти п-аритизируема для некоторого п,

3) ТЬ(^) унаризируема,

4) ТЬ(^) почти унаризируема,

5) ТЬ(^) является п-арной для некоторого п,

6) <3 — конечная группа.

Тем самым получена следующая дихотомия: для любой группы ^ либо аг(ТЬ(^)) € и, если ^ конечна, либо аг(ТЬ(^)) = то, если ^ бесконечна.

Заключение содержит список основных результатов, полученных в работе.

Глава 1

РАНГИ И АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ СЕМЕЙСТВ ТЕОРИЙ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП

Ранг [52] для семейств теорий, подобный рангу Морли [31], может рассматриваться как показатель сложности или богатства этих семейств. Таким образом, увеличивая ранг за счет расширения семейств, мы получаем более богатые семейства, включая семейства с бесконечным рангом, которые можно считать "достаточно богатыми". Такие богатые семейства, содержащие семейства всех теорий данной сигнатуры, описаны в [30]. Другие свойства семейств теорий, определяемые наборами предложений, изучены в работе [29].

В настоящей главе мы рассматриваем и реализуем ранги и аппроксимации для семейств теорий абелевых групп на основе шмелевских инвариантов.

1.1 Предварительные сведения

Как обычно, через Г(2) мы обозначаем множество всех формул сигнатуры 2 и через Sent(2) — множество всех предложений из Г(2).

Приведем следующую терминологию из работ [43, 46].

Пусть Р = — семейство непустых унарных предикатов, (Лг)%€1 —

семейство структур таких, что — носитель структуры Аг, % € I, и символы Р{ не пересекаются с языками для структур А^, ] € I \ {г}. Структура Ар ^ и ^г, расширенная предикатами Р{, представляет собой Р-объединение

структур Аг и операторное отображение, переводящее (Аг)г€1 в Ар, является Р-оператором. Структура Ар называется Р-комбинацией структур Аг и обозначается через СошЪр(Аг)г€1, если Аг = (Ар)|е(А), ^ € I. Структуры Д', элементарно эквивалентные СошЪр(Аг)г€1, также будут рассматриваться как Р-комбинации.

Очевидно, все структуры Д' = СошЪр(Аг)ге1 представляются как объединения их ограничений А[ = (Д'|р: )|е(Д) тогда и только тогда, когда множество рто(х) = {—Рг(х) | % € I} противоречиво. Если Л = СошЪр(А')€1, то пишем

л = СошЪр (л;)

г€/и{то}, где Л.то = р| р:, возможно, с применением морли-

:е1

13

зации. Более того, мы пишем СотЪр(А^)1£1и{ж} для СотЪр(Аг)г£1 с пустой структурой Асх>.

Заметим, что если все предикаты Р1 дизъюнктны, то структура Ар является Р-комбинацией и дизъюнктным объединением [63] структур Аг. В этом случае Р-комбинация Ар называется дизъюнктной. Очевидно, для любой дизъюнктной Р-комбинации Ар, ТЬ(Ар) = ТЬ(Ар), где Ар получается из Ар заменой А{ на попарно непересекающиеся Ж,ь = Аг, % £ Е Таким образом, в этом случае, подобно структурам, Р-оператор действует для теорий Т = ТЬ(Д;), порождая теорию Тр = ТЬ(Ар), являющуюся Р-комбинацией теорий Ть, которая обозначается через СотЪр(Тъ)ш. В общем случае при дизъюнктности структур теория Тр также будет называться Р-комбинацией теорий Т^, но в этом случае будем иметь в виду, что эта Р-комбинация строится относительно и в зависимости от структуры Ар или, что то же самое, относительно любого/некоторого Ж = Ар .

Для отношения эквивалентности Е, заменив непересекающиеся предикаты Р{ на Е-классы, получим структуру Ае, представляющую собой Е-объединение структур Аг. В этом случае оператор, отображающий (Аг)г£1 в Ае, является Е-оператором. Структуру Ае называют также Е-комбинацией структур Аг и обозначают через СотЪ^(Аг)ш; здесь Аг = (Ае)\е(Л), ^ £ I. Аналогично как выше, структуры А', элементарно эквивалентные Ае, обозначаются через СотЪ^(Ж^)j£J, где А^ — ограничения А! на его Е-классы. Е-оператор работает для теорий Т = ТЬ(Д;), порождая теорию Те = ТЬ(Ае), являющуюся Е-комбинацией теорий которая обозначается через СотЪ^(Т)£ или СотЪ^(Г), где Г = {Тг \ г£ I}.

