Условия конечности в полугруппах, полугрупповых кольцах и полигонах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Кожухов, Игорь Борисович

• Кожухов, Игорь Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кожухов, Игорь Борисович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ ДЛЯ КОНГРУЭНЦИЙ ПОЛУГРУПП

1.1. Обзор результатов.

1.2. Конечная порожденность полугрупп с условием максимальности

1.3. Полугруппы с правыми конгруэнциями конечного индекса.

1.4. Полугруппы со слабым условием таксимальности.

ГЛАВА 2. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ПОЛИГОНАХ

2.1. Определения и обозначения. Обзор результатов.

2.2. Полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются двухэлементными

2.3. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны.

2.4. Полугруппы с ограниченными в совокупности порядками подпрямо неразложимых полигонов.

ГЛАВА 3. АРТИНОВЫ, СОВЕРШЕННЫЕ И ПОЛУПРИМАРНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

3.1. Основные определения и обозначения. Предварительные результаты

3.2. Совершенные и полупримарные полугрупповые кольца.

3.3. Артиновы группоидные кольца.

ГЛАВА 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ПОЛУГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

4.1. Необходимые условия алгебраической компактности полугруппового кольца.

4.2. Достаточные условия алгебраической компактности полугруппового кольца.

4.3. Полугрупповые кольца, являющиеся гомоморфными образами алгебраически компактных колец.

ГЛАВА 5. КОМПАКТНЫЕ И ЛИНЕЙНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛУ

ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА

5.1. Линейно компактные полугрупповые кольца

5.2. Некоторые необходимые и некоторые достаточные условия линейной компактности полугруппового кольца.

5.3. Компактные полугрупповые кольца.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия конечности в полугруппах, полугрупповых кольцах и полигонах»

Условия конечности в тех или иных классах универсальных алгебр играют важную роль в общей алгебре. Им посвящена обширная литература. В частности, огромное число работ посвящено артиновым и нетеровым кольцам и модулям. Интерес к объектам, удовлетворяющим условиям конечности, объясняется их распространенностью среди изучаемых математических объектов (скажем, конечномерные алгебры над полем - это одно из ключевых понятий теории представлений групп), а также возможностью построения для этих объектов содержательной структурной теории (как, например, теория Веддерберна - Артина полупростых артиновых колец или теория Сушкевича - Риса вполне 0-простых полугрупп).

Под условием конечности подразумевается любое условие, которому удовлетворяют все конечные алгебры. Полугруппы с условиями конечности всегда занимали важное место в структурной теории. Первоначально это были периодические и конечнопорожденные полугруппы, нильпотентные и нильполугруппы. Вошедшая в учебники теорема, описывающая строение конечнопорожденных абелевых групп, стимулировала соответствующие исследования в коммутативных полугруппах. Это позволило Редей (в 60-х годах) получить полное описание конечнопорожденных коммутативных полугрупп. До конца выясненным можно считать строение вполне 0-простых полугрупп, т.е. 0-простых полугрупп, имеющих хотя бы один минимальный ненулевой идемпотент - действительно, такая полугруппа изоморфна рисовской матричной полугруппе, у которой сэндвич-матрица не имеет нулевых строк и столбцов, см. [14], гл. 2. Общая концепция условий конечности в полугруппах и обзор некоторых результатов изложены в ([35], гл. IV, п. 6.2), в [34] получена теорема о строении полугрупп, удовлетворяющих целому классу (достаточно широкому) условий конечности.

Известна роль в теории групп условий максимальности и минимальности для подгрупп. Хотя группы с этими условиями (даже группы, удовлетворяющие обоим из этих условий) могут быть устроены довольно сложно (см. пример А.Ю.Ольшанского: [22], теорема 28.1), при наложении дополнительных условий строение таких групп может оказаться простым. Так, например, разрешимые группы с условием максимальности - это в точности полициклические группы (см. [17], §59), а минимальности - конечные разрешимые расширения конечных прямых сумм квазициклических групп ([17], §59).

Условие минимальности или максимальности для подгрупп группы или идеалов кольца может быть обобщено на полугруппы несколькими различными способами. Во-первых, таким обобщением может служить условие минимальности или максимальности для подгрупп. Важные результаты для полугрупп с этим условием получены Л.Н.Шевриным. Наиболее сильны из них состоит в том, что для широкого класса в условий конечности полугруппа удовлетворяет этому условию в том и только том случае, если она имеет конечное число идемпотентов, конечное число негрупповых элементов и все ее подгруппы удовлетворяют условию 9. Другим обобщением артиновости или нетеровости является условие минимальности или максимальности для (левых, правых, двусторонних) идеалов полугруппы, а также аналогичное условие для главных идеалов (последнее равносильно условию обрыва убывающих или возрастающих цепей £-, %- или .У-классов полугруппы. Интересные связи между этими условиями отмечены в [14], гл. 6 и [47]. Отметим также более ранние работы Левицкого, Фишера, Шоке.

Кроме того, аналогами артиновых и нетеровых колец могут служить полугруппы с условием минимальности или максимальности для односторонних конгруэнции. Полугруппы с этими условиями изучались Хотцелем ([47], [48]) и автором [15], [53]). Хотцелем было доказано, что полугруппа с условием минимальности для левых конгруэнции имеет лишь конечное число левых идеалов, и является конечной, если она не содержит бесконечных подгрупп. Будах [19] охарактеризовал коммутативные полугруппы с условием максимальности для конгруэнций; оказалось, что это в точности конечно порожденные коммутативные полугруппы. Автором были получены ([15], [53]) необходимые и достаточные условия выполнения условия минимальности или максимальности (для левых конгруэнций) в инверсной и во вполне 0-простой полугруппе. В частности, инверсная полугруппа удовлетворяет условию максимальности (или минимальности) для левых конгруэнций в том и только том случае, если она имеет лишь конечное число идемпотентов и удовлетворяет условию максимальности (или минимальности) для подгрупп. Как видно, для инверсных полугрупп условия максимальности (минимальности) для правых и для левых конгруэнций совпадают. В работе [48] Хотцель доказал конечную порожденность полугруппы с условием максимальности для правых конгруэнции в предположении, что всякий ее »/-класс является классом некоторой конгруэнции. Там же был поставлен вопрос: верно ли это для произвольной полугруппы с условием максимальности? В настоящей диссертации получен положительный ответ на этот вопрос для дуо (слева или справа) полугрупп и для полугрупп, удовлетворяющих одновременно обоим условиям максимальности, правому и левому. Круг вопросов, относящихся к условиям конечности в полугруппах, разумеется, не исчерпывается теми, о которых говорилось выше. К ним относятся также проблемы бернсайдовского типа (см. [19], гл. 10), финитной аппроксимируемости полугрупп и т.д.

Категория полигонов над полугруппой, как и категория модулей над кольцом, несет большую информацию о строении кольца. Например, если все циклические полигоны над моноидом являются плоскими, то моноид регулярен (М.Кильп, 1970, см. [52]). Наоборот, моноиды специального строения имеют категорию полигонов, обладающую интересными свойствами. Гомологической классификации моноидов посвящены работы М.Кильпа [13], Л.А.Скорнякова [26]. Недавно вышедшая монография [52] содержит многие из полученных результатов о полигонах над полугруппами. Теория полигонов имеет тесные связи с изучаемой в дискретной математике теорией абстрактных автоматов.

Подпрямо неразложимые алгебраические системы играют важную роль в общей алгебре, являясь "строительным материалом", из которого можно получить любую алгебраическую систему той же сигнатуры: действительно, известная теорема Биркгофа [38] утверждает, что всякая универсальная алгебра является подпрямым произведением подпряио неразложимых алгебр. Многообразия универсальных алгебр, все подпрямо неразложимые алгебры которых обладают тем или иным свойством, составляют интересные классы алгебр, а в ряде случаев они могут быть полностью описаны. Изучение этих классов тем легче, чем больше мы знаем о подпрямо неразложимых алгебрах данного многообразия. Б.М.Шайн в 1966 г. описал подпрямо неразложимые коммутативные полугруппы, еще в 1945 г. Мак-Кой [57] описал подпрямо неразложимые коммутативные кольца,Ранкин, Рейс и Тьеррен [68] доказали ряд утверждений о строении подпрямо неразложимых справа полугрупп (т.е. полугрупп, являющихся подпрямо неразложимыми правыми полигонами над собой). Далее, Ежик и Имре [47] описали коммутативные подпрямо неразложимые полигоны над произвольными полугруппами; следствием этого результата является упоминавшийся выше результат Шайна.

Многообразия универсальных алгебр, все алгебры которых финитно аппроксимируемы (по-другому: все подпрямо неразложимые алгебры конечны), изучались в работах [58], [59]. В [61] были исследованы резидуально малые многообразия, т.е. такие, у которых мощности подпрямо неразложимых алгебр пграничены в совокупности. Резидуально конечные многообразия полугрупп были описаны в [5]. В настоящей диссертации автор исследует полугруппы, над которыми все правые полигоны резидуально конечны, а также более узкий класс полугрупп: полугруппы, над которыми все подпрямо неразложимые правые полигоны имеют порядки, ограниченные в совокупности натуральным числом.

Групповые и полугрупповые кольца с условиями конечности - объект, интенсивно изучавшийся в последние десятилетия. В 1963 году Коннэлл доказал [42], что групповое кольцо ДС? является артиновым справа в том и только том случае, если кольцо Я артиново справа, а группа (? конечна. Попытки обобщения этой теоремы проводились по нескольким направлениям, из которых отметим следующие: 1) замена группы (7 на полугруппу, 2) замена артиновости более слабым условием конечности, 3) замена группы (? неассоциативным группоидом, 4) рассмотрение вместо обычного группового кольца скрещенного (полу)группового кольца или кольца, градуированного (полу)группой. В 1977 году, используя технику Р1-алгебр, Е.И.Зельмановым [12] было доказано, что если полугрупповое кольцо ЯБ артиново слева, то кольцо Я артиново слева, а полугруппа Б конечна, а в случае, когда полугруппа Б имеет единицу, верно и обратное. В 1978 году автор получил принципиально другое доказательство этого результата, использующее свойства полугрупп с условием минимальности для правых конгруэнций.

В 1971 году Рено [70] и Вудс [83] доказали (см. также [11]), что групповое кольцо Ж? совершенно справа в том и только том случае, если кольцо Я совершенно справа, а группа С конечна. О.И.Доманов [6,7] и Окнинский [64,65] рассмотрели условия совершенности полугрупповых колец ЯБ. Вопрос о совершенности кольца ЯБ (если Я нерадикально) был сведен к соответствующему вопросу для колец ЯБ, в которых Я -вполне 0-простая или нильполугруппа. В случае вполне 0-простой полугруппы Доманов свел вопрос о совершенности ЯБ к наличию в некотором подкольце этого кольца полиномиального тождества и решил его для случая, когда нольцо коэффициентов есть поле характеристики 0 [7]. Окнинский получил характеризацию совершенных (сжатых) полугрупповых колец ЯЗ, где Я - поле, используя введенное им отношение р—эквивалентности на множестве идемпотентов полугруппы 5 (см. [64], гл.14, теор.21 или [65]). Автор и М.Я.Финкелынтейн получили более прозрачную характе-' ризацию этих колец.

В [51] были рассмотрены условия совершенности и полупримарности колец, градуированных полугруппой. В [41] получено значительное усиление упоминавшейся выше теоремы Зельманова. А именно, доказано, что если кольцо Я$, градуированное полугруппой 3, артиново справа и 5 не содержит бесконечных подгрупп, то Яа — 0 для почти всех а. Предположение об отсутствии бесконечных подгрупп существенно ввиду построенного Пассманом [66] примера скрещенного группового кольца бесконечной группы (?, являющегося полем, а значит, артиновым кольцом. В противоположность этому для широкого класса колец Яд, градуированных группой, Саорин [12] доказал, что группа (7 конечна, если Яа артиново.

Гораздо более сильным условием, чем артиновость, является алгебраическая компактность. Алгебраически компактные кольца и модули имеют тесные связи с логикой и топологией (см. [77], [86]). В 1982 г. Циммерман доказал [87], что групповое кольцо ДС? алгебраически компактно справа в том и только том случае, если кольцо Я алгебраически компактно справа, а группа С конечна. Эта теорема обобщает упоминавшуюся ранее теорему Коннэлла об артиновых групповых кольцах. Кроме того, из теоремы Циммермана следует, что точно такое же утверждение справедливо для линейно компактных (в дискретной топологии) групповых колец. В противоположность групповым кольцам, алгебраическая компактность полугруппового кольца ЯЗ не влечет конечность полугруппы 3, но накладывает сильные ограничения на ее строение. В частности, полугруппа 3 оказывается периодической, удовлетворяет условию обрыва цепей идемпотентов и т.д. Линейная компактность кольца ЯЗ влечет конечность полугруппы 3. Автором в работах [102], [103] сделан обзор результатов по условиям конечности в полугрупповых кольцах.

Инъективность модуля и самоинъективность кольца не являются, вообще говоря, условиями конечности, но близость этих условий к условиям конечности, если мы имеем дело с групповыми или полугрупповыми кольцами, является несомненной. В частности, теорема Рено см. [70], [11]) утверждает, что групповое кольцо Ж? является самоинъективным справа в том и только том случае, если кольцо В. самоинъек-тивно справа, а группа С конечна. В случае полугруппового кольца ЯЯ, влечет ли его самоинъективность конечность группы С, является открытым вопросом. Фа-унтэн ошибочно утверждал, что полугрупповое кольцо счетной полугруппы левых нулей над полем является самоинъективным справа. Автором была доказана конечность полугруппы Я самоинъективного справа кольца Л5" вначале в случае, когда 5 - полурешетка, затем в случае инверсной полугруппы. Впоследствии Окнинский (см. [64]) доказал конечность полугруппы 5 при условии, что самоинъективно слева и справа, а также в случае, когда ЯБ самоинъективно с одной стороны, но Б - регулярная или, что более общо, полупростая полугруппа. Сравнительно недавно автору удалось доказать, что 5 удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов, порожденных идемпотентами.

Целью данной работы является систематическое исследование полугрупп и полугрупповых колец, удовлетворяющих условиям конечности, а также полугрупп, над которыми полигоны удовлетворяют условиям конечности. В диссертации рассматривается условие максимальности для односторонних конгруэнций полугрупп, финитная аппроксимируемость полигонов над полугруппами, а также различные обобщения артиновости для полугрупповых колец. Рассматриваемые условия тесно связаны друг с другом: выполнение условий конечности в полигонах над полугруппой влечет выполнение определенных условий (часто довольно сильных) в самой полугруппе, а условия, наложенные на полугрупповое кольцо Л5", накладывают условия на полугруппу Я. Например, артиновость справа (или нетеровость справа) кольца Д5 влечет условие минимальности (или максимальности) для правых конгруэнций полугруппы 5.

В доказательствах применяются методы структурной теории полугрупп, структурной теории колец и комбинаторные методы. К главным результатам диссертации можно отнести следующие:

• Доказана конечная порожденность дуополугрупп (левых или правых), удовлетворяющих условию максимальности для правых конгруэнции. Описаны полугруппы, все нетривиальные правые конгруэнции которых имеют конечный индекс. Исследованы полугруппы, удовлетворяющие слабому условию максимальности.

• Доказано, что полурешетки и только они обладают свойством, что все правые полигоны аппроксимируются двухэлементными. Доказана конечность нильпо-лугрупп, над которыми все полигоны финитно аппроксимируемы. Охарактеризованы коммутативные полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются конечными с ограниченными в совокупности порядками.

• Охарактеризованы совершенные справа и полупримарные полугрупповые кольца.

• Найдены условия алгебраической компактности полугруппового кольца. Доказано, что линейная компактность полугруппового кольца влечет конечность полугруппы.

• Доказано, что самоинъективность полугруппового кольца влечет выполнение в полугруппе условия минимальности для левых идеалов, порожденных идемпотента-ми.

Все результаты диссертации являются новыми.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам.

В первой главе диссертации рассматривается условие максимальности для односторонних конгруэнций полугруппы. Автор продолжил исследования, начатые в кандидатской диссертации, где были охарактеризованы инверсные и вполне 0-простые полугруппы с условием максимальности. Для групп условие максимальности (минимальности) для правых (или левых) конгруэнций равносильно условию максимальности (минимальности) для подгрупп. Группы с этим условием могут быть устроены довольно сложно, как показывают примеры из гл. 9 в [22], поэтому имеет смысл изучать эти условия в полугруппах "с точностью до групп". В [39] было доказано, что коммутативная полугруппа удовлетворяет условию максимальности для конгруэнций в том и только том случае, если она конечно порождена. В [48] Хотцелем был поставлен вопрос: является ли всякая полугруппа 5 с условием максимальности конечно порожденной? Там же был дан положительный ответ на этот вопрос в следующих случаях: (а) если полугруппа 5 слабо периодическая, т.е.

Vа € 5" Зга ((51ап51)2 = 51ап51); (б) если в Б всякий ./-класс является классом некоторой конгруэнции. Периодические полугруппы удовлетворяют условию (а), а коммутативные - условию (б), поэтому для этих классов полугрупп проблема Хотцеля решается положительно. Примеры полугрупп с условием максимальности, которые не были бы конечно порождены, автору неизвестны, но если они есть, их можно найти среди счетных полугрупп:

Теорема 1.1. Если существует полугруппа Б с условием максимальности для правых конгруэнции, не имеющая конечного множества образующих, то существует счетная полугруппа с этим свойством.

В двух частных случаях мы получаем положительное решение проблемы Хотцеля:

Теорема 1.5. Полугруппа, удовлетворяющая условию максимальности для правых и левых конгруэнции, является конечно порожденной.

Теорема 1.8. Если Б - правая или левая дуополугруппа и Б удовлетворяет условию максимальности для правых конгруэнции, то Б конечно порождена.

Произвольная полугруппа с условием максимальности для правых конгруэнции обладает следующим свойством /-классов:

Предложение 1.2. ^-класс полугруппы с условием максимальности для правых конгруэнции, является объединением конечного числа классов.

Условие максимальности на правые конгруэнции полугруппы Б заведомо выполняется, если Б обладает свойством все нетривиальные правые конгруэнции имеют конечный индекс. (*)

Характеризацию полугрупп, удовлетворяющих условию (*), дает

Теорема 1.25. Полугруппа Б удовлетворяет условию (*) в том и только том случае, если Б конечна или Б изоморфна подполугруппе аддитивной полугруппы ги{-оо}.

Следствием этой теоремы является тот факт, что в группе (7 все нетривиальные подгруппы имеют конечный индекс в том и только том случае, если С? конечна или является бесконечной циклической группой. Для полугрупповых алгебр над полем ^ справедливо утверждение, аналогичное теореме 1.5:

Теорема 1.29. Все нетривиальные правые идеалы полугрупповой алгебры РБ имеют конечную коразмерность над полем Р в том и только том случае, если полугруппа Б либо конечна, либо изоморфна подполугруппе аддитивной полугруппы ги{-оо}.

Пусть Д = {(5,5) | ^ € 5} - отношение равенства на полугруппе Б. Для каждого а € 5 положим р(а) — {(х,у) \ < о, > хП < а > у ф 0}. Условие (*) можно ослабить до следующего:

5 (р(а) ф Д => |5//э(о)| < оо). (**)

Полугруппы, удовлетворяющие условию (**), составляют гораздо более широкий класс полугрупп, чем удовлетворяющие (*). В частности, условию (**) удовлетворяют: (а) конечные полугруппы, (б) нильполугруппы, (в) полугруппы левых (правых) нулей, (г) полурешетки с конечным нижним конусом, т.е. такие, что |а5| < оо для всех а Е Я. Полугруппы с условием (**), конечно, могут не удовлетворять условию максимальности для правых конгруэнции. Но (**) также является условием конечности. Оно довольно сильное, как показывает следующая

Теорема 1.43. Пусть 5 - полугруппа с условием (**). Тогда:

1) подполугруппа и гомоморфный образ полугруппы Я также удовлетворяют

2) всякая бесконечная подгруппа полугруппы Б является циклической;

3) |е5| < оо для любого идемпотента е, не являющегося левой единицей;

4) Я удовлетворяет условию минимальности для главных левых идеалов, порожденных идемпотентами;

5) всякий (О-)простой главный фактор полугруппы 5 вполне (0- )прост;

6) если М°(С, А, Р) - вполне 0-простой главный фактор полугруппы Я, то либо |(7|, |Л| < оо, либо |/|, |Л| < оо и С = Ъ, либо |(?| = |/| = 1/ аналогичное утверждение верно для вполне простого главного фактора.

Во второй главе диссертации рассматриваются условия конечности для полигонов над полугруппами. Понятно, что по свойствам категории полигонов над данной полугруппой 5 можно судить о свойствах самой полугруппы Б и наоборот (см.[26], [13] и серии работ Фляйшера, Буллмана-Флеминга и др.). Естественно спросить: над какими полугруппами 5 все правые 5-полигоны резидуально конечны (в другой терминологии, финитно аппроксимируемы), т.е. аппроксимируются конечными полигонами? Положительный ответ на этот вопрос равносилен выполнению в полугруппе 5 следующего условия: все подпрямо неразложимые правые 5 — полигоны конечны. {ф)

Введем еще два условия: мощности подпрямо неразложимых правых 5 — полигонов ограничены одним натуральным числом и

Х| < 2 для всякого подпрямо неразложимого 5 — полигона X. {ФФФ)

В диссертации найдены необходимые и достаточные условия выполнения {ФФФ) для всех полугрупп и {фф) для коммутативных и нильполугрупп. Найдены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия выполнения {ф).

Теорема 2.7. Все правые Б-полигоны аппроксимируются двухэлементными полигонами в том и только том случае, если 5 - полурешетка, т.е. коммутативная полугруппа идемпотентов.

В этой теореме не предполагается, что полугруппа 5 имеет единицу. Если же 5 -моноид (т.е. полугруппа с единицей) и все 5-полигоны предполагаются унитарными (т.е. а • 1 = а), то имеет место аналогичная теорема:

Теорема 2.8. Пусть 5 - моноид. Все унитарные правые Я-полигоны аппроксимируются двухэлементными в том и только том случае, если 5 - коммутативный моноид идемпотентов.

Необходимым условием выполнения (ф) является резидуальная конечность полугруппы 5 и всех ее гомоморфных образов. Достаточное условие - конечность полугруппы:

Теорема 2.9. Если |5| = п, то все подпрямо неразложимые правые (и левые) Б-полигоны состоят не более чем из 2П+1 элементов.

Необходимое условие выполнения (фф) дает

Теорема 2.34. Если |Х| < п для любого подпрямо неразложимого правого 5"-полигона X, то 5" - периодическая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками элементов.

Бесконечный циклический моноид и бесконечная циклическая полугруппа не удовлетворяют условиям (ф), (фф), а бесконечная циклическая группа удовлетворяет (#), но не удовлетворяет (фф). Поэтому (ф) и (фф) не эквивалентны и периодичность полугруппы не является необходимым условием для (ф). В случае нильполу-групп эти условия эквивалентны, как показывает

Теорема 2.26. Пусть 5" - нильполугруппа. Тогда условия (ф) и (фф) равносильны, и каждое из них равносильно конечности полугруппы 5.

Чтобы сформулировать теорему, описывающую коммутативные полугруппы с условием (фф), введем некоторые обозначения. Пусть Б - коммутативная полугруппа. Так как речь идет о выполнении условия (фф), то ввиду теоремы 2.34 можно считать, что полугруппа 5" периодическая. Пусть Е - ее полурешетка идемпотен-тов. Тогда 5 — □{¿'е | е 6 Е}, где 5е = {5 £ 5 | зт = е при некотором т}. Пусть а : Е = Е' и Е" - разбиение множества Е. Обозначим через р(а) наименьшую конгруэнцию на полугруппе 51 такую, что (5, 1) 6 р(<т) для всех б £ при е £ Е' и (ае, е) £ р((т) при е £ Е" и всех 5 € 5\

Теорема 2.30. Существуют функции <р(п), ф(п) натурального аргумента п такие, что для любой коммутативной полугруппы Б верны утверждения:

А) если 5П = в2п для всех в £ <? и |51/р(сг)| < п для всех разбиений <т \ Е — Е'иЕ", то IЛI < для любого подпрямо неразложимого S-полигона А;

Б) если < п для всякого подпрямо неразложимого S- полигона А, то 5п! = s2n! для всех s £ S и ¡S1 ¡р(а)\ < ф(п) для любого разбиения cr : Е = Е' U Е".

