Точечные дефекты в полях градиентов напряжений в ГЦК металлах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Ульянов, Владимир Владимирович

• Ульянов, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ульянов, Владимир Владимирович

Введение

1 Образование микронесплошностей и кинетика разрушения металлов

1.1. Кинетическая концепция в образовании микронесплошностей.

1.2. Роль вакансий в образовании микронесплошностей при вязком и квазихрупком разрушении.

1.3. Образование полос локализации деформации.

1.4. Роль включений и частиц на межзеренных границах при высокотемпературной ползучести в образовании несплошностей.

1.5. Основные результаты.

2 Модель межатомного взаимодействия в методе погружённого атома (МПА) и метод функционала электронной плотности

2.1. Метод функционала электронной плотности.

2.2. Модель межатомного взаимодействия в методе погружённого атома (МПА).

2.3. Основные результаты.

3 Методика и результаты расчетов термодинамических свойств вакансий в ГЦК - металлах AI, Си и Ni

3.1. Методика расчетов термодинамических свойств вакансий в ГЦК-металлах.

3.2. Расчеты химических потенциалов.

3.3. Основные результаты.

4 Характеристики собственных точечных дефектов и их анизотропная миграция в упругих полях дислокаций в ГЦК плутонии (5-Ри) 89 4.1. Характеристики собственных точечных дефектов.

4.2 Упругие поля напряжений дислокаций.

4.3. Взаимодействие дислокаций с точечными дефектами.

4.4. Изменение стабильной конфигурации СМА вблизи дислокации.

4.5. Миграция собственных точечных дефектов в окрестности дислокации.

4.6. Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точечные дефекты в полях градиентов напряжений в ГЦК металлах»

В физике конденсированного состояния вещества, в физическом металловедении, физике прочности и пластичности большое внимание уделяется исследованиям, связанным с решением задач о состояниях и эволюции дефектов, микроструктур и физических свойств металлов на различных стадиях их деформирования. Согласно основным положениям физической ме-зомеханшси структурно-неоднородных сред, деформированное тело есть многоуровневая система, в которой пластическое течение самосогласованно развивается как последовательная эволюция потери сдвиговой устойчивости на различных масштабных (микро-, мезо- и макро-) уровнях [1-4].

На микроуровне локальное структурное превращение проявляется как зарождение и движение дефектов, их кластеров, дислокаций и дисклинаций в зонах микроконцентраторов напряжений, а зарождение микропор и микротрещин объясняется на основе дислокационного и дисклинационного механизмов их образования [1, 5-6]. Определяющим в таких процессах являются механические напряжения разных видов (внутренние и внешние однородные и градиентные), формирующих различные напряженные состояния металлов, которые при наложении других полей (термических, радиационных) определяют эволюцию микроструктуры и свойств металлов и их работоспособность. Диффузионное и динамическое зарождение и эволюция дефектов приводит к сильному изменению микроструктуры, в которой появляются уже дефекты разных микро- и мезо- типов (микронесплошности, микротрещины, поры, границы, др.) и которые определяют ресурс металла и его работоспособность [1, 5, 7-14].

Важным механизмом изменения микроструктуры металлов (как дополнение к основному дислокационно-дисклинационному) является диффузионный (диффузионно-дислокационный), реализация которого зависит от симметрии кристаллической решетки металла и ее дефектов, полей, в которых находится металл (термических, механических, радиационных) [1, 7,8, 1526]. Для диффузионного механизма зарождения микронесплошностей необходимо достаточно сильное перенасыщение вакансиями локальных областей растяжения кристалла по сравнению с их равновесной концентрацией [24, 26-29]. Исходя из линейной теории упругости, в полях градиентов напряжений должна наблюдаться восходящая диффузия точечных дефектов (известный эффект Горского (например, [23, 25,30], когда вакансии перемещаются j из области менее сжатого кристалла в область более сжатого кристалла, т.е. уменьшается концентрация вакансий в области растяжения (микроструктура релаксирует с увеличением степени однородности).

Однако, возможен другой дополнительный и важный механизм, рассмотренный в данной диссертации, когда при выполнении определенных условий поток вакансий может быть направлен в область менее сжатого кристалла, что должно приводить к перенасыщению вакансиями этой области и реализовать условия локальных структурных превращений и образований локальных несплошностей. Такой механизм реализуется, как будет показано в диссертации, после достижения некоторой критической деформации (инкубационный период). Следует отметить, что существование критической деформации (инкубационного периода), необходимой для зарождения микро-пор и микротрещин при вязком и квазивязком разрушениях, является достаточно общепризнанным экспериментальным фактом [27]. Таким образом, диффузионный механизм (вакансионный), наряду с дислокационным и дис-клинационным механизмами, может давать существенный вклад в зарождение микронесплошностей при деформации кристаллов.

В процессе пластической деформации твердых тел генерируется большое число точечных дефектов. Прежде всего, это вакансии, поскольку энергия образования вакансий является самой малой из всех возможных энергий точечных дефектов. Известно много механизмов испускания вакансий дислокациями, в т.ч. переползание краевых дислокаций, их аннигиляция, движение винтовых дислокаций со ступеньками и т.д. [8, 21-22, 31-32]. Обычно концентрация деформационных вакансий составляет величину 10~5 -НО-6 даже для не очень больших скоростей деформации и средних температур (Т ~ 0.3^-0.4ГШ/). Равновесная концентрация вакансий при этих температурах мала и составляет величину порядка КГ10 -МО-13. Таким образом, перенасыщение образца вакансиями очень велико и вакансии могут конденсироваться на не-однородностях разной природы.

На большую роль потоков вакансий в полях градиентов напряжения на протекание физических процессов в твердых телах при деформациях указывалось давно [32], где отмечалось, что есть основания полагать, что поток вакансий в полях градиентов напряжений очень важен для многих явлений, с которыми обычно этот поток не связывают.

