Теория и методы параметрической идентификации стохастических математических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кротова Елена Львовна

• Кротова Елена Львовна
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Кротова Елена Львовна

Оглавление

Введение

1 Исторический обзор развития методов статистического

оценивания

1.1 Зарождение вероятностных методов и их первоначальное применение

1.2 Формирование основ теории вероятностей (XVII-XVIII века)

1.3 Развитие математической статистики и её приложений (XIX-

XX века)

1.3.1 Переход к современным вычислительным методам

1.4 Современный этап: развитие методов анализа сложных систем

1.4.1 Метод ядерного трюка в машинном обучении

1.4.2 Проблема нелинейной разделимости данных

1.4.3 Ядерный трюк: переход в пространство высшей размерности

1.4.4 Математическая основа метода

1.4.5 Преимущества ядерных методов

1.4.6 Практическая значимость

1.4.7 Примеры задач, решаемых методами ядерного сглаживания

1.5 Вычислительные методы Байесовской статистики

1.5.1 Примеры применения байесовских методов и

МСМС для негауссовых моделей

1.5.2 Модели с бинарным откликом

1.5.3 Модели подсчёта (Count Data Models)

1.5.4 Модели выживания и анализа времени до наступ-

ления события

1.5.5 Иерархические (многоуровневые) модели

1.5.6 Сложные динамические модели

1.5.7 Заключение по примерам

1.6 Современные вызовы в механике и гидродинамике

1.7 Области приложения в механике и гидродинамике

2 Фундаментальные понятия теории вероятностей

2.1 Основные определения и конструкции

2.1.1 Измеримость и вероятностное пространство

2.1.2 Основные распределения вероятностей

2.2 Смеси нормальных распределений

2.2.1 Математическое определение

2.2.2 Графическое представление смесей

2.2.3 Трехкомпонентная смесь

2.3 Идентифицируемость в статистических моделях

2.3.1 Понятие идентифицируемости и его важность

2.3.2 Идентифицируемость смесей распределений

2.4 Метод моментов для идентифицируемости

2.4.1 Основные понятия и определения

2.4.2 Фундаментальные теоремы метода моментов

2.4.3 Примеры моментов для различных распределений

2.4.4 Доказательство идентифицируемости через моменты

2.4.5 Практическая проверка идентифицируемости

2.4.6 Графический анализ идентифицируемости

2.4.7 Вычислительные аспекты и устойчивость

2.4.8 Алгоритм проверки идентифицируемости методом моментов

2.4.9 Ограничения метода моментов

2.5 Байесовские методы в математической статистике

2.5.1 Философские основы байесовского подхода

2.5.2 Базовые понятия байесовского анализа

2.5.3 Сопряженные априорные распределения

2.5.4 Маргинальное правдоподобие

2.5.5 Байесовские точечные оценки

2.5.6 Байесовские интервальные оценки

2.5.7 Сравнение моделей

2.5.8 Иерархические байесовские модели

2.5.9 Преимущества и ограничения байесовского подхода

2.6 Метод характеристических функций для идентифицируемости

2.6.1 Основные понятия и определения

2.6.2 Фундаментальные теоремы

2.6.3 Примеры характеристических функций

2.6.4 Доказательство идентифицируемости через характеристические функции

2.6.5 Применение к смесям распределений

2.6.6 Практическая проверка идентифицируемости

2.6.7 Алгоритм проверки идентифицируемости

2.6.8 Графический метод анализа

2.6.9 Вычислительные аспекты

2.7 Полное доказательство идентифицируемости смесей нормальных распределений

2.7.1 Постановка задачи и основные определения

2.7.2 Предварительные сведения и леммы

2.7.3 Основная теорема и доказательство

2.7.4 Примеры и контрпримеры

2.7.5 Графическая иллюстрация доказательства

2.7.6 Конструктивное доказательство через моменты

2.7.7 Примеры вычисления моментов смесей

2.7.8 Алгоритм восстановления параметров смеси

2.7.9 Визуализация процесса доказательства

2.7.10 Приложения и значение теоремы

2.8 Метод максимального правдоподобия

2.8.1 Основные понятия и определения

2.8.2 Уравнения правдоподобия

2.8.3 Свойства ОМП

2.8.4 Информация Фишера

2.8.5 ОМП для смесей распределений

2.8.6 Сравнение с методом моментов

2.8.7 Практические аспекты

2.8.8 Заключение

3 Гамма распределение

3.1 Постановка проблемы и анализ теоретических сложностей

3.1.1 Трёхпараметрическое гамма-распределение и его приложения в механике

3.1.2 Визуализация плотности трёхиараметрического гамма-распределения и его приложения

3.1.3 Фундаментальные сложности оценивания параметра сдвига

3.1.4 Связь с общей проблемой диссертации

3.2 Обзор и критический анализ существующих методов оценивания

3.2.1 Методы, основанные на порядковых статистиках

3.2.2 Методы максимального правдоподобия

3.2.3 Байесовский подход

3.2.4 Сравнительный анализ методов

3.2.5 Выводы

3.3 Методологический фундамент:

подход НОГМД для двухпараметрического случая

3.3.1 Постановка задачи для двухпараметрического гамма-распределения

3.3.2 Достаточные статистики и их свойства

3.3.3 Совместное распределение достаточных статистик

3.3.4 Асимптотическое разложение распределения Un

3.3.5 Асимптотика характеристической функции

3.3.6 НОГМД для плотности распределения

3.3.7 Значение результатов для трехпараметрического случая

3.4 Обобщение подхода НОГМД на трехпараметрический случай

3.4.1 Модификация достаточных статистик для ТГГ

3.4.2 Условный подход к оцениванию параметра сдвига

3.4.3 Метод характеристических функций для ТГР

3.4.4 Адаптивный алгоритм оценивания

3.4.5 Пример применения к задаче прочности материалов

3.4.6 Сравнительный анализ эффективности

3.4.7 Асимптотические свойства оценок

3.5 Исторический контекст и оригинальность доказательств

3.5.1 Классические результаты теории М-оценок

3.5.2 Метод характеристических функций в статистике

3.5.3 Оригинальность представленного доказательства

3.5.4 Сравнение с известными результатами

3.5.5 Технические инновации в доказательстве

3.5.6 Вклад в теорию оценивания

3.5.7 Заключение

3.6 Доказательство теоремы о состоятельности и асимптотической нормальности

3.6.1 Постановка задачи и условия регулярности

3.6.2 Условия регулярности

3.6.3 Доказательство состоятельности

3.6.4 Доказательство асимптотической нормальности

3.6.5 Оптимальный выбор весовой функции

3.6.6 Пример вычисления асимптотической дисперсии

3.6.7 Заключение

3.6.8 Моделирование данных

3.7 Пример применения доказанных теорем к задачам механики

3.7.1 Постановка задачи: оценка прочности композитного материала

3.7.2 Моделирование данных

3.7.3 Применение теоремы о состоятельности

3.7.4 Применение теоремы об асимптотической нормальности

3.7.5 Задача механики: прогноз усталостной долговечности

3.7.6 Моделирование с различными объемами выборки

3.7.7 Применение к задаче гидродинамики

3.7.8 Вадидация асимптотической нормальности

3.7.9 Заключение

4 Устойчивые распределения и их свойства в задачах математического моделирования

4.1 Характеристические функции и параметризации

4.2 Свойства и частные случаи

4.2.1 Интерпретация параметров ]

4.2.2 Частные случаи с явными плотностями

4.3 Связь с обобщёнными процессами Кокса

4.4 Фундаментальные свойства устойчивых распределений

4.4.1 Свойство устойчивости и его обобщения

4.4.2 Структура строго устойчивых смесей

4.4.3 Связь с обобщёнными процессами Кокса

4.4.4 Вероятностная интерпретация и приложения

4.5 Методы оценивания параметров

4.5.1 Классические методы

4.5.2 Современные подходы

4.6 Распределение Стыодента как альтернативная модель

4.6.1 Мотивация использования распределения Стыодента

4.6.2 Сравнительный анализ с устойчивыми распределениями

4.6.3 Представление в виде масштабной смеси

4.6.4 Связь параметров с устойчивыми распределениями

4.6.5 Преимущества и ограничения

4.6.6 Приложения в математическом моделировании

4.6.7 Методы оценивания параметров

4.7 Распределение Стыодента как альтернативная модель в задачах математического моделирования

