Устойчивость и управление манипуляционными роботами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Фрейдович, Леонид Борисович

• Фрейдович, Леонид Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фрейдович, Леонид Борисович

Содержание

1 Введение

1.1 Актуальность темы

1.2 Цель и задачи исследования

1.3 Методы исследования

1.4 Построение математических моделей роботов

1.5 Обзор литературы с комментариями

1.5.1 Задача слежения

1.5.2 Задача позиционирования

1.5.3 Применение метода малого параметра

1.6 О структуре данной работы

2 Стабилизация положения упругого робота ПД-регулято-ром с использованием разных датчиков

2.1 Теоретические результаты о стабилизации робота посредством ПД-регулятора

2.2 Обучение управления компенсации силы тяжести

2.3 Результаты численного эксперимента

3 Стабилизация положения робота с упругими сочленениями при ограничениях на управление с измерением и без измерения скоростей

3.1 Постановка задачи

3.2 Асимптотическая стабилизация звеньев робота при доступности измерению обобщенных скоростей роторов двигателей

3.3 Асимптотическая стабилизация при недоступных измерению обобщенных скоростях

3.4 Замечания

4 Робастное позиционирование манипулятора с использованием слабой интегральной обратной связи

4.1 Асимптотическая устойчивость в целом сингулярно возмущенных систем

4.2 Стабилизация жесткого робота

4.3 Стабилизация податливого робота

4.4 Результаты численного эксперимента

4.5 Заключение к главе 4

5 Некоторые оценки областей устойчивости при конечных

коэффициентах усиления ПИД - регулятора

5.1 Постановка задачи

5.2 Анализ устойчивости для задачи позиционирования

5.3 Область экспоненциальной устойчивости для системы с ПИД - регулятором

5.4 Некоторые вариации ПИД - регуляторов и небольшие добавления к предыдущим главам

5.5 Задача слежения за медленным движением вдоль заданной траектории

6 Робастная стабилизация робота-манипулятора с податливыми сочленениями сильной обратной связью

6.1 Постановка задачи

6.2 О линейных законах управления

6.3 Исследование устойчивости замкнутой системы

6.4 Сравнение передаточных функций

7 Об астатизме нелинейных систем управления

7.1 Предварительные замечания

7.2 Астатизм и реакция на возмущения

7.3 Астатизм в автономных следящих системах

7.4 Интегральная обратная связь и астатизм

7.5 Обеспечение астатизма управляемых Лагранжевых систем

8 Дополнительные пояснения численных экспериментов

8.1 О выборе методов численного интегрирования

8.2 Описание тестового примера

9 Заключение, основные выводы и результаты работы 143 Библиография

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и управление манипуляционными роботами»

Введение

1.1 Актуальность темы

Кажется, весь технический прогресс имеет единственную цель — человек пытается окружить себя управляемыми механизмами, способными выполнять множество сложных и простых задач. Чтобы продвигаться к этой цели нужно проектировать множество управляемых систем и уметь их анализировать. Данная работа посвящена, в основном, анализу некоторых простых на вид и очень естественных способов управления некоторыми электро-механическими системами с обратными связями.

Перед проектировщиком системы управления механическим объектом, таким как например манипуляционный робот [2, 71, 76], неизбежно встает множество проблем. Одной из важнейшая является выбор регулятора, соответствующего поставленной технической задаче. Иногда, когда манипуляция, которую нужно выполнить предельно проста и требования к качеству ее выполнения не велики, можно ограничиться линейной постановкой. Тогда применимо огромное множество методов общей теории автоматического управления [23], разработанных для линейных систем [23, главы 2,3,6,9]. Тем не менее, для множества технических задач такого исследования недостаточно и требуется провести хотя бы качественный анализ поведения замкнутой выбранным регулятором

системы с учетом нелинейностей. В результате возникает проблем исследования системы нелинейных дифференциальных уравнений. И: вестные общие методы такого исследования [81], [23, главы 5 и 8], [54 [58] сложны, и порой столь общи, что не способны учесть особеннс стей данной конкретной системы. В силу этого (и не только) в теори управления роботами в настоящее время возник огромный разрыв меж ду практиками и математически ориентированными исследователям! работающими в данной области.

