Теоретико-типовое обоснование математического структурализма: онто-эпистемологические аспекты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Ламберов Лев Дмитриевич

• Ламберов Лев Дмитриевич
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Ламберов Лев Дмитриевич

Введение

Часть 1. Философия математики «по умолчанию» и поиск оснований

Глава 1. Платонизм как «философия работающего математика»

1.1. Между платонизмом и формализмом

1.2. Философская интерпретация математической практики

1.3. Математический платонизм

1.4. От платонизма к разновидностям реализма

1.5. Натуральные числа по Г. Фреге

1.6. Аргумент о неустранимости математических объектов

1.7. Первая посылка: холизм подтверждения и натурализм

1.8. Вторая посылка: неустранимость математических объектов

Глава 2. Онтологические затруднения теоретико-множественного реализма

2.1. Теоретико-множественный реализм Г. Фреге

2.2. Теоретико-множественное представление натуральных чисел

2.3. Теоретико-множественный реализм, уникальность и прагматизм

2.4. Прагматическая контраргументация: классы эквивалентности

2.5. Прагматическая контраргументация: мистика реализма

2.6. Прагматическая контраргументация: наилучшая теория

2.7. Теоретико-множественный реализм и скептические аргументы

Глава 3. Между математической истиной и математическим знанием

3.1. Стандартная семантика

3.2. Стандартная семантика и реализм о математических объектах

3.3. Эпистемический доступ к математическим объектам

3.4. Каузальная теория знания

3.5. От каузальной теории референции к релайабилизму

3.6. Восприятие таких странных множеств

3.7. Математические убеждения и математические факты

3.8. Метаязыковая фиксация математических понятий

Глава 4. Основания математики и проблема выбора

4.1. Практика и теория оснований математики

4.2. Технические и философские аспекты оснований математики

4.3. А что если математике основания не нужны?

4.4. Отказ от оснований математики

4.5. Плюрализм оснований математики

4.6. Задачи оснований математики

4.7. Понятие доказательства и принципы простоты

4.8. Инварианты, логические понятия и основания математики

Часть 2. Структурная интерпретация математики

Глава 5. Формирование структурного подхода внутри математики

5.1. «Врождённые» способности к математике

5.2. Математическое знание и практические потребности

5.3. Языковые свидетельства

5.4. «Семантическая традиция» против кантианской созерцательности

5.5. Логицистский структурализм Р. Дедекинда

5.6. Аксиоматический метод Д. Гильберта

5.7. Кумулятивная иерархия Э. Цермело

Глава 6. От Бенацеррафа до модального структурализма

6.1. Утверждения тождества

6.2. Подойдёт любая «-последовательность

6.3. Онтология элиминативного структурализма и структурализма т ге

6.4. К эпистемологии бесконечного

6.5. Модальный структурализм: общая программа

6.6. Модальный структурализм: категорический и гипотетический компоненты

6.7. Модальный структурализм: обоснование перевода

Глава 7. Буквальная семантика математических выражений с точки зрения

реалистского структурализма

7.1. Буквальная семантика и «поверхностная» логическая форма

7.2. Структуралистская эпистемология для реализма

7.3. Постулирование, реализм и знание

7.4. Степени абстрактности

7.5. На границах математики

7.6. Платонистская разновидность структурализма

7.7. Структурная относительность и отсутствующие факты

7.8. Два смысла позиций в структурах

Глава 8. Природа математических объектов в реалистском структурализме

8.1. Неполнота математических объектов

8.2. Смысл тезиса о неполноте математических объектов

8.3. Зависимость математических объектов

8.4. Множества и элементы versus структуры и позиции

8.5. Трудности зависимостей

8.6. Метафизическое фундирование в контексте структурализма

8.7. Неразличимость позиций-объектов

8.8. Объектность, неразличимость и параметры

8.9. Нетривиальные перестановки

Часть 3. Теория структур

Глава 9. Приближаясь к теории структур

9.1. Отношения между структурами

9.2. Тождество для структур

9.3. Аксиоматическое построение теории структур

9.4. Мотивация для аксиоматической теории структур

9.5. Теория объектов и основания метафизики

9.6. Структуры и позиции с точки зрения теории объектов

9.7. Следствия теории абстрактных объектов

9.8. Роль фоновой теории

Глава 10. Альтернатива теоретико-множественному подходу

10.1. Реформация святой веры

10.2. Различия в формулировке теорий

10.3. Объекты, существование, построение

10.4. Материальная и структурная интерпретации принадлежности

10.5. Суждения и высказывания

10.6. Понятие функции

10.7. Единство математики и редукционизм

Глава 11. На пути к теоретико-типовому структурализму

11.1. Чем могли бы быть типы

11.2. Высказывания-как-типы и А-куб

11.3. Тождество

11.4. Унивалентность

11.5. Структурность

11.6. Конструктивность

11.7. Высшие типы и гомотопическая иерархия

11.8. Автономность гомотопической теории типов

Глава 12. Структуралистский подход к доказательству

12.1. Мотивация для унивалентных оснований математики

12.2. Два аспекта сложности современной математики

12.3. Компьютерные доказательства: обзор

12.4. Особенности компьютерных доказательств

12.5. Вопросы доверия

12.6. Обозримость математического доказательства

12.7. Понимание и строгость математического доказательства

12.8. Понятие доказательства в математическом структурализме

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоретико-типовое обоснование математического структурализма: онто-эпистемологические аспекты»

Введение

Актуальность исследования. С момента своего возникновения математическое знание было тесно связано с эмпирическим и созерцательным компонентами, и только во второй половине XIX в. оно теряет эти связи в силу арифметизации анализа, построения неклассических геометрий, а позже -становления формализации, развития современного логического подхода и аксиоматического метода. Отход от эмпирического и созерцательного компонентов в математическом знании сопровождается формированием структурного подхода, при котором сущности и внутренние свойства математических объектов перестают быть релевантными, а весь вес в определении того, что собой представляет тот или иной математический объект, переносится на его отношения с другими объектами (того же типа). Так, на теоретико-множественном основании складывается структуралистская интерпретация математики, кульминация развития которой в философии математики во многом приходится на 1980-1990-ые гг. Структуралистские теории математики, построенные на указанном основании, могут быть названы классическим структурализмом.

В дальнейшем классический структурализм столкнулся с рядом серьезных затруднений, которые в итоге не позволили получить адекватную теорию структур и дать единообразное объяснение различных областей математики, не исключая сами теоретико-множественные основания математики (основания «по умолчанию»). Кроме того, попытки согласовать классический структурализм с математической практикой вряд ли могут считаться успешными, так как в ряде случаев приводят к ослаблению ключевых тезисов математического структурализма, что лишает данную позицию ее теоретической привлекательности.

На протяжении XX в. развивались альтернативные подходы к основаниям математики - теоретико-типовои и теоретико-категорныи подходы. В первую очередь развитие теоретико-типового подхода происходило в рамках компьютерных наук и теории доказательств, что в конечном счёте привело к созданию разнообразных вариантов теории типов, а затем на их основе -интерактивных средств для доказательства теорем. В рамках теоретико-категорного подхода наиболее важными результатами стали рассмотрение категории как абстрактных структур и введение понятия топоса. В дальнейшем теоретико-типовои и теоретико-категорныи подходы к основаниям математики сближаются, что привело к созданию В. Воеводским в 2000-2010 гг. программы построения унивалентных оснований математики. Последняя характеризуется сложной иерархией математических теорий, богатством моделей, единством методов исследования, динамическим характером и постоянным взаимодействием различных областей математики. Унивалентные основания математики предполагают использование современных систем для проверки доказательств (например, развиваются библиотеки формализованной математики UniMath для Coq и Agda). В структуралистском смысле унивалентный подход к основаниям математики значительно упрощает работу с изоморфными структурами, которые фактически трактуются как равные, что существенно приближает основания математики к актуальной математической практике.

"Г"» и

В связи с тем, что классический математический структурализм фактически игнорирует последние разработки в области оснований математики и сталкивается с рядом существенных трудностей (в частности, возникающих при построении теории структур), а также оказывается по большей части неспособным объяснить успехи компьютеризации математической деятельности по построению доказательств, в настоящее время представляется актуальным исследование связей математического структурализма с альтернативными подходами к основаниям математики и возможностей

построения концепции математического структурализма на принципах современного теоретико-типового подхода. Последнее предполагает проведение исследований онтологии и эпистемологии актуальной математической практики, учет затруднений классического математического структурализма и выяснение существенных (онтологических и эпистемологических) характеристик современного теоретико-типового подхода к основаниям математики. В конечном итоге это позволяет уточнить ответы на классические вопросы философии математики в контексте ее современного состояния и перспектив будущего развития. К таким вопросам можно отнести, например, следующие: (1) что является предметом математики, (2) что собой представляет математический объект, (3) какие эпистемологические функции выполняет математическое доказательство и т. п. Несмотря на то что эти вопросы являются классическими вопросами философии математики, они не теряют своей актуальности. Более того, ответы на эти вопросы являются актуальными в той степени, в какой они соответствуют актуальной математической практике и современным разработкам.

Проблему настоящего исследования можно сформулировать следующим образом: можно ли построить концепцию математического структурализма, (1) учитывающую затруднения классического математического структурализма, (2) согласующуюся с актуальной математической практикой и (3) обращающуюся к современному теоретико-типовому подходу к основаниям математики?

Гипотеза настоящего исследования состоит в том, что математический структурализм при условии его построения на теоретико-типовом основании способен дать описание и объяснение современной математики, согласующиеся с онтологией и эпистемологией современной математики и актуальной математической практикой.

Степень разработанности проблемы исследования. Релевантная настоящему исследованию традиция математического структурализма

складывается в работах математиков конца XIX и начала XX вв., в первую очередь в работах Р. Дедекинда, Д. Гильберта (в особенности в его разработке аксиоматического метода на основе идей М. Паша и в споре с Г. Фреге) и в 1930-х гг. Э. Цермело (в его кумулятивной иерархии множеств). В дальнейшем традиция математического структурализма развивалась в первую очередь в работах французских математиков, публиковавшихся под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки, в первую очередь Ж. Дьёдонне. Исследованию этого периода развития математики с философской точки зрения посвящена достаточно обширная литература, включающая, например, работы Э. Нагеля, П. Дугака, Г. Штейна, Г. Мура, У. Тэйта, М. Халлета, К. Маккарти, Ч. Парсонса, Дж. Булоса, С. Шапиро, П. Мэдди, Л. Корри, Л. Инкувати и др.

Классические концепции математического структурализма сформировались как ответы на поставленные П. Бенацеррафом в 1960-1970-ых гг. проблемы: проблему отождествления или проблему неединственности представления математического объекта и дилемму или проблему интеграции метафизики и эпистемологии в рамках философии математики. К наиболее разработанным концепциям математического структурализма в философии математики следует отнести статьи самого П. Бенацеррафа, а также работы Дж. Хеллмэна, С. Шапиро, М. Резника, при этом два последних автора существенным образом опираются на идеи У. В. О. Куайна, в особенности на его концепцию онтологической относительности и вытекающий из неё структурализм. К примеру, М. Резник по аналогии с онтологической относительностью У. В. О. Куайна рассматривает структурную относительность. Анализ, критика и реконструкция концепций классического структурализма проводятся в работах Ч. Парсонса, Дж. Бёрджеса, Ю. Керянена, Э. Линнебо, Ф. Макбрайда, Р. Петтригрю, Дж. Лэдимэна, Х. Ляйтгеба. Теория структур в рамках классического структурализма разрабатывается С. Шапиро, Э. Залтой, У. Нодлманом, а исследование М. Резником отношений эквивалентности между структурами основывается на концепции

дефиниционально эквивалентных теорий, систематизированной Дж. Коркораном.

В исследовании онтологии математического структурализма возникают вопросы о связях и (взаимо-) зависимостях между позициями (объектами) одной структуры, между позициями и содержащей их структурой, между позициями разных структур, между разными структурами, которые опираются на общефилософские концепции о части и целом, о критериях тождества и существования и проч. Эти и подобные вопросы обсуждаются в работах Б. Рассела, Р. Карнапа, Г. Хохберга, Д. Льюиса, К. Файна, Э. Дж. Лоу, Ф. Макбрайда и многих других.

