Усреднение задач для p-Лапласиана в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Подольский Александр Вадимович

• Подольский Александр Вадимович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Подольский Александр Вадимович

1.2 Теорема продолжения

1.3 Следствия теоремы продолжения

1.4 Вспомогательные предложения

2 Усреднение краевой задачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей

2.1 Постановка задачи

2.2 Теорема существования и единственности. Продолжение решения

2.3 Теоремы усреднения в случае 2 < р < п

2.3.1 Случай а = ,7 = а(п - 1) - п = — (р - 1)

•> — — — ' ' ' ——— '

2.3.2 Случай а е (1,п/(п — р)), 7 = а(п — 1) — п

2 . 3 . 3 Случай: а > -, 7 произвольно

-' ———' ' г

2.3.4 Случай: а > 1, 7 < а(п — 1) — п

2.3.5 Случай: 1 <а< , 7 > а(п — 1) — п

— ———'

2.3.6 Случай: а = , 7 > а(п — 1) — п = (р — 1)

—— — —— —

2.4 Теорема усредения для случая р = п

2.4.1 Вспомогательные леммы

2.4.2 Теорема усреднения. Критический случай

3 Усреднение начально-краевой задачи в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа на границе полостей

3.1 Постановка задачи

3.2 Теорема существования

3.3 Дополнительная регулярность решения. Продолжение решения

3.4 Случай а = —--, 7 = (р — 1)

3.5 Случай а е (1,п/(п — р)), 7 = а(п — 1) — п

3.6 Случай: 1 < а < п/(п — р), 7 < а(п — 1) — п

Заключение

Литература

Введение

Диссертация посвящена изучению асимптотического поведения при е ^ 0 решения пе задач для эллиптического и параболического уравнений с р-Лапласианом: Арп = ^(\Уп\р-2Уп), — в е-периодически перфорированной области с Ега, п > 2, 2 < р < п, с нелинейным краевым условием вида дирпе + в(е)а(х,пе) = 0 на границе полостей, где дирп = \Уп\р-2(Уп,и), V — вектор внешней единичной нормали к поверхности полостей. В том случае, когда 2 <р <п коэффициент при функции и, в(е), имеет следующий вид: е-1, при р = п он равен вп-1(е). Предполагается, что полости диффеоморфны замкнутому шару, диаметр которого есть 0(ае), где ае ^ е. Таким образом, исследуемая задача имеет четыре параметра: п — размерность пространства, р — показатель оператора, ае — характеризует размер перфораций; и так называемый коэффициент адсорбции в(е), который характеризует процессы, происходящие на границе перфораций.

Таким образом, при 2 < р < п в задаче имеются два параметра: а, 7. В настоящей работе для эллиптического случая рассмотрены все возможные соотношения между параметрами а и 7, а для параболического случая — 1 < а < п/(п—р), 7 < а(п — 1) — п, построены усредненные задачи и доказана слабая сходимость решения исходной задачи к решению усредненной. В зависимости от соотношений между ними в пределе получаются различные усредненные задачи — наиболее интересен случай, когда 1 < а < п/(п—р) и 7 = а(п — 1) — п, так как при данном соотношении между параметрами процессы, происходящие на границе микроскопической полости, дают вклад в предельное макроскопическое уравнение в виде эффективного нелинейного члена. При этом когда 1 < а <п/(п — р) вид нелинейного члена не меняется. В критическом случае, когда а = п/(п — р), 7 = п(р — 1)/(п — р), усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, которое определяется как решение функционального уравнения.

Для случая р = п рассматривается критическое соотношение между параметрами ае и в(е) (см. (1.1)), при котором построена усредненная задача, которая также содержит новое нелинейное слагаемое, являющееся решением функционального уравнения, которое имеет аналогичный вид, что и в критическом случае для 2 < р < п. Также доказана теорема о сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

В работе доказаны теорема продолжения решения на перфорации как для эллиптического случая, так и для параболического. Приводятся леммы, в которых доказываются неравенства типа Фридрихса и Пуанкаре для функций из введенных функциональных пространств,

в которых рассматриваются соответствующие задачи. В работе доказывается существование и единственность решения функционального уравнения, появляющегося при усреднении задачи в критическом случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение задач для p-Лапласиана в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа»

Актуальность темы.

Рассматриваемая в работе задача возникает при изучении нелинейной диффузии (см. работы [1] и [2]) веществ в пористой среде (см. [3]), при этом подразумевается, что на границе включений имеет место нелинейная адсорбция. Математические модели, в которых участвует p-Лапласиан, появляются также при изучении неньютоновских жидкостей (см. [4]), задач ползучести (см. [5,6]), в климатологии (см. [7]), в гляциологии (см. [4,8]).

Необходимость изучения уравнений с p-Лапласианом появляется и в задачах, связанных с восстановлением изображений, поврежденных вследствие некачественной передачи по каналам связи или небережного хранения (см. [9]).

Усреднение краевых задач в перфорированных областях с третьим краевым условием на границе полостей изучалось во многих работах. Такого рода задачам были посвящены работы [10] и [11]. Краевая задача в частично перфорированной области для уравнения Пуассона, в которой а(ж,и) = е-7 a(x/e)u и y е R1, а = 1, была рассмотрена в работе [12]. Линейная задача с третьим краевым условием в схожей перфорированной области была рассмотрена в работе [13]. Усреднение задач для уравнения Пуассона с краевым условием третьего рода изучалось в работах [14,15].

Задача для эллиптического уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и нелинейным краевым условием на границе полостей при а = 1 исследовалось в работах [16-22].

Усреднение задачи Дирихле для уравнения —Apue = /£(x) при а =1 и 1 < p < 2 было изучено в [23]. В работе [24] исследуется усреднение указанного уравнения при 1 <p < n в задаче с препятствиями в области перфорированной множествами случайного размера, при этом, а = n/(n — p), если 1 < p < n. Задачи усреднения квазилинейных монотонных уравнений исследовались в [25,26].

Для параболического уравнения аналогичная задача при а = 1 была исследована в [27]. Усреднению параболического квазилинейного уравнения посвящена работа [28].