Для решения задач, связанных с диффузией дефектов во внешних (одноосных, гидростатических, др.) и внутренних (дислокационных, др.) полях разной природы, интенсивности и симметрии, в том числе градиентных, широко используются методы молекулярной динамики, которые позволяют вычислить многие термодинамические характеристики металлов [33-36, 134135]. При этом используются потенциалы межатомных взаимодействий, полученные наиболее часто в рамках метода погруженного атома (МПА) [33, 37-48], псевдопотенциала [49-52]. В частности, МПА позволяет получать потенциалы межатомного взаимодействия, описывающие многие термодинамические свойства металлов разных кристаллографических классов (гране-центрированных кубических - ГЦК, объемоцентрированных кубических -ОЦК, других). В рамках МПА могут быть рассчитаны энтальпии образования, модули упругости и энергия образования вакансий в металлах. Исследование физических процессов на микроуровне методом молекулярной динамики, происходящих в области концентраторов напряжений в металлах и сплавах, позволяет описать поведение микроструктуры и свойств материала при воздействии внешних и внутренних напряжений и деформирующем на-гружении, но накладывает определенные требования на используемые модели межатомного взаимодействия в металлах, которым не всегда можно физически обоснованно удовлетворить.

Актуальность темы диссертации. В диссертации исследования механизмов формирования дефектной структуры (в основном вакансионной) проведены для металлов ГЦК классов (Al, Си, Ni, Ри), являющихся основой многих конструкционных и функциональных материалов для техники, в том числе ядерной, работающих в сложно-напряженных условиях и при воздействии радиационных и термических полей разной интенсивности. Выбор и изучение дефектной структуры ГЦК металлов обусловлен также тем, что эти металлы являются кристаллами с разной степенью упругой анизотропии, определяемой известным показателем А = 2c44/(cii-ci2), где с у определяют упругие постоянные кристаллов. Для выбранных кристаллов имеем (при комнатной температуре) Aai = 1,21, ANi = 2,52, Acu = 3, 21, APu = 7,0. Изучение влияния степени упругой анизотропии на характеристики дефектов и их диффузию в полях напряжений представляет большой научный и практический интересы, поскольку многие модели и подходы к изучению дефектов и их потоков проводятся в приближении упруго-изотропных материалов (А=1).

Одними из главных дефектов кристаллических решеток металлов, определяющих основные механизмы образования и эволюции их микроструктуры и свойств, особенно при повышенных температурах и радиационных воздействиях, являются вакансии. По исследованиям системы вакансий в металлах, подвергающихся воздействию полей разных типов, выполнено и выполняется много теоретических и расчетных работ [1, 8, 15, 18, 23-28, 30-36, 120-132]. В этой области получен ряд важных результатов, но еще остается много нерешенных вопросов, особенно по физическому обоснованию используемых потенциалов межатомных взаимодействий, теоретических и расчетных моделей и методов, спектр которых очень широк. Особенно интересен, но мало изучен, вопрос о влиянии напряжений и их градиентов на вакан-сионную систему и потоки вакансий в металлах. Исследования вакансий и их потоков представляет особенно важный интерес в условиях термических и радиационных воздействий, когда физическая природа механизмов формирования потоков вакансий и их кластерообразования (особенно возникновение вакансионных пор в ГЦК металлах при облучении и при больших деформациях) в значительной мере не ясна, а физически обоснованные модели вакансионного кластерообразования и его влияния на свойства ГЦК металлов практически отсутствуют. В целом, сделанный в диссертации выбор практически важных ГЦК металлов, различающихся, в том числе, по степени упругой анизотропии (от 1,21 у алюминия до 7,0 у плутония), и изучение их собственных точечных дефектов (вакансий и межузельных атомов) в полях градиентов напряжений (внешних и внутренних) методом молекулярной динамики и методами анизотропной теории упругости делает тему диссертации актуальной, а её результаты, отраженными в публикациях [45, 53-65, 104109], важными и востребованными. Используемые в диссертации модели и методы позволяют, при выполнении определенных условий, определить энергетические и кинетические характеристики собственных точечных дефектов, плотности потока вакансий как в области более сжатого кристалла, так и в области менее сжатого кристалла, и найти химические потенциалы вакансий и направления их потоков при различных значениях величин напряжений (деформаций) этих металлов. Такие результаты важны при оценки работоспособности изученных ГЦК металлов в сложно-напряженных состояниях, при воздействии температур и повреждающей радиации.

Согласно поставленной цели в работе решались следующие задачи: 1. Применить многочастичные межатомные потенциалы, полученные в методе погруженного атома для ГЦК металлов, к расчету термодинамических свойств вакансий в Al, Ni, Си. Рассчитать объемы и энергии образования вакансий, а так же релаксацию атомов вблизи вакансии для этих металлов.

2. Рассчитать зависимости энергии образования и химический потенциал вакансий для всестороннего растяжения, одноосного растяжения вдоль направлений <100>, <110> и <111> и сдвиговых деформаций для Al, Ni, Си.

3. Определить величину и направление вынуждающей силы, действующей на вакансии, в зависимости от градиента напряжений при одноосном растяжении и сдвиге. Рассмотреть физические процессы, происходящие при пластической деформации и разрушении, на основе дислокационно - ва-кансионного механизма.

4. Характеристики собственных точечных дефектов и их анизотропная миграция в упругих полях дислокаций в ГЦК Ри.

Научная новизна проведенных исследований и полученных результатов подтверждается их физической интерпретацией на основе теоретической физики твердого тела, физической мезомеханики и современных представлений о диффузии точечных дефектов в твердых телах с внутренней структурой, находящихся в нагруженных состояниях.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные в ней научные данные могут быть использованы при прогнозировании и анализе микроструктуры и физико-химических свойств изученных в работе ГЦК-металлов (Al, Си, Ni, Ри) и основанных на них многих конструкционных и функциональных материалов для новой техники, в том числе ядерной, работающих в сложно-напряженных состояниях и подвергаемых деформациям, термическим и радиационным воздействиям.

Достоверность научных результатов и выводов работы обусловлена применением физически обоснованных современных научных методов и моделей в физике твердого тела, физическом металловедении, физической мезомеханики, использованием оптимизированных многочастичных потенциалов межатомного взаимодействия моделей расчетов энергетических и кинетических параметров собственных точечных дефектов, химических потенциалов вакансий и их потоков (направлений миграции) в нагруженных ГЦК металлах (AI, Си, Ni, Ри), критическим сравнением полученных результатов с данными других теоретических, расчетных и экспериментальных исследований.