Кроме того, для настоящего исследования важными являются работы из области физики, например, таких авторов как В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. Б. Питаевский, Д. Альберт, которые используются при обсуждении онтологической границы между абстрактными и физическими объектами. Также актуальны работы по математике и размышления о математике самих математиков, представленные в работах Н. Н. Лузина, И. П. Наттансона, Ю. В. Сидорова, Ю. И. Манина, А. Гротендика, В. Б. Алексеева и др. Для настоящего исследования важными оказались работы, исследующие понятие математического доказательства. Среди таких работ можно назвать работы Н. Гудмэна, Е. М. Черепанова, В. В. Целищева, А. В. Хлебалина, С. Де Тоффоли, В. Жардино и др.

Теоретико-типовой подход впервые предложен Б. Расселом в начале XX в., однако хоть он привлек к себе внимание Ф. Рамсея и ряда других исследователей, он не стал мейнстримом в основаниях математики и развивался в дальнейшем в рамках теории доказательств, в связи с лямбда-исчислением и затем в рамках теории типов. Актуальность теоретико-типового подхода для оснований математики была осознана в 1970-х гг. после работ П. Мартин-Лефа по интуиционистской теории типов. Благодаря этим разработкам теории типов начали активно развиваться и нашли применение в интерактивных средствах

для доказательства теорем, хотя попытки такого применения можно найти и в более ранних работах Н. де Брёйна. Наиболее релевантные для настоящего исследования работы по теориям типов представлены Т. Коканом, Н. Дэниельсоном, Д. Корфилдом, У. Шрайбером, Б. Баррасом, А. Мёртбергом. История развития теории типов и её философские интерпретации освящаются в работах Р. Харпера, Ф. Каммареддина, Т. Лаана, Р. Нидерпельта, В. А. Суровцева, В. В. Целищева, О. А. Доманова, Б. Лински, Дж. Л. Белла и др. Сравнение теорий множеств и теорий типов не является систематическим, но некоторый материал для такого сравнения имеется в работах М. Шульмана, Э. Клева и Т. Алтенкирха, а также в коллективной монографии «Гомотопическая теория типов: унивалентные основания математики» (коллектив из 27 основных авторов, 6 авторов-студентов и 24 эпизодических авторов).

Теоретико-категорный подход к основаниям математики и релевантные для настоящего исследования части теории категорий развивались в основном в работах У. Ловера, Р. Розенбрюга, Т. Лейнстера, а их философское обсуждение проводится в работах С. Оуди. К 2000-2010-ым гг. теоретико-категорный подход существенно сближается с теоретико-типовым, что в конечном итоге привело к созданию В. Воеводским гомотопической теории типов и программы унивалентных оснований математики. Исследования в этой области представлены в работах А. Пелайо, М. Уоррен, Э. Палмгрен, С. Оуди, Дж. Лэдимэна, С. Преснела, А. В. Родина и др. В связи с гомотопической теорией типов интерес вызывают параллели между логикой и геометрией, которые можно провести благодаря работам Н. А. Васильева и их историческим и философским реконструкциям в работах В. А. Бажанова.

Объектом исследования является математический структурализм.

Предметом исследования являются мотивация и аргументы в пользу и против математического структурализма в философии математики в связи с теоретико-типовым подходом к основаниям математики.

Цель исследования состоит в том, чтобы продемонстрировать, что математический структурализм является адекватной философией математики при условии пересмотра подхода к основаниям математики, на роль которых (для целей математического структурализма) в настоящее время подходят различные современные разновидности теории типов (в частности, гомотопическая и кубическая теории типов), что обосновывается не только их соответствием онтологической стороне структурализма, но также его предполагаемой эпистемологией.

Для достижения заявленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать аргументацию в пользу позиции философии математики «по умолчанию» (математического платонизма, реализма); в частности, проанализировать аргумент Куайна-Патнэма о неустранимости математики.

2. Выявить онтологические затруднения математического платонизма, рассмотрев, в частности, аргумент П. Бенацеррафа против теоретико-множественного редукционистского реализма и против точки зрения, что предметом математики является исследование математических объектов; дилемму Бенацеррафа, демонстрирующую затруднения последовательного согласования метафизики математики с ее эпистемологией.

3. Разработать методологию связи философии математики и оснований математики, а также критерии выбора оснований математики.

4. Провести историко-философскую реконструкцию возникновения и развития структуралистского подхода в математике (на материале сведений о возникновении математического знания, а также освобождения математики от созерцательности и образности в математических работах Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Цермело).

5. Исследовать возникновение и развитие классического структуралистского подхода в философии математики (П. Бенацерраф, Дж. Хэллмен, С. Шапиро, М. Резник и др.), выявить особенности этого подхода,

а также специфические затруднения, возникающие перед математическим структурализмом при решении онтологических и эпистемологических вопросов математики (таких как онтологический статус структур и объектов-позиций, понимание отношения зависимости между ними, понимание неразличимости позиций в некоторых структурах и онтологического приоритета определённого рода структур и проч.).

6. Реконструировать основные подходы к построению теории структур как ключевого компонента структуралистского подхода к математике, выявить их взаимосвязи с основаниями математики и возникающие при их использовании затруднения.

7. Провести сравнение теоретико-множественного и теоретико-типового (учитывающего также теоретико-категорный) подходов к основаниям математики, выявить их различия, а также особенности теоретико-типового подхода, позволяющие успешно согласовать его с математическим структурализмом.

8. Сформулировать ключевые принципы теоретико-типовой разновидности математического структурализма, продемонстрировать его онтологические и эпистемологические особенности, выявить основные направления дальнейших исследований.

Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач применяются различные методы и принципы, однако методологическую основу составляют методы концептуального и логического анализа, системного анализа, сравнительный метод, историко-типологический, историко-сравнительный и историко-генетический методы. В целом теоретической и методологической основой исследования являются методы аналитической философии и логического анализа, учитывающие единство онтологических, теоретико-познавательных и логических (семантических) подходов к изучению философских проблем через призму исследования языка и логики. Особую роль в исследовании играет метод символизации, который выполняет как

вспомогательную роль, так и роль эвристического средства. Важную роль в методологии исследования, особенно при изучении компьютерных доказательств и связи теоретико-типового подхода к основаниям математики с понятием математического доказательства, играет соответствие Карри-Говарда-Ламбека, позволяющее установить взаимосвязи между такими дисциплинами, как математическая логика (в частности, конструктивная логика), типизированное лямбда-исчисление, теория категорий и гомотопическая топология (в виде гомотопической теории типов), а также кубическая теория типов (как конструктивная интерпретация аксиомы унивалентности).

В исследовании использованы формальные логические методы и подходы, методы эпистемологического анализа значимой информации, методы когнитивного анализа. Помимо традиционных методов формально-логического анализа использованы методы анализа на основе конструктивной теории типов и гомотопической теории типов, а также методы, развиваемые в теории категорий.

Историко-типологический, историко-сравнительный и историко-генетический методы использованы в ходе исследования ранней истории возникновения структуралистского подхода в математике конца XIX и начала XX вв., а также в ходе изучения различных разновидностей классического математического структурализма. Кроме того, при исследовании различных разновидностей классического математического структурализма используется сравнительный метод и метод концептуального анализа, что позволяет выявить особенности и общие черты указанных концепций. Анализ позволит реконструировать и оценить аргументацию как в пользу той или иной версии классической структурной интерпретации математики, так и против нее.

Также в рамках исследования разрабатывается абдуктивный метод, выстраиваемый в качестве расширения сравнительного метода, который используется для сравнения разнородных подходов к основаниям математики, а также позволяет проанализировать их в контексте структуралистского подхода в

философии математики. В ходе исследования математический структурализм рассматривается в контексте теоретико-множественного, теоретико-типового и теоретико-категорного подходов, а также подходов, которые представляют собой синтез двух последних.

Таким образом, в основу исследования положены достижения ряда конкретных математических и исторических дисциплин, а также представителей аналитической философии, которая характеризуется стремлением к устранению произвольных метафор и аналогий, а также стремлением к строгой аргументации и попытке разрешения философских проблем методом логико-лингвистического анализа и использования методов современной логики. В связи с тем, что данная работа посвящена изучению оснований математики и современных методов доказательства, результаты исследования служат также прояснению оснований и методологии аналитической философии, которая, по убеждению автора исследования, исторически зарождается в первую очередь как философия математики. Так как при рассмотрении различных проблем в рамках аналитической философии зачастую привлекается аппарат современной логики, то и разрешение онтологических и теоретико-познавательных проблем в настоящем исследовании без обращения к некоторым формально-логическим построениям оказывается невозможным, хотя в самом тексте диссертации обращение к формальным методом сведено к минимуму.

Дополнительно необходимо отметить, что релевантную традицию математического структурализма и связанную с ней концепцию математического структурализма в философии математики следует отличать от таких течений мысли XX в., как структурализм представителей школы русского формализма, французский структурализм и постструктурализм, структуралистская теория науки мюнхенской школы. Указанные направления автору известны, но не являются релевантными для настоящего исследования в силу их слабой (или вообще отсутствующей) генетической связи с

математическим структурализмом, практически полного отсутствия традиции взаимного цитирования, постановки содержательно отличных философских вопросов, иногда лишь внешне аналогичных вопросам математического структурализма. В цели настоящего исследования не входит сравнение указанных направлений с рассматриваемым в работе математическим структурализмом, выявление их общих и различающихся черт, а также какая-либо попытка согласования этих разнородных традиций.

Научная новизна исследования заключается в обосновании структуралистского подхода в философии математики, разработке авторского варианта математического структурализма и демонстрации преимуществ теоретико-типового подхода к основаниям математики над теоретико-множественным подходом, что в конечном счете показывает соответствие математического структурализма актуальной математической практике, а также онтологии и эпистемологии математики. Основным результатом становится формулировка теоретико-типового структурализма - позиции в области философии и оснований математики.

1. В диссертации продемонстрированы преимущества структуралистского подхода в философии математики по сравнению с позицией математического платонизма (позицией «по умолчанию»), аргументация против математического платонизма в работе получает авторскую интерпретацию и анализируется с целью придания ей более строгой формы (например, показано, что проблема отождествления, сформулированная П. Бенацеррафом, при анализе разделяется на два компонента - аргумент против теоретико-множественного редукционистского реализма и аргумент в пользу элиминативного структурализма).

2. Разработана методология философского исследования оснований математики, при котором критерием выбора между различными конкурирующими позициями является критерий простоты. При этом простота может пониматься различными способами в зависимости от фокуса внимания

исследователя - как простота базовой системы оснований математики, как простота представления доказательств, как простота обеспечения проверки математических доказательств с помощью современных вычислительных машин и т. д. Данная методология, помимо прочего, используется для построения аргументации в пользу теоретико-типового подхода к основаниям математики и авторской теоретико-типовой разновидности математического структурализма.

3. Выявлены и систематизированы различные затруднения онтологического и эпистемологического характера, возникающие при разработке классического варианта математического структурализма, а также при построении теории структур. Данные затруднения учитываются при разработке позиции теоретико-типового математического структурализма, что служит дополнительной мотивацией для данной позиции.

4. Проведено сравнение теоретико-множественного и теоретико-типового (учитывающего также теоретико-категорный) подходов к основаниям математики, выявлены их различия, касающиеся формы построения теорий, статуса и роли объектов, понятий экстенсиональности и интенсиональности, понятий функции и вычисления, а также «горизонтальной» и «вертикальной» стратификаций математического знания. Продемонстрировано, что теоретико-типовой подход к основаниям математики (в отличии от теоретико-множественного подхода) удаётся успешно согласовать с позицией математического структурализма.

5. Предложен теоретико-типовой вариант математического структурализма, продемонстрированы его онтологические и эпистемологические особенности, выявлены дальнейшие направления связанных исследований.

Положения, выносимые на защиту.

