Томографический анализ данных в задачах квантовой информатики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.27.01, кандидат наук Гавриченко, Александр Константинович

• Гавриченко, Александр Константинович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Гавриченко, Александр Константинович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

0.1 Квантовая теория

0.2 Протокол квантовой томографии

ГЛАВА 1. Исследование адекватности, полноты и точности протоколов квантовых измерений

1.0 Введение

1.1 Протокол квантовых измерений

1.2 Восстановление матрицы плотности методом псевдо-инверсии Мура-Пенроуза

1.3 Универсальное статистическое распределение для потерь точности и максимально возможная точность восстановления квантовых состояний

1.4 Примеры численного математического моделирования

1.5 Выводы по результатам главы 1

Приложение к главе 1. Математические аспекты квантовой томографии П. 1.1 Метод максимального правдоподобия и корневой подход.47 П. 1.2 Применение корневого подхода к экспериментам,

подчиняющимся пуассоновской статистике

П. 1.3 Статистические свойства корневой оценки

П. 1.4 Обобщение протокола измерений на случай смешанных

квантовых состояний

П. 1.5 Характеристики точности восстановления смешанных

квантовых состояний

П.1.6 Статистические свойства потерь точности

П.1.7 Неортогональное разложение единицы

П 1.8 Правильные и полуправильные многогранники

П 1.9 Свойства матрицы измерений

ГЛАВА 2. Применение методов квантовой томографии к анализу экспериментов с оптическими квантовыми состояниями

2.1 Описание исследуемых однокубитовых протоколов квантовой томографии

2.2 Описание экспериментальной установки

2.3 Расчёт приготавливаемого смешанного состояния

2.4 Восстановление состояния близкого к чистому состоянию

2.5 Статистический анализ результатов экспериментов

2.6 Статистическое восстановление квантовых состояний на основе

бифотонов

2.7 Выводы по результатам главы 2

ГЛАВА 3. Томографический метод моделирования квантовых систем

3.0 Введение

3.1 Вычислительные аспекты реализации метода

3.2 Примеры использования метода

3.3 Выводы по результатам главы 3

Приложение к главе 3. Моделирование квантовых систем с

использованием взаимно-дополнительных координатного и

импульсного распределений

П.3.1 Уравнение Шредингера в координатном пространстве.

Уравнение непрерывности

П.3.2 Уравнение Шредингера в импульсном представлении

импульсном пространстве методом Монте-Карло

П.3.4. Диффузионный метод Монте-Карло моделирования

квантовых систем

П.3.5. Видоизменение корневого метода, учитывающее энергию состояния

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Томографический анализ данных в задачах квантовой информатики»

ВВЕДЕНИЕ

Тенденция миниатюризации элементной базы вычислительных машин отражается в феноменологическом законе Мура, по которому степень интеграции микросхем увеличивается вдвое каждые 2 года. [1]. Данное явление приводит к возрастанию влияния квантовых эффектов на проведение алгоритмического процесса. Оказалось, что на основе квантовых законов можно построить алгоритмы совсем иного типа, чем привычные алгоритмы, на основании которых обычно проводятся вычисления [1-9]. В докладе 1959 года Р.Фейнман предсказывал, что уменьшение размеров компьютера приведёт к необходимости учёта в структуре компьютера квантования энергии, свойств спиновых систем и т.п. [10]. Для того чтобы построить квантовый компьютер, необходимо умение создавать и контролировать с высокой точностью строго определённые состояния квантовых систем. Основной методологией проверки качества построенных квантовых состояний является квантовая томография: на основе набора измерений одинаково приготовленных квантовых состояний она позволяет на основе статистических методов определить с высокой точностью само это состояние.

0.1 Квантовая теория

Ряд экспериментов с микрочастицами, проведённых в конце XIX -начале XX вв. (фотоэффект, опыты Резерфорда), привёл к необходимости построения атомной механики [11], позволяющей объяснить обнаруженные закономерности. Дальнейшее развитие квантовой теории сопровождалось усложнением математического формализма [12-13]. Чистое квантовое состояние микрочастицы формально представляется нормированным вектором в комплекснозначном гильбертовом пространстве. В частности,

кубитом называется двухуровневая квантовая система. Квантовое состояние записывается в виде вектора двумерного гильбертова пространства

и=

у)

где х,у е С и |х|2+|^|2=1 [1-4]. Динамика замкнутой квантовой системы

определяется некоторым линейным унитарным преобразованием, действующим на вектор состояния. Можно показать, что такое описание квантовой механики эквивалентно формализму уравнения Шрёдингера.

Важное значение имеет параметрическое представление кубита как вектора на сфере Блоха, задаваемого в сферических координатах углами в и

<ри =

х

.У)

'соъ{е12)е-ир12 бшС вНУ""1

Следует отметить, что в природе непосредственно наблюдаемы не сами квантовые состояния, а лишь результаты квантово-механических измерений, которые удовлетворяют распределению вероятностей, которое можно получить по известным правилам квантовой механики на основе векторов

состояний. Так, если кубит находится в состоянии |у/) =

'х^

\У;

, то вероятность

обнаружить кубит при его измерении в состоянии

\У у

задается

(формула Борна) квадратом модуля скалярного произведения этих векторов

р=|(^И|2 =

и (/у;

.у]

+ • Если любое из квантовых

состояний помножить на одинаковый фазовый множитель е'*', то вероятность Р не изменится, поэтому вектор состояния определён лишь с точностью до указанного множителя. Условие нормировки приводит к тому, что о квантовом состоянии следует говорить не как о векторе, а как о направлении.

