Сверхзвуковой нелинейный флаттер прямоугольных пластинок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Нгуен Ван Чыонг

• Нгуен Ван Чыонг
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Ван Чыонг

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Обзор теоретических исследований нелинейного флаттера прямоугольных пластинок

1.1. Вводные замечания

1.2. Общая постановка задачи

1.3. Математическое моделирование течения потока

1.4. Математическое моделирование деформирования пластинки

1.5. Методы решения задачи

2. Математическая модель нелинейных колебаний прямоугольной пластинки в потоке газа

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод прямых

2.3. Решение линейной краевой задачи для прогиба пластинки

2.4. Решение линейной краевой задачи для перемещений в нейтральной плоскости пластинки

2.5. Выводы

3. Флаттер пластинок, закрепленных по всему контуру

3.1. Предварительные замечания

3.2. Квазистатическое деформирование пластинки

3.3. Свободные колебания пластинки

3.4. Вынужденные колебания пластинки

3.5. Сопоставление с экспериментами Г.Н. Микишева

3.6. Флаттер пластинки, нагруженной постоянной поперечной нагрузкой

3.7. Выводы

4. Флаттер консольно защемленных пластинок

4.1. Предварительные замечания

4.2. Результаты линейного анализа

4.3. Расчет квадратной пластинки (область I)

4.4. Расчет пластинки малого удлинения (область II)

4.5. Выводы

Заключение

Приложение. Дифференциальные уравнения задачи и естественные

граничные условия

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сверхзвуковой нелинейный флаттер прямоугольных пластинок»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

При математическом моделировании обтекания твердого тела газовым потоком обычно предполагается, что обтекаемая поверхность не деформируется. Если изгибная жесткость обтекаемого тела невелика, от этого предположения необходимо отказаться и рассмотреть совместные колебания тела и газового потока. Обычно колебания, инициированные некоторым начальным импульсом, быстро затухают за счет так называемой аэродинамической вязкости, но возможен случай, когда амплитуда колебаний со временем резко возрастает. Это явление, называемое флаттером, может вызвать разрушение обтекаемых элементов конструкции летательного аппарата — несущих поверхностей или обшивки. Возможно также ухудшение управляемости. Флаттер явился причиной многих авиакатастроф. Поэтому его изучение представляет собой одно из приоритетных направлений исследований механики.

Среди задач математического моделирования флаттера выделяют обширный класс задач - задачи панельного флаттера, при формулировке которых обтекаемое тело можно рассматривать как пластинку или пологую оболочку. Дальнейшее разделение направлений исследований обусловлено свойствами обтекаемого потока: закономерности флаттера при дозвуковом и сверхзвуковом обтекании различны.

Сверхзвуковой флаттер характерен для элементов обшивки и несущих поверхностей малого удлинения. Его возникновение - переход от затухающих колебаний к колебаниям с возрастающей амплитудой -естественно трактовать как потерю устойчивости. Анализ устойчивости можно проводить как в линейной, так и в нелинейной постановке. В первом случае удается определить границу устойчивого режима обтекания -критическое значение скорости набегающего потока на бесконечности.

Детальную картину закритического поведения системы поток - обтекаемое «

тело дает нелинейная постановка задачи. На первый взгляд кажется, что практическое значение нелинейного рассмотрения невелико. Можно, конечно, зная частоту и амплитуду колебаний, сделать расчет на долговечность. Но так как исследуемые элементы конструкции относятся к весьма ответственным, наиболее надежный способ обеспечения усталостной прочности заключается в недопущении флаттерных колебаний, а для этого достаточно знания критической скорости. Тем не менее, в некоторых случаях нелинейный анализ необходим. Дело в том, что в зависимости от геометрических, инерционных и жесткостных параметров обтекаемого тела, от плотности и скорости набегающего потока флаттер возникает по-разному. Обычно встречается то, что уместно называть нормальным флаттером. Он появляется в результате слияния первого и второго собственных значений оператора краевой задачи (при решении в линейной постановке). Образуется пара комплексно сопряженных собственных значений, которая при дальнейшем росте скорости набегающего потока выходит на параболу устойчивости. В отличие от нормального, аномальный флаттер возникает в результате слияния на первого и второго, а какой-либо другой пары собственных значений. При этом, как показывают расчеты, переход от нормального флаттера к аномальному при непрерывном изменении исходных данных задачи (например, отношения сторон обтекаемой пластинки) происходит скачком: критическая скорость аномального флаттера заметно меньше.

Изучение закритического поведения системы в случаях нормального и аномального флаттера представляет несомненный интерес.

Колебания при флаттере относятся к типу автоколебаний. Для автоколебаний достаточно простых систем характерно образование предельного цикла - одночастотных колебаний с неизменной амплитудой. Этот предельный цикл является аттрактором: вне зависимости от исходных данных система рано или поздно выходит на предельный цикл. Исследования нелинейного флаттера показывают, что и для флаттерных колебаний

наблюдается та же картина. Однако это утверждение можно отнести только к нормальному флаттеру. Аномальный флаттер в нелинейной постановке ранее не исследовался.