1. В философии математики позицию математического платонизма принято считать концепцией «по умолчанию», которой, помимо философов

математики, придерживается большинство работающих математиков. Последнее подтверждается как различными источниками, так и социологическими опросами. Однако эта концепция оказывается уязвимой перед рядом серьёзных возражений, в числе которых особую значимость имеют аргумент отождествления (или аргумент о неединственности представления математических объектов) и метафизически-эпистемологическая дилемма, оба из которых предложены П. Бенацеррафом. В представленном диссертационном исследовании детально проанализированы указанные возражения против математического платонизма, продемонстрирована невозможность преодолеть их предполагаемой прагматической контраргументацией. В частности, в аргументе отождествления впервые выделены две составные части: критика позиции, которая в диссертационном исследовании обозначена термином «теоретико-множественный редукционистский реализм», и позитивный аргумент в пользу математического структурализма. Анализ критической части аргумента отождествления косвенно свидетельствует, что адекватная постановка и разрешение вопросов философии математики невозможно без учёта принимаемой концепции оснований математики.

2. В представленном диссертационном исследовании отстаивается точка зрения, состоящая в том, что при постановке и разрешении вопросов философии математики требуется учитывать принимаемую концепцию оснований математики. Помимо стандартных подходов к сравнению концепций оснований математики в исследовании предложена методология сравнения на основе понятия простоты, понимаемого достаточно широко. Так как основания математики решают ряд задач, в числе которых построение общего теоретического фундамента всего математического знания, прояснение подлежащей природы математических объектов и содержания математических понятий, оценка относительной непротиворечивости новых математических теорий, формулировка идеального стандарта строгости математического доказательства, объяснение математической практики и проч., к этим, порой

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Ламберов Лев Дмитриевич, 2026 год

Список использованной литературы

1. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях / В. Б. Алексеев. - М.: МЦНМО, 2001. - 192 с.

2. Аристотель. Категории / Аристотель; пер. А. В. Кубицкого; комментарии И. С. Нарского и Н. И. Стяжкина // Аристотель. Сочинения в 4-х тт. / Аристотель; ред. З. Н. Микеладзе. - М.: Мысль, 1978. - Т. 2. - С. 51-90.

3. Арнольд В. И. Что такое математика? / В. И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2008. - 104 с.

4. Бажанов В. А. Мозг - культура - социум. Кантианская программа в когнитивных исследованиях / В. А. Бажанов. - М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2019. - 288 с.

5. Бажанов В. А. Н. А. Васильев и его воображаемая логика. Воскрешение одной забытой идеи / В. А. Бажанов. - М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2009. - 240 с.

6. Бажанов В. А. Феномен числа с позиций психологизма: можно ли утверждать, что числа «сочиняются»? / В. А. Бажанов // Эпистемология и философия науки. - 2025. - Т. 62, №1. - С. 134-147.

7. Белякин Н. В. Об основных критериях убедительности доказательства / Н. В. Белякин, Е. М. Черепанов // Философия науки. - 2010. - №3. - С. 31-44.

8. Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 720 с.

9. Бурбаки Н. Архитектура математики / Н. Бурбаки; пер. Д. Н. Ленского // Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Н. Бурбаки; под ред. Е. А. Рыбникова. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - С. 245-259.

10.Васильев Н. А. Отчёт привет-доцента по кафедре философии Императорского Казанского университета Н. А. Васильева о ходе его научных занятий за время (с 1 июля 1911 г. по 1 июля 1912 г.) / Н. А.

Васильев // Васильев Н. А. Воображаемая логика. Избранные труды / Н. А. Васильев; под ред. В. А. Бажанова. - М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2025. - С. 206-231.

11.Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России / Б. В. Гнеденко. -М.—Л.: ГТТИ, 1946. - 248 с.

12.Гриневич А. А. Говорящие деревья казымских хантов / А. А. Гриневич // Критика и семиотика. - 2013. - №2 (19). - С. 95-103.

13.Гротендик А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика / А. Гротендик; пер. Ю. Фридман; под ред. Г. Нуждина и В. Прасолова. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 288 с.

14.Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? / Р. Дедекинд; пер. Н. Парфентьева; под ред. Г. И. Синкевич. - М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2015. -98 с.

15.Доманов О. А. Структурализм и конструктивизм в гуманитарных науках и математике / О. А. Доманов // Сибирский философский журнал. - 2017. -Т. 15, №3. - С. 39-50.

16.Евклид. Начала. Книги I-VI / Евклид; пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского; при ред. участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. - М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. - 447 с.

17.Евклид. Начала. Книги VII-X / Евклид; пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского; при ред. участии И. Н. Веселовского. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 511 с.

18.История математики с древнейших времён до начала XIX столетия / под ред. А. П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - Том 1: С древнейших времён до начала Нового времени. - 350 с.

19.Кант И. Критика чистого разума / И. Кант; пер. Н. Лосского; под ред. Ц. Г.Архаканяна и М. И. Иткина. - М.: Мысль, 1994. - 591 с.

20.Ладов В. А. Иллюзия значения: проблема следования правилу в аналитической философии / В. А. Ладов. - Томск: Изд-во ТГУ, 2008. - 326 с.

21.Ламберов Л. Д. К вопросу тождества компьютерных программ / Л. Д. Ламберов, А. С. Кляшторный // Интеллект. Инновации. Инвестиции. -2013. - №4. - С. 185-193.

22.Ламберов Л. Д. Математический структурализм с точки зрения (модальной) теории множеств / Л. Д. Ламберов // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. -2022. - №65. - С. 28-36.

23.Ламберов Л. Д. Основания математики: теория множеств vs. теория типов / Л. Д. Ламберов // Философия науки. - 2017. - №1. - С. 41-60.

24.Ламберов Л. Д. Проблема тождества компьютерных программ / Л. Д. Ламберов, А. С. Кляшторный // Инновации в современной науке. Материалы II Международного осеннего симпозиума / под науч. ред. Г. Ф. Гребенщикова. - М.: ООО «Издательство „Спутник+"», 2013. - С. 224-228.

25.Ламберов Л. Д. Проблема тождества компьютерных программ: от семантики к соответствию Карри-Говарда / Л. Д. Ламберов, А. С. Кляшторный // Человек в техносреде: конвергентные технологии, глобальные сети, интернет вещей. - Вологда: Вологодский государственный педагогический институт, 2014. - С. 71-76.

26.Ламберов Л. Д. Универсальная характеристика Г. В. Лейбница и перспективные разработки в области оснований математики / Л. Д. Ламберов, Т. С. Козьякова // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. - 2017. - №40. - С. 164-172.

27.Лебедев М. В. Онтологические проблемы референции / М. В. Лебедев, А. З. Черняк. - М.: Праксис, 2001. - 344 с.

28.Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях (1930) / Н. Н. Лузин // Лузин Н. Н. Собрание сочинений / Н. Н. Лузин; под ред. П. С. Новикова и Л. В. Келдыша. - М.: Изд-во АН СССР, 1958. - Том 2: Дескриптивная теория множеств. - С. 9-269.

29.Манин Ю. И. Математика как профессия и призвание / Ю. И. Манин; пер. С. М. Львовского // Манин Ю. И. Математика как метафора / Ю. И. Манин. - М.: МЦНМО, 2008. - С. 125-133.

30.Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики / В. Н. Молодший. - М.: Просвещение, 1969. - 303 с.

31.Натансон И. П. Функция / И. П. Натансон, Ю. В. Сидоров // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. Ю. Прохоров; ред. кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудряшов, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. - М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - С. 615-617.

32.Пуанкаре А. Ценность науки / А. Пуанкаре; пер. А. Бачинского и Н. Соловьёва; под ред. С. Г. Суворова // Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983. - С. 153-282.

33.Родин А. В. Аксиоматическая архитектура научных теорий: дисс. ... д. филос. н.: 09.00.08: защищена 23.12.2020: утв. 29.03.2021 / Родин Андрей Вячеславович. - СПб, 2020. - URL: https://disser.spbu.ru/files/2020/disser_rodin.pdf [Дата обращения: 15.12.2024]. - 250, 279 с.

34.Родин А. В. Логический и геометрический атомизм от Лейбница до Воеводского / А. В. Родин // Вопросы философии. - 2016. - № 6. - С. 135142.

35.Суровцев В. А. Ф. П. Рамсей и программа логицизма / В. А. Суровцев. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2012. - 258 с.

36.Успенский В. А. Что такое аксиоматический метод? / В. А. Успенский. -Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 96 с.

37.Целищев В. В. Онтология математики: объекты и структуры / В. В. Целищев. - Новосибирск: Нонпарель, 2003. - 240 с.

38.Целищев В. В. Философия математики. Ч. 1 / В. В. Целищев. -Новосибирск: Наука, 2002. - 212 с.

39.Целищев В. В. Эпистемология математического доказательства / В. В. Целищев. - Новосибирск: Параллель, 2006. - 212 с.

40.Целищев В. В. Концептуальная и формальная строгость математического доказательства / В. В. Целищев, А. В. Хлебалин // Философия науки. -2022. - №1. - С. 64-70.

41.Черепанов Е. М. Простота как критерий убедительности доказательства / Е. М. Черепанов // Философия науки. - 2010. - №1. - С. 91-101.

42.Черепанов Е. М. Содержательность, информативность и простота / Е. М. Черепанов // Философия науки. - 2006. - №2. - С. 52-64.

43.Шапошников В. А. Распределенное познание и математическая практика в цифровом обществе: от формализации доказательств к пересмотру оснований / В. А. Шапошников // Эпистемология и философия науки. -2018. - Т. 55, № 4. - С. 160-173.

44.Шварц А. Ю. Роль чувственных представлений в математическом познании и понимании математики / А. Ю. Шварц // Психологические исследования. - 2011. - Т. 4, №17. - URL: https://doi.org/10.54359/ps.v4i17.853 [Дата обращения: 12.12.2024].

45.Шехтман В. Б. Двумерные модальные логики / В. Б. Шехтман // Математические заметки. - 1978. - Т. 23, №5. - С. 759-772.

46.Adams M. Proof Auditing Formalised Mathematics / M. Adams // Journal of Formalized Reasoning. - 2016. - Vol. 9, No. 1. - P. 3-32.

47.Ajdukiewicz K. Die syntaktische Konnexität / K. Ajdukiewicz // Studia Philosophica. - 1935. - Vol. 1. - P. 1-27.

48.Albert D. Bohm's Alternative to Quantum Mechanics / D. Albert // Scientific American. - 1994. - Vol. 270, No. 5. - P. 58-67.

49.Alexander J. W. A Lemma on Systems of Knotted Curves / J. Alexander // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 1923. - Vol. 9, No. 3. - P. 93-95.

50.Almgren F. J. Almgren's Big Regularity Paper: Q-Valued Functions Minimizing Dirichlet's Integral and the Regularity of Area-Minimizing Rectifiable Currents up to Codimension 2 / F. J. Almgren; ed. by V. Scheffer, J.E. Taylor. - Singapore: World Scientific, 2000. - 972 p.

51.Altenkirch T. Should Type Theory Replace Set Theory as the Foundation of Mathematics? / T. Altenkirch // Global Philosophy. - 2023. - Vol. 33, No. 21. -P. 1-13.

52.Anderson D. J. Frege, Boolos, and Logical Objects / D. J. Anderson, Zalta E. N. // Journal of Philosophical Logic. - 2004. - Vol. 33, No. 1. - P. 1-26.

53.Appel K. Every Planar Map is Four Colorable / Appel K, W. Haken. -Providence, RI: American Mathematical Society, 1989. - xv, 741 p.

54.Appel K. Every Planar Map is Four Colorable. I. Discharging / K. Appel, W. Haken // Illinois Journal of Mathematics. - 1977. - Vol. 21, No. 3. - P. 429490.

55.Appel K. Every Planar Map is Four Colorable. II. Reducibility / K. Appel, W. Haken, J. Koch // Illinois Journal of Mathematics. - 1977. - Vol. 21, No. 3. - P. 491-567.

56.Appel K. The Solution of the Four-Color-Map Problem / K. Appel, W. Haken // Scientific American. - 1977. - Vol. 237, No. 4. - P. 108-121.

57.Aschbacher M. The Status of the Classification of the Finite Simple Groups / M. Aschbacher // Notices of the American Mathematical Society. - 2004. -Vol. 51, No. 7. - P. 736-740.

58.Awodey S. Structuralism, Invariance, and Univalence / S. Awodey // Philosophia Mathematica. - 2014. - Vol. 22, No. 1. - P. 1-11.

59.Awodey S. Structure in Mathematics and Logic: A Categorical Perspective / S. Awodey // Philosophia Mathematica. - 1996. - Vol. 4, No. 3. - P. 209-237.

