Теория плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Бекурин, Дмитрий Борисович

• Бекурин, Дмитрий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бекурин, Дмитрий Борисович

Введение

1. Теория плавания частицы произвольной формы

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Ч-система.

1.1.2. С-система.

1.-2. Решение задачи.

1.2.1. Тензоры Г и А.

1.2.2. Обобщенные коэффициенты трения и обобщенные силы.

1.2.3. Уравнения для скоростей плавания частицы

1.2.4. JI-система.

1.2.5. Уравнение для матрицы поворота R.

1.3. Выводы.

2. Плавание слабо деформирующейся сферы

2.1. Уравнение поверхности частицы и скорость ее точек

2.2. Решение Ламба.

2.3. Переформулировка граничных условий.

2.4. Решение задачи о слабо деформирующейся сфере

2.4.1. Вычисление коэффициентов v^

2.4.2. Формулы для скоростей частицы

2.5. Радиальные деформации.

2.6. Потенциальные деформации.

2.7. Выводы.

3. Гантелеобразная частица 62 3.1. Поступательное движение гантели.

3.1.1. Ступенчатые деформации.

3.1.2. Малые плавные деформации.

3.2. Вращательное движение гантели.

3.2.1. Ступенчатые деформации.

3.3. Комбинация поступательного и вращательного движения гантели

3.3.1. Плавание гантели, состоящей из слабо деформированной сферы а и сферы b.

3.4. Выводы.

4. Калибровочная теория

4.1. Матрица поворота-смещения.

4.2. Калибровочный потенциал

4.3. Пространство форм

4.4. Примеры.

4.4.1. Слабо деформирующаяся сфера.

4.4.2. Поступательное движение гантели.

4.4.3. Вращательное движение гантели.

4.5. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теория плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса»

Актуальность. Теория плавания частицы за счет деформаций ее поверхности при малых числах Рейнольдса представляет интерес по крайней мере для двух типов задач. Прежде всего она касается биомеханики плавания микроорганизмов. Второй круг задач, для которых эта теория также представляет интерес, относится к движению агрегатов мелких частиц, форма которых может управляться внешними полями.

Эти задачи интересны и актуальны по нескольким причинам.

Во-первых, они привлекательны сами по себе, как новое, еще сравнительно мало исследованное приложение, а возможно даже направление гидр одинамики.

Во-вторых, эти задачи приближают нас к пониманию механизмов плавания тел за счет деформаций формы, что особенно важно для практических приложений. Таковыми являются, например: 1) создание гидродинамического насоса, нагнетающего жидкость за счет движения в ней микроорганизмов или специальных искусственных частиц, управляемых внешними воздействиями, 2) создание новых типов гидродинамических движителей, 3) создание управляемых жидкостей, которые под действием внешних полей должны перемещаться в заданном направлении за счет перемещения содержащихся в них агрегатов мелких частиц.

В-третьих, изучение биомеханики плавания микроорганизмов представляет интерес для таких наук, как, например, биология, бактериология, медицина (известно, что некоторые микроорганизмы обитают в пищеварительных, кровеносных, половых каналах человека и животных).

Микроорганизмы. Здесь, пожалуй, будет вполне уместно привести некоторые известные из биологии сведения о микроорганизмах, представляющие интерес для дальнейшего изложения.

Как известно [1], микроорганизмы являются самыми распространенными обитателями нашей планеты, так как они составляют основную часть мировой биомассы. Из всего впечатляющего многообразия микроорганизмов рассмотрим только те из них, которые могут самостоятельно плавать и обладают достаточно малыми размерами, чтобы можно было пренебречь инерционными эффектами при их плавании. Это бактерии, сперматозоиды, одноклеточные водоросли и простейшие. Они имеют средние диаметры от 1 до 200 мкм [1]. По типу передвижения большинство перечисленных микроорганизмов можно разделить на три основных класса - саркодовые, инфузории и жгутиковые. Рассмотрим эти классы более подробно.

Саркодовые. Типичным представителем этого класса является пресноводная амеба (Amoeba proteus) (рис:.1). Передвижение амебы осуществляется с помощью псевдоподий (ложноножек), или выростов, образуемых эктоплазмой вследствие перехода ее из состояния геля в золь. Если амеба перемещается в одном направлении, то постепенно в сторону образовавшейся псевдоподии перемещается вся цитоплазма.