4.7.1 Мотивация и связь с устойчивыми распределениями

4.7.2 Структура распределения Стыодента как масштабной смеси

4.7.3 Сравнительный анализ свойств

4.7.4 Связь с теоремой о строго устойчивых смесях

4.7.5 Многомерное обобщение

4.7.6 Приложения в современных задачах

4.7.7 Методы оценивания параметров

4.8 Критерии согласия в задачах проверки статистических гипотез

4.8.1 Постановка задачи проверки гипотез

4.8.2 Общая схема построения критериев согласия

4.8.3 Классические критерии на основе эмпирического распределения

4.8.4 Критерий Неймана-Пирсона и отношение правдоподобия

4.8.5 Асимптотический подход к определению мощности

4.8.6 Специализированные критерии для устойчивых распределений

4.8.7 Критерии для распределения Стыодента

4.8.8 Практические рекомендации по выбору критерия

4.9 Смешанные гауссовские вероятностные модели

4.9.1 Введение в смешанные модели

4.9.2 Теоретические основания смесей нормальных распределений

4.9.3 Связь с обобщёнными процессами Кокса

4.9.4 Иерархическое представление смесей

4.9.5 EM-алгоритм для оценивания параметров

4.9.6 Байесовский подход к смесям

4.9.7 Смеси как инструмент аппроксимации сложных распределений

4.9.8 Выбор числа компонент в смеси

4.9.9 Приложения в математическом моделировании

4.10 Методы расщепления смесей в задачах идентификации распределений

4.10.1 Постановка задачи расщепления смесей

4.10.2 Метод псевдосмесителей

4.10.3 Метод инвариантов относительно преобразования масштаба

4.10.4 Случай строго устойчивых смесей

4.10.5 Частные случаи с явными выражениями

4.10.6 Алгоритм расщепления смеси

4.10.7 Свойства оценок на основе инвариантов

4.10.8 Сравнение с классическими методами

4.10.9 Приложения в задачах моделирования

4.10.10 Расширения и обобщения

4.11 Численные эксперименты и практическая реализация методов

4.11.1 Экспериментальная проверка методов расщепления смесей

4.11.2 Оценивание параметра устойчивости

4.11.3 Анализ мощности критериев согласия

4.11.4 Применение к реальным данным

4.11.5 Визуализация результатов

4.11.6 Численная устойчивость и точность

4.11.7 Программная реализация

4.12 Псевдомиксеры

4.13 Функции плотности инвариантов

4.14 Функции распределения инвариантов

4.14.1 Практические рекомендации

4.15 Заключение и перспективы дальнейших исследований

4.15.1 Основные результаты и выводы

4.15.2 Теоретическая значимость

4.15.3 Практическая ценность

4.15.4 Перспективные направления дальнейших исследований

4.15.5 Заключительные замечания

Применение разработанных методов и обоснование их при менимости

5.1 Введение

5.1.1 Проблематика оценивания параметров в современной механике

5.1.2 Теоретическая и практическая значимость

5.1.3 Цели и задачи главы

5.1.4 Структура главы

5.2 Формальная постановка задачи байесовского статистического оценивания

5.2.1 Детерминированная модель и источники неопределённости

5.2.2 Функция правдоподобия

5.2.3 Априорное распределение

5.2.4 Апостериорное распределение и формула Байеса

5.2.5 Выводы и интерпретация результатов

5.3 Теоретическое обоснование методов байесовского оценивания

5.3.1 Устойчивость к возмущениям и дискретизации

5.3.2 Сходимость адаптивных методов

5.3.3 Работа с ^идентифицируемостью и мультимодаль-ностыо

5.3.4 Скорость сходимости для нелинейных моделей

5.4 Теоретическое обоснование методов байесовского оценивания210

5.4.1 Состоятельность и сходимость оценок

5.4.2 Идентифицируемость и регуляризация

5.5 Практические аспекты реализации методов

5.5.1 Вычислительные методы МСМС

5.5.2 Сокращение вычислительной стоимости

5.5.3 Работа с ^идентифицируемостью и мультимодаль-ностыо

5.5.4 Адаптивные стратегии планирования экспериментов

5.6 Примеры применения в механике и гидродинамике

5.6.1 Оценка влияния случайных структурных неодно-родностей материала изделия на определение геометрических параметров поверхностных дефектов методами магнитной дефектоскопии

5.6.2 Идентификация параметров моделей пластичности

5.6.3 Калибровка констант турбулентности

5.6.4 Оценка эффективных свойств композитных материалов

5.6.5 Мониторинг деградации конструкций

5.6.6 Сравнительный анализ методов

5.7 Заключение

5.7.1 Основные результаты

5.7.2 Перспективы дальнейших исследований

Заключение

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и методы параметрической идентификации стохастических математических моделей»

Актуальность темы исследования и степень её разработанности

Рост сложности математических моделей в механике, гидродинамике и смежных областях выявил серьёзное ограничение: отсутствие надёжных методов идентификации параметров для стохастических систем высокой размерности. Традиционные методы, основанные на предположении о нормальности, не способны адекватно описывать данные с «тяжёлыми хвостами», выраженной асимметрией или сложными негауссовыми корреляциями в пространстве и времени.

В русле российской математической школы, основанной А.Н. Колмогоровым и продолженной в работах Ю.В. Прохорова, A.A. Боровкова и В.М. Золотарева, задача статистического оценивания параметров сложных распределений выходит на первый план. Критически важной проблемой становится разработка методов для моделей со стохастическими ядрами, которые могут корректно описывать процессы с негауссовым поведением, учитывать случайность измерений и внутреннюю неопределённость моделей, а также обеспечивать прогноз заданной точности экстремальных событий в приложениях. Мощным аппаратом для моделирования подобных процессов служат суммы случайного числа слагаемых, глубоко изученные В.М. Кругловым, В.Ю. Королёвым, В.Е. Бе-нингом, С.Я. IПортным. Н.Я. Петраковым, В.И. Ротарем и другими учёными. Современные международные исследования в области устойчивых распределений и их приложений представлены в трудах J. Nolan, S.T. Rachev, C.G. Small.Мощные зарубежные научные школы сформировали фундамент современной теории статистического оценивания: во Франции основополагающие труды по теории вероятностей принадлежат Э. Борелю, П. Леви и М. Фреше; в Германии значительный вклад

в развитие математической статистики внёс Р. Мизес; в США традиции статистического мышления заложены Н. Винером, У. Феллером и Дж. Дубом; в Швеции классические результаты получены Г. Крамером. Фундаментальный вклад в теорию устойчивых распределений внесли работы Б. Мандельброта, Ю. Фи.мы и Р. Ролла, чья важность обусловлена тем, что этот класс распределений является предельным для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в соответствии с обобщенной центральной предельной теоремой.

Непосредственным развитием этого теоретического фундамента в контексте настоящей работы является исследование методов параметрической идентификации для смесей устойчивых распределений. Методологическую базу составили труды школы академика Ю.В. Прохорова (МГУ) в области предельных теорем и асимптотических методов; школы академика A.A. Боровкова (НГУ) в области теории вероятностей и математической статистики; школы В.М. Золотарева в теории устойчивых распределений и их применений; а также классические традиции прикладной математики, заложенные М.В. Келдышем и А.Н. Тихоновым. Ключевым является синтез аналитической строгости, характерной для классической русской математической школы, с мощью современных вычислительных технологий. Это позволяет модернизировать такие фундаментальные инструменты, как метод моментов, адаптируя его для работы с негауссовыми распределениями посредством компьютерной алгебры. Важное место занимает интеграция байесовской парадигмы, истоки которой в отечественной науке также восходят к А.Н. Колмогорову, с современными алгоритмами цепей Маркова Монте-Карло (МСМС), что открывает новые возможности для решения обратных задач в условиях неопределённости.

Важную роль в развитии методов математического моделирования сыграли представители пермской научной школы гидродинамики и механики: Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, В.П. Матвеенко, а также исследователи екатеринбургских научных школ УрФУ и научных учреждений УрО РАН (ИФМ им М.Н. Михеева, ИММ им. H.H. Красовского и др.) — C.B. Щербинин, С.А. Шлеенков, Я.Ш. Шур, В.Н. Костин, Я.Г. Смородинский, В.В. Дякин, Д.Б. Берг,

H.H. Красовский, Ю.С. Осипов, и исследователи ижевской школы механики деформируемых твердых тел A.B. Вахрушев, А.Ю. Федотов, И.Г. Ру-сяк. Значительное число приложений связано с задачами аддитивно-субтрактивного производства, подробно рассмотренными в работах авторов Д.Н. Трутников, A.B. Щербаков и других.

Непосредственное влияние на выбор направления исследования и развитие профессиональных навыков оказали работы и научные консультации П.Н. Сапожникова (теория смесей распределений), С.И. Мельника (методы сходимости), П.В. Трусова (математическое моделирование), Л.Н. Кротова, Г.В. Ермакова и P.C. Мельник (численные методы для решения прикладных задач).

Инновационное развитие традиций осуществляется по трём основным направлениям: расширение классического аппарата теории вероятностей за счёт введения и исследования новых классов смесей распределений; создание вычислительных алгоритмов, сочетающих аналитическую строгость с численной эффективностью; и междисциплинарный синтез, объединяющий методы теории вероятностей, математической статистики и механики сплошных сред в единый методологический комплекс.