60.Azzouni J. Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism / J. Azzouni. - N. Y.: Oxford University Press, 2004. - viii, 241 p.

61.Azzouni J. Metaphysical Myths, Mathematical Practice: The Ontology and Epistemology of the Exact Sciences / J. Azzouni. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - ix, 249 p.

62.Balaguer M. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics / M. Balaguer. - N. Y.: Oxford University Press, 1998. - x, 217 p.

63.Balaguer M. Towards a Nominalization of Quantum Mechanics / M. Balaguer // Mind. - 1996. - Vol. 105, No. 418. - P. 209-226.

64.Banach S. Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes / S. Banach, A. Tarski // Fundamenta Mathematicae. - 1924. - No. 6. - P. 244-277.

65.Barendregt H. Introduction to Generalized Type Systems / H. Barendregt // Journal of Functional Programming. - 1991. - Vol. 1, No. 2. - P. 125-154.

66.Barras B. A Generalization of the Takeuti-Gandy Interpretation / B. Barras, T. Coquand, S. Huber // Mathematical Structures in Computer Science. - 2015. -Vol. 25, Special Issue 5: From Type Theory and Homotopy Theory to Univalent Foundations of Mathematics. - P. 1071-1099.

67.Bassler O. B. The Surveyability of Mathematical Proof: A Historical Perspective / O. Bassler // Synthese. - 2006. - Vol. 148, No. 1. - P. 99-133.

68.Beeson M. Mixing Computations and Proofs / M. Beeson // Journal of Formalized Reasoning. - 2016. - Vol. 9, No. 1, Special Issue: Twenty Years of the QED Manifesto. - P. 71-99.

69.Bell J. L. Types, Sets, and Categories / J. L. Bell // Handbook of the History of Logic. Vol. 6: Sets and Extensions in the Twentieth Century / ed. by D.

Gabbay, A. Kanamori, J. Woods. - Amsterdam: North-Holland, 2012. - P. 633687.

70.Benacerraf P. Mathematical Truth / P. Benacerraf // The Journal of Philosophy. - 1973. - Vol. 70, No. 19. - P. 661-679.

71.Benacerraf P. Recantation or Any Old «-sequence Would Do after All / P. Benacerraf // Philosophia Mathematica. - 1996. - Vol. 4, No. 2. - P. 184-189.

72.Benacerraf P. What Mathematical Truth Could Not Be - I / P. Benacerraf // Benacerraf and His Critics / ed. by A. Morton and S. Stich. - Oxford: Blackwell, 1996. - P. 9-59.

73.Benacerraf P. What Numbers Could Not Be / Benacerraf P. // Philosophical Review. - 1965. - Vol. 74, No. 1. - P. 47-73.

74.Bezem M. A Model of Type Theory in Cubical Sets / M. Bezem, T. Coquand, S. Huber // Proceedings of the 19th International Conference on Types for Proofs and Programs (TYPES 2013) / ed. by R. Matthes, A. Schubert. -Saarbrücken: Dagstuhl, 214. - P. 107-128.

75.Bishop E. The Crises in Contemporary Mathematics / E. Bishop // Historia Mathematica. - 1975. - Vol. 2, No. 4. - P. 507-517.

76.Blanchette P. A. Frege and Hilbert on Consistency / P. A. Blanchette // The Journal of Philosophy. - 1996. - Vol. 93, No. 7. - P. 317-336.

77.Bolzano B. Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege / B. Bolzano. - Prague: Gottlieb Haase, 1817. - 60 p.

78.Bolzano B. Wissenschaftslehre. Versuch einer ausführlichen und grösstentheils neuen Darstellung der Logik mit steter Rücksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Band 2. / B. Bolzano. - Sulzbach: J. E. v. Seidel, 1837. - viii, 568 p.

79.Boolos G. Gottlob Frege and the Foundations of Arithmetic / G. Boolos // Boolos G. Logic, Logic, and Logic / ed. by Richard Jeffrey. - Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1998. - P. 143-154.

80.Boolos G. Is Hume's Principle Analytic? / G. Boolos // Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett / ed. by R. Heck. - N. Y.: Oxford University Press, 1998. - P. 245-262.

81.Boolos G. Nominalist Platonism / G. Boolos // Philosophical Review. - 1985. -Vol. 94, No. 3. - P. 327-344.

82.Boolos G. The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic / G. Boolos // On Being and Saying: Essays in Honor of Richard Cartwright / ed. by Judith Thompson. - Cambridge, MA: MIT Press, 1987. - P. 3-20.

83.Boolos G. The Iterative Conception of Set / G. Boolos // The Journal of Philosophy. - 1971. - Vol. 68. - P. 215-232.

84.Boolos G. The Logic of Provability / Boolos G. - Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - xiii, 276 p.

85.Boolos G. To Be Is To Be a Value of a Variable (or to Be Some Values of Some Variables) / G. Boolos // Journal of Philosophy. - 1984. - Vol. 81, No. 8. - P. 430-450.

86.Borovik A. V. Mathematics under Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice / A. V. Borovik. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2010. - 317 p.

87.Boyer R. S. The Boyer-Moore Theorem Prover and Its Interactive Enhancement / R. S. Boyer, M. Kaufmann, J. S. Moore // Computers & Mathematics with Applications. - 1995. - Vol. 29, No. 2. - P. 27-62.

88.Brandom R. The Significance of Complex Numbers for Frege's Philosophy of Mathematics / R. Brandom // Proceedings of the Aristotelian Society. - 1996. -Vol. 96, No. 1. - P. 293-315.

89.Brouwer L. E. J. Consciousness, Philosophy, and Mathematics / L. E. J. Brouwer // Collected Works, Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics / L. E. J. Brouwer; ed. by A. Heyting. - P. 480-494.

90.Brouwer L. E. J. Intuitionism and Formalism / L. E. J. Brouwer // Brouwer L. E. J. Collected Works, Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics / L. E. J. Brouwer; ed. by A. Heyting. - P. 123-138.

91.Brouwer L. E. J. Intuitionist Reflections on Formalism / L. E. J. Brouwer // From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s / ed. by P. Mancosu. - N. Y.: Oxford University Press, 1998. - P. 4044.

92.Brouwer L. E. J. Life, Art, and Mysticism / L. E. J. Brouwer; trans. by W. P. van Stigt // Notre Dame Journal of Formal Logic. - 1996. - Vol. 37, No. 3. - P. 389-429.

93.Brouwer L. E. J. On the Foundations of Mathematics / L. E. J. Brouwer // Brouwer L. E. J. Collected Works, Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics / ed. by A. Heyting. - Amsterdam: North-Holland, 1975. - P. 13101.

94.Brouwer L. E. J. The Unreliability of the Logical Principles / L. E. J. Brouwer // Brouwer L. E. J. Collected Works, Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics / ed. by A. Heyting. - Amsterdam: North-Holland, 1975. - P. 107-111.

95.Bueno O. Is it Possible to Nominalize Quantum Mechanics? / O. Bueno // Philosophy of Science. - 2003. - Vol. 70, No. 5. - P. 1424-1436.

96.Burge T. Computer Proof, Apriori Knowledge, and Other Minds: The Sixth Philosophical Perspectives Lecture / T. Burge // Philosophical Perspectives. -1998. - Vol. 12. - P. 1-37.

97.Burgess J. Book Review: Stewart Shapiro. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology // Notre Dame Journal of Formal Logic. - 1999. - Vol. 40, No. 2. - P. 283-291.

98.Burgess J. Rigor and Structure / J. Burgess. - Oxford: Oxford University Press, 2015. - x, 215 p.

99.Burgess J. Why I Am Not a Nominalist / J. Burgess // Notre Dame Journal of Formal Logic. - 1983. - Vol. 24, No. 1. - P. 93-105.

100. Burgess J. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic interpretation of Mathematics / J. Burgess, G. Rosen. - Oxford: Clarendon Press, 1997. - 272 p.

101. Button T. Philosophy and Model Theory / T. Button, S. Walsh. - N. Y.: Oxford University Press, 2018. - xvi, 517 p.

102. Callard B. Can Math Move Matter? / B. Callard // Inquiry. - 2018. - Vol. 66, No. 3. - P. 355-380.

103. Callard B. The Conceivability of Platonism / B. Callard // Philosophia Mathematica. - 2007. - Vol. 15, No. 3. - P. 347-356.

104. Camos V. Discontinuity in the Enumeration of Sequentially Presented Auditory and Visual Stimuli / V. Camos, B. Tillmann // Cognition. - 2008. -Vol. 107, No. 3. - P. 1135-1143.

105. Cantor G. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre / G. Cantor // Mathematische Annalen. - 1895. - Bd. 46, N. 4. - P. 481-512.

106. Cantor G. Gesammelte Abhandlungen. Mathematischen und Philosophischen Inhalts / G. Cantor; ed. by E. Zermelo. - Berlin: Springer, 1932. - vii, 486 p.

107. Cantor G. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen / G. Cantor. - Leipzig: B.G. Teubner, 1883. - 47 p.

108. Capdeboscq I. The Classificaion of the Finite Simple Groups, Number 10: Part V, Chapters 9-17: Theorem C6 and Theorem C4*, Case A / I. Capdeboscq, D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2023. - 570 p.

109. Cardone F. Lambda-Calculus and Combinators in the 20th Century / F. Cardone, J. R. Hindley // Handbook of the History of Logic. Vol. 5: Logic from Russell to Church / ed. by D. Gabbay, J. Woods, - Amsterdam: North-Holland, 2005. - P. 723-817.

110. Carey S. Ontogenetic Origin of Human Integer Representations / S. Carey, D. D. Barner // Trends in Cognitive Science. - 2018. - Vol. 23 (10). - P. 823-835.

111. Carnap R. Logical Syntax of Language / R. Carnap. - London: Kegan Paul Trench, Trubner & Co., 1937. - xvi, 352 p.

112. Carnap R. Meaning and Necessity: A Study in Semantics and Modal Logic / R. Carnap. - Chicago: Chicago University Press, 1947. - viii, 210 p.

113. Cerutti E. Formac Meets Pappus Some Observations on Elementary Analytic Geometry by Computer / E. Cerutti, P. J. Davis// The American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76, No. 8. - P. 895-905.

114. Chihara C. Constructability and Mathematical Existence / C. Chihara. -Oxford: Clarendon Press, 1990. - xv, 282 p.

115. Chisholm R. M. Theory of Knowledge. - Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989. - viii, 104 p.

116. Chwistek L. The Theory of Constructive Types, Part I / L. Chwistek // Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego). - 1924. - Vol. II. - P. 9-48.

117. Chwistek L. The Theory of Constructive Types, Part II / L. Chwistek // Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego). - 1925. - Vol. III. - P. 92-141.

118. Cochiarella N. On the Primary and Secondary Semantics of Logical Necessity / N. Cochiarella // Journal of Philosophical Logic. - 1975. - Vol. 4. -P. 13-27.

119. Coffa A. The Semantic Tradition from Kant to Carnap: To the Vienna Station / A. Coffa; ed. by L. Wessels. - Cambridge: Cambridge University Press, 1991. - xi, 445 p.

120. Cohen C. Cubical Type Theory: A Constructive Interpretation of the Univalence Axiom / C. Cohen, T. Coquand, S. Huber, A. Mortberg // arXiv. -2016. - URL: https://arxiv.org/pdf/1611.02108 [Дата обращения: 01.10.2024].

121. Coleman E. The Surveyability of Long Proofs / E. Coleman // Foundations of Science. - 2009. - Vol. 14, No. 1-2. - P. 27-43.

122. Colyvan M. Confirmation Theory and Indispensability / M. Colyvan // Philosophical Studies. - 1999. - Vol. 96, No. 1. - P. 1-19.

123. Colyvan M. The Indispensability of Mathematics / M. Colyvan. - N. Y.: Oxford University Press, 2001. - viii, 172 p.

124. Conant L. The Number Concept: Its Origin and Development / L. Conant. - N. Y.: MacMillan and Co., 1896. - vii, 218 p.

125. Coquand T. Isomorphism Is Equality / T. Coquand, N. A. Danielsson // Indagationes Mathematicae. - 2013. - Vol. 24, No. 7. - P. 1105-1120.

126. Corcoran J. On Definitional Equivalence and Related Topics / J. Corcoran // History and Philosophy of Logic. - 1980. - Vol. 1, No. 1-2.