Наиболее близкими являются работы [29] и [30], в которых рассматривается аналогичная "геометрия" перфораций. В [29] изучается усреднение краевой задачи для уравнения —Aue = /(x) с краевым условием третьего рода dvu£ + е-7a(x,ue) = g(x)e-Y, заданным на границе полостей. Работа [30] посвящена исследованию асимптотического поведения решения начально-краевой задачи для параболического уравнения Stu£ — Aue = /(x,t) с аналогичным краевым условием. В указанных работах построены усредненные задачи и доказаны теоремы о слабой сходимости решения исходной к решению усредненной. Таким образом, настоящая работа обобщает результаты, полученные в [29] и [30], на случай задач, содержащих нелинейные уравнения с оператором p-Лапласа.

Асимптотическое поведение решения вариационного неравенства для оператора Лапласа в перфорированной области с нелинейными ограничениями вида: пе > 0, дипе > —е-1 и(х,пе), пе(д„пе + е-1 и(х,пе)) = 0, заданными на границе перфораций, было исследовано в работе [31].

Работа [32] посвящена изучению краевой задачи для оператора Лапласа в области, перфорированной мелкими изопериметрическими полостями, с нелинейным краевым условием третьего рода. В приведенной работе рассматривается критический случай соотношения между параметрами ае и в(е) при п = 2. Настоящая работа обобщает результаты, полученные в [32], на случай уравнения с р-Лапласианом (р = п > 3).

В работах [29-32] при критическом соотношении между параметром ае и коэффициентом адсорбции наблюдается следующий эффект: усредненная задача содержит новое нелинейное слагаемое, определяемое как решение функционального уравнения. Данный эффект впервые был замечен в работе [17], в которой была рассмотрена аналогичная задача для уравнения Пуассона при п = 3 и а Е (2,3]. Стоит отметить, что в настоящей работе наблюдается аналогичная особенность (см. Теоремы 5, 11, 14).

Цель работы. Основной целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения решений задач для эллиптического и параболического уравнений с оператором р-Лапласа в перфорированной области с нелинейным краевым условием третьего типа, заданным на границе полостей, при стремлении диаметра полостей и периода, с которым расположены эти множества, к нулю.

Методы исследования. В работе используются методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, функционального анализа и теории пространств Соболева. Также строятся пробные функции, учитывающие нелинейный характер оператора р-Лапласа.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Основные из них — следующие:

1. Дана полная классификация асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи для случая 2 < р < п. Выделены 6 различных видов асимптотического поведения решения, каждому из которых соответствует определенное соотношение между параметрами а и 7. Для каждого из этих случаев был разработан метод, позволяющий построить усредненную задачу и доказать теоремы о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

2. Рассмотрено критическое соотношение между параметрами ае и в(е) (см. условия (1.1)) для случая р = п. Разработан метод позволяющий рассматривать перфорации произвольной формы с заданной площадью поверхности. Построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

3. Для начально-краевой задачи рассмотрен случай, когда 2 < р < п и когда выполнены условия (3.2). Выделены 3 различных случая асимптотического поведения решения рассматриваемой задачи, для каждого из которых построена усредненная задача и доказана теорема о слабой сходимости решения исходной задачи к решению усредненной.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты настоящей работы относятся к теории усреднения краевых и начально-краевых задач для уравнений с р-Лапласианом. Использованные в диссертации методы могут быть применены при исследовании других краевых и начально-краевых задач, вариационных неравенств с ограничениями различного типа.

Апробации работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы Россия, Москва, посвященной 110-й годовщине со дня рождения И.Г. Петровского, проходившей с 30 мая по 4 июня 2011 года; на международной конференции "Седьмая международная конференция по дифференциальным уравнениям и функционально-дифференциальным уравнениям Россия, Москва, проходившей с 26 по 28 августа 2014 года; на международной конференции "Многомасштабные методы и моделирование: переход от микро- к макромасштабу в механике и медицине Россия, Москва, проходившей 25-27 июня 2015 года; на "Новогодней мини-конференции кафедры дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014; международная научная конференция "Ломоносов-2010Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 7 печатных работах, 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая глава содержит вспомогательные утверждения, в последующих главах приводятся основные результаты), а также из списка цитируемой литературы. Главы разбиты на 14 параграфов и 8 подпараграфов. Параграфы и формулы имеют двойную нумерацию, теоремы и леммы — сквозную. Диссертация содержит 16 теорем и 9 лемм. Список литературы включает 47 наименований, общий объем диссертации 78 страниц.

Автор глубоко признателен научному руководителю, профессору Т.А. Шапошниковой, за постановку задачи, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Вспомогательные утверждения.

В данной главе описывается рассматриваемая перфорированная область, вводятся функциональные пространства, в которых рассматриваются соответствующие задачи (см. параграф 1.1). также строится продолжение решения как на ячейку периодичности, так и на всю перфорированную область, приводятся доказательства следствий из полученной теоремы продолжения (см. параграфы 1.2 и 1.3). В параграфе 1.4 приводится лемма, используемая в теоремах 5, 11, 14 и доказывается существование и единственность решения функционального уравнения, которое появляется в усредненной задаче в указанных выше теоремах.

1.1 Рассматриваемые перфорированные области

Пусть П — ограниченная область в Ега, п > 3, с гладкой границей дП и пусть У = (-1/2,1/2)п. Для ] е М, где М — конечное подмножество из Zn, определим множества В^ в У следующим образом: В^ диффеоморфны шару, и В^ с Т1/4 = {у : |у| < Ц. Также предполагается, что (п — 1)-мерная мера Лебега множества дВ^ равна заданному числу I > 0, то есть

|дВ^ | = I, для всех ] е М

Для 5 > 0 и е > 0 определим множества 5Б = {х | 5-1х е Б } и О£ = {х е П | р(х, дП) > 2е }.

Для случая 2 < р < п положим а£ = С0еа, где а > 1 и С0 — положительное число. В том случае, когда р = п, мы будем рассматривать а£ и в(е), удовлетворяющие следующим условиям:

в(е)а£е-^ С2 при е ^ 0,

1 . п2

в(£)ае 1п ^

^ —С2 при е ^ 0,

(1.1)

где С, С1 = 0. Пусть

0£ = У (^ + е3)= У 0£, (1.2)

где Gj совпадает с некоторым множеством i е M, Y£ = {j е Zn : Gj С Y£j = eY + ej, Gj П Qe = 0}, и |Te| = de-n, d = const > 0. Заметим, что Gj С Tj С Tj С Yj, где Tj -

g 4

шар радиуса r с центром, совпадающим с центром куба Yj.