В частности, оказалось, что столь популярные в промышленности элементарные для реализации линейные или "псевдо-линейные" закон] управления, которым посвящено огромное множесво работ, до сих по не исследованы досконально. Предлагается множество новых, порой до рогостоящих регуляторов, но что же можно сделать с этими простым; - совершенно не ясно. Прояснить ситуацию до конца, разумеется, вря, ли удастся когда-либо, но работать в этом направлении совершенна необходимо, чему данная работа и посвящена.

1.2 Цель и задачи исследования

Цель диссертационной работы — исследование качественного поведе ния решений некоторых нелинейных систем дифференциальных урав нений, описывающих, с той или иной степенью подробности, динамик; многозвенного пространственного манипулятора под воздействием раз личных систем управления с обратными связями по сигналам с устало вленных на роботе датчиков.

Основное внимание уделено исследованию, так называемым, жест кой модели робота (представляющей собой, на самом деле, общую Ла гранжеву систему с прямым управлением) и двум популярным моделям манипуляторов с податливыми сочленениями.

Задачей исследования является установление условий на параметры законов управления указанными моделями, гарантирующих отработку роботом задания, а точнее условий асимптотической (а лучше экспоненциальной) устойчивости.

При этом, особое внимание уделено исследованию регуляторов с пропорционально - интегрально - дифференциальными (ПИД) обратными связями "по выходу", а также их модификаций путём добавления "динамических" обратных связей (то есть связей по выходу численно решаемой on-line системы некоторых линейных дифференциальных уравнений) или с учётом эффектов связанных с насыщением в характеристиках используемых для реализации усилителей.

1.3 Методы исследования

Наиболее разработанные способы аналитического исследования качественного поведения решений дифференциальных уравнений связаны с теорией устойчивости. Два подхода этой теории: непрямой и прямой методы Ляпунова развиваются множеством авторов с 90-ых годов прошлого века. Строгое изложение идей первого метода можно найти в работе [22]. Второй метод состоит в использовании вспомогательной функции. Математически строгий обзор результатов его развития к 70-ым годам текущего столетия можно найти в работе [27], смотри также замечательные и до сих пор очень популярные книги [51, 84]. Теория устойчивости движения тесно связана со многими направлениями математики. Взгляд на устойчивость с позиций общего функционального анализа можно найти в [18]. Использование при исследовании устойчивости методов малого параметра см. в работах [20,19, 52, 53], о которых далее будет рассказано подробнее, а также в курсах [23, стр. 377-381], [81, pp. 194-195] и [16].

Как указывалось ранее, для использования второго метода Ляпунова необходимо построить специальную вспомогательную функцию. Отсутствие общего строгого математического алгоритма построения такой функции является серьезным недостатком метода. Зато если эта функция найдена, то она позволяет не только сделать вывод о том, устойчива система или нет "в малом", но и исследовать области притяжения, а иногда даже оценить качество этого притяжения.

Построение функции Ляпунова немного упрощается при рассмотрении автономных систем, то есть систем дифференциальных уравнений с отсутствием явной зависимости от времени. Прекрасный обзор способов синтеза вспомогательных функций для нелинейных автономных систем можно найти в [1, стр. 64-84], где описан, в частности, наиболее механически понятный - энергетический метод, заключающийся в использовании полной механической энергии. Тесно связана с этим методом идея А. И. Лурье о включении в функцию Ляпунова интеграла от нелинейности. Эта идея постоянно используется в работах современных исследователей. Возможно использование для построения вспомогательной функции и других, известных в механике интегралов движения (см., например, [27], где, кстати, приведено множество конкретных механических и физических примеров). Для анализа устойчивости автономных систем оказывается полезной теорема Барбашина - Красов-ского об асимптотической устойчивости "в целом" (см., например, [27, стр. 48-51] или [1, стр. 21]), которая является частным случаем использования общего принципа Ла-Салля о полуинвариантности предельных множеств решений автономных систем дифференциальных уравнений [27, стр. 189-190]. Отметим, что использование энергетического метода в совокупности с теоремой Барбашина - Красовского позволяет доказать теорему Сальвадори об асимптотической устойчивости лагранже-

