Теоретическое исследование и расчет турбулентного пограничного слоя на проницаемой поверхности при вдуве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.14.05, кандидат технических наук Лоуренс, Эммануэль Ансонг

• Лоуренс, Эммануэль Ансонг
• кандидат технических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат технических наук Лоуренс, Эммануэль Ансонг

Введение

Глава I. Современное состояние теории и эксперимента в исследовании турблентного течения со вду-вом.

§ I.I. Краткий обзор экспериментальных и аналитических результатов

§ 1.2. Методы решения уравнений турбулентного течения в пограничном слое

§ 1.3. Расчет турбулентного пограничного слоя на основе модельных уравнений.

§ I.3.I. Алгебраический способ замыкания системы уравнения для турбулентного пограничного слоя.

§ 1.4. Модели турбулентного течения в пограничном слое на основе дифференциальных уравнений переноса пульсационных характеристик

§ 1.5. Модели с использованием двух дополнительных уравнений переноса турбулентных характеристик.

§ 1.6. Модели высшего порядка.

Глава П. Система дифференциальных уравнений для моделирования турбулентного течения в пограничном слое и методика расчета турбулентного пограничного слоя.

§2.1. Вью од модельных уравнений.

§ 2.2. Граничные условия и выбор расчетной системы координат

§ 2.3. Преобразование уравнений к новым независимым переменным

§ 2.4. Преобразование уравнения количества движения

§ 2.5. Преобразование уравнения переноса турбулентной кинетической энергии

§ 2.6. Преобразование уравнения переноса турбулентных касательных напряжений

§ 2.7. Преобразование уравнения для функции диссипации

§2.8. Вывод конечно-разностных уравнений и их решение

§2.9. Определение скорости перетекания и функции тока на границе пограничного слоя.

§ 2.10. Распределение узловых точек в пограничном слое

§ 2.11. Начальные профили характеристик турбулентного течения

§ 2.12. Определение местного коэффициента трения.

§ 2.13. Порядок расчета

§ 2.14. Использование однопараметрической расчетной модели

§ 2.15. Вычислительная программа.

Глава Ш. Результаты расчета турбулентного пограничного слоя на проницаемой пластине при вдуве

§ 3.1. Результаты расчета однопараметрической модели

§ 3.2. Результаты расчета многопараметрической модели

§ 3.2.1. Профили скорости

§ 3.2.2. Турбулентные касательные напряжения

§ 3.2.3. Полные касательные напряжения

§3.2.4. . Кинетическая энергия турбулентных пульсаций

§ 3.2.5. Диссипация турбулентной энергии

§ 3.2.6. Баланс энергии в пограничном слое

§ 3.2.7. Коэффициент поверхностного трения при вдуве.

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретическое исследование и расчет турбулентного пограничного слоя на проницаемой поверхности при вдуве»

Интерес к исследованию турбулентного пограничного слоя при подаче массы в поток через проницаемую стенку возрос за последние двадцать лет вследствие быстрого развития ряда важных областей техники, включая судостроение, атомную энергетику, авиационную и космическую технику и др. Этот способ воздействия на пристенное течение рассматривается как эффективный метод уменьшения поверхностного трения и теплообмена |^23 , 32 , 35 » 39 ^. В целом ряде прикладных задач приходится решать проблемы охлаждения и управления пограничным слоем. Так например, одним из факторов, сдерживающих развитие газотурбостроения, является необходимость эффективного охлаждения лопаток турбин при повышении температуры газа. Возможности традиционных способов охлаждения следует считать исчерпанными £19 ] . Новый импульс в развитии дан использованием пористого охлаждения, при котором охлаждающий газ используется более эффективно, чем при конвективном охлаждении. Существо этого эффекта состоит в том, что газ не только воспринимает тепло, проходя сквозь тело лопаток, но и создает поперечную скорость на поверхности, существенно уменьшая тепловой поток в стенку. В реальных конструкциях при сокращении расхода воздуха примерно на половину при пористом охлаждении наблюдается также снижение коэффициента теплоотдачи в среднем на 30% по сравнению с конвективным охлаждением £ 19

В некоторых случаях течения, например, в сильно раскрытых диффузорах, приходится бороться с отрывом потока от стенки. Аэродинамические методы управления потоком в этих случаях сводятся к отсосу или вдуву жидкости сквозь стенку » 15,20^« Один из способов повышения напряженности ступеней компрессора является перепуск воздуха с вогнутой поверхности на выпуклую через отверстие в теле лопаток £ 18 ^• Можно привести многие другие примеры, где необходима организация поперечного перетока массы сквозь проницаемую стенку. Очевидно,что для расчета этого явления необходимо тщательное теоретическое и экспериментальное исследование структуры турбулентного течения в пограничном слое на проницаемых поверхностях, чем и ознаменовались два последних десятилетия.

