Технология контроля вырождения многомерных динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Дударенко, Наталия Александровна

• Дударенко, Наталия Александровна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Дударенко, Наталия Александровна

Принятые сокращения и обозначения.

Введение. Постановка задачи.

Глава 1. Концепция вырождения многомерных динамических систем

1.1.Вырождение многомерной динамической системы как вырождение матрицы линейного оператора отношения вход-выход.

1.2.Сведение описания вход-выходных отношений многомерной непрерывной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной непрерывным временем.

1.3.Сведение задачи вход-выходных отношений многомерной дискретной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной дискретным временем.

1.4.Сепаратные функционалы вырождения многомерной динамической системы, модельно приводимой к линейной алгебраической задаче.

Выводы по главе

Глава 2. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок.

2.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии.

2.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии.

2.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии.

2.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном стохастическом модельном представлении потока входных заявок.

3.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум».

3.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных • динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум».

3.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум».

3.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум».

Выводы по главе 3.

Глава 4.Технология оценки степени вырождения многомерной динамической системы в условиях модельных неопределенностей.

4.1.Контроль чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров структурных компонентов многомерной непрерывной динамической системы.

4.2.Контроль чувствительности функционала вырождения к ф вариациям параметров структурных компонентов многомерной дискретной динамической системы.

4.3.Оценка интервальности функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной непрерывной системы.

4.4.Оценка интервальное™ функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной дискретной системы.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Прикладные проблемы технологии контроля вырождения многомерных динамических систем.

5.1.Анализ вырождения многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В.А.

5.2.Интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной ф динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход.

5.3.Представление многомерной динамической системы с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

5.4.Рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы.

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Технология контроля вырождения многомерных динамических систем»

Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Технология контроля вырождения многомерных динамических систем», подсказана нынешним состоянием теории и потребностями практики разработки и эксплуатации современных многомерных управляющих комплексов, встраиваемых в техническую среду. Тенденция усложнения динамических систем в составе обслуживания технологического процесса, помимо требований к их устойчивости, надежности и адаптируемости к изменяющимся условиям, вызвала к жизни необходимость контроля такого системного свойства как склонность к возможному вырождению.

Следует констатировать, что состояние проблемы априорного контроля потенциального вырождения многомерной системы и контроля возможного ее вырождения в процессе эксплуатации таково, что на настоящий момент пока слабо разработан инструментарий контроля вырождения многомерных динамических систем (МДС). Разработке инструментария контроля вырождения и технологии его использования и посвящены проведенные соискателем диссертационные исследования.

Многомерная динамическая система (многомерный вход-выход) аппаратно реализует некий оператор, который отображает элементы пространства входов (целевых намерений) в пространство выходов (осуществляемых реализаций). Определенности ради, этот оператор можно считать линейным или по крайней мере локально линейным. Предполагается также, что указанные выше пространства согласованы по размерности, так что их размерности являются равными.

В математической постановке линейный оператор считается вырожденным [1], если его ранг меньше размерности пространства. Развивая это концептуальное определение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой многомерной динамической системы есть процесс уменьшения ранга реализуемого ею линейного оператора. На этой математической концепции строятся диссертационные исследования.

Очевидно, источников вырождения системы достаточно много. Так, система может вырождаться структурно (конфигурационно), когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, размерность пространства выходов, сокращается. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по входам каналов многомерной динамической системы. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда неудачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система имеет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т.д.

Необходимо отметить, что изучение проблемы вырождения МДС находится пока в зачаточном состоянии. Авторы книг по общей теории систем [17, 19, 21, 22, 26, 28, 29, 30, 31, 35, 36] практически не отмечают наличие такого свойства как вырождение у многомерных динамических систем. Справедливости ради, в последних из перечисленных работах уделено заметное внимание синергетическим свойствам многомерных динамических систем. И, тем не менее, вырождение как содержательная противоположность синергетическим свойствам не выделено в особую проблемную область. Библиографический анализ ситуации глубиной в двадцать лет на базе таких журналов как «Автоматика и Телемеханика», «Теория и системы управления» (бывший «Техническая кибернетика»), «IEEE Transactions on Automatic Control» не обнаружил ни одной публикации, в названии которой присутствовало бы понятие «вырождение». Но, попытки начать изучение такого важного свойства многомерных динамических систем как вырождение имели место. Первыми такую попытку сделали математики, когда в шестидесятые годы двадцатого столетия группа американских ученых по заданию фирмы IBM, которая готовила к выпуску пакет программ для пользователей на языке фортран, провела комплексное исследование вычислительной устойчивости решений основных задач линейной алгебры. Результатом этой работы стала монография [42], в которой автором для оценки вычислительной устойчивости было введено понятие «число обусловленности» (condition number), которое по существу является численной оценкой вырождения алгебраической задачи. Но, тем не менее, до настоящего момента в среде технических специалистов эта численная характеристика за некоторым исключением находит скромное применение.