Третья глава диссертации посвящена условиям артиновости, совершенности и полупримарности полугрупповых колец. Для формулировки результата введем некоторые обозначения. Пусть G - конечная группа и п - неотрицательное целое число. Тогда Gn = {1}, если п = 0 или п - составное число, и Gn - наибольшая нормальная р—подгруппа группы G, если та = р - простое число. Далее, для (Л х /)-матрицы Р с элементами p\i G G U {0} пусть Р = ||1>л7||, где 0 = 0 и g - образ элемента g € G при гомоморфизме G —> G¡Gn. Имеет место

Теорема 3.12 Сжатое полугрупповое кольцо RS совершенно справа (соотв., полупримарно) в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

1) R - исчезающее слева (соотв., нильпотентное) кольцо;

2) R - совершенное справа (соотв., полупримарное) нерадикалъное кольцо, а полугруппа S обладает свойствами: а) все подгруппы полугруппы S конечны; б) S имеет ряд идеалов 0 = So С Si С . ■ С Sm — S, факторы которого 5¿/5¿i (г = 1,. . т) - исчезающие слева (соотв., нильпотентные) или вполне 0-простые полугруппы; в) если Si/Si-i = M0(G, /, Л, Р) - вполне (0)- простая полугруппа un = char(R/ J(R) то матрица Рп имеет лишь конечное число попарно неравных строк.

Если отказаться от ассоциативности, т.е. рассматривать группоидные кольца RG (где G - группоид), то артиновых колец станет гораздо больше. Имеют место следующие теоремы:

Теорема 3.13. Пусть F - поле и G - группоид. Тогда существует группоид Н D G такой, что группоидное кольцо FH имеет ровно три правых идеала: 0, A(Fií) (фундаментальный идеал) и FH.

Теорема 3.14. Пусть F - поле рациональных чисел и G - группоид с правым и левым сокращением. Тогда существует квазигруппа <5 5 С такая, что квазигрупповое кольцо Р(5 имеет ровно три правых идеала: О, А(Р<3) и П

В четвертой главе диссертации исследуются полугрупповые кольца, являющиеся алгебраически компактными или гомоморфными образами алгебраически компактных. Как уже говорилось выше, алгебраическая компактность полугруппового кольца Д5 (в отличие от группового) не влечет конечность полугруппы £\ Однако, в этой полугруппе выполняются довольно сильные условия конечности.

Теоремы 4.11, 4.15. Пусть В. - кольцо с единицей, Б - бесконечная полугруппа с единицей и нулем. Если кольцо алгебраически компактно справа, то: а) кольцо Я Т^-алгебраически компактно справа; б) полугруппа 5 имеет ряд идеалов О С ¿¡г С . С 5П = 5, факторы которого Бг/Бг-г - вполне 0-простые или нильполугруппы; в) нильфакторы являются исчезающими слева полугруппами; если Бх - нилъпо-лугруппа, то нильпотентна; г) вполне 0-простые факторы = М°((?, /, Л,Р) таковы, что |С?| < оо и сэндвич-матрица Р имеет лишь конечное число попарно неравных строк.

Утверждение, обратное этой теореме, в общем случае неверно, однако верно для вполне 0-простых полугрупп:

Теорема 4.23. Пусть И - кольцо с единицей и Б = М°((т,/,Л,Р) - вполне 0-простая полугруппа. Если кольцо Я Е — алгебраически компактно справа, < оо и Р имеет лишь конечное число попарно неравных строк, то кольцо Д51 алгебраически компактно справа.

Эту теорему нельзя обобщить на расширения вполне 0-простых полугрупп при помощи вполне 0-простых. Клюшин (не опубликовано) построил пример полугруппы Б, являющейся расширением полугруппы левых нулей при помощи полугруппы правых нулей, такую, что полугрупповое кольцо РБ1 над полем Р из двух элементов не является алгебраически компактным справа.

Класс алгебраически компактных колец не замкнут относительно взятия гомоморфных образов (пример 17 из [88] показывает, что существуют полугрупповые кольца коммутативных полугрупп, которые сами £-алгебраически компактны, а их некоторый гомоморфный образ не является даже алгебраически компактным). Поэтому естественно рассмотреть класс колец, состоящий из гомоморфных образов алгебраически компактных колец. Имеет место

Теорема 4.33. Пусть R • кольцо с единицей и S - полугруппа с единицей и нулем. Если кольцо RS является гомоморфным образом алгебраически компактного справа кольца, то полугруппа S имеет ряд идеалов, факторы которого - исчезающие слева нильполугруппы или вполне 0-простые полугруппы с конечной структурной группой.

Пятая глава диссертации посвящена компактным и линейно компактным полугрупповым кольцам. К компактным полугрупповым кольцам RS, где R - кольцо с единицей, a S - полугруппа, также имеющая единицу, применимы теоремы 4.11, 4.15, в частности, полугруппа S имеет ряд идеалов, факторы которого вполне 0- простые или нильполугруппы. При отсутствии нильфакторов строение полугруппы S может быть уточнено: в последнем бесконечном факторе этого ряда сэндвич-матрица имеет конечное число строк или столбцов:

Теорема 5.28 Пусть S - полупростая полугруппа с единицей и нулем, R - кольцо с единицей. Предположим, что RS допускает компактную топологию, согасу-ющуюся со структурой кольца. Если 0 = So С Si С . С Sn = S - ряд идеалов с факторами Sk/Sk-i — M°(Gk, h, Л*., Pk) и ¡S" \ Sk\ < оо, то хотя бы одно из множеств Ik, Jk конечно.

Линейно компактные кольца RS естественно рассматривать без предположения о том, что в R или в S есть единица. Поэтому непосредственно к ним теорема 4.11 неприменима. Однако, удается сохранить многие рассуждения, использовавшиеся при доказательстве этой теоремы, "очистить" их от предположения о наличии единиц и получить следующий результат:

Лемма 5.1, теорема 5.19. Если сжатое полугрупповое кольцо RS линейно компактно слева (в дискретной топологии), то кольцо R также линейно компактно слева, а полугруппа S конечна.

Аналогичная теорема справедлива для счетно линейно компактных колец.

Как и в случае артиновых колец, линейная компактность кольца Я и конечность полугруппы 5* не гарантируют, что ЯБ будет линейно компактным. Причина здесь в том, что аддитивная группа линейно компактного кольца не обязана сама быть линейно компактной, и если, скажем, 5 - полугруппа с нулевым умножением (т.е. З2 = {0}), то любая подгруппа аддитивной группы кольца ЯБ является его идеалом, и линейная компактность кольца Л51 не имеет места. Этого не происходит в случае, когда Б имеет единицу (или только левую единицу). Если аддитивная группа кольца Я не является линейно компактной, то необходимым условием линейной компактности кольца ЯБ является условие "\/а 6 5 а 6 Бап. Если идемпотенты полугруппы Б коммутируют, то это условие является и достаточным (предложение 5.21).

Некоторые достаточные условия линейной компактности кольца ЯБ можно сформулировать следующим образом:

Теорема 5.25. Пусть Я - кольцо, Б - конечная полугруппа с единицей и нулем, ЯБ - сжатое полугрупповое кольцо. Предположим, что каждый элемент целочисленного полугруппового кольца ЪБ имеет левую единицу. Если Я линейно компактно слева, то ЯБ тоже.

Аналогичное утверждение справедливо для артиновости. Если 5 - конечная инверсная полугруппа, то кольцо ЪБ имеет даже двустороннюю единицу (см. [79]). Поэтому для инверсных полугрупп Б верно утверждение "ЯБ бС^г- Я (ЕС, |5| < оо", где С - класс артиновых слева или линейно компактных слева колец (см. теорему 5.24).

В шестой главе диссертации рассматриваются самоинъективные полугрупповые кольца. Известная теорема Рено утверждает (см. [70]), что самоинъективность группового кольца равносильна самоинъективности кольца Я и конечности полугруппы (7. Вопрос о том, должна ли полугруппа Б быть конечной, если кольцо ЯБ самоинъективно справа, пока открыт. К настоящему времени имеется положительный ответ на этот вопрос в следующих случаях: 1) Б полупроста; 2) ЯБ самоинъективно слева и справа; 3) Я - поле, а 5* - счетная полугруппа (см. [64], гл.16).

Следующее утверждение доказано без предположения о наличии единицы в кольце или полугруппе.

Теорема 6.7. Пусть Я - кольцо и 5 - инверсная полугруппа. Тогда кольцо ЯЯ является самоинъективным справа в том и только том случае, если В. самоинъективно справа, а полугруппа 5 конечна.

Если ЯБ - самоинъективное справа кольцо с единицей и 5 - бесконечная полугруппа (возможно, эти условия противоречат друг другу), то по теореме 4.11 кольцо Я Е—алгебраически компактно справа, а значит, является совершенным справа и по теореме 3.12 (с учетом теоремы 4.11) кольцо ЯБ совершенно справа. Отсюда следует, что Яв - полулокальное БВГкольцо (см. [28], гл.18 и предл.22.19). Это влечет наличие в кольце ЯЯ конечной системы ортогональных неразложимых идемпотен-тов. Используя этот факт, можно получить теорему:

Теорема 6.11. Пусть Я - кольцо с единицей и Я - полугруппа с единицей и нулем. Если кольцо ЯБ самоинъективно справа, то полугруппа Б имеет лишь конечное число левых идеалов вида 5е, где е2 = е £ 5.

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях по алгебре: 17-й Всесоюзной алгебраической конференции (Минск, 1983), 18-й Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985), Международной алгебраической конференции памяти А.И.Ширшова (Барнаул, 1991), Международной алгебраической конференции "Полугруппы и их приложения" (С.Петербург, 1995), Международной конференции памяти Д.К.Фаддеева (С.Петербург, 1997), Международном алгебраическом семинаре, поев. 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 1999) и т.д. Кроме того, результаты диссертации докладывались на Научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ, на семинаре "Полугруппы и другие алгебраические системы" Уральского госуниверситета.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора: [89]-[110].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кожухов, Игорь Борисович, 2000 год

1. Автоматы, языки, полугруппы. Сб. статей под ред. М.Арбиба. М., 1975.

2. Берж К. Теория графов и ее применения. М., ИЛ, 1962.

3. Бовди A.A. Скрещенные произведения полугруппы и кольца. Сиб. матем. ж., 1963, 4, N 3, 482-489.

4. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М., Мир, 1971.

5. Голубов Э.А., Сапир М.В. Многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп. Докл. АН СССР, 1979, 247, N 5, 1037-1041.

6. Доманов О.И. О тождествах полугрупповых алгебр вполне 0-простых полугрупп. Мат. заметки, 1875, 18, N 2, 203-212.

7. Доманов О.И. Совершенные полугрупповые кольца. Сиб. матем. ж., 1977, 18, N 2, 296-303.

8. Елизаров В.П. Конечные кольца. М., 1980.

9. Жучин A.B. О полулокальных полугрупповых кольцах. Фундвм. и прикл. матем., 1999, 5, N 1, 139-147.

10. Жучин A.B. Локальные сжатые полугрупповые кольца. Фундам. и прикл. матем., в печати.

11. Залесский А.Е., Михалев A.B. Групповые кольца. В сб. Итоги науки и техники. Соврем, проблемы математики, т. 2. М., ВИНИТИ, 1973, 5-118.

12. Зельманов Е.И. Полугрупповые алгебры с тождествами. Сиб. матем. ж., 1977, 18, 787-798.

13. Кильп М. К гомологической классификации моноидов. Сиб. матем. ж., 1972, 13, 578-586.

14. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическвя теория полугрупп, тт. 1, 2. М., Мир, 1972.

15. Кожухов И.Б. Полугруппы и полугрупповые кольца с условиями на конгруэнции и идеалы. Канд. дисс. М., 1979.

16. Кон П. Универсальная алгебра. М., Мир, 1968.

17. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, 1967.

18. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., Наука. 1969.

19. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М., Мир, 1985.

20. Мальцев А.И. Избранные труды. Т.1. Классическая алгебра. M., Наука, 1976.

