Точное аналитическое описание переходных волновых процессов деформации стержней на основе теории С.П. Тимошенко тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зоненберг Александр Леонидович

• Зоненберг Александр Леонидович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Зоненберг Александр Леонидович

Введение

Глава 1. Обзор методов анализа переходных процессов при поперечных

колебаниях стержней на основе теории С.П. Тимошенко

1.1. Обзор теорий поперечных колебаний стержней

1.2 Область применимости классической теории и теории Тимошенко

1.3. Методы решения нестационарных задач теории Тимошенко

1.4. Методы определения оригиналов при применении интегрального преобразования Лапласа к решению нестационарных задач теории Тимошенко

1.5. Эффективность методов решения нестационарных задач теории Тимошенко

Выводы по главе

Глава 2. Нестационарные задачи теории Тимошенко для бесконечного и полубесконечного стержней. Исследование изображений искомых решений

2.1. Формулировка нестационарной задачи для бесконечного стержня. Изображение искомого решения

2.2. Формулировка различных типов нестационарных задач для полубесконечного стержня. Общие формулы для изображений искомых решений

2.3. Свойства двузначной функции комплексного переменного

<(р) = а1 р + а2л]р2 - а2

2.4. Исследование поведения изображений в комплексной плоскости

Выводы по главе

Глава 3. Проблема определения оригиналов при решении

нестационарных задач теории Тимошенко. Определение оригиналов с помощью операционных теорем и новых операционных соотношений

3.1. Вывод новых операционных соотношений

3.2. Представление основных функций в виде интегралов от бесселевых функций

3.3. Исследование основных функций

3.4. Общие аналитические выражения для перемещений и усилий в бесконечном и полубесконечном стержнях

3.5. Решение тестовой задачи для защемленного полубесконечного стержня

3.6. Методика численного интегрирования произведения непрерывных функций, заданных табличным способом

3.7. Методика численного интегрирования кусочно-непрерывной функции, заданной табличным способом

3.8. Сопоставление полученных решений тестовых задач с решениями других авторов

Выводы по главе

Глава 4. Определение оригиналов в нестационарных задачах теории Тимошенко с помощью непосредственного использования формулы обращения, представления изображений в виде рядов и асимптотических методов

4.1. Оригиналы для изображений 1 типа

4.2. Оригиналы для изображений 2 типа

4.3. Оригиналы для изображений, представляющих собой произведения изображений 1 и 2 типов

Выводы по главе

Глава 5. Нестационарные задачи теории Тимошенко для стержня

конечной длины. Методы получения точных решений в виде бегущих волн

5.1. Решение в пространстве изображений в форме метода начальных

параметров

5.2. Определение оригиналов с помощью разложения изображений

в ряды по степеням показательной функции

5.3. Построение решения с помощью решений задач для полубесконечных стержней

5.4. Пример расчета консольного стержня

Выводы по главе

Глава 6. Численные результаты для бесконечного стержня,

полубесконечных стержней и стержней конечной длины по теории Тимошенко при различных воздействиях

6.1. Особенности операций над комплексными числами в программе Mathcad

6.2. Численные результаты для бесконечного и полубесконечных стержней

6.3. Численные результаты для стержня конечной длины (консольный стержень)

Выводы по главе

Глава 7. Стационарные задачи теории Тимошенко для стержня конечной длины при гармонических воздействиях. Сравнительная оценка динамической реакции консольного стержня в переходном и установившемся режимах по

классической теории и теории Тимошенко

7.1. Формулировки стационарной задачи

7.2. Исследование изображений и построение решения стационарной задачи теории Тимошенко

7.3. Стационарная задача для консольного стержня по теории Тимошенко. Пример расчета

7.4. Решение нестационарной и стационарной задач для консольного стержня по классической теории. Пример расчета

7.5. Сравнение результатов расчета консольного стержня по классической теории и теории Тимошенко

7.6. Сравнение величин реакций консольного стержня в переходном и установившемся режимах по по классической теории и теории

Тимошенко

Выводы по главе

Заключение

Список условных обозначений

Список литературы

Приложение А . Формулы для основных функций, функций влияния, функций перемещений и усилий в бесконечном и полубесконечных стержнях при решении нестационарных задач в виде бегущих волн на основе

теории Тимошенко

Приложение Б . Методика вычисления значений искомых функций

на ЭВМ

Приложение В . Графики безразмерных поперечных перемещений,

углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил для бесконечного и полубесконечных стержней

по теории Тимошенко

Приложение Г . Графики безразмерных изгибающих моментов для

консольного стержня по классической теории и теории Тимошенко

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точное аналитическое описание переходных волновых процессов деформации стержней на основе теории С.П. Тимошенко»

Актуальность темы исследования

Одной из задач динамики сооружений является разработка принципов и методов расчета сооружений на действие кратковременных и быстроизменяющихся нагрузок, которые в гражданском и промышленном строительстве возникают главным образом под влиянием ударных и взрывных воздействий.

В связи с потребностями практики в последнее время возрастает интерес к проблемам распространения волн, вызванных указанными нагрузками, в стержнях. Это явление приводит к отысканию решения нестационарной задачи теории волн. Решения нестационарных задач - нестационарные волны (переходные процессы).

Переходные волновые процессы деформации стержней исследовались как аналитическими, так и численными методами.

Каждое точное аналитическое решение (далее - «решение») имеет большую значимость, так как в рамках данной аналитической модели является точным описанием реального процесса, служит критерием при оценке точности приближенных решений, позволяет отлаживать и верифицировать программы, в которых реализованы численные методы, является фундаментальным теоретическим фактом [25].

В случае поперечных колебаний стержней классическая теория Бернулли-Эйлера описывает распространение любого слабого разрыва с бесконечной скоростью и при указанных воздействиях во многих отношениях становится непригодной.

Теория С.П. Тимошенко, учитывающая в отличие от классической теории также инерцию вращения поперечных сечений стержня и деформацию сдвига, описывает распространение двух слабых разрывов (изгибного и сдвигового) с конечными скоростями и дает результаты, очень близкие к точным результатам, вытекающим из теории упругости [25].