Сказанное, по-видимому, убеждает в актуальности темы диссертации. Но есть и другой немаловажный аспект проблемы исследования нелинейного флаттера. Так как аналитические методы для решения данной задачи неприменимы, то это выбор и обоснование численного метода анализа. В этом вопросе за последние пятьдесят лет, а это как раз время интенсивного изучения нелинейного флаттера, произошли качественные изменения, связанные с революционным развитием вычислительной техники. В начале этого периода к численным решениям задач нелинейного флаттера предъявлялись весьма умеренные требования - не противоречить здравому смыслу и экспериментальным данным. В настоящее же время можно требовать от численного решения быть сколь угодно точным. Поэтому вопросы полноты системы координатных функций, сходимости приобрели первостепенное значение. Новые методы позволяют уточнять решения ранее рассмотренных задач.

Применительно к задачам нелинейного панельного флаттера разработка такого метода является актуальной задачей. Вариант ее решения представлен в настоящей диссертации.

Цель работы

Целью диссертационного исследования является разработка метода решения задач о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок и исследование этим методом флаттерных колебаний пластинок при различных условиях их закрепления.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод численного решения задачи о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок.

2. Решения задач о нелинейных колебаниях пластинок в условиях флаттера.

Научная новизна работы

1. Разработан метод решения задачи о нелинейном сверхзвуковом флаттере прямоугольных пластинок.

2. Метод применен к решению ряда задач о нелинейном флаттере пластинок при различных условиях закрепления.

3. Исследованы различные режимы флаттерных колебаний; установлены основные закономерности этих режимов.

Практическая ценность исследования

Разработанный метод позволяет проводить расчеты, результаты которых дают возможность оценить опасность флаттерных колебаний для прочности и управляемости летательного аппарата. Решения задач, представленные в диссертации, показывают, что режимы автоколебаний могут быть качественно различны. Этот результат может представлять интерес для теории нелинейных колебаний.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью использованных методов исследования, согласованностью решений тестовых задач с решениями других исследователей и экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты исследования обсуждались на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2014 г.), семинаре по МДТТ им. JI.A. Толоконникова (руководитель - проф. A.A. Маркин), ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в четырех публикациях [102-105], в том числе в статьях [103-105] из журналов, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и приложения. Объем работы - 102 страницы, включая 45 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 105 наименований.

В первом разделе приведен обзор литературы по теме диссертации. Второй раздел - основной раздел диссертации - содержит описание разработанного метода расчета. В третьем разделе излагаются результаты расчетов пластинок, опертых или защемленных по всему периметру и моделирующих элементы обшивки летательного аппарата. В четвертом разделе описаны результаты расчетов консольно защемленных пластинок, моделирующих несущие поверхности летательного аппарата.

Нумерация формул, таблиц и графиков дается в пределах раздела. При ссылке на формулу из другого раздела перед ее номером ставится номер раздела. Например, запись (2.3) означает ссылку на формулу (3) из раздела 2.

1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ФЛАТТЕРА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК

1.1. Вводные замечания

Изучаемое явление - флаттер возникает в результате взаимодействия газового потока с тонкостенным обтекаемым телом - стержнем, пластинкой или оболочкой. Расчетная схема стержня используется для моделирования флаттера крыльев большого удлинения. Возникновение флаттера в данном случае обусловлено сближением первых частот изгибных и крутильных колебаний стержня, поэтому флаттер стержня называется изгибно-крутильным. Исследования изгибно-крутильного флаттера ориентированы на дозвуковой режим обтекания, так как при сверхзвуковых скоростях используются несущие поверхности малого удлинения, для которых расчетная схема стержня непригодна. Несущие поверхности - крылья и стабилизаторы — в сверхзвуковом потоке естественно представлять как пластинку, обтекаемую потоком по обеим сторонам.

Другое, и более часто встречающееся применение расчетной схемы пластинки к моделированию флаттера - элементы обшивки летательного аппарата. В данном случае пластинка обтекается с одной стороны.

Флаттер пластинок, а также пологих оболочек называется панельным флаттером. Как правило, панельный флаттер может возникнуть только при сверхзвуковой скорости обтекания.

Предметом настоящего диссертационного исследования является панельный флаттер при сверхзвуковой скорости обтекания, причем, рассматриваются только пластинки, прямоугольные в плане. Это наиболее важный расчетный случай в точки зрения практики, а с точки зрения теории - наиболее простой. Но обычно, и данное исследование не является исключением, методы, разработанные при исследовании флаттера прямоугольных пластинок, допускают обобщение на пластинки другой формы в плане.

1.2. Общая постановка задачи

Таким образом, задача, решаемая в диссертации, формулируется в общем виде следующим образом. Рассматривается прямоугольная пластинка постоянной толщины. На контуре пластинки могут быть заданы различные граничные условия: защемление (заделка), шарнирное (свободное) опирание, свободный край, причем, в пределах каждой стороны прямоугольника граничные условия неизменны. Пластинка обтекается газовым потоком (по одной или двум поверхностям); на бесконечности поток однороден, и его скорость превышает скорость звука. Ставится задача исследования совместных колебаний пластинки и набегающего потока.

В такой постановке задача о сверхзвуковом панельном флаттере рассматривалась в работах многих исследователей начиная с 50-х годов прошлого столетия (см. монографии [ 2, 8, 15, 16, 17, 32, 46, 48, 50, 53, 66, 69, 70] и др.). Большое количество исследований (их число действительно велико: так, например, далеко не полный библиографический список монографии [2] насчитывает 749 источников) обусловлено сложностью задачи. При ее постановке возникают проблемы выбора математических моделей течения набегающего потока и деформирования пластинки.