На первом этапе изучение этого вопроса сосредотачивалось на анализе интегральных характеристик потока. Но в последнее десятилетие с появлением быстродействующих ЭВМ получили развитие расчеты систем дифференциальных уравнений, описывающих ту или иную модель турбулентного пристенного течения.

Разнообразие предлагаемых расчетных моделей и не всегда удовлетворительная сходимость расчетных и опытных данных требуют многих усилий для совершествования теоретического подхода и математических методов расчета.

В этой связи в настоящей работе была поставлена цель

- проанализировать существующие расчетные модели, а также наиболее существенные экспериментальные данные и на их основе построить модель расчета турбулентного пограничного слоя на проницаемой поверхности при вдуве. На данном этапе объем работы ограничился рассмотрением случая плоской пластины, обтекаемой безградиентным потоком изотермического газа.

В результате проведенных исследований была предложена

- трехпараметрическая модель;

- предложены два метода расчета турбулентного течения на проницаемой пластине со вдувом. Первый метод основан на решении уравнения количества движения, в котором турбулентные касательные напряжения представлены через функции от относительной продольной скорости универсального вида. Второй метод состоит в решении полной системы уравнений, включающей уравнения количества движения, турбулентных касательных напряжений, кинетической энергии пульсаций и диссипативной функции;

- выполнены расчет осредненных характеристик в пограничном слое на проницаемой пластине;

- на основании полученных расчетных данных проведен анализ баланса осредненной и пульсационной энергии в пограничном слое при вдуве.

Автор защищает

1. Методы расчета турбулентного пограничного на проницаемой стенке в широком диапазоне относительных скоростей вдува.

2. Результаты расчета осред^знных турбулентных характеристик в пограничном слое при вдуве.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технических конференциях УДН в 1983 и 1984 годах, а также на научном семинаре ЭНИН им. Г.М. Кржижановского. По материалам работы написаны две статьи в сборниках научных трудов УДН "Процессы в тепловых двигателях", один из которых выходит в 1984 году, а второй в 1985 году.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы теплотехники», Лоуренс, Эммануэль Ансонг

выводы

1. Предложена однопараметрическая модель расчета турбулентного пограничного слоя для течения на проницаемой пластине, основанная на решении уравнения количества движения и использующая в качестве замыкающего условия универсальную зависимость турбулентных касательных напряжений от относительной продольной скорости течения. Модель позволяет выполнить расчет профилей продольной скорости по длине проницаемой пластины в широком диапазоне относительных скоростей вдува.

2. Предложена многопараметрическая модель расчета, состоящая в решении системы уравнений переноса количества движения, турбулентной энергии, рейнольдсовых напряжений и диссипативной функции. Модель основана на универсальных свойствах ряда турбулентных характеристик в поле продольной скорости и позволяет выполнить расчет профилей скорости, турбулентных касательных напряжений, кинетической энергии пульсаций и диссипации в широком диапазоне относительных скоростей вдува.

3. Расчеты, проведенные с использованием указанных моделей, позволили установить следующие результаты: с возрастанием скорости вдува в диапазоне Vin - » 0 * 0,014 наблюдается деформация в поведении осредненных и пульсационных характеристик пограничного слоя; замедление потока вблизи стенки приводит к резкому падению коэффициента трения; турбулентные касательные напряжения и кинетическая энергия при вдуве возрастает и их максимум смещается от стенки; пристенная диссипация падает; структура течения во внешней области слоя остается консервативной; характеристические толщины пограничного слоя увеличиваются с ростом скорости вдува, в основном, за счет роста толщины турбулентного ядра.

4. Проведен анализ баланса членов уравнения энергии осредненного движения в пограничной слое на проницаемой пластине три относительных скоростях вдува ^ = 0 + 0,014. Анализ показал» что в условиях вдува энергия осредненного движения, отбираемая из внешней области пограничного слоя, расходуется не только на порождение турбулентной энергии вблизи стенки, как это имеет место при течении на непроницаемой пластине, но и на восполнение энергии самого осредненного движения в этой области.