Диссертационная работа представляет собой органичный синтез классических традиций российской математической школы и современных научных подходов. Сохраняя преемственность в отношении фундаментальных принципов и методологических установок, работа одновременно открывает новые направления исследований и создаёт основу для дальнейшего развития научных традиций. Прямая научная генеалогия работы прослеживается в области теории вероятностей от А.Н. Колмогорова через Ю.В. Прохорова к В.М. Золотареву, а в прикладной математике — от М.В. Келдыша через А.Н. Тихонова к A.A. Самарскому.

Возросшая сложность современного математического моделирования обнажила кризис традиционных детерминированных подходов, в частности, их точности уже недостаточно для современных прикладных задач. В механике деформируемого твёрдого тела и гидродинамике ключевые модели — будь то упругопластические или реологические модели вязко-упругих сред, теории накопления повреждений или методы замыкания

уравнений турбулентности — содержат внутренние, скрытые параметры. Эти значения невозможно измерить непосредственно, что и составляет основную проблему их идентификации и, как следствие, верификации самих моделей. В основе диссертационного исследования лежит фундаментальная проблема математического моделирования, заключающаяся в отсутствии единого методологического подхода к параметрической идентификации сложных стохастических систем с существенно негауссовым поведением. Существующие теоретические конструкты — теория устойчивых распределений, методы расщепления смесей, байесовский вывод — остаются разрозненными и не объединены в целостную систему, адекватную для описания реальных процессов, наблюдаемых в механике и гидродинамике.

Указанная проблема обусловлена рядом глубоких научных противоречий. Первое противоречие существует между развитым теоретическим аппаратом классической математической статистики и его практической неэффективностью в условиях, когда экспериментальные данные существенно отклоняются от нормальности. Второе противоречие заключается в контрасте между богатством класса устойчивых распределений, адекватно моделирующих «тяжёлые хвосты», и отсутствием эффективных практических методов оценивания их параметров в прикладных задачах. Третье противоречие состоит в несоответствии между потребностью в точном прогнозировании экстремальных событий в механических системах и ограниченностью существующих вероятностных моделей, не учитывающих специфику стохастического поведения реальных материалов и сред. Наконец, четвёртое противоречие возникает между возрастающей сложностью современных физико-механических моделей, содержащих десятки взаимовлияющих параметров, и неразработанностью ро-бастных методов их идентификации по ограниченным и зашумлённым данным.

Разрешение этих противоречий составляет суть работы и формулируется в виде основной научной гипотезы, которая утверждает, что существует единая концептуальная модель, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между широкими классами смесей распределений и их идентифицируемостью на основе анализа характеристических функ-

ций и асимптотических свойств оценок, и может быть реализована в виде эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ, пригодных для решения практических задач параметрической идентификации.

Работа направлена на доказательство данной гипотезы через построение трехуровневой методологии, интегрирующей теоретико-вероятностный аппарат, методологический синтез классических и современных подходов и их вычислительную реализацию. Для решения фундаментальной проблемы параметрической идентификации предложена трехуровневая концептуальная модель, охватывающая полный цикл математического моделирования стохастических систем.

Первый уровень составляет теоретико-вероятностное ядро. Его основой служит аппарат характеристических функций и преобразований Лапласа. Ключевая задача этого уровня — установление строгих условий идентифицируемости параметров смесей устойчивых распределений. В работе доказано, что анализ асимптотического поведения характеристических функций позволяет однозначно восстановить параметры смеси по наблюдаемым данным. Результатом являются формальные критерии идентифицируемости и теоремы о сходимости, развивающие идеи школы В.М. Золотарева.

Второй уровень представляет собой методологический синтез. На этом уровне осуществляется интеграция байесовского подхода, обобщенного метода моментов и модифицированного метода максимального правдоподобия. Задача состоит в создании универсальных процедур оценивания для моделей с неаналитически заданной плотностью распределения и нерегулярными функциями правдоподобия, характерных для трёхпа-раметрического гамма-распределения и смесей устойчивых законов. Результатом является единая методология, адаптирующая классические статистические численные методы для работы с существенно негауссовыми распределениями, обладающими «тяжёлыми хвостами».

Третий уровень — вычислительная реализация. Его основу составляют модифицированные алгоритмы максимизации ожидания (ЕМ-алгоритмы), многоуровневые Марковские цепи Монте-Карло (МСМС-методы) и адаптивные процедуры Монте-Карло. Задача этого уровня —

обеспечение эффективной численной реализации теоретических методов для задач высокой размерности, типичных для прикладных областей. Результатом являются устойчивые и вычислительно эффективные алгоритмы, реализованные в виде программных комплексов, выполняющих оценку параметров, проверку гипотез и прогнозирование.

Три уровня образуют замкнутый исследовательский цикл. Теоретические результаты первого уровня задают критерии для методов второго уровня, которые, в свою очередь, реализуются алгоритмами третьего уровня. Валидация на реальных данных и применение в новых областях создают обратную связь, стимулирующую развитие теоретического ядра. Таким образом, предложенная модель преодолевает разрыв между теорией устойчивых распределений и инженерной практикой, предоставляя целостный инструментарий для статистического анализа сложных стохастических систем.

Область применения разработанного решения включает создание адекватных стохастических моделей для прогнозирования экстремальных событий в сложных системах, разработку эффективных методов идентификации параметров сложных физико-механических моделей и построение теорий надёжности и долговечности конструкций с учётом реального стохастического поведения материалов.

Таким образом, представленная фундаментальная научная проблема имеет комплексный характер и требует разработки принципиально новых подходов на стыке теории вероятностей, математической статистики и прикладной области знаний.

Работа направлена на решение фундаментальной проблемы математического моделирования. Её формальная постановка структурирована вокруг трёх взаимосвязанных аспектов. Рассматривается следующая общая схема: данные натурного или вычислительного эксперимента, содержащие неопределённость, формируют выборку X = (Х\,... ,Хп). Эту выборку наблюдений порождает стохастическая модель с неизвестным оператором (ядром).

Задача формулируется в вероятностной постановке. Детерминированная модель у = Е(Х, в) дополняется аддитивной ошибкой е, учитывающей три источника неопределённости: погрешность измерений, неточ-

ность самой модели и неопределённость входных данных. Однако во многих прикладных задачах — например, при накоплении повреждений, в турбулентности или при анализе экстремальных нагрузок — распределение ошибки или самого наблюдаемого процесса изначально является тяжелохвостым (устойчивым) или гамма-образным, что не укладывается в рамки нормального приближения.

Б = Е(Х, в) + е.

Ядром метода является формула Байеса для апостериорного распределения параметров:

р(в|Б) а р(Б|в)р(в),

где р(Б|в) - функция правдоподобия, р(в) - априорное распределение. Результатом являются точечные или интервальные оценки.

Х

1. Выбор адекватного класса вероятностных моделей: проверить гипотезу о принадлежности данных заданному параметрическому семейству распределений Г$ (например, устойчивому или смеси устойчивых), которое наиболее точно отражает их свойства, включая наличие «тяжёлых хвостов» и асимметрии.

2. Оценка параметров модели: для выбранного класса найти статистическую оценку вп вектора параметров в, обеспечивающую состоятельность, эффективность и робастность в условиях нерегулярности задачи — таких как отсутствие аналитического вида плотности или её особое поведение па границе области О.

3. Доказательство идентифицируемости: для используемого класса моделей доказать, что отображение в ^ Г$ инъективно, то есть различным значениям параметров соответствуют различные распределения данных, что гарантирует принципиальную возможность решения обратной задачи.

Решение этой комплексной задачи требует преодоления фундаментальных противоречий между богатым теоретическим аппаратом классической статистики и его неэффективностью на негауссовых данных, а

также между сложностью современных физико-механических моделей и неразработанностью методов идентификации их параметров. Цель и задачи исследования

В качестве объекта исследования выступает широкий класс математических моделей со стохастическим ядром, применяемых для описания сложных физических процессов в механике деформируемого твёрдого тела, гидродинамике и материаловедении. Такие процессы характеризуются существенно негауссовым поведением, наличием экстремальных событий и пространст-венно-временных корреляций сложной структуры.

Предметом исследования являются методы статистического оценивания параметров указанных математических моделей, специально адаптированные для работы с данными, имеющими распределения с «тяжёлыми хвостами» и выраженной асимметрией. Эти методы направлены на доказательство устойчивости и сходимости разработанных алгоритмов, определение области их применимости, а также на преодоление ограниченности классических гауссовых приближений в условиях нерегулярности задач и неполноты экспериментальных данных.

Целью диссертационной работы является разработка и теоретическое обоснование комплекса методов параметрической идентификации для стохастических математических моделей с негауссовым поведением, а также их реализация в виде эффективных вычислительных алгоритмов и программных средств.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать численные методы проверки гипотез о типе распределения, лежащего в основе наблюдаемых экспериментальных данных, с акцентом на критерии выбора устойчивых распределений и их смесей как адекватных математических моделей для явлений с «тяжёлыми хвостами».