Положим

= Q \ G£, S = 5G£, 5= 5Q U S£.

Далее введем функциональные пространства, в которых будут изучены соответствующие задачи для эллиптических и параболических уравнений с оператором p-Лапласа.

Через W 1iP(Q£,5Q) обозначено пространство, полученное замыканием в W1,p(Q£) множества бесконечно дифференцируемых в Q£ функций, обращающихся в ноль в окрестности границы dQ.

Определим через W-1'q (Q£,d Q) — пространство сопряженное к пространству W 1iP(Q£,5Q), и скобки (.,.) обозначают отношение двойственности. В введенном пространстве рассматривается норма:

||v||w-I.«(ne>sn) = sup | < u,v > |

1.p (Пе>дП),|М|^ 1 ,p(ne,en) ^

Применяя методы из [13,33], получим следующие леммы, справедливые для функций из введенного пространства.

Лемма 1. Пусть u е W 1,p(Q£,dQ), 2 < p < n, n > 2. Тогда

|u|pdx < K{a]-nen i |u|pds + ap-nen / |Vu

(1.3)

если 2 < p < n,

|u|ndx < K{a]-nen / |u|pds +

ln

е

2a

n- 1

е

|Vu|pdx},

(1.4)

Og Sg Og

елси p = n, где постоянная K здесь и далее не зависит от е.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Gj совпадает с Go — шар радиуса р < 1, центр которого совпадает с центром У. Пусть также е(1 — 1/4) > а£р. Тогда функция и определена в Т£/4 \ а^0, где — шар радиуса а, центр которого совпадает с центром У£. Пусть Р е а£50 и ф е г£ьа£д < г ^ е/4, д < 1 и Р, Р лежат на одном радиус-векторе, а 51,50 — сферы радиуса 1. Тогда имеем, что

£/4

и(д) = и(р) + у ди^г

«£р

Беря модуль и возводя в степень p, получим оценку

£/4

|u(Q)|p < 2p-1|u(P)|p + 2p

1

du

dr

£/4

dr I = 2p |u(P)|p + 2p

1

du

dr

n — 1 1 —n

r p r p dr

p

p

Применяя неравенство Гельдера, придем к следующему неравенству

£/4

р-1

£/4

1п^)\Р ^ 2р-11и(Р)|р + 2р-1 \ тР=п¿т

ди

дт

тп ^^¿т

а^е

а£д

Отсюда получим оценки:

г/4

|и(ф) |р ^ 2Р-1 |и(Р) |р + 2Р-1С(а£д)р- ^ | % |Р тп-Чт, при 2 < р<

п,

а£е

£/4

1и(<^)1п ^ 2п-1|и(Р)|п + 2п-1 С(1п(2£))п-1 / |дтг |Птп-1(1т, при р = п,

аЕе

Далее домножаем на Якобиан сферической замены координат / 1г=а£е = (а£^)п-1Ф(^1,..., уп-1) и, интегрируя по переменным ...,^п-1, получаем:

(а£д)п-1 \и(Я)1Р(1щ..Л^п-1 ^ 2р-1 1и(Р)1Р(Бх+

Яг

а£Я0

+2р-1(ае 6)р-1

Т£/4/Та,

ди

дт

если 2 < р < п, и

(ае0)п-Ч ШТ¿^1 ...¿(рп-1 < 2п-1 1и(Р)1п(8х+

аеЯо

+2п-1С (а£р 1п( —)) 2а £

п1

ди

дт

Те/4/Та£д

если р = п, где Та — шар радиуса а, центр которого совпадает с центром О0.

Затем, домножая обе части уравнения на тп-1 и интегрируя по т е (а£д,е/4), получаем:

(а£0)

при 2 < р < п, и

п1

^¿х ^ Ко{ еп ^¿Бх + ар-1еп

^хи^ёхх

ТЕ/4/Та,

а£Яо

Тс/4 /Та,

(а£0)

п1

е

Т£/4/Та,

^¿х ^ Ко{ еп ^ ^¿Бх + (ае 1п(^)) еп / |Vxu|ndx

а£Яо

Т£/4/Та,

при р = п.

Откуда и следует требуемое утверждение.

□

Лемма 2. Пусть и е Ш 1,р(У£), У£ = еУ \ а£О0, где О0 совпадает с некоторым множеством В*, 2 < р < п, п > 2. Тогда

^¿х < К{апе-1е-п [ ^¿у + ар-1 [ ^и

(1.5)

аЕЯо

Ус

V

р

п

если 2 < р < п,

|и|—^ < к{а——V— / |и|—^ + а;

——1

У£

2а

|Уи|—^у},

(1.6)

если р = п.

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что Go — шар радиуса р < 2 с центром, совпадающим с центром У. Пусть Р е а£50, Р' е р—1г50, а£р < г < |р и Р, Р' лежат на одном и том же радиус-векторе. Имеем, что

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——1

ер/2 х —

ди

—^г дг

\а£р

Из (1.7) заключаем, что

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——1

ер/2

ер/2 ^ —

ди г(——1)/—г(1——)/—I <

\«£р

дг

—-1

< 2——1|и(Р')|— + 2——1 I / г^^г

Р

£ Р/2

\«£р

ди

дг

г— 1^г

Исходя из этого, получаем неравенства

£р/2

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + (а£р)——— / 1^|— г——Чг, если 2 < р<

п,

£ Р/2

|и(Р)|— < 2——1|и(Р')|— + 2——11п——/ |%|— г——Мг, если р =

п.

(1.7)

Домножая полученные неравенства на (а£р)— 1 ..., — 1), где 3 = г— ..., —1) —

якобиан сферической замены координат и интегрируя по ^1,..., — 1, получим

j |и|—^ < К ^ а—— 1 у |и(Р')|—^1.

«£^0 V й!

если 2 < р < п, и

-— 1 + а— 1рУжи|

ЬР(ТЕ/2\Та£ )

(1.8)

|и|—Ж < К ^ а—— 1 ^ |и(Р')1—... —1 + а—— 11п—— 1 2- ||Ухи|рЬр(т£/2\та£) «£^0 к. й!

(1.9)

если р = п, где 51 — сфера единичного радиуса, обозначает шар радиуса ар, центр которого совпадает с центром G0.

Далее, домножая неравенства (1.8), (1.9) на г——1 и интегрируя по Р' при г е (а£р, £Р), приходим к следующим оценкам:

К I —-а— Ни1—

2— £ / И"ИЬр(а£5о) < " ]"£ """МТ^Т^)

< К<!а—— ч и1—

+ а—— 1 I - — а— 1 ||У*и

2— у 11* х ||Ьр(Т£/2\Т0£)

—

—

—

—

—

при 2 < р < п и

К--а—

£ I НиНЬр(а£Йо) <

< К { а— 1|и|^р(Т£/2\Та£ ) + а— 1

2а£

— — а— 2—

и—

при р = п.

Из полученных оценок немедленно следует утверждение теоремы.

□

—

—

1.2 Теорема продолжения

В ограниченной области и С с достаточно гладкой границей ди рассмотрим вспомогательную задачу:

—Д—V = х е и,

V = к, х е 51, (1.10)

д^рV = 0, х е 52,

где ^ е (и), к е Ж1,—(и), д = ——у, 2 < р < п. Также предполагается, что ди = 51 и 52 и границы 51, 52 достаточно гладкие.

Под обобщенным решением задачи (1.10) будем понимать функцию V е Ж1,—(и), для которой выполнено V = к на 51 (т.е. V — к е Ж1,—(и, 51)), и которая удовлетворяет интегральному тождеству: е е

/^г™. = /^ (по

и и

для произвольной функции V е Ж1,—(и, 51). Через Ж1,—(и, 51) обозначено пополнение по норме Ж1,—(и) пространства функций Сте(и), обращающихся в ноль в окрестности 51. Данное пространство является баноховым, рефлексивным и сепарабельным (см. [38]). Для функций V е Ж1,—(и, 51) выполняется неравенство Фридрихса (см. [35])

|Н|Ми) < |^||Ми) (1.12)

Следуя методам, описанным в [34,36], получим следующую теорему.

Теорема 1. Существует единственное обобщенное решение V задачи (1.10) и для него справедлива оценка:

1

Ик!,р(и) < К|||^||£-(!и) + ||к|к!,р}, (1.13)

где К не зависит от V, к.

Доказательство. Используя (1.11), получаем, что функция ф = V — к удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

J |У(ф + к)|——2У(ф + к)У^х = J ^х (1.14)

и и

для произвольной функции ф е Ш 1,Р(и, £1).

Рассмотрим функционал вида:

МФ) = - IIV (ф + к)^

Р 3

и

Используя результаты, полученные в [45] и то, что к е Ш 1,р(и), заключаем, что е С 1(Ш1р(и, £1), К). Обозначим Ан = : Ш1р(и,Б1) ^ Ш-1'д(и,Б1). Тогда тождество (1.14) можно переписать в виде:

(мф),<р) = (р,<р).

Оператор Аи является огранчиенным, непрерывным, коэрцетивным (см. [36,41]). Также легко проверяется, что он монотонен (см. [42]). Таким образом, все условия Теоремы 2.1 из [36] выполнены, следовательно, существует обобщенное решение задачи (1.10).

Докажем, что решение задачи единственно. Пусть существует два решения ь1 и задачи (1.10). Тогда для каждой функции выполнено интегральное тождество (1.11). Очевидно, что функция V = ь1 — е Ш 1'р(и,Б1), поэтому возьмем поэтому возьмем ее в качестве пробной функции в соответствующих интегральных тождествах:

J |Vvi|p-2VviV(v1 — v2)dx ^ У ^^ — v2)dx, г = 1, 2.

ии

Вычитая из одного равенства другое, получим

У (|Vvl|p-2Vvl — \Vv2l1'-2 VV2)V(V1 — v2)dx = 0

и

Используя свойство строгой монотонности соответствующего оператора (см. [42]):

I— — V2^х > К— V2\\LP(U),

и

придем к следующему равенству:

— V2)\\Lp(U) = 0 (1.15)

Но для функций из пространства Ш 1,р(и,Б1) выполнено неравенство (1.12), откуда заключаем, что v1 = v2, следовательно, решение задачи (1.10) единтсвенно.

Теперь докажем оценку (1.13). В интегральном тождестве (1.11) в качестве пробной функции положим ф = V — к:

У |Vv|p-2VvV(v — к)dx = У /(V — к)dx (1.16)

и и

Далее используя неравенство (1.12) для функции V — к е Ш 1'р(и,Б1) и неравество Юнга, получим:

№ь\\рЬр{и) <! + у иц^ - щйх <

и и

< \\Vv\\%lu)\m\Lp{и) + \\/\\ьч(и)\\у - к\^Ли) < < ^у^-и^к^и) + \\!К- к)Ьр(и) < (1.17)

< ^г-^т^и) + \\и ич т^у^ ^) + и ич ттир^) < < $I\\^у\\1р(и) + ов1 \m\LpU) + Шу\\1р{и) + С,\и\\\и)

Возьмем ^ = 1/4, 62 = 1/4 в неравенстве (1.17), тогда придем к оценке следующего вида:

\\vv\kp (и) < к {\\и\\f2u) + тир(и)\ (1.18)

Далее используя неравенсвто (1.12) и (1.18), получим:

\ИLp(U) = \\у - к + к\кр(и) < \\у - к\кр(и) + Щ^р(и) <

< - к)Ьр(и) + \\кЬр(и) < \\Vv\Up(и) + С (\\к\иМи) + \\и< (1.19)

1

р-1

< С^\\h\w 1,р(и) + \\и\\1-(и)

Исходя из полученных неравенств (1.18), (1.19), заключаем, что справедлива следующая оценка

I р-1

□

\\у\\ш1р(и) < с ( \\иЩи) + \\к\\ш1р(и) Что и требовалось доказать.

Следуя методу, описанному в [37], докажем лемму о продолжении решения на ячейке периодичности.

Лемма 3. Пусть С с У С Ега и С, У, У \ С — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = (дС) П У = тогда для любой функции и е Ш 1,Р(У \ С), где 2 < р < п, определен оператор продолжения Р : Ш 1,Р(У \ С) ^ Ш1 'Р(У) такой, что

\Ри\щ1>р(¥) < С\\u\w 1,р(у\с) (1.20)

\\VPu\\Lp(Y) < C2\\Vu\\Lp(Y\G) (1.21)

Доказательство. Рассмотрим шар В с Ега достаточно большого радиуса, содержащий некоторую окрестность множества У. Известно (см. [34], Теорема 7.25, стр. 165), что функция и продолжается с У \ С на В так, что для продолжения Еи выполнена оценка:

\\Еи\\ш1,р(Б) < С\\и\\^1>р^^)

Далее рассматривая ограничение Ru функции Eu на множество Y, получим функцию удовлетворяющую следующему:

||Ru||wi.p(Y) < C||u|wi.p(Y\G) (1.22)

Обозначим через v обобщенное решение задачи:

—Apv = 0, x е G,

v = Ru, x е 5G П Y, (1.23)

v = 0. x е 5G П dY.

Если SGP|SY = 0, то последнее краевое условие отсутствует. По доказанной теореме 1 существует единственное обобщенное решение задачи (1.23) и для него справедлива оценка:

||v||wi,p(G) < K5||Ru|w 1,P(G) < K5||Ru|wi.p(Y) Беря во внимание оценку (1.22), получим

||v|W1.P(G) < CIlulwi.P(Y\G)

Положим

u, x е Y \ G,

P (u) = \

v, x е G.

По построению функции Pu имеем, что

|Pu|wi.P(Y) < C1 |u|wi,p(Y\G) (1.24)

Далее рассмотрим константу L такую, что

J (Pu + L)dx = 0. (1.25)

Y\G

Ввиду единственности решения задачи (1.23) (см. теорему 1) имеем, что для L = const справедливо равенство P(u + L) = Pu + PL. Тогда, применяя неравество Пуанкаре, из (1.24) получим оценку:

||VP (u + L) || Lp(Y) < Co(|V(u + L)||Lp(Y \G) + ||u + L|Lp(Y\G)) < C2|V(u + L)|Lp(Y\G)

Беря во внимание, что VL = 0 и PL = L, придем к оценке

||V(Pu) | Lp(Y) < C2|Vu|Lp(Y \G)

Что и доказывает лемму. □

Теорема 2. Пусть Q£ — перфорированная область, определенная выше, а 2 < p < n. Тогда существует оператор продолжения P£ : W1,p(Q£,dQ) ^ W01,p(Q) такой, что

|P£u|w1,p(o) < C1|u|w1.p(Og) (1.26)

|V(P£u)|Lp(n) < C2||Vu||Mng), (1.27)

где константы C1, C2 не зависят от u и е.

Доказательство. Пусть и(х) е Ж1,—(П£). Сначала рассмотрим отедльную ячейку. Введем новую переменную у = а— 1х. Рассмотрим область а— 1У£ = (а— 1еУ \ G0). Так как а£е—1 ^ 0 при е ^ 0, тогда можно выбрать куб У1 со сторонами не зависищами от е с гранями параллельными граням У и такой, что G0 С У1.

По лемме 3 существует продолжение Ри функции и е Ж1,—(У1 \ G0) на множество У1, что выполнены оценки:

||Ри|Ж!,Р(У!) < С1||и| Ж!,Р(У!\Со)

Ри|Ьр(У!) < су^и!¿р(у!\с0),

где константы С1 и С2 не зависят от е.

Откуда следует, что справедливы неравенства:

ПРиПж^р^УО < С^иП^р^) (1.28)

НУ Ри|| < С2 ||VxuП ¿р(У£) (1.29)

Далее определим функцию

_ и, х е еУ \ a£G0

и = <

^ Ри, х е a£G0

Используя (1.28) и (1.29), получим следующие оценки:

||«||ж!>Р(£у) < К2||и||ж!,Р(у£) (1.30)

l|Vг?ПLp(£У) < К2|^и||Му£) (1.31)

Таким образом мы построили продолжение функции и внутри одной ячейки. Так как множество G£ состоит из шаров, которые лежат строго внутри своих ячеек, не пересекаясь с их границей, то мы можем построить продолжение по изложенной схеме для каждой из ячеек, не опасаясь того, что следы функции не будут совпадать на соседних гранях. Следовательно, мы получим продолжение Р£и на множество П. Используя (1.30), (1.31), получим оценки (1.26), (1.27). □

1.3 Следствия теоремы продолжения

Используя результаты, полученные в теореме 2 и лемме 3, мы можем доказать ряд полезных в дальнейшем утверждений. Во-первых, при усреднении начально краевой задачи для параболического уравнения нам требуется построить продолжение функции на цилиндр = П х (0,Т). Сначало построим продолжение функции, определенной на множестве У \ G х (0,Т), до функции, определенной на ячейке У х (0,Т). Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть G С У С Ега и G, У, У \ G — непустые ограниченные области с гладкой границей и Г = П У = 0, тогда для любой функции и е (0,Т; Ж1,—(У \ G)), где 2 < р < п, определен оператор продолжения К : (0,Т; Ж1,—(У \ G)) ^ (0,Т; Ж1,—(У)), а также К : Ь2(У \ G х (0, Т)) ^ Ь2(У х (0, Т)) такой, что

Ки = и на У \ С х (0,Т), Ки' = (Ки)' в У х (0,Т) ||Ки||ж1,р(У) < С||

и||ж 1,р(У\с) для п.в. Ь е (0,Т) (1.32)

|^Ки||МУ) < С||VuПLp(У\ё) для п.в. Ь е (0,Т) (1.33)

||Ки'^2(0,^2^)) < С||и'П Ь2(0,Т;Ь2(У\С)) (134)

|| Ки | ¿р(0,Т!,р(У)) < С||и | Ьр(0,Т1,р(У\С)) (1.35)

Доказательство. Определим оператор продолжения следующим образом:

(Ки)(х,Ь) = [Ри(.,Ь)] (х),

где Р — оператор, определенный в лемме .

Далее, так как функция {Ь ^ и'(.,Ь)} принадлежит Ь2(0,Т; Ь2(У \ G)), тогда функция {Ь ^ Ки'(.,Ь)} принадлежит пространству Ь2(0,Т; Ь2(У)).

Заметим, что оператор Р независит от Ь, следовательно, выполнено:

Р (г '(,Ь)) = (Р*(.,Ь))'.

Используя (1.21), легко видеть, что

^(Кг)|кр(0,Т;Ь2(У)) < С|г|Ьр(0,Т;Ь2(У\С))

Таким образом, оператор К удовлетворяет всем вышеуказанным свойствам. □

Проводя аналогичные рассуждения, что и в теореме 2, получим следующую теорему продолжения решения, которая используется при изучении начально-краевой задачи для уравнения параболического типа.

Теорема 3. Пусть П£ — перфорированная область, определенная выше, а 2 < р < п. Тогда Уи е (0,Т; Ж1,—(П£, дП)) определен оператор продолжения К£ : (0,Т; Ж1,—(П£, дП)) ^ (0,Т; Ж01,—(П)), а также К£ : Ь2(П£ х (0,Т)) ^ Ь2(П х (0,Т)) такой, что

К£и = и на П£ х (0,Т), Ки' = (Ки)' в ^т ||К£и||Ж1.р(П) < С||и||ж1.р(пе,ап) для п.в. Ь е (0,Т) (1.36)

П^КиЦ^п) < С|^и||МПе) для п.в. Ь е (0,Т) (1.37)

||К£и'|к2(0,Т;Ь2(П)) < С|и'ПЬ2(0,Т;Ь2(П£)) (1.38)

ПКиПЬр(0,Т;Ж01'р(П)) < СПиПЬр(0,Т;Ж1,р(П£,дП)) (1.39)

Во-вторых, справедлива следующая оценка функции на ячейке периодичности через ее градиент. Тот факт, что в оценке присутствует малый параметр е, является существенным при доказательстве теоремы усреднения 6.

Лемма 5. Пусть и е Ш1 'Р(У£) и < и >^ = 0, 2 < р < п, п > 2, где У£ такое же как и в лемме 2. Тогда

\\uWlpY) < К^иА^) (1.40)

где константа К1 не зависит от е.

Доказательство. По теореме 2 существует продолжение и функции и на множество еУ такое, что для него выполнены оценки:

< С\\vu\LpY)

Для простоты будем считать, что и, и — гладкие функции. Тогда для любых Р, Р' е У£ имеем, что

и(Р') - и(Р ) = j иХ1 (х 1,хр , ...,хр)в1х 1+

р х[

р' р'

х2 Х1

+ У их2 (х1 , х2, хп х2 + ... ++ ^ их1 (хl, хп-1, хп)(^хп

р р

х2 Х1

Далее получаем

£ £

|и(Р') - и(Р)| <у |их1 ^хI + ... + I 1ахп^хп 0 0

Проинтегрируем по Р е У£:

£ £ I |и(Р') - и(Р)^Р < 11 \йх, № 1йР + ... + У I \йхп 1йхпйР (1.41)

Ys Ys 0 Ys 0

Но мы также имеем, что

|и(Р) - и(Р')^Р >

Ys

У (и(Р) - и(Р')) ¿Р

Ye

|и(Р')||У£| (1.42)

Тогда из (1.41) и (1.42) выводим, что

|и(Р')1|У£|<У У |Ах1 ^х^Р + ... + у у 1ахп^¿Р (1.43)

Ys 0 Ys 0

р

1

£

£

Возведем (1.43) в степень р и, используя неравенство (а + Ь)— < 2— 1(а— + Ь—), где а,Ь > 0, р > 1, получим

— / £ \ —N

|и(Р')|— У |— < С I I / I |игх1 Их^Р I + ... + I / [ ^I I <

| «Л

\У£ 0 / \У£ 0

£ £

< с|У|—- 1е—-1 П у |гх1|—¿х^Р + ... + у у |Йхп|—¿х^Р I (1.44)

\У£ 0 У£ 0 /

Далее проинтегрировав (1.44) по Р' е У£, придем к неравенству

|У |— У |и|—^х < |У |—е^ ^и|—^х Откуда немедленно следует оценка:

||и|кр(Уе) < К1е|^и|кр(У£)

Что и требовалось доказать. □

В-третьих, используя теорему продолжения, докажем неравенство типа Пуанкаре для функций из пространства Ж1,—(П£, дП), введенного в параграфе 1.1.

Лемма 6. Пусть и е Ж1,—(П£, дП) и 2 < р < п,п > 2, тогда существует положительная константа С таккая, что выполнено неравенство:

||и||Мп£) < С|^и||Мп£) (1.45)

Доказательство. По теореме 2 существует продолжение Р£и функции и на множество П, что выполнены оценки:

ПР£и|Ж1,р(П) < К1ПиПЖ1,р(П£,дП) (1.46)

|МР£и)||МП) < К2|^и|Ьр(Пв) (1.47)

Из определения множества Ж1,—(П£, дП) и способа построения продолжения немедленно получаем оценку:

следует, что Р£и е Ж01,—(П). Используя неравенство Пуанкаре для функций из Ж01,—(см. [35]),

||Р£и||Мп) < Кэ|МР£и)||Мп) (1.48)

Используя (1.47), (1.46) и (1.48), выводим:

||и|кр(пе) < ПР£и|Ьр(п) < ^МВД^п) < С||VuП¿р(п£) Что и требовалось доказать. □

1.4 Вспомогательные предложения

В следующей лемме предполагается, что множества С совпадают с единичным шаром С0, то есть полости — это шары радиуса а£.

Лемма 7. Пусть и£ е 'р (П) (2 < р < п) и и£ ^ и0 при е ^ 0 в 'Р(П), тогда

Г Г

22(п-1 )(п - 2)Сп-2е^ / щйБ - С uodx

1 дТз ^

д1 £ /4

^ 0, е ^ 0,

где С1 = (п - 2)Сп 2шп, а шп — площадь единичной сферы в Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу

Др Ы£ = ц,х е еУ \ Тф д„рИ£ = е, х е дТ£/А / М £¿х = 0, М £ - е периодическая,

I, £Y\TS/4

(1.49)

(1.50)

= №/41

где Ц = |Y\11/4| .

Обобщенное решение М£ е Ш1 'р(еУ \ Т£/4) задачи (1.50) удовлетворяет интегральному тождеству:

IV М£ 1Р-^М£ Vфdx + е ^¿Б = ц

\Те/4

Полагая в (1.51), у = М£ получим оценку:

ОТ,

/4

\Т£/4

(1.51)

\^М£\\1^\т£/4) < е

У М^Б + Ц У М ^х

дТ£/4 £Y\Те/4

<

, р-1

Г - (р-1)(п-1)

< е 1М£^Б < е1дТФ1-т-\\Ме\\ьр^ете/,) < Се • е\\Ме^эт^) (1.52)

дТ,£/4

Далее нам потребуются вспомогательные неравенства. Введем новую переменную у = £. Для функций у£(х) е Ш1 ,Р(еУ \Т£/4) рассмотрим функцию у(у) = у£(еу) е Ш 1,Р(У \Т /4). Для у (у) из соответствующей теоремы о следах ( [38,39]) следует, что выполнено неравенство

У ^¿у < к{ У ^¿у + У ^у

дТ1/4 Y\Tl/4 Y\Tl/4

Возвращаясь к переменной х = еу получим оценку:

1у£^¿х < К\е

1у £ ^¿у + е;

Р-

^ 1Чу}.

(1.53)

дТ,

/4

^\Т/4

\т £/4

п

Пусть е Ж1,—(еУ \ Т£/4) и < >£У\Тг/4 = 0, 2 < р < п, п > 2. Рассмотрим функцию V, определенную также, как и выше. Заметим, что V е Ж1,—(Т \ Т1/4) и < V >У\Т1/4 = 0. Для данной функции справедливо неравенство Пуанкаре:

||и|Ьр(У\Т1/4) ^ ^М^УуТ^)

Возвращаясь к исходной переменной, х, придем к следующей оценке

||и|Ьр(£ У\Те/4) ^ KlеПVuП Ьр(£ У \Те/4) (1.54)

где константа К1 независит от е.

Используя оценки (1.52), (1.53), (1.54), получим:

(р-1)(п-1) / 1 р-1 \

ПРЬр(£У\т./4) < С1е ■ е р (е-р ПМ^У\т./4) + е р П^У^)) <

(п-1)(р-1) / 1 р-1 \

< С2е ■ е р (е- р+1 + ер ] ||VM£ Цьр^т^) <

р- 1

< Сзе ■ еп— ||VM£||М£У\т£/4) (1.55)

Откуда следует, что

1_ п 1;

||ьр(£У\те/4) < С4ер-1 ер Суммируя по всем ячейкам, получим оценку:

|^М£П ^ . < С5ер-1 (1.56)

¿Р( и £У\т£%)

Теперь положим в интегральном тождестве (1.51), = и£:

У ^(^М* |—■"^М^) =

£У \Те/4

= р J и£^х + у ^М£ |—-^М£Vu£dx = ^ У и£^ (1.57)

£ У \Т£ /4 £У\Т£/4 дТ£/4

Просуммировав (1.57) по всем ячейкам, придем к тождеству:

е У = р У и^х + У |—■"2УМ£Vu£dx

£ /4 и £У\т^/4 и £У\Т^/4

Далее воспользуемся леммой 6 из [37] и получим, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Подольский Александр Вадимович, 2015 год

Литература

[1] Philip J.R. N-diffusion // Austral. J. Phys. - 1961. - Vol. 14 - Pp. 1 -13.

[2] Guan M., Zheng L., Zhang X. The similarity solution to a generalized diffusion equation with convection // Advances in dynamical systems and applications — 2006. — Vol. 1 — №2 — Pp. 183 - 189.

[3] Showalter R.E., Walkington, N.J. Diffusion of fluid in a fissured medium with microstructure // SIAM J. Math. Anal. — 1991. — Vol. 22 — Pp. 1702 - 1722.

[4] Antontsev S.N., Diaz J.I., Oliveira H.B. Mathematical models in dynamics of non-newtonian fluids and in glaciology. // Proceedings of the CMNE/CILAMCE Congress / Universidae do Porto. — 2007. — 20 p.

[5] Phillippin G.A. A minimum principle for the problem of torsional creep. // J. Math. Anal. Appl. — 1979. — Vol. 68 — Pp. 526-535.

[6] Kawohl B. On a family of torsional creep problems. // J.reine angew. Math. — 1990. — Vol. 410 — Pp. 1 - 22.

[7] Diaz J.I., Hernandez, Tello L. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion equation on a manifold arising in climatology // Journal of mathematical analysis and applications. — 1997. — Vol. 216 — Pp. 593 - 613.

[8] Glowinski R., Rappaz J. Approximation of a nonlinear elliptic problem arising in a non-Newtonian fluid model in glaciology // M2AN Math. Model. Numer. Anal. — 2003. — Vol. 37 — №1 — Pp. 175 - 186.

[9] Gomathi R., Vincent Antony Kumar A. Shearlet domain color image inpainting based on p-laplacian operator // European journal of scientific research. — 2012. — Vol. 67 — №3 — pp. 413 - 420.

[10] В.И. Сукретный. Асимптотическое разложение решений третьей краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях // Успехи мат. н. — 1984. — Т. 39 — №4 — с. 120 - 121.

[11] С.Е. Пастухова. Метод компенсированной компактности Тартара в усреднении спектра смешанной задачи для эллиптического уравнения в перфорированной области с третьим краевым условием // Мат. сб. — 1995. — Т. 186 — №5 — с. 127-144.

[12] О.А. олейник, Т.А. Шапошникова. О задаче усреднения в частично перфорированной области с граничным условием смешанного типа на границе полостей, содержащим малый параметр. // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т. 31 — №7. — с. 11401150.

[13] Oleinik O.A., Shaposhnikova T.A. On the homogenization of the Poisson equation in partially perforated domains with arbitrary density of cavities anf mixed type conditions on their boundary // Rend. Mat. Acc. Lincei. — 1996. — V. 7. — S. 9. — Pp. 129 - 146.

[14] А.Г. Беляев, А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин. Усреднение в перфорированной области с осциллирующим третьим краевым условием // Мат. сб. — 2001. — Т. 193 — №7 — с. 3 - 20.

[15] В. Егер, О.А. Олейник, А.С. Шамаев. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с краевым условием третьего рода на границе полостей // Труды Моск. Матем. Об-ва. — 1997. — Т. 58 — с. 187 -223.

[16] Berlyand L.V., Goncharenko M.V. The averaging of the diffusion equation in a porous medium with weak absorption // Journal Of Soviet Mathematics. — 1990. — V. 52 — №5

— Pp. 3428 - 3435.

[17] Goncharenko M. The asymptotic behaviour of the third boundary-value problem solutions in domains with fine-grained boundaries // GAKUTO International Series Mathematocal Sciences and Applications. — 1997. — V. 9 — Pp. 203 - 213 — Homogenization and Applications to Material Sciences.

[18] Mel'nik T.A., Sivak O.A. Asymptotic analysis of a boundary-value problem with the nonlinear boundary multiphase interations in a perforated domain // Ukr.Math. J. — 2009.

— V. 61 — Pp. 494 - 512.

[19] Piatnitski A.L., Chiado Piat V. Gamma-convergence approach to variational problems in perforated domains with Fourier boundary conditions // ESAIM COCV. — 2008. — ISSN:1292-8119, DOI:10.1051/COCV:2008073.

[20] Yosifian G.A. On homogenization problems in perforated domains with nonlinear boundary conditions // Applicable Analysis. — 1997. — V. 65 — Pp. 257 - 288.

[21] Yosifian G.A. Homogenization of Some Contact problems for the System of Elasticity in Perforated Domains // Rend.Sem.Mat.Univ.Padova. - 2001. — V. 105 — Pp. 37 - 64.

[22] Yosifian G.A. Some homogenization problems for the system of elasticity with nonlinear boundary conditions in perforated domains // Applicable Analysis. — 1999. — V. 71 — Pp. 379 - 411.

[23] Boukrim L., Hakim A., Mekkaoui T. Quasilinear dirichlet problem in a periodically perforated domain // GLASNIK MATEMATICKI. — 2007. — V. 42 — №62 — Pp. 375 -388.

[24] Lan Tang. Random Homogenization of p-laplacian with obstacles in perforated domain // Communications in partial differential equations. — 2012. — V.37 — №3 — Pp. 538 - 559.

[25] Bystrom J. Correctors for some nonlinear monotone operators // Journal of nonlinear mathematical physics. — 2000. — V. 8 — №1 — Pp. 8 - 30.

[26] Fusco N., Moscariello G. On the homogenization of quasilinear divergence structure operators // Annali di matematica pura ed applicata. — 1986. — V. 146 — №1 — Pp. 1-13.

[27] Т.А. Мельник, О.А. Сивак. Асимптотический анализ параболической полулинейной задачи с нелинейным граничным многофазовым взаимодействиями в перфорированной области // Проблемы Мат. Анализа. — 2009. — Т. 43 — с. 107 - 128.

[28] Abdulle A., Huber M.E., Vilmart, G. Linearized numerical homogenization method for nonlinear monotone parabolic multiscale problems // Multiscale modeling and simulation.

— 2014.

[29] М.Н. Зубова, Т.А. Шапошникова. Об усреднении краевых задач в перфорированных областях с третьим граничным условием и об изменении характера нелинейности задачи в результате усреднения // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47 — №1

— с. 79 - 91.

[30] В. Егер, М. Нойс-Раду, Т.А. Шапошникова. Об усреднении уравнения диффузии в перфорированной области с нелинейным краевым условием на поток на границе полостей и масштабами задачи к новому нелинейному между краевыми условиями и эффективным распределением источников-стоков // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. — 2011. — Т. 28 — с. 161 - 181.

[31] Jager W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T.A. Homogenization of a variational inequality for the Laplace operator with nonlinear restriction for the flux on the interior boundary of a perforated domain // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2014. — V. 15 — Pp. 367 - 380.

[32] Е. Перес, М.Н. Зубова, Т.А. Шапошникова. Задача усреднения в области, перфорированной мелкими изопериметрическими полостями с нелинейным краевым условием

третьего типа на их границе // Доклады Академии Наук. — 2014. — Т. 457. — №5 — с. 520 - 525.

[33] Oleinik O.A., Shaposhnikova T.A. On homogenization problem for the Laplace operator in partially perforated domains with Neumann conditions on the boundary of cavities // Rend. Mat. Acc. Lincei. — 1995. — V. 6 — №9 — Pp. 133 - 142.

[34] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. — М.: Наука, 1989. — 464 с.

[35] Evans Lawrence C. Partial Differential Equations. — American Mathematical Soc., 2010. — 749 pp.

[36] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Изд-во МИР, 1972. — 587 с.

[37] Олейник О.А.. Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. — М.: изд. Московского Университета, 1990. — 311 с.

[38] Adams R.A. Sobolev Spaces. — London: Academic Press, 1975. — 268 p.

[39] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. — Л.: изд. Ленинградского Университета, 1985. — 416 с.

[40] Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 448 с.

[41] Гаевский Х., Грегер К., Захариас Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: изд. МИР, 1978. — 336 с.

[42] Bystrom J. Sharp constants for some inequalities connected to the p-Laplace operator // Journal of Inequalities in pure and applied mathematics. — 2005/ — V. 6 — №2 — Article 56.

[43] Bognar G., Ronto M. Numerical-analytic investigation of the radially symmetric solutions for some nonlinear PDEs // Computers and mathematics with applications. — 2005. — V. 50 — Pp. 983 - 991.

[44] Cioranescu D., Paulin J.S.J. Homogenization in open sets with holes // Journal of mathematical analysis and applications. — 1979. — V. 71 — Pp. 590 - 607.

[45] Chang K.C. Critical point theory and applications. — Shanghai: Shanghai scientific and technology press, 1986.

[46] Jager W., Neuss-Radu M., Shaposhnikova T.A. Homogenization of the diffusion equation with nonlinear flux condition on the interior boundary of a perforated domain. The influence of the scaling on the nonlinearity in the effective sink-source term // Journal of Mathematical Sciences. - 2011. - V. 179 - №3 - Pp. 446 - 459.

[47] Demengel F., Demengel G. Functional Spaces for the theory of elliptic partial differential equations. — Springer, 2012. — 465 p.