127. Corfield D. Expressing „the Structure of" in Homotopy Type Theory / D. Corfield // Synthese. - 2020. - Vol. 197. Special Issue: Foundations of Mathematics. - P. 681-700.

128. Corfield D. Homotopy Type Theory and the Vertical Unity of Concepts in Mathematics / D. Corfield // What Is a Mathematical Concept? / ed. by E. de Freitas, N. Sinclaire, A. Coles. - N. Y.: Cambridge University Press, 2017. - P. 125-142.

129. Corfield D. Modal Homotopy Type Theory: The Prospect of a New Logic for Philosophy / D. Corfield. - N. Y.: Oxford University Press, 2020. -x, 180 p.

130. Corry L. The Origin of Hilbert's Axiomatic Method / L. Corry // The Genesis of General Relativity. Vol. 3-4 / ed. by J. Renn, M. Schemmel. -Dordrecht: Springer, 2007. - P. 759-855.

131. Couturat L. La Logique de Leibniz: d'après des documents inédits / L. Couturat. - Paris: Félix Alcan, 1901. - xiv, 608 p.

132. Couturat L. The Logic of Leibniz / L. Couturat; trans. by Donald Rutherford. - URL: http://philosophyfaculty.ucsd.edu/faculty/rutherford/Leibniz/couturatcontents.p hp [Дата обращения: 15.12.2024].

133. Craig W. On Axiomatizability within a System / W. Craig // The Journal of Symbolic Logic. - 1953. - Vol. 18, No. 1. - P. 30-32.

134. Curry H. Combinatory Logic, Volume I / H. Curry, R. Feys, W. Craig. -Amsterdam: North-Holland, 1958. - xvi, 417 p.

135. Curry H. Functionality in Combinatory Logic / H. Curry // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. - 1934. - Vol. 20, No. 11. - P. 584-590.

136. Curry H. Some Properties of Equality and Implication in Combinatory Logic / H. Curry // Annals of Mathematics, Series 2. - 1934. - Vol. 35, No. 4. -P. 849-860.

137. Davidson D. A Coherence Theory of Truth and Knowledge / D. Davidson // Truth and Interpretation: Perspectives on the Philosophy of Donald Davidson / ed. by E. LePore. - Oxford: Basil Blackwell, 1986. - P. 307-319.

138. Davies B. Whither Mathematics? / B. Davies // Notices of the American Mathematical Society. - 2005. - Vol. 52, No. 11. - P. 1350-1356.

139. Davis M. A Computer Program for Presburger's Algorithm / M. Davis // Automation of Reasoning. Vol. 1: Classical Papers on Computational Logic, 1957-1966 / ed. by J. Sielmann, G. Wrightson. - Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 1983. - P. 41-48.

140. Davis M. The Prehistory and Early History of Automated Deduction / M. Davis // Automation of Reasoning. Vol. 1: Classical Papers on Computational Logic, 1957-1966 / ed. by J. Sielmann, G. Wrightson. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1983. - P. 1-28

141. Davis P. J. Fidelity in Mathematical Discource: Is One and One Really Two? / P. J. Davis // American Mathematical Monthly. - 1972. - Vol. 79, No. 3. - P. 252-263.

142. Davis P. J. The Mathematical Experience / P. J. Davis, R. Hersh. -Boston: Birkhäuser, 1981. - xix, 440 p.

143. de Bruijn N. Automath, a Language for Mathematics / N. de Bruijn // Automation of Reasoning. Vol. 2: Classical Papers on Computational Logic, 1967-1970 / ed. by J. Sielmann, G. Wrightson. - Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 1983. - P. 159-200.

144. de Bruijn N. G. Set Theory with Type Restrictions / N. G. de Bruijn // Selected Papers on Automath / ed. by R. P. Nederpelt, J. H. Geuvers, R. C. de Vrijer. - Amsterdam: Elsevier, 1994. - p. 841-847.

145. De Toffoli S. An Inquiry into the Practice of Proving in Low-dimensional Topology / S. De Toffoli, V. Giardino// From Logic to Practice: Italian Studies in the Philosophy of Mathematics / ed. by G. Lolli, M. Panza, G. Venturi. - Berlin: Springer, 2015. - P. 315-336.

146. De Toffoli S., Giardino V. Envisioning Transformations - The Practice of Topology / S. De Toffoli, V. Giardino // Mathematical Cultures: The London Meetings 2012-2014 / ed. by B. Larvor. - Berlin: Springer, 2016. - P. 25-50.

147. De Toffoli S. Groundwork for a Fallibilist Account of Mathematics / S. De Toffoli // Philosophical Quarterly. - 2021. - Vol. 71, No. 4. - P. 823-844.

148. De Toffoli S. Reconciling Rigor and Intuition / S. De Toffoli // Erkenntnis. - 2021. - Vol. 86, No. 6. - P. 1783-1802.

149. Dedekind R. Stetigkeit und irrationale Zahlen / R. Dedekind. -Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1872. - 34 p.

150. Dedekind R. Was sind und was sollen die Zallen? / R. Dedekind. -Brunswick: Vieweg, 1888. - xviii, 56 p.

151. Detlefsen M. Hilbert's Formalism / M. Detlefsen // Revue Internationale de Philosophie. - 1993. - Vol. 47, No. 186 (4). - P. 285-304.

152. Detlefsen M. The Four-Color Theorem and Mathematical Proof / M. Detlefsen, M. Luker // The Journal of Philosophy. - 1980. - Vol. 77, No. 12. -P. 803-820.

153. Devitt M. Designation / M. Devitt. - N. Y.: Columbia University Press, 1981. - xiii, 311 p.

154. Diaconescu R. Axiom of Choice and Complementation / R. Diaconescu // Proceedings of the American Mathematical Society. - 1975. -Vol. 51, No. 1. - P. 176-178.

155. Dretske F. Precis of Knowledge and the Flow of Information / F. Dretske // Naturalizing Epistemology / ed. by Hilary Kornblith. - Cambridge, Mass.: MIT Press, 1994. - P. 217-237.

156. Dugac P. Richard Dedekind et les fondements des mathématiques / P. Dugac. - Paris: Vrin, 1976. - 334 p.

157. Dummett M. Realism / M. Dummett // Dummett M. Truth and Other Enigmas. - London: Duckworth, 1978. - P. 145-165.

158. Dummett M. The Philosophical Basis of Intuitionistic Logic / M. Dummett // Dummett M. Truth and Other Enigmas. - London: Duckworth, 1978. - P. 215-247.

159. Dummett M. Truth and Other Enigmas. - London: Duckworth, 1978. -lviii, 470 p.

160. Dummett M. What Is Mathematics about? / M. Dummett // Mathematics and Mind / ed. by A. George. - Oxford: Oxford University Press, 1994. - P. 11-26.

161. Dybjer P. Intuitionistic Type Theory / P. Dybjer, E. Palmgren // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2023 Edition) / ed. by E. N.

Zalta, U. Nodelman. - 2023. - URL:

https://plato.stanford.edu/archives/spr2023/entries/type-theory-intuitionistic/ [Дата обращения: 15.07.2024].

162. Ellis G. F. R. The Physics of Infinity / G. F. R. Ellis, K. A. Meissner, H. Nicolai // Nature Physics. - 2018. - Vol. 14. - P. 770-772.

163. Everett C. Numbers and the Making of Us: Counting and the Course of Human Cultures / C. Everett. - Cambridge, MA: Harvard University Press, 2017. - viii, 297 p.

164. Farah I. 2013 North American Annual Meeting of the Association For Symbolic Logic, University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada. May 811, 2013 / I. Farah // The Bulletin of Symbolic Logic. - 2014. - Vol. 20, No. 1. - P. 105-133.

165. Feferman S. And so on...: Reasoning with Infinite Diagrams / S. Feferman // Synthese. - 2012. - Vol. 186, No. 1. - P. 371-386.

166. Feferman S. Logic, Logics, and Logicism / S. Feferman // Notre Dame Journal of Formal Logic. - 1999. - Vol. 40, No. 1. - P. 31-54.

167. Feferman S. Reflecting on Incompleteness / S. Feferman // The Journal of Symbolic Logic. - 1991. - Vol. 56, No. 1. - P. 1-49.

168. Feferman S. Transfinite Recursive Progressions of Axiomatic Theories / S. Feferam // The Journal of Symbolic Logic. - 1962. - Vol. 27, No. 3. - P. 259-316.

169. Fetzer J. H. Program Verification: The Very Idea / J. H. Fetzer // Communications of the ACM. - 1988. - Vol. 31, No. 9. - P. 1048-1063.

170. Field H. Realism, Mathematics and Modality / H. Field. - N. Y.: Basil Blackwell, 1989. - viii, 290 p.

171. Field H. Science Without Numbers. A Defense of Nominalism / H. Field.

- Princeton: Princeton University Press, 1980. - xiii, 130 p.

172. Field H. Science without Numbers. A Defence of Nominalism / H. Field.

- N. Y.: Oxford University Press, 2016. - P-56, vi, 111 p.

173. Field H. Tarski's Theory of Truth / H. Field // The Journal of Philosophy. - 1972. - Vol. 69, No. 13. - P. 347-375.

174. Fine K. Cantorian Abstraction: A Reconstruction and Defense / K. Fine // The Journal of Philosophy. - 1998. - Vol. 95, No. 12. - P. 599-634.

175. Fine K. Essence and Modality: The Second Philosophical Perspectives Lecture / K. Fine // Philosophical Perspectives. - 1994. - Vol. 8, Logic and Language. - P. 1-16.

176. Fine K. Guide to Ground / K. Fine // Metaphysical Grounding: Understadning the Structure of Reality / ed. by F. Correia, B. Schnieder. -Cambridge: Cambridge University Press, 2012. - P. 37-80.

177. Fine K. Reasoning with Arbitrary Objects / Fine K. - Oxford: Basil Blackwell, 1985. - viii, 220 p.

178. Fine K. The Metaphysics and Mathematics of Arbitrary Objects, by Leon Horsten / K. Fine // Mind. - 2020. - Vol. 131, No. 522. - pp. 603-618.

179. Fraenkel A. Foundations of Set Theory / A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy. - Amsterdam: Elsevier, 1973. - x, 404 p.

180. Frege G. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens / G. Frege. - Halle a. S.: Louis Nebert, 1879. - x, 88 p.

181. Frege G. Der Gedanke. Eine Logische Untersuchung / G. Frege // Beiträge zur Philosophie des deutschen Idealismus, I. - 1918-1919. - P. 58-77.

182. Frege G. Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl / G. Frege. - Breslau: Verlage Wilhelm Koebner, 1884. - xi, 119 p.

183. Frege G. Grundgesetze der arithmetik. Band II / G. Frege. - Jena: Verlag von Hermann Pohl, 1903. - xvi, 265 p.

184. Frege G. Philosophical and Mathematical Correspondence / G. Frege; ed. by G. Gabriel, H. Hermes, F. Kambartel, C. Thiel, A. Veraart; abridged for

English edition by B. McGuinness and translated by H. Kaal. - Oxford: Basil Blackwell, 1980. - xix, 214 p.

185. Frege G. Ueber die Begriffsschrift des Herrn Peano und meine eigene / G. Frege // Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Classe. Achtundvierzigster Band. - Leibzig: Bei S. Hirzel, 1896. - P. 361-378.

186. Frege G. Über Sinn und Bedeutung / G. Frege // Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik. - 1892. - Bd. 100/1. - P. 25-50.

187. Friend M. Pluralism in Mathematics: A New Position in Philosophy of Mathematics / M. Friend. - Dordrecht: Springer, 2014. - xvii, 291 p.

188. Friend M. Varieties of Pluralism and Objectivity in Mathematics / M. Friend // Reflections on the Foundations of Mathematics: Univalent Foundations, Set Theory and General Thoughts / ed. by Stefania Centrone, Deborah Kant and Deniz Sarikaya. - Cham: Springer, 2019. - P. 345-362.

189. Fumerton R. Metaphysical and Epistemological Problems of Perception / R. Fumerton. - Lincoln and London: University of Nebraska Press, 1985. - xi, 211 p.

190. Gaifman H. On Ontology and Realism in Mathematics / H. Gaifman // The Review of Symbolic Logic. - 2012. - Vol. 5, No. 3. - P. 480-512.