2. Разработать новые численные методы оценки параметров для нерегулярных вероятностных моделей, у которых функция правдоподобия либо не имеет аналитического представления (как у устойчивых распределений при значении параметра устойчивости а =

2), либо определена на границе параметрического пространства (как в случае параметра сдвига 7 в трёхпараметрическом гамма-распределении) .

3. Выделить и теоретически обосновать классы идентифицируемых распределений, установив строгие условия, при которых отображение «параметры математической модели —>■ распределение данных» является взаимно-однозначным, что гарантирует принципиальную возможность корректного решения обратной задачи.

4. Создать устойчивые и эффективные вычислительные алгоритмы, реализующие разработанные теоретические методы, и провести их всестороннюю экспериментальную верификацию на модельных и реальных данных из различных областей.

Решение этих задач в их совокупности позволяет достичь поставленной цели и создать замкнутую методологию, связывающую теорию вероятностей, математическую статистику и вычислительные методы в единый инструмент для современного математического моделирования.

Настоящая диссертационная работа представляет собой полное научное исследование, вносящее вклад в развитие методов математического моделирования сложных физических процессов в разрезе оценивания параметров для негауссовых стохастических ядер. Методология и методы исследования

Методологическую основу диссертации составляют методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, интегрированные в единый подход для решения задач параметрической идентификации стохастических систем.

Теоретический фундамент исследования базируется на методах теории характеристических функций и преобразований Лапласа, позволяющих анализировать свойства распределений и доказывать ключевые теоремы идентифицируемости, а также на асимптотических методах теории вероятностей, необходимых для исследования сходимости и предельного поведения оценок.

Для решения задач статистического оценивания применялся комплекс методов, включая байесовские методы статистического вывода, позволя-

ющие корректно учитывать априорную информацию и оценивать неопределённость; обобщённый метод моментов и модифицированный метод максимального правдоподобия, адаптированные для нерегулярных моделей; а также алгоритмы ЕМ-типа для работы с моделями, содержащими скрытые переменные или неполные данные.

Вычислительная реализация методологии обеспечивается современными численными методами. Многомерное интегрирование и анализ апостериорных распределений выполнены с использованием МСМС-методов (включая сэмплер Гамильтона и сэмплер без возвратов - No-U-Turn Sampler - NUTS). Для оптимизации и решения задач в пространствах высокой размерности применялись методы численной оптимизации и адаптивные процедуры Монте-Карло. Статистическая проверка гипотез и верификация моделей проводились с использованием как классических критериев согласия, так и специализированных критериев, основанных на сравнении характеристических функций и анализе инвариантов.

Такой комплексный подход позволил создать последовательную методологию, охватывающую все этапы работы: от постановки задачи и теоретического анализа идентифицируемости до построения эффективных алгоритмов и их прикладной верификации на реальных данных.

Фундаментальный характер полученных результатов заключается в том, что они образуют целостную систему взаимосвязанных теоретических положений и практических методов, представляющих собой завершённую теорию в области статистического оценивания параметров сложных стохастических систем.

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке целостной методологии параметрической идентификации стохастических математических моделей с существенно негауссовым поведением, которая включает следующие основные элементы:

1. Теоретико-методологическая новизна: создание единого подхода, объединяющего теорию устойчивых распределений, методы анализа смесей и байесовский вывод в рамках комплексной методологии математического моделирования стохастических систем.

2. Методическая новизна: Для физических процессов, в которых тяжелые хвосты возникают вследствие каскадного накопления повре-

ждений, перемежаемости или случайного числа структурных пеодио-родностей, предложены критерии проверки гипотез о принадлежности наблюдений к классам устойчивых распределений или трёхпараметри-ческого гамма-распределения. Созданы модифицированные методы оценивания параметров указанных моделей (в том числе хвостового индекса, порога сдвига и весов компонент смесей), основанные на характеристических функциях и байесовских процедурах; методы преодолевают нерегулярность функций правдоподобия и гарантируют состоятельность оценок при конечных выборках.

3. Алгоритмическая новизна: построение принципиально новых вычислительных алгоритмов, сочетающих аналитическую строгость с численной эффективностью, для решения задач параметрической идентификации в пространствах высокой размерности.

4. Междисциплинарная новизна: интеграция методов теории вероятностей, математической статистики и прикладных задач в единую методологическую платформу для анализа сложных стохастических систем.

Положения, выносимые на защиту

1. Установленные условия идентифицируемости смесей устойчивых распределений. Впервые получены фундаментальные условия идентифицируемости параметров смесей устойчивых распределений на основе анализа характеристических функций. Доказаны теоремы о сходимости и асимптотической нормальности оценок параметров для нерегулярных статистических моделей.

2. Методология оценивания параметров трёхпараметрическо-го гамма-распределения. Предложена общая методология оценивания параметров трёхпараметрического гамма-распределения, решающая проблему нерегулярности на границе параметрического пространства. Доказаны теоремы о состоятельности и асимптотической нормальности предложенных оценок.

3. Теория модифицированных ЕМ-алгоритмов и МСМС-мето-дов. Разработана теория модифицированных ЕМ-алгоритмов для

задач с неполными данными и созданы фундаментальные основы построения МСМС-методов для многомерного интегрирования в пространствах параметров сложной структуры. Доказаны теоремы о сходимости предложенных алгоритмов.

4. Концепция применения устойчивых распределений в механических системах. Разработана концепция применения устойчивых распределений и их смесей для моделирования процессов с «тяжёлыми хвостами» в механических системах. Обоснован подход к решению задач идентификации параметров сложных физических моделей на основе теории случайных процессов.

5. Комплекс алгоритмов для параметрической идентификации. Создан комплекс алгоритмов для параметрической идентификации, включающий методы на основе характеристических функций, модифицированные байесовские процедуры и адаптивные вычислительные схемы, прошедшие экспериментальную верификацию на реальных данных.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории идентифицируемости параметрических моделей, расширении классической теории максимального правдоподобия на случай нерегулярных задач и создании теоретических основ для решения обратных задач идентификации в стохастических системах. Методологическая значимость состоит в разработке единого подхода, объединяющего методы теории характеристических функций, асимптотические методы теории вероятностей, байесовские методы статистического вывода и современные вычислительные алгоритмы. Практическая значимость подтверждается успешным применением разработанных методов для идентификации параметров моделей механики деформируемого твёрдого тела, гидродинамики и материаловедения, что реализовано в виде программных комплексов, защищённых патентами и свидетельствами.

Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Достоверность результатов подтверждена сопоставлением полученных аналитических выражений вероятностных моделей исследуемых случайных величин с результатами проведен-

ных имитационных испытаний и воспроизводимостью полученных результатов. Обоснованность результатов подтверждается корректным использованием математического аппарата теории вероятностей, математической статистики, характеристических функций и случайных процессов.

Публикации По теме диссертации автором опубликовано 35 научных трудов. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 научных трудах, в том числе 11 статей - в изданиях, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук, и приравненных к ним, 13 работ - в изданиях, проиндексированных в международных реферативных базах (Web of Science, Scopus, Springer, Math-Net, Zentralblatt Math, Mathematical Reviews, UGC CARE), получено 2 патента на изобретение, 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ. Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку на многих международных и всероссийских конференциях, в том числе: на Международной научно-практической конференции «Современный город: власть, управление, экономика. Устойчивое развитие территорий», Россия, Пермь, 3 декабря 2025 г.; IV Международной научно-практической конференции «Прорывные технологии в разведке, разработке и добыче углеводородного сырья», Россия, Санкт-Петербург, 20-22 мая 2025 года; Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2023), Российская академия наук, Россия, 4-10 сентября 2023 г.; Networked Control Systems for Connected and Automated Vehicles, Швейцария, 16 ноября 2022 г.; Applied Science and Engineering, Министерство образования, Греция, 31 марта 2017 г.; The International Symposium on Visualization in Joining & Welding Science through Advanced Measurements and Simulation, Joining and Welding Research Institute, Osaka University, Япония, 17-18 октября 2016 г.; Международной конференции «Электронно-лучевая сварка и смежные технологии», Национальный исследовательский университет МЭИ, Россия, 17-20 ноября 2015 г.; XXXIV

Международной научно-практической конференции, Центр научного сотрудничества «Логос», Россия, 28 мая 2014 г.; Всероссийской конференции «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты», Пермский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 29-31 октября 2013 г.; Региональная конференция «Конкурс РФФИ - Пермский край. 10 лет: итоги и перспективы», Пермский научный центр Уральского отделения РАН, Россия, 11-12 апреля 2013 г.; на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам и Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (орг. МГУ и Институт математики им.Стеклова) (1999, 2000, 2001, 2003, 2008, 2009, 2010, 2011, 2013, 2017).