Ясно, что структура А' = Ар, реализующая тип рж(х), не является элементарно вложимой в Ар и не может быть представлена в виде дизъюнктной Р-комбинации А[ = Аг, ъ £ Е В то же время существуют Е-комбинации такие, что все Ж = Ае можно представить как Е-комбинации некоторых А^ = Аг. Мы называем эту представимость А' Е-представимостью.

Если существует Ж = Ае, которая не является Е-представимой, мы имеем Е'-представимость, заменяющую Е на Е' такую, что Е' получается из Е добавлением классов эквивалентности с моделями для всех теорий Т, где Т — теории ограничений В структур Ж = Ае до некоторых Е-классов и В не элементарно эквивалентна структурам Аг. Результирующая структура Ае' (с Е'-представимостью) представляет собой е-пополнение или е-насъщение структуры Ае. Сама структура Ае' называется е-полной, е-насыщенной, е-универсальной, или -наибольшей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павлюк Инесса Ивановна, 2025 год

Список литературы

[1] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М. : Физматлит, 2011. — 356 с.

[2] Ефремов Е. Л., Степанова А. А., Чеканов С. Г. Связные псевдоконечные унары // Алгебра и логика. — 2024. — Т. 63, № 3. — С. 280-292.

[3] Зильбер Б. И. Наследственно транзитивные группы и квазиурбаниковы структуры // Теория моделей и ее применения. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — (Тр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики: Т. 8). — С. 58-77.

[4] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982. — 288 с.

[5] Кокорин А. И. Линейно упрорядоченные группы / А. И. Кокорин, В. М. Копытов. — М. : Наука, 1972. — 200 с.

[6] Кулпешов Б. Ш. Ранг выпуклости и ортогональность в слабо о-минимальных теориях // Известия НАН РК, серия физико-математическая. — 2003. — Т. 227. — С. 26-31.

[7] Мархабатов Н. Д., Судоплатов С. В. Топологии, ранги и замыкания для семейств теорий. I // Алгебра и логика. — 2020. — Т. 59, № 6. — С. 649-679.

[8] Мархабатов Н. Д., Судоплатов С. В. Топологии, ранги и замыкания для семейств теорий. II // Алгебра и логика. — 2021. — Т. 60, № 1. — С. 57-80.

[9] Палютин Е. А. Спектр и структура моделей полных теорий // Справочная книга по математической логике / Под ред. Дж. Барвайса, Ю. Л. Ершова, Е. А. Палютина, А. Д. Тайманова. — М. : Наука, 1982. — Ч. 1. Теория моделей. — С. 320-387.

[10] Справочная книга по математической логике / Под ред. Дж. Барвайса. — М. : Наука, 1982. — Ч. 1. Теория моделей. — 392 с.

[11] Ax J. The Elementary Theory of Finite Fields // Annals of Mathematics. — 1968. — Vol. 88, No. 2. — P. 239-271.

[12] Baldwin J. T., Lachlan A. H. On strongly minimal sets // The Journal of Symbolic Logic. — 1971. — Vol. 36, No. 1. — P. 79-96.

[13] Baur W. ^-categorical modules // The Journal of Symbolic Logic. — 1975. — Vol. 40, No. 2. — P. 213-220.

[14] Chatzidakis Z., van den Dries L., Macintyre A. Definable sets over finite fields //J. Reine Angew. Math. — 1992. — Vol. 427. — P. 107-135.

[15] Cherlin G., Hrushovski E. Finite Structures with Few Types. — Annals of Mathematics Studies, No. 152 addr Princeton, Oxford Princeton University Press, 2003. — 193 p.

[16] Eklof P. C., Fischer E. R. The elementary theory of Abelian groups // Annals of Mathematical Logic. — 1972. — Vol. 4. — P. 115-171.

[17] Elwes R., Jaligot E., Macpherson D., Ryten M. Groups in supersimple and pseudofinite theories // Proc. Lond. Math. Soc. — 2011. — Vol. 103, No. 3. — P. 1049-1082.

[18] Fuchs L. Infinite Abelian groups. Volume I, New York, London : Academic Press, 1970, 289 p.

[19] Fuchs L. Infinite Abelian groups. Volume II, New York, London, Academic Press, 1973, 364 p.

