Сжатие сигналов и изображений при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, кандидат технических наук Кобелев, Владимир Юрьевич

• Кобелев, Владимир Юрьевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Кобелев, Владимир Юрьевич

1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФУНКЦИЙ. СИНТЕЗ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

1.1. Предпосылки параметризации и синтеза одномерных вейвлет-фильтров

1.2. Разработка нового алгоритма параметризации одномерных вейвлет-фильтров

1.3. Синтез одномерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью

1.4. Предпосылки параметризации и синтеза двумерных вейвлет-фильтров

1.6. Синтез двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью

1.7. Краткие выводы

2. СЖАТИЕ СИГНАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ

ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ОДНОМЕРНЫХ ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ

2.1. Постановка задачи

2.4. Алгоритм синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров

2.5. Краткие выводы

1.5. Разработка нового алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций

2.2. Разработка критерия оптимизации вейвлет-фильтров

2.3. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов

3. СЖАТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ СТАНДАРТНОЙ КРАТНОСТИ

3.1. Постановка задачи

3.2. Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлет-фильтров

3.3. Расчет оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров

3.4. Результаты применения оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров (одноуровневая схема обработки)

3.5. Многоуровневая обработка изображения

3.6. Краткие выводы

4. СЖАТИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗИРОВАННОГО ВЕЙВЛЕТ-РАЗЛОЖЕНИЯ ВЫСОКОЙ КРАТНОСТИ

4.1. Постановка задачи

4.3. Расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для 16-кратного разложения

4.4. Краткие выводы ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4.2. Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлетфильтров для вейвлет-разложений нестандартной кратности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сжатие сигналов и изображений при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров»

Актуальность работы и обзор литературы

В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, получили широкое распространение. Это объясняется теми возможностями, которые обеспечивают вейвлет-функции, и в первую очередь, частотной и временной локализацией. Вейвлеты и основанные на них вейвлет-преобразования были предложены в начале 1990-х годов на основе модифицированных алгоритмов работы с банками фильтров [1-6] и в последующее время интенсивно развивались. Большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов внесли Мейер (Meyer) [7], Добеши (Daubechies) [8, 9] и Маллат (Mallat) [10], опубликовавшие первые теоретические работы в этом направлении. Основная масса книг и статей в области вейвлет-преобразований опубликована за рубежом. В России интерес в вейвлетам активизировался несколько позднее - в середине 1990-х годов. Несмотря на то, что основополагающая работа Добеши (Daubechies) [8] относится к началу 1990-х годов, на русском языке она впервые появилась только в 2001 году [11]. Именно на этот временной интервал и приходится публикация на русском языке ряда основополагающих материалов по вейвлетам. Это переводные работы Чуй К., Уэлстида С., Блатера К. [12-14] и работы отечественных авторов (например, Короновский А. [15]). Но до выхода в свет указанных фундаментальных русскоязычных материалов, работа отечественных исследователей строилась на базе зарубежных материалов и небольших отечественных статьях (например, [16]). Особо хочется отметить прекрасную обзорную статью, ориентированную на начинающих заниматься этим предметом и интересующихся его применением, с демонстрацией вейвлет-преобразований некоторых сигналов, опубликованную в журнале УФН в 1996 г. (автор Астафьева Н.М., [17]), и вызвавшую широкий интерес к теме вейвлетов. В ней рассмотрены непрерывные вейвлет-преобразования, дающие наглядное и зрелищное представление результатов анализа сигнала в виде локальных минимумов и максимумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов. В настоящее время опубликованы сотни книг и тысячи статей по вейвлетам (например, [18]-[27]), отличающихся различным подходом к центральной теме. Интерес вызывает работа Перебина А.В. [22], где раскрыт вопрос о систематизации терминологии вейвлет-преобразований. Вейвлет-фильтры представляют собой частный случай реализации банков фильтров, поэтому развитие теории банков-фильтров в настоящее время также определяет и развитие направления вейвлетов. В связи с этим хочется отметить вклад отечественных ученых в развитие этого направления (Миронов В.Г, Чобану М.К. и др. (цикл работ [23-27]).