Для исследования переходных волновых процессов деформации в стержнях на основе теории Тимошенко необходимо иметь решения нестационарных задач (готовые формулы и компьютерные программы для вычислений по этим формулам, графики). При этом важно, чтобы были удовлетворены следующие требования [29]:

- решения должны быть в общем виде;

- решения должны быть в виде нестационарных бегущих волн, так как при указанных воздействиях переходные процессы наиболее ясно описываются именно такими решениями (в отличие от представления решения в виде ряда (интеграла) по собственным функциям); для стержней конечной длины это справедливо при определенных условиях, изложенных далее;

- формы представления этих решений должны удовлетворять следующим условиям: обозримости результата, позволяющей судить об основных чертах исследуемого процесса, и возможности вычислений с заданной точностью.

На основе теории Тимошенко аналитические решения нестационарных задач в бегущих волнах получены в основном для бесконечных и полубесконечных стержней; из них решения в общем виде отсутствуют. Для стержней конечной длины решений в бегущих волнах очень мало, что объясняется, вероятно, математическими трудностями; из них почти все решения получены для свободно опертых стержней [24].

При использовании интегрального преобразования Лапласа (или Лапласа - Карсона) по времени для построения решений в бегущих волнах наибольшие трудности представляет именно этап перехода от изображения к начальной функции (оригиналу). Имеющиеся решения за небольшим исключением или очень громоздки и имеют «неволновую» структуру, или их эффективность при вычислениях достигается только в сравнительно небольших областях значений координаты и времени.

Отметим также, что очень мало работ, содержащих расчетные формулы, табличные данные, графики, или они приведены только для одного из искомых факторов напряженно-деформированного состояния.

Имея решения нестационарных задач, появляется возможность восполнить еще один пробел - выполнить сравнительную оценку динамической реакции

стержня в переходном и установившемся режимах при гармонических воздействиях.

Таким образом, построение в общем виде точных аналитических решений нестационарных задач теории С.П. Тимошенко для стержней в физически наглядной и удобной для практических расчетов форме является актуальной проблемой, имеющей как научный, так и практический интерес.

Степень разработанности темы исследования

Общие вопросы построения решений нестационарных задач теории С.П. Тимошенко для стержней рассматривали следующие авторы: В.Л. Бидерман, В. Гольдсмит, Э.И. Григолюк, И.Т. Селезов, Л.И. Слепян, Г.В. Федотенков, А.П. Филиппов, М.Ш. Флексер, Л.И. Фридман, B.A. Grohmann, Y.-W. Kim, J. Miklowitz, а также авторы, упомянутые в следующем абзаце.

На основе теории Тимошенко аналитические решения нестационарных задач в виде бегущих волн получили следующие авторы:

- для бесконечных и полубесконечных стержней: М. Сагарц, Я.С. Уфлянд, М.Ш. Флексер, М. Форрестол, В.А. Boley, B. Budiansky, С.-С. Спао, M.A. Dengler, H.E. Fettis, W. Flügge, M. Gоland, S.J. Kowalski, R.W. Leonard, H.J. Plass, S. Ranga-nath, P.D. Wickersham, E.E. Zajac . Что касается полубесконечных стержней, то решения в общем виде при различных граничных условиях на конце отсутствуют;

- для стержней конечной длины: долгое время были известны решения только для стержня, свободно опертого по концам, которые получили Я.С. Уфлянд, В.А. Boley, B. Budiansky, С.-С. ^ао, R.W. Leonard. Однако в некоторых решениях были приняты некорректные граничные условия или рассмотрен физически невозможный случай. В последующие годы решения, лишенные указанных выше недостатков и ограничений, были построены для свободно опертого по концам и консольного стержней в статьях Chien-Ching Ma, Y.-H. Pao, X.-Y. Su, Yu-Chi Su.

При построении решений в виде бегущих волн указанные авторы работ использовали в основном преобразование Лапласа по времени. Однако форма представления этих решений физически ненаглядна и неудобна для практических расчетов.

Вопросу о сравнительной оценке динамической реакции стержня в переходном и установившемся режимах при гармонических воздействиях в литературе практически не уделяется внимания. Необходимость такой оценки отметил И.М. Рабинович на примере расчета стержня по классической теории.

Проблемы, требующие разрешения, определили цель настоящего исследования.

Цель и задачи исследований

Цель исследований состоит в разработке новых методов построения аналитических решений нестационарных задач теории С.П. Тимошенко для стержней в физически наглядной и удобной для практических расчетов форме. При использовании в диссертации операционного исчисления на основе интегрального преобразования Лапласа-Карсона для достижения указанной цели необходимо решить ряд задач:

1) выполнить строгое математическое исследование поведения изображений в комплексной плоскости и определить особенности их структуры;

2) получить в общем виде операционные соотношения, позволяющие находить представление искомых оригиналов в наглядном, компактном и удобном для практических расчетов виде;

3) разработать методики представления оригиналов в виде рядов и методику получения асимптотических формул; оценить сходимость рядов в различных областях плоскости координата - время;

4) построить в общем виде решения различных типов нестационарных задач для полубесконечного стержня;

5) для стержня конечной длины разработать методику получения решений нестационарных задач в виде бегущих волн;

6) для бесконечного и полубесконечных стержней при воздействиях специального вида (импульсное или внезапно приложенное, остающееся затем постоянным) построить графики изменения во времени перемещений и усилий, а для получения численных результатов при произвольном воздействии создать программу (далее - «обобщенная программа») в среде Mathcad;

7) выполнить сравнительную оценку динамической реакции стержня в переходном и установившемся режимах при гармоническом воздействии.

Объект исследования: стержни на основе теории С.П. Тимошенко.

Предмет исследования: методы построения точных аналитических решений нестационарных задач при кратковременных и быстроизменяющихся воздействиях в физически наглядной и удобной для практических расчетов форме.

