Теория неравновесных флуктуаций в нормальных и сверхпроводящих металлических контактах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, доктор физико-математических наук Нагаев, Кирилл Эдуардович

• Нагаев, Кирилл Эдуардович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нагаев, Кирилл Эдуардович

Содержание

1 ВВЕДЕНИЕ

2 Кинетика флуктуаций в сверхпроводниках при частотах, малых по сравнению с энергетической щелью

2.1 Постановка задачи

2.2 Уравнения для флуктуаций и корреляторы сторонних потоков

2.3 Флуктуация напряжения на джозефсоновском контакте при токах, меньших критического

2.4 Флуктуации в джозефсоновских переходах в режиме насыщения стимуляции сверхпроводящего тока

3 Флуктуации в сверхпроводящих системах выше температуры перехода

3.1 Токовый шум в сверхпроводящих пленках выше Тс

3.1.1 Введение

3.1.2 Общие выражения для спектральной плотности шума

3.1.3 Регулярные поправки от электрического поля

3.1.4 Аномальные поправки по электрическому полю

3.1.5 Обсуждение результатов

3.2 Флуктуационная проводимость мезоскопических контактов сверхпроводник - нормальный металл

3.2.1 Введение

3.2.2 Основные уравнения

3.2.3 Контакт ^

3.2.4 Контакт ЯШ

4 Дробовой шум в нормальных металлических контактах с диффузионной проводимостью

4.1 Дробовой шум в диффузионных металлических контактах в отсутствие неупругого рассеяния

4.2 Влияние электрон-фононного рассеяния на дробовой шум в диффузионных контактах

4.3 Влияние электрон-электронного рассеяния на дробовой шум в диффузионных контактах

5 Дальнодействующее кулоновское взаимодействие и дробовой шум в диффузионных контактах при конечных частотах

5.1 Уравнение для флуктуаций плотности заряда

5.2 Контакт кругового сечения. Аналитические результаты

5.3 Плоский контакт. Численные результаты

5.4 Высокочастотный дробовой шум при наличии электрон -электронного взаимодействия

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

— 2 — Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория неравновесных флуктуаций в нормальных и сверхпроводящих металлических контактах»

ВВЕДЕНИЕ

Флуктуации, или шум, представляют собой случайные отклонения физических величин от их средних значений. Важнейшей характеристикой флуктуаций является их спектральная плотность, которая в случае не зависящих от времени средних величин согласно теореме Винера - Хинчина определяется выражением

&(/) = 2У </(* 1 - и) ехрМ*! - г2)](х(Ь)х(12)).

В термодинамическом равновесии источником флуктуаций является тепловое движение частиц. Спектральные плотности флуктуаций (СПФ) физических величин (например, тока или напряжения) в системах, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, выражаются с помощью флуктуационно-диссипационных соотношений через отклик системы на внешние возмущения и проблема вычисления СПФ сводится к проблеме расчета отклика. Например, СПФ тока в короткозамкнутом контакте выражается через его импеданс по формуле Найквиста

В неравновесных же физических системах вычисление и измерение СПФ представляют собой самостоятельную проблему. Во многих случаях неравновесная СПФ может давать информацию о физических процессах в системе, которую невозможно получить другими способами. -------

Микроскопическая теория неравновесных шумов в однородных твердых телах была построена в конце бОх годов. В основе одного из подходов к ней, разработанного Коганом и Шульманом, лежало уравнение Больцмана - Ланжевена для флуктуаций функции распределения электронов [1]. Альтернативный подход Ганцевича, Гуревича и Катилюса был основан на уравнениях для корреляционных функций флуктуаций [3]. Позднее была доказана эквивалентность этих двух подходов ( см. обзор [4]).