[20] Garcia D., Macpherson D., Steinhorn C. Pseudofinite structures and simplicity // Journal of Mathematical Logic. — 2015. — Vol. 15, No. 1, 1550002. — 41 pp.

[21] Hodges W. Model Theory, Cambridge : Cambridge University Press, 1993, 772 p.

[22] Hrushovski E., Wagner F. Counting and dimensions // Model Theory with Applications to Algebra and Analysis, Vol. 2 (Eds. Z. Chatzidakis, H.D. Macpherson, A. Pillay, A.J. Wilkie, Cambridge University Press, Cambridge, 2008. — P. 161-176.

[23] Koppelberg S. Handbook of Boolean Algebras. Vol. 1. Eds. J. D. Monk, R. Bonnet, Amsterdam, New York, Oxford, Tokyo, North-Holland, 1989, 342 pp.

[24] Kulpeshov B. Sh., Sudoplatov S. V. Properties of ranks for families of strongly minimal theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2022. — Vol. 19, No. 1. — P. 120-124.

[25] Laffey T. J., MacHale D. Automorphism orbits of finite groups // Austral. Math. Soc. (Series A). — 1986. — Vol. 40. — P. 253-260.

[26] Macpherson H. D., Steinhorn Ch. Definability in the classes of finite structures Finite and Algorithmic Model Theory. — London Matheematical Society Lecture Notes series: 379 / eds.: J. Esparza, C. Michaux, Ch. Steinhorn addr Cambridge Cambridge University Press, 2011.

[27] Macpherson D. Model theory of finite and pseudofinite groups // Archive for Mathematical Logic. — 2018. — Vol. 57, No. 1-2. — P. 159-184.

[28] Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Algebras for definable families of theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2019. — Vol. 16. — P. 600-608.

[29] Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Definable subfamilies of theories and related calculi // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2020. — Vol. 17. — P. 700-714.

[30] Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Ranks for families of all theories of given languages // Eurasian Mathematical Journal. — 2021. — Vol. 12, No. 2. — P. 52-58.

[31] Morley M. Categoricity in power // Transactions of the American Mathematical Society. — 1965. — Vol. 114, No. 2. — P. 514-538.

[32] Ould Houcine A., Point F. Alternatives for pseudofinite groups //J. Group Theory. — 2013. — Vol. 16. — P. 461-495.

[33] Palyutin E. A., Saffe J., Starchenko,S. S. Models of superstable Horn theories // Algebra and Logic. — 1985. — Vol. 24, No. 3. — P. 171-210.

[34] Pillay A. Geometric Stability Theory, Oxford : Clarendon Press, 1996, 361 p.

[35] Pillay A. Strongly minimal pseudofinite structures // arXiv:1411.5008 [math.LO], 2014. 10 p.

[36] Poizat B. Groupes Stables. — Villeurbanne : Nur Al-Mantiq Wal-Mari'fah, 1987.

[37] Popkov R. A. Distribution of countable models for the theory of the group of integers // Siberian. Math. J. — 2015. — Vol. 56, No. 1. — P. 185-191.

[38] Reineke J. Minimale Gruppen // Zeitschrift fur die mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. — 1975. — Vol. 21, No. 1. — P. 357-359.

[39] Rosen E. Some Aspects of Model Theory and Finite Structures // The Bulletin of Symbolic Logic. — 2002. — Vol. 8, No. 3. — P. 380-403.

[40] Rosenstein J. G. ^0-categoricity of groups // Journal of Algebra. — 1973. — Vol. 25. — P. 435-467.

[41] Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models, Amsterdam : North-Holland, 1990, 705 p.

[42] Stepanova A. A., Efremov E. L., Chekanov S. G. Pseudofinite S-acts // Сиб. электрон. матем. изв. — 2024. — Т. 21, No. 1. — С. 271-276.

[43] Sudoplatov S. V. Closures and generating sets related to combinations of structures // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2016. — Vol. 16. - P. 131-144.

[44] Sudoplatov S. V. Families of language uniform theories and their generating sets // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2016. — Vol. 17. — P. 62-76.

[45] Sudoplatov S. V. Combinations related to classes of finite and countably categorical structures and their theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2027. — Vol. 14. — P. 135-150.

[46] Sudoplatov S. V. Combinations of structures // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2018. — Vol. 24. — P. 65-84.

[47] Sudoplatov S. V. Classification of countable models of complete theories. — Novosibirsk : Novosibirsk State Technical University Publishing House, 2018.