и И и и

вой системы с хорошей потенциальной энергией при наличии полной диссипации [27, стр. 97-98]. Идеи диссипативности тесно связаны с определением вход-выход устойчивости [81, стр.233], которое в более поздних работах западных авторов преобразилось в понятие пассивности дифференциальных операторов, успешно используемое для построения подходящих функций Ляпунова.

В заключение обзора применяемых далее методов исследования хотелось бы ещё раз отметить, что данная работа посвящена анализу устойчивости конкретных систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику электро-механических манипуляционных роботов, находящихся под контролем различных по структуре систем управления; в работе предложено также несколько новых законов управления.

1.4 Построение математических моделей роботов

Далее выводятся уравнения, описывающие динамику рассматриваемых в диссертации механических систем. Предполагается, что читатель знаком с основами построения уравнений Лагранжа 2-ого рода, которые описаны в любой книге (учебнике) по механике (см. например, [21, 49]). Хорошее сжатое описание свойств рассматриваемых моделей приведено, также, в близкой по тематике к данной диссертации работе [61].

Манипуляционным роботам, как хорошо известно, присущи достаточно сложные динамические свойства. Поэтому проектирование системы управления ими на основе слишком подробной математической модели может натолкнуться на серьезные трудности. В то же время игнорирование важнейших свойств робота может привести к ошибкам в оценке возможностей эффективного управления им. Поэтому для разных задач приходится использовать разные модели.

Начнем с описания допущений, которые делаются при построении

первых двух моделей. Рассматривается робот, состоящий из п + 1 последовательно соединенных звеньев, на каждом звене, кроме последнего, установлен привод, ротор которого через редуктор связан со следующим звеном. Описание такой системы, как совокупности абсолютно твердых тел приводит к системе п дифференциальных уравнений динамики второго порядка, на которой мы остановимся в дальнейшем. Такое описание называется жесткой моделью робота и обладает тем серьезным недостатком, что принципиально не отражает возможность возникновения в системе упругих колебаний. Такие колебания часто встречаются в работе реально существующих роботов и, часто, особенно при необходимости достаточно точной или быстрой установки робота в заданное положение, не могут быть проигнорированы. Податливость элементов конструкции робота может быть обусловлена разными факторами. Она бывает связанной с наличием упругой соединительной муфты между ротором двигателя и входным валом редуктора, или с нежесткостью часто применяемых в робототехнике планетарных редукторов, или со скручиванием валов, или с упругостью самих звеньев манипулятора. Отдельный учет всех этих и многих других факторов, до определенной степени, возможен, но приводит к громоздким моделям со многими степенями свободы, с трудом поддающимся аналитическому исследованию. Для первичного проектирования системы управления необходима более простая, отражающая упругие свойства объекта, модель. "Сосредоточим" всю имеющуюся податливость робота в "упругих шарнирах". Тогда геометрическое положение робота - манипулятора может быть описано 2п обобщенными координатами (вдвое большим, чем для жесткой модели робота), а именно, дх = [д^,..., д1„]т - углы, определяющие положение звеньев манипулятора и в = [#!,..., вп)т - угловые положения роторов. Если тг- - передаточное отношение 1-ого редуктора,

TO q2 =

rrii

1

m.