Рис.1 .Амеба пресноводная

Инфузории. Органоидами движения инфузорий являются реснички -тонкие волосовидные выросты цитоплазмы, которые густо покрывают всю наружную поверхность инфузории. Например, туфелька, или парамеция (рис.2), имеет постоянную форму тела и движется в жидкости только за счет колебаний ресничек. Каждая ресничка состоит из нескольких (до 11) волоконец. В основе каждой реснички лежит базальное тельце, расположенное в прозрачной эктоплазме. Между основаниями ресничек находятся маленькие веретеновидные тельца - трихоцисты, которые при раздражении выбрасываются наружу и используются как для защиты, так и для нападения. Длина тела парамеции составляет порядка 200 мкм, а скорость ее движения в воде - около 1000 мкм/с [5].

Рис.2 .Инфузория туфелька, или парамеция

Чтобы понять механизм плавания парамеции, рассмотрим движение ее отдельной реснички [4] (рис. 3). Условно его можно разбить на два этапа. На первом этапе (1-2-3) парамеция вытягивает ресничку и, как веслом, отталкивается ею от жидкости. В результате совместного аналогичного действия и других ресничек это приводит к смещению парамеции вправо (см. рис. 3). На втором этапе (4-5-6-7) ресничка возвращается в исходное положение. При этом она складывается, а затем медленно вытягивается таким образом, чтобы сопротивление жидкости, действующее на нее было минимально.

Рис.3 .Движение реснички парамеции

Жгутиковые. На рис. 4 изображена эвглена зеленая - типичный представитель класса жгутиковых. Она перемещается с помощью жгутика, расположенного на переднем конце тела и совершающего вращательное движение, в результате которого эвглена как бы ввинчивается в окружающую среду.

Аналогичным образом перемещаются в жидкости сперматозоиды и некоторые бактерии. Например, бактерия под названием Bdellovibrio bacteriovorans, имеющая тело длиной 1.5 мкм и диаметром 0.3 мкм, за счет вращения жгутиковидного хвостика (длиной 4 мкм) в одну секунду способна проплыть расстояние, равное 100 длинам ее тела [1]. Эта хищная бактерия может ввинчиваться внутрь тела более крупных бактерий, вращаясь при этом со скоростью около 100 об/с.

Более исчерпывающую информацию о микроорганизмах можно найти в специальной литературе (см., например, [2], [3]).

Обзор литературы. Перейдем к обзору литературы, посвященной изучению плавания тел при малых числах Рейнольдса.

Среди наиболее известных ранних работ на эту тему можно выделить, статьи [6], [7], в которых авторы исследовали плавание сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере. Так, например, в статье [7] были получены выражения и сделаны численные оценки для скорости плавания слабо деформирующейся сферы в частном случае цилиндрически

Рис.4 .Эвглена зеленая симметричных деформаций ее поверхности, то есть деформаций, симметричных относительно оси движения частицы.

Хорошо известна приближенная теория плавания жгутиковых (см., например, [8], [9]). Согласно этой теории жгутик моделируется в виде гибкого цилиндра. Используя известные формулы вязкого обтекания прямого цилиндра, можно приближенно найти силу и момент сил, действующие со стороны жидкости на движущийся изогнутый цилиндр, играющий роль жгутика, а затем определить скорость плавания частицы.

Особого внимания заслуживает калибровочная теория самодвижения, развитая А. Шапере и Ф. Вильчеком в работе [10] (см. также [12]), позволяющая по новому взглянуть на эту проблему. В этой теории для вычисления смещения и поворота частицы вводится калибровочный потенциал. Он возникает в задаче самодвижения, как следствие существующего произвола в выборе связанной с частицей системы координат. В работе [10] изложена калибровочная теория и указан принципиальный метод определения калибровочного потенциала применительно к задаче плавания при малых числах Рейнольдса. Теория продемонстрирована на двух примерах - плавания бесконечного цилиндра перпендикулярно его оси за счет изменения формы его поперечного сечения и поступательного движения слабо деформирующейся сферы. Кроме этого, в работе [11] авторы применили результаты калибровочной теории для исследования эффективности плавания бесконечного цилиндра и слабо деформирующейся сферы.