Научная новизна работы состоит в следующем: на основе теории Тимошенко

- приведено строгое математическое исследование поведения изображений в комплексной плоскости, для чего рассмотрена двузначная функция комплексного переменного (обобщающая функцию, обратную к функции Жуковского)

где ai , a2 , a - действительные постоянные ( a > 0 );

- получены новые операционные соотношения, обобщающие частные случаи преобразования А.М. Эфроса; на основе этих соотношений, без использования общей формулы обращения, разработан способ нахождения оригиналов в виде интегралов от бесселевых функций, имеющих ясно выраженный волновой характер, наглядный, компактный вид и удобных для практических расчетов;

- построены в общем виде решения различных типов нестационарных задач для полубесконечного стержня;

- предложены методики вычисления на ЭВМ определенных интегралов от бесселевых функций, интегралов типа свертки и интегралов от кусочно-непрерывных функций, заданных табличным способом;

- найдены формы представления оригиналов в виде рядов по бесселевым функциям и асимптотические формулы; произведена оценка остатков рядов;

- получено в общем виде решение нестационарной задачи в пространстве изображений для стержня конечной длины в форме метода начальных параметров; исследованы вопросы распространения и отражения волн в стержнях с различными граничными условиями;

- построены решения нестационарных задач в виде разложения по бегущим волнам для стержня, свободно опертого по концам, и для консольного стержня с конкретным примером расчета;

- для бесконечного и полубесконечных стержней при воздействиях специального вида построены графики изменения во времени искомых перемещений и усилий и разработана обобщенная программа в среде Mathcad для получения численных результатов при произвольном воздействии;

- выполнена сравнительная оценка динамической реакции консольного стержня в переходном и установившемся режимах при гармоническом воздействии; дано сравнение с классической теорией.

Теоретическая значимость работы:

- получены новые операционные соотношения, обобщающие частные случаи преобразования А.М. Эфроса; эти соотношения позволяют без использования общей формулы обращения находить оригиналы (в виде интегралов от бесселевых функций) в физически наглядной и удобной для практических расчетов форме;

- разработаны методики вычисления на ЭВМ определенных интегралов от бесселевых функций, интегралов типа свертки и интегралов от кусочно-непрерывных функций, заданных табличным способом;

- найдены представления оригиналов в виде рядов по бесселевым функциям и асимптотические формулы; произведена оценка остатков рядов;

- построены в общем виде решения различных типов нестационарных задач для полубесконечного стержня;

- получено в общем виде решение нестационарной задачи в пространстве изображений для стержня конечной длины в форме метода начальных параметров;

- разработана методика получения решений нестационарных задач в виде бегущих волн для стержня конечной длины на примере свободно опертого и консольного стержней;

- приведен пример расчета консольного стержня, опора которого смещается по синусоидальному закону; проанализирован вклад отраженных волн;

- выполнена сравнительная оценка динамической реакции консольного стержня в переходном и установившемся режимах при гармоническом воздействии.

Практическая значимость работы:

- полученные формулы и предложенные методики позволяют на основе теории Тимошенко находить решения нестационарных задач для стержней в виде бегущих волн;

- предложенные формы представления оригиналов позволяют судить об основных чертах исследуемого процесса и находить численные результаты при небольшом объеме вычислений;

- для бесконечного и полубесконечных стержней построены графики изменения во времени искомых факторов при воздействиях специального вида и создана обобщенная программа в среде Mathcad для получения численных результатов при произвольном воздействии;

- полученные новые операционные соотношения позволяют дополнить таблицы формул операционного исчисления и могут быть использованы в дальнейшем при решении различных проблем;

- результаты исследования функции могут быть использованы при решении различных задач методами теории функций комплексного переменного.

Методология и методы исследования

В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, операционное исчисление на основе интегрального преобразования Лапласа -Карсона, методы динамики сооружений. Создание авторских программ для ЭВМ проводилось на основе использования языков программирования высокого уровня и программы Mathcad .

На защиту выносятся:

- общие выражения для изображений решений нестационарных задач теории Тимошенко для полубесконечного стержня и для стержня конечной длины в форме метода начальных параметров;

- результаты строгого математического исследования поведения изображений в комплексной плоскости;

- новые операционные соотношения, обобщающие частные случаи преобразования А.М. Эфроса;

- способ нахождения оригиналов в виде интегралов от бесселевых функций, рядов по бесселевым функциям и асимптотических формул;

- точные аналитические выражения в общем виде для перемещений и усилий в полубесконечном стержне, полученные при решении различных типов нестационарных задач;

- применение различных методов для построения решений нестационарных задач в виде бегущих волн для стержня конечной длины; результаты анализа распространения и отражения волн в стержнях с различными граничными условиями;

- методики вычисления на ЭВМ определенных интегралов от бесселевых функций, интегралов типа свертки и интегралов от кусочно-непрерывных функций, заданных табличным способом;

- применение операционного исчисления к решению стационарной задачи теории Тимошенко для стержня при гармоническом воздействии;

- результаты расчета по предлагаемым методикам консольного стержня, опора которого перемещается по синусоидальному закону, в том числе сравнение величин реакций стержня в переходном и установившемся режимах;

- для бесконечного и полубесконечных стержней графики изменения во времени перемещений и усилий при воздействиях специального вида и обобщенная программа в среде Mathcad для получения численных результатов при произвольном воздействии.

Личный вклад автора диссертации

Автор диссертации самостоятельно выявил проблемы, поставил цель, сформулировал задачи для их решения. Все результаты, представленные в диссертации (исследования, доказательства, расчетные формулы, методики вычислений, программы для ЭВМ, графики), получены автором лично в процессе его научной деятельности.

Степень достоверности полученных результатов определяется строгостью используемого математического аппарата, корректностью постановки задач в рамках динамики сооружений, сопоставлением решений тестовых задач, полученных в диссертации, с решениями, выполненными другими авторами другими методами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных мероприятиях:

- XXV Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» (Российская Федерация, г. Тула, 2024 г.);

- II Международный научно-практический симпозиум «Будущее строительной отрасли: Вызовы и перспективы развития». Круглый стол «Строительная механика - взгляд в будущее» ( Российская Федерация, г. Москва, 2024 г.).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 9 печатных работах (в том числе 2 работы в соавторстве), из которых 4 работы в рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ, 5 работ в иных изданиях. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав с выводами, заключения, списка литературы, включающего 124 наименований, и четырех приложений. 320 страниц основного текста и 64 страницы приложений включают 66 рисунков и 22 таблицы.