1.3. Математическое моделирование течения потока

При построении математической модели обтекания в данном случае исследователь приходит к необходимости решать задачу обтекания поверхности сверхзвуковым потоком. При этом, вследствие малого удлинения пластинки (отношения характерного размера в направлении, перпендикулярном потоку, к характерному размеру вдоль потока) задача становится трехмерной. Обтекаемая поверхность, вследствие колебаний пластинки, не является плоской. Поэтому возможен и отрыв потока, и образование значительных турбулентных зон. Колебания пластинки в потоке газа далеко не всегда можно считать стационарными, что еще больше усложняет задачу. Поэтому при решении задач о флаттере принимаются те

или иные допущения. При этом, конечно, более простые модели обтекания позволяют использовать более сложные модели деформирования пластинки, и наоборот, применение сложных моделей обтекания предполагает использование простых моделей деформирования пластинки.

Исторически первой математической моделью обтекания колеблющейся пластинки сверхзвуковым газовым потоком является поршневая теория (теория поршня) [8, 15]. Теория основана на ряде допущений, в результате применения которых оказывается, что поперечное течение газа, обусловленное колебаниями пластинки, подчиняется тем же закономерностям, что и течение газа в трубе при перемещении поршня (отсюда и название: поршневая теория).

Теория поршня относится к разряду полуэмпирических теорий, и поэтому развивался и развивается до настоящего времени альтернативный подход. Его суть заключается в следующем. Исходными являются основные уравнения гидродинамики. Далее принимаются упрощающие гипотезы, как правило, вынужденные, ибо, если их не принимать, теория окажется устрашающе сложной. Получающиеся математические модели можно считать более обоснованными, чем поршневая теория. Обычно используется модель идеальной сжимаемой жидкости. Это означает пренебрежение влиянием пограничного слоя, возможностью его отрыва, возникновением зон турбулентности. Но даже без учета этих эффектов получающиеся уравнения [40] очень сложны. Поэтому обычно задача обтекания рассматривается в двумерной постановке. Строго говоря, это допущение справедливо лишь для пластинки бесконечно большого удлинения — полосы с неизменной формой профиля. Поэтому получающиеся математические модели называются теориями полосы [46]. Различают стационарную теорию полосы и используемую в исследованиях флаттера нестационарную теорию полосы. Эта теория, даже для линейных задач, допускающих разделение переменных, все еще очень сложна. Возможности ее применения, допустимость тех или иных дальнейших упрощающих гипотез исследована в работах И.А. Кийко,

С.Д. Алгазина, БЛО. Кудрявцева, В.В. Показеева [1, 2, 22-25]. С использованием нестационарной теории полосы В.В. Веденеев [13, 97 и др.] показал, что наряду с известным механизмом возникновения флаттера (слияние двух соседних собственных значений и образование комплексно сопряженной пары [46]), существует и другой, названный В.В. Веденеевым высокочастотным или одномодовым. Этот тип флаттера невозможно математически описать, используя поршневую теорию.

Сложность нестационарной теории полосы оправдывает попытки ее дальнейшего упрощения. Наряду с упомянутыми выше исследованиями И.А. Кийко и др., упрощенный вариант теории предложен в работе [5]. Большинство исследователей идет еще дальше. В результате получается формула для избыточного давления газа на пластинку [46], отличающаяся от соответствующей формулы поршневой теории [8] только значениями коэффициентов. При числе Маха на бесконечности, большем 1.5, различие в результатах расчетов по обеим теориям лежим в области точности экспериментов.

Отметим, что и поршневая теория, и упрощенная теория полосы проверялись экспериментально, в частности, в исследованиях Г.Н. Микишева [36]. Как оказалась, поршневая теория лучше согласуется с экспериментом. Не следует считать этот результат парадоксальным, так как и та, и другая теории опираются на гипотезы, безусловно, правдоподобные, но все-таки вносящие погрешность в расчет. Получается, что погрешности гипотез упрощенной теории полосы более значимы, чем погрешности поршневой теории.

Существенно то, что согласование обеих теорий с экспериментом вполне приемлемо. Поэтому обе они используется в теоретических исследованиях флаттера; причем, при решении сложных задач, например, при исследовании флаттера пластинок сложной формы в плане, используются исключительно они.

Настоящая диссертация посвящена решению именно сложных нелинейных задач. Поэтому в качестве аэродинамической составляющей математической модели в диссертационном исследовании применена поршневая теория, сравнительно простая и дающая приемлемо адекватное описание механического взаимодействия колеблющейся пластинки с обтекаемым потоком.

1.4. Математическое моделирование деформирования пластинки

В отличие от разнообразия подходов, применяемых для моделирования течения газа в исследованиях сверхзвукового панельного флаттера, для описания деформирования пластинки всегда используется одна и та же теория - классическая теория тонких упругих пластинок, основанная на гипотезах Кирхгофа [44]. В зависимости от целей исследования используются два варианта теории: линейный и нелинейный. Если ставится задача определить лишь критическую скорость набегающего потока, применяется линейный вариант теории, ограниченный условием малости прогибов пластинки по сравнению с ее толщиной. При использовании поршневой теории или упрощенной теории полосы математическая модель -система уравнений с граничными условиями - оказывается линейной. Задача нахождения критической скорости сводится к алгебраической задаче о собственных значениях. Ранние исследования панельного флаттера в такой постановке подробно освещены в монографиях [8, 15, 46, 66, 70] и др. Дальнейшие исследования позволили учесть влияние нагрузок в плоскости пластинки на величину критической скорости [37], отличие формы пластинки в плане от прямоугольника, граничные условия свободного края, переменную жесткость пластинки и т.п. [2, 20, 21, 29, 48, 51, 59, 71, 72, 79, 80, 85, 92, 94 и др. ].