Известно [1], что микроорганизмы в процессе плавания реагируют на различные внешние раздражители, под действием которых они меняют свою ориентацию и направление движения в жидкости. Наиболее существенными внешними факторами, влияющими на траекторию их движения, являются гравитация, свет, химическая неоднородность окружающей жидкости, сдвиговые течения в ней. Некоторые бактерии содержат магнитные частицы (магнитосомы), которые заставляют их плыть вдоль силовых линий магнитного поля. Кроме этого, при достаточно высокой концентрации микроорганизмов в жидкости на движение отдельного индивидуума могут существенное влияние оказывать соседние микроорганизмы, что необходимо учитывать при изучении процесса плавания их популяций.

Исследования плавания отдельных микроорганизмов и особенно их популяций при наличии внешних факторов имеют большую практическую ценность, так как решают задачу управления коллективным движением микроорганизмов с помощью внешних воздействий. В качестве примеров подобных исследований можно указать работы [1], [13], [14].

В заключении литературного обзора следует отметить значительный интерес ученых разных стран к проблеме плавания при малых числах-Рейнольдса, о чем свидетельствует огромное число давно существующих и постоянно появляющихся новых публикаций на эту тему (см.,например, некоторые работы последних лет [15] - [22]).

Цели работы. Основные цели данной работы заключались в попытке разработать общую теорию плавания самодеформирующейся частицы произвольной формы при малых числах Рейнольдса, а также применить эту теорию для исследования конкретных примеров плавания.

Основные результаты работы и их научная новизна. Кратко изложим содержание, основные результаты диссертации и их научную новизну. Она состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бекурин, Дмитрий Борисович

4.5. Выводы

В четвертой главе изложена основная суть калибровочной теории плавания, развитой Шапере и Вильчеком в работе [10]. В этой работе показано, что для определения смещения и угла поворота частицы в жидкости за период деформаций достаточно найти матрицу А

0 Qy Wx \ а 0 fiX Wy fly fix 0 wz

V 0 0 0 0 /

4.348) где Wx, Wy, Wz, Qx, Qy, ftz - компоненты скоростей частицы в базисе с-системы. Матрица А является калибровочным потенциалом. Действительно, если переопределить центр и ориентацию осей с-системы, то изменятся проекции скоростей частицы на оси с-системы W{ —> W-, Ог- —> Q'i, а значит согласно (4.348) изменится матрица А : А —А'. С другой стороны поворот и смещение с-системы относительно своего начального положения за полный период деформаций Т не должны зависеть от выбора с-системы. Но, как было сказано выше, поворот и смещение частицы за период деформаций однозначно определяется матрицей А. Таким образом, существует некий произвол при определении матрицы

А, который тем не менее не влияет на конечный результат (поворот и смещение частицы). Это значит, что А - калибровочный потенциал. Как известно, калибровочный потенциал появляется в задачах, где есть неоднозначность в описании физической системы. В задаче плавания при малых числах Рейнольдса эта неоднозначность связана с выбором с-системы координат.

Сравнивая калибровочную теорию плавания с теорией плавания, представленной в данной диссертации следует сказать, что в последней разработан метод решения гидродинамической задачи и определения компонент скоростей частицы в базисе с-системы Wx, Wy, Wz, Qx, Qy, fiz, что позволяет в соответствии с (4.348) найти калибровочный потенциал А. Таким образом, на языке калибровочной теории рассмотренная теория плавания дает метод определения калибровочного потенциала А.

В данной главе введено еще одно важное понятие - пространство форм. Это нефизическое пространство, по осям которого отложены зависящие от времени параметры, входящие в уравнение формы поверхности частицы. Совокупность значений этих параметров в данный момент времени будет определять точку в указанном пространстве. С течением времени значения параметров меняются и точка перемещается. Будем считать, что деформации поверхности частицы периодичны и параметры формы тоже являются периодическими функциями времени, а за период деформаций точка опишет в пространстве форм замкнутый контур. Как показано в работе [12], смещение и поворот частицы за период деформаций пропорциональны площади этого контура. В частности, если его площадь равна нулю, то равны нулю смещение и поворот частицы за период.

В качестве примеров в данной главе на языке калибровочной теории сформулированы задачи плавания слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы, исследованные в предыдущих главах.

Заключение

Таким образом, в данной диссертации получены следующие результаты.

1) Развита общая теория плавания частицы при малых числах Рей-нольдса, то есть сформулирована и решена замкнутая система уравнений, описывающих движение частицы в жидкости за счет деформаций ее поверхности (первая глава). Предполагается, что форма и деформации частицы произвольны, а инерционные силы малы по сравнению с вязкими (безынерционное приближение). Также считаются малыми поступательное Rew и вращательное Req числа Рейнольдса s

Rew = Wijv < 1, Ren = Ш2/гу < 1, где W и Q - характерные поступательная и вращательная скорости частицы; t - характерный размер частицы; v - кинематическая вязкость жидкости.

Кроме этого, считается малой скорость деформаций поверхности частицы, что можно записать в виде ограничения, накладываемого на величину характерной частоты деформаций со <С г//12.

2) В наиболее общем виде решена задача о плавании сферической частицы за счет малых деформаций ее поверхности - задача о слабо деформирующейся сфере (вторая глава). Выражения для скоростей частицы имеют вид разложения по малому параметру е, определяющему несферичность частицы оо оо

W = Y^£nW(n\ ft = п=0 п=0

Получены рекуррентные формулы для определения величин при произвольных деформациях поверхности частицы.

В качестве примеров рассмотрены следующие частные случаи деформаций поверхности. а) Радиальные деформации, при которых скорость любой точки поверхности v направлена вдоль радиус-вектора этой точки, то есть имеет вид v(0, (р, i) = v(0, ср, t)er(6, ср). б) Потенциальные деформации, при которых угловая скорость точек поверхности равна градиенту некоторой функции-потенциала д(в, <£>, t), то есть ш(6, </?, t) = yVg(6, ip, t).

Для этих случаев в явном виде найдены скорости частицы W и J? и сделаны численные оценки этих скоростей.

3) Введена модель гантелеобразной частицы, состоящей из двух деформируемых тел, соединенных тонкой деформируемой связью (третья глава). Исследовано плавание такой частицы в следующих частных случаях. а) Оба тела гантели являются сферами. б) Одно из тел является сферой, а другое - изотропным геликоидом. в) Одно из тел - сфера, а другое представляет собой слабо деформированную сферу хиральной винтообразной формы.

В явном виде получены выражения для скоростей гантели и сделаны их численные оценки.

4) Установлена связь рассмотренной в настоящей диссертации теории плавания с калибровочной теорией плавания Шапере и Вильчека [10]. В качестве примеров в терминах калибровочной теории сформулированы рассмотренные в диссертации задачи о плавании слабо деформирующейся сферы и гантелеобразной частицы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бекурин, Дмитрий Борисович, 2000 год

1. Pedley T.J., Kessler J.O. Hidrodynamic phenomena in suspensions of swimming microorganisms// Armu. Rev. Fluid Mech. 1992. Vol.24. P.313-358.

2. Слюсарев А.К.Биология с общей генетикой. Изд.2-е. М.: Медицина, 1978. С.472.

3. Серавин J1.H. Двигательные системы простейших. Строение, механохимия и физиология. JL: Медицина, 1967.4

4. Кокшайский Н.В. Очерк биологической аэро- и гидродинамики. М.: Наука, 1974. С.255.

5. Глазер Р. Очерк основ биомеханики. М.: Мир, 1988.

6. Lighthill J. On the squirming motion of nearly spherical deformablre bodies through liquids at very small Reynolds number// Commun. Pure. Appl. Maths. 1952. Vol.5. P.109-118.

7. Blake J.R. A spherical envelope approach to ciliary propulsion// J. Fluid Mech. 1971. Vol.46. P.199-208.

8. Azuma A. The Biokinetics of Flying and Swimming. Springer-Verlag, 1992.

9. Fung Y.C. Biomechanics. Motion, Flow, Stress and Growth. Springer-Verlag, 1990.

10. Shapere A., Wilczek F. Geometry of self-propulsion at low Reynolds number// J. Fluid Mech. 1989. Vol.198. P.557-585.

11. Shapere A., Wilczek F. Efficiencies of self-propulsion at low Reynolds number// Ibid. P.587-599.

12. Littlejohn R.G., Reinsch M. Gauge fields in the separation of rotations and internal motions in the n-body problem// Rev. Mod. Phys. 1997. Vol.69. P.213-275.