Апробация работы

Материалы работы были доложены на следующих конференциях и семинарах:

1. VII Российская научная студенческая конференция «Физика твердого тела» (г. Томск, 2000 г.).

2. XXX Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, 2000 г.).

3. V Международная конференция «Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение» (г. Александров, 2001 г.).

4. IV Всероссийской конференции молодых ученых «Физическая мезомеха-ника материалов»(г. Томск, 2001)

5. Региональная научно - практическая конференция «Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении» (г. Юрга, 2002 г.).

6. VIII Российская научная студенческая конференция «Физика твердого тела» (г. Томск, 2002 г.).

7. Всероссийская научно — практическая конференция «Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении» (г. Юрга, 2003 г.).

8. VI Международная конференция «Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение», (г. Александров, 2003 г.).

9. Вторая Международная конференция по физике кристаллов «Кристаллофизика 21-го века», посвященная памяти М.П. Шаскольской (г. Москва, 2003г.).

10. Научная сессия молодых ученых научно-образовательного центра «Физика и химия высокоэнергетических систем» (г. Томск, 2004 г.).

11. Международная конференция по физической мезомеханике, компьютерному конструирования и разработке новых материалов (г. Томск, 2004 г.).

12. I Всероссийская конференциия молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем», (г. Томск, 2005 г.).

13. II Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» (г. Томск, 2005 г.).

14. Международная школа-конференция молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» (г. Томск, 2005 г.).

15. II Всероссийская конференциия молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем», (г. Томск, 2006 г.)

16. Российском семинаре по радиационной повреждаемости материалов атомной техники (г. Обнинск, 2008 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ:

1. Ульянов В.В., Руденский Г.Е., Кузнецов В.М., Тверскова А.В. «Расчет термодинамических характеристик вакансий в ГЦК-металлах в условиях одноосного растяжения» // Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4, № 2. С.7-11.

2. Ульянов В.В., Дубасова Н.А., Сивак А.Б. «Характеристики собственных точечных дефектов и их анизотропная миграция в упругих полях дислокаций в ГЦК плутонии» // Вопросы атомной науки и техники. 2008. Серия: «Материаловедение и новые материалы». 2(71), С. 179-191.

3. Ульянов В.В., Руденский Г.Е., Кузнецов В.М. Расчет потоков вакансий в полях градиентов напряжений в чистых металлах. V Международная конференция «Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение». 10-14 сентября 2001 г. Труды, Александров, ВНИИСИМС, с. 305-314.

4. Ульянов В.В., Тверскова А.В. Движущая сила, действующая на вакансии при наличии градиентов напряжений в металлах. Нисходящая диффузия.

Материалы VIII Российской научной студенческой конференции. Ред. М.Ф.Жоровков, Ю.Ю.Эрвье. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2002, с. 46-48.

5. Ульянов В.В., Тверскова А.В.,Руденский Г.Е. Поток деформационных вакансий в твердых телах при наличии градиента по сдвигу. Труды Всероссийской научно-практической конференции «Прогрессивные технологии и экономика в машиностроении». 24-25 апреля 2003 г., Юрга, с. 317-318.

6. Ульянов В.В., Тверскова А.В., В.М.Кузнецов, Руденский Г.Е. Поток деформационных вакансий в твердых телах при наличии градиента по сдвигу. VI Международная конференция «Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение». 8-12 сентября 2003 г., Материалы, Александров, ВНИИСИМС, с. 214-218.

7. Ульянов В.В., Беломестных В.Н., Ульянов B.JI. Параметр Грюнайзена ионных и ионно-молекулярных кристаллов. VI Международная конференция «Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение». 812 сентября 2003 г., Материалы, Александров, ВНИИСИМС, с. 183-187.

8. Ульянов В.В., Тверскова А.В., Кузнецов В.М., Руденский Г.Е. Поток деформационных вакансий в твердых телах при наличии градиента по сдвигу. Вторая Международная конференция по физике кристаллов «Кристаллофизика 21-го века», посвященной памяти М.П.Шаскольской. 28-30 октября 2003 г., Москва, МИСиС, 2003, с. 187-188.

9. Ульянов В.В. Движущая сила, действующая на вакансии в ГЦК-металлах при наличии в них градиентов напряжений. // Материалы научной сессии молодых ученых научно-образовательного центра «Физика и химия высокоэнергетических систем», 17-20 марта 2004 г., Томск, Россия, с. 61-63.

Ю.Ульянов В.В., Тверскова А.В., Кузнецов В.М. Термодинамические характеристики ГЦК металлов при одноосной деформации. Ноосферные знания и технологии. Сборник статей. Вып. 1, 2004, Томск, Изд-во Том. Унта, с. 92-96.

П.Ульянов В.В. Кузнецов В.М., Руденский Г.Е., Тверскова А.В. Вакансионно-дислокационный механизм образования микропор и микро-трещин при вязком и квазихрупком разрушении. Нисходящая диффузия в полях градиентов напряжений // Международная конференция по физической ме-зомеханике, компьютерному конструирования и разработке новых материалов, 23-28 августа 2004 г., Томск, Россия.

12.Ульянов В.В., Тверскова А.В. Термодинамические характеристики и химические потенциалы вакансий в ГЦК-металлах при одноосной деформации. Труды Второй Международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 16-20 мая 2005 г., Томск. Томский политехнический университет, 2005. с. 96-98.

13.Ульянов В.В., Тверскова А.В. Нисходящая диффузия вакансий в полях градиентов напряжений при одноосном растяжении // Сборник материалов Международной школы-конференции молодых ученых «Физика и химия наноматериалов» 13-16 декабря 2005 г., Томск, Россия, С. 248-252.

14.Ульянов В.В., Тверскова А.В. Нисходящая диффузия вакансий в ОЦК и ГЦК металлах при деформации сдвига. // Сборник материалов II Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» 4-6 мая 2006 г., Томск, Россия, С. 127-130.

Содержание диссертации отражает изложенные выше положения о важной роли градиентных напряжений, вакансий и их потоков в образовании микронесплошностей и микротрещин в металлах, приводящих к деградации их функциональных свойств (формоизменение, разрушение), выяснение физической сущности которой является основной направленностью исследований диссертационной работы, базирующихся на физически обоснованных методах атомистических расчетов, многочастичных потенциалах межатомных взаимодействий (функционал электронной плотности, метод погруженного атома), молекулярной динамики и анизотропной теории упругости.