При рассмотрении большинства алгоритмов, связанных с вейвлетами, обработка одномерных сигналов и изображений сводится к фильтрации. Теоретические исследования, касающиеся представления вейвлет-анализа сигналов посредством процедуры фильтрации с использованием обычных цифровых фильтров, проведены еще в начале 1990-х годов ([8-10] и др.). Например, основным критерием, которому должен удовлетворять цифровой фильтр, претендующий на использование при вейвлет-обработке - это свойство квадратурно-зеркальности. Свойства и некоторые вопросы синтеза квадратурно-зеркальных фильтров изложены в работах [1-6, 25,26]. В связи с простотой представления вейвлет-анализа в рамках теории цифровых фильтров, и учитывая большой объем материала, накопленный по вопросам представления и синтеза одномерных и многомерных цифровых фильтров, в диссертации изложение материала и проведение различных исследований в рамках вейвлет-преобразований выполнено с позиций цифровой фильтрации. При этом использовался материал по цифровой фильтрации, представленный в работах Хемминга Р. Каппелини В., Гольденберга JI.M. и др. [28-31].

Одними из важнейших объектов исследования в данной работе являются параметризация и синтез одномерных и двумерных вейвлет-функций.

Наличие некоторых степеней свободы при определении одномерного вейвлета (а особенно двумерных вейвлетов) позволяет рассчитывать вейвлет-функции с различными наперед заданными частотными и временными свойствами. Использование вейвлет-функции с различной частотной избирательностью позволяет расширить применимость вейвлетов и использовать их в задачах согласованной фильтрации, распознавания образов (например, при распознавании различных примитивов - дуг, линий) [32-36]. В настоящее время интерес к вейвлет-функциям со специфичными свойствами возрос. Это объясняется расширением области применения вейвлетов и полнотой исследования свойств и применений классических вейвлет-функций.

Вопросы параметризации вейвлетов в литературе изложены с позиций параметризации банков фильтров путем конкретизации [25, 26, 37-39]. К основополагающим работам относятся работы Зоу (Zou Н.) [37] и Поллена (Pollen D.) [38]. Однако следует отметить, что представленные работы касаются вопросов параметризации одномерных вейвлет-функций. Так же к ним можно свести параметризацию и разделимых двумерных вейвлет-функций, а для представления двумерных неразделимых вейвлет-функций нужен уже другой математический аппарат. Вопрос параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций также является одним из объектов исследования в диссертации. Основное использование их - в задачах обработки изображений.

При рассмотрении изображения как единой структуры (а не как совокупности отдельных строк и столбцов), представляется возможным выявить дополнительные закономерности и заложить их в структуру неразделимого вейвлет-фильтра. В результате повышается качество обработки - снижается мощность ошибки восстановленного сигнала, увеличивается достоверность обнаружения конкретного примитива в зашумленном сигнале и т.п.

Неплохие результаты обработки изображений получаются при совместном использовании методов вейвлет-преобразований и стандартных методов обработки изображений. Например, для синтеза двумерного вейвлетфильтра в диссертации используется новое параметрическое представление амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра и решение стандартной фазовой задачи (расчет фазочастотной характеристики, используя значения амплитудно-частотной характеристики). В настоящее время теории и практической реализации методов обработки изображений посвящено много работ. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [40-46].