Для инженерной практики важно не только значение критической скорости, но и характер закритического поведения системы. Вполне возможно, что интенсивность флаттерных колебаний, если она достаточно

мала, не приведет ни к разрушению, ни к существенному снижению управляемости.

Кроме практического интереса, изучение закритического поведения пластинки при флаттере представляет значительный теоретический интерес, далеко выходящий за пределы изучения собственно колебаний пластинки в потоке газа. Дело в том, что колебания пластинки при флаттере представляют собой автоколебания [3, 11, 18, 26, 31-34, 39]. Интенсивное изучение в последние десятилетия нелинейных колебаний и, в частности, автоколебаний, обусловлено стремлением понять закономерности турбулентных течений жидкости. Надежды на успех укрепились после открытия возможности возникновения в нелинейных колебательных системах хаотических режимов движения [33, 34, 39]. Поэтому изучение автоколебаний, возникающих при флаттере, должно дать ответ на вопрос, возможны ли при этом хаотические режимы и, если возможны, то при каких условиях. И так как, по распространенному мнению, турбулентность представляет собой хаотические автоколебания [39] (конечно, несоизмеримо более сложные, чем колебания при флаттере), то нахождение и изучение хаотических режимов колебаний при флаттере внесет немалый вклад в понимание закономерностей турбулентности. *

Для моделирования закритического поведения пластинки, то есть флаттерных колебаний с конечной амплитудой, необходимо использовать нелинейные уравнения деформирования пластинки.

Во всех известных исследованиях нелинейного панельного флаттера используются уравнения Кармана [14, 42, 44]. При их выводе предполагаются справедливыми гипотезы Кирхгофа [44]. Отличие от линейной теории в том, что в выражениях деформаций в плоскости пластинки сохраняются нелинейные слагаемые, содержащие прогиб. Если считать линейные уравнения нулевым приближением точной нелинейной системы уравнений, то уравнения Кармана представляют собой первое приближение. Это утверждение обосновано в работе [42]. Теория Кармана

остается справедливой, пока прогиб соизмерим с толщиной пластинки. В излагаемом диссертационном исследовании, так же, как и в других работах, решаются уравнения Кармана; взаимодействие пластинки с газовым потоком описывается поршневой теорией.

1.5. Методы решения задачи

Система уравнений задачи нелинейна. В общем случае искомые величины - прогиб и перемещения нейтральной поверхности в плоскости пластинки - зависят от времени и двух пространственных переменных. Поэтому не только в общем случае, но даже и в частных случаях задачу удается решить только численными методами. Естественно использовать метод Галеркина [38, 47]. Коэффициенты при координатных функциях метода Галеркина рассматриваются при этом как неизвестные функции времени. Решение задачи сводится к решению системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно упомянутых коэффициентов. Такой подход к решению задачи применялся как в пионерских работах В.В. Болотина [6-8] и Фунга (Y.C. Fung) [73], так и во многих последующих исследованиях [15, 16, 35, 62-70 и др.].

С развитием вычислительной техники менялись требования, предъявляемые к численным решениям. В начальный период изучения нелинейного флаттера (вторая половина пятидесятых годов прошлого столетия) от численного решения ожидали лишь грубого приближения к точному решению, приближения, позволяющего дать количественную оценку изучаемому явлению на уровне прикидочных расчетов. В настоящее же время естественно ожидать от численного решения точности, даваемой аналитическим решением, то есть, в принципе, сколь угодно высокой точности решения. Применительно к методу Галеркина такое требование означает, в первую очередь, что система координатных функций должна быть полной [4, 19, 38, 47]. Во-вторых, количество этих функций, используемых в расчете, должно быть таким, чтобы можно было с

уверенностью сделать вывод о сходимости численного решения к точному. Ранние исследования этим условиям не удовлетворяют: число координатных функций было невелико, и выбирались они, руководствуясь стремлением максимально «приблизить» искомую функцию, вид которой определялся либо из соображений симметрии, либо из анализа экспериментов, либо по аналогии.

Помимо метода Галеркина в его классической форме широко использовался и используется метод конечных элементов [12, 19, 47]. Подход, по существу, тот же: проводится интегрирование по пространственным переменным и в результате получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых неизвестных [19, 47]. Такой подход, как классический метод Галеркина, при выполнении требования полноты системы координатных функций позволяет, в принципе, получить сколь угодно точное решение. Отметим, что координатные функции в метод конечных элементов также должны удовлетворять требованию полноты.

Проанализируем, с точки зрения возможности получения, хотя бы в принципе, точного решения, опубликованные данные о методах решения задач нелинейного флаттера.

В работах Дауэлла (E.H. Dowell) [60, 62-70, 95, 98-100] применен метод Галеркина (так, как это описано выше). Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение во времени коэффициентов разложений по координатным функциям, решалась методом Рунге-Кутта [4]. В качестве координатных функций выбирались формы свободных колебаний пластинки (в линейной постановке), если соответствующая задача о собственных колебаниях имеет аналитическое решение. В противном случае координатные функции представлялись в виде произведения форм свободных колебаний балки в направлениях осей абсцисс и ординат. Вопрос о полноте системы координатных функций ни в одной из перечисленных работ не обсуждается.