Глава 1. Обзор методов анализа переходных процессов при поперечных колебаниях стержней на основе теории С.П. Тимошенко

Помимо обзора, указанного в заголовке, в начале главы для полноты картины представлен краткий обзор различных теорий поперечных колебаний стержней и рассмотрены области их применимости.

1.1. Обзор теорий поперечных колебаний стержней

1.1.1. При исследовании действия на конструкцию сил, приложенных лишь на короткий промежуток времени или быстро изменяющихся, надо рассматривать это явление с точки зрения распространения волн напряжения [32].

Последние десятилетия характеризуются не только большим количеством публикаций, но и разнообразием отдельных направлений в исследовании распространения волн.

Нестационарные задачи в отличие от стационарных - это задачи с начальными условиями. Для решений нестационарных задач - нестационарных волн -часто употребляют также термины «переходные», «неустановившиеся» процессы [52]. Упругие волны в стержнях определяются уравнениями динамики упругой среды.

Теория распространения волн в элементах конструкций (стержнях, пластинах, оболочках) значительно сложнее теории распространения волн в безграничной или полуограниченной среде. В элементах конструкций отдельные волны те же, но, многократно отражаясь от границ, они создают очень сложную волновую картину. Поэтому, за исключением простейших случаев, точных решений задач о распространении волн в стержне в постановке математической теории упругости не найдено [52].

В указанной постановке наиболее полно теоретически и экспериментально исследовано распространение волн напряжений вдоль цилиндрического стержня. Распространение синусоидальных волн вдоль бесконечного цилиндрического

стержня было впервые исследовано на основе теории упругости Похгаммером (1876 г.) и независимо от него Кри (1889 г.). Описание этих исследований приведено Лявом. При решении нестационарных задач для стержней в постановке теории упругости получены некоторые результаты приближенными аналитическими (например, [81, 86]) и численными методами (например, [75, 120]).

Ввиду сложности точного (в рамках теории упругости) описания и восприятия волновой картины в стержнях развивались и уточнялись приближенные теории, задачей которых является построение сглаженной картины, в которой был бы достигнут компромисс между требованиями точности и простоты [52].

В случае поперечных колебаний упругих однородных призматических стержней наиболее известны следующие приближенные теории: классическая теория, теория Дж. Релея и теория С.П. Тимошенко. Рассмотрим сначала гипотезы, на которых они основаны, а затем представим с единой точки зрения результаты анализа этих теорий.

Будем предполагать, что поперечные колебания упругого однородного призматического стержня совершаются в одной из главных плоскостей инерции стержня. Плоскость колебаний принимаем за координатную плоскость Oxz, ось Ox направляем вдоль оси стержня.

Я. Бернулли получил соотношения для кривизны при изгибе и дифференциальное уравнение статического изгиба деформируемого стержня (1695 г.), которое затем исследовал и интегрировал Л. Эйлер (1744 г.). Впоследствии это уравнение было дополнено динамическим членом, учитывающим силы поперечной инерции. Полученное таким образом дифференциальное уравнение поперечных (изгибных) колебаний балки принято называть классическим, или уравнением Бернулли - Эйлера. Как известно, для однородного призматического стержня оно имеет вид

д4w д2?

ю> д?+рЛь д? = 9 ' (1Л)

где х - продольная координата, t - время, Аь - площадь поперечного сечения стержня; Jb - момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Оу ; р - объемная плотность; Е -

модуль Юнга; q - интенсивность внешней поперечной нагрузки; w - поперечное перемещение центра тяжести сечения стержня от положения его статического равновесия. Далее М - изгибающий момент, Q - поперечная сила.

Классическая теория основана на гипотезе плоских сечений: поперечные сечения стержня в процессе деформации поворачиваются, оставаясь плоскими и нормальными к деформированной оси стержня. Предполагается также, что напряжения в направлениях, перпендикулярных продольным волокнам, пренебрежимо малы.

Уравнение Релея [46] (1877 г.), уточняющее классическую теорию в виде поправки, учитывающей инерцию вращения поперечных сечений стержня, имеет вид

дV . д2w д4w _ _

Еьт-т+рль -^ь^т-^=q (1.2)

д х д ? д х д;

Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения поперечных сечений стержня и деформации поперечного сдвига, было получено выдающимся отечественным ученым-механиком С.П. Тимошенко в 1916 г. [56, 57] (см. п. 1.1.2). Это обобщение С.П. Тимошенко получил, оценивая влияние конечности поперечных размеров стержня на частоты собственных колебаний.

С.П. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории [56, 57], хотя учет инерции вращения был сделан ранее Дж. Релеем (см. выше) и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и деформации сдвига был известен ранее Жану Брессу (1859 г.) [14].

Уточненные теории Релея и Тимошенко отличаются от классической теории наличием в дифференциальных уравнениях дополнительных членов, расширяющих в некотором смысле области применения классической теории.

При исследовании распространения волновых процессов одним из существенных качеств применяемой модели должна быть ее гиперболичность, т. е. соответствующие дифференциальные уравнения должны принадлежать к уравнени-

ям гиперболического типа. Физически это выражает конечность скорости распространения любого возмущения в рассматриваемой среде [14].

Динамическая теория упругости и теория Тимошенко удовлетворяют условию гиперболичности. На волновой характер уравнения Тимошенко указали J. Prescott [114] и W. Flügge [85]. Уравнение Тимошенко описывает распространение двух слабых разрывов (изгибного и сдвигового) с конечными скоростями. Теория Релея не является вполне гиперболической, она описывает распространение сдвигового разрыва с бесконечной скоростью и слабого разрыва (изгибного) с конечной скоростью. Классическое уравнение относится к параболическому типу, что физически означает бесконечную скорость распространения возмущения.