5. Проведен анализ баланса членов турбулентной кинетической энергии в указанном выше диапазоне относительных скоростей вдува, который показал, что с увеличением степени вдува слой производства турбулннтной энергии, а также слой масимальной диссипации смещаются от стенки; роль турбулентной диффузии, в отличие от течения на непроницаемой стенки, сводится к переносу турбулентной энергии из места ее порождения не только во внешнюю область слоя, но и к стенке, несколько увеличивая ее диссипацию.

6. Влияние вдува на закономерности переноса осредненной и пульсационной энергии не обнаружено, что подтверждает консервативность течения в этой области.

7. В результате расчета получена важная информация об изменении диссипации и коэффициента турбулентной вязкости в пограничном слое при вдуве, которая может быть использована для дальнейшего совершенствования инженерных методов расчета течений на проницаемый поверхностях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены два метода расчета турбулентных течений на проницаемых стенках при изотермическом вдуве однородного газа. Один метод позволяет произвести расчет распределений продольной скорости и коэффициента трения вдоль проницаемой поверхности. Второй - позволяет получить дополнительную информацию о распределении турбулентных касательных напряжений, кинетической энергии пульсации, диссипативной функции и связанных с ними величинах. Применимость указанных методов расчета течений на проницаемых поверхностях проверена вплоть до значений относительной скорости вдува V« = 0,014, а справедливость заложенных в них предпосылок подтверждена экспериментом в весьма широком диапазоне степеней вдува.

Полученные результаты показывают, что вдув может быть использован как эффективное средство для уменьшения поверхностного трения и тепловой защиты стенки, а также средство управления пограничным слоем.

Предложенные методы могут быть использованы для расчета турбулентных течений на проницаемых поверхностях при вдуве и могут быть развиты для случая градиентных течений с теплообменом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Лоуренс, Эммануэль Ансонг, 1984 год

1. Акатнов Н.И. О применении энергетического уравнения турбулентности в теории струйных течений. МЖГ, 1973, № 2, С.75-81.

2. Аканов Н.И. О линейных масштабах турбулентности в полуэмпирической теории. Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1974.

3. Акатнов Н.И. Влияние турбулентности внешнего потока на турбулентный пограничный слой на плоской пластине. Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1977, с. 26-31.

4. Акатнов Н.И., Тульверт В.Ф. Использование уравнения баланса пульсационной энергии в теории пристеночных турбулентных течений. Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1973.

5. Башмаков И.В., Худяков Г. и др. Исследование структуры изотермического турбулентного пограничного слоя на проницаемой пластине при однородном поперечном вдуве. Научно-технический отчет МВТУ-МГУ, 1974.

6. Браиловская И.Ю., Чудов Л.А. Решение уравнения пограничного слоя разностным методом. Сб. "Вычислительные методы и программирование", МГУ, 1962, с.167-181.

7. Ван-Дайк М., Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком, в жиге "Исследование гиперзвуковых течений", Мир, М.1964.

8. Веригин И.С. Влияние пористого вдува и отсоса на работу отрывного диффузора, Инженерно-физический журнал, 1976, т.30, № 4, с.646-652.

9. Глушко Г.С. Турбулентный пограничный слой на плоской пластине в несжимаемой жидкости, Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 4.

10. Гинзбург И.Г., Кочерыков Г.В., Матвеев С.К. 0 численном анализе уравнений турбулентного пограничного слоя, Ученые записки ЛГУ, сер. мат. наук, вып. 46, 1970, № 357.

11. Госмен A.A., Халил Е.Е., Уайтлоу Дж.Г. Расчет двумерных турбулентных рециркуляционных течений, в кн. "Турбулентные сдвиговые течения", т.Г, М., Машиностроение, 1982, с.247-270.

12. Давыдов В.И. 0 статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости, ДАН СССР, 1961, т.127, № 5, с.768.

13. Давыдов В.И. 0 статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости, ДАН СССР, 1961, т.136, № I, с. 47.

14. Давыдов В.И. Статистическая теория турбулентности, ДАН СССР, i960.

15. Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Газодинамика диффузоров и выхлопных патрубков турбомашин, М., Энергия, 1970.

16. Дородницын A.A., Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя, ПМТФ, i960, № 3.

17. Дурст Ф., Растоги А.К. Теоретические и экспериментальные исследования турбулентных течений с отрывом, в кн. "Турбулентные сдвиговые течения", т.1., М., Машиностроение , 1982, с. 214-227.

18. Евтеев И.В., Орехов В.К. Исследование характеристик спрямляющего аппарата осевого компрессора с управлением пограничным слоем на поверхности лопаток, в сб. "Исследование двигателей и машин", М., УДН им. П.Лумумбы, 1980, с.22-26.