Примерно в это же время возник интерес к шумам в металлических контактах. Первоначально он был связан со сверхпроводящими контактами, поскольку шумы в них определяли ширину линии джозефсоновской генерации, что было важно как с точки зрения фундаментальной науки, так и практических приложений [9]. Однако шумовые свойства джозефсоновских контактов существенно зависели от механизма их проводимости и должны были в каждом случае рассматриваться отдельно. Наибольшие успехи были достигнуты для туннельных сверхпроводящих контактов. С помощью формализма туннельного гамильтониана в низшем приближении по туннельной прозрачности для них удалось построить микроскопическую теорию шума, который представляет собой суперпозицию теплового, дробового и квантового [5,6] (см. также обзор [7]). Иначе обстояло дело для контактов с непосредственной проводимостью, т. е. микромостиков и точечных контактов. До момента написания диссертации единственный способ описания шумов в них основывался на феноменологической резистивной модели [8], в которой источником флуктуаций являлся найквистовский (тепловой) шум нормального сопротивления

контакта. Однако эта модель полностью игнорировала неравновесные эффекты, которые играют важную роль в таких системах [19]. Кроме того, она давала существенно заниженные оценки шума и качественно неправильно описывала его температурную зависимость. Поэтому представляло интерес выяснить, какой шум создают в контактах с непосредственной проводимостью неравновесные эффекты. Для решения этой задачи в диссертации кинетическая теория [1] обобщается на случай неравновесных сверхпроводников и с ее помощью показывается, что при протекании ненулевого среднего тока через контакт возникают специфические для сверхпроводников механизмы флуктуаций, вклад которых в шум намного превосходит равновесный.

В кинетической теории [1,3] источником флуктуаций являлся случайный характер рассеяния электронов на примесях и фононах. Эти же процессы рассеяния квазичастиц являлись источником флуктуаций и в диссертации при описании шума в сверхпроводящих микромостиках. При этом флуктуации сверхпроводящего параметра порядка определялись исключительно флуктуациями функции распределения квазичастиц через уравнение самосогласования. Было, однако, интересно выяснить, какой вклад в неравновесный шум дают флуктуации, связанные с отклонением от условия самосогласования. Хорошо известно, что выше температуры сверхпроводящего перехода Тс эти флуктуации дают вклад в среднюю проводимость (парапроводимость) [10-12]. Поскольку напрашивалась аналогия между генерацией и рекомбинацией носителей заряда в полупроводниках и образованием и диссоциацией куперовских пар, было интересно микроскопически рассчитать шум в сверхпроводящих пленках выше Тс, создаваемый этими флуктуациями при наличии постоянного электрического поля, который является "аналогом" генерационно-рекомбинационного шума в сверхпроводниках.

Одним из фундаментальных видов неравновесного шума является дробовой шум, который связан с дискретностью переноса заряда. Если ток состоит из полностью некоррелированных между собой случайных импульсов, что имеет место, например, при вылете электронов из катода вакуумного диода, этот шум описывается формулой Шоттки

5/ = 2е|/|,

где I - средний ток через контакт. В отличие от теплового найквистовского, дробовой шум не является универсальным. Хорошо известно, например, что он отсутствует в макроскопических проводник&х-г С другой стороны, было известно, что для туннельных контактов между нормальными металлами он определяется формулой Шоттки [5,6]. Отсюда делался вывод, что дробовой шум исчезает в проводниках длиной много больше длины свободного пробега /. поскольку их можно рассматривать как последовательность большого числа туннельных контактов, разделенных промежутками / и для его наблюдения необходимо, чтобы падение напряжения на длине I было больше температуры (см., например, [8]).

Однако позднее выяснилось, что даже для микроскопических контактов дробовой шум зависит от их механизма проводимости. В 1984 г. Кулик и Омельянчук [14] получили, что в контактах с баллистической проводимостью (сужениях размерами меньше длины свободного пробега) он равен нулю. Несколько позднее Лесовиком [15] и Бюттикером [16] была получена общая формула для дробового шума при квантово-когерентном транспорте, которая содержала результаты для туннельного и баллистического контактов как предельные случаи. Основываясь на этой формуле, делались утверждения, что дробовой шум в контактах с малой длиной упругого свободного пробега также дается формулой Шоттки [17]. Поэтому возникал вопрос, каков дробовой шум в контактах с малой длиной упругого свободного пробега на самом деле и какая именно характерная длина отвечает за его подавление при увеличении размеров проводника. При этом было принципиально

важно использование квазиклассического приближения, поскольку только оно позволяло учесть различные виды неупругого рассеяния.