Диссертационная работа полностью докладывалась и обсуждалась на семинарах: кафедры «Высшая математика» ПНИПУ (рук. д.ф.-м.н., проф. А.Р. Абдуллаев); Института механики сплошных сред УрО РАН (рук. академик РАН, д.т.н., проф. В.П. Матвеенко); Центра экспериментальной механики ПНИПУ (рук. д.ф.-м.н., проф. В.Э. Вильдеман); кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ (рук. д.ф.-м.н., проф. П.В. Трусов). Связь исследований с научными проектами

Габота выполнена при финансовой поддержке ГНФ (грант № 25-1900785 «Газработка многоуровневых физически ориентированных конститутивных моделей для исследования термомеханической обработки многофазных сплавов», руководитель Трусов П.В.). Личный вклад автора

Автором получены все включенные в диссертацию результаты: аналитический обзор литературы по тематике работы, постановка задач, обоснование и формулировка основных положений, определяющих научную новизну и практическую значимость исследования, разработка моделей и алгоритмов их реализации, создание комплексов программ, анализ и обобщение аналитических и численных результатов моделирования, формулировка выводов. Структура и объём работы

Диссертационная работы состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы (198 наименований) и 7 прило-

жений. Работа изложена на 264 страницах, содержит 63 иллюстрации, 32 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Кротова Елена Львовна

Заключение

В диссертационной работе решена крупная фундаментальная проблема, связанная с разработкой адекватных методов идентификации параметров сложных стохастических систем с негауссовым поведением. Создана единая теоретико-алгоритмическая концептуальная модель, позволившая преодолеть разрыв между богатым аппаратом теории устойчивых распределений и практическими потребностями прикладных инженерных задач. Полученные результаты представляют собой законченный цикл исследований — от строгих математических доказательств до эффективных вычислительных алгоритмов и их успешной апробации на актуальных прикладных задачах.

Основные научные результаты и выводы

Теоретические результаты:

1. Разработана комплексная методология статистического оценивания параметров моделей с негауссовыми ядрами, основанная на синтезе байесовского подхода, методов моментов и максимального правдоподобия.

2. Доказаны теоремы идентифицируемости для смесей нормальных распределений и других классов стохастических моделей, что обеспечивает теоретическое обоснование предложенных методов.

3. Созданы и обоснованы новые алгоритмы проверки идентифицируемости через моменты и характеристические функции, позволяющие априорно оценивать возможность восстановления параметров по наблюдаемым данным.

Алгоритмические и методические результаты:

4. Разработаны модифицированные ЕМ-алгоритмы для оценивания параметров смесей распределений, обладающие улучшенной сходимостью и устойчивостью к зашумленным данным.

5. Предложены новые адаптивные байесовские алгоритмы и многоуровневые МСМС-методы, позволяющие эффективно оценивать параметры в условиях неполноты данных и сложных структурных зависимостей.

6. Созданы вычислительные процедуры для обработки пространственно-временных данных и многомасштабного анализа, учитывающие специфику прикладных задач.

Практические результаты:

7. Проведена успешная апробация разработанных методов на реальных задачах механики деформируемого твёрдого тела и гидродинамики, а также на тестовых (модельных) примерах.

8. Показана эффективность предложенных подходов по точности и вычислительной устойчивости в сравнении с классическими методами.

9. Разработано программное обеспечение, реализующее предложенные алгоритмы и позволяющее проводить статистический анализ параметров сложных моделей.

Результаты работы открывают новые возможности для решения актуальных задач математического моделирования и могут быть использованы в научных исследованиях и инженерных расчетах

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кротова Елена Львовна, 2026 год

Литература

[1] Андреев P.A., Кротова Е.Л. Сравнительный анализ результатов реализации нейронных сетей на основе персептрона и линейных нейронных сетей в пакете MATLAB для обнаружения злоумышленника в информационной системе // Международный научно-исследовательский журнал. 2017. № 4(58), ч. 4. С. 58-61.

[2] Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973.

[3] Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотическое поведение обобщённых процессов Кокса // Вестник Московского университета. Сер. 15: Вычислительная математика и кибернетика. 1996. № 3. С. 55-68.

[4] Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Предельное поведение неслучайно центрированных обобщённых процессов Кокса // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2, № 4. С. 957-975.

[5] Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Асимптотические разложения для квантилей обобщённых процессов Кокса и некоторые их приложения к задачам финансовой и актуарной математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. Т. 5, Вып. 1. С. 23-43.

[6] Болынев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

[7] Бондарев В.Ю., Сорокин A.C., Кротова Е.Л. Искусственная нейронная сеть как средство и метод статистической обработки дан-

ных // Вестник УрФО. Безопасность в информационной сфере. 2016. № 2(20). С. 19-22.

[8] Бондарев В.Ю., Сорокин A.C., Кротова Е.Л., Лойко H.A. Методы оптимизации искусственной нейронной сети // Естественные и технические науки. 2016. № 11(101). С. 190-191.

[9] Бородулина Е.Л., Кротова Е.Л. Метод расщепления строго устойчивых смесей нормального закона для показателей устойчивости а = 1и а = 2// Математическое моделирование. 2008. Т. 20, № 7. С. 3-11.

[10] Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещённые оценки и их применения. М.: Наука, 1989.

[11] Володин H.H. Планирование эксперимента при сравнении параметров двух нормальных совокупностей // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т. 18, Вып. 1. С. 206-211.

[12] Володин И.Н. О различении распределений гамма и Вейбулла // Теория вероятностей и её применения. 1994. Т. 39, Вып. 2. С. 348-398.

[13] Жуйков И.А., Горбунов Ю.А., Кротова Е.Л. Определение параметров математической модели профиля пользователя АРМ // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17, Вып. 1. С. 109.

[14] Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

[15] Епанечников В.А. О точном выражении уровня значимости усечённого одностороннего критерия Колмогорова // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т. 18, Вып. 4. С. 725-730.

[16] Гармовски Б., Рачев С. Финансовые модели, использующие устойчивые законы // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2, Вып. 4. С. 549-566.

[17] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: ГИТТЛ, 1949.

[18] Горбунов Ю.А., Жуйков И.А., Кротова Е.Л. Использование вероятностного подхода для различения профиля легального пользователя от злоумышленника // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, Вып. 2. С. 460-461.

[19] Горбунов Ю.А., Жуйков И.А., Кротова Е.Л. Выявление злоумышленника статистическими методами в компьютерных системах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17, Вып. 3. С. 398-399.

[20] Горбунов Ю.А., Кротова Е.Л., Кротов Л.И. Использование статистического подхода к решению задачи обнаружения нарушителя в АР С, варианты и перспективы / / Глобальный научный потенциал. 2014. № 12(45). С. 98-101.

[21] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

[22] Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

[23] Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.Э. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.

[24] Карасава Ю. О производительности ЕМ-алгоритма для многомерных данных // Коммуникации в статистике: моделирование и вычисления. - 2002. - Т. 31, № 2. - С. 245-260.

[25] Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. (Математика в монографиях. Под редакцией акад. И.М.Виноградова, проф. А.Н.Колмогорова, акад. Н.Н.Лузина, проф. Л.А.Люстерника, проф. А.И.Плеснера. Серия обзоров.)

[26] Колмогоров А.Н. Несмещённые оценки // Известия Академии наук СССР. Сер. математическая. 1950. Т. 14. С. 303-326.

[27] Королев В.Ю. Об асимптотической устойчивости распределений обобщённых неординарных процессов Кокса // Теория вероятностей и её применения. 1997. Т. 42, Вып. 3. С. 359-361.

[28] Королев В.Ю. Вероятностные модели: введение в асимптотическую теорию случайного оценивания. М.: Диалог-МГУ, 1997.

[29] Кротов Л.Н., Кротова Е.Л., Богданов Н.В. Identification and counteractions to attacks of malefactors in the automated working system // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2015. Vol. 10, № 22. P. 10387-10391.

[30] Кротов Л.Н., Кротова Е.Л., Рукшин С.А. Математическое моделирование для кластеризации данных на основе обучающей выборки // Международный научно-исследовательский журнал. 2016. № 5(47), ч. 3. С. 116-118.

[31] Кротова Е.Л., Сапожников П.Н. НОРМД плотности двухпарамет-рического семейства гамма // Промышленное обозрение. Сер. Теория вероятностей и её приложения. 1999. Т. 6, Вып. 1. С. 164.

[32] Кротова Е.Л., Сапожников П.Н. Получение приближения для НОРМД гамма-распределения // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1999. С. 26-37.

[33] Кротова Е.Л. Распределение достаточных статистик для семейства гамма // Студент и научно-технический прогресс: Материалы XXXVII Междунар. науч. студ. конф. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1999. С. 83.

[34] Кротова Е.Л. Проверка гипотезы о виде гамма-распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, Вып. 1. С. 247.

[35] Кротова Е.Л. Применение приближённого распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения

// Информационные управляющие системы. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2002. С. 22-25.

[36] Кротова Е.Л. Об одной реализации проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений // Вестник Пермского государственного технического университета. Сер. Математика и прикладная математика. 2002. Вып. 1. С. 96-100.

