ТЕРМОДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА В МОДЕЛИ ПЁШЛЯ–ТЕЛЛЕРА тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Оладимеджи Енок Олуволе Джуниор

• Оладимеджи Енок Олуволе Джуниор
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Оладимеджи Енок Олуволе Джуниор

Оглавление

Введение и литературный обзор

Глава 1: Динамическое квантовое описание одномерного осциллятора Пёшля-Теллера (ОПТ)

1.1 Потенциал осциллятора Пёшля — Теллера и анализ предельных случаев

1.1.1Переход от осциллятора Пёшля-Теллера к осциллятору Блоха

1.1.2Переход от осциллятора Пёшля - Теллера к квазисвободной частице в ящике

1.2 Точное решение уравнения Шредингера для ОПТ

1.3 Энергетический спектр и анализ его предельных случаев

1.4 Оператор давления и анализ его предельных случаев

Глава 2: Осциллятор Пёшля — Теллера (ОПТ) как управляемая квантовая система

2.1 Анализ аналога цикла Джоуля — Брайтона

2.1.1 Стадия 1: Изобарическая расширение

2.1.2 Стадия 2: Адиабатическое расширение

2.1.3 Стадия 3: Изобарическое сжатие

2.1.4 Стадия 4: Адиабатическое сжатие

2.2 Анализ аналога цикла Отто

2.2.1 Стадия 1: Изохорическое расширение

2.2.2 Стадия 2: Адиабатическое расширение

2.2.3 Стадия 3: Изохорная компрессия

2.2.4 Стадия 4: Адиабатическое сжатие

Глава 3: Термодинамическое описание одномерного осциллятора Пёшля — Теллера (ОПТ)

3.1 Статистическая сумма и уравнения состояния для осциллятора Пёшля — Теллера

3.2 Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как гармонического осциллятора Блоха

3.3 Статистическая сумма и уравнения состояния ОПТ как квазисвободной частицы в ящике

3.4 Аналог рабочего цикла Карно при конечных температурах

Заключение

Приложение

П 1. Теоремы Борна — Фока и Гельмана — Фейнмана

П 2. Квазиклассическое описание спектра ОПТ

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ТЕРМОДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА В МОДЕЛИ ПЁШЛЯ–ТЕЛЛЕРА»

Введение и литературный обзор

В связи с интенсивным развитием нанотехнологий (см., например, [1]), в настоящее время вновь повысился интерес к описанию квантовых объектов, состоящих из одной или нескольких микрочастиц и находящихся во внешнем силовом потенциале. Если ранее подобные задачи встречались в основном в физике атомного ядра и элементарных частиц, то сейчас они стали характерны для проблем физики конденсированного состояния, а также для объектов, находящихся в искусственных квантовых ловушках.

Типичным примером могут служить квантовые точки в гетероструктурах [1], причем подобные квантовые объекты являются, как правило, низкоразмерными 0<3 (ниже мы ограничимся одномерным случаем Л=1). Для указанного класса задач представляет интерес, во-первых, наличие т.н. управляющих параметров - например, массы частицы т и интенсивность потенциала ¥0, и, во-вторых, возможность «термодинамической» постановки всей задачи в целом. Последнее предполагает пространственную ограниченность, или конфайнмент, квантового объекта в области с характерной шириной Ь, а также возможность помещения указанного квантового объекта в термостат с температурой Т (по шкале Кельвина). Существенно, что лишь для ограниченных объектов (с конечным Ь) имеется возможность введения понятия механического давления Р, что делает «термодинамическую» постановку задачи более последовательной - в частности, позволяет проводить замкнутые термодинамические циклы (примеры подобных механических циклов - Отто и Джоуля-Брайтона рассмотрены в следующей статье).

Наиболее известными (см., например, [2-4]) - и притом точно решаемыми (!) - задачами одномерной квантовой механики, являются следующие две

задачи: 1) задача о (квази)свободной частице в «ящике» шириной Ь, а также 2) задача о гармоническом квантовом осцилляторе с собственной частотой ю0, определенная на всей оси (Ь^-да) - т.н. «осциллятор Блоха», введенный Ф. Блохом в 1932 году.