[48] Sudoplatov S. V. Hierarchy of families of theories and their rank characteristics // Bulletin of Irkutsk State University. Series "Mathematics". — 2020. — Vol. 33. — P. 80-95.

[49] Sudoplatov S. V. Approximations of theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. —

2020. — Vol. 17. — P. 715-725.

[50] Sudoplatov S. V. Hierarchy of families of theories and their rank characteristics // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2020. — Vol. 33. — P. 80-95.

[51] Sudoplatov S. V. Formulas and Properties, Their Links and Characteristics // Mathematics. —

2021. — Vol. 9, Issue 12. 1391. — 16 pp.

[52] Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories and their spectra // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2021. — Vol. 42, No. 12. — P. 2959-2968.

[53] Sudoplatov S. V. Arities and aritizabilities of first-order theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2022. — Vol. 19, No. 2. — P. 889-901.

[54] Sudoplatov S. V. Almost n-ary and almost n-aritizable theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2023. — Vol. 20, No. 1. — P. 132-139.

[55] Sudoplatov S. V. Algebraic closures and their variations // arXiv:2307.12536 [math.LO], 2023. 16 p.

[56] Sudoplatov S. V. Variations of rigidity // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2024. — Vol. 47. — P. 119-136.

[57] Sudoplatov S. V. Approximating formulae // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2024. — Vol. 21, No. 1. — P. 463-480.

[58] Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fundamenta Mathematicae. — 1955. — Vol. 41. — P. 203-271.

[59] Tent K., Ziegler M. A Course in Model Theory // Lecture Notes in Logic. No. 40. — Cambridge : Cambridge University Press, 2012.

[60] Truss J. K. Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1992. — Vol. 65, No. 3. — P. 121-141.

[61] Vaananen J. Pseudo-finite model theory // Matematica Contemporanea. — 2003. — Vol. 24. — P. 169-183.

[62] Vinogradov I. M. Elements of Number Theory, Mineola, New York : Dover Publications, Inc., 1954, 230 p.

[63] Woodrow R. E. Theories with a finite number of countable models and a small language. Ph. D. Thesis. — Simon Fraser University, 1976. — 99 p.

Работы автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК, а также входящих в наукометрические базы:

[64] Кулпешов Б. Ш., Павлюк И. И., Судоплатов С. В. Ранги и аппроксимации для семейств упорядоченных теорий // Математические заметки. — 2024. — Т. 116, № 4. — С. 531-551. Перевод: Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Ranks and approximations for families of ordered theories // Mathematical Notes. — 2024. — Vol. 116, No. 4. — P. 669-684. (ВАК, Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[65] Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Pseudo-strongly-minimal structures and theories // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, No. 12. — P. 6515-6525. (Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[66] Кулпешов Б. Ш., Павлюк И. И., Судоплатов С. В. Псевдо-счетно-категоричные формулы и теории // Математические заметки. — 2025. — Т. 117, № 3. — С. 422-442. Перевод: Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Pseudo-countably categorical formulae and theories // Mathematical Notes. — 2025. — Vol. 117, No. 3. — P. 442-457. (ВАК, Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[67] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Families of theories of abelian groups and their closures // Вестник Карагандинского университета. Серия. Математика = Bulletin of the Karaganda university. Mathematics series. — 2018. — Vol. 92, No. 4. — P. 72-78. (Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[68] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories of Abelian groups // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2019. — Vol. 28. — P. 95-112. (ВАК, Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[69] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Approximations for Theories of Abelian Groups // Mathematics and Statistics. — 2020. — Vol. 8, No. 2. — P. 220-224. (Белый список, Scopus)

[70] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Formulas and properties for families of theories of Abelian Groups // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2021. — Vol. 36. — P. 95-109. (ВАК, Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[71] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Arities and aritizabilities of group, monoid and groupoid theories // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 43, No. 3. — P. 682-686. (Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

[72] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Variations of rigidity for abelian groups // Mathematics and Statistics. — 2024. — Vol. 12, No. 2. — P. 204-210. (Белый список, Scopus)

[73] Pavlyuk In. I. On Algebraic and Definable Closures for Theories of Abelian Groups = Об алгебраических и определимых замыканиях для теорий абелевых групп // Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. — 2024. — Vol. 47. — P. 107-118. (ВАК, Белый список, РИНЦ, Scopus, WoS)

Другие публикации:

[74] Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On pseudo-strongly-minimal formulae, structures and theories // Model Theory and Algebra 2024: Collection of papers / Edited by M. Shahryari, S. V. Sudoplatov. — Novosibirsk: NSTU Publisher, 2024. — P. 42-47. (РИНЦ)

[75] Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On a criterion of total transcendency for families of ordered theories // Мальцевские чтения = Mal'tsev meeting : тез. докл. междунар. конф., Новосибирск, 20-24 сент. 2021 г. — Новосибирск, 2021. — С. 152.