Геометрия скалярного произведения позволяет говорить, что при измерении происходит ортогональное проецирование вектора \ц/) на вектор

Из этой формулы получается, что вероятность найти при измерении

5

Г Л 2

кубит \у/) в базисном состоянии |о) = есть |х| , а вероятность найти кубит в

/(Л

базисном состоянии |1)= есть |_у|2. Тогда состояние можно представить

V V

в виде суперпозиции: ¡у/) = х|0) +>>|1). Коэффициенты при базисных векторах в

этом разложении называются амплитудами вероятности.

Система п кубитов будет описываться вектором 2" -мерного гильбертова пространства. Особое значение для квантовых вычислений имеет явление запутанности, которое заключается в возможности приготовить систему кубитов таким образом, чтобы соответствующий вектор состояния нельзя было выразить с помощью тензорного произведения векторов меньшей размерности. Оказывается, что измерив один из кубитов запутанной системы, можно без дальнейших измерений установить полностью или частично состояние, в котором окажутся остальные кубиты системы. В квантовом вычислении явление запутанности позволяет частично распараллелить вычисления без увеличения числа кубитов. Существуют другие подходы к математической характеристике квантовых корреляций, основанные на квантовом обобщении теории информации Шеннона. Одним из ответвлений этой теории является концепция «квантового дискорда», позволяющая отделить квантовые корреляции от классических [14-15].

Логическая роль кубита в структуре квантового вычисляющего устройства вполне аналогична роли бита в классическом компьютере. Роль логических вентилей играют унитарные преобразования. Известны и хорошо исследованы алгоритмы факторизации (Шор) и поиска (Гровер) для квантового компьютера, которые, используя вышеуказанное явление запутанности, дают принципиальный выигрыш во временных затратах по сравнению с соответствующими алгоритмами для классических компьютеров. Ускорение в алгоритме Шора достигается за счёт квантового распараллеливания при вычислении дискретного преобразования Фурье [16]. Временной выигрыш в алгоритме Гровера возможен в силу того, что

элементарными вычислительными процедурами становятся повороты и проекции в комплексном гильбертовом пространстве [17].

Ди Винченцо [18] предложил ряд требований, которым должен удовлетворять квантовый компьютер. Необходимой частью квантового компьютера является набор кубитов, применяемый в качестве вычислительного регистра. Отсюда возникает требование приготовления этих кубитов в стандартном начальном состоянии |0). Также необходимо,

чтобы набор кубитов был достаточно велик - тогда с его помощью можно решить задачу с входными данными большого размера. Идеальный квантовый компьютер должен быть в состоянии провести произвольное унитарное преобразование над регистром кубитов. Можно доказать, что такое преобразование можно реализовать с произвольной точностью, используя некоторый универсальный набор вентилей. В качестве такого набора можно рассмотреть все однокубитовые преобразования, дополненные преобразованием контролируемого отрицания СЫОТ, которое необходимо уметь проводить над любой парой кубитов в регистре.

Завершение работы квантового компьютера заключается в проведении над кубитами квантовых измерений с тем, чтобы получить результат вычислений. Следует также отметить, что необходимо уметь проводить унитарные преобразования квантовой системы с высокой скоростью, поскольку квантовая система подвержена взаимодействию с внешней средой, приводящему к декогерентизации - разрушению связей в сложной квантовой системе.

Существует довольно большое число различных физических систем,

чьи свойства позволяют предполагать возможность построения на их основе

квантового компьютера: системы ионов в ловушках (в этом случае роль

базисных состояний играют электронные уровни иона) [19], квантово-

электродинамические резонаторы, ансамбли ядерных спинов. Также

построены и апробированы оптические модели кубитов [20-21]; в этом

случае базисные состояния двумерного гильбертова пространства квантовой

7

системы можно реализовать с помощью состояний фотона с вертикальной и горизонтальной поляризацией.

0.2 Квантовая томография

Задачей квантовой томографии является восстановление состояния квантовой системы. Существуют различные методы решения этой задачи [22-37]. Так, квантовая томография с помощью функции Вигнера позволяет отыскать квазираспределение вероятностей, описывающее взаимно-дополнительные свойства квантовой системы [22-24]. Математически этот метод аналогичен классической томографии, основанной на преобразовании Радона.

В основе другого набора методов квантовой томографии лежит статистический метод максимального правдоподобия [25-28]. Задача томографии (статистического восстановления) квантового состояния заключается в нахождении вектора квантового состояния по массиву экспериментальных данных о результатах квантовых измерений этого состояния. Задача предполагает возможность приготовить искомое квантовое состояние большое число раз с тем, чтобы накопить статистику последующих измерений. Рассмотрим набор квантовых состояний, на которые необходимо в процессе измерения спроецировать копии искомого. Последовательность действий необходимых для проведения соответствующих квантовых измерений образует протокол квантовой томографии. Для анализа статистических свойств томографии удобно рассматривать протокол томографии как набор векторов-проекторов, неявно подразумевая возможность приготовления такого набора и получения результатов измерений. Интуитивно понятно, что направления векторов протокола томографии должны по возможности равномерно заполнять гильбертово пространство системы, в частности, направления должны быть максимально удалены друг от друга.