- угловые положения выходных валов редукторов. Для простоты смоделируем упругость в ьом "шарнирном" сочленении через пружинку с линейной жесткостной характеристикой кг. Определим матрицу упругости К =6.1^ {кг}™=1. Тогда потенциальная энергия пружин может быть представлена в виде

Ui = -(qi - q2)TK(qi - q2)

(1.1)

Следуя [73, 79] допустим далее, что ротора двигателей симметричны относительно собственных осей вращения, тогда потенциальная энергия гравитационных сил не зависит от их угловых положений

U2 = U2{qi)

(1.2)

Моменты сил тяжести (точнее, противоположные им по знаку величины) могут быть выражены по формуле

g{qi) =

dU2 dqi

dU2

dU2

(1.3)

дяи ' " '' дqln

В силу того, что компоненты д{х) являются линейными комбинациями тригонометрических и линейных функций, всегда существует а > О такое, что

Ы*) - д(у)\\ < Ф - y\l \fx,ye R"

\fq1 е Rn

(1.4)

dqi

Где ||ж|| - норма вектора х , например

^Ц2 — И2Х! или ||сс|| = max | ж*

г=1 г=1 ,п

Норма матрицы предполагается согласованной с нормой вектора, то

есть ||А|| = sup ||Ас||, тогда соответственно IMI=i

п

\\А\\2 = max Spectr(ArA) или ||А|| = max^Z I <Hj I

¿=1,71 j—I

Сделанное ранее предположение о симметрии роторов приводит к тому, что скорость центра масс каждого ротора не зависит от углового положения роторов 9. Тогда кинетическая энергия ього ротора двигателя (в главных осях) принимает вид

Тгг = \мгУгтУг + ^гг/А (1.5)

где Мг-,/г- - масса и тензор инерции ього ротора двигателя соответственно, Ц,- скорость его центра масс, являющаяся функцией лишь , ..., #1. и их производных. Если при расчете тензора инерции звена, на котором расположен двигатель, использовать в качестве полюса центр масс ротора и присоединить М{ к массе звена, то первый член в (1.5) войдет в кинетическую энергию звеньев и будет учтен в формуле

ъ =

где ^(91) - матрица инерции робота с учетом указанного выбора полюсов; - вектор угловой скорости ього ротора относительно главных осей. Он, согласно [79], может быть вычислен по рекуррентным формулам

Пг = РЦй^г + еА] (1.6)

&г = Р!(ди)[й^ 1 + ё^] (1.7)

где - вектор угловой скорости г-ого звена в системе отсчета, полюс которой - центр масс ротора; - постоянный вектор направляющих косинусов, задающий направление скорости г-ого звена относительно (г — 1)-ого звена; е^ - постоянный вектор, задающий направление скорости ього ротора относительно (г — 1)-ого звена; Р[ - постоянная матрица поворота от системы координат (г — 1)-ого звена к системе координат ¿-ого ротора двигателя; Р- (дх.) - матрица поворота от системы координат (г — 1)-ого звена к системе координат г-ого звена. В

случае плоского манипулятора

рт = Р!(Ч1) = Е-

б?" — е,- —

О О

и

^г — ^г

Пг — Шг

Тогда из (1.6), (1.7): = ¿¡>¿-1 + 9{\ щ = ¿),-_1 + д1. или

(1.8)

= Е

*=1

£—1

= Е 91* + ™£92* к=1

(1.9)

и полученная формула в точности совпадает с приведенной в [3]. Кинетическая энергия всей системы может быть записана теперь в виде

■£>(<71) В(д1) Вт(д1) 3 .

Где

2^2

"91"

-92.

(1.10)

ЯЫ =

о 612(911) М^зО 0 0 623(912)

Ьы(д1г, ■ ■ • ,91„_1) &2п(д13,-- чйп-!)

0 0 о ••• о

/ - и = (Р[ег)тиР[ег

Если записать уравнения Лагранжа второго рода для системы с кинетической энергией (1.10) и потенциальной энергией, даваемой соотношениями (1.1) и (1.2), то можно получить

I + вт(дх)51 + Сз(^1, дх)д! + - дх) = и

Где и - вектор обобщённых сил, определяющий управляющие воздей-

ствия на роторы двигателеи, а

Сз(9ь91) 0

"9Г

.92.