В работах В.В. Болотина с соавторами [9, 10, 54-56], посвященных качественному анализу, рассматривается пластинка, напряженное состояние которой зависит только от одной пространственной координаты (полоса). При этом действие напряжений в плоскости пластинки сводится к действию не зависящего от пространственной координаты усилия, а исходное уравнение в частных производных допускает разделение переменных, в результате чего получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, которая и исследуется.

Шарнирно опертая полоса была предметом исследований А.Н. Куликова [27,28].

В работе В.М. Белубекяна и М.М. Минасяна [5] также рассматривается полоса. Аэродинамическая нагрузка определяется по более сложной теории, чем поршневая, поэтому разделить переменные в данном случае невозможно. Решение в работе [5] находится методом Галеркина, причем авторы ограничились одночленным приближением. Вопросы точности решения в работе, естественно, не обсуждаются.

В статьях Либреску (Ь.1. ЫЬгеБси) с соавторами [52, 57] также использован метод Галеркина с дальнейшим решением системы нелинейных обыкновенных дифференциальнных уравнений.

Прежде чем переходить к анализу последующих публикаций, необходимо отметить следующее. Опыт и численные решения показывают, что предельный цикл флаттерных автоколебаний очень близок к одночастотным гармоническим колебаниям. Поэтому допустимо для получения характеристик этого цикла (частота, амплитуда) использовать метод гармонического баланса. Применительно к исследованию некоторых простых автоколебательных систем он изложен в монографии [31]. Примеры его использования при решении задач нелинейного флаттера неизвестны.

Рассмотрим работы Мея (С. Ме1) с соавторами [49, 61, 74, 75, 86, 87, 101]. В первой из них [86] решается задача о флаттере полосы. Применяется метод конечных элементов, что для решаемой пространственно одномерной

задачи выглядит совершенно лишним. Далее автор утверждает без каких-либо объяснений, что все узловые неизвестные зависят от времени по одному и тому же экспоненциальному закону, то есть так, как если бы получившаяся система обыкновенных дифференциальных уравнений была бы линейной. Подробное изложение рассуждений Мея имеется в работе [74]. В ней рассматривается пластинка, приводятся уравнения Кармана, известная формула для аэродинамического давления. Затем указывается в общем виде процедура решения задачи методом конечных элементов, в результате чего получается, как это и должно быть, система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно узловых неизвестных. А вот далее, вместо решения этой системы используется «линеаризация», основанная на «формулах» (формулы (26) работы [74]):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Ван Чыонг, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгазин, С Д. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины / С.Д. Алгазин, И.А. Кийко // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 4. С. 3542.

2. Алгазин, С.Д. Флаттер пластин и оболочек / С.Д. Алгазин, И.А. Кийко. - М.: Наука, 2006. 247 с.

3. Андронов, A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981. 918 с.

4. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М.: Бином, 2003. 630 с.

5. Белубекян, В.М. О нелинейном флаттере пластин в сверхзвуковом потоке газа / В.М. Белубекян, М.М. Минасян II Изв. Национальной АН Армении. 1999. Т. 52. № 4. С. 38-45.

6. Болотин, В.В. Нелинейные задачи устойчивости плоских панелей при больших сверхзвуковых скоростях / В.В. Болотин, Ю.В. Гаврилов, Б.П. Макаров, Ю.Ю. Швейко II Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. № 3. С. 59-64.

7. Болотин, В.В. Нелинейный флаттер пластин и оболочек I В.В. Болотин И Инж. сборник. 1960. Т. 28. С. 215-223.

8. Болотин, В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В. Болотин. - М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.

9. Болотин, В.В. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных систем / В.В. Болотин, A.A. Гриито, А.П. Петровский II Изв. РАН. МТТ. 1995. № 2. С. 158-167.

10. Болотин, В.В. Устойчивость и послекритическое поведение аэроупругих систем с учетом дополнительного демпфирования / В.В. Болотин, A.A. Гришко И Изв. РАН. МТТ. 2003. № 5. С. 164-175.

И .Бутенин, Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, H.JT. Фуфаев. -М.: Наука, 1976. 382 с.

12 .Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности I К. Васидзу. - М.: Мир, 1987. 544 с.

13.Веденеев, В.В. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины / В.В. Веденеев II Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 5. С. 197-208.

14.Волъмир, A.C. Гибкие пластинки и оболочки / A.C. Волъмир. - М.: ГИТТЛ, 1956. 420 с.

15.Волъмир, A.C. Устойчивость деформируемых систем / A.C. Волъмир. -М.: Наука, 1967. 984 с.

16.Волъмир, A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек / A.C. Волъмир. - М.: Наука, 1972. 432 с.

17.Горшков, А.Г. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. -М.: Наука, 2000. 591 с.

18.Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркация векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. - Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.

19.Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975. 541 с.

20.Исаулова, Т.Н. Аэродинамическая устойчивость консольно защемленной косоугольной пластинки / Т.Н. Исаулова, И.М. Давит II Известия ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2. С.90-104.

2\.Исаулова, Т.Н. Устойчивость консольно защемленной косоугольной неоднородной пластины в сверхзвуковом потоке газа / Т.Н. Исаулова, И.М. JIaeum II Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52. С.191-204.