Отметим следующие работы [38-40], рассматривающие различные томографические протоколы. В работах [38, 39] рассматривалась возможность создания протокола, требующего малое число проекций. В работе [38] предложен протокол 14, требующий проектирование всего на 4 направления. В работе же [39] показано, что минимальное число направлений проектирования для восстановления состояния одного кубита равно четырём (протокол Я4) и, что важно для дальнейшего изложения, эти направления соответствуют векторам, проведенным из центра правильного тетраэдра к центрам его граней. В случае многокубитовой системы можно показать, чтоминимальное число направлений проектирования равно я2, где ^ - размерность гильбертова пространства квантовой системы [28]. Понятно, что увеличение числа строк протокола, хотя и сложно в экспериментальной реализации, но, тем не менее, способно уменьшить потери точности томографии. В работе [40] предложены к рассмотрению протоколы на основе правильных многогранников, а также указана возможность построить протокол на основе полуправильного многогранника «курносого куба».

Известно, что в трехмерном евклидовом пространстве число правильных выпуклых многогранников ограничено пятью [41, 42]. В пространствах размерности больше 5 остаётся лишь три правильных тела - а) правильный симплекс (аналог тетраэдра), б) многогранник, чьи вершины можно расположить на биссектрисах ортантов (аналог куба) и в) многогранник, двойственный к последнему (аналог октаэдра). Таким образом, для дальнейшего увеличения числа строк протокола с сохранением требования равномерного охвата пространства можно использовать полуправильные многогранники и иные многогранники с высокой симметрией.

Для конечномерных пространств матрица, строки которой состоят из координат векторов томографического протокола, называется аппаратной матрицей X [28]. Пусть, для определённости, в матрице X всего т строк

ЛГ, Обозначим | у/) = (с0,...,с^)' измеряемое квантовое состояние.

Элементы вектора М = (м1,...,мт)' = Х\у/) = ({<?,\у/),...,{д>т\у/)) суть амплитуды вероятности обнаружить при измерении состояние |у/} в квантовом состоянии, задаваемом кет-вектором | = где Х! - соответствующая

строка аппаратной матрицы X. Обозначим через Д^М^2', у = 1 ,...,т

вероятность обнаружить измеренное состояние в состоянии, соответствующем у-й строке аппаратной матрицы X]. Часто в реальных

экспериментах (например, восстановлении состояния поляризационных кубитов) целесообразно принять нормировку, связанную с временем экспозиции для у-й строки протокола. Тогда параметр 1 соответствует

интенсивности генерации событий (вероятности детектировать проекцию кубита на у -ю строку протокола в единицу времени) и нормировка задаётся

т

выражением = п, где п - суммарное число событий в эксперименте.

м

В экспериментах с оптическими кубитами [43-46] число совпадений к1 можно считать пуассоновской случайной величиной

Ш'

Р(к.)= ехр(-Я / ) - таково распределение для каждой строки

V

протокола томографии. Преобразование оптического сигнала системой пластин носит в статистическом плане пуассоновский характер. Начальное излучение также подчинено пуассоновской статистике для числа фотонов. Отсюда можно сделать вывод, что результирующая композиция должна быть пуассоновской.

Точность томографического процесса оценивается с помощью степени согласия (фиделити): Р = , где р0 и р - теоретическая и

восстановленная матрицы плотности. Рассматриваемый в настоящей диссертационной работе метод томографии позволяет ввести наряду с точностью реконструкции такие характеристики восстановления, как

адекватность избранной модели томографии и полнота протокола томографии. Адекватность понимается как соответствие ранга неизвестного смешанного состояния рангу состояния, моделирующего искомое состояние при восстановлении. Полнота протокола означает возможность восстанавливать произвольное чистое или смешанное состояние в исходном гильбертовом пространстве.

Целью диссертационной работы было математическое исследование методов восстановления квантовых состояний и обеспечение экспериментальных технологий алгоритмическими средствами анализа данных квантовых измерений.

Для достижения указанной цели были решены следующие основные задачи:

1) Построение критериев оценки адекватности, полноты и точности в задачах статистического восстановления квантовых состояний.

2) Рассмотрение статистических характеристик для распределения точности реконструкции квантового состояния, формулировка количественной границы для максимально возможной точности квантовой томографии. Математическое моделирование характеристик точности квантовых протоколов, в основе которых лежит геометрия многогранников, обладающих высокой симметрией.

3) Статистическое восстановление поляризационных квантовых состояний фотонов и бифотонов на основе экспериментальных данных, полученных в лаборатории квантовой информации и квантовой оптики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

4) Разработка методов генерации статистических данных, связанных с компьютерным моделированием квантовых измерений, разработка статистического томографического метода моделирования квантовых систем.

В первой главе рассмотрена новая методология статистического оценивания качества протоколов квантовых измерений. Эта методология основана на исследовании полноты, адекватности и точности квантовых измерений. Критерий полноты базируется на рассмотрении сингулярного разложения специальной матрицы, построенной на основе операторов измерений. Оценка адекватности протокола основана на наличии избыточности квантовых измерений по сравнению с минимальным числом измерений, необходимых для восстановления квантового состояния. Адекватность квантовых измерений оценивается как степень согласованности избыточных статистических данных с математической моделью, основанной на квантовой теории. Характеристики точности статистического восстановления произвольных квантовых состояний исследуются на основе универсального статистического распределения для потерь точности. Развитые методы и подходы применяются к большой группе квантовых протоколов, в основе которых лежит геометрия многогранников, обладающих высокой симметрией.

Развитые методы позволяют сравнивать различные протоколы квантовых измерений между 1 собой, а также по отношению к фундаментальному уровню точности. Предложенный в первой главе общий подход позволяет экспериментатору наилучшим образом распорядиться имеющимися у него ресурсами с целью разработки и реализации оптимального протокола квантовых измерений.