1.1.2. Перейдем к рассмотрению уточненной динамической теории Тимошенко.

Согласно [56] положение бесконечно малого элемента стержня определяется поперечным перемещением w его центра тяжести и углом поворота у , обусловленным изгибом, относительно нейтральной оси (рисунок 1.1 [28]). С.П. Тимошенко отмечает, что при составлении уравнений рассматривается элемент как абсолютно твердое тело и пренебрегается искривлением поперечных сечений стержня, т.е. поправка, учитывающая влияние касательных напряжений на прогиб стержня, лишь приближенно оценивает влияние этих напряжений.

Так как прогиб стержня обусловлен не только относительным поворотом поперечных сечений, но также и сдвигом одного из них относительно другого, то угол наклона касательной к деформированной оси стержня не равняется углу поворота сечения у . Разность между этими углами равна углу ß наклона касательной к деформированной оси, обусловленному деформацией сдвига, т. е.

0w с (л

— = y + ß . (1.3)

о x

Для изгибающего момента и поперечной силы имеем следующие выражения:

M = - EJb 0у , (1.4)

о x

Q = k = k'

д

д х

V

(1.5)

Рисунок 1.1 - Элемент стержня dx по теории Тимошенко [28]: а - перемещения элемента; б - внутренние усилия и внешняя нагрузка, приложенные к элементу

Из уравнения движения бесконечно малого элемента стержня (см. рисунок 1.1), соответствующего вращению элемента, и уравнения движения этого же элемента, соответствующего его перемещению в направлении оси Oz , с использованием соотношений (1.4) и (1.5) получаются уравнения поперечных колебаний однородного призматического стержня с учетом инерции поворота поперечных сечений и деформации поперечного сдвига:

г)2 (

^ + к'ЛьО

д х

V

д w д х

V

-pJl

- к'ЛьО

^ д2w ду д х2 д х

д V д^

= о

, д V

+ РЛъ^ = Ч д t

(1.6)

>

Исключая формально у из этой системы уравнений, придем к уточненному уравнению балки Тимошенко

д4? д

+ РАь^ -PJb д х д t

Е

1 +

k V

д4? р2Jb д4? EJb д2д рJb д2д

+ ■_^_= П —_^__+

V kGудх2дt2 k'G дt4 kGAb дх2 kGAb дt2

(1.7)

Отметим, что в курсе теории упругости [56] С.П. Тимошенко приводит уточненное уравнение для случая свободных поперечных колебаний стержня, т.е. при п = 0 .

Таким образом, уточнение классической теории было выполнено С.П. Тимошенко при следующих предположениях: поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформированной оси стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений.

Отметим также, что известны и другие трактовки модели Тимошенко [14, 49]. Наличие не одной, а нескольких трактовок, приводит в конечном итоге к одному и тому же уравнению (1.7) с несколько отличными коэффициентами. Различными авторами были предложены приемы определения коэффициента сдвига к' (например, [14, 87, 96, 95]).

При решении краевых задач уравнения Тимошенко (1.6) дополняются граничными условиями в соответствии с соотношениями (1.3), (1.4), (1.5). При этом важным является вопрос о корректности граничных условий. Так, в некоторых работах [37, 59] уравнения Тимошенко решались с граничными условиями классической теории, что некорректно. Корректные граничные условия, соответствующие модели Тимошенко, приведены в работах [10, 65, 93, 121] и др. В [10, 65, 93] граничные условия получены с помощью вариационного принципа Гамильтона - Остроградского. В [14] отмечено, что «при таком подходе не требуется формулировать граничные условия на основе интуитивных соображений - они естественным образом следуют из варьируемого функционала, и вопроса о несоответствии граничных условий дифференциальному уравнению не возникает». В [10, 65, 93] получены следующие однородные граничные условия:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зоненберг Александр Леонидович, 2025 год

- р—

2

ре

Тогда функция в фигурных скобках уже является изображением в смысле классического анализа.

При -да < х < 0 искомые функции, разрывы и особенность определяются, исходя из следующих зависимостей:

w(- х,¿)=^(х, ¿) ; у(-х,¿) = - у(х, ¿) ; М(-х,¿) =М(х,г) ; б(-х,¿) = - б(х,г) .

Заметим, что в области, определенной неравенствами -да < х < да , ? > 0 , функция х, ?) является нечетной по переменной х , а, учитывая граничные условия (2.1), формально не является непрерывной по переменной х при х = 0 , т. е. имеется линия разрыва х = 0, ? > 0 на плоскости х, ? . В соответствии с (1.5),

это и линия разрыва функции — w(x, t) (функция х, ?) непрерывна), поэтому

дх

имеется излом функции поперечного перемещения w(x, ?) при х = 0, ? > 0 (см. п. 3.4.5). С другой стороны, величина разрыва функции х, ?) равна величине приложенной сосредоточенной силы с противоположным знаком, т. е. (- ^Яб^)) , а, значит, при ? > 0 указанные разрыв и излом фактически отсутствуют (ср. с п. 3.4.5).

Далее (например, в пп. 3.4.5, 3.4.7) продолжим рассмотрение ситуации, когда функция внешнего воздействия - единичная импульсивная функция 51 )

х

е

<

>

2

Вообще, если не оговорено особо, будем предполагать, что функции внешних воздействий являются оригиналами в смысле классического анализа. В частности, величины разрывов искомых функций, приведенные в таблицах А.4, А.8, справедливы при указанном предположении (ср. с п. 3.4.5).

Отметим, что в данной задаче и рассматриваемых задачах для полубесконечных стержней поперечное перемещение является функцией, неограниченно возрастающей с течением времени, что следует из асимптотического представления этой функции при да . А.И. Лурье [35] и Я.С. Уфлянд [59] при расчете бесконечных стержней с использованием классической теории и теории С.П. Тимошенко соответственно объясняли это следствием допущения о бесконечности длины стержня.

3.4.2. Задача 10 .

Изображение Ж(х,р) запишем в таком виде:

д

Ж (х, р) = — дх

1 Ж0( р)ЖЖ ** (х, р) р

1 — *

+1 М 0( р)Жм( х, р) р

Здесь и далее выражения для изображений типа ЖЖ** (х, р), входящих в

Ж(х,р) и ¥(х,р) , выписываться не будут, так как эти выражения легко получаются из сопоставления с соответствующими развернутыми формулами (2.21), (2.22), (2.23) для стержня 0 < х < да и аналогичными им для стержня - да < х < I . Получим:

х, р) ^ *( х, г) = ~1( х, г),

1 ' '

р) ^ о=- ет .К' (х

ЕI

^ь 0

д 'г

г

м(х, г) =-. М0 (' - т)м** (х, т)^т + [ Мм* (х, т)М0 (' - т)Л.

дх 0 0

Дифференцирование по х интеграла, зависящего от двух переменных параметров

х и ' , производится аналогично дифференцированию по х функций фи (х,') .

Изображение ¥(х,р) запишем в таком виде:

¥( х, р) = 1 Ж» (р* (х, р) +1М0 (р)Тм * (х, р) р р

Следовательно,

х¥1¥ *(x, р) ^ у w*(х *) = -Сф0 (x, *),

^м*(x,р) ^ Ум*(x,t) = Ф1(хt),

EJU

I I

У( x, *) = |у w*(x, x)w0- ^ + |у м *(x, т)м 0-

Изгибающий момент м(х,*) находим, используя соотношение (1.4). Из (2.21) и (1.5) получим изображение б(х,р) :

,2 1

б (х, р) = р2- р)р4 р

1

р

2 р2

22 Г2 - Г1

2 Г2

е_Г1х

2

р

V С2

2 Г1

'2 У

+

+ - м 0( р)Ср р

р

Г е~Г1х е~Г2хЛ

22 Г22 - Г12

V Г1

2У

Изображение б (х, р) запишем следующим образом:

1

б (х, р) = р'

р

Шрб (х, р)

1 — *

+ - м 0( р)бм( х, р) р

где

(x, р) ^ °* (^*) = РЛфХ^*), Ом*(х р) ^ °м*(х *) = -Сф 0 ^ *).

Следовательно,

б(х, *) = | Wo (* - т)2w* (х, Т^Т + | бм* (х, т)м0 (* - т^т.

д*

2 *

2 V "0'

Обозначим

д

^ (x, 0 = Ww (x,

дх

дд мw * (x, *) = - Шь— у w *(x, *), мм*(x, *) = - Шь— У м* ^ *) дх дх

Л гх

2

е

*

Функции

^ * (х гX М>м * (х гX ^ * (х 7), Ум* (х 7), * (х 7 X ММ (х 7 X & * (х 7), Ом* (х 7)

назовем функциями влияния. Выражения для этих функций даны в таблице А.3.

Выражения для функций перемещения, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы представлены в таблице А.4. Можно показать, что выражение для изгибающего момента, полученное при дифференцировании функции у(х,7) , остается справедливым и в том случае, если функция Мо^) кусочно-непрерывна.

Далее, из таблицы А.4 следует, что функции w(x, 7) и х, 7) непрерывны,

функция М (х, 7) имеет разрыв при 7 = Х , а функция О( х, 7) - при 7 = — .

С1 С2

3.4.3. Задача По .

Изображение Ж(х,р) запишем в таком виде:

д

Ж (х, р) = — дх

1 Жо( р)Жж* *( х, р) р

1 *

+ 1 ¥о(Р)Жр (х, р) р

Находим оригиналы:

?

Жж * * (х, р) ^ Ww* * (х, 7 ) = ~1( х, 7 ) - С |фо (х, т) К1 (7 - т^т,

о

д2 г , ч , д2 '-

Ж/(x,р) ^ w*(x,7) = —|фо(x,т)^т-я-у|~1(x,т)к(7-т)^т.

Следовательно,

д ?г

W(х,7) = — | Wо(7 - т)Ww **(х,т)^т + о(7 - т^*(х,т^т

дх о о

Изображение ¥(хр) представим следующим образом:

1

1 * д ¥(х,р) = 1 Жо(р)^ж (х,р) + ^ р дх

¥о(р)%* (х, р)

р

Тогда

I

^ *(x, р) ^У w*(x, *) =

е_ д*

I

С | ф1( х, т)к1 (* - т)^т - Сф0 (х, *)

(х, р) ^ уу** (х, * ) = С |ф0( х, т) к1(* - т)^т -ф1(х, *),

0

* д * У( x, *) = |у w*(x, т)wo(* - т)/т + ^ |у 0(*- т)Уу**(x, т)Л.

Изгибающий момент находим, используя соотношение (1.4). Поперечную силу определяем следующим образом: при у0 (*) = 0 используем соотношение (1.5); при w0 (*) = 0 находим оригинал для изображения

б (х, р)

д дх

1

р

р)б^** (х, р)

где

(x, р) =-р Аърр

р

р р а

2 + Г1Г2

р

2

р_ - г2 с 2 Г2

Vе 2 У

е_г1х

р

2

р_ - г2 с2 Г1

V °2 У

22 Г2 - Г1

22 Г22 - Г12 Г2

р

р 2е~Г]Х ~2 ~2

-.2 „-гх

р е

(г22 - Г12 )г1 (г22 - Г12 )г2 _

д2

^ 0у** (х *) = РЛЯ:-д*

следовательно, при w0 (*) = 0

|ф0(х, т)^т - |ф1(х, т)к(* - т)^т

б( x, *) = д |у 0(*- т°у**(x, т)

дх

Обозначим

д * д (x,0 = ^**(x,t), Уу*(х0 = Уу**(x,

дд м;(х,*) = -EJъ — уw*(х,*), му* (х,*) = -EJъ — уу*(х,*),

Qw* (х, *) = к'Лъв

■_д_ дх

Ww* (x, *) -у w* (^ *)

д

Оу* (х, *) = (Зх бу** (х, *).

*

1

-

2

е

<

2

1

>

*

*

Функции

Ww* (х, 7), wv/ (х, 7), (х, 7), Уу* (х, 7), М^ (х, 7), Му* (х, 7), (х, 7), Оу* (х, 7)

назовем функциями влияния. Окончательные выражения для них представлены в таблице А.5.

Выражения для функций перемещения, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы даны в таблице А.6 .

Из таблицы А.6 следует, что функции w(x, 7) и у( х, 7) непрерывны, функция М (х, 7) имеет разрыв при 7 = х , а функция О(х, 7) - при 7 = — .

с

Со

3.4.4. Задача III/ .

Изображение Ж(х,р) запишем в следующем виде:

Ж (х, р) = 1М1 ( р)Жм* (х, р) +10/ (р)Жд* (х, р) р р ^

Получим:

ЖМ *(х р) ^ WИ(х7 ) =

Ж0*(х р) ^ V(х7) =

1 д

EJb дх

1 д

О

рА дх

| |~1(х, т)9(7 - т)^т + (х, т)$т

о

7 7

С | цо (х, т)93 (7 - т)^т +1 ~1( х, т)(7 - т)^т

Следовательно,

I I

w(х, 7) = | М/ (7 - т)wм * (х, т)^т + 101 (7 - т^д * (х, т)Дт .

Изображение ¥(х,р) представим так:

¥( х, р) = 1М1 (р)^* (х, р) +10 (р)^0* (х, р). р р ^

Тогда

^и (x, р) ^уМ (x, 7) =

^о*(х р) ^у о *(x, 7):

EJU

1 д

EJb дх

С | цо (х, т)91 (7 - т)^т + (х, 7)

о

" 7 7

| (х, т)9(7 - т)^т + |цо( х, т)Л

7

7

2

1

I I

у(х, *) = |м1 (* - т)ум* (х, т)^т + | 01 (* - т)у0* (х, т^т .

0 0

Изгибающий момент находим, используя соотношение (1.4). Изображение О (х, р) получим, используя (1.5).

О (х, р) = 1 м1 (р)Ср-р

р

р р

а

2 + Г1Г2

р

2

р- - г2 с2 Г2

V 2 У

-г1( I-х) р

(тт)

+

2 "1( 1 -х)

р е

р е

2 г2 ( 1"х )

+1О1 (р) р

1 Ср р р2

р

2

р- - г2

с2 Г

Vе 2 У

Г3?)

2 + Г1Г2

"Г1( 1 ~х )

2

р- - г2 с2 Г1

V С2 у

-г2 ( 1 - х )

22 Г2 - Г1

р

"1( 1 - х )

р

-г2 ( 1 -х )

22 Г2 - Г1

22 Г22 - Г12

р

2

р2 - г2

с2 Г1

V С2 у 2 2 Г2 - Г1

-г2 ( 1 - х )

+

Понятно, что это изображение можно представить следующим образом:

1

1 — * д О (х, р) = 1 м1 (р)0м * (х, р) + ^

р дх

р

О (р)0о (х, р)

Следовательно,

— д

Ом * (^ р) ^ Ом * (^ *) = С -

д*

| ф1 (х, т)91 (* - т)^т + ц 0 (х, *)

00** (х, р) ^ Оо** (х, *) = -С| ц0 (х, т)©1 (* - т)^т - ~1 (х, *),

0(х, *) = |м1 (* -тОм* (х, т¥т+*х101 (* - т)0о** (х, т^т.

Функции цп (х,*) (п = 0,1) и ~1(х, *) введены в рассмотрение в п. 3.2.4.

1

2

Г

2

2

2

е

е

а

>

г

*

Обозначим

д * д Мм* (х,7) = -Шь— уМ(х,7), Мд (х,7) = -Шь— уд* (х,7),

д

оо (х,7) = —оО (х,7).

Функции

мм*(^7), мд *(^7), Ум*(x,7), Уд *(x,7), ММ(x,7), Мд*(x,7X Ом*(x,7), дд*(x, 7) назовем функциями влияния. Окончательные выражения для них даны в таблице А.7 .

Выражения для функций перемещения, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы даны в таблице А.8 .

При решении задач для стержней конечной длины нам потребуются выражения для линейной скорости — м(0,7) и угловой скорости — у(0,7), которые

д7 д7

даны также в таблице А.8 ; соответствующие функции влияния даны в таблице А.7 .

Можно показать, что формулы для производных по x функций у(x, 7) и

/

101 _т)Оо**(x, т)^т и для производных по 7 функций м(0,7) и у(0,7) остаются

0

справедливыми и в том случае, когда функции М1 (7) и Ql (7) кусочно-непрерывные.

Из таблицы А.8 следует, что функции м^, 7) и у( x, 7) непрерывны, функции М (x, 7) и д(x, 7) имеют разрыв соответственно при 7 = -—X и 7 = -—X ,

С1 С2

д д II

а функции —у(0,7) и —м(0,7) соответственно при 7 = и 7 = — .

д7 д7 с1 с2

3.4.5. Продолжим анализ ситуации, когда функция внешнего воздействия -единичная импульсивная функция 51 (7) [29]. Из физических соображений следует, что эта функция может быть задана только для силовых воздействий. Такое

воздействие уже было принято в задаче для бесконечного стержня; анализ ее решения содержится в п. 3.4.1.