22.Кийко, H.A. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины / И.А. Кийко, Б.Ю. Кудрявцев II Вестн. МГУ. Математика, механика. 2005. №1. С.68-71.

23.Кийко, И.А. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа I H.A. Кийко, В.В. Показеев И Изв. РАН. МЖГ. 2009. №1. С.160-166.

24.Кудрявцев, Б.Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях / Б.Ю. Кудрявцев И Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2005. Т. 11. Вып. 2. С.99-102.

25.Кудрявцев, Б.Ю. Исследование задачи о флаттере в нелинейной постановке / Б.Ю. Кудрявцев II Изв. ТулГУ. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 12. Вып. 2. С. 61-67.

26.Кузнецов, А.П. Нелинейные колебания / А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. - М.: Физматлит, 2002. 292 с.

21 .Куликов, А.Н. Бифуркация автоколебаний пластинки при малом демпфировании в сверхзвуковом потоке газа / А.Н. Куликов II ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 271-281.

28.Куликов, А.Н. Резонанс 1:3 - одна из возможных причин нелинейного панельного флаттера / А.Н. Куликов // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2011. Т. 51. № 7. С. 1266-1279.

29.Лавит, КМ. Устойчивость консольно защемленной прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке / KM. JJaeum II Проблемы нелинейной механики. Тула: Изд-во ТулГУ. 2003. С. 210-217.

30 .Лавит, И.М. Термоупругопластическое деформирование толстостенного цилиндра с радиальной трещиной / И.М. Лавит, Нгуен Вьет Чунг // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. № 3. С. 173183.

31 .Ланда, П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы / П. С. Ланда. - М.: Наука, 1980. 360 с.

Ъ2.Ланда, П.С. Автоколебания в распределённых системах / U.C. Ланда. -М.: Наука, 1983.320 с.

33.Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. -М.: Мир, 1984. 528 с.

34.Магницкий, H.A. Новые методы хаотической динамики / H.A. Магницкий, C.B. Сидоров. -М.: Едиториал УРСС, 2004. 320 с.

35.Макаров, Б.П. О нелинейном флаттере пластины, защемленной по контуру / Б.П. Макаров II Труды конференции по теории пластин и оболочек. Казань: Б. И., 1960. С. 220-225.

36.Микишев, Г.Н. Экспериментальное исследование автоколебаний квадратной пластины в сверхзвуковом потоке / Г.Н. Микишев Н Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. №1. С. 154-157.

37.Михайлов, А.П. Флаттер тонкой упругой опертой прямоугольной пластины, находящейся под действием сдвигающей и сжимающей краевой нагрузки / А.П. Михайлов // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №4. С. 129-130.

ЪЪ.Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий. -М.: Наука, 1965. 384 с.

39.Неймарк, Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Негшарк, П.С. Лайда. -М.: Наука, 1987. 424 с.

АО.Новичков, Ю.Н. О применении трёхмерной аэродинамической теории к задачам выпучивания и флаттера панелей / Ю.Н. Новичков II Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3. С. 138-141.

41 .Рихтмайер, Р.Д. Разностные методы решения краевых задач / Р.Д. Рихтмайер, К. Мортон. -М.: Мир, 1972. 415 с.

42.Съярле, Ф. Уравнения Кармана / Ф. Съярле, П. Рабье. - М.: Мир, 1983. 172 с.

АЗ.Тарасов, В.Н. О нелинейных колебаниях прямоугольных пластин / В.Н. Тарасов, В.Ю. Аидрюкова II Вестник Сыктывкарского университета. 2010. Сер. 1. Вып. 11. С. 76-85.

А А.Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М.: Наука, 1966. 625 с.

45.Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Уилкинсон, Райнш. - М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

Ав.Феришнг, Г. Основы аэроупругости / Г. Феришнг. — М.: Машиностроение, 1984. 599 с.

47.Флетчер, К. Численные методы -на основе метода Галеркина / К. Флетчер. -М.: Мир, 1988. 352 с.

AZ.Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. -М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

49.Abdel-Motaglay, К. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite element / K. Abdel-Motaglay, R. Chen, C. Mei IIAIAA Journal. 1999. V. 37. N. 9. P. 1025-1032.

50.Amabili, M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates / M. Amabili. — Cambridge: University Press, 2008. 374 p.

51 .Barai, A. Flutter of hybrid laminated flat panels with simply supported edges in supersonic flow / A. Barai, S. Durvasula // J. of Sound and Vibration. 1994. V. 169. N. 3. P. 373-386.

52.Birman, V. Supersonic flutter of shear deformable laminated composite flat panels / V. Birman, L. Librescu И J. of Sound and Vibration. 1990. V. 139. N. 2. P. 265-275.

53.Bloom, F. Handbook of thin plate buckling and postbuckling / F. Bloom, D. Coffin. - Boca Raton: Chapman, 2001.776 p.

54.Bolotin, V. V. Secondary bifurcations and global instability of an aeroelastic nonlinear system in the divergence domain / V. V. Bolotin, A.P. Petrovsky И J. of Sound and Vibration. 1996. V. 191. N. 3. P. 431-451.

Sb.Bolotin, V. V. Nonlinear panel flutter in remote post-critical domains / V. V. Bolotin, A. A. Grishko, A.N. Kounadis, C.H. Gantes II Int. J. of Non-Linear Mechanics. 1998. V. 33. N. 5. P. 753-764.