вектор

центробежных и кореолисовых сил, причем как известно (см., например, [72]):

[*г УТ\

1 2

Щг) ВЫ

Вт(д г) О

X и

-У. .0.

Сг^ЛгЛъ) Сг^ъЯх) . Сз(д1, дх) О

для Ух, у £Ип

Система (А) представляет собой модель N1 .

Для получения более простой модели, можно сделать упрощающее предположение из [73]: кинетическая энергия ротора двигателя определяется в основном его собственным вращением относительно инерци-альной системы координат. Формально, такое предположение проявляется в пренебрежении в формуле (1.6) первым слагаемым или в (1.9) слагаемыми объединенными единым символом £. Такое пренебрежение в [73, 3] объясняется тем, что для используемых в роботах редукторов характерны передаточные отношения не меньше нескольких сотен единиц. §1 и > связанные по нашей модели пружиной, имеют один порядок, как и с дг ? следовательно гппри больших передаточных отношениях тг- на несколько порядков превосходит (¡\к. Пренебрегая указанными слагаемыми мы отказываемся от учета переносного ускорения со стороны звеньев на ротор и соответствующего противодействующего ускорения на звено. Зато уравнения принимают более простой вид [73]

£>Ы<71 + С(дь + К(ъ - + д(я1) = О

(В)

Jq2 + К{с[2 ~ Ч\) = и Здесь С (31,91) ее 01(51,^1,0).

Система (В) представляет собой модель N2. Для случая плоского манипулятора эти уравнения получены также в работах [12, 3].

Заметим теперь, что следуя [73, 32] или [12] из этой модели можно получить упоминавшуюся ранее жесткую модель. Для этого обозначим

упругую силу взаимодействия между звеньями и роторами двигателей за / = K(qi — (¡2) и положим К —+оо. Тогда в силу конечности / заключаем, что q\ —> q^. Обозначая далее lim qi = lim = q и

К->оо K-* oo

исключая / из уравнений (В) получим

+ =« (С)

Здесь A(q) = D(q) + J.

Итак, исходя из предположения о жесткости звеньев мы получили модель (Л), затем упростили ее до (В), а затем отказавшись еще и от упругости в сочленениях пришли к абсолютно не учитывающей податливость элементов конструкции манипулятора схеме (С). Однако, иногда не только модели (С), но и модели (А) недостаточно для описания происходящих в системе процессов. В этих случаях требуется еще более точная: модель, учитывающая податливость самих звеньев. Такая модель является неоднозначной и может быть построена различными способами. Можно встать на путь прямой дискретизации и добавить на каждое звено "упругих псевдошарниров", то есть "упругих шарниров" без управляющих воздействий. А можно следовать методу Ритца, как это продемонстрировано на конкретном примере в [4] и в [5). В любом случае порядок системы возрастет за счет увеличения количества упругих координат £ и получится следующая система

.42.

Здесь Г - матрица жесткостей, а вектор координат, определяющих положение звеньев, может быть вычислен по формуле: qi = q2 , где Н - прямоугольная матрица полного ранга.

Модель такого вида, по-видимому, описывает произвольную упругую управляемую систему в предположении, что система управления способна вырабатывать "прямое воздействие". Иногда такое предпо-

А(£,<?)

"Г -о-

Л2.

(D)

ложение оказывается неприемлемым и требуется учесть динамику исполнительных двигателей. В случае, если управляющими являются двигатели постоянного тока, то можно действовать по схеме приведенной в работе [7], где подробно выводится уравнение, отражающее эту динамику в первом приближении, которого обычно достаточно

тМ + М + Щ = и

Здесь т - диагональная матрица малых постоянных времени, М - вырабатываемый двигателем момент, а К - положительно-определенная матрица, связанная с наличием противоЭДС.