13. Kessler J.O., Strittmatter R.P., Swartz D.L., Wiseley D.A., Wo-jciechowski M.F. Paths and patterns : the biology and physics of swimming bacterial populations// The Sosiety for Experimental Biology, 1995.

14. Nojiri S.I., Kawamura M., Sugamoto A. Collective motion of microorganisms from field theoretical viewpoint// Mod. Phys. Lett. A. 1996. Vol.11. P.915-920.

15. Camalet S.,Julicher F.,Prost J. Self-organized beating and swimming of internally driven filaments// Phys. Rev. Lett. 1999. Vol.82. P.1590-1593.

16. Stone H.A., Samuel A.D.T. Propulsion of microorganisms by surface distortions// Ibid. 1996. Vol.77. P.4102-4104.

17. Elizalde E., Kawamura M., Sugamoto A. Quantum effects of stringy and membranic nature for the swimming of micro-organisms in a fluid// Int. J. Mod. Phys. A. 1996. Vol.11. P.5569-5585.

18. Kawamura M. Efficiency of swimming of micro-organism and singularity in shape space// Mod. Phys. Lett. A. 1996. Vol.11. P. 19611969.

19. Philip D.,Chandra P. Self-propulsion of spermatozoa in microconti-nua-effect of transverse-wave motion of channel walls// Arch. Appl. Mech. 1995. Vol.66. P.90-99.

20. Filderhof B.U., Jones R.B. Inertial effects in small-amplitude swimming of a finite body// Physica A. 1994. Vol.202. P.94-118.

21. Koehl M.A.R. Fluid flow through hair-bearing appendages : feeding, smelling and swimming at low and intermidiate Reynolds numbers/ / The Sosiety for Experimental Biology, 1995.

22. Filderhof B.U., Jones R.B. Small-amplitude swimming of a sphere// Ibid. 1994. Vol.202. P.119-144.

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.Гидродинамика. М.: Наука, 1986. G.736.

24. Бекурин Д.Б.,Марценюк М.А. Теория самодвижения деформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Пермский сборник гидродинамика. 1998. Вып. 11. С.7-44.

25. Бекурин Д.Б. Плавание самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 1999. Вып.5. С.154-174.

26. Бекурин Д.Б. Калибровочная теория в задаче плавания самодеформирующейся частицы при малых числах Рейнольдса// Вестник Пермского университета. 2000. Вып.6. С. ВО-86 .

27. Бекурин Д.Б., Марценюк М.А. Теория самодвижения микроорганизмов в сильно вязкой жидкости// 11-ая Междунар. зимняя школа по мех. спл. сред. Тез. докл. Пермь. 1997.

28. Brenner Н. The Stokes resistence of an arbitrary particle 1// Chem.Eng. Sci. 1963. Vol. 18. P. 1-25.

29. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 2. An Extention// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 599-629.

30. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 3. Shear fields// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 631-651.

31. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 4- Arbitrary fields of flow// Chem.Eng. Sci. 1964. Vol. 19. P. 703-727.

32. Brenner H. The Stokes resistence of an arbitrary particle 5. Symbolic operator representation of intrinsic resistance// Chem.Eng. Sci. 1966. Vol. 21. P. 97-109.

33. Brenner H. The Stokes resistance of a slightly deformed sphere// Chem.Eng. Sci. 1964. 19. P. 519-539.

34. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976. С.632.

35. Марценюк М.А. Вязкость суспензии эллипсоидальных ферромагнитных частиц// Журн. прикладной механики и технической физики. 1973. С.75-82.

36. Марценюк М.А. О магнитной вязкости суспензии ферромагнитных частиц// ЖЭТФ. 1974. 66. Вып.6. С.2279-2289.

37. Марценюк М. А. Объемная вязкость ферромагнитной суспензии// ЖЭТФ. 1977. 73. Вып.2. С.597-607.

38. Варшалович Д.А. и др. Квантовая теория углового момента. Аппарат неприводимых тензоров. Сферические функции. 3nj-символы. JL: Наука, 1975. С.473.

39. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ОГИЗ, 1947. С.744.

40. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Ш. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. С.767.

41. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. Изд.5. С.1108.