Выше отмечалось, что оптимизация вейвлет-функции под временные и частотные свойства обрабатываемого изображения позволяет поднять общее качество обработки. Среди публикаций, имеющих дело с оптимизированным выбором анализирующего вейвлет-фильтра, рассмотрены работы Ваттерли (Vetterli М.), Моулин (Moulin P.), Claypoole R., Baraniuk R., Charith G., Abhayaratne K., Jones E., Runkle P., Новикова JI.A. ([47-54]). В работе [48] представлены два алгоритма адаптивного вейвлет-сжатия, основанные на лифтинг-схеме: оператор предсказывания корректируется либо на каждом масштабе, либо на каждом шаге в схеме лифтинга в заданных пределах. По аналогии с [48], в работе [47] разработан критерий оптимальной интерполяции в схеме лифтинга для операторов предсказывания и коррекции (причем предсказывание осуществляется на каждом шаге лифтинга). Дополнительный интерес представляет работа Новикова JI.A. [54], в которой проведена взаимосвязь согласованной фильтрации и оптимального вейвлет-преобразования и приведена процедура синтеза вейвлетов с учетом априорной информации о форме сигнала и корреляционной функции шума.

Второе основное направление оптимизированного вейвлет-преобразования связано с выбором и сохранением только избранных коэффициентов многоуровневого вейвлет-разложения; адаптация осуществляется на втором этапе - на этапе выбора коэффициентов вейвлет-разложения. Ключевыми понятиями здесь являются "оптимизация дерева нулей" и алгоритм SPIHT. Среди публикаций, касающихся оптимального выбора коэффициентов вейвлет-разложения, рассмотрены работы Чобану М.К., Черникова А.В., Шапиро (Shapiro J.M.) [55-57].

Методы оптимизации вейвлет-функций и адаптивного выбора коэффициентов вейвлет-разложения являются в задачах сжатия дополняющими друг друга. При использовании в разложении различных вейвлет-функций, получаются различные наборы коэффициентов вейвлет-преобразования и к каждому из наборов применимы методы "оптимизации нуль-деревьев". Основной вопрос адаптивного вейвлет-преобразования, рассмотренный в диссертации - оптимизация частотной избирательности ВФ. При сжатии изображений с помощью вейвлетов оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра является первичной стадией обработки, последующие стадии -отбор и неравномерное квантование коэффициентов разложения - направлены на оптимизацию представления результатов первой стадии. Поэтому в первую очередь работа направлена на оптимизацию вейвлет-функций и набор представляемых результатов ориентирован на сопоставление с результатами обработки, полученными при использовании прочих методов оптимизации.

Одно из направлений вейвлет-обработки связано с распознаванием образов. В рамках данного направления также представлены работы, связанные с оптимальным выбором вейвлет-фильтров под различные критерии. Например, в работе [32] проведено исследование влияния различных критериев вейвлет-фильтра - гладкости, линейности фазочастотной характеристики (ФЧХ) - на точность распознавания текстуры изображения и в рамках конкретного критерия представлен выбор оптимального вейвлет-фильтра. В рамках этого направления хочется отметить работы Донохо [36, 58-61], являющиеся продолжением теории вейвлет-преобразования и посвященные синтезу особых функций бимлетов (Beamlets), риджлетов (Ridglets), отличающихся линейной частотно-временной локализацией и ортогональностью разложения. Основное преимущество их достигается в задачах распознавания линий, дуг в изображениях с высоким уровнем шума (особенно если мощность шума в разы превышает мощность изображения).

В направлении оптимизированных вейвлет-преобразований выделяется цикл работ Лабунца В.Г., посвященный реализации три-адических вейвлет-преобразований для обработки цветных изображений (одна из работ - [62]).

Реализация любых из представленных выше алгоритмов цифровой обработки невозможна без использования общих методов цифровой обработки сигналов. Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Найквист X., Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р. и др. [63-65]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: КотельниковаВ.А., Цыпкина Я.З., Трахтмана A.M., Ланнэ А.А., Карташева В.Г., Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [66-74].

В процессе решения поставленных задач, зачастую проблема сводилась к чисто математическим задачам. Их решение выполнено при помощи различных учебников и статей [75-84].

По теме диссертации опубликовано 20 работ [85-104], в том числе две i статьи в центральных рецензируемых журналах [103-104].