[37] Кротова Е.Л. Применение приближенного распределения инвариантов для проверки гипотезы о типе предельного распределения // Информационные управляющие системы. Пермь: ГОТУ, 2002. С. 22-25.

[38] Кротова Е.Л., Кротов Л.И. Statistical methods for intruder detection in an automated system // International Conference on Healthcare, Applied Science and Engineering, March 31th, 2017, Greece, Athens: Conf. Proc. Los Gatos: Smashwords, Inc., 2017. P. 69-72.

[39] Кротова Е.Л., Андреев P.A., Андреева П.A. Big data в авиационной отрасли: варианты применения // Международный научно-исследовательский журнал. 2021. № 5(107), ч. 1. С. 6-9.

[40] Кротова Е.Л., Андреев P.A., Андреева П.А. Обзор методов статической и динамической кластеризации журналов событий безопасности // Международный научно-исследовательский журнал. 2021. № 4(106), ч. 1. С. 32-34.

[41] Лумельский Я.П., Сапожников П.И. Несмещённые оценки для плотностей распределений // Теория вероятностей и её применения. 1969. Т. 14, Вып. 2. С. 372-380.

[42] Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Физматлит, 1995.

[43] Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1985.

[44] Орлов А.И. О влиянии погрешности наблюдений на свойства статистических процедур (на примере гамма-распределения) // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1988. С. 45-49.

[45] Осипович А.Э., Кротова Е.Л., Полшков A.B. Модель нарушителя автоматизированной системы // Автоматизированные системы управления и информационные технологии: материалы краев, науч.-техн. конф. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. С. 140-144.

[46] Осколков A.A., Матвеев Е.В., Безукладников И.И., Трутников Д.Н., Кротова Е.Л. Передовые технологии аддитивного производства металлических изделий // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Машиностроение, материаловедение. 2018. Т. 20, № 3. С. 90-105.

[47] Патент 2494846 Российская Федерация, МПК В23К 15/00. Способ электронно-лучевой сварки / Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Му-сихин H.A. и др. ; заявитель и патентообладатель Перм. нац. ис-след. политехи, ун-т. - № 2012151425/02 ; заявл. 30.11.2012 ; опубл. 10.10.2013, Бюл. № 28.

[48] Патент 2580266 Российская Федерация, МПК В23К 15/00. Устройство для определения плотности энергии и контроля фокусировки электронного пучка / Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Пермяков Г.Л. и др. ; заявитель и патентообладатель Перм. нац. исслед. политехи. ун-т. 2015144925/02 ; заявл. 15.10.2015 ; опубл. 14.03.2016, Бюл. № 8.

[49] Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. М.: Наука, 1967.

[50] Прохоров A.B. Бета-распределение // Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977. С. 525-526.

[51] Прохоров A.B. Гамма-распределение // Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977. С. 892-894.

[52] Сапожников П.Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистиков // Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1993. С. 100-116.

[53] Сапожников П.Н. Алгебраические методы оптимального статистического оценивания. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1997.

[54] Сапожников П.Н. Максимальные инварианты в теории оптимального оценивания // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 1997. Вып. 1. С. 115-124.

[55] Сапожников П.Н. Проверка гипотез о типе предельного распределения обобщённых процессов Кокса // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, Вып. 1. С. 314-315.

[56] Сапожников П.Н., Кротова Е.Л. Критерий согласия предельного распределения с нормальным против устойчивой смеси нормальных // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, Вып. 1. С. 133.

[57] Савочкин А.И., Кротова Е.Л., Савочкина А.А. Функционал программного обеспечения для реализации модифицированного метода оценки эффективности мероприятий по снижению рисков и вреда для здоровья населения // Научный аспект. 2024. Т. 18, № 5. С. 2470-2478.

[58] Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды. М.: Наука, 1970.

[59] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2024665102 «Математическая модель для непланарного прототипирования». Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 27 июня 2024 г.

[60] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2025691148 «РШн^СЬевй - Разработка программного обеспечения формирования цифровых баз данных динамичного напол-

нения при обработке геолого-промысловой информации для программной реализации модели машинного обучения для прогнозирования забойного давления». - Заявка № 2025690985 ; дата поступления 13 ноября 2025 г. ; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 13 ноября 2025 г.

[61] Сорокин A.C., Бондарев В.Ю., Кротова Е.Л. Создание и обучение искусственной нейронной сети для статистического оценивания данных // Вестник УрФО. Безопасность в информационной сфере. 2016. № 2(20). С. 29-32.

[62] Сорокин A.C., Бондарев В.Ю., Кротова Е.Л. Искусственные нейронные сети. Подготовка входных и обработка выходных данных // Инновационные технологии: теория, инструменты, практика: материалы VIII Междунар. интернет-конф. молодых ученых, аспирантов, студентов. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2017. С. 234-236.

[63] Сорокин A.C., Бондарев В.Ю., Кротова Е.Л. Использование искусственных нейронных сетей для прогнозирования данных // Инновационные технологии: теория, инструменты, практика: материалы VIII Междунар. интернет-конф. молодых ученых, аспирантов, студентов. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2017. С. 237-241.

[64] Субботин Ю.Н. Бернулли числа // Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1977. С. 495-496.

[65] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Беленький В.Я., Рассохин К.А. Вейвлет-анализ сигналов вторичного тока в плазме над областью электронно-лучевой сварки // Технологии и оборудование ЭЛС-2011: докл. С.-Петерб. Междунар. науч.-техн. конф. Санкт-Петербург: Изд-во Политехи, ун-та, 2011. С. 271-279.

[66] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Мусихин H.A. The inverse problem of reconstruction of the shape of the keyhole by secondary X-ray signal // Beam Technologies & Laser Application: Abstr. of papers and Program of the VIII Intern, sei. and techn. Conf. Saint-Petersburg: Publishing house SPbSPU, 2015. P. 39.

[67] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Мусихин Н.А. Постановка обратной задачи реконструкции формы канала проплавления по вторично-эмиссионным сигналам // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 6, ч. 2. С. 272-280.

[68] Трутников Д.И., Кротова Е.Л., Мусихин Н.А. Численное моделирование формирования сигнала вторичного рентгеновского излучения при ЭЛС // Электронно-лучевая сварка и смежные технологии: сб. материалов и докл. Москва: Изд-во МЭИ, 2015. С. 93-104.

[69] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Мусихин Н.А. EBW process control on the basis of solving the inverse problem of the keyhole form reconstruction // Electrotechnica & Electrónica E+E. 2016. Vol. 51, № 5-6. P. 86-91.

[70] Трутников Д.Н., Кротов Л.Н., Кротова Е.Л., Мусихин Н.А. Реконструкция формы канала проплавления при электронно-лучевой сварке по параметрам проникающего рентгеновского излучения. I. Постановка обратной геометрической задачи // Дефектоскопия. 2016. № 10. С. 34-41.

[71] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Колева Е. Use of a secondary current sensor in plasma during electron beam welding with focus scanning for process control // Journal of Sensors. 2016. Vol. 2016. Art. ID 5302681. 13 p.

[72] Трутников Д.Н., Мусихин H.A., Пермяков Г.Л., Кротова Е.Л., Са-уседо З.Р. Algebraic Reconstruction of Beam's Spatial Characteristics in Electron Beam Welding // Russian Engineering Research. 2023. Vol. 43, № 4. P. 474-478.

[73] Трутников Д.Н., Кротова Е.Л., Стариков С.С., Мусихин Н.А., Ва-рушкин С.В., Матвеев Е.В. Метод решения обратной задачи восстановления поверхности при электронно-лучевой обработке материала // ВМСППС'2023. Москва: Изд-во МАИ, 2023. С. 606-608.

[74] Уразбаева Ю.В., Кротова Е.Л. Нейронные сети для обнаружения злоумышленника в АРС // Вестник УрФО. Безопасность в информационной сфере. 2021. № 3(41). С. 5-11.

[75] Хьюбер П. Дж. Робастное оценивание параметра сдвига / Пер. с англ. // Анналы математической статистики. - 1964. - Т. 35, № 1. - С. 73-101.

[76] Черепанов A.A., Кротова Е.Л., Кротов Л.Н. Постановка и решение обратной геометрической задачи магнитостатики для магнитной дефектоскопии // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16, Вып. 4. С. 727-728.

[77] Черепанов A.A., Кротов Л.Н., Кротова Е.Л. Математическое моделирование определения глубины поверхностных дефектов при магнитном контроле // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18, Вып. 2. С. 342-343.

[78] Черепанов A.A., Кротов Л.Н., Кротова Е.Л. Определение глубины центра внутренних круговых цилиндрических дефектов методом магнитной дефектоскопии // Естественные и технические науки. 2013. № 6(68). С. 437-441.

[79] Черепанов A.A., Кротов Л.Н., Кротова Е.Л. Математическое моделирование определения геометрических параметров внутренних дефектов различных форм методом магнитной дефектоскопии // Перспективы науки. 2013. № 12(51). С. 60-63.