56.Bolotin, V. V. Influence of initial conditions on the postcritical behavior of a nonlinear aeroelastic system / V. V. Bolotin, A.A. Grishko, A.N. Kounadis, C.H. Gantes, J.В. Roberts //Nonlinear Dynamics. 1998. V. 15. P. 63-81.

57.Chandiramani, N.K. Flutter of geometrically-imperfect shear-deformable laminated flat panels using non-linear aerodynamics / N.K. Chandiramani,

L.I. Librescu, R.H. Plaut II J. of Sound and Vibration. 1996. V. 192. N. 1. P. 79-100.

58.Chen, D. Nonlinear flutter of a two-dimension thin plate subjected to aerodynamic heating by differential quadrature method / D. Chen, Y. Yang, C. Fan //Acta Mech. Sin. 2008. V. 24. P. 45-50.

59.Chowdary, T. V.R. Finite element flutter analysis of laminated composite panels / 71 V.R. Chowdary, S. Par than, P.K. Sinha II Computers and Structures. 1994. V. 53. N. 2. P. 245-251.

60.Dan, X. Proper orthogonal decomposition reduced-order model for nonlinear aeroelastic oscillations / X. Dan, X. Min, E.H. Dowell II AIAA Journal. 2014. V. 52. N. 2. P. 229-241.

61..Dixon, I.R. Finite element analysis of large amplitude panel flutter of thin laminates / I.R. Dixon, C. Mei II AIAA Journal. 1993. V. 31. N. 4. P. 701707.

62.Dowell, E. Theoretical and experimental panel flutter studies in Mach number range 1.0 to 5.0 / E. Dowell, H.M. Voss II AIAA Journal. 1965. V. 3.N.12.P. 2292-2304.

63.Dowell, E. Nonlinear oscillations of fluttering plate / E. Dowell II AIAA Journal. 1966. V.4.N.7.P. 1267-1275.

64.Dowell, E. Nonlinear oscillations of fluttering plate. II / E. Dowell II AIAA Journal. 1967. V. 5.N. 10. P. 1856-1862.

65.Dowell, E. Panel flutter: A review of the aeroelastic stability of plates and shells / E. Dowell II AIAA Journal. 1970. V. 8. N. 3. P. 385-399.

66.Dowell, E.H. Aeroelasticity of plates and shells / E.H. Dowell. - Leyden: Noordhoof, 1975. 139 p.

61.Dowell, E.H. Flutter of an elastic plate under tension / E.H. Dowell, C.S. Ventres U AIAA Journal. 1977. V. 15. N. 11. P. 1653-1655.

6%.Dowell, E.H. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of a deterministic autonomous system / E. H. Dowell II J. of Sound and Vibration. 1982. V. 85. N. 3. P. 333-344.

69.Dowell, E.H. Studies in nonlinear aerolasticity / E.H. Dowell, M. Ilgamov. -New York: Springer-Verlag, 1988. 455 p.

70.Dowell, E.H. A modern course in aeroelasticity / E.H. Dowell, R. Clark, D. Cox at al. - Dordrecht: Kluwer, 2004. 746 p.

71 .Dugundji, J. Theoretical considerations of panel flutter at high supersonic Mach numbers / J. Dugundji II AIAA Journal. 1966. V. 7. P. 1257-1266.

ll.Eloy, C. Flutter of a rectangular plate / C.Eloy, C. Souilliez, L. Schouveiler 11 J. of Fluids and Structures. 2007. V. 23. N. 6. P. 904-919.

13.Fung, Y.C. On two-dimensional panel flutter / Y.C. Fung II J. of the Aeronautical Sciences. 1958. V. 25. N 3. P. 145-160.

1 A.Gray, C.E. Large-amplitude finite element flutter analysis of composite panels in hypersonic flow / C.E. Gray, C. Mei II AIAA Journal. 1993. V. 31. N. 6. P. 1090-1099.

15.Guo, X. Using aeroelastic modes for nonlinear panel flutter at arbitrary supersonic yawed angle / X. Guo, C. Mei II AIAA Journal. 2003. V. 41. N. 2. P. 820-825.

16.Haddadpour, H. Nonlinear oscillations of a fluttering functionally graded plate / H. Haddadpour, H.M. Navazi, F. Shadmehri II Composite Structures. 2007. V. 79. N. 2. P. 242-250.

11.Hai, Z. A study on the aero-elastic flutter of stiffened laminated composite panel in the supersonic flow / Z. Hai, C. Dengqing II J. of Sound and Vibration. 2013. V. 332. N. 19. P. 4668-4679.

l%.Han, A.D. Nonlinear panel flutter using high-order triangular finite elements / A.D. Han, T.Y. Yang II AIAA Journal. 1983. V. 21. N. 10. P. 1453-1461.

19.Higuchi, K. Effect of structural damping an flutter of plates with a follower force / K. Higuchi, E.H. Dowell II AIAA Journal. 1992. V. 30. N. 3. P. 820-825.

80 .Huang, L. Modal analysis of cantilever plate flutter / L. Huang, C. Zhang I I J. of Fluids and Structures. 2013. V. 38. P. 273-289.

81.Hui, D. Soft-spring nonlinear vibrations of antisymmetrically laminated rectangular plates / D. Hui II Int. J. Mech. Sci. 1985. V. 27. N. 6. P. 397408.