С учетом этого уравнения могут быть получены следующие три модели:

А&д)

\А{д)д + С{д,д)д + д{д) = М

тМ + М + Щ = и \ 0(д1)д1 + С(дъ + К(дг - д2) + д{дг) = О

Зд2 + К(д2 -дг) = М

тМ + М + Щ2 = и

Я + + 0]

(Е)

т ' 0 ■

-92. м _

тМ + М + Щ2 = и, дг = д2 + Приведем в заключение модель из [12]. Там выводится модель (Р) для

плоского манипулятора, после чего она переписывается в виде

+ Ч1)й\ + 9{чг) = М -и)2 (т + Ш~1)М + М + Щ1 = и-Ю1

Где wi = RK~1Jq2, a w2 = J К~\M - J q2) ■

Оказывается, иногда слагаемыми w\ и w2 можно пренебречь (обоснование см. в [12]), тогда уравнения примут вид

' {D(qi) + J)qx + C{qb 51)91 + g{q{) = M

(H)

(r + RK~l)M + M + Rq\ = и Эта модель формально похожа на модель (Е), но отличается тем, что во втором уравнении перед производной момента стоит более точная и, возможно, не малая величина.

Заканчивая на этом обзор наиболее распространенных моделей элек-тро-механических управляемых роботов-манипуляторов перейдем к описанию целей управления, некоторых известных регуляторов и некоторых известных теоретических результатов.

1.5 Обзор литературы с комментариями

Предположим, что система управления достаточно точно описывается системой дифференциальных уравнений одной из моделей (А) -т- (Я) предыдущего раздела. Требуется синтезировать в каком-либо смысле "хороший" закон управления, то есть закон формирования и, обеспечивающий сходимость вектора координат звеньев [ q\ в моделях (А), (В), (.D), (F), (G), (Н) и q в моделях (С) и (Е) ] к некоторой желаемой вектор-функции qp(t).

Множество авторов работало над этой проблемой, поэтому следующий обзор не претендует на полноту. Он организован следующим образом. Вначале представлены результаты "борьбы" с общей проблемой, затем приведены результаты, касающиеся случая, когда qp(t) = qd = const и затем отдельно представляются результаты связанные с использованием метода малого параметра.

Курсивом приведены комментарии автора к описанным работам. 1.5.1 Задача слежения

В этой подсекции представлены результаты работ [3, 8, 24, 37, 50, 72, 73, 74, 75, 78]

В работе [3] рассматривается модель (С). Управление строится на основе метода динамической компенсации в совокупности с линейным 77Д-регулятором или релейным законом управления.

Асимптотическая устойчивость в целом для случая точного знания параметров модели очевидна.

Качество управления исследуется на численном примере, в частности, и для случая несовпадения параметров модели объекта с номинальными и для случая присутствия в объекте возмущений и сухого трения.

Полученные численно результаты связаны, по-видимому, с теоретическим результатом работы [50], где для той же модели (С) предлагался следующий закон управления

и = ~Кр(я ~ ь) ~ ~ 4р)

Здесь Кр и Ку - положительно определенные матрицы. Показано, что при выполнении некоторых условий решение не выходит из малой трубки вокруг желаемой траектории (у которой предполагается существование ограниченной производной). Доказательство произведено без использования методов Ляпунова, при помощи оценок поведения решения замкнутой системы дифференциальных уравнений.

В работе [73], которая цитировалась ранее при построении модели (В), доказано существование обратной связи, приводящей эту нелинейную модель к линейной системе.

Заметим, что такое приведение может быть выполнено в два

этапа: приведение системы к форме Фробениуса и, затем, динамическая компенсация (см. [24]).

Для случая в некотором смысле ограниченной параметрической неопределенности при компенсации приведен надежный алгоритм отслежива-

/г «-05 «-» «-»

ния хорошей желаемой траектории, основывающейся на измерении ошибки по звеньям и трех ее производных, а также на знании некоторых мажорант (как функций от ошибки и времени) для некоторых характеризующих систему функций-ошибок компенсации.

По-видимому, более простое решение этой задачи дано для случая систем циклического действия в работе [24]•

Приведен также подход к решению траекторной задачи на основе комбинации методов малого параметра и интегральных многообразий.