Важным вопросом при квазиклассическом подходе было влияние на шум дальнодей-ствующих кулоновских корреляций. Если в подходе Лесовика - Бюттикера сохранение электрического тока вытекало из когерентности волновой функции, то при учете неупругого рассеяния его приходилось выводить, учитывая кулоновские корреляции в явном виде. Высказывалось мнение, что именно они ответственны за подавление шума в макроскопических образцах [18]. Если так, то и шум в мезоскопических контактах должен был зависеть от эффектов экранирования кулоновского взаимодействия, т.е. от электростатического окружения этих контактов.

Диссертация состоит из шести глав, включая Введение и Заключение. В Главе 2 рассмотрен неравновесный шум в сверхпроводящих микромостиках с диффузионной проводимостью. В разд. 1 описана постановка задачи. В разд. 2 построена квазиклассическая теория шума в неравновесных сверхпроводниках на основе кинетического уравнения типа Ланжевена для функции распределения квазичастиц. В разд. 3 с его помощью вычислена СПФ напряжения в джозефсоновском микромостике при протекании тока меньше критического и проверено выполнение соотношения Найквиста. Далее, в разд. 4 вычисляется ширина линии джозефсоновской генерации в сверхпроводящих микромостиках в режиме самостимуляции сверхпроводящего тока с учетом флуктуаций числа неравновесных квазичастиц, запертых в области подавления энергетической щели. Показано, что эти флуктуации могут приводить к аномально большой ширине линии генерации. Результаты этой главы отражены в публикациях А1 - А4.

В Главе 3 рассматриваются флуктуации сверхпроводящего параметра выше температуры перехода. В разд. 1 микроскопически вычислен токовый шум, связанный с флуктуа-циями сверхпроводящего параметра (спонтанной генерацией и диссоциацией куперовских пар) выше Тс при наличии электрического поля. Оказывается, что непосредственный вклад куперовских пар в токовый шум на низких частотах отсутствует из-за компенсации разных эффектов от электрического поля. Ненулевой вклад в токовый шум от сверхпроводящих флуктуаций связан с их воздействием на проводимость нормальных электронов (вклад типа Маки - Томпсона). Этот вклад в шум для пленок обратно пропорционален времени сбоя фазы и может превосходить найквистовский в разумных электрических полях. В разд. 2 вычислены Также флуктуационные поправки к проводимости контактов . нормальный металл - сверхпроводник - нормальный металл (Б/Ы/З) и сверхпроводник -нормальный металл - сверхпроводник (Б/К/Э) выше Тс. Найдено, что в Т^/Б/И контактах как поправка Асламазова - Ларкина, так и Маки - Томпсона одного порядка и расходятся ниже точки объемного сверхпроводящего перехода по закону (Г — Т*)~1. Для контактов Б/МуЯ поправка Асламазова - Ларкина отсутствует, а поправка Маки - Томпсона существенна лишь для контактов короче длины сбоя фазы. Результаты этой главы отражены в публикациях А5 - Аб, А11.

В Главе 4 исследуется дробовой шум в нормальных мезоскопических контактах с помощью квазиклассического уравнения Больцмана - Ланжевена. В разд. 1 получено выражение для дробового шума через среднюю функцию' распределения электронов в контакте, зависящую от координат, и вычислен дробовой шум в отсутствие неупругого рассеяния. В разд. 2 функция распределения электронов и дробовой шум в контакте вычислены на основе уравнения диффузии при наличии электрон-фононного взаимодействия. В разд. 3 рассмотрен случай сильного рассеяния. Функция распределения электронов вычислена в приближении эффективной температуры на основе уравнения энергетического баланса. Дробовой шум в этом разделе вычисляется в отсутствие и при наличии электрон-фононного рассеяния.

Основным результатом Главы 4 является то, что дробовой шум в металлических контактах не исчезает, даже если их длина много больше упругой длины свободного пробега. Причиной этого шума является эффективный разогрев электронов в контакте электрическим полем. В отсутствие неупругого рассеяния дробовой шум в мезоскопических контактах с диффузионной проводимостью равен 1/3 от его значения для классичеко-го пуассоновского процесса. Квазиклассический подход дал возможность показать, что этот эффект не требует фазовой когерентности, и за его подавление в макроскопических образцах отвечает лишь энергетическая релаксация, а не любые процессы сбоя фазы. Другими словами, электрон-электронное рассеяние не подавляет дробовой шум, а неупругое электрон-фононное рассеяние подавляет. Более того, сильное электрон-электронное рассеяние даже увеличивает дробовой шум от 1 /3 до \/3/4 от пуассоновского значения. Напротив, рассеяние электронов на акустичеких фононах приводит к уменьшению дробового шума пропорционально обратной длине контакта в степени 2/5 как при наличии, так и в отсутствие электрон-электронного рассеяния. Результаты этой главы отражены в публикациях А 7 - А9.

Далее, в Главе 5 исследовано влияние эффектов кулоновской экранировки на дробовой шум при произвольных частотах. В разд. 1 вычисляется дробовой шум при конечных частотах в отсутствие неупругого рассеяния для разных геометрий контактов (разной степени внешнего экранирования). В разд. 2 высокочастотный дробовой шум вычислен для длинных экранированных контактов при наличии электрон-электронного взаимодействия произвольной силы. Получено, что дальнодействующие кулоновские корреляции и, следовательно, эффекты экранировки не влияют на низкочастотный дробовой шум. На конечных частотах шум существенно зависит от наличия внешнего экранирования. При ее отсутствии он не зависит от частоты, а в случае сильного внешнего экранирования высокочастотный дробовой шум стремится к полному пуассоновскому значению и может быть очень чувствительным к интенсивности электрон-электронного рассеяния. В частности, если это рассеяние описывается в рамках квазичастичной концепции Ландау, высокочастотный шум растет пропорционально напряжению на контакте в степени 4/3. На основе„_этих результатов предложен метод экспериментального определения параметров электрон-электронного рассеяния на основе шумовых измерений. Результаты этой главы отражены в публикациях А10, А12.

Глава 6 представляет собой Заключение. --------—

На защиту выносятся следующие положения:

1. В случае частот низких по сравнению с энергетической щелью и достаточно плавных пространственных изменений флуктуации в неравновесных сверхпроводниках описываются уравнениями Больцмана - Ланжевена, корреляторы сторонних потоков в которых пропорциональны сумме или разности соответствующих потоков рассеяния в интеграле столкновений.

2. В режиме самостимуляции сверхпроводящего тока при джозефсоновской генерации флуктуации напряжения на контакте определяются флуктуациями потока энергетической диффузии квазичастиц, которые в конечном счете вызваны случайностью их примесного рассеяния.

3. Токовый шум, связанный с флуктуациями сверхпроводящего параметра порядка в пленках выше Тс, обратно пропорционален времени сбоя фазы и может превосходить найквистовский в разумных электрических полях.

4. В контактах нормальный металл - сверхпроводник - нормальный металл как поправка Асламазова - Ларкина, так и Маки - Томпсона одного порядка и расходятся ниже

точки объемного сверхпроводящего перехода по закону (Г — Т*) 1.

5. В контактах сверхпроводник - нормальный металл - сверхпроводник поправка Асламазова - Ларкина отсутствует, а поправка Маки - Томпсона существенна лишь для контактов короче длины сбоя фазы

6. Дробовой шум в металлических контактах, длина которых много больше упругой длины свободного пробега, в отсутствие неупругого рассеяния равен 1/3 от шума классического пуассоновского процесса независимо от их конкретных параметров.

7. Сильное электрон-электронное рассеяние приводит к увеличению дробового шума в металлических контактах с малой длиной упругого свободного пробега от 1/3 до \/3/4 от пуассоновского шума.

8. Спонтанное испускание акустических фононов приводит к уменьшению дробового шума в контактах с диффузионной проводимостью пропорционально обратной длине контакта в степени 2/5.

9. В отсутствие неупругого рассеяния и при наличии сильного внешнего экранирования высокочастотный дробовой шум стремится к полному шуму пуассоновского процесса.

10. Если электрон-электронное рассеяние в контакте описывается в рамках квазичастичной концепции Ландау, высокочастотный шум в экранированных контактах растет пропорционально напряжению в степени 4/3.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:-----------

А1 К.Э. Нагаев, Равновесные флуктуации в коротких сверхпроводящих контактах с учетом конечного времени энергетической релаксации, ФНТ 12, No 12, стр. 12441247 (1986)

А2 Ш.М. Коган, К.Э. Нагаев, Кинетика флуктуаций в сверхпроводниках при частотах низких по сравнению с энергетической щелью, ЖЭТФ 94, No 3, стр. 262-277 (1988).

A3 К.Э. Нагаев, Низкочастотный отклик джозефсоновского контакта с непосредственной проводимостью, ФНТ 14, No 11, стр. 1153-1157 (1988).

А4 Sh.M.Kogan, K.E.Nagaev, The kinetics of fluctuations and the spectral density of noise in resistive states of superconductors, Proceedings of IX International Conference on Noise in Physical Systems Including 1/f Noise, Ed. by A. Ambrozi, 1990, Budapest, p. 129 -134.

A5 К.Э. Нагаев, Токовый шум в свехпроводниках выше Тс связанный с неупругим электронным рассеянием, Письма ЖЭТФ 52, No 5, стр. 912-915 (1990).

А6 К.Е. Nagaev, Theory of excess noise in superconductors above Tc, Physica С 184, Nos. 1-3, pp. 149-158 (1991).

A7 K.E. Nagaev, On the shot noise in dirty metal contacts, Phys. Lett. A 169, Nos. 1-2, pp. 103-107 (1992).

A8 K.E. Nagaev, Influence of electron-electron scattering on shot noise in diffusive contacts, Phys. Rev. В 52, No. 7, pp. 4740-4743 (1995).

A9 K.E. Nagaev, Effective electron temperature and the shot noise in diffusive mesoscopic contacts, Proceedings of the 13th International Conference on Noise in Physical systems and 1/f Fluctuations, ed. by V Bareikis and R.Katilius, 1995, Palanga, p. 53 - 56.

A10 K.E. Nagaev, Long-range Coulomb interaction and frequency dependence of shot noise in mesoscopic diffusive contacts, Phys. Rev. B 57, No. 8, pp. 4628-4634 (1998).

All A.F. Volkov, K.E. Nagaev, and R. Seviour, Fluctuation paraconductivity in mesoscopic superconductor - normal-metal contacts, Phys. Rev. B 57, No. 9, pp. 5450-5456 (1998).

A12 K.E. Nagaev, Frequency-dependent shot noise as a probe of electron-electron interaction in mesoscopic diffusive contacts, Phys. Rev. B 58, No. 12, pp. R7512-R7515 (1998).

Заключение диссертации по теме «Физическая электроника», Нагаев, Кирилл Эдуардович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как было показано выше, неравновесные эффекты являются определяющими для флуктуационных свойств нормальных металлических и сверхпроводящих микроконтактов при низких температурах. Механизм влияния этих эффектов различен для разных физических систем. Если для сверхпроводящих контактов неравновесный вклад в шум связан с большим временем релаксации неравновесных квазичастиц, то в контактах нормальных металлов он является результатом эффективного разогрева электронов полем. Результаты работы позволяют сделать следующие выводы:

1. В джозефсоновских контактах с непосредственной проводимостью флуктуации сверхпроводящей компоненты тока, вызванные флуктуациями неравновесного распределения квазичастиц, могут приводить к электрическому шуму, значительно превышающему тепловой шум нормальной компоненты тока.

2. Флуктуации сверхпроводящего параметра порядка не дают прямого вклада в избыточный шум выше Тс при наличии электрического поля, подобного генерационно-рекомбинационному шуму в полупроводниках. Тем не менее, они приводят к значительному избыточному шуму за счет модуляции проводимости нормальных электронов.

3. Дробовой шум в металлических контактах не исчезает, когда их длина становится много больше длины упругого свободного пробега. Этот шум, равный 1/3 07- шума классического пуассоновского процесса, является следствием эффективного разогрева электронов в контакте и имеет чисто классическое происхождение. В частности, он никак не связан с фазовой когерентностью электронов в контакте.

4. Различные неупругие процессы по-разному влияют на дробовой шум в микроконтактах в зависимости от того, сохраняют они полную энергию электронной системы или нет. Так, электрон-электронное взаимодействие увеличивает дробовой Шум из-за расширения интервала энергий, занятого частично заполненными состояниями в контакте и приводит к универсальному значению отношения 5//е|7| = 31/,2/2, которое имеет место как для трехмерных, так и для двумерных систем.

Противоположная ситуация имеет место в случае электрон-фононного рассеяния, которое отбирает энергию у электронов и стремится снизить их эффективную температуру до температуры решетки. Этот тип рассеяния подавляет дробовой шум и в конце концов приводит к тому, что он тонет в равновесном. Для длинных контактов неравновесный шум уменьшается с ростом длины медленнее, чем обратная длина.

5. Для невзаимодействующих электронов отношение 57/2е|/| = 1/3 при низких частотах не зависит ни от геометрии контакта, ни от его электростатического окружения. С ростом частоты это отношение стремится к конечному значению в интервале от

1/3 до 1 в зависимости от емкости контакта к земле. Насыщение шума наступает при частотах, много меньших обратного максвелловского времени. При наличии электрон-электронного взаимодействия это отношение может превосходить 1 и нелинейно зависит от напряжения.

Я благодарен моему учителю и соавтору Шулиму Мееровичу Когану, чье влияние определило мой интерес к неравновесным флуктуадиям. Я признателен моим соавторам А.Ф. Волкову и Р. Севиору за их вклад в работу и моим коллегам С.Н. Артеменко и А.Я. Шульману за интерес к работе, полезные обсуждения результатов и моральную поддержку.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нагаев, Кирилл Эдуардович, 1999 год

Литература

1. Ш. М. Коган, А. Я. Шульман, ЖЭТФ 56, 862 (1969).

2. Ш. М. Коган, А. Я. Шульман, ФТТ 16, 1119 (1970).

3. С. В. Ганцевич, В. Л. Гуревич, Р. Катилюс, ЖЭТФ 57, 503 (1969).

4. S. V. Gantsevich, V. L. Gurevich, and R. Katilius, Rivistadel Nuovo Chimento 2,1 (1979).

5. А. И. Ларкин, Ю. H. Овчинников, ЖЭТФ 53, 2159 (1967) !

6. A. J. Dahm, A. Denenstein, D. N. Langenberg, W. H. Parker, D. Rogovin, and D. J. Scalapino, Phys. Rev. Lett. 22, 1416 (1969)

7. D. Rogovin and D. J. Scalapino, Ann. Phys. 86, 1 (1974).

8. К. К. Лихарев, В. К. Семенов, Письма в ЖЭТФ 15, 625 (1972).

9. К. К. Лихарев, Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985.

10. Л. Г. Асламазов, А. И. Ларкин, ФТТ 10, 1106 (1968).

11. К. Maki, Progr. Theor. Phys. 40, 193 (1968).

12. R. Thompson, Phys. Rev. Bl, 327 (1970).

13. M. Koyanagi, Progr. Theor. Phys. 50, 740 (1973).

14. И. О. Кулик, A. H. Омельянчук, ФНТ 10, 307 (1984).

15. Г. Б. Лесовик, Письма в ЖЭТФ 49, 513 (1989).

16. М. Büttiker, Phys. Rev. Lett. 65, 2901 (1990) I

17. C.W.J. Beenakker and H. van Houten, Phys. Rev:. В 43, 12066 (1991). j

18. R. Landauer, Phys. Rev. В 47, 16427 (1993); Ann. N. Y. Acad. Sc. 755, 417 (1995); Physica В 227, 156 (1996).

19. Nonequilibrium Superconductivity, ed. by D.N. Langenberg and A.I. Larkin, Elsevier Sei. Publ. 1986.

!

20. Л. Г. Асламазов, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 70, 1340 (1976).

21. А. Г. Аронов, В. Л. Гуревич, ЖЭТФ 65, 1111 (1973); ФТТ 16, 2656 (1974).

22. A. G. Aronov, Yu. М. Galperin, V. L. Gurevich, and V. I. Kozub, Adv. Phys. 30, 539 (1981).

23. А. Г. Аронов, P. Катилюс, ЖЭТФ 68, 2208 (1975).

24. А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ 68, 1915 (1975)

25. А. И. Ларкин, Ю. Н. Овчинников, ЖЭТФ 73, 299 (1977).

26. А. Л. Шеланков, ЖЭТФ 78, 2359 (1980). |

27. A. Schmid, Non-equilibrium Superconductivity. Phonons and Kapitza Boundaries, NATO Adv. Institute Series, B.V. 65. Ed. by К. E. Gray, New York - London: Plenum Press, 1 (1981)

28. JI. Г. Асламазов, А. И. Ларкин, ЖЭТФ 74, 2184 (1978).

29. L. G. Aslamazov and A. F. Volkov, Nonequilibrium Superconductivity, Ed. by D. N. Langenberg and A. I. Larkin, В. V.: Elsevier Sei. Publ., 66 (1986).

30. S. K. Decker and J. E. Mercereau, Appl. Phys. Lett. 27, 466 (1975).

31. J. Mygind, W. F. Pedersen, О. H. Soerensen et al, Int Conf. ¡SQUID-1980, Conf.. digest, 139 (1980).

32. D. B. Schwartz, P. M. Mankiewich, A. K. Jain, and J. E. Luckens, IEEE Trans. Magn. MAG-17, 92 (1981).

33. D. B. Schwartz and J. E. Luckens, Proc. LT-16, Physica B+C 108, 1297 (1981).

34. Л. В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964).

35. Л. П. Горьков, Письма в ЖЭТФ 11, 52 (1970).

36. И. О. Кулик, ЖЭТФ 59, 584 (1970)

37. К. Kajimuraand N. Mikoshiba, Phys. Rev. Lett. 26, 1233 (1971).

38. H. Ebisava, Solid State Coramun. 45, 75 (1983).

39. J. Clarke and Т. V. Hsiang, Phys. Rev. В 13, 4790 (1976).

40. J. H. Lee, S. C. Lee, and Z. G. Khim, Phys. Rev. B40, 6806 (1989).

41. L. B. Kiss, P. Sveddlindh et al., Solid State Commun. 75, 747 (1990).

42. V.T. Petrashov, V.N. Antonov, P. Delsing, and T. Claeson, Phys. Rev. Lett. 70, 347 (1993); Phys. Rev. Lett. 74, 5268 (1995).

43. H. Pothier, S. Gueron, D. Esteve, and M.H. Devoret, Phys. Rev. Lett. 73, 2488 (1994).

44. P.G.N, de Vedgar, T.A. Fulton, W.H. Mallison, and R.E. Miller, Phys. Rev. Lett. 73, 1416 (1994).

45. H. Dimoulas, J.P. Heida, B.J. van Wees, T.M. Klapwijk, W. van der Graaf, and G. Borghs, Phys. Rev. Lett. 74, 602 (1992).

46. H. Courtois, Ph. Grandit, D. Maily, and B. Pannetier, Phys. Rev. Lett. 76, 130 (1996).

47. A.F. Volkov, N. Allsopp, and C.J. Lambert, J. Phys.: Condens. Matter 8, 45 (1996).

48. Yu. V. Nazarov and Т.Н. Stoof, Phys. Rev. Lett. 76, 823 (1996).

49. I.O. Kulik, ЖЭТФ 32, 510 (1971).

50. A. V. Zaitsev, ФТТ 26, 1619 (1984).

51. A.I. Larkin and Yu.N. Ovchinnikov, J. Low Temp. Phys. 10, 407 (1973).

52. A.F. Volkov, Phys. Lett. A 175, 445 (1993); Solid State Commun; 88, 715 (1993).

53. A.I. Larkin and Yu.N. Ovchinnikov, in Nonequilibrium Superconductivity, Eds.; D.N. Langenberg and A.I. Larkin, Elsevier, Amsterdam, 1986, p. 493.

54. A.I. Larkin, A.Varlamov, and L.Yu, Phys. Rev. B47, 8936 (1993). ' , 55. C.W.J. Beenakker and M. Buttiker, Phys. Rev. B46, 1889 (1992)

56. A. Shimizu and M. Yeda, Phys. Rev. Lett. 69, 1403 (1992).

57. M. Buttiker, Phys. Rev. В 45, 3807 (1992).

58. M. Buttiker, J. Math. Phys. 37, 4793 (1996).

59. B.JI. Альтшулер, Л.С. Левитов, А.Ю. Яковец, Письма в ЖЭТФ 59, 821 (1994).

60. А. N. Korotkov, D. V. Averin, К. К. Likharev, and S. A. Vasenko, in Single-Electron Tunneling and Mesoscopic Devices, edited by H. Koch and H. Liibbig (Springer-Verlag, Berlin, 1992), p. 45.

61. A. N. Korotkov, Phys. Rev. В 49, 10381 (1994).

62. В. L. Altshuler and A. G. Aronov, in Electron-electron Interactions in Disordered Systems, edited by A. L. Efros and M. Pollak (North-Holland, Amsterdam, 1985), p. 1.

63. Б.Л. Альтшулер, Д.Е. Хмельницкий, Письма в ЖЭТФ 42, 291 (1985)]

64. P. A. Lee, A. D. Stone, and Н. Fukuyama, Phys. Rev. В 35, 1039 (1987).!

65. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, М.: 1962.

66. Ya. М. Blanter, Phys. Rev. В 54, 12807 (1996).

67. P. М. Echternach, М. Е. Gershenson, Н. М. Bozler, A. L. Bogdanov, and Б. Nilsson, Phys. Rev. В 48, 11516 (1993).

68. Б.Л. Альтшулер, А.Г. Аронов, Письма в ЖЭТФ 30, 514 (1979) .

69. Н. Pothier, S. Gueron, Norman О. Birge, D. Esteve, and M. H. Devoret, Phys. Rev. Lett. 79, 3490 (1997); Z. Phys. В 104, 178 (1997).

70. R. J. Schoelkopf, P. J. Burke, A. A. Kozhevnikov, D. E. Prober, and M. J. Rooks, Phys. Rev. Lett. 78, 3370 (1997).

71. F. Liefrink, J. I. Dijkhuis, M. J. M. de Jong, L. W. Molenkamp, and H. van Houten, Phys. Rev. В 49, 14066 (1994).

72. A. H. Steinbach, J. M. Martinis, and M. H. Devoret, Phys. R<;v. Lett. 76, 3806 (1996).