Во второй главе представлены результаты практического воплощения

методов и алгоритмов квантовой томографии, разработанных в главе 1.

Рассматриваемые в настоящей главе результаты связаны с анализом

однофотонных и двухфотонных оптических поляризационных квантовых

состояний. Работы в этой области были выполнены в тесном контакте с

лабораторией квантовой информации и квантовой оптики физического

факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Вклад автора в выполненные работы

12

был связан с компьютерным моделированием экспериментов до их проведения, оптимизацией протоколов квантовых измерений, а также с анализом экспериментальных данных.

В третьей главе рассматривается задача статистического моделирования квантовых систем с использованием методов квантовой томографии, рассмотренных ранее в главах 1 и 2. Представлен новый метод статистического моделирования квантовых систем, основанный на генерации данных методом Монте-Карло и их целенаправленной томографии в направлении минимума энергии. Численная процедура решения задачи базируется на оптимизации целевого функционала, обеспечивающего компромисс между максимизацией статистической функции правдоподобия и минимизацией энергии. Приведены примеры применения предложенного подхода для расчета волновых функций и энергий основного и возбужденных стационарных состояний квантовых систем.

Научная и практическая ценность. Предложенная методология обеспечивает возможность контроля качества и эффективности квантовых информационных технологий. Развиты способы проверки точности генерации квантовых состояний, что играет важную роль в алгоритмической юстировке приборов на квантовых эффектах.

На защиту выносятся следующие положения: 1) Развит общий подход к оценке качества и эффективности протоколов квантовых измерений, основанный на критериях адекватности, полноты и точности в задачах статистического восстановления квантовых состояний. Рассмотрены статистические характеристики распределения точности реконструкции квантового состояния и сформулирована количественная граница для максимально возможной точности квантовой томографии. Проведена теоретическая оценка минимальных потерь точности.

2) Выполнено детальное математическое моделирование характеристик точности квантовых протоколов, в основе которых лежит геометрия многогранников, обладающих высокой симметрией. Представлены результаты теоретического рассмотрения и численных экспериментов для различных однокубитовых и многокубитовых квантовых состояний.

3) Разработаны протоколы квантовых измерений и осуществлено статистическое восстановление поляризационных квантовых состояний фотонов и бифотонов на основе экспериментальных данных. Разработана теоретическая модель и выполнен анализ реальных и численных экспериментов, направленных на восстановление смешанных состояний, близких к чистому состоянию. Предложен и обоснован критерий оптимального выбора между конкурирующими моделями чистого и смешанного состояний.

4) Разработаны методы и алгоритмы генерации статистических данных, связанных с моделированием квантовых измерений. Разработан статистический томографический метод моделирования квантовых систем. Выполнен расчёт мод Шмидта для двухэлектронной волновой функции в отрицательном ионе водорода и проанализированы характеристики квантовой запутанности в этой системе.

Глава 1

ИССЛЕДОВАНИЕ АДЕКВАТНОСТИ, ПОЛНОТЫ И ТОЧНОСТИ ПРОТОКОЛОВ КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей главе рассматривается новая методология статистического оценивания качества протоколов квантовых измерений, включающая исследование полноты, адекватности и точности этих протоколов. Даются примеры применения развитых методов для семи квантовых протоколов, в основе которых лежит геометрия многогранников, обладающих высокой симметрией. Особое внимание уделяется исследованию введенной в настоящей работе функции потерь точности, для которой впервые вычисляются границы для минимальных и максимальных возможных значений.

Глава имеет следующую структуру.

В разделе 1 рассматривается понятие протокола квантовых измерений, являющегося практическим инструментом, связанным с фундаментальной статистической природой квантовых явлений. Даются определения аппаратной матрицы и оператора интенсивности генерации событий, формулируется условие, при выполнении которого протокол образует так называемое неортогональное разложение единицы.

В разделе 2 вводится специальным образом сконструированная матрица измерений. На основе так называемого БУё-разложения введённой матрицы формулируются важные понятия полноты и адекватности протокола. Рассматривается метод псевдо-инверсии Мура-Пенроуза, служащий для приближенной оценки матрицы плотности. Полученная оценка оказывается хорошим нулевым приближение для получения более точного решения методом максимального правдоподобия.

В разделе 3 рассматривается общее статистическое распределение для потерь точности и его статистические характеристики, а также формулируется количественная граница для максимально возможной точности квантовой томографии.

В разделе 4 описываются результаты математического моделирования характеристик точности семи квантовых протоколов, в основе которых лежит геометрия многогранников, обладающих высокой симметрией.

В разделе 5 сформулированы основные выводы настоящей главы.