[80] Шейнин О.Б. Теория вероятностей : ист. очерк / - Берлин : NG Verl., 2011. - 329 е.; 24 см.; ISBN 3-938417-21-8

[81] Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1, Вып. 5. С. 780-820.

[82] Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. Т. 2, Вып. 4. С. 545-548.

[83] Anderson T.W., Darling D.A. A Test of Goodness of Fit // Journal of the American Statistical Association. 1993. Vol. 49. P. 765-769.

[84] Bachelier L. Théorie de la spéculation // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1900. V. 17. P. 21-86.

[85] Bach F.R. and Jordan M.I. Kernel independent component analysis. Journal of MachineLearning Research, 3:1 - 48, 2002

[86] Bain L.J., Engelhardt M. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. 2nd ed. Boston: Cengage Learning, 2011. 672 p.

[87] Bain, L. J., Engelhardt, M. (1991). Statistical analysis of reliability and life-testing models: theory and methods. Journal of Quality Technology, 23(4), 371-372. DOI: 10.1080/00224065.1991.11979358

[88] Bening V.E., Korolev V.Yu. On approximations to generalized Poisson processes // Journal of Mathematical Sciences. 1997. V. 83, N 3. P. 360-373.

[89] Bening V.E., Korolev V.Yu. On approximations to generalized Cox processes // Probability Theory and Mathematical Statistics: Proceedings of the Seventh Vilnius Conference. Utrecht: VSP, 1998.

[90] Bening V.E., Korolev V.Yu. Asymptotic behavior of generalized non-ordinary Cox processes // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Third Petrozavodsk Conference. Utrecht: VSP, 1997. P. 111-129.

[91] Bernoulli J. Ars Conjectandi. Basel: Thurnisius, 1713. 304 p.

[92] Betancourt M. A Conceptual Introduction to Hamiltonian Monte Carlo // arXiv: 1701.02434. 2018.

[93] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. 1973. V. 81, N 3. P. 637-654.

[94] Blei D.M., Kucukelbir A., McAuliffe J.D. Variational inference: A review for statisticians // Journal of the American Statistical Association. 2017. Vol. 112, № 518. P. 859-877.

[95] Bollerslev T. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. V. 31, N 3. P. 307-327.

[96] Bolshev L.N. Cluster analysis // Bulletin of the International Statistical Institute. 1969. V. 43, Book 2. P. 143-156.

[97] Bowman K.O. Sample size requirement: continuation. Washington, 1971.

[98] Brooks S., Gelman A., Jones G., Meng X.-L. (eds.) Handbook of Markov Chain Monte Carlo. Boca Raton: Chapman Hall/CRC, 2011. 592 p.

[99] Casella G., Berger R.L. Statistical Inference. 2nd ed. Pacific Grove: Duxbury, 2002. 660 p.

[100] Chandra P. Demography, Goyal Publishing house,Subhash Market Merat, first edition, 1977-78

[101] Chen P., et al. Statistical inference for three-parameter gamma distribution with applications to fatigue life data // Reliability Engineering and System Safety. 2021. Vol. 215. P. 107-120.

[102] Chopin N., Papaspiliopoulos O. An Introduction to Sequential Monte Carlo. Springer, 2020. 250 p.

[103] Cohen A.C. Truncated and Censored Samples: Theory and Applications. New York: Marcel Dekker, 1991. 352 p.

[104] Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman Hall/CRC, 2004.

[105] Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: A simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. V. 7, N 3. P. 229-263.

[106] Cox D.R., Oakes D. Analysis of Survival Data. London: Chapman Hall, 2000. 212 p.

[107] N. Dalai and B. Triggs, "Histograms of oriented gradients for human detection,"2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), San Diego, CA, USA, 2005, pp. 886-893 vol. 1, doi: 10.1109/CVPR.2005.177.

[108] Dudley R.M. Real Analysis and Probability. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 555 p.

[109] Efron B., Tibshirani R.J. An Introduction to the Bootstrap. New York: Chapman Hall, 1994. 456 p.

[110] Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, 1997.

[111] Engle R.F. Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation // Econometrica. 1982. V. 50, N 4. P. 987-1007.

[112] Fama E.F., Roll R. Parameter estimates for symmetric stable distributions // Journal of the American Statistical Association. 1971. V. 66. P. 331-338.

[113] Feller, W. "An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II"(1971)

[114] Ferguson T.S. A Course in Large Sample Theory. London: Chapman Hall, 1996. 247 p.

[115] Feuerverger A., McDunnough P. On the Efficiency of Empirical Characteristic Function Procedures // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological). - 1981. - Vol. 43, No. 1. - P. 20-27.

[116] Fisher R.A. Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver and Boyd, 1925. 356 p.

[117] Gauss C.F. Theoria Motus Corporum Coelestium. Hamburg: Perthes et Besser, 1809. 320 p.

[118] Gelman A., Carlin J.B., Stern H.S., Rubin D.B. Bayesian Data Analysis. 2nd ed. Boca Raton: Chapman Hall/CRC, 2003. 668 p.

[119] Gelman A., Vehtari A., Simpson D., Margossian C.C., Carpenter B., Yao Y., Kennedy L., Gabry J., Burkner P.-C., Modrak M. Bayesian Workflow // Journal of the Royal Statistical Society: Series A. 2020. Vol. 183. P. 1-35.

[120] Geyer C. J. Practical Markov Chain Monte Carlo // Statistical Science. - 1992. - Vol. 7, No. 4. - P. 473-483.

[121] Ghanem R., Higdon D., Owhadi H. (eds.) Handbook of Uncertainty Quantification. Cham: Springer, 2017. 3207 p.

[122] Ghanem R., Owhadi H., Soize C. Handbook of Uncertainty Quantification for Engineering and Science. 2nd ed. Springer, 2021. 3500 p.

[123] Gorbunov J.A., Krotov L.N., Krotova E.L. Detection of an intruder in an information system through the check of statistic hypotheses by certain statistic criteria // World Applied Sciences Journal. 2014. Vol. 29, № 12. P. 1611-1614.

[124] Gorbunov J.A., Krotov L.N., Krotova E.L. Legitimate user profiling based on the third order Spline approximation of the initial data sequence // World Applied Sciences Journal. 2014. Vol. 29, № 12. P. 1605-1610.

[125] Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes // Lecture Notes in Mathematics. 1976. V. 529.

[126] Griffin J.E. An adaptive truncation method for inference in Bayesian nonparametric models // Statistics and Computing. 2020. Vol. 30. P. 687-702.

[127] Gupta A.K., Nadarajah S. Handbook of Gamma and Related Distributions. New York: Chapman Hall/CRC, 2010. 384 p.

[128] Hallinan, A. J. (1993). A review of the gamma distribution.Communications in Statistics - Theory and Methods, 22(4), 973-998.

[129] Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction. 2nd ed. New York: Springer, 2009. 745 p.

[130] Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. 7th ed. Prentice Hall, 2009.

[131] Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2nd ed. New York: Wiley, 1994. 756 p.

[132] Kaipio J., Somersalo E. Statistical and Computational Inverse Problems. New York: Springer, 2005. 340 p.

[133] Kaipio J., Somersalo E. Statistical Inverse Problems: Discretization, Model Reduction and Inverse Crimes. 2nd ed. Springer, 2019. 350 p.

[134] Kalbfleisch J.D., Prentice R.L. The Statistical Analysis of Failure Time Data. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2011. 487 p.

[135] Klein J.P., Moeschberger M.L. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. 2nd ed. New York: Springer, 2003. 536 p.

[136] Kolmogorov A.N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer, 1933. 262 p.

[137] Kozek A. Construction of UMV estimators and some problems of partial differential equations // Transactions of the 7th Prague Conference on Information Theory, Statistical Decision Functions, Random Processes. 1978. P. 279-290.

[138] Krotova E.L., Sapozhnikov P.N. Approximation to UMVU estimators of the gamma distribution // Journal of Mathematical Sciences. 2005. Vol. 126, № 1. P. 947-954.

[139] Krotova E.L., Varushkin S.V., Starikov S.S., Musikhin N.A., Rozhkov K.A., Trushnikov D.N. Dependence of Signal from Continuous X-ray Sensor on Values of Technological Parameters in Hybrid Additive Process of Electron Beam Surfacing by Wire // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2022. Vol. 58, № 7. P. 574-582.

[140] Krotova E., Urazbaeva Y. Estimation of the Intensity Model Coefficient of the Emerging Breaking Radiation // Networked Control Systems for Connected and Automated Vehicles Vol. 1 / A. Cham: Springer, 2023. P. 1017-1024. (Lecture Notes in Networks and Systems; Vol. 509).

[141] Krotova E., Urazbaeva Y. Statistical Models for Intruder Detection in a Distributed Automated System // Networked Control Systems for Connected and Automated Vehicles Vol. 1 Cham: Springer, 2023. P. 1025-1033. (Lecture Notes in Networks and Systems; Vol. 509).