191. Gandy R. O. The Simple Type Theory / R. O. Gandy // Logic Colloquium 76. Proceedings of a Conference Held in Oxford in July 1976 / ed. by R. O. Gandy, J. M. E. Hyland. - Amsterdam: North-Holland, 1977. - P. 173-181.

192. Gasking D. A. T. Mathematics and the World / D. A. T. Gasking // Australasian Journal of Psychology and Philosophy. - 1940. - Vol. 18, No. 2. -P. 97-116.

193. Gentzen G. Untersuchungen über das logische Schließen. I / G. Gentzen // Mathematische Zeitschrift. - 1935. - Vol. 39. - P. 176-210.

194. Gentzen G. Untersuchungen über das logische Schließen. II / G. Gentzen // Mathematische Zeitschrift. - 1935. - Vol. 39. - P. 405-431.

195. Gettier E. Is Justified True Belief Knowledge? / E. Gettier // Analysis. -1963. - Vol. 23, No. 6. - P. 121-123.

196. Goldblatt R. Topoi: The Categorical Analysis of Logic / R. Goldblatt. -Amsterdam: North-Holland, 1984. - xvi, 551 p.

197. Goldman A. Causal Theory of Knowing / A. Goldman // The Journal of Philosophy. - 1967. - Vol. 64, No. 12. - P. 357-372.

198. Goldman A. Discrimination and Perceptual Knowledge / A. Goldman // The Journal of Philosophy. - 1976. - Vol. 73, No. 20. - P. 771-791.

199. Goldman A. Innate Knowledge / A. Goldman // Innate Ideas / ed. by S. P. Stich. - Berkeley: University of California Press, 1975. - P. 111-120.

200. Goldman A. Reliabilism and Contemporary Epistemology: Essays / A. Goldman. - N. Y.: Oxford University Press, 2012. - vii, 320 p.

201. Gonthier G. A Computer-checked Proof of the Four Colour Theorem / G. Gonthier. - 2005. - URL: http://audentia-gestion.fr/MICROSOFT/4colproof.pdf [Дата обращения: 15.12.2024].

202. Gonthier G. Formal Proof - The Four-Color Theorem / G. Gonthier // Notices of the American Mathematical Society. - 2008. - Vol. 55, No. 11. - P. 1382-1393.

203. Goodman N. Choice Implies Excluded Middle / N. Goodman, J. Myhill // Mathematical Logic Quarterly. - 1978. - Vol. 24, No. 25-30. - p. 461.

204. Goodman N. The Structure of Apperance / N. Goodman. - Boston: Reidel, 1977. - xix, 392 p.

205. Goodman N. The Test of Simplicity / N. Goodman // Science. - 1958. -Vol. 128, No. 3331. - P. 1064-1069.

206. Gorenstein D. The Classification of the Finite Simple Groups / D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1994. - 165 p.

207. Gödel K. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalküls / K. Gödel // Gödel K. Collected Works. Vol. 1, Publications 1929-1936 / ed. by S. Feferman, J. W. Dawson, Jr., S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay, J. Van Heijenoort. - N. Y.: Oxford University Press, 1986. - P. 300-302.

208. Gödel K. Some Basic Theorems of The Foundations And Their Implications / K. Gödel // Gödel K. Collected Works. Vol. 3. / ed. by S. Feferman. - N. Y.: Oxford University Press, 1995. - P. 304-323.

209. Gödel K. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory / K. Gödel.

- Princeton: Prinseton University Press, 1940. - 69 p.

210. Hacking I. Why is There Philosophy of Mathematics at All? / I. Hacking.

- N. Y.: Cambridge University Press, 2014. - xvi, 290 p.

211. Hale B. Properties and the Interpretation of Second-Order Logic / B. Hale // Philosophia Mathematica. - 2013. - Vol. 21, No. 2. - P. 133-156.

212. Hale B. The Reason's Proper Study: Essays towards a Neo-Fregean Philosophy of Mathematics / B. Hale, C. Wright. - Oxford: Clarendon Press, 2001. - xiv, 454 p.

213. Hales T. A Proof of the Kepler Conjecture / T. Hales // Annals of Mathematics. - 2005. - Vol. 162, No. 3. - P. 1065-1185.

214. Hales T. A Formal Proof of the Kepler Conjecture / T. Hales, M. Adams, G. Bauer, T. D. Dang, J. Harrison, L. T. Hoang, C. Kaliszyk, V. Magron, S. McLaughlin, T. T. Nguyen, Q. T. Nguyen, T. Nipkow, S. Obua, J. Pleso, J. Rute, A. Solovyev, T. H. An Ta, N. T. Tran, T. D. Trieu, J. Urban, K. Vu, R. Zumkeller // Forum of Mathematics, Pi. - 2017. - Vol. 5, No. e2. - P. 1-29.

215. Hales T. A Formulation of the Kepler Conjecture / T. Hales, S. Ferguson // Discrete & Computational Geometry. - 2006. - Vol. 36. - P. 21-69.

216. Hales T. The Kepler Conjecture: The Hales-Ferguson Proof / T. Hales, S. Ferguson; ed. by J. C. Lagarias. - N. Y.: Springer, 2011.

217. Hallett M. Cantorian Set Theory and Limitation of Size / M. Hallett. -Oxford: Oxford University Press, 1984. - xxii, 343 p.

218. Hamkins J. D. Categorical Large Cardinals and the Tension between Categoricity and Set-Theoretic Reflection / J. D. Hamkins, H. R. Solberg // arXiv. - 1999. - URL: https://arxiv.org/abs/2009.07164 [Дата обращения: 20.12.2024].

219. Hardy G. H. The Indian Mathematician Ramanujan / G. H. Hardy // The American Mathematical Monthly. - 1937. - Vol. 44, No. 3. - P. 137-155.

220. Harper R. The Holy Trinity / R. Harper // Existential Type. - 2011. - 27 марта, 20:58 - URL: https://existentialtype.wordpress.com/2011/03/27/the-holy-trinity/ [Дата обращения: 15.07.2024].

221. Hart W. D. Review of Steiner's Mathematical Knowledge / W. D. Hart // The Journal of Philosophy. - 1977. - Vol. 74, No. 2. - P. 118-129.

222. Hausdorff F. Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen / F. Hausdorff // Mathematische Annalen. - 1914. - Bd. 75. - P. 428-434.

223. Heath A. E. The Geometrical Analysis of Grassmann and its Connection with Leibniz's Characteristic / A. E. Heath // The Monist. - 1917. - Vol. 27, No. 1. - P. 36-56.

224. Heck R. The Julius Caesar Objection / R. Heck // Language, Thought, and Logic: Essays in Honour of Michael Dummett / ed. by R. Heck. - Oxford: Oxford University Press, 1997. - P. 273-308.

225. Hedrich R. Venus Flytrap: How an Excitable, Carnivorous Plant Works / R. Hedrich, E. Neher // Trends in Plant Science. - 2018. - Vol. 23, No. 3. - P. 220-234.

226. Hellman G. Mathematics without Numbers. Towards a Modal-Structural Interpretation / G. Hellman. - Oxford: Clarendon Press, 1989. - xi, 154 p.

227. Hellman G. Structuralism / G. Hellman // The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic / ed. by S. Shapiro. - N. Y.: Oxford University Press, 2005. - P. 536-562.

228. Hellman G. Three Varieties of Mathematical Structuralism / G. Hellman // Philosophia Mathematica. - 2001. - Vol. 9, No. 3. - P. 184-211.

229. Hellman G. Mathematical Structuralism / G. Hellman, S. Shapiro. -Cambridge: Cambridge University Press, 2019. - 92 p.

230. Henkin L. The Completeness of the First-order Functional Calculus / L. Henkin // The Journal of Symbolic Logic. - 1949. - Vol. 14, No. 3. - P. 159166.

231. Heyting A. Die intuitionistische Grundlegung der Mathematik / A. Heyting // Erkenntnis. - 1931. - Vol. 2. - P. 106-115.

232. Heyting A. Intuitionism: An Introduction / A. Heyting. - Amsterdam: North-Holland, 1971. - ix, 146 p.

233. Heyting A. Zur intuitionistischen Deutung logischer Formeln / A. Heyting // Compositio Mathematica. - 1937. - Vol. 4. - P. 112-116.

234. Hilbert D. Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 / D. Hilbert // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - Göttingen: Lüder Horstmann, 1900. - P. 253-297.

235. Hilbert D. Über das Unendliche / D. Hilbert // Mathematische Annalen. - 1926. - Vol. 95. - P. 161-190.

236. Hilbert D. Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik // Verhandlungen des 3. Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904 / D. Hilbert; hrsg von A. Krazer. - Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1905. - P. 174-185.

237. Hintikka J. Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator: An Ultimate Presupposition of Twentieth-Century Philosophy. / J. Hintikka. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. - xxii, 268 p.

238. Hochberg H. Moore and Russell on Particulars, Relations and Identity / H. Hochberg // Studies in the Philosophy of G. E. Moore / ed. E. D. Klemke. -Chicago: Chicago University Press, 1969. - P. 155-194.

239. Hofmann M. The Groupoid Interpretation of Type Theory / M. Hofmann, T. Streicher // Twenty-Five Years of Constructive Type Theory. Proceedings of a Congress Held in Venice, October 1995 / ed. by G. Sambin, J. M. Smith. - Oxford: Clarendon Press, 1998. - P. 83-111.

240. Holland R. A. Review of Burgess and Rosen's A Subject with No Object / R. Holland // Metaphilosophy. - 1999. - Vol. 30, No. 4. - P. 237-245.

241. Horsten L. Modal-epistemic Variants of Shapiro's System of Epistemic Arithmetic / L. Horsten // Notre Dame Journal of Formal Logic. - 1994. - Vol. 35, No. 2. - P. 284-291.

242. Horsten L. Models for the Logic of Possible Proofs / L. Horsten // Pacific Philosophical Quarterly. - 2000. - Vol. 81, No. 1. - P. 49-66.

243. Horsten L. Term Models for Abstraction Principles / L. Horsten, 0. Linnebo // Journal of Philosophical Logic. - 2016. - Vol. 45, No. 1. - P. 1-23.

244. Horsten L. The Metaphysics and Mathematics of Arbitrary Objects / L. Horsten. - Cambridge: Cambridge University Press, 2019. - xvii, 231 p.

245. Howard W. A. The Formulae-as-Types Notion of Construction / W. A. Howard // To H. B. Curry: Essays on Combinatory Logic, Lambda Calculus, and Formalism / ed. by H. Curry, B. Hindley, J. R. Seldin, P. Jonathan. -London, N. Y.: Academic Press, 1980. - P. 480-490.

246. Hyde D. C. Cognitive Neuroscience: An Abstract Sense of Number in the Infant Brain / D. C. Hyde // Current Biology. - 2023. - Vol. 33. - P. R398-R423.

247. Incurvati L. Conceptions of Set and the Foundations of Mathematics / L. Incurvati. - Cambridge: Cambridge University Press, 2020. - xvi, 238 p.

248. Jech T. Set Theory / T. Jech. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. - xiii, 769 p.

249. Jourdain P. On the Transfinite Cardinal Numbers of Well-ordered Aggregates / P. Jourdain // Philosophical Magazine. - 1904. - Vol. 7. - P. 6175.

250. Kammareddine F. A History of Types / F. Kammareddine, T. Laan, R. Nederpelt // Handbook of the History of Logic. Vol. 11: Logic: A History of Its Central Concepts / ed. by D. Gabbay, F. J. Pelletier, J. Woods. - Amsterdam: North-Holland, 2012. - P. 451-511.

251. Kapulkin C. The Law of Excluded Middle in the Simplicial Model of Type Theory / C. Kapulkin, P. L. Lumsdaine // Theory and Application of Categories. - 2020. - Vol. 35, No. 40. - P. 1546-1548.

252. Kasa I. On Field's Epistemological Argument Against Platonism / I. Kasa // Studia Logica. - 2010. - Vol. 96, No. 2.

253. Katz J. Skepticism about Numbers and Indeterminacy Arguments / J. Katz // Benacerraf and His Critics / ed. by A. Morton and S. Stich. - Oxford: Blackwell, 1996. - P. 119-141.

254. Kaufman E. L. The Discrimination of Visual Number / E. L. Kaufman, M. W. Lord, T. W. Reese, J. Volkmann // The American Journal of Psychology. - 1949. - Vol. 62, No. 4. - P. 498-525.

255. Keranen J. The Identity Problem for Realist Structuralism / J. Keranen // Philosophia Mathematica. - 2001. - Vol. 9, No. 3. - P. 308-330.

256. Ketland J. Structuralism and the Identity of Indiscernibles / J. Ketland // Analysis. - 2006. - Vol. 66, No. 4. - P. 303-315.

257. Kitcher P. The Nature of Mathematical Knowledge / P. Kitcher. - N. Y.: Oxford University Press, 1984. - xi, 287 p.

258. Kleene S. C. On the Interpretation of Intuitionistic Number Theory / S. C. Kleene // The Journal of Symbolic Logic. - 1945. - Vol. 10, No. 4. - P. 109124.

259. Klein C. Conventionalism and Realism in Hans Reichenbach's Philosophy of Geometry / C. Klein // International Studies in the Philosophy of Science. - 2001. - Vol. 15, No. 3. - P. 243-251.

260. Klev A. A Comparison of Type Theory with Set Theory / A. Klev // Reflections on the Foundations of Mathematics: Univalent Foundations, Set Theory and General Thought / ed. by S. Centrone, D. Kant, D. Sarikaya. -Cham: Springer, 2019. - P. 271-292.

261. Klev A. The Concept Horse is a Concept / A. Klev // The Review of Symbolic Logic. - 2018. - Vol. 11, No. 3. - P. 547-572.

262. Kneale W. The Development of Logic / W. Kneale, M. Kneale. -Oxford: Clarendon Press, 1962. - viii, 783 p.

263. Kolmogorov A. Zur Deutung der intuitionistischen Logik / A. Kolmogorov // Mathematische Zeitschrift. - 1932. - Vol. 35. - P. 58-65.

264. Krantz S. G. Mathematical Apocrypha Redux: More Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical / S. G. Krantz. -Providence: Mathematical Association of America, 2005. - ix, 294 p.

265. Kreisel G. Observations on Popular Discussion of Foundations / G. Kreisel // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Volume XIII, Part I. Axiomatic Set Theory / ed. by D. Scott. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1971. - P. 189-198.

266. Kreisel G. Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics / G. Kreisel // The British Journal for the Philosophy of Science. - 1958. - Vol. 9, No. 34. - P. 135-158.

267. Krichevets A. N. Perceptual Action of Novices and Experts in Operating Visual Representations of a Mathematical Concept / A. N. Krichevets, A. Yu.

Shvarts, D. V. Chumachenko // Психология. Журнал Высшей школы экономики. - 2014. - Т. 11, №3. - С. 55-78.

268. Kripke S. Naming and Necessity / S. Kripke // Semantics of Natural Language / ed. by D. Davidson and G. Harman. - Dordrecht: Reidel, 1972. - P. 253-355.

269. Kripke S. Naming and Necessity / S. Kripke. - Cambridge, MA: Harvard University Press, 1980. - 172 p.

270. Kripke S. Wittgenstein on Rules and Private Language: An Elementary Exposition / S. Kripke. - Oxford: Blackwell, 1982. - x, 150 p.

271. Kunen K. Set Theory / K. Kunen. - London: College Publications, 2013.

- xvi, 402 p.

272. Kunen K. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs / K. Kunen. - Amsterdam: North-Holland, 1980. - xvi, 313 p.

273. Kutter E. F. Distinct Neuronal Representation of Small and Large Numbers in the Human Medial Temporal Lobe / E. F. Kutter, G. Dehnen, V. Borger, R. Surges, F. Mormann, A. Nieder // Nature Human Behaviour. - 2023.

- Vol. 7. - P. 1998-2007.

274. Ladyman J. Does Homotopy Type Theory Provide a Foundation for Mathematics? / J. Ladyman, S. Presnell // The British Journal for the Philosophy of Science. - 2018. - Vol. 69, No. 2. - P. 377-420.

275. Ladyman J. Identity in Homotopy Type Theory, Part I: The Justification of Path Induction / J. Ladyman, S. Presnell // Philosophia Mathematica. -2015. - Vol. 23, No. 3. - P. 386-406.

276. Ladyman J. Identity in Homotopy Type Theory: Part II, The Conceptual and Philosophical Status of Identity in HoTT / J. Ladyman, S. Presnell // Philosophia Mathematica. - 2017. - Vol. 25, No. 2.

277. Ladyman J. Mathematical Structuralism and the Identity of Indiscernibles / J. Ladyman // Analysis. - 2005. - Vol. 65, No. 3. - P. 218-221.

278. Ladyman J. Universes and Univalence in Homotopy Type Theory / J. Ladyman, S. Presnell // The Review of Symbolic Logic. - 2019. - Vol. 12, No. 3. - P. 426-455.

279. Lakatos I. Infinite Regress and Foundations of Mathematics / I. Lakatos // Aristotelian Society Supplementary Volume. - 1962. - Vol. 36, No. 1. - 155-184.

280. Lakatos I. Proofs and Refutations: The Logic of Mathematical Discovery / I. Lakatos; ed. by J. Worrall and E. Zahar. - Cambridge: Cambridge University Press, 1976. - xii, 174 p.

281. Lambek J. Introduction to Higher Order Categorical Logic / J. Lambek, P. J. Scott. - Cambridge: Cambridge University Press, 1988. - x, 293 p.

282. Lawvere W. An Elementary Theory of the Category of Sets / W. Lawvere // Proceedings of the National Academy of Science of the USA. - 1956. - P. 1506-1511.

283. Lawvere W. Cohesive Toposes and Cantor's 'lauter Eisen' / W. Lawvere // Philosophia Mathematica. - 1994. - Vol. 2, No. 1. - P. 5-15.

284. Lawvere W. Foundations and Applications: Axiomatization and Education / W. Lawvere // The Bulletin of Symbolic Logic. - 2003. - Vol. 9, No. 2. - P. 213-224.

285. Lawvere W. Sets for Mathematics / W. Lawvere, R. Rosebrugh. - N. Y.: Cambridge University Press, 2003. - xiii, 261 p.

286. Leinster T. Basic Category Theory / T. Leinster. - Cambridge: Cambridge University Press, 2014. - viii, 183 p.

287. Leitgeb H. Criteria of Identity and Structuralist Ontology / H. Leitgeb, J. Ladyman // Philosophia Mathematica. - 2008. - Vol. 16, No. 3. - P. 388-396.

288. Leitgeb H. On Formal and Informal Provability / H. Leitgeb // New Waves in Philosophy of Mathematics / ed. by O. Bueno & 0. Linnebo. - N. Y.: Palgrave Macmillan, 2009. - P. 263-299.

289. Lewis D. Extrinsic Properties / D. Lewis // Philosophical Studies. -1983. - Vol. 44, No. 2. - P. 197-200.

290. Lewis D. On the Plurality of Worlds / D. Lewis. - Oxford: Basil Blackwell, 1986. - ix, 276 p.

291. Lesniewski S. Grundzüge eines neuen Systems der Grandlagen der Mathematik / S. Lesniewski // Fundamenta Mathematicae. - 1929. - Vol. XIV. - P. 1-81.

292. Liggins D. Epistemological Objections to Platonism / D. Liggins // Philosophy Compass. - 2010. - Vol. 5, No. 1. - P. 67-77.

293. Lindenbaum A. On the Limitations of the Means of Expression of Deductive Theories / A. Lindenbaum, A. Tarski // Tarski A. Logic, Sematics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938 / A. Tarski; trans. by J. H. Woodger. - P. 384-392.

294. Linnebo 0. Epistemological Challenges to Mathematical Platonism / 0. Linnebo // Philosophical Studies. - 2006. - Vol. 129, No. 3. - P. 545-574.

295. Linnebo 0. Philosophy of Mathematics / 0. Linnebo. - Princeton: Princeton University Press, 2017. - x, 203 p.

296. Linnebo 0. Structuralism and the Notion of Dependence / 0. Linnebo // The Philosophical Quarterly. - 2008. - Vol. 58, No. 230. - P. 59-79.

297. Linnebo 0. The Potential Hierarchy of Sets / 0. Linnebo // Review of Symbolic Logic. - 2013. - Vol. 6, No. 2. - P. 205-228.

298. Linnebo 0. Thin Objects: An Abstractionist Account / 0. Linnebo. -Oxford: Oxford University Press, 2018. - xvii, 237 p.

299. Linnebo 0. Category Theory as an Autonomous Foundation / 0. Linnebo, R. Pettigrew // Philosophia Mathematica. - 2011. - Vol. 19, No. 3. -P. 227-254.

300. Linsky B. In Defense of the Contingently Non-Concrete / B. Linsky, E. Zalta // Philosophical Studies. - 1996. - Vol. 84, No. 2-3. - P. 283-294.

301. Linsky B. Leon Chwistek's Theory of Constructive Types / B. Linsky // The Golden Age of Polish Philosophy / ed. by S. Lapointe, J. Wolenski, M. Marion, W. Miskiewicz. - Dodrecht: Springer, 2009. - P. 203-219.

302. Lomas D. What Perception is Doing, and What it is Not Doing, in Mathematical Reasoning / D. Lomas // British Journal for the Philosophy of Science. - 2002. - Vol. 53, No. 2. - P. 205-223.

303. Lowe E. J. Asymmetrical Dependence in Individuation / E. J. Lowe // Metaphysical Grounding: Understadning the Structure of Reality / ed. by F. Correia, B. Schnieder. - Cambridge: Cambridge University Press, 2012. - P. 214-233.

304. Lucas J. R. The Conceptual Roots of Mathematics / J. R. Lucas. -London: Routledge, 2000. - xvii, 452 p.

305. Lurie J. Higher Topos Theory / J. Lurie. - Princeton: Princeton University Press, 2009. - xv, 929 p.

306. Mac Lane S. Mathematics, Form and Function / S. Mac Lane. - N. Y.: Springer, 1986. - xi, 476 p.

307. MacBride F. Structuralism Reconsidered / F. MacBride // The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic / ed. by S. Shapiro. - N. Y.: Oxford University Press, 2005. - P. 563-589.

308. MacBride F. What Constitutes the Numerical Diversity of Mathematical Objects? / F. MacBride // Analysis. - 2006. - Vol. 66, No. 1. - P. 63-69.

309. Macbeth D. Formal Proofs in Mathematical Practice / D. Macbeth // Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice / ed. by B. Sriraman. - Springer: Cham, 2024. - P. 2113-2135.

310. Maddy P. Defending the Axioms: On the Philosophical Foundations of Set Theory / P. Maddy. - N. Y.: Oxford University Press, 2011. - xi, 150 p.

311. Maddy P. Indispensability and Practice / P. Maddy // The Journal of Philosophy. - 1992. - Vol. 89, No. 6. - P. 275-289.

312. Maddy P. Mathematical Epistemology: What Is the Question? / P. Maddy // The Monist. - 1984. - Vol. 67, No. 1. - P. 46-55.

313. Maddy P. Naturalism and Ontology / P. Maddy // Philosophia Mathematica. - 1995. - Vol. 3, No. 3. - P. 248-270.

314. Maddy P. Naturalism in Mathematics / P. Maddy. - N. Y.: Oxford University Press, 1997. - ix, 254 p.

315. Maddy P. Perception and Mathematical Intuition / P. Maddy // The Philosophical Review. - 1980. - Vol. 89, No. 2. - P. 163-196.

316. Maddy P. Realism in Mathematics / P. Maddy. - N. Y.: Oxford University Press, 1992. - xi, 204 p.

317. Maddy P. Set-Theoretic Foundations / P. Maddy // Foundations of Mathematics: Logic at Harvard / ed. by A. E. Caicedo, J. Cummings, P. Koellner, P. B. Larson. - Providence: American Mathematical Society, 2017. -P. 289-322.

318. Maddy P. What Do We Want a Foundation to Do? / P. Maddy // Reflections on the Foundations of Mathematics: Univalent Foundations, Set Theory and General Thoughts. - P. 293-311.

319. Maddy P. Philosophical Uses of Categoricity Arguments / P. Maddy, J. Väänänen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2023. - 55 p.

320. Makkai M. Towards a Categorical Foundation of Mathematics / M. Makkai // Logic Colloquium 95. Proceedings of the Annual European Summer Meeting of the Association of Symbolic Logic, held in Haifa, Israel, August 918, 1995 / ed. by J. A. Makowsky, E. V. Ravve. - Heidelberg: Springer, 1998. -P. 153-190.

321. Malament D. Review of Field's Science Without Numbers / D. Malament // The Journal of Philosophy. - 1982. - Vol. 79, No. 9. - P. 523-534.

322. Mally E. Gegenstandstheoretische Grundlagen der Logik und Logistik / E. Mally. - Leipzig: Verlag von Johann Ambrosius Barth, 1912. - 88 p.

323. Martin-Löf P. An Intiutionistic Theory of Types: Predicative Part / P. Martin-Löf // Logic Colloquium 73. Proceedings of the Logic Colloquium, Bristol, July 1973 / ed. by H. E. Rose, J. C. Shepherdson. - Amsterdam: North-Holland, 1975. - P. 73-118.

324. Martin-Löf P. Constrictive Mathematics and Computer Programming / P. Martin-Löf // Logic, Methodology and Philosophy of Science VI / ed. by J. L. Cohen, J. Los. - Amsterdam: North-Holland, 1982. - P. 153-175.

325. Martin-Löf P. Intuitionistic Type Theory / P. Martin-Löf. - Napoli: Bibliopolis, 1984. - 91 p.

326. Mathias A. R. D. The Strength of Mac Lane Set Theory / A. R. D. Mathias // Annals of Pure and Applied Logic. - 2001. - Vol. 110, No. 1-3. - P. 107-234.

327. Mayberry J. The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets / J. Mayberry. - N. Y.: Cambridge University Press, 2000. - xx, 424 p.

328. Mayberry J. What Is Required of a Foundation for Mathematics? / J. Mayberry // Philosophia Mathematica. - 1994. - Vol. 2, No. 1. - P. 16-35.

329. McCarty C. The Mysteries of Richard Dedekind / C. McCarty // From Dedekind to Gödel / ed. by J. Hintikka. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995. - P. 53-96.

330. McGee V. Logical Operations / V. McGee // Journal of Philosophical Logic. - 1996. - Vol. 25, No. 6. - P. 567-580.

331. McLarty C. Foundations as Truths Which Organize Mathematics / C. McLarty // The Review of Symbolic Logic. - 2013. - Vol. 6, No. 1. - P. 76-86.

332. Mellies P.-A. Functorial Boxes in String Diagrams / P.-A. Mellies // Computer Science Logic. Proceedings of the 20th International Workshop, 15th Annual Conference of the EACSL / ed. by Esik Z. - Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2006. - P. 1-30.

333. Mercer J. Functions of Positive and Negative Type and Their Connection with the Theory of Integral Equations / J. Mercer // Philosophical Transactions

of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. -1909. - Vol. 209, No. 441-458. - P. 415-446.

334. Meschkowski H. Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik / H. Meschkowski. - Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1990. - viii, 285 p.

335. Milner R. LCF: A Way of Doing Proofs with a Machine / R. Milner // Mathematical Foundations of Computer Science 1979. Lecture Notes in Computer Science / ed. by J. Becvär. - Berlin; Heidelberg: Springer, 1979. - P. 146-159.

336. Monk J. D. On the Foundations of Set Theory / J. D. Monk // The American Mathematical Monthly. - 1970. - Vol. 70, No. 7. - P. 703-711.

337. Monroe D. A New Type of Mathematics? / D. Monroe // Communications of the ACM. - 2014. - Vol. 57, No. 2. - P. 13-15.

338. Moore G. H. Beyond First-order Logic: The Historical Interplay between Mathematical Logic and Axiomatic Set Theory / G. H. Moore // History and Philosophy of Logic. - 1980. - Vol. 1. - P. 95-137.

339. Mostowski A. An Undecidable Arithmetical Statement / A. Mostowski // Fundamenta Mathematicae. - 1949. - Vol. 36, No. 1. - P. 143-164.

340. Mühlhölzer F. Equivalent Descriptions / F. Mühlhölzer // Erkenntnis. -1991. - Vol. 35, No. 1-3. - P. 77-97.

341. Nagel E. The Formation of Modern Conceptions of Formal Logic in the Development of Geometry / E. Nagel // Osiris. - 1939. - Vol. 7. - P. 142-224.

342. New Directions in the Philosophy of Mathematics / ed. by T. Tymoczko. - Princeton: Princeton University Press, 1998. - xvii, 323 p.

343. Newel A. Empirical Explorations with the Logic Theory Machine: A Case Study in Heuristics / A. Newel, J. C. Shaw, H. A. Simon // Automation of Reasoning. Vol. 1: Classical Papers on Computational Logic, 1957-1966 // ed. by J. Sielmann, G. Wrightson. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1983. - P. 49-73.

344. Niebergall K.-G. Mereology / K.-G. Niebergall // The Continuum Companion to Philosophical Logic / Ed. by L. Horsten and R. Pettigrew. -London: Continuum, 2011. - P. 271-298.

345. Nieder A. The Neuronal Code for Number / A. Nieder // Nature Review Neuroscience. - 2016. - Vol. 17. - P. 366-382.

346. Nodelman U. Foundations for Mathematical Structuralism / U. Nodelman, E. Zalta // Mind. - 2014. - Vol. 123, No. 489. - P. 39-78.

347. Nutting E. S. Benacerraf, Field, and the Agreement of Mathematicians / E. S. Nutting // Synthese. - 2020. - Vol. 197, No. 5. Special Issue on New Trends in the Metaphysics of Science. - P. 2095-2110.

348. Palmgren E. Constructivist and Structuralist Foundations: Bishop's and Lawvere's Theories of Sets / E. Palmgern // Annals of Pure and Applied Logic.

- 2012. - Vol. 163, No. 10. - P. 1384-1399.

349. Parigot M. Proofs of Strong Normalisation for Second Order Classical Natural Deduction / M. Parigot // Journal of Symbolic Logic. - 1997. - Vol. 62, No. 4. - P. 1461-1479.

350. Parshall K. V. H. The One-Hundredth Anniversary of the Death of Invariant Theory? / K. V. H. Parshall // The Mathematical Intelligencer. - 1990.

- Vol. 12, No. 4. - P. 10-16.

351. Parsons C. Frege's Theory of Number / C. Parsons // Philosophy in America / ed. by Max Black. -- New York: Cornell University Press, 1965. - P. 180-203.

352. Parsons C. Mathematical Intuition / C. Parsons // Proceedings of the Aristotelian Society. - 1980. - Vol. 80, No. 1. - P. 145-168.

353. Parsons C. Platonism and Mathematical Intuition in Kurt Godel's Thought / C. Parsons // The Bulletin of Symbolic Logic. - 1995. - Vol. 1, No. 1. - P. 44-74.

354. Parsons C. Sets and Modality / C. Parsons // Parsons C. Mathematics in Philosophy. - Cornell, N. Y.: Cornell University Press, 1983. - P. 298-341.

355. Parsons C. Structuralism and Metaphysics / C. Parsons // The Philosophical Quarterly. - 2004. - Vol. 54, No. 214. - P. 56-77.

356. Parsons C. The Structuralist View of Mathematical Objects / C. Parsons // Synthese. - 1990. - Vol. 84, No. 3. - P. 303-346.

357. Parsons C. What Is the Iterative Conception of Set? / C. Parsons // Logic, Foundations of Mathematics, and Computability Theory / ed. by R. E. Butts, J. Hintikka. - Dordrecht: D. Reidel, 1977. - P. 335-367.

358. Pasch M. Vorlesungen über neuere Geometrie / M. Pasch. - Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1882. - iv, 201 p.

359. Pelayo Ä., Warren M. Homotopy Type Theory and Voevodsky's Univalent Foundations / Ä. Pelayo // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. - 2014. - Vol. 51, No. 4. - P. 597-648.

360. Pettigrew R. Platonism and Aristotelianism in Mathematics / R. Pettigrew // Philosophia Mathematica. - 2008. - Vol. 16, No. 3. - P. 310-332.

361. Plantinga A. Warrant and Proper Function / A. Plantinga. - Oxford: Oxford University Press, 1993. - xii, 243 p.

362. Pollock J. Contemporary Theories of Knowledge / J. Pollock, J. Cruz. -Lanham: Rowman & Littlefield Publishers, Inc., 1999. - xiv, 262 p.

363. Prior A. Modality and Quantification in S5 / A. Prior // Journal of Symbolic Logic. - 1956. - Vol. 21, No. 1. - P. 60-62.

364. Putnam H. Equivalence / H. Putnam // Putnam H. Realism and Reason. Philosophical Papers, Vol. 3 / H. Putnam. - Cambridge: Cambridge University Press, 1983. - P. 26-45.

365. Putnam H. Mathematics without Foundations / H. Putnam // The Journal of Philosophy. - 1967. - Vol. 64, No. 1. - P. 5-22.

366. Putnam H. Mind, Language and Reality. Philosophical Papers, Vol. 2 / H. Putnam. - Cambridge: Cambridge University Press, 1975. - xvii, 457 p.

367. Putnam H. Philosophy of Logic / H. Putnam. - London: George Allen & Unwin, 1971 - 76 p.

368. Putnam H. What is Mathematical Truth? / H. Putnam // Putnam H. Mathematics, Matter and Method. Philosophical Paper, Vol. 1 / H. Putnam. -Cambridge: Cambridge University Press, 1979. - P. 60-78.

369. Quine W. V. O. Epistemology Naturalized / W. V. O. Quine // Quine W. V. O. Ontological Relativity and Other Essays / W. V. O. Quine . - N. Y.: Columbia University Press. 1969. - P. 69-90.

370. Quine W. V. O. From Stimulus to Science / W. V. O. Quine. -Cambridge: Harvard University Press, 1998. - viii, 114 p.

371. Quine W. V. O. Meaning and Truth / W. V. O. Quine // Quine W. V. O. Philosophy of Logic / W. V. O. Quine. - Cambridge: Harvard University Press, 1986. - P. 1-14.

372. Quine W. V. O. On Carnap's Views on Ontology / W. V. O. Quine // Philosophical Studies. - 1951. - Vol. 2, No. 5. - P. 65-72.

373. Quine W. V. O. On What There Is / W. V. O. Quine // Quine W. V. O. From a Logical Point of View / W. V. O. Quine. - Cambridge: Harvard University Press, 1961. - P. 1-19.

374. Quine W. V. O. Ontological Relativity and Other Essays / W. V. O. Quine. - New York: Columbia University Press, 1969. - ix, 165 p.

375. Quine W. V. O. Philosophy of Logic / W. V. O. Quine. - Cambridge: Harvard University Press, 1986. - x, 109 p.

376. Quine W. V. O. Pursuit of Truth / W. V. O. Quine. - Cambridge: Harvard University Press, 1992. - x, 114 p.

377. Quine W. V. O. Speaking of Objects / W. V. O. Quine // Quine W. V. O. Ontological Relativity and Other Essays / W. V. O. Quine. - N. Y.: Columbia University Press, 1969. - P. 1-25.

378. Quine W. V. O. The Roots of Reference / W. V. O. Quine. - La Salle: Open Court, 1974. - xii, 151 p.

379. Quine W. V. O. Theories and Things / W. V. O. Quine. - Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981. - 219 p.

380. Quine W. V. O. Things and Their Place in Theories / W. V. O. Quine // Quine W. V. O. Theories and Things / W. V. O. Quine. - Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1981. - P. 1-23.

381. Quine W. V. O. Word and Object / W. V. O. Quine. - Cambridge, MA: MIT Press, 1960. - xv, 294 p.

382. Ramsey F. P. Knowledge / F. P. Ramsey // Foundations of Mathematics and Other Logical Essays / F. P. Ramsey; ed. by R. B. Braithwaite. - London: Kegan Paul, 1931. - P. 258-259.

383. Ramsey F. P. The Foundations of Mathematics / F. P. Ramsey // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1926. - Vol. 25. - P. 338384.

384. Rav Y. A Critique of a Formalist-Mechanist Version of the Justification of Arguments in Mathematicians' Proof Practices / Y. Rav // Philosophia Mathematica. - 2007. - Vol. 15, No. 3. - P. 291-320.