1.1 ПРОТОКОЛ КВАНТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В соответствии с основными принципами квантовой механики, вероятность обнаружить квантовую систему в состоянии \<р) при условии,

что она была приготовлена в состоянии может быть записана в

следующем виде (в дираковских обозначениях)

Р =

{Ф)1 (1.1)

Согласно принципу дополнительности Н. Бора, различные проекционные измерения образуют совокупность взаимно-дополнительных измерений. Рассматриваемая совокупность, в свою очередь, образует протокол квантовых измерений. Вся совокупность квантовых измерений протокола может быть представлена в матричном виде [43, 44, 47, 48]:

С1 У = 1,2 ,...,т (1.2)

Здесь с[, I —1,2,..., 5- компоненты вектора состояния в гильбертовом

пространстве размерности я . По повторяющемуся индексу / в формуле (1.2) предполагается суммирование. Протокол описывает т проекций квантового

состояния (поэтому имеет т строк). М] есть амплитуда вероятности у - ой

квантовой проекции. Вероятности соответствующих измерений задаются квадратами модулей амплитуд:

м,

(1.3)

Параметры ^ задают интенсивности генерации событий (число

регистрируемых событий в единицу времени). Матрица с компонентами X ^,

имеющая т строк и 5 столбцов задаёт так называемую аппаратную матрицу протокола квантовых измерений [43, 44, 48]. Именно эта матрица описывает формально математически всю совокупность взаимно-дополнительных измерений (у- ая строка матрицы X задаёт бра- вектор

ф] соответствующего проекционного измерения в формуле (1.1)).

Для смешанного состояния с матрицей плотности р соответствующая интенсивность регистрации событий, отвечающих у - ой строке протокола, есть:

Яу=/г(Аур) (1.4)

Здесь Aj = X*Xj- оператор интенсивности квантового процесса,

X ■ есть у - ая строка аппаратной матрицы X .

В рассматриваемом случае оператор интенсивности квантового процесса А у является проектором, поэтому:

ЛУ = Л/ (1-5)

В более общем с формальной точки зрения случае Лу - произвольный

положительно определённый оператор. Его можно представить как смесь проекционных операторов, рассмотренных выше

Здесь индекс к нумерует различные компоненты смеси, входящие с весами /к > 0 .

Такое измерение удобно представлять наглядно как редукцию совокупности проекционных измерений, в которых доступна только суммарная статистика, но недоступны статистические данные по отдельным компонентам. Обычное проекционное измерение есть частный случай

записи (1.6), в которой /, = 1, /2 — /3 — ••• = О

Пусть матрица I , равная сумме по всем строкам протокола от

произведений времен экспозиции на операторы интенсивности А], пропорциональна единичной матрице Е :

Протокол, удовлетворяющий условию (1.7), сводится в общем случае к так называемому неортогональному разложению единицы [49]. Заметим, что в математической теории такие измерения рассматриваются в качестве наиболее общего расширения традиционных измерений фон Неймана, основанных на ортогональном разложении единицы. В тоже время, реальные экспериментальные протоколы квантовых измерений зачастую не удовлетворяют условию (1.7). В качестве примеров можно привести экспериментальные исследования, проведённые в работах [43-46, 50-51]. Резонность требования (1.7) основана на соображениях, связанных с сохранением полной вероятности. В реальных же экспериментах с использованием схемы регистрации событий, экспериментатор настраивает установку на выделение, как правило, только одной проекции квантового состояния (при этом представители, отвечающие всем остальным проекциям, просто не регистрируются). Таким образом, реальные

т

(1.7)

где /0 - постоянная, задающая суммарную интенсивность.

эксперименты (по техническим причинам) обычно не обеспечивают регистрацию всех представителей квантового статистического ансамбля и, в силу этого, не связаны условием сохранения полной вероятности. Рассматриваемый подход разработан для анализа произвольных реальных протоколов квантовых измерений, основанных на регистрации элементарных событий, и не ограничен требованием (1.7). Если, однако, это условие выполняется, то анализ протокола упрощается.

Суммарная интенсивность генерации событий задаёт условие нормировки в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гавриченко, Александр Константинович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) К.А. Валиев, А.А. Кокин, Квантовые компьютеры: надежда и реальность, Ижевск: РХД(2001).

2) М. Нильсен, И. Чанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, М.: Мир (2006).

3) Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П. Кулика и Т.А. Шмаонова. М. Постмаркет. (2002).

4) Дж. Пресктл , Квантовая информация и квантовые вычисления, Москва-Ижевск: РХД, т. 1 (2008), т.2 (2011).

5) К.А. Валиев "Квантовые компьютеры и квантовые вычисления" // УФН Т.175. С.3-39. (2005).

6) Ю.А. Богданов, К.А. Валиев, А.А. Кокин "Квантовые компьютеры: достижения, трудности реализации и перспективы"// Микроэлектроника, том 40, № 4, с. 243-255. (2011)

7) Genovese М. "Research on hidden variable theories: A review of recent progresses"// Phys. Rep. V. 413. P. 319-396. (2005).

8) Molina-Terriza G„ Vaziri A., Rehacek J., Hradil Z. and Zeilinger A. "Triggered qutrits for Quantum Communication protocols" // quant-ph/0401183.

9) Brida G , Degiovanni /., Florio A., Genovese M, Giorda P, Meda A., Paris M.G.A., Shurupov A. "Experimental estimation of entanglement at the quantum limit" // arXiv:quant-ph.0907.4117.

10) Feynman R.P. "There's Plenty of Room at the Bottom" // Caltech Engineering and Science, V. 23 №5, P. 22-36 (1960).

11) M. Борн, Лекции по атомной механике, т. 1, Харьков-Киев: ОНТИ (1934).

12) П.A.M. Дирак, Принципы квантовой механики, М.: Наука (1979).

13) Л Д. Ландау, Е.М. Лифшщ, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М.: Наука (1989).

14) С.М. Алдошин, А.И. Зенчук, Э.Б. Фельдман, М.А. Юрищев "На пути к созданию материалов для квантовых компьютеров", Усп. хим., 81:2, 91-104 (2012).

15) Е.В. Fel'dman, A.I. Zenchuh "Asymmetry of bipartite quantum discord", Письма в ЖЭТФ, 93:8, 505-508 (2011).