Одновременно, академик Трапезников В.А. опубликовал на страницах журнала «Автоматика и Телемеханика» [32, 33, 34] серию статей, посвященных проблемам производства и управления. Им рассмотрена отраслевая структура, которая построена по следующему правилу. Структура иерархична, сепаратные каналы, образующие многомерную систему, должны характеризоваться полосами пропускания, которые по мере перемещения по уровням иерархии от верхнего канального уровня к нижнему изменяются с расширением их диапазонов. При этом межканальные связи должны существовать только с соседними каналами. Многомерная система, построенная по схеме Трапезникова В.А., функционирует без вырождения, если темп ввода заявок на входы сепаратных каналов согласован с их полосами пропускания. Однако, в реальных условиях, особенно в системах с функциональными антропокомпонентами, могут возникать эксклюзивные ситуации, когда заявка с нижнего уровня коммутируется для обслуживания на каналы верхних уровней иерархии. В этом случае ситуация характеризуется тем, что верхние уровни начинают обрабатывать заявки, поступающие на их входы с несвойственным для режима их нормального функционирования темпом (интенсивностью), и, если структурный форс-мажор становится нормой, то может возникнуть опасность функционального разрушения системы, т.е. ее вырождения.

Таким образом, ставилась задача такого распределения входных заявок, а также связей между уровнями многомерной системы, при котором система сохраняла бы работоспособность и не вырождалась. Ниже, в диссертационных исследованиях такая постановка проблемы будет именоваться задачей Трапезникова.

Академику В.А. Трапезникову удалось решить поставленную задачу только на качественном уровне, так как на тот момент не существовало технологий контроля плавности эволюции системы в сторону вырождения, когда ранг оператора реализуемой системы уменьшается, а в случае ее полного вырождения устремляется к единице.

Предметом диссертационных исследований является модель академика В.А. Трапезникова (что не снижает общности полученных результатов) для случаев непрерывного и дискретного исполнения многомерной динамической системы в условиях моделирования потока заявок векторным многомерным гармоническим воздействием, а также векторными стохастическими воздействиями стационарными в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы. Для каждого из перечисленных случаев построены алгоритмы формирования показателя вырождения и решена задача анализа его чувствительности к неопределенности задания (знания) структурных параметров системы и потоков входных заявок, причем эта задача решена с использованием как гипотезы малых вариаций параметров, допускающих использование аппарата теории чувствительности в виде функций чувствительности первого порядка, так и гипотезы об интервальном характере задания неопределенности параметров структурных компонентов. Последнее позволило в качестве примера рассмотреть возможность контроля вырождения многомерных динамических систем с антропокомпонентами в их составе, где антропокомпоненты, несмотря на их специальную выучку и подбор при комплектации команды, моделируются динамическим элементом с интервальными параметрами.

Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составили: метод пространства состояний для непрерывных и дискретных многомерных систем, формализм аппарата матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, динамика систем при конечномерных экзогенных воздействиях, стохастический анализ непрерывных и дискретных систем при многомерных стохастических воздействиях стационарных в широком смысле, аппарат функций чувствительности сингулярных чисел критериальных матриц многомерной системы, интервальные модельные представления и интервальные оценки показателя вырождения. Все публикации автора [3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 38, 39] по проблемам научных исследований построены с использованием возможности указанного математического аппарата.

Математический аппарат поддерживается программной и модельной средой пакета MATLAB. Текст диссертации соискателем структурирован с использованием таких рубрик как концепция, определение, утверждение, доказательство, примечание, следствие, пример и т.д. Диссертация содержательно состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Дударенко, Наталия Александровна

Выводы по главе 5

Произведен анализ вырождения многомерной динамической системы (МДС) в задаче Трапезникова В.А. на базе предложенной в диссертации технологии контроля вырождения МДС с помощью сепаратных функционалов вырождения многомерной системы, амплитудных частотных характеристик вход-выход (АЧХВВ) сепаратных каналов МДС и SVD-мажорант и минорант АЧХВВ многомерной динамической системы для различных вариантов моделирования потока входных заявок на обслуживание МДС.

Экспериментально показано, что в случае распределения обслуживаемого потока по сепаратным каналам многомерной динамической системы в полном соответствии с полосами их пропускания не наблюдается вырождение такой системы даже в случае непрерывно растущей интенсивности этих заявок.

Сконструирована интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход, которая посредством вычисления сепаратных функционалов вырождения позволяет оценить склонность многомерной динамической системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.

Выделены типы многомерных динамических систем с антропокомпонентами по способу мотивации их функционирования. Сформировано представление МДС с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

Сформулированы рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы, суть которых сводится к коррекции линейного оператора, отображающего пространство намерений в пространство реализаций, с тем, чтобы матрица этого оператора была бы хорошо обусловленной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей основе поставленные автором задачи диссертационных исследований решены, при этом:

1. Сформирована математическая концепция вырождения многомерной динамической системы как вырождение матрицы линейного оператора, отображающего пространство целевых намерений в пространство осуществляемых реализаций, численно оцениваемое функционалом вырождения, построенном на обратном числе обусловленности этой матрицы.

2. Для случая моделирования потока заявок в форме конечномерного экзогенного воздействия с использованием концепции подобия, опирающейся на матричное уравнение Сильвестра, решена задача сведения описания вход-выходных отношений многомерной динамической системы к семейству линейных алгебраических задач, параметризованных непрерывным и дискретным временем в зависимости от типа модельного представления многомерной динамической системы.

3. Для оценки тонкой природы процесса вырождения многомерных систем на основе алгебраического спектра сингулярных чисел сконструированы сепаратные функционалы вырождения СДС, модельно приводимой к линейной алгебраической задаче.

4. Получено решение задачи контроля вырождения многомерных непрерывных динамических систем (СНДС) и многомерных дискретных динамических систем (СДДС) с помощью семейства функционалов вырождения для случая, когда целевые намерения, содержательно оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование конечномерным способом в виде внешнего векторного одночастотного гармонического воздействия.

Для случая, когда целевые намеренья, оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование конечномерным способом в виде многочастотного векторного гармонического воздействия, получено решение задачи контроля вырождения многомерной системы в классе функционалов вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел критериальной матрицы отношения вход-выход.

Получено решение задачи контроля вырождения СНДС или СДДС с помощью семейства функционалов вырождения для случая, когда целевые намерения, содержательно оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС, допускают моделирование стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «белый шум», конструируемых на критериальных матрицах, в качестве которых приняты матрицы спектральной плотности и дисперсии выхода СНДС или СДДС.

Для случая, когда целевые намеренья, оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «окрашенный шум», получено решение задачи контроля вырождения многомерной системы в классе функционалов вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел критериальных матриц, в качестве которых также приняты матрицы спектральной плотности и дисперсии выхода СНДС или СДДС.

Сформирован алгоритм контроля чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров СНДС или СДДС на базе использования функций чувствительности первого порядка элементов алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы, позволивший сконструировать матрицу функций чувствительности функционала вырождения, а также глобальные миноранту и мажоранту его реализаций на классе возможных вариаций параметров. Показано, что дополнительной проблемой для дискретных систем является анализ чувствительности функционала вырождения к такому «чисто дискретному» системному параметру как интервал дискретности.

9. Обнаружилось, что при моделировании потоков входных заявок конечномерными гармоническими воздействиями и стохастическими воздействиями стационарными в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы как в случае непрерывной, так и дискретной реализации многомерной динамической системы для вычисления функций чувствительности критериальной матрицы приходится осуществлять дифференцирование по параметру матричных уравнений Сильвестра и уравнений типа уравнения Ляпунова.

10. Показано на основе анализа оценки относительной интервальности интервальной матрицы состояния многомерной динамической системы возможность формирования интервальных функционалов вырождения с использованием аппарата теории чувствительности элементов алгебраического спектра сингулярных чисел интервальной критериальной матрицы для ее медианной составляющей на угловых реализациях интервализирующих параметров.

11. Для случая отсутствия возможности использования аппарата теории чувствительности для формирования интервального представления функционалов вырождения разработана технология этого представления, основанная на угловых реализациях критериальной матрицы, формируемой на угловых реализациях решений матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова.

12. Произведен анализ вырождения многомерной динамической системы (СДС) в задаче Трапезникова В.А. на базе предложенной в диссертации технологии контроля вырождения СДС с помощью сепаратных функционалов вырождения многомерной системы, амплитудных частотных характеристик вход-выход (АЧХВВ) сепаратных каналов СДС и SVD-мажорант и минорант АЧХВВ многомерной динамической системы для различных вариантов моделирования потока входных заявок на обслуживание СДС.

13. Экспериментально показано, что в случае распределения обслуживаемого потока по сепаратным каналам многомерной динамической системы в полном соответствии с полосами их пропускания не наблюдается вырождение такой системы даже в случае непрерывно растущей интенсивности этих заявок.

14. Сконструирована интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход, которая посредством вычисления сепаратных функционалов вырождения позволяет оценить склонность многомерной динамической системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.

15. Выделены типы многомерных динамических систем с антропокомпонентами по способу мотивации их функционирования. Сформировано представление СДС с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

16. Сформулированы рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы, суть которых сводится к коррекции линейного оператора, отображающего пространство намерений в пространство реализаций, с тем, чтобы матрица этого оператора была бы хорошо обусловленной.

Основное внимание автора в силу проблематики диссертационных исследований сосредоточено на технологии контроля вырождения многомерных динамических систем, тем не менее, при интерпретации полученных результатов необходимо взаимодействие с системным аналитиком.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Дударенко, Наталия Александровна, 2006 год

1. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю.В. Прохорова.-М.: Советская энциклопедия, 1988.

2. Акунов Т. А., Алишеров С., Оморов Р. О., Ушаков А. В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.

4. А.Брайсон, Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления -М.:Мир, 1972.

5. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

6. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

9. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Контроль вырождения сложной динамической системы с интервальными матричными компонентами ее модельного представления / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 35 СПб.: СЗТУ, 2006. - С.53-64.

10. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Спектральный анализ сложных непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 34. -СПб.:СЗТУ, 2005. С. 122-131.

11. Дударенко Н.А. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности // Современные технологии: Сборник научных статей / Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2003. - С. 245-252.

12. Заде JI.А., Дезоер Ч. Теория линейных систем / Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

13. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений / Под ред. Д. К. Фадеева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

14. Калман Р.Е., Фалб П.Л., Арбип М.А. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

15. Квакернаак X., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1997.

16. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. М.: КомКнига, 2006. - 240 с.

17. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы // Под ред. С. В. Емельянова. -М.: Мир. 1978.

18. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М. СПб.: Издательство МГУ-ГРИФ, 1998.

19. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002.

20. Петров Ю. П., Петров Л. Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

21. Портер У.А. Современные основания общей теории систем / Пер. с англ. -М.: Наука, 1971.

22. Сильвестров М. М., Козиоров Л. М., Пономаренко В.А. Автоматизация управления летательными аппаратами с учетом человеческого фактора. -М.: Машиностроение, 1986.

23. Современная прикладная теория управления: оптимизационный подход теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. 2000, 4.1.

24. Современная теория систем управления / Под ред. К.Т. Леондеса.: Пер. с англ. -М.: Наука, 1970.

25. Солодовников В.В. и др. Принцип сложности в теории управления. Опроектировании технологически оптимальных систем и проблеме корректности.-М.: Наука, 1977.

26. Теория систем. Математические методы и моделирование / Пер. с англ. под ред. С.В.Емельянова. М.: Мир, 1989.

27. Трапезников В.А. Автоматическое управление и экономика. Автоматика и Телемеханика. -М.: 1970, Т.Н. №1.

28. Трапезников В.А. Автоматическое управление и экономика. Вопросы управления экономическими системами. Автоматика и Телемеханика. -М.: 1970, Т.П. №1.

29. Трапезников В.А. Кибернетика и автоматическое управление. Автоматика и Телемеханика. М.: 1962, T.XXIII. №3. - С.279-288.

30. Ту Ю.Т. Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1971.

31. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход / Пер. с англ. М.: Наука, 1980.

32. Akunova A., Akunov Т. A., Ushakov A.V. Degeneration of complex systems under multyfraquent input signal // Proceedings of Second International Conference "Control of oscillations and chaos" (COC' 2000). St. Petersburg, Russia. 2000.

33. Nataliya A. Dudarenko. Degeneration control of complex dynamic systems. PREPRINTS of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2004. P.194-198.

34. Nataliya A. Dudarenko. Analysis of degeneration of complex dynamic systems with human components. PREPRINTS of 11th International Student

35. Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2006.-P.219-223.

36. E. I. Jury. A literature survey of biocontrol systems. Trans. IEEE (Automatic Control), pp.210-217, July, 1963.

37. Moore В. C. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controlability, Observability and Model Reduction // IEEE Trans. On Automatic Control. 1981. V. AC-26. №1. P. 17-31.

38. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press, 1965.