21. Овсянников А.Я. Локальные полугрупповые кольца. Фунд. м прикл. матем., 1995, 1, N 4, 1115-1118.

22. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М., Наука, 1989.

23. Подколзин A.C., Кудрявцев В.Б. Введение в теорию абстрактных автоматов. М., МГУ, 1985.

24. Понизовский И.С. О фробениусовости полугрупповой алгебры конечной коммутативной полугруппы. Изв. АН СССР, сер. матем., 1968, 32, N 4, 820-836.

25. Ройз E.H. О подпрямо неразложимых монарах. Упорядоч. множества и решетки. Вып. 2. Саратов, 1974, 80-84.

26. Скорняков Л.А. О гомологической классификации моноидов. Сиб. матем. ж., 1969, 10, 1139-1143.

27. Урсул М.И. Компактные кольца и их обобщения. Кишинев, Штиинца, 1991.

28. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, тт. 1, 2. М., Мир, 1979.

29. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. 1. М., Мир, 1974.

30. Хобби Д., МакКензи Р. Строение конечных алгебр. М., 1993.

31. Шеврин Л.Н. К теории эпигрупп, I. Мат. сборник, 1994, 185, N 8, 129-160.

32. Шеврин Л.Н. К общей теории полугрупп. Мат. сборн., 1961, 53, 367-386.

33. Шеврин Л.Н. Нильполугруппы с некоторыми условиями конечности. Мат. сборник, 1961, 55, N 4, 473-480.

34. Шеврин Л.Н. Одна общая теорема о полугруппах с некоторыми условиями конечности. Мат. заметки, 1974, 15, N 6, 925-935.

35. Шеврин Л.Н. Полугруппы. В сб. "Общая алгебра", т.2, 11-191. СМБ, М., "Наука", 1991.

36. Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. Полугруппы м их подполугрупповые решетки. Ч. 1, 2. Свердловск, УрГУ, 1990, 1991.

37. Энгелькинг Р. Общая топология. М., Мир, 1986.

38. Birkhoff G. Subdirect unions in universal algebra. Bull. Amer. Math. Soc., 1944, 50, 764-768.

39. Budach L. Struktur Noetherscher kommutativer Halbgruppen. Monatsberichte Deutschen Akad. Wiss., 1964, 6, 85-88.

40. Chin W., Quinn D. Rings graded by polycyclic-by-finite groups. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, 102, N 2, 235-241.

41. Clase M.V., Jespers E., Kelarev A.V., Okninski J. Artinian semigroup-graded rings. Bull. London Math. Soc., 1995, 27, 441-446.

42. Connell I.G. On the group rings. Can. J. Math., 1963, 15, N 4, 650-685.

43. Esik Z., Imreh B. Subdirectly irreducible commutative automata. Acta cybernetica, 1981, 5, N 3, 251-260.

44. Faith C., Utumi Y. Quasi-injective modules and their endomorphism rings. Arch. Math., 1964, 15, N 3, 166-174.

45. Grassmann H. On irreducible and principal indecomposable representations of finite semigroups. Math. Nachr., 1978, 81, 269-277.

46. Hansen F. The unity in rings with Gabriel and Krull dimension. Proc. Amer. Math. Soc., 1976, 55, N 2, 281-286.

47. Hotzel E. On finiteness conditions in semigroups. J. Algebra, 1979, 60, 352-370.

48. Hotzel E. On semigroups with maximal conditions. Semigroup Forum, 1975/76, 11, N 4, 337-362.

49. Jespers E., Okninski J. Descending chain conditions and graded rings. J. Algebra, 1995, 178, N 2, 458-479.

50. Kaplansky I. Topological rings. Amer. J. Math., 1947, 69, 153-183.

51. Kelarev A.V. Applications of epigroups to graded ring theory. Semigroup Forum, 1995, 50, N 3, 327-350.

52. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. Berlin, De Gruyer, 1999.

53. Kozhukhov I.B. On semigroups with minimal or maximal condition on left congruences. Semigroup Forum, 1980, 21, 337-350.

54. Krempa J., Okninski J. Semilocal, semiperfect and perfect tensor products. Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. math., 1980, 28, N 5-6, 249-256.

55. Lawrence J. A countable self-injective ring is quasi-Frobenius. Proc. Amer. Math. Soc., 1977, 65, N 2, 217-220.56. de Luca A., Varicchio. A finiteness condition for semigroups generalizing a theorem of Hotzel. J. Algebra, 1991, 136, 60-72.

56. McCoy N.H. Subdirectly irreducible commutative rings. Duke Math. J., 1945, 12, 381-387.

57. McKenzie R. Residually small varieties of K-algebras. Algebra Universalis, 1982, 14, N 2, 181-196.

58. McKenzie R. Residually small varieties of semigroups. Algebra Universalis, 1981, 13, N 2, 171-201.

59. Migliorini F., Szep J. Chains and cycles in the subsets Cn of the finitely generated and periodic semigroups, I, II. J. Pure Nath. and Appl., Ser. A, 1992, 3, N 1-2, 117-125 h N 3-4, 233-242.

60. Normak P. To residual smallness. Proc. Tartu Univ., 1987, 764, 53-56.

61. Okninski J. Semilocal semigroup rings. Glasgow Math. J., 1984, 25, N 1, 37-44.

62. Okninski J. On regular semigroup rings. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1984, 99A, 145-151.

63. Okninski J. Semigroup algebras. Marcel Dekker, 1991.

64. Okninski J. When is the semigroup ring perfect? Proc. Amer. Math. Soc., 1983, N 1, 49-51.

65. Passmann D.S. The algebraic structure of group rings. N.Y., Wiley-Inc., 1977.

66. Passmann D.S. Radicals of twisted group rings, II. PRoc. London Math. Soc., 1971, 22, N 3, 633-651.

67. Rankin S.A., Reis C.M., Thierrin G. Right subdirectly irreducible semigroups. Pacif. J. Math., 1979, 85, N 2, 403-412.

68. Reid A. Twisted group algebras which are Artinian, perfect or self-injective. Bull. London Math. Soc., 1975, 7, N 2, 166-170.