Во Введении изложены основные положения образования и зарождения очагов микронесплошностей (микропор и микротрещин) в металлах как основных причин, определяющих их работоспособность и ресурс, и как перспективную направленность исследований диссертационной работы, определяемой выяснением микромеханизмов (в основном в вакансионной подсистеме дефектов), формирующих такие микронесплошности (микро- и мезо-дефекты, микро-поры и микро-трещины). Определены Актуальность темы диссертации, Научная новизна полученных результатов, Практическая ценность работы, Достоверность результатов и выводов работы, приведен Список конференций и семинаров, где результаты диссертации были доложены, и список публикаций, где приведены основные результаты диссертации.

В Главе 1 изложены имеющиеся результаты, модели и подходы по закономерностям и механизмам образования локальных несплошностей (мик-ропор и микротрещин), их параметрам и распределению в металлах, кинетике разрушения металлов. Показана существенная роль вакансий и их потоков в механизмах формирования несплошностей при градиентных напряжениях, когда вакансионно-дислокационный механизм образования микронесплош-ностей становится важным в металлах, определяя их функциональные свойства.

В Главе 2 показано, что атомистический подход, с использованием наиболее физически обоснованных многочастичных потенциалов межатомных взаимодействий в металлах, является основным при анализе вакансионной структуры металлов, потоков вакансий и образованных ими несплошностей в больших масштабных диапазонах размеров таких несплошностей (пор, микротрещин). Определяющим параметром всех расчетов методом молекулярной динамики является многочастичное межатомное взаимодействие, наиболее эффективно описываемое методом функционала электронной плотности (ФЭП) и методом погруженного атома (МПА). Параметры потенциалов (атомных функций) находятся из согласования теоретических и экспериментальных результатов (упругие модули, энергии образования дефектов, фононные спектры, др.). Модели межатомных взаимодействий в методе погруженного атома и его модификаций позволяют построить эффективную расчетную схему для исследований систем методом молекулярной динамики.

В Главе 3 изложены модели и методы расчетов термодинамических свойств вакансий в металлах в атомистическом подходе, в рамках которого получены выражения для энергий образования вакансий, химических потенциалов и потоков вакансий в полях градиентов напряжений, а также, изложены результаты расчетов термодинамических характеристик вакансий в ГЦК металлах А1, Си и Ni в исходном состоянии (недеформированном) и в зависимости от степени и типа деформирования (одноосного или объемного). Показано существование максимума на зависимости химического потенциала от деформации, положение которого (критическая деформация) зависит от типа металла и типа деформирования (одноосное или объемное). При деформациях сдвига такой максимум не наблюдается.

В результате вакансионный механизм, наряду с дислокационным, может играть существенную роль при пластической деформации и разрушении твердых тел (на примере ГЦК металлов А1, Си и Ni), если локальные градиенты напряжений вблизи микро- и мезо- концентраторов велики (вакансион-но-дислокационный механизм).

В главе 4 вычислены энергетические, кристаллографические и кинетические характеристики собственных точечных дефектов (вакансий и межу-зельных атомов) во внутренних градиентных полях напряжений, созданных дислокациями разных типов в ГЦК кристалле плутония, обладающего рекордным показателем (более 7 при комнатной температуре) упругой анизотропии. Для расчетов использовался гибридный метод, когда характеристики точечных дефектов вычислялись методом молекулярной статики с использованием многочастичного потенциала межатомного взаимодействия, полученного методом погруженного атома (при некоторой его модификации), а упругие поля дислокаций и их взаимодействий с точечными дефектами (упругими диполями) вычислялись методами анизотропной теории упругости.

Показано, что упругие поля дислокаций управляют энергетикой точечных дефектов и их диффузионными потоками и могут быть концентраторами плотности вакансий, способствующими образованию локальных микронесплошностей (непосредственный диффузионно-дислокационный механизм).

В Заключении обобщены и суммированы основные результаты диссертации, ее основные положения и выводы.

В Списке литературы даны библиографические данные научных публикаций, результаты которых использованы при выполнении и написании данной диссертации.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Ульянов, Владимир Владимирович

4.6. Основные результаты

1. В ГЦК кристалле плутония (5-Ри) с использованием потенциала межатомных взаимодействий, разработанного в рамках модифицированного метода погруженного атома [82, 88], методом молекулярной статики рассчитаны стабильные, метастабильные и седловые конфигурации точечных дефектов (вакансия, собственные межузельные атомы) и определены их энергии образования, энергии миграции, релаксационные объёмы и дипольные тензоры.

2. Наиболее энергетически выгодной конфигурацией собственного ме-жузельного атома является <100> гантельная конфигурация с энергией образования равной 1.66 эВ и энергией миграции 0.11 эВ. Величины энергии образования и миграции вакансии равны 0.53 эВ и 1.56 эВ, соответственно.

3. В рамках анизотропной теории упругости рассчитана пространственная зависимость энергии взаимодействия собственных точечных дефектов (упругих диполей) с краевыми и винтовыми дислокациями в системах скольжения <110>{111} и<110>{110} в ГЦК кристалле плутония.

4. Показано существенное влияние упругих полей дислокаций на энергетические и кристаллографические характеристики точечных дефектов и направления их миграции. В окрестности всех рассмотренных дислокаций существуют области, где энергия <110> гантели меньше энергии образования <100> гантели. Границы этих областей находятся на расстоянии 1-2 b от дислокационной линии.

5. Попадание точечного дефекта в ядро дислокации затруднено во всех рассмотренных случаях упругого взаимодействия дислокации и точечных дефектов, кроме случая винтовой дислокации и вакансии, в котором траектории миграции с наименьшей энергией миграции вакансии ведут к ядру дислокации. Вакансии могут образовывать локальные скопления, положение которых зависит от типа дислокации (похожие эффекты были ранее получены для кристаллов меди [81], с некоторыми отличиями, обусловленными, может быть, существенным различием степеней анизотропности ГЦК кристаллов меди и плутония).

6. Среднее расстояние от дислокаций, на котором различие энергии миграции собственных точечных дефектов в разных направлениях превышает значение квТ при Т = 20 °С, примерно равно 13 Ь.