82.Ibrahim, H.H. Non-linear flutter for temperature-dependent functionally graded material panels / H.H. Ibrahim, M. Tawfik, M. Al-Ajmi II Comput. Mechanics. 2008. V. 41. P. 325-334.

83.Kastikadelis, J.T. Nonlinear flutter instability of thin damped plates: a solution by the analog equation method / J.T. Kastikadelis, N.G. Babouskos 11 J. of Mech. of Materials and Structures. 2009. V. 4. N. 7-8. P. 1395-1414.

%A.Kouchakzadeh, M.A. Panel flutter analysis of general laminated composite plates / M.A. Kouchakzadeh, M. Rasekh, H. Haddadpour II Composite Structures. 2010. V. 92. N. 12. P. 2906-2915.

85.Lin, K.-J. Flutter analysis of composite panels using high-precision finite elements / K.-J. Lin, P.-J. Lu, J.-Q. Tarn II Computers & Structures. 1989. V. 33. N. 2. P. 561-574.

86.Mei, C. A finite-element approach for nonlinear panel flutter / C. Mei H AIAA Journal. 1977. V. 15. N. 8. P. 1107-1110.

%l.Mei, C. Review of nonlinear panel flutter at supersonic and hypersonic speeds / C. Mei, K. Abdel-Motagaly, R. Chen II Applied Mechanics Reviews. 1999. V. 52. N. 10. P. 321-332.

88.Popescu, B. Deteriorated geometrical stiffness for higher order finite elements with application to panel flutter / B. Popescu II Nonlinear Dynamics. 1999. V. 18. P. 89-103.

89.Pourtakdoust, S.H. Chaotic analysis of nonlinear viscoelastic panel flutter in supersonic flow / S.H. Pourtakdoust, S.A. Fazelzadeh II Nonlinear Dynamics. 2003. V. 32. P. 387-404.

90.Sarma, B.S. Nonlinear panel flutter by finite element method / B.S. Sarma,

T.K. Varadan II AIAA Journal. 1988. V. 26. N. 5. P. 566-574. 91.Shiau, L.C. Nonlinear flutter of composite laminated plates / L.C. Shiau,

L.T. Lu II J. Math. Comput. Modelling. 1990. V. 14. P. 983-988. 92.Singha, M.K. A parametric study on supersonic flutter behavior of laminated composite skew flat panels / M.K. Singha, M. Ganapathi // Composite Structures. 2005. V. 69. P. 55-63. 93.Singha, M.K. Nonlinear oscillation of FGM plates under aerodynamic load / M.K. Singha, T. Prakash, M. Ganapathi // Proc. World Congress on Engineering. 2010. V.2. P. 978-988. 9A.Srinivasan, R.S. Flutter analysis of cantilevered quadrilateral plates / R.S. Srinivasan, B.J.C. Babu II J. of Sound and Vibration. 1985. V. 98. N. 1. P. 45-53.

95.Tang, D.M. Effects of geometric structural nonlinearity on flutter and limit cycle oscillations of high-aspect-ratio wings I D.M. Tang, E.H. Dowell //J. ofFluids and Structures. 2004. V.19. N. 3. P. 291-306.

96. Tang, L. On the instability and the post-critical behavior of two-dimensional cantilevered flexible plates in axial flow / L. Tang, M.P. Paidoussis II J. of Sound and Vibration. 2007. V. 305. N.l-2. P. 97-115.

91.Vedeneev, V.V. Effect of damping on flutter of simply supported and clamped panels at low supersonic speeds I V.V. Vedeneev II J. ofFluids and Structures. 2013.V. 40. P. 366-372. 98 .Ventres, C.S. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates / C.S. Ventres, E.H. Dowell // AIAA Journal. 1970. V. 8. N. 11. P. 2022-2030.

99. Virgin, L.N. Nonlinear aeroelasticity and chaos / L.N. Virgin, E.H. Dowell // Computational Nonlinear Mechanics in Aerospace Engineering. Washington: AIAA, 1992. P. 531-546.

100. Weiliang, Y. Limit cycle oscillation of fluttering cantilever plate / Y. Weiliang, E.H. Dowell I I AIAA Journal. 1991. V. 29. N.ll. P. 1929-1936.

101. Zhou, R.C. Finite element time domain modal formulation for nonlinear flutter of composite panels / R.C. Zhou, D.Y. Xue, C. Mei II AIAA Journal. 1994. V. 32. N. 10. P. 701-709.

102. Лаеит, И.М. Сверхзвуковой нелинейной флаттер прямоугольных пластинок / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг // Материалы международной конференции «Совр. пробл. математики, механики, информатики». Тула. 2014. С. 283-290.

103. Лаеит, И.М. Автоколебания прямоугольной пластинки в сверхзвуковом потоке газа / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С.137-145.15

104. Лавит, И.М. Сверхзвуковой нелинейный флаттер консольно защемленной прямоугольной пластинки / И.М. Лавит, Нгуен Ван Чыонг II Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2014. № 4 (306). С. 8-13.

105. Нгуен Ван Чыонг. Влияние поперечной нагрузки на сверхзвуковой флаттер защемленной прямоугольной пластинки / Нгуен Ван Чыонг II Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 3.

С. 98-102.

15

Жирным шрифтом выделены публикации диссертанта в изданиях, входящих в Перечень