69. Renault G. Sur les anneaux de groupes. C.R.Acad.Sci., 1971, 273, N 2, A84-A87.

70. Rosenberg A., Zelinski D. Finiteness of the injective hull. Math. Z., 1959, 70, N 4, 372-380.

71. Saorin M. DEscending chain conditions for graded rings. Proc. Amer. Math. Soc., 1992, 115, N 2, 295-302.

72. Schein B.M. Homomorphisms and subdirect decompositions of semigroups. Pacif. J. Math., 1966, 17, 529-547.

73. Singh S., YVasan K. Commutative self-injective rings. Canad. J. Math., 1970, 22, N 6, 1101-1108.

74. Skornjakov L.A. Unars. Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 1977, 735-742.

75. Utumi Y. On continuous rings and self-injective rings. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 118, N 6, 158-173.

76. Warfield R.B.Jr. Purity and algebraic compactness for modules. Pacif. J. Math., 69, 28, 699-719.

77. Weissglass Ju. Semigroup rings and semilajjice sums of rings. Proc. Amer. Math. Soc., 1973, 39, 471-478.

78. Wenger R. Finite commutative semigroups having Frobenius semigroup algebras. 1978, 16, N 4, 427-442.

79. Wenger R. Self-injective semigroup rings for finite inverse semigroups. Proc. Amer. Math. Soc., 1969, 20, N 1, 213-216.

80. Wenger R. Some semigroups having quasi-Frobenius algebras, I. Proc. London Math. Soc., 1968, 18, N 3, 484-494.

81. Wenger R. Some semigroups having quasi-FRobenius algebras, II. Canad. J. Math., 1969, 21, N 3, 615-624.

82. Woods S.M. On perfect group rings. Proc.Amer.Math.Soc., 1971, 27, N 1, 49-52.

83. Woods S.M. Some results on semi-perfect group rings. Canad. J. Math., 1974, 26, N 1, 121-129.

84. Zhang Liang, Gu Chang Kang. On finiteness of the class of semigroups and the chain condition on their congruence lattices. Words, languages and combinatorics, II (Kyoto, 1992), 465-476. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1994.

85. Zimmermann W. Rein injektive direkte Summen von Moduln. Commun. Algebra, 1977, 5, 1083-1117.

86. Zimmermann W. (E)-algebraic compactness of rings. J. Pure and Appl. Algebra, 1982, 23, 319-328.

87. Zimmermann-Huisgen В., Zimmermann W. Algebraically compact rings and modules. Math. Z., 1978, 161, 81-93.

88. Кожухов И.Б. О полугруппах с условиями на односторонние конгруэнции. Успехи матем. наук, 1998, 53, N 6, 251-252.

89. Кожухов И.Б. О самоинъективных полугрупповых кольцах. Успехи матем. наук, 1997, 52, N 3, 165-166.

90. Кожухов И.Б. Полугруппы, над которыми все полигоны резидуально конечны. Фундам. и прикл. матем., 1998, 4, N 2, 1335-1344.

91. Кожухов И.Б. Полугруппы с правыми конгруэнциями конечного индекса. Фундам. и прикл. матем., 1997, 3, N 3, 869-878.

92. Кожухов И.Б. Самоинъективные полугрупповые кольца инверсных полугрупп. Изв. вузов. Матем., 1981, N 2, 46-51.

93. Кожухов И.Б. Условия конечности для подпрямо неразложимых полигонов и модулей. Фундам. и прикл. матем., 1998, 4, N 2, 1-5.

94. Кожухов И.Б., Финкелынтейн М.Я. Совершенные и полупримарные полугрупповые кольца. Известия вузов. Математика, 1987, N 12, 45-48.

95. Klyushin А.V., Kozhukhov I.В. Linearly compact semigroup rings. Semigroup Forum, 1998, 56, 276-287.

96. Klyushin A. V., Kozhukhov I.B. On algebraically compact semigroup rings. Semigroup Forum, 1989, 39, 215-248.

97. Klyushin A.V., Kozhukhov I.B. On the compact semigroup rings. Commun. Algebra, 1998, 26, N 2, 589-593.

98. Kozhukhov I.B. Artinian groupoid rings. Semigroup Forum, 1998, 56, 437-441.

99. Kozhukhov I.B. On the semigroup rings which are homomorphic images of algebraically compact rings. Сб. трудов Петербургской алгебраич. конф. 1995 года "Semigroups and their applications", 1999, Debruyer (Germany), p. 101-109.

100. Kozhukhov I.B. One characteristical property of semilattices. Commun. Algebra, 1997, 25, N 8, 2569-2577.

101. Kozhukhov I.B. Semigroup rings with certain finiteness conditions. J. Math. Sci., 1999, 94, N 6, 1795-1808.

102. Kozhukhov I.B. Technique of semigroup ring theory: Artinian, perfect and semiprimary semigroup rings. J. Math. Sci., 1999, 95, N 4, 2317-2327.

103. Клюшин А.В., Кожухов И.Б. Об алгебратчески компактных полугрупповых кольцах. 17-я Всес. алг. конф. Минск, 1983. Тезисы сообщений, с. 92.

104. Клюшин А.В., Кожухов И.Б. Об алгебраической компактности полугрупповых колец. Межд. конф. "Полугруппы и их приложения". СПб, 1995. Сб. тезисов, с. 26-27.

105. Клюшин А.В., Кожухов И.Б. О строении компактного полугруппового кольца. Межд. конф. по алгебре памяти А.И.Ширшова. Барнаул, 1991. Сб. тезисов, с. 52.

106. Кожухов И.Б. Две леммы о периодичности в кольцах, градуированных полугруппой. Тезисы докладов Межд. алгебраич. семинара, посвящ. 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. М., 1999, с. 31-32.

107. Кожухов И.Б. О подпрямо неразложимых полигонах и модулях. Межд. алг. конф. памяти Д.К.Фаддеева. СПб, 1997. Сб. тезисов, с. 212-213.

108. Кожухов И.Б. О полугруппах с условиями на правые конгруэнции. Материалы Межд. конф. "Алгебра и анализ". Казань, 1997. Сб. тезисов, с. 116-117.

109. Кожухов И.Б., Финкелыитейн М.Я. Совершенность и полупримарность полугрупповых колец. 18-я Всес. алг. конф. Кишинев, 1985. Тезисы сообщений, с. 260.