[76] Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On pseudo-countably categorical formulae and theories // Синтаксис и семантика логических систем : материалы 8-й Всероссийской конференции, посвященной памяти И. К. Шаранхаева. Аршан, Республика Бурятия, 20-24 августа 2024 г. / ФГБОУ ВО "ИГУ", ИМИТ ; редкол.: Н. А. Перязев, С. Ф. Винокуров, В. И. Пантелеев. — Иркутск : Издательство ИГУ, 2024. — С. 51-55.

[77] Kulpeshov B. Sh., Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On approximations by strongly minimal theories // Международная конференция "Мальцевские чтения". Тезисы докладов. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, 2024. — P. 164.

[78] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On families of theories of Abelian groups and their closures // Proceedings of the 11 Panhellenic logic symposium, Greece, Delphi, 12-16 July 2017. — [Greece], 2017. — P. 45-49.

[79] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On least generating sets for families of theories of abelian groups // Algebra and model theory 13 : Collection of papers. — Novosibirsk : NSTU Publisher, 2021. — P. 100-105. (РИНЦ)

[80] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On algebraic and definable closures for finite structures // Algebra and model theory 14 : Collection of papers. — Novosibirsk : NSTU Publisher, 2023. — P. 87-94. (РИНЦ)

[81] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On e-spectra for families of theories of Abelian groups // Handbook of the 6 World Congress and school on universal logic, France, Vichy, 16-26 June 2018. — Vichy : Vichy University, 2018. — P. 237-238.

[82] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On ranks for families of theories of abelian groups //16 International congress on logic, methodology and philosophy of science and technology (CLMPST) : book of abstr., Czech Technical, Prague, 5-10 Aug. 2019. — Prague, 2019. — P. 374.

[83] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On ranks for families of theories of finite abelian groups // Logic Colloquium 2019 : book of abstr., Czech Republic, Prague, 11-16 Aug. 2019. — Praha : MatfyzPress, 2019. — P. 92-93.

[84] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On ranks for families of theories of finite abelian groups // The Bulletin of Symbolic Logic. — 2019. — Vol. 25, No. 4. — P. 524-525. - [Logic Colloquium 2019, Czech Republic, Prague, 11-16 Aug. 2019].

[85] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On generations for families of theories of abelian groups // Маль-цевские чтения = Mal'tsev meeting : тез. докл. междунар. конф., Новосибирск, 16-20 нояб. 2020 г. — Новосибирск, 2020. — С. 247.

[86] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On rich properties for the family of theories of abelian groups // Logic Colloquium-2021. European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic : book of abstr., Poland, Poznan, 19-24 July 2021. — P. 145.

[87] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On formulas and properties for families of theories of abelian groups // Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Казахстанского дня работников науки Республики Казахстан, посвященная 75-летию академика Кальменова Тынысбека Шариповича : тез. докл. — Алматы : Изд-во ИМММ, 2021. — С.135-136.

[88] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On arities and aritizabilities of group and monoid theories // Мальцевские чтения = Mal'tsev meeting : тез. докл. междунар. конф., Новосибирск, 20-24 сент. 2021 г. — Новосибирск, 2021. — С. 170.

[89] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On rich properties for the family of theories of abelian groups // The Bulletin of Symbolic Logic. — 2022. — Vol. 28, No. 2 : Logic Colloquium-2021. European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic : book of abstr., Poland, Poznan, 19-24 July 2021. — P. 309-310.

[90] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On degrees of algebraization for finite structures // Мальцевские чтения = Mal'tsev meeting : тез. докл. междунар. конф, Новосибирск, 13-17 нояб. 2023 г. — Новосибирск : Ин-т математики им. С. Л. Соболева, 2023. — С. 121.

[91] Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. On variations of rigidity for abelian groups // Традиционная международная апрельская математическая конференция в честь Дня науки Республики Казахстан : тез. докл., Респ. Казахстан, Алматы, 16-19 апр. 2024 г. — Алматы : Изд-во ИМММ, 2024. — С. 247-249.