Цель исследования

Целью диссертационной работы является исследование и синтез одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью, а также оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтров для сжатия сигналов и изображений.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- разработка алгоритма параметризации одномерных вейвлет-функций;

- разработка алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций;

- синтез двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью;

- разработка критерия оптимизации одномерных вейвлет-фильтров для сжатия сигналов;

- исследование влияния частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов после сжатия;

- расчет одномерных оптимизированных вейвлет-фильтров;

- разработка критерия оптимизации двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений;

- расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для сжатия изображений.

Достоверность полученных научных результатов

Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.

Научная новизна

Научная новизна представляемых результатов состоит в следующем: предлагаются алгоритмы параметризации одномерных и двумерных вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием его необходимых свойств системой линейных уравнений в пространстве тригонометрических функций; выполнен расчет критериев оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных вейвлет-фильтров; представлен алгоритм синтеза одномерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов; разработан алгоритм синтеза двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений при стандартной кратности двумерного вейвлет-разложения, равной 4 (при одноуровневом вейвлет-разложении изображение раскладывается на четыре частотные плоскости); получено обобщение алгоритма синтеза двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений на высокие кратности двумерного вейвлет-разложения (при 16-кратном одноуровневом разложении изображение разбивается на 16 частотных плоскостей).

Практическая ценность

Представленные способы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций позволяют расширить применимость вейвлет-функций в задачах обработки сигналов и изображений за счет возможности расчета вейвлет-фильтров с заданными свойствами в пространственной и частотной областях.

Представленные алгоритмы расчета одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью позволяют поднять отношение сигнал/шум восстановленного изображения за счет учета априорных данных о частотных свойствах обрабатываемого сигнала или изображения на этапе проектирования вейвлет-фильтров. Обобщение представленных алгоритмов расчета оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров на большую кратность вейвлет-разложения (например, 16) позволяет применять их в задачах сжатия изображений с высокими коэффициентами (при сжатии в 50-80 раз), добиваясь лучшего качества восстановленного изображения по сравнению со стандартными методами.

Использование представленных в работе многочисленных теоретических расчетов по части преобразования спектров сигналов и изображений в задачах их сжатия и восстановления позволяет прогнозировать результативность применения вейвлет-фильтров (как стандартных, так и с заданными частотными свойствами) в различных практических приложениях цифровой обработки сигналов и изображений. Рассчитанные оптимизированные вейвлет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000 и т.п.).

Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием в пространстве тригонометрических функций его необходимых свойств системой линейных уравнений.

2. Критерии оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для решения задачи сжатия-восстановления одномерных сигналов и изображений.

3. Алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов и изображений.

Апробация

Результаты работы докладывались и обсуждались на:

2-ой, 3-ей, 6-ой, 7-ой, 8-ой Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 1999, 2000,2004, 2005, 2006. V-ой, VI-ой Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003, 2005.

Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2003.

V-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике", Чебоксары, 2004. 14-ой Международной научно-технической конференции "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", Рязань, 2005.

Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии", Москва, 2005.

ХП-ой Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация и связь", Воронеж, 2006.

61-ой Научной сессии, посвященной Дню радио, РНТОРЭС им. А.С. Попова, Москва, 2006.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и четырех приложений. Содержание работы изложено на 166 страницах (включая приложения на 22 страницах). Список литературы включает 104 наименования. В работе представлено 144 рисунка и 5 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Кобелев, Владимир Юрьевич

Заключение

На основании проведенных исследований в области синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров в работе получены следующие результаты:

1. Получены новые алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций, основанные на представлении квадрата АЧХ соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом. Алгоритмы отличаются простотой реализации, наглядным представлением параметров параметризации. Основное назначение алгоритмов -использование в задачах синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной амплитудно-частотной характеристикой. Представленные алгоритмы имеют рад преимуществ:

- минимизируются вычислительные затраты на этапе формирования АЧХ одномерного и двумерного вейвлет-фильтров;

- представляется возможным отследить влияние каждого параметра в отдельности на свойства (в частности, на форму) АЧХ вейвлет-фильтра.

2. Разработаны алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с предопределенной частотной избирательностью.