Очевидно, что лишь первая из задач обладает конфайнментом (и, следовательно, давлением), который обеспечивается непроницаемыми для частицы стенками «ящика», что формально соответствует т.н. делътаобразному потенциалу, бесконечно высокому на стенках и равному нулю внутри ящика; разумеется, подобный потенциал носит несколько искусственный характер, но допускает приближенный термодинамический анализ. Что касается второй задачи, то ее решение в «термодинамическом» варианте при ненулевой температуре Т является одним из немногих (если не единственным) примером точного квантово-статистического расчета (см., например, [5], §37).

В связи с изложенным, на наш взгляд, представляет несомненный интерес рассмотрение еще одной одномерной квантово-механической задачи с потенциалом, предложенным Пёшлем и Теллером в 1933 году, который объединяет две указанные выше задачи и при этом допускает точное (!) решение, описанное в двух широко известных учебных пособиях по квантовой механике [2-4]. Заметим, что с математической точки зрения задача об осцилляторе Пёшля-Теллера не намного сложнее по сравнению, например, с задачей об осцилляторе Блоха, однако с физической точки зрения указанная задача является значительно более общей и содержательной.

Мы обратились, многочисленные методы, чтобы проанализировать и решить наши модели один из очень важного метода был метод факторизации Ши-Хай Дуна [6]. Метод факторизации - основная техника, развитая, чтобы

решить проблемы поиска собственного значения, появляющиеся в квантовой механике (КМ).

Преимущества метода факторизации хорошо использованы Ши-Хай Дуном [6], Во-первых, метод факторизации может быть применен строго к дискретным энергетическим спектрам, так как непрерывные энергетические уровни слишком многочисленные. Во-вторых, самое важное преимущество этого метода состоит в том, что искомые собственные значения и нормированные собственные функции данного гамильтониана могут быть немедленно записаны. В-третьих, возможно избежать получать постоянную нормализацию, который иногда легко не получается. В-четвертых, мы можем обнаружить скрытую симметрию квантовой системы посредством построения подходящей алгебры Ли.

Модель сингулярного квантового осциллятора Пёшля - Теллера являлась предметом весьма активных исследований рядом авторов в последние два десятилетия, однако термодинамические аспекты - в частности, калорическое и термическое уравнения состояния - этой модели не рассматривались. Подчеркнем, что ни в одной из работ не рассматривались понятия динамического и термодинамического давления, наличие которого составляет важную характерную особенность для моделей со свойством пространственного ограничения (конфайнмента). Наиболее активно изучаемыми темами явились алгебраические аспекты модели Пёшля -Теллера, прежде всего построение когерентных состояний для нее [7-13].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Оладимеджи Енок Олуволе Джуниор

Заключение

В данной диссертации подробно рассмотрена одна из наиболее интересных моделей в нерелятивистской квантовой механике одной массивной частицы (в одномерном варианте), а именно модель, введенная Г. Пёшлем и Э. Теллером в 1933 году. Эта модель обладает рядом интересных свойств - в частности, ее предельными случаями являются две наиболее известные модели, изучаемые во всех (в том числе начальных) курсах квантовой механики, в том числе и для ряда инженерных и технических специальностей (в том числе по нанотехнологиям). Этими моделями являются, во-первых, сохраняющая конфайнмент модель квазисвободной частицы в «ящике» с непроницаемыми стенками и, во-вторых, модель квантового гармонического осциллятора, введенная Ф.Блохом в 1932 году и не обладающая конфайнментом.

В первой главе, предложено элементарное, но детальное рассмотрение взаимосвязей потенциала, волновых функций и энергетического спектра всех указанных моделей. Получено точное решение уравнения Шредингера для нашей модели, дискретный энергетический спектр для модели Пёшля-Теллера и ее ограничивающих случаев был проанализирован. Одним из основных результатов является введение в моделях с конфайнментом оператора давления на основе теоремы Гельмана-Фейнмана и анализ предельных случаев для этой величины.

Во второй главе мы исследовали динамические свойства модели Пёшля-Теллера, анализируя цикл Джоуль-Брайтон и Отто. Это было осуществлено при помощи ПТ-модели, чтобы получить уравнения, которые походят классический изобарический и изохорные процессы в цикле Джоуль-Брайтон и Отто соответственно. Кроме того, были получены полезные действия этих

квантовых циклов, которые походят на известные полезные действия от классической термодинамики.

В третьей главе мы исследовали термодинамические свойства модели Пёшля-Теллера, когда температура была введена. Были получены статистическая сумма и уравнение состояния для модели. Присутствие температуры открыло возможность осуществить термодинамические свойства нашей модели в цикле Карно, что открывает возможности практического применения модели Пёшля - Теллера.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Оладимеджи Енок Олуволе Джуниор, 2017 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Рамбиди Н.Г. От молекул до наноансамблей. Учебное пособие. - М.: 2009. - 312 с.

2. Гольдман И.И., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 275 с.

3. Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 1. - М.: Мир, 1974. - 378 с. Зад. 58.

4. Елютин В.П., Кривченков В.Д. Квантовая механика. - М .: Наука, 1976 . 267 с. Гл.3, зад. 11.

5. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М : Наука, 1983. 416 с.

6. S. Dong. Factorization Method in Quantum Mechanics Springer Netherlands, 2007.

7. M.G.A. Crawford, E.R. Vrscay. Generalized coherent states for the Poeschl-Teller potential and a classical limit. Phys. Rev. A. V. 57, № 1, P. 106-113 (1998)

8. J.-P. Antione et al. Temporally stable coherent states for infinite well and Poeschl- Teller potentials. arXiv:math-ph/00112044 v.1 (2000)

9. A.H. El Kinani, MDaoud. Coherent states a la Klauder - Perelomov for the Poeschl-Teller potentials. Phys. Lett. A. V. 283, P. 291-299 (2001)

10. G. Tsaur, J. Wang. Integration of the Schroedinger equation by canonical transformation. Phys. Rev. A. V. 65, 012104-1-7(2001)

11. T. Schreeharan et al. Coherent states for exactly solvable potentials. Phys. Rev. A. V. 69, 012102-1-7 (2004)

12. S. Kuru, J. Negro. Dynamical algebras for Poeschl-Teller Hamiltonian hierarchies. Ann. Phys. V. 324, P. 2548-2560 (2009)

13. S.G. Roy et al. A Lie algebraic to the Schroedinger equation for bound states of Poeschl-Teller potential. Electronic Journal of Theoretical Physics. V.7, № 24, P. 235-240 (2010)

14. Квасников Я.А. Термодинамика и статистическая физика. Том 1. - М.: Изд-во МГУ, 1991. 795 с.

15. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. - М.: Наука, 1971. 416 с.

16. Фейнман Р. Статистическая механика. - М.: Мир, 1975. 407 с.

17. Рудой ЮГ, Суханов А.Д.Н УФН. 2000. Т. 170. № 12. С. 1265.

18. L. Guzman-Vargas, V. Grandos and R. D. Mota., "Efficiency of simple quantum engines: The Joule-Brayton and Otto cycles," in CP643, Quantum limits to the second law: First International Conference., Mexico, 2002.

19. Kosloff R.., J. Chem. Phys. 80(4), 1625, (1984)

20. Feldmann T, Geva E., Kosloff R. and Salamon P., Am. J. Phys., 64(4), 485, (1996).

21. Geva E, Kosloff R., /. Chem. Phys., 96(4), 3054, (1992).

22. C.Bender C. M., Brody C. B. and Meister K. B., /. Phys. A 33, 4427 (2000).

23. S. Flugge. Practical Quantum Mechanics. Vol. I, Springer, Berlin, (1971).

24. Y. G. Rudoy and E. O. Oladimeji., "Pressure operator for the Poschl-Teller quantum oscillator," in Bulletin of PFUR, series Mathematics, Information science, Physics №1, 2017 Pp_-_", Moscow, 2016.