[142] Krotova E.L., Savochkina A.A. Bayesian Methods, Markov Chain Monte Carlo (MCMC) and Fuzzy Logic in Complex Mathematical Models: A Review of Applications // Russian Engineering Research. 2026. № 1. P. 72-86.

[143] Laplace P.-S. Théorie Analytique des Probabilités. Paris: Courcier, 1812. 464 p.

[144] Lawless J.F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2nd ed. Hoboken: Wiley, 2003. 630 p.

[145] Lehmann E.L., Casella G. Theory of Point Estimation. 2nd ed. New York: Springer, 2005. 589 p.

[146] Li X., et al. Non-Gaussian stochastic modeling in fluid dynamics: A stable distribution approach // Journal of Fluid Mechanics. 2022. Vol. 945. P. 1-35.

[147] Lo A.W., MacKinlay A.C. Stock market prices do not follow random walks: Evidence from a simple specification test // The Review of Financial Studies. 1988. V. 1, N 1. P. 41-66.

[148] McLachlan, G.J., Peel D. Finite Mixture Models.2000 John Wiley and Sons, Inc. Book Series:Wiley Series in Probability and Statistics

[149] Mathiesen, M. Goda, Y. Hawkes, P.J. Mansard, E. Martin, M.J. Peltier, E. Thompson, E.F. and van Vledder, G. (1994). Recommended Practice for Extreme Wave Analysis. Jnl of Hydraulic Research. IAHR. Vol 32 No. 6. pp 803 - 814.

[150] Matthies H.G., Keese A. Galerkin methods for linear and nonlinear elliptic stochastic partial differential equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2005. Vol. 194. P. 1295-1331.

[151] McVinish R., Mengersen K. Nonparametric Bayesian inference for the gamma process // Bayesian Analysis. 2022. Vol. 17, № 1. P. 1-28.

[152] Support vector machines speed pattern recognition - Vision Systems Design. Vision Systems Design.

[153] Meeker W.Q., Escobar L.A. Statistical Methods for Reliability Data. New York: Wiley, 1998. 680 p.

[154] Merton R.C. Theory of rational option pricing // The Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. V. 4, N 1. P. 141-183.

[155] Musikhin N.A., Trushnikov D.N., Krotova E.L. Direct problem formulation of the secondary X-ray signal formation at electron-beam welding with oscillation // Материалы V Междунар. науч. конф. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2016. С. 50-54.

[156] Nadar a jah S., Gupta АК. Некоторые двумерные гамма-распределения. Applied Mathematics Letters.2006, том 19, страницы 767-774.

[157] Neal R.M. МСМС Using Hamiltonian Dynamics // Handbook of Markov Chain Monte Carlo. 2011. P. 113-162.

[158] Neyman J., Pearson E.S. On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypotheses // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. 1933. Vol. 231. P. 289-337.

[159] Nolan J.P. Stable Distributions: Models for Heavy-Tailed Data. Birkhausen 2020. 350 p.

[160] Oden J.T., et al. Predictive Computational Science: Computer-Based Modeling in the Presence of Uncertainty // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2010. Vol. 81. P. 1282-1292.

[161] Osti A., et al. Advanced Bayesian methods for reliability assessment in mechanical engineering // Mechanical Systems and Signal Processing. 2022. Vol. 168. P. 108-125.

[162] Park B. U., Marron J. S. Comparison of Data-Driven Bandwidth Selectors // Journal of the American Statistical Association. - 1990. -Vol. 85, No. 409. - P. 66-72.

[163] Pearson, Karl (1900). "On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling"

[164] Permyakov G.L., Trushnikov D.N., Musikhin N.A., Krotova E.L., Fu Y.S. Device for Determining Beam Characteristics in Electron-Beam Welding // Russian Engineering Research. 2023. Vol. 43, № 3. P. 325-328.

[165] Rao C.R. Linear Statistical Inference and Its Applications. 2nd ed. New York: Wiley, 1973. 625 p.

[166] Robert C.P., Casella G. Monte Carlo Statistical Methods. 2nd ed. New York: Springer, 2004. 645 p.

[167] Robert C. P., Casella G. Monte Carlo Statistical Methods. - 2nd ed. -New York : Springer, 2004. - 649 p.

[168] Robert C.P., Casella G. Introducing Monte Carlo Methods with R. 2nd ed. New York: Springer, 2022. 300 p.

[169] Rue H., Martino S., Chopin N. Approximate Bayesian inference for latent Gaussian models by using integrated nested Laplace

approximations // Journal of the Royal Statistical Society: Series B. 2009. Vol. 71, № 2. P. 319-392.

[170] Samorodnitsky, G., Taqqu, M. S. Stable Non-Gaussian Random Processes. 1994

[171] Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. P. 13-31.

[172] Schervish M.J. Theory of Statistics. New York: Springer, 1995. 724 p.

[173] Serfling R.J. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: Wiley, 2009. 371 p.

[174] Shapiro S.S., Wilk M.B., Chen H.J. A comparative study of various tests for normality // Journal of the American Statistical Association. 1968. V. 63. P. 1343-1372.

[175] Shao J. Mathematical Statistics. 2nd ed. New York: Springer, 2003. 592 p.

[176] Shiryaev A.N. Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. World Scientific, 1999.

[177] Smith R.C. Uncertainty Quantification: Theory, Implementation, and Applications. 2nd ed. SIAM, 2023. 400 p.

[178] Soize C. Uncertainty Quantification: An Accelerated Course with Advanced Applications in Computational Engineering. Cham: Springer, 2017. 330 p.

[179] Soize C. Probabilistic Modeling of Uncertainties in Computational Engineering. Springer, 2020. 300 p.

[180] Stuart A.M. Inverse Problems: A Bayesian Perspective // Acta Numerica. 2010. Vol. 19. P. 451-559.

[181] Stuart A.M. Inverse Problems: From Regularization to Bayesian Inference. Cambridge University Press, 2019. 400 p.

[182] Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation. Philadelphia: SIAM, 2005. 342 p.

[183] Teicher H., Identifiability of mixtures. The Annals of Mathematical Statistics, 1961, 32(l):244-248

[184] Teicher H., Identifiability of nite mixtures.The Annals of Mathematical Statistics. 1963 страницы 1265-1269

[185] Trushnikov D., Krotova E., Musikhin N. EBW process control on the basis of solving the inverse problem of the keyhole form reconstruction // Electrotechnica Electrónica E+E. 2016. Vol. 51, № 5-6. P. 86-91.

[186] Trushnikov D.N., Krotov L.N., Krotova E.L., Musikhin N.A. Reconstructing the Melting Channel Shape in Electron-Beam Welding from the Parameters of Penetrating X-Ray Radiation. Part I. Posing Inverse Geometrical Problem // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2016. Vol. 52, № 10. P. 576-582.

[187] Trushnikov D., Krotova E., Koleva E. Use of a secondary current sensor in plasma during electron beam welding with focus scanning for process control // Journal of Sensors. 2016. Vol. 2016. Art. ID 5302681. 13 p.

[188] Trushnikov D.N., Musikhin N.A., Permyakov G.L., Krotova E.L., Saucedo Z.R. Algebraic Reconstruction of Beam's Spatial Characteristics in Electron Beam Welding // Russian Engineering Research. 2023. Vol. 43, № 4. P. 474-478.

[189] Trushnikov D.N., Krotova E.L., Starikov S.S., Musikhin N.A., Varushkin S.V., Matveev E.V. Solving the inverse problem of surface reconstruction during electron beam surfacing // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2023. Vol. 59, № 2. P. 240-250.

[190] Uchaikin, V. V., Zolotarev, V. M. Chance and Stability: Stable Distributions and Their Applications. 1999

[191] Van der Vaart A.W. Asymptotic Statistics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 443 p.

[192] Vapnik V.N. The Nature of Statistical Learning Theory. New York: Springer, 1995. 314 p.

[193] Varushkin S., Trushnikov D., Krotova E., Musikhin N., Bogdanov N. Reconstruction of the Penetration Channel Shape in Electron Beam Welding Using Penetrating X-Rays // Osaka: JWRI Osaka Univ., 2016. P. 81-82.

[194] Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. 1977. V. 5, N 2. P. 177-188.

[195] Vehtari A., Gelman A., Simpson D., Carpenter B., Burkner P.-C. Rank-normalization, folding, and localization: an improved R for assessing convergence of MCMC // Bayesian Analysis. 2021. Vol. 16, № 2. P. 667-718.

[196] Wang H., et al. Machine learning enhanced Bayesian inference for parameter estimation in complex mechanical systems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2024. Vol. 125, № 1. P. 45-67.

[197] Yakowitz, S. and J. Spragins. (1968). On the identifiability of finite mixtures. Ann. Math. Statist.39, 209-214.

[198] Zhang Y., et al. Bayesian hierarchical modeling for multi-scale mechanical systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2023. Vol. 405. P. 115-130.