3. Получен критерий оптимизации частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров. Используя закономерности преобразования спектров сигналов при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ одномерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление сигналов, используя только низкочастотные компоненты одноуровневого вейвлет-разложения. Вейвлет-фильтр, обладающий свойством безошибочного восстановления, получил название "согласованного".

4. Проведен анализ частотных характеристик вейвлет-фильтров. Получена взаимосвязь между частотными характеристиками вейвлет-фильтров и спектрами восстановленного изображения.

5. Установлено, что оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра позволяет более точно передавать высокочастотную часть сигнала, что достигается за счет некоторого предсказывания, вносимого в частотную характеристику вейвлет-фильтра. Применительно к используемой модели сжатия коррекция АЧХ вейвлет-фильтра позволяет снизить отношение С/Ш восстановленного сигнала на 0,4-0,5 дБ.

6. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти амплитудно-частотную характеристику двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 4, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения. Для обозначения вейвлет-фильтра с указанными свойствами предлагается использовать термин "согласованный" вейвлет-фильтр.

7. Установлено, что функция, являющаяся квадратом АЧХ согласованного вейвлет-фильтра, подчеркивает неоднородность изображения и может быть использована для оценки его анизотропности.

8. Разработан алгоритм расчета оптимизированного двумерного вейвлет-фильтра на основе АЧХ согласованного вейвлет-фильтра. Основными моментами здесь являются алгоритм понижения порядка согласованного фильтра до заданного пользователем и алгоритм расчета фазочастотной характеристики.

9. Проанализировано влияние эффектов квантования отсчетов импульсной характеристики оптимизированного двумерного вейвлет-фильтра. С целью минимизации шумов квантования, предложен алгоритм неравномерного квантования. Показана низкая чувствительность алгоритма восстановления изображения при помощи оптимизированных вейвлет-фильтров к шумам, накладываемым на сжатое изображение. В качестве шума в работе использовался шум квантования отсчетов сжатого изображения.

10. Установлено, что при восстановлении изображений, обработанных с участием согласованных вейвлет-фильтров, при одинаковых условиях обработки наблюдается улучшение отношения С/Ш восстановленного изображения на 0,25-3,0 дБ. Улучшение зависит от детализации, уровня анизотропности изображения, от примененного алгоритма сжатия с использованием оптимизированных вейвлет-фильтров.

11. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти амплитудно-частотную характеристику двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 16, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения.

12.Рассчитанные оптимизированные вейвлет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000 и т.п.).

13.Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Кобелев, Владимир Юрьевич, 2006 год

1. Lawton W., Micchelli С. Design of conjugate quadrature filters having specified zeros // Proc. of ICASSP97. 1997. V. 3, P. 2069-2073.

2. Hua Xu,Wu-Sheng Lu, A. Antoniou. An Improved Method for the Design of FIR Quadrature Mirror-Image Filter Banks // IEEE Trans. Image Processing. 1998. V. 46, №5. P. 1275-1281.

3. Haddad K., Stark H., Galatsanos N. Design of Two-Channel Equiripple FIR Linear-Phase Quadrature Mirror Filters. Using the Vector Space Projection Method // IEEE Trans. Image Processing. 1998. V. 5, № 7. P. 167-170.

4. Herley C., Vetterli M. Wavelets and Recursive Filter Banks // IEEE Trans. Image Processing. 1993. V. 41, № 8. P.2536-2556.

5. Moulin P. A new look at signal-adapted QMF bank design // International Conference on Image Processing. 1995. P. 1312-1315.

6. Goyal V., Vetterli M. Block transforms adaptation by stochastic gradient descent // IEEE Digital Signal Processing Workshop. 1998. P. 1-4.

7. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Commun. on Pure Appl. Math. 1988. V. 41, № 11. P. 909-996.

8. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF conference series in applied mathematics. SIAMEd., 1992.

9. Daubechies I, Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps // J. Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, № 3. P. 245-267.