16) Shor P. "Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer". // arXiv:quant-ph /9508027.1995.

17) Grover L.K. "Quantum Mechanics Help in Searching for a Needle in a Haystack" // Phys. Rev. Lett. V.78. №2. P.325-328. (1997).

18)DiVincenzo D.P. "The Physical Implementation of Quantum Computation" // arXi v :quant-ph/0002077

19) Monroe C., Meekhof D.M., King B.E., Itano W.M., and Wineland D.J. "Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate" // Phys. Rev. Lett. 75, 4714-4717 (1995).

20) Mikami H., Kobayashi T. "Remote preparation of qutrit states with biphotons" // Phys. Rev. A. V.75. 022325. (2007).

21) Lanyon B.P,. Weinhold Т.J., Langford N.K., O'Brien J.L., Resch K.J., Gilchrist A., and White A.G. "Manipulating Biphotonic Qutrits" // Phys. Rev. Lett. V.100. 060504. (2008).

22) Vogel K, Risken H. "Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase" // Phys. Rev. A. V.40. P.2847-2849 (1989).

23)Leonhardt U. "Quantum-State Tomography and Discrete Wigner Function" // Phys. Rev. Lett. 74, 4101 (1995).

2A)Lvovsky A.I,. Hansen H., Aichele T. Benson, O., Mlynek J., and Schiller S. "Quantum State Reconstruction of the Single-Photon Fock State" // Phys. Rev. Lett. V. 87. 050402.(2001).

25) Hradil Z. "Quantum-state estimation" // Phys. Rev. A. V. 55. P. 1561- 1564 (1997).

26) Banaszek K. " Maximum-likelihood estimation of photon-number distribution from homodyne statistics" // Phys. Rev. A V.57. P.5013-5015 (1998).

21)Banaszek K., D'Ariano G.M., Paris M.G.A. and Sacchi M.F.. "Maximum-likelihood estimation of the density matrix"// Phys. Rev. A. V. 61. 010304. (2000).

28) Ю.И. Богданов "Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения" // ЖЭТФ т. 135, в.6 С.1068-1078. (2009).

29)DAriano G.M., Paris M.G.A. and Sacchi M.F. "Parameters estimation in quantum optics" // Phys. Rev. A. V.62. 023815. (2000).

30) Zavatta A., Viciani S., and Bellini M. "Tomographic reconstruction of the singlephoton Fock state by high-frequency homodyne detection" // Phys. Rev. A. V. 70. 053821.(2004).

31) Allevi A., Andreoni A., Bondani M., Gramegna M., Genovese M., Brida G., Traina P., Olivares S., Paris M.G.A. and Zambra G. " State reconstruction by on/off measurements" // Phys. Rev. A. V. 80. 022114. (2009).

32)Zambra G., Andreoni A., Bondani M., Gramegna M., Genovese M., Brida G., Rossi A., and Paris M.G.A. "Experimental Reconstruction of Photon Statistics without Photon Counting" // Phys. Rev. Lett. V. 95, 063602. (2005).

33) Ling A., Soh K.P., Lamas-Linares A., and Kurtsiefer C. " Experimental polarization state tomography using optimal polarimeters" // Phys. Rev. A. V. 74, 022309. (2006).

34) Ling A., Lamas-Linares A., and Kurtsiefer C. "Accuracy of minimal and optimal qubit tomography for finite-length experiments" // arXiv:0807.0991.

35) Asorey M., Facchi P., Man'ko V. I, Marmo G., Pascazio S. and Sudarshan E.C.G. " Generalized tomographic maps" // Phys. Rev. A. V. 77. 042115. (2008).

36) Altepeter J.B., Jeffrey E.R., and Kwiat P.G., "Photonic State Tomography", Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics, Vol. 52, 107 (P. Berman and C. Lin, Editors) (2005).

37) B.A. Андреев, В.И. Манъко, O.B. Манько, Е.В. Щукин "Томография спиновых состояний, критерий перепутанности и неравенства Белла", Теоретическая и математическая физика, т. 146:1, 172-185 (2006).

38) James D.F., Kwiat P.G., Munro W.J., and White A.G. "Measurement of qubits"// Phys. Rev. A. V.64. 052312. (2001).

39) Rehacek J., Englert B-G. and Kaszlikowski D. "Minimal qubit tomography" // Phys. Rev. A. V. 70. 052321. (2004).

40) de Burgh M.D., Langford N.K., Doherty A.C. and Gilchrist A. "Choice of measurement sets in qubit tomography" // Phys. Rev. A 78, 052122 (2008).

41) Платон Тимей (54c-55d) // Сочинения, т. 3(2), M.: Мысль (1972).

42) В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров, Геометрия. М.: МЦНМО (2007).

43) Ю.И. Богданов, J1.A. Кривицкий, С.П. Кулик "Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем" // Письма в ЖЭТФ 78, 804 (2003).

44) Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, S.P. Kulik, L.A. Krivitsky, A.N. Penin, A.A. Zhukov, L.C. Kwek, C.H. Oh andM.K. Tey "Statistical reconstruction of qutrits" // Phys. Rev. A. 70, 042303 (2004).

45) Yu.I. Bogdanov, M.V. Chekhova, S.P. Kulik, G.A. Maslennikov, A.A. Zhukov, C.H. Oh and M.K. Tey. "Qutrit State Engineering with Biphotons" // Phys. Rev. Lett. 93, 230503 (2004).

46) Yu.I. Bogdanov, R.F. Galeev, S.P. Kulik, E.V. Moreva, G.A. Maslennikov and S.S. Straupe "Polarization states of four-dimensional systems based on biphotons" // Phys. Rev. A. 73, 063810 (2006).

47) Ю.И. Богданов, Основная задача статистического анализа данных: корневой подход, М.:МИЭТ, (2002).

48) Yu.I. Bogdanov "Statistical Inverse Problem: Root Approach" // arXiv:quant-ph/0312042.

49) A.C. Холево Статистическая структура квантовой теории. М.-Ижевск: Ин-т комп. исслед. (2003).

50) Yu.I. Bogdanov, G. Brida, M. Genovese, S.P Kulik, E.V . Moreva, and A.P. Shurupov "Statistical Estimation of the Efficiency of Quantum State Tomography Protocols" // Phys. Rev. Lett. 105, 010404 (2010).

51) Ю.И. Богданов, С.П. Кулик, E.B. Морева, KB. Тихонов, A.K Гавриченко "Оптимизация протокола статистического восстановления поляризационных кубитов" // Письма в ЖЭТФ. Т.91. вып.12. с.755-761. (2010).

52) Kress R. Numerical Analysis. Springer Verlag. New York. (1998).

53) В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. СПб.: БХВ-Петербург, (2006).

54) Penrose R. "A generalized inverse for matrices" // Proc. Cambridge Philos. Soc. V.51. P.406. (1955).

55) Yu.I. Bogdanov, A.Yu. Bogdanov, S.A. Nuianzin, A.K. Gavrichenko " On the Informational Aspects of Interfering Quantum States" // Quantum Computers and Computing. V. 8. P. 15-40 (2008); arXiv:quant-ph/0812.4808.

56) Ю.И. Богданов, K.A. Валиев, C.A. Нуянзин, A.K. Гавриченко "Информационные аспекты интерференционных экспериментов "который путь" с микрочастицами"//Микроэлектроника. Т.39. С.243-264. (2010).

57) Uhlmann A ."Fidelity and Concurrence of conjugated states" // Phys. Rev. A. 2000. V.62. 032307.; arXiv:quant-ph/9909060.

58) Wenninger M.J. Dual Models. England: Cambridge University Press (2003).

59) Г. Крамер, Математические методы статистики. М.: Мир, (1975).

60) Ю.И. Богданов, И.Д. Букеев, А.К. Гавриченко "Исследование адекватности, полноты и точности протоколов квантовых измерений" // Оптика и спектроскопия Т. 111. №4. с. 683-693. (20И).

61) H. Н. Андреев, В. А. Юдин. "Экстремальные расположения точек на сфере" // Математическое просвещение (третья серия). Вып. 1. С. 115—121. (1997).

62) Schwartz R.E. " The 5 Electron Case of Thomson's Problem" // arXiv: 1001.3702v5 (2010).

63) JI. Аммерал Интерактивная трёхмерная машинная графика, M.: Сол Систем. (1992).

64) Архимед О многогранниках. Фрагмент из книги Папп Александрийский Математическая библиотека, т. 1, с. 352, Берлин, изд. Гульча (1876); перевод в книге Архимед Сочинения, М.: Физматгиз (1962).

65) Coxeter H.S.M. Regular Polytopes. London: Methuen & Co. Ltd. (1948).

66) Catalan M.E. "Memoire sur la Theorie des Polyedres" // Journal de L'ecole Imperiale Polytechnique, Vol. 24, book 41, pp. 1-71. (1865).

67)Ю.И. Богданов, Физико-статистические основы квантовой информатики. М.: МИЭТ (2011).

68)Bandyopadhyay S., Boykin P.O., Roychowdhury V., Vatan F. "A new proof for the existence of mutually unbiased bases" // arXiv:quant-ph/0103162v3.

69) Klappenecker A , Rôtteler M. "Constructions of Mutually Unbiased Bases" // arXiv:quant-ph/0309120vl.

70) Pittenger A.O., Rubin M.H. "Mutually Unbiased Bases, Generalized Spin Matrices and Separability" // arXiv:quant-ph/0308142v2.

71) Yan F., Yang M. and Cao Z-L. "Optimal reconstruction of the states in qutrit systems" // Phys. Rev. A. V. 82. 044102. (2010).

72) Durt T., Englert B-G., Bengtsson I., Zyczkowski K. "On mutually unbiased bases" 11 arXiv: quant-ph/1004.3348vl.

73) E. V. Moreva, Yu.I. Bogdanov, A.K. Gavrichenko, I. V. Tikhonov and S.P. Kulik, "Optimal protocol for polarization ququart state tomography" // Applied Mathematics & Information Sciences 2009. 3(1), 1-12.

74) Ю.И. Богданов, A.K. Гавриченко, K.C. Кравцов, С.П..Кулик, E.B. Морева, А.А.Соловьев, "Статистическое восстановление смешанных состояний поляризационных кубитов" // ЖЭТФ. Т. 139. вып.6. стр. 1-12. (2011).

75) А.В.Крянев, Г.В Лукин, Математические методы обработки неопределенных данных. М.: Физматлит, (2003).

76) Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, С.П. Кулик, Е.В. Морева "Mathematical Modeling of the Accuracy Characteristics in Problems of Precision Quantum Tomography of Biphoton States" // Оптика и спектроскопия, 103, 112 (2007).

77) Vaziri A., Weihs G . and Zeilinger A. "Experimental Two-Photon, Three-Dimensional Entanglement for Quantum Communication" // Phys. Rev. Lett. 89, 240401 (2002).

78) Howell J.C., Lamas-Linares A., and Bouwmeester D. "Experimental Violation of a Spin-1 Bell Inequality Using Maximally Entangled Four-Photon States" //Phys. Rev. Lett. 88, 030401 (2002).

79) Riedmatten Hd., Marcikic I., Scarani V., Tittel W., Zbinden H., and Gisi N. "Tailoring photonic entanglement in high-dimensional Hilbert spaces" // Phys. Rev. A 69, 050304(R) (2004).

80) Thew R., Acn A., Zbinden H., and Gisin N. "Bell-Type Test of Energy-Time Entangled Qutrits"//Phys. Rev. Lett. 93, 010503 (2004).

81) Langford N.K., Dalton R.B., Harvey M.D., O'Brien J.L., Pryde G.J., Gilchrist A., Bartlett S.D. and White A.G. "Measuring Entangled Qutrits and Their Use for Quantum Bit Commitment" //Phys. Rev. Lett. 93, 053601 (2004).

82) О 'Sullivan-Hale M.N., Khan I. A., Boyd R.W., and Howell J.C. "Pixel Entanglement: Experimental Realization of Optically Entangled d=3 and d=6 Qudits" //Phys. Rev. Lett. 94, 220501 (2005).

83). Neves L., Lima G., Gomez J.A., Monken C., Saavedra C., and Padua S. "Generation of Entangled States of Qudits using Twin Photons" // Phys. Rev. Lett. 94, 100501 (2005).

84) Walborn S., Lemelle D., Almeida M., and Ribeiro P. "Quantum key distribution with higher-order alphabets using spatially-encoded qudits" // arXiv.quant-ph/0510088.

85) Genovese M., Traina P. "Review on qudits production and their application to Quantum Communication and Studies on Local Realism" // arXiv:quant-ph. 0711.1288.

86)Д.Н. Клышко, Фотоны и нелинейная оптика, М.: Наука, (1980).

87) DAriano G. М., Mataloni P. and Sacchi M.F. "Generating qudits with d=3,4 encoded on two-photon states" //arXiv: quant-ph/0503227, (2005).

88)D.N. Klyshko " Polarization of light: Fourth-order effects and polarization-squeezed states" // J. Exp. Theor. Phys. 84 (1997).

89) А.Ю. Богданов, Ю.И. Богданов, A.K. Гавриченко, "Томографический метод моделирования квантовых систем" // Труды ФТИАН. М.: Наука. Т. 19. С. 23 - 46. (2008).

90) Towler M.D. "The quantum Monte Carlo method" // Phys. Stat. Sol. (b). V.243.№11.(2006).

91) Foulkes W.M.C., Mitas L., Needs R.J., Rajagopal G. "Quantum Monte Carlo simulations of solids" // Reviews of Modern Physics. V.73. №1. (2001).

92) Forbert H.A. and Chin S.A. "Fourth-order diffusion Monte Carlo algorithms for solving quantum many-body problems" // Phys. Rev. В, V. 63, 144518. (2001).

93) Metropolis N., Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Teller E. "Equation of State Calculations by Fast Computing Machines" // J. Chem. Phys. V.21.№6. (1953).

94) Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo Methods in Statistical Physics. Oxford University Press. (2001).

95) X. Гулд, Я. Тобочник Компьютерное моделирование в физике. Часть 2. // пер. с англ. А.Н. Полюдова и В.А. Панченко М.: Мир. (1990).

96) Yu.l. Bogdanov, S.P. Kulik. "Absolute robustness of the first principal Fourier state component and noise suppression in Hilbert space" // Laser Physics. V.16. N 8. (2006).

97) 3. Флюге, Задачи по квантовой механике.Т. 1.//пер. с англ. Б.А. Лысова под ред. А.А. Соколова. М.: Мир. (1974).

98) П.И. Бакулин, Э.В. Кононович, В.И. Мороз, Курс общей астрономии М.: Наука, п.121.(1970).

99) Физические величины: Справочник // А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M. Братковский и др.; Под ред. И.С. Григорьева и Е.З. Мейлихова - М.: Энергоатомиздат. (1991).

100) Inokuti M., Bederson В. "Bethe's Contributions to Atomic and Molecular Physics" // Phys. Scr. V.73. (2006).

101) Hylleraas E.A. "Die Elektronenaffinitat des Wasserstoffatoms nach der Wellenmechanik" // Z. Phys. V.60. (1930).

102) Chandrasekhar S. "The Negative Ions of Hydrogen and Oxygen in Stellar Atmospheres" // Rev. Mod. Phys. V.16. №3-4. (1944).

103) А.Ю. Богданов, Ю.И. Богданов, К.А.Валиев, "Анализ мод Шмидта и запутанности в квантовых системах с непрерывными переменными" // Микроэлектроника. Т.35. №1. (2006).

104) А.Ю. Богданов, Ю.И. Богданов, К.А. Валиев, "Информация Шмидта и запутанность квантовых систем" // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. №1. (2007).

105) M.V. Fedorov, Р.А. Voîkov, Yu.M. Mikhailova, S.S. Straupe, S.P. Kulik, "Entanglement of biphoton states: qutrits and ququarts" // New J. Phys. 13, 083004(32). (2011).

106) M.V. Chekhova and M.V. Fedorov, "Schmidt modes of biphoton qutrits: Poincare-sphere representation" // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 46, 095502(10). (2013).

i i

J