19. Жирицкий Г.С., Локаи В.И., Максутов М.И., Стрункин В.А. Газовые турбины двигателей летательных аппаратов, М., Машиностроение, 1971, с.619.

20. Зарянкин А.Е., Касилов В.Ф. Аэродинамическое управление потоком в коротких диффузорах, Известия высших учебных заведений, "Энергетика, 1979, № 7, с. 57-61.

21. Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости, Известия АН СССР, Физика, 1942, т.6, № 1-2.

22. Кочерыженков Г.В., Матвеев С.К. Расчет турбулентного пограничного слоя с вдувом, Ученые записки ЛГУ, сер.мат. наук, сб. 3, вып. 49, 1973, № 369.

23. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое, М., Энергия, 1972.

24. Кутателадзе С.С., Хабахпашева Е.М., Орлов В.В., Перепел-ша Б.П., Михайлова Е.С. Экспериментальное исследование структуры пристенной турбулентности и вязкого подслоя, в кн. "Турбулентные сдвиговые течения", т.1, М., Машиностроение, 1982.

25. Лапин Ю.В. Трение и теплообмен в сжимаемом турбулентном пограничном слое на пластине при наличии ввода вещества, ЖГФ, т.30, вып. 8, 1960, М.-Л.

26. Лапин Ю.В. Трение и теплообмен в сжимаемом турбулентном пограничном слое при наличии химических реакций, обусловленных вводом инородного вещества, ЖТЗ>, т.30, вып. 10, 1960, М.-Л.

27. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа, М., Наука, 1982.

28. Лапин Ю.В., Чумаков Ю.С., Турбулентный пограничный слой вмногокомпонентных химически реагирующих газах, в кн."Турбулентные течения", М., Наука, 1977.

29. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой, Физматгиз, М., 1962.

30. Лойцянский Л.Г. Гипотеза локальности в турбулентном движении жидкости при наличии вязкости, ПММ, 1958, т.22,вып.5, с.600-611.

31. Миронов Б.П. Луговской П.П. Исследование течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя со вдувом, ИЗЖ, т. 22, № 3, 1972.

32. Мотулевич В.П. Турбулентный тепло и массообмен на пластине при пористом отсосе и подаче различных газов, Инженерно-физический журнал, 1963, т.6, № I, с. 3-13.

33. Никурадзе И. 0 закономерности турбулентных течений в гладких трубах, в кн. "Проблемы турбулентности", М.-Л.; ОНТИ, 1936.

34. Петухов И.В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое, в сб. "Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений в квадратурных формах", М., 1964, с. 304-325.

35. Полежаев Ю.В., Юревич Ф.Б. Тепловая защита, М., Энергия, 1976, с.391.

36. Поляев В.М., Башмаков И.В., Власов Д.И., Герасимов И.М. Влияние вдува на течение вблизи стенки в турбулентном пограничном слое на пористой пластине, в сб. "Тепло и массопере-нос", Минск, 1972, т.1, часть 2, с,92-100.

37. Прандтль Л. Новые результаты в исследовании турбулентности, М.-Л., ОНТИ, 1936.

38. Рейнольде А.Д. Турбулентные течения в инженерных приложениях^., Энергия, 1979, 405с.

39. Самарский A.A. Теория разностных схем, М., Наука, 1983.

40. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики, М., 1980.

41. Секундов А.Н. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости к анализу плоских неавтомодельных течений, из. АН СССР, МЖГ, № 5, 197I, с. II9-I27.

42. Федяевский К.К., Гиневский A.C., Колесников A.B. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости, Л., Судостроение, 1973.

43. Фредерик Дж. Блоттнер. Разностная схема с неравномерной сеткой для расчета турбулентных пограничных слоев, в кн. "Численное решение задач гидродинамики", редакторы А.Ю.Ишлинс-кий, Г.Г.Черный, М., Мир, 1977.

44. Хабахпашева Е.М. Некоторые данные о структуре течения в подслое, в кн. "Проблемы теплофизики и физической гидродинамики", Новосибирск, Наука, 1974, с. 223-234.

45. Хабахпашева Е.М., Михайлова Е.С. Экспериментальное исследование структуры пристенной турбулентности и вязкого подслоя, Новосибирск, Институт теплофизики, АН СССР, 1976, с.33-57.

46. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, М., Наука, 1974.- 138

47. Bfeker R.J. and. Launder BvE. The turbulent boundary layer with foreign gas injection- I. Measurements in zero pressure gradient. Int. J. Heat Mass Transfer 7. 17. pp. 275-291. 1974

48. Black T.J. and Sarnecki A.J. The turbulent boundary layer with suction or injection. Couno. Rep. HAM 3387» 1965*

49. Blasius H., Qrenzschichten in FLussigkei ten mit Icleiner Reibung. Z. Math. Phys. 56,1-37 (1908).

50. Bossinesq J. Theorie de 1'ecoulement tourbillant. Me'm. Pres.Acad. Sci. XXIII, 46, Paris. 1877.

51. Bradshaw P. Ferris D.I,, Atfell F.P. Calculation of boundary layer development using the turbulent energy equation • J. Fluid Mech. 1967.

52. Vol. 28. Ifo.3. pp.593-616.

53. Bradshaw P . The effect of mean compression or dialaiion on the supwv sonio boundary layers. J. Fluid Mech.,1974» vol.63, lto.3.54Cebeci Tj Smith A.lf.O. Analysis of turbulent boundary layers .Few-York- London. Acad. Press. 1974» pp.404.

54. Cebeci T. Calculation of incompressible turbulent boundary layers with mass transfer including highly accelerated flows. J. Heat Transfer. Transactions of ASME Ser. C. Vol.93. 1971. PP. 271-280.

55. Chou P.T. On the velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent fluctuation. (Juart. A ppl. Math. 3, 38.(1945).

56. Clarke J.HJ Menkes H.H; Libby P.A . A provisional analysis of turbulent boundary layers with injeotion. J. Aeronaut. SCi. 1955» Vol.22, pp;- 2552 66

57. Clauser F.H. The turbulent boundary layers. Advances in Applied Mech. 1954. Vol. 4. PP. I-5I We* Tork.

58. Crooco L. A characteristic transformation of the equations of the boundary layer in gases. ARC Rep. Wo.4582. London .1939.

59. Daly B.W 5 Harlow P.H. Turbulent equations in turbulenc. Phys. Fluids 13.2634.(1970)

60. Deisser R.O. Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in smooth tubes atihigh Pranltl and Schmidt numbers. 1TACA Rep. I210. pp.69-82. (1955).

61. Donaldson A computer study of an analytical model of boundary layer transition A IAA paper No. 6838. 1968.

62. Dorranee W.J. and Dore P.J« The effect of mass transfer on the compressible turbulent boundary1 layer skin friction and heat transfer. J. Aero. Soi. 1954. Vol. 21. Fo. 6, pp. 404-4101. RcL

63. Boons H.W. Shear flow turbulence. Proc. 2 * US Congress of Applied Mechanics ASME .1954.

64. Hanjalic K ; Launder B. E. Contribution towards a Reynolds-stress closure for low Reynolds-number turbulence. J. Fluid Mech. 1976. Vol. 74 .Part 4- pp. 593-610.

65. Harlow P.h. and Nalcayama P.I. Transport of turbulence energy decay rate. Los Alamos Sci. Lab. Univ. California Rep. LA-3854. 1968.

66. Hudimoto B. On the turbulent boundary layer. Trans. Japan. Soc. Mech. Eng. 7. 1941.

67. Kays V.M. Heat transfer to the traspired turbulent boundary layer. Int, J. Heat and mass transfer, Vol. 15. 1972 .pp.1023-1044.

68. Kendall R.M. Interaction of mass and momentum transfer in the bound®-ary layer. Sc.D. ftiesis. M.I.T. 1959«

69. Laufer J, The structure of turbulence in fully developed pipe flow MCA Rep. 1174. pp.I-18. (1954)

70. Launder B.E., Spalding D.Bi Lectures in mathematical models of turbulence. Acad. Press.1972. London .Few York.76's Law Hi G. Konsimilar mixing of chemically reacting streams. Proc.3rd* Int. Heat transfer Conference. Chicago, I966.(A0ChE), II,pp.I-II.

71. Launder B.E, ,Moorse A., Rodi W., Spalding D. Bi The prediction of free Shear flows. A comparison of the performance of six turbulence models. Pres. MCA Conference on Free shear: flow». MSA. Langley Res. Center. Hampton Va. 1972.

72. Lilly D.O. Turbulent swirliiag prediction. AIAA J. Vol.12. .To. 12. Feb. 1974. pp. 219.79« Mo Quiid J. Incompressible turbulent boundary layers with distributed injeotion. Ph.D. Thesis. Cambridge Univ. 1966.