10. Mallat S.A. Theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation // IEEE Pattern Anal, and Machine Intell. 1989. V. 11, №7. P. 674-693.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2004. - 464 с.

12. Чуй К. Введение в вейвлеты. Пер. с англ. М.: Мир, 2001. - 412 с.

13. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображения в действии. М.: Триумф. 2003.-230 с.

14. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М.: Техносфера, 2004. - 280 с.

15. Короновский А., Храмов А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физматлит., 2003. - 176 с.

16. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // УФН-2001. Т. 171, №5. С. 465-561.

17. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1996. Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

18. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, №1. С. 111-157.

19. Алтайский М.В., Крылов В.А. Вейвлет-галеркинские методы решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением параллельных алгоритмов // Вестник РУДН, Прикладная и компьютерная математика. 2002. №1. С. 98-106.

20. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение. 2000. Т. 10, №3. С.57-64.

21. Воробьёв В.П., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Военный университет связи, 1999. - 204 с.

22. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2, № 2. С. 133-158.

23. Миронов В.Г., Чобану М.К., Барат В.А. Применение вейвлет-преобразования для цифровой обработки одномерных и двумерных сигналов // Докл. 4-й межд. конф. и выст. "Цифровая обработка сигналов и ее применения". Москва. 2002. Т. II, С. 415-417.

24. Клюшкин В.И., Чобану М.К. Программный комплекс для многоскоростной обработки двумерных сигналов // Докл. 4-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'02). Москва. 2002. Т. 2, С. 413-415.

25. Чобану М.К., Большакова О.В. Синтез ортогональных и биортогональных многомерных банков фильтров // Докл. 6-ой междунар. конф. "Цифроваяобработка сигналов и ее применение" (DSPA'04). Москва. 2004. Т. 2, С. 1617.

26. Батлук А.В., Чобану М.К. Исследование банков фильтров и применение лифтинг-схемы для декомпозиции изображений // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 1,С. 104-107.

27. Чобану М.К., Большакова О.В. Применение метода достройки матрицы для синтеза многомерных банков фильтров // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 457-459.

28. Гольденберг JI.M., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1974.- 160 с.

29. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

30. Хэмминг Р.В. Цифровые фильтры / Под ред. A.M. Трахтмана. М.: Мир, 1980. - 224 с.

31. Каппелини В., Константинидис А., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с.

32. Moisilovic A., Popovic М., Rackov D. On the selection of an optimal wavelet basis for texture characterization // IEEE Trans, on image processing. 2000. V. 9, № 12. P. 2043-2050.

33. Tieng Q., Boles W. Recognition of 2D Object Contours Using the Wavelet Transform Zero-Crossing Representation // IEEE Trans. On Pattern Analysis and Machine Intellegence. 1997. V. 19, №. 8. P. 910-916.

34. Pereberin A.V. Fast Multi-Scaled Texture Generation and Rendering // GraphiCon'2000 Proceedings. 2000. P. 145-150.

35. Pereberin A.V. Hierarchical Approach for Texture Compression // GraphiCon'99 Proceedings. 1999. P. 195-199.

36. Zou Н., Tewfik A. Parametrization of compactly supported orthonormal wavelet //IEEE Trans, on signal proc. 1993. V. 41, №.3. P. 1423-1431.

37. Pollen D. Parametrization of compactly supported wavelets // Technical Report, Aware Inc., 1989.

38. Моисеев A.A., Волохов B.A., Корепанов И.В., Новоселов С.А. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-фильтров // Докл. 8-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'06). Москва, 2006. Т. 2, С. 393-396.

39. Дьяконов В. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

40. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 336 с.

41. Прэтт.У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. Т. 1,-312 с.

42. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979.-312 с.

43. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. М.: Мир, 1988.-488 с.

44. Цифровая обработка телевизионных и компьютерных изображений / Под ред. Ю.Б. Зубарева и В.П. Дворковича. М.: Международный центр научно-технической информации. 1997. - 212 с.