Несколько интересных регуляторов предложены в работах [10, 11, 39, 40], где при анализе использовался метод малого параметра (эти результаты будут приводятся в третьем подотделе обзора литературы).

В [37] для модели (В) описаны три подхода к формированию обеспечивающих асимптотическую устойчивость в целом законов управления для случая достаточного количества датчиков и точного знания параметров модели: decoupling-based schemes, backstepping-based schemes и passivity-based schemes. В этой же работе предложены некоторые адаптирующиеся к незнанию линейно входящих параметров динамические добавки к управлению.

Одной из первых (получивших широкий отклик в литературе) адаптивных схем является регулятор из [72] для модели (С)

/\ А

и = A(q)qr + C(q, q)qr + g(q\-Kvs

v 1 '"

Y(q,q,qr,qr)6

Здесь A(q), C(q,q) и g(q) - оценки, такие что Y(q,q,qr,qr) - известная функция; qr = qp — A(q — qp); s — q — qp; Л - положительно определен-

ная матрица, а вектор оценок неизвестных параметров настраивается в соответствии с уравнением

§ = -Т¥т(д,д,дг,дг)вз

При анализе устойчивости в работе использовалась следующая функция Ляпунова

V = I + (0 - в)тТ~\в - в)

I- *

с производной вдоль траекторий замкнутой системы V = —зтК. Доказана устойчивость в целом (не асимптотическая) и сходимость ошибок по скорости в случае "хороших" траекторий.

В работе [75] для анализа устойчивости регулятора из [72] предложено использовать следующую вспомогательную функцию 1

^=2

sTA(q)s + (q- qp)TP(q - qp) + (в - §)ТТ~\в - в)

где Р = РТ = 2АTKV.

Тогда V = ~{q-qp)TKv(q-qp)-(q-qp)TАтKvA(q-qp) и утверждается наличие устойчивости в целом и асимптотической устойчивости в целом в случае точного знания параметров.

На самом деле авторами доказана не просто устойчивость, а равномерная устойчивость, как следует из теоремы Персидского (см., например, [27, стр. 22]).

Заметим также, что для случая qp(t) = qd = const, имеет место асимптотическая устойчивость в целом (в силу полу инвариантности предельных множеств в автономных системах), если только Y(qd} 0,0,0)0 = dTG(qd) = g(qd) и G(qd) ф 0.

Сочетание метода динамической компенсации, сходного с изучаемым в работе [3] с адаптивной настройкой параметров, как в [72] использовалось в работе [74]:

и = A{q)[qp -Kv(q- qp) - Kp(q - qp)} + C(q, q)qr + g(q)

Здесь предполагается, что

Л(д)д + C(q, q)q + g(q) = Y(g, д, q)§, § = -r-1[A-\q)Y(q,q,q)]TBTPx,

где x

, a P - положительно-определенное решение уравне-

" 0 Е - "0"

, В =

-кр -Kv. .Е.

<2~Яр

Л~4р J

ния: АТР + РА = —ф, с матрицами: А = , & = и

произвольной положительно-определенной ф. С использованием функции Ляпунова

V = ~ (хтРх + (в- 8)тТ(в - §)) такой, что V = -хт(2х

в работе доказаны утверждения, аналогичные утверждениям из [75], и справедлив аналогичный комментарий.

Первая модернизация закона настройки параметров из [72], обеспечивающая асимптотическую устойчивость в целом для модели (С), появилась, по-видимому, в работе [78], где предлагалось следующее

™ qp)+l + 2(q-qpnq-qp)\

Здесь /3 и 7 - положительные постоянные, удовлетворяющие некоторым сложным условиям.

Для случая, когда неизвестные параметры входят нелинейно, но система является системой циклического действия и справедлива некоторая гипотеза воспроизводимости, применимы адаптивные методики особого вида, называемые обучаемым управлением (learning control). Обзор концепций этого метода с доