Теория и методы решения обратных задач Стефана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Гольдман, Наталия Львовна

• Гольдман, Наталия Львовна
• доктор физико-математических наук
• 2000

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория и методы решения обратных задач Стефана»

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1 ПОСТАНОВКИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПРОБЛЕМЫ СТЕФАНА

§ 1.1 Классификация некорректно поставленных обратных задач Стефана и области их применения.

§ 1.2 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы

Стефана при заданном фронте фазового перехода.

§ 1.3 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы

Стефана при неизвестном фронте фазового перехода . . . . § 1.4 Граничные обратные задачи для двухфазной проблемы Стефана .

§ 1.5 Коэффициентные обратные задачи Стефана.

2 РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ МЕТОД ВАРИАЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 2.1 Построение приближенных решений на основе метода квазирешений.

§ 2.2 Устойчивость приближенных решений.

§ 2.3 Дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана.

3 АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 3.1 Принципы построения алгоритмов.

§ 3.2 Численное решение однофазных обратных задач Стефана с заданным фронтом фазового перехода. Определение граничных режимов для непрерывного литья слитков. . . . § 3.3 Алгоритмы дескриптивной регуляризации для граничных обратных задач Стефана с неизвестным фазовым фронтом § 3.4 Численное решение коэффициентных обратных задач

Стефана. Расчет интенсивности лазерных источников . . .

СВОЙСТВА ОПЕРАТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА

§ 4.1 О корректности прямых постановок в классах Гельдера квазилинейных краевых задач в областях с подвижными границами.

§ 4.2 Априорные оценки норм Гельдера для дифференциально-разностных аналогов линейных параболических уравнений .

§4.3 Однозначная разрешимость в классах Гельдера дифференциально-разностных аналогов квазилинейных краевых задач.

§4.4 Существование, единственность и устойчивость решения в классах Гельдера прямой квазилинейной проблемы

Стефана общего вида.

ПРИЛОЖЕНИЕ .

ЛИТЕРАТУРА .

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Такие задачи возникают при изучении многих нелинейных теплофизических, диффузионных и других процессов в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов обработки материалов и современных образцов техники. Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования сложных нестационарных нелинейных процессов с фазовыми переходами.

В диссертации с единых позиций рассматриваются граничные и коэффициентные обратные задачи, состоящие в определении граничных функций и правой части уравнения для проблемы Стефана при наличии того или иного вида информации о решении прямой задачи. Значительная трудоемкость решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности, которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно погрешностей входных данных, требует разработки специальных регуля-ризирующих методов и вычислительных алгоритмов.

Оснополагающие принципы регуляризации некорректно поставленных задач заложены в работах А.Н. Тихонова [100, 101, 102, 103], В.К. Иванова [58] и М.М. Лаврентьева [65] (см. также [106]). Среди других авторов, внесших существенный вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач и в построение конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить В.Я. Арсенина, A.B. Бакушинского, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.И. Дмитриева, A.C. Ильинского, A.C. Леонова, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, А.Г. Яголу, D.L. Phillips, R.L. Lattes, J.-L. Lions. Библиографию можно найти, например, в [6, 26, 70, 76, 82, 103, 104, 105, 107, 108, 117, 190, 191].

Целый ряд исследований, посвященный некорректным обратным задачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, J.R. Cannon, К.-П. Hoffmann, J.-L. Lions и с созданными ими научными школами.

Характерной чертой обратных задач является требование определить по некоторой дополнительной информации коэффициенты уравнения, начальные или граничные функции, считающиеся заданными в классической постановке задачи (обычно называемой "прямой задачей").

Не имея, к сожалению, возможности из-за обширности списка работ перечислить их, ограничимся ссылками на работы [60, 66, 70, 71, 94, 99, 103, 136, 179] как на наиболее близкие к теме диссертации.

Одно из ведущих направлений исследований связано с обратными задачами для параболических уравнений. Из значительного числа публикаций отметим работы О.М. Алифанова [3, 4, 116], Н.Я. Безнощенко [8], П.Н. Вабищевича [95], В.Б. Гласко [30], A.M. Денисова [55], А.Д. Искендерова [61], И.В. Музылева [81], А.И. Прилепко, А.Б. Костина, Д.Г. Орловского и В.В. Соловьева [86, 87, 88], A. Lorenzi [171], M. Yamamoto [193], см. также [121, 169]. Вопросы приложения теории обратных задач для параболических уравнений в различных областях техники рассматриваются в работах О.М. Алифанова [2], J.V. Beck [11], Е. Hensel [153], JI.A. Коздобы [63], А.Г. Темкина [98], там же можно найти обзор таких работ. Дополнительные ссылки см. также в [128, 134, 135, 164, 170].

Гораздо слабее освещены в литературе обратные задачи Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических уравнений со свободной границей. Изучение этого круга проблем началось с обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным движением фазовой границы, которые близки к нехарактеристическим задачам Коши (Б.М. Будак, В.Н. Васильева [15], R.L. Lattes, J.-L. Lions [70], J. Bell [119], К.-H. Hoffmann [155], P. Knabner [165], B. Sherman [187]). Теория и методы решения нехарактеристических задач Коши хорошо разработаны (А.Н. Тихонов [99], Е.М. Ландис [68, 69], О.М. Алифанов [3, 116], J.R. Cannon [122, 124, 125, 126], R.E. Ewing [138, 139], L.E. Payne [178], С. Pucci [181, 182]) и достаточно широко используются при изучении обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным фазовым фронтом, см., например [127, 133, 166, 167, 168, 183, 189].

Некоторые вопросы оптимального управления, а также ряд других проблем, связанных с задачами Стефана для простейшего уравнения теплопроводности и линейного параболического уравнения, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, исследованы Ф.П. Васильевым [24], И.И. Данилюком [54], А.Д. Юрием [115], H.W. Engl [137], A. Fasano [140], К.-Н. Hoffmann [154, 156, 158, 159], P. Jochum [160, 161, 162], M. Niezgodka [174], M. Primicerio [180]. Упомянем также работы [1, 56, 73, 118, 143, 175, 185, 186, 192].

Использование во многих известных исследованиях обратных задач Стефана методов, основанных на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами (например, метод квазиобращения и методы, использующие интегральное представление решения), ограничивает область их применения уравнениями указанных типов. Для расширения круга рассматриваемых проблем наибольший интерес представляет развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана, предложенного Б.М. Будаком и В.Н. Васильевой [15]. Такой подход для квазилинейного параболического уравнения был впервые применен автором в [36] при изучении граничной обратной задачи Стефана с заданным фазовым фронтом.

Тем не менее квазилинейные обратные задачи Стефана еще мало изучены, хотя потребности математического моделирования и управления сложными нестационарными процессами, в особенности высокотемпературными процессами с фазовыми переходами, делают актуальным это направление исследований. Целью настоящей работы является развитие теории и методов решения этого нового класса некорректных задач и разработка эффективных регуляризирующих алгоритмов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Разработан общий подход в операторном виде к определению граничных функций и коэффициентов уравнения для широкого круга квазилинейных обратных задач Стефана, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, и при различных видах априорной информации о решении прямой проблемы Стефана. Для выбора "естественных функциональных пространств" при постановке обратных задач Стефана в виде нелинейного операторного уравнения установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Рассмотрены вопросы единственности точного решения обратных задач Стефана в выбранных пространствах Гельдера.

2. Предложен и обоснован регуляризирующий вариационый метод для приближенного решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана, устойчивый в выбранной топологии относительно погрешностей всех входных данных. Доказана дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода. Получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Это обеспечивает существенную экономию вычислительных затрат, так как позволяет преодолеть основную трудность, которая возникала ранее при применении регуляризирующих алгоритмов для обратных задач Стефана — необходимость многократного численного решения прямой проблемы Стефана при минимизации соответствующего функционала невязки, определенного на ее решениях.

3. Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенный метод. Отличительной особенностью алгоритмов является использование в них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера, наложенных на искомые функции (так называемая дескриптивная регуляризация), а также регуляризирующих свойств метода проекции сопряженных градиентов. Эффективность предложенных алгоритмов, обеспечивающих существенную экономию вычислительных затрат даже при значительных погрешностях входных данных, а также их универсальность в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана подтверждены целой серией численных экспериментов.

4. На основе алгоритмов проведено численное решение важных приложений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связанных с современными технологиями. Предлагаемые алгоритмы использованы для численного определения тепловых режимов для непрерывного литья слитков и для лазерной обработки материалов. Выявлена возможность расширить рамки применимости одномерных моделей тепло физических процессов за счет использования априорной информации о качественном поведении искомых тепловых режимов.

Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Перейдем к изложению содержания работы по главам.