45. Дворкович В.П., Дворкович А.В., Иртюга В.А., Тензина В.В. Новая система мультимедийного вещания на мобильного абонента // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 1,С. 185.

46. Claypoole R.L., Baraniuk R.G. Adaptive wavelet transforms via lifting // In Transactions of the International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. 1998. №5, P. 1513-1516.

47. Charith G., Abhayaratne K. Spatially adaptive wavelet transforms: an optimum interpolation approach // 3-rd International Workshop on Spectral Methods and Multirate Signal Processing (SMMSP). 2003. P. 155-162.

48. Jones E., Runkle P., Dasgupta N., Carin L. Signal Adaptive Wavelet Design Using Genetic Algorithms // Proc. SPIE. 2000. V. 4056, P. 362-371.

49. Daubechies I., Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps // IEEE Trans. Image. Processing. 2000. V. 9, № 3. P. 480-496.

50. Kustov V., Srinivasan P., Mitra S., Shishkin S. Real Time Adaptive PR-QMF Bank Design for Image Coding Using Interior-Point Algorithm // 9-th IEEE DSP. USA. 2000. P. 1-6.

51. Moulin P., Mihcak M. Theory and Design of Signal-Adapted FIR Paraunitary Filter Banks // IEEE Trans. Signal Processing. 1998. V. 46, № 4. P. 920-929,

52. Devor R.A., Lucier B.J. Fast Wavelet Techniques For Near-Optimal Image Processing // Milcom'92, IEEE Military Communications Conference Record, 1992. P.1129-1135.

53. Новиков JI. В. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное приборостроение. 1999. Т. 9, № 2, С. 1-13.

54. Shapiro J.M. Embedded image coding using zero-trees of wavelets coefficients // IEEE Trans. Signal Processing. 1993, V. 41, № 12. P. 3445-3462.

55. Sprljan N., Grgic S., Grgic M. Modified SPIHT algorithm for wavelet packet image coding // Real-time Imaging. 2005. № 11, P. 378-388.

56. Черников A.B., Чобану M.K. Оптимизация и развитие алгоритма SPIHT // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 354-357.

57. Starck J.-L, Emmanuel J., Candes E., Donoho D. The curvelet transform for image denoising // IEEE Transactions on Image Processing. 2002. V. 11 (6), P. 670-684.

58. Starck J.-L., Murtagh F., Candes E., Donoho D. Gray and color image contrast enhancement by the curvelet transform // IEEE Trans. Image Process. 2003. V. 12, №6, P. 706-717.

59. Huo X., Chen J., Donoho D. JBEAM: Coding Lines and Curves via Digital Beamlets I I Data Compression Conference. 2004. P. 449-458.

60. Ery Arias-Castro, Donoho D, Huo X. Near-optimal detection of geometric objects by fast multiscale methods // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. V. 51, P. 2402-2425.

61. Гоулд Б., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Под ред. Трахтмана A.M. М.: Сов. радио, 1973. - 368 с.

62. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.- М.: Мир, 1978.-848 с.

63. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. -416 с.

64. Гольденберг Л.М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. - 323 с.

65. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

66. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.- 968 с.

67. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров.- М.: Высшая школа, 1982. 109 с.

68. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. М.: Связь, 1978.-336 с.

69. Витязев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь,t1993. 240 с.

70. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: учеб. пособие. / 2-е изд., перераб. и доп. Ярославль. ЯрГУ, 2005. - 154 с.S

71. Миронов В.Г. Уточнение моделей дискретно аналоговых систем обработки двумерных сигналов // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 455-457.

72. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1982 - 624 с.

73. Белов А.С. Новые примеры неотрицательных тригонометрических полиномов с целыми коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. 1995, №3. С. 581-612.

74. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел // Пер. с нем. М.: Наука, 1978. - 430 с.

75. Елисеев В.И. Введение в методы теории функции пространственного комплексного переменного / Изд. 2-е. М.: 1990-2003. - 541 с.

76. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства / Пер. с англ. М.: Мир, 1965. -276 с.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. - 832 с.

78. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. - 266 с.

79. Потемкин В.Г. Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений на основе разложения сингулярного пучка матриц // Вестник Российской транспьютерной ассоциации. 1994. № 2(13). С. 5-18.

80. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

81. Толкова Е.И. Wavelet-анализ изображений // Оптический журнал. 2001. Т. 68, №3. С. 49-59.

82. Список опубликованных работ по теме диссертации

83. Кобелев В.Ю. Ласточкин А.В. Выбор оптимальных вейвлетов для обработки сигналов и изображений // Докл. 2-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'99). Москва. 1999. Т. 2, С. 514-520.

84. Кобелев В.Ю. Поиск оптимальных вейвлетов для сжатия цифровых сигналов // Тез. обл. научн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Ярославль, 1999. С. 38-39.

85. Кобелев В.Ю. Адаптивное вейвлет-преобразование сигналов // Докл. 3-ей междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'2000). Москва. 2000. Т. 1, С. 109-112.

86. Кобелев В.Ю. Параметризация вейвлет-функций // Сб. научн. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2003. Вып. № 4. С. 165-173.

87. Кобелев В.Ю. Синтез вейвлет-функций // Матер. V Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2003. С. 227-228.

88. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В. Особенности представления вейвлет-фильтров на z-плоскости // Всерос. науч. конф., посвященная 200-летию Ярослав, гос. унив. им. П.Г. Демидова. Ярославль, 2003. С. 130133.

89. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Буралков Д.В. Параметризация и особенности представления вейвлет-фильтров на z-плоскости // Докл. 6-ой междунар. конф. «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (DSPA'04). Москва. 2004. Т. 2, С. 122-124.

90. Кобелев В.Ю. Расчет передаточных функций вейвлет-фильтров с предопределенными нулями // Матер. V-ой Всерос. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике". Чебоксары. 2004. С. 209-211.

91. Кобелев В.Ю., Корепанов И.В., Моисеев А.А. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов // Докл. 7-ой междунар. конф. "Цифровая обработка сигналов и ее применение" (DSPA'05). Москва. 2005. Т. 2, С. 317-320.

92. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю., Приоров A.JL, Волохов В.А. Синтез биортогональных вейвлет-фильтров с перестраиваемыми коэффициентами // Тр. междунар. науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". Москва. 2005. Т. 1, С. 103-107.

93. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю., Волохов В.А. Синтез биортогональных вейвлет-фильтров // Матер. VI Всерос. науч.-техн. конф. «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем». Чебоксары. 2005. С. 111-112.

94. Волохов В.А., Новоселов С.А., Моисеев А.А., Кобелев В.Ю. Выбор вейвлет-фильтров для сжатия изображения // Матер. 14-ой междунар. науч.-техн. конф. "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций". Рязань. 2005. С. 118-120.

95. Моисеев А.А., Кобелев В.Ю. Параметризация ортогональных и биортогональных вейвлет-базисов // Сб. науч. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов. Ярославль. 2005. Вып. № 5. С. 219-227.

96. Кобелев В.Ю., Приоров А.Л., Моисеев А.А. Синтез оптимальных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений // Тр.

97. XII междунар. науч.-техн. конф. "Радиолокация, навигация и связь". Воронеж. 2006. С. 187-198.

98. Кобелев В.Ю., Приоров A.JL, Новоселов С.А., Волохов В.А. Параметризация двумерных неразделимых вейвлет-фильтров // Тр. РНТОРЭС им. А.С. Попова. Серия: Науч. сессия, посвященная Дню радио. Вып.: LXI. Москва. 2006. С. 82-84.

99. Кобелев В.Ю., Приоров A.JI. Применение неразделимых вейвлет-фильтров в задачах сжатия изображений // Цифровая обработка сигналов. 2006. №2. С. 21-26.

100. Кобелев В.Ю., Приоров A.JI. Синтез оптимизированных двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений // Телекоммуникации. 2006. №9. С. 7-12.