7. Указанные признаки поведения собственных точечных дефектов в дислокационных полях могут существенно влиять на кинетику образования дефектов и их потоков, эффективность дислокаций, как стоков для точечных дефектов в ГЦК кристалле плутония и, следовательно, на эволюцию микроструктуры материала под облучением (распухание, ползучесть, разрушение,

ДР-)

Заключение

Результаты исследований достаточно подробно сформулированы в выводах, завершающих каждую главу диссертации, опубликованные в [45? 5365] и обосновывающих выносимые на защиту основные положения и выводы:

1. Результаты расчетов, выполненные методом погруженного атома, для энергии взаимодействия вакансии с полем упругих напряжений и химических потенциалов вакансий для ГЦК металлов (Al, Си, Ni), показали, что как при всестороннем, так и при одноосном растяжениях химический потенциал вакансии, обусловленный её взаимодействием с полем упругих напряжений, принимает максимальные значения при некоторой критической деформации (различных для каждого ГЦК металла, что связано с уровнями их упругой анизотропии). Существование максимума на деформационной зависимости химического потенциала означает, что выше некоторой деформации (критической) дополнительный диффузионный поток вакансий, обусловленный градиентом напряжений, меняет свое направление в сторону области разрежения.

2. При деформации сдвига химический потенциал вакансий, обусловленный её взаимодействием с полем упругих напряжений, для рассматриваемых ГЦК металлов (Al, Си, Ni) всегда уменьшается при увеличении деформации, т.е. поток вакансий всегда направлен в область более деформированного кристалла.

3. Рассчитана пространственная зависимость энергии упругого взаимодействия собственных точечных дефектов (вакансий и межузельных атомов) и прямолинейных краевых (системы скольжения <110>{111} и <110>{110}) и винтовой (вектор Бюргерса 110>) дислокаций в ГЦК кристалле Ри методом молекулярной динамики с использованием многочастичного межатомного потенциала, полученного модифицированным методом погруженного атома, и методами упругой анизотропии. Показано существенное влияние полей дислокаций на энергетические и кристаллографические характеристики собственных точечных дефектов (вакансий и межузельных атомов) и направления их миграции в кристалле плутония. Градиентные поля напряжений дислокаций существенно влияют на диффузионные потоки точечных дефектов, вызывая их потоки к ядру дислокации, но не все ядра дислокаций являются непосредственными стоками таких дефектов, поскольку поля напряжений дислокаций отклоняют потоки дефектов от центра ядер дислокаций.

4. Полученный в работе массив физических данных об энергетических и кинетических характеристиках собственных точечных дефектов, их химических потенциалах и потоках в градиентных полях напряжений (вакансий в ГЦК металлах Al, Си, Ni во внешних полях, вакансий и собственных межузельных атомов в ГЦК кристалле Ри во внутренних дислокационных полях) как основы построения физических вакансионно-дислокационных моделей функциональных свойств ГЦК металлов и сплавов (формоизменение, разрушение), работающих в сложных напряженных состояниях и при воздействии полей разной природы и интенсивности (тепловых, радиационных).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ульянов, Владимир Владимирович, 2008 год

1. Физическая мезомехаиика и компьютерное конструирование материалов, С. в двух томах. Ред. Панин В.Е., Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. - 1995. - Т. 1, - 298 е., - Т. 2. - 320 с.

2. Панин В.Е., Коротаев А.Д., Макаров П.В., Кузнецов В.М. Физическая мезомеханника материалов // Изв. вузов. Физика. 1998.—№ 9.—с. .8 - 36.

3. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика новая парадигма на стыке физики и механики. Физическая мезомеханика. Том 6, № 4, 2003, с. 9-36.

4. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Псахье С.Г. Физическая мезомеханика: достижения за два десятилетия развития. Физическая мезомеханика, Том 7, Часть 1,2004, с. 1-25-1-40

5. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения материалов. М.: Металлургия. 1984. - с. 280.

6. Тюменцев А.Н., Панин В.Е. и др. Механизм локализованного сдвига на мезоуровне при растяжении ультрамелкозернистой меди.//Физическая мезомеханника. -1999. т. 2., № 6 - с. 115 - 123.

7. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1976.

8. Elastic strain fields and dislocation mobility. Eds: Indenbom V.L. and Lothe J., North-Holland, Amsterdam, 1992.

9. Степанов А.В. Основы практической прочности кристаллов. М.: Наука, 1974, 132 с.

10. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987,80 с.

11. Партон В.З. Механика разрушения. От теории к практике. Изд. 2-е. М.: Издательство ЛЕСИ, 2007, 240 с.

12. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел. СПб, Профессия, 2002, 320 с.

13. Панин В.Е., Чернов В.М., Солонин М.И. Роль состояния поверхностного и масштабного фактора в пластичности и прочности конструкционных материалов. ВАНТ, Сер.: «М и НМ», 2005, 1(64), стр. 155-161.

14. Баренблат Г.И. Модель нелокального накопления повреждений. Физическая мезомеханика, т. 6, № 4, 2003 г., с. 85-92.

15. Слезов В.В. Диффузионно-дислокационный механизм течения кристалла с учетом упругого взаимодействия дислокационных петель/ЖЭТФ, 1967, Т. 53, № 3, с. 912-926.

16. Иванов Л.И., Платов Ю.М. Радиационная физика металлов и её приложения. М.: Интерконтакт Наука, 2002, 300 с.

17. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. Теория кристаллической решетки. Киев: Вища школа. - 1988. - 300 с.

18. Слезов В.В. Теория дислокационного механизма роста и залечивания пор и трещин под нагрузкой./ФТТ, 1974, Т. 16, № 3, с. 785-794.

19. Tome C.N., Cecatto Н.А., Savito E.J. Point defect diffusion in a strained crystall//Phys. Rev. B. -1982 - v. 25, № 12 - p 7428 - 7440.

20. Dederichs P.H., Schroeder K. Anisotropic diffusion in stress fields//Phys. Rev. B. -1978 v. 17, №6. - p. 2524—2536.

21. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. Перевод с англ. М.: Атомиз-дат, 1972, 600 с.

22. Чадек Й. Ползучесть металлических материалов. Перевод с чешек., М.: Мир, 1987, -304 с.

23. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. М.: Наука, 1981, 296 с.

24. Модели твердофазных реакций. Ред. А.М.Гусак, Черкассы, ЧНУ, 2004,-314 с.

25. Маннинг Дж. Кинетика диффузии атомов в кристаллах. М. Мир. -1971 -280 с.

26. П.Г. Черемской, В.В. Слезов, В.И. Бетехтин. Поры в твердом теле. -М.: Энергоатомиздат. 1990. - 376 с.

27. H.G.F. Wilsdorf. The vacancy mechanism of void nucleation ahead of the crack tip//Acta metall. 1982. - V. 30. - p.1247.

28. Физическое металловедение.: Под ред. Р.У. Кана и П. Хаазена. М.: Металлургия. - 1987. Т. 3. - 662 с.

29. Faleskog J., Shin C.F. Micromechanics of void coalescence. l.Synergetic effects of elasticity, plastic yielding and multi-size-scale voids/J.Mech.Phys.Solids.-1997,-V. 45.-№ l.-P. 21-50.

30. Орлов A.H., Трушин Ю.В. Энергии точечных дефектов в металлах. -М.: Энергоатомиздат. 1983. - 81 с.

31. Веттегрень В.И., Гиляров В.Л., Рахимов С.Ш., Светлов В.Н. Механизм образования нанодефектов на поверхностях нагруженных металлов./ ФТТ, 1998, Т. 40, № 4, с. 668 671.

32. Williams R.O. Diffusion of vacancies under stress gradient.//Acta metallurgica, 1957, v.5, № 1, p. 55-56.

33. Olmsted D.L., Philips R. and Curtin W.A. Modelling diffusion in ciystals under high internal stress gradients. Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 12 (2004) 781-797.

34. Daan Frenkel and Berend Smit. Understanding Molecular Simulation. From Algorithms to Applications. AP, 2002, 740 p.

35. Computer Simulation in Material Science/ Nano/Meso/Macroscopic Space&Time States. Eds H.O.Kirchuer, L.P.Kubin, V.Pontikis, NATO ASI Series, 1996/ Kluwer Academic Publishers, 603 p.

36. В.В.Кирсанов. ЭВМ-эксперимент в атомном материаловедении. М.:, Энергоатомиздат, 1990.

37. J. Cai, Y.Y. Ye. Simple analytical embedded-atom-potential model including a long-range force for fee metals and their alloys//Phys.Rev.B. 1996. -V. 54, N 12. -p. 8398-8410.

38. Kuznetsov Y.M., Rudenskii G.E., Kadyrov R.I. Many-body interatomic potentials for computer simulation of physical processes in metals and alloys//J.Mater.Sci.Technol. 1998. -V. 14, № 5. - p. 429-433.

39. R.A. Johnson, D.J.Oh. Analytic embedded atom method model for bcc metals//J. Mater. Res. -1989. -V. 4 ,N. 5. p. 1195-1201.

40. Baskes M.I. Modified embedded atom potentials for cubic materials and impurities.// Phys.Rev.B. - 1992.-vol. 46, № 5 - p. 2727 - 2742.

41. Petri M.C., Dayananda M.A. Vacancy wind contributions to intrinsic diffusion. // Philosophical magazine A, 1997, Vol. 76, No. 6, 1169-1185.

42. P. Varotsos, W. Ludwig, K. Alexopoulos. Calculation of the formation volume of vacancies in solids. // Physical review B, 15 September 1978, Vol. 18, number 6, p. 2683 2691.

43. Jian-Min Zhang, Yan-Ni Wen, Ke-Wei Xu, Vincent Ji. Formation mechanism of the di-vacancy in FCC metal Pt. // Journal of Physics and Chemistry of Solids 69, 2008, p. 1957 1962.

44. M.A. Puigvi, N. De Diego, A. Serra, Yu.N. Osetsky, D.J. Bacon. On the interaction between a vacancy and self-interstitial atom clusters in metals. //Philosophical Magazine, Vol. 87, No. 23, 11 August 2007, 3501-3517.

45. A. Seeger. Production of lattice vacancies in metals by deformation twinning. // Philosophical magazine letters, Vol. 87, No. 2, Februaiy 2007, 95-102.

46. С. С. Matthai, N.H. March. On the pressure dependence of the melting temperature and the monovacancy formation energy in transition metals. // Philosophical Magazine Letters, Vol. 87, No. 7, July 2007, 475-482.

47. P. Streitenberger. The stress-driven migration of point defects to a slowly moving crack. // Philosophical magazine, 11 August 2004, Vol. 84, No.23, 2455-2470.

48. P. Streitenberger. The stress driven of point defects to a slowly moving crack. // Computational materials Science 32, 2005, 553-561.

49. A. Bora, A.K. Raychaudhuri. Low-frequency resistance fluctuations in metal films under current stressing at low temperature (Т<0.3ТтеШпЕ). // Physical review В 77, 075423, 2008, p. 1-9.

50. P. Varotsos. Comparison of models that interconnect point defect parameters in solids with bulk properties. // Journal of applied physics 101,2007, 123503, p.1-8.

51. A.F. Wright, R.R. Wixom. Density functional theory calculations for silicon vacancy migration. // Journal of applied physics 103, 2008, 083517, p.1-5.

52. C.N. Tome, H.A. Cecatto, E.J. Savino. Point-defect diffusion in a strained crystal. // Physical review B, Vol. 25, Number 12, 15 June 1982, p.7428-7440.

53. K. Kolluri, M. Rauf Gungor, D. Maroudas. Atomic-scale analysis of defect dynamics and strain relaxation mechanisms in biaxially strained ultrathin films of FCC metals. // Journal of applied physics 103, 123517, 2008, p.1-11

54. J. Hafner. Ab-initio Simulations of materials using VASP: Density-Functional theory and Beyond. // J Comput Chem 29, 2008, 2044-2078.

55. M. Cerny, J. Pokluda, M. Sob, M. Friak, P. Sandera. Ab initio calculations of elastic and magnetic properties of Fe, Co, Ni, and Crcrystals under isotropic deformation. // Physical review В 67, 2003, 035116, p.1-8.

56. B. Puchala, M.L. Falk, K. Garikipati. Elastic e3ffects on relaxation volume tensor calculations. // Physical review В 77,2008, 174116, p.1-9.

57. J. Schiotz, T. Leffers, B.N. Singh. Dislocation nucleation and vacancy formation during high-speed deformation of FCC metals. // Phylosophical Magazine Letters, 2001, Vol. 81, No.5, 301-309.

58. Charlie Jun Zhai, Richard Clark Blish II. A physically based lifetime model for stress-induced voiding in interconnects. // Journal of applied physics 97, 2005, 113503, p. 1-6.

59. D.C. Ahn, P. Sofronis, M. Kumar, J. Belak, R. Minich. Void growth by dislocation-loop emission. // Journal of applied physics 101, 2007, 063514, p.1-6.

60. D. Kulikov, L. Malerba, M. Hou. On the binding energies and configurations of vacancy and copper-vacancy clusters in BCC Fe-Cu: a computational study. // Philosophical Magazine, 2006, Vol. 86, No. 2, 141-172.

61. A.V. Barashev, A.C. Arokiam. Monte Carlo modeling of Cu atom diffusion in alfa-Fe via the vacancy vechanism. // Philosophical magazine letters, 2006, Vol. 86, No.5, 321-332.

62. Yu.N. Osetsky, A. Serra, M. Victoria, S.I. Golubov, V. Priego. Vacancy loops and stacking-fault tetrahedral in copper I. Structure and properties studied by pair and many-body potentials. // Philosophical magazine A, 1999, Vol. 79, No.9, 2259-2283.

63. M. Samaras, P.M. Derlet, H. Van Swygenhoven, M. Victoria. Movement of interstitial clusters in stress gradients of grain boundaries. // Physical review В 68, 2003, 224111, p. 1-7

64. M. Mantina, Y. Wang, R. Arroyave, L.Q. Chen, Z.K. Liu. First-Principles calculation of self-diffusion coefficients. // Physical review letters, 2008, PRL 100, 215901, p.1-4.

65. K.Carling, G. Wahnstrom, T. Mattsson, A. Mattsson, N. Sandberg, G. Grimvall. Vacancies in metals: From first-principales calculations to experimental data. // Physical review letters, 2000, Vol. 85, No, 18., p.3862-3865.

66. E.Z. da Silva, F.D. Novaes, Antonio J.R. Silva, A. Fazzio. Theoretical study of the formation, evolution, and breaking of gold nanowires. // Physical review В 69, 2004, 115411, p. 1-11.

67. Sheldon K. Friedlander, Murray K. Wu. Linear rate for the decay of the excess surface area of a coalescing solid particles. // Physical review В 49, No.5, 1994, p.3622-3624.

68. S.-Z. Zhang, E. Louis, O. Pla, F. Guinea. Growth instabilities in mechasnical breakdown under mechanical and thermal stresses. // Physical review E, 1995, Vol. 52, Number 6, p. 6476-6483.

69. Jia-An Yan, Chong-Yu Wang, Shan-Ying Wang. Generalized- stacking-fault energy and dislocation properties in BCC FE: A first-principles study. //Physical review В 70, 2004, 174105, p. 1-5.

70. Yvon Le Page, Paul Saxe. Symmetry-general least-squares extraction of elastic data for strained materials from ab initio calculations of stress. // Physical review B, 2002, Vol. 65,104104, p. 1-14.

71. X.C. Zhang, B.S. Xu, S.T. Tu. Analysis on multiple cracking in film/substrate systems with residual stresses. // Journal of applied physics 103,2008, 023519, p.1-9.

72. K.N. Tu. Electromigration in stressed thin films. // Physical review B, 1992, Vol. 45, Number 3, p. 1409-1413.

73. H.-K. Kao, G. S. Cargill, F. Giuliani. Relationship between copper concentration and stress during electromigration in an AL (0.25 at. % Cu) conductor line. // Journal of applied physics, 2003, Vol. 93, Number 5, p. 2516-2527.

74. Jae-Woong Nah, J.O. Suh, K.N. Tu. Electromigration in flip chip solder joints having a thick Cu column bump and a shallow solder interconnect. // Journal of applied physics 100, 2006,123513, p. 1-5.

75. A. Bora, A.K. Raychaudhuri. Low-frequency resistance fluctuations in metal films under current stressing at low temperature (T<0.3Tmciting). // Physical review В 77, 2008, 075423, p. 1-9.

76. V.I. Marconi, E.A. Jagla. Diffuse interface approach to brittle fracture. // Physical review E 71, 2005, 036110, p. 1-9.

77. Кузнецов B.M., Каминский П.П., Перевалова В.Ф., Хон Ю.А. Модель функционала электронной плотности в теории сплавов.// Изв. АН СССР, Металлы. 1990. - № 2. - с. 165-174.

78. March N.H., Jones W. Theoretical solid state physics. Dover Publ. Inc., New York. - 1985. - vol. 1 - p. 680.

79. Kohn W., Sham L.J. Self consistent equations including exchange and correlation effects. // Phys. Rev. A - 1965. - vol. 140, №4. - p. 1133 -1138.

80. Zunger A., Cohen M.L. First principles nonlocal - pseudopotential approach in the density - functional formalism. II. Application to electronic and structural properties of solids. // Phys.Rev.B. - 1979. - vol. 20, №10.-p. 4082-4108.

81. Руденский Г.Е., Ульянов B.B., Кузнецов B.M., Тверскова А.В. Расчет термодинамических характеристик вакансий в ГЦК металлах в условиях одноосного растяжения.//Физическая мезомеханника. 2001. -т .4.-с. 7 - 11.

82. Daw M.S. Model of metallic cohesion: The embedded atom method/Phys. Rev. B, 1989, v. 39, № 11, p. 7441-7452.

83. Теория неоднородного газа. Перевод с английского, Ред. С. Лундк-виста и Н. Марча. М.: Мир, 1987, 400 с.

84. Кон В. Электронная структура вещества — волновые функции м функционалы плотности. Нобелевская лекция. УФН, 2002, том 172, № 3, с. 336-348.

85. Каминский П.П. Термодинамические свойства простых и 3d переходных металлов и сплавов на их основе./ Дисс. канд. - физ.мат.наук. -Томск, 1987.- 168 с.

86. Каминский П.П., Кузнецов В.М. Расчет энергии смешения сплавов методом модельного функционала электронной плотности. Система Ni Al // Изв. ВУЗов.Физика. - 1986. - №12. - с. 36-41.