73. M ell or 0 ,L. and Herring E.J. Two methods of calculating turbulentboundary layer behaviour based on numerical solution of the equations of motion. Princeton Univ. MSA Contract. MSA Grand NOR. 31-001 -074,

74. Michel R.,Quemard C., Durant R. Application d'un schema de languerur de melange a letude de couches limites turbuleles dequlibre. Note lechn. 01TERA 1969. NO. 154.

75. Mickley H.S., Ross R.C., Squyers A.L. and Stewart W.E. Heat, mass and momentum transfer for flow over a flat pliate with blowing orsuction. FACA TF.3208. July 1954.

76. Fee V.W., Kovasnay L.S.G. Simple phenomenologioal theory of turbulent shear flows. Phys. fluids 1969. Vol. 12. No. 3. pp.473-484.

77. ITg. K.H. and Spalding D.B. Comparision of three methods of predictingthe hydro dynamic behaviour of two dimehsional turbulent boundary layers.1.perial College. Heat Transfer Section Rep. BL TN A 27. (1970) •

78. Ng K.H. and Spalding D.B. Some application of a model of turbulence to boundary layers near walls. Physics of Fluids.Fo.15 .(1972$

79. Pletcher Prediction of transpired turbulent boundary layers. J. of Heat Transfer ASME. Feb. 1974« New York.

80. Prandtl L. Uber die ausgebildete turbulenz. ZAMM. 1925,5.

81. Prandtl L., Weighardt K. Tiber ein neus foittelsistem fur die ausgibil-dete turbulenz. Nachr. Akad. Wise. Gottingen, Math. Phys. 1945. H6.1. PP. 6-19

82. Rannie Tf.D. A simplified theory of porous wall cooling ( Progress report. 4-5O.Jet Propulsion Lab. Fov. 24. 1947 )

83. Reichardt H. Oesetzmaseigkeiten der freien turbulentz VH-Forschung-sheft. 1951.

84. Rodi ff. and Spalding D.B. A two parameter model of turbulence and its application to free jets, toe und Stoffubertragung 3(1970*)1. PP.85.

85. Rotta J. Statistische theorie nichtomogener turbulenz . Zeitsch fur Physik,I29. 547. (1951)

86. Rubesin. M.W. An analytioal estimation of the effect of transpiration cooling on the heat transfer and skin friction characteristics of a compressible turbulent boundary layer. HACA TU. 3341. 1954«

87. Simpson R.l. The turbulent boundary layer on a porous plate: An experimental study of the fluid dynamics with injection and suction. Ph.D. Thesis. Thermoscienoes Division, Mech. Engng, Dept . Stanford Univ. 1967.

88. Simpson R.L. Characteristics of turbulent boundary layers at low Reynolds numbers with and without transpiration. J. iluid Medh. Vol. 42. Part 4. pp. 679-802 .1970. Cambridge üniv. Press.

89. Squire Hi. B #-Reconsideration of the theory of free turbulence « Phyl. Ma*. 39. PP.I-14. 1948.99» Spalding D.B3., Patankar S.V. Heat and Mass transfer in boundary layers Morgan-grampian. London , 19^7.

90. Spalding D.B. The calculation of the length scale of turbulence in some turbulent boundary layers remote from walls. Imperial College Heat transfer section. Rep. TWP TN 31. il967).

91. Spalding D.B. The prediction of two-dimensional steady turbulent flows. Imperial College. Heat transfer section. Rep. EP TF A l6. 1969.

92. Stevenson T.F. A law of wall for turbulent boundary layers with suctionor iajeotion. Cranfield C011. of Aero. Rep. 166. 1963.

93. Szablewski ff. Berechnung der turbulenten Strömung längs der ebenenplatte,z. agnew. Math. Meoh. 31,pp.309-324. $1951)

94. Turcotte D.L. A sublayer theory for fluid injection into the incompressible turbulent boundary layer. JAS. Vol. 27. No. i960,

95. Van Driest E.R. On turbulent flow near a wall . J. Aero. Sei. 1956. Vol. 23. Fo. 23.No. 10.

96. Wolfshtein Numerioal solution of the problem of a turbtilent impinging:jet. Imperial College , Heat transfer section . Rep. EP TN A 17 .£1969),

97. Wooldridge C.E,, Muzsy R.J. Boundary layer turbulence measurements with mass addition and combustion. A.IAA. Journal Vol. 4. No. II.pp.2008-2016. 1966