Что касается рассматриваемых задач для полубесконечных стержней, то функция 51 (t) может быть задана в задаче Io для M0 (t) и в задаче IIIo для M0(t) и Q0(t). Анализ формул, помещенных в приложении А , показывает следующее:

- если в задаче I0 и Ш0 (формулы аналогичны задаче III/ ) задан изгибающий момент M0(t) = RM 51(t) , где RM = const , то функция y(x, t) имеет разрыв

при t = x , что формально объясняется наличием разрыва функции ф1 (x, t) , че-

c1

рез которую выражается функция у(х, *) . Функция м (х, *) получается дифференцированием по .х функции у(х, *) , т. е. ф1 (х, *) . Но обобщенная производная

функции ф1 (x,t) по x равна ф1 (x, t )-S1

с \ x

t — V c1 У

[11], где первое слагаемое

обычная производная по х в тех точках, где она существует, т. е. при * ф — . Та-

с1

ким образом, функция м (х, *) будет содержать особенность типа импульсивной

( хЛ

функции Rм 81 *--. Отметим также, что функция w(x, *) непрерывна, а

V c1 У

функция Q(x, t) имеет разрывы при t = — и t = — ;

С1 С2

- если в задаче Ш0 задана поперечная сила Q0(t) = Rq $i(t) , где Rq = const , то функция w(x, t) имеет разрыв при t = — (что формально объясняется наличи-

w\xy ; ill

c

2

ем разрыва функции ф1 (х,*) ), а функция у(х, *) непрерывна. Рассуждая, как и выше, приходим к выводу, что функция б(х, *) будет содержать особенность типа импульсивной функции Ко 81(* - х / с2) . Функция м (х, *) имеет разрывы при

x x

t = — и t = —

c1 C2

Наличие особенности типа импульсивной функции следует также из анализа изображений М(x, р) и д (x, р) : строго говоря, при рассматриваемых импульсных воздействиях эти функции не являются изображениями, так как, используя формулы (2.12) и (2.28), получим при р ^ да :

_ — p—

в задаче Io и Шо при M0(t) = RM 51(t) : M(x, p) ~ RMpe c ^ RM ö1

x i \

x

t —

V С1У

в задаче III0 при Q0(t) = RQ ö1(t) : Q(x,p)~ RQpe c2 ^ RQ 51

x С \

x

t —

V C2 У

Выделение этих особенностей осуществляется аналогично п. 3.4.1.

В работе [38] автором настоящей диссертации, в соавторстве с В.Л. Мон-друсом, приведенный выше анализ ситуации при импульсных воздействиях дополнен расчетными формулами для функций усилий и графиками их изменения во времени для задач I0 и III/ .

Представляет интерес сравнительный анализ величин разрывов искомых функций при воздействиях, заданных «классическими» функциями и единичной импульсивной функцией (таблица 3.1). Для первых величины разрывов приняты по таблицам А.4 и А.8, для вторых - по таблице А.2, а также используя сказанное выше в данном пункте.

В таблице 3.1 для бесконечного стержня воздействие указано для упрощения не как интенсивность q , а как сосредоточенная сила S0 (t) , приложенная при x = 0 (например, ср. параграф 2.1 и подп. 6.2.6.1).

Из таблицы 3.1 следует, что в задаче для бесконечного стержня и в задаче Ш0 при импульсном воздействии соответственно R ö1(t) и Rq 51(t) функция

Q( x, t) имеет особенность типа импульсивной функции при t = |x| / c2 , а функция w(x, t) - разрыв. Аналогично, в задачах I0 и Ш0 при импульсных воздействиях RM 5j(t) функция M (x, t) имеет особенность типа импульсивной функции при t = x/c , а функция x, t) - разрыв. Исходя из физического смысла этих задач, указанные разрывы невозможны и являются следствием исходных соотношений (1.4), (1.5) теории Тимошенко при импульсном характере воздействия.

Однако, как отмечено в работе [11], «при решении конкретных задач математической физики единичная импульсивная функция... встречается, как правило, только на промежуточных этапах; в окончательном ответе. она или вовсе отсутствует, или фигурирует под знаком интеграла в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией».

Покажем на примере задач для бесконечного стержня, находящегося под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, что эти особенности и разрывы, существующие на промежуточном этапе, могут отсутствовать в окончательном решении. Допустим, нагрузка задана во времени единичной функцией Хеви-сайда (внезапно приложенная сила, остающаяся затем постоянной). На промежуточном этапе можно использовать функции, составляющие решение при импульсной нагрузке (см. таблицу А.2). Тогда интегрированием этих функций по времени * можно определить искомые функции. В результате (см. таблицу 3.1, 3 и 4 графы) кусочно-непрерывная функция w(x, *) становится непрерывной (но имеет изломы - см. ниже), функция у( х, *) остается непрерывной, кусочно-непрерывная функция м (х, *) также становится непрерывной, а функция 0( х, *), имевшая особенность типа импульсивной функции при * = |х|/с2 , становится кусочно-непрерывной (разрыв при * = |х|/с2 ).

Из таблиц А.2, А.4, А.6, А.8 и таблицы 3.1 также следует, что при распространении разрывов искомых функций на фронтах волн их величина остается постоянной.

Дополнительно к таблице 3.1 отметим еще один парадокс, обусловленный исходными соотношениями теории Тимошенко, не только при импульсных воздействиях. Покажем, что в соответствии с (1.5) на линиях разрыва функции попе-

д

речной силы 0( х, *) имеют разрыв также функции — w(x, *) и у( х, *) или толь-

дх

дд ко функция — w(x, *) . Но разрыв функции — w(x, *) означает излом функции

дх дх

поперечного перемещения w(x, *) , что, исходя из физического смысла рассматриваемых задач, невозможно.

Таблица 3.1 - Величины разрывов искомых функций в задачах для бесконечного и полубесконечных стержней при __воздействиях, заданных классическими функциями и единичной импульсивной функцией_

Функция Время Величина разрыва искомой функции

Задача для стержня, ( бесконечного )ункция S0(t) Задача 10 , функция М0(7) Задача Ш0 , функция М0(7) Задача Ш0 , функция Qo(t)

классич. R §1(7) классич. Им §1(7) классич. Им §1(7) классич. И §1(7)

w(x, 7) х С1 0 0 0 0 0 0 0 0

" 1 1 _ к ] х С2 0 И 1 0 0 0 0 0 И 1

2рЛьС2 0 РЛЬС2

х, 7) [1] х С1 0 0 0 с, г> 1 Е^ь 0 И с1 RмEJ ь 0 0

х С2 0 0 0 0 0 0 0 0

Л х С1 0 И Л3 - М0(0) - - М,(0) - 0 И Л3

VI |Л , 1 ~ к ' _ ЕЗЪ _ ^ /— 4с^л/С ^ 2^Сс2

х С2 0 И Л3 0 0 0 0 0 И Л3

4е2\ С 2л/Сс2