87. Вакс В.Г. Межатомные взаимодействия и связь в твердых телах.М.: ИздАТ, 2002, 236 с.

88. У.Харрисон. Электронная структура и свойства твердых тел. Физика химической связи. М.: Мир, 1983, т. 1-2.

89. Ульянов В.В., Тверскова А.В., Кузнецов В.М., Руденский Г.Е. Поток деформационных вакансий в твердых телах при наличии градиента по сдвигу//Тезисы докладов II Международной конференции "Кристаллофизика 21 -го века". М.: Изд-е МИСиС, 2003. - с. 187-188.

90. Ульянов В.В., Тверскова А.В., Кузнецов В.М. Термодинамические характеристики ГЦК металлов при одноосной деформации. Ноосферные знания и технологии. Сборник статей. Вып. 1, Томск, Изд-во Том. Ун-та, с. 92-96.

91. Vinals J. Jump rates for vacancy diffusion in a Lenard-Jones solid under nonhydrostatic stress//Phys .Rev.B. -1988 v. 37, № 18.-p. 1069710707.

92. Brune H., Bromann К. et al. Effect of strain on surface diffusion and nucleation/Phys. Rev. B. 1995 - v. 52, № 20 - p. R14380 - R14383.

93. Antonelli A., Bernholc J. Pressure effects on self-diffusion in silicon./Phys. Rev. B. v. 40, № 15. - p. 10643-10646.

94. Pawellek R., Fahnle M., Elsasser С., Но К. M., Chan С. - T. First -principles calculation of the relaxation around a vacancy and the vacancy formation energy in BCC Li.//J. Phys.: Condens. Matter. - 1991. - v. 3. -p. 2451 -2455.

95. Breier U., Frank W., Elsasser C., Fahnle M., Seeger A. Properties of monovacancies and self interstisials in BCC Na: An ab initio pseudopotential study .//Phys. Rev. B. - 1994. -v. 50. - № 9. - p. 5928 -5936.

96. Ho P.S. Application of pseudopotentials to the calculation of vacancy formation energy and volume for alkali metal.//Phys. Rev. B. 1971. - v. 3. -№ 12(1).-p. 4935-4043.

97. Уваров Т.Ю. Потоки точечных дефектов в полях градиентов на-пряжений.//Тезисы докладов конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов", Томск: ИФПМ СО РАН, 1998, с. 51-52.

98. Киржниц Д.А. Квантовые поправки к уравнению Томаса Ферми. // ЖЭТФ - 1957. - т. 32, №1. - с. 115 - 123.

99. Finnis M.W., Sinclair J.E. Phil. Mag. A75 (1997) 713

100. J.H.Rose, J.H.Smith, F.Guinea, J.Ferrante. Phys. Rev. B29 (1984) 2963.

101. Жарков B.H., Калинин B.A. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.:, Наука, 1968.

102. Григорович В.К. Металлическая связь и структура металлов. М.: Наука, 1988, -296 с.

103. Терентьев В.Ф. Усталостная прочность металлов и сплавов. М.: Интермет Инжиниринг, 2002, 288 с.

104. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. М.: Наука, 1983, 280 с.

105. Лейбфрид Г., Бройер Н. Точечные дефекты в металлах. М.:, Мир, 1981.

106. Baskes M.I., Atomistic model of plutonium, Phys. Rev., B62, pp. 15532-15537(2000).

107. Uberaaga B.P., Hoagland R.G., Voter A.F., Valone S.M., "Atomistic study of vacancy clustering and cluster dynamics in Pu," Plutonium Futures The Science, California, USA, pp. 517-518 (2006).

108. Uberuaga B.P., Valone S.M., Baskes M.I., Voter A.F., "Accelerated molecular dynamics study of vacancies in Pu," Plutonium Futures The Science, Mexico, USA, July 6-10, pp. 213-215 (2003).

109. Valone S.M., Baskes M.I., Uberuaga B.P., "Atomistic Models of Point Defects in Plutonium Metal," Plutonium Futures The Science, Mexico, USA, July 6-10, pp. 216-218 (2003).

110. Wong J., Krisch M., Farber D.L., Occelli F., Schwartz A.J., Chiang T.-C., Wall M., Boro C., Xu R., "Phonon Dispersions of fee 5-Plutonium-Gallium by Inelastic X-ray Scattering," Science, 301, pp. 1078-1080 (2003).

111. Valone S.M., Baskes M.I., Stan M., Mitchell Т.Е., Lawson A.C., Sickafus K.E., "Simulations of low energy cascades in fee Pu metal at 300 К and constant volume," J. Nucl. Mater., 324, pp. 41-51 (2004).

112. Baskes M.I., "Modified embedded-atom potentials for cubic materials and impurities," Phys. Rev., B46, pp. 2727-2742 (1992).

113. Timofeeva L.F., "Some Regularities in Eutectoid Transformations in Binary Systems of Plutonium," Atomic Energy, 95, pp. 540-545 (2003).

114. Robbins J.L., "Mechanical properties of delta-stabilized Pu-1.0 wt% Ga alloys," J. Nucl. Mater., 324, pp. 125-133 (2004).

115. Schober H.R., Ingle K.W., "Calculation of relaxation volumes, dipole tensors and Kanzaki forces for point defects," J. Phys. F: Metal Phys., 10, pp. 575 -581 (1980).

116. Leibfried G., Breuer N., Point Defects in Metals, Springer-Verlag, Berlin & Germany (1978).

117. Eshelby J.D., The Continuum Theoiy of Lattice Defects, in: Solid State Physics, Eds: Seitz F., Turnball D., Academic Press, New York & USA, 3, pp. 79-144(1956).

118. Kroner E., Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen, Springer, Berlin Gottingen - Heidelberg, 1958.

119. Chernov V.M., Ivanov V.V., "The influence of elastic anisotropy on interaction of dislocations with point defects in BCC metals," Crystal Res. and Technol., 19, p. 747-756 (1984).

120. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. Пер. с англ. Ю.А. Данилова и В.В. Белого -М.: Мир, 2002.-461 с.

121. A. R. Allnatt, А. В. Lidiard. Atomic transport in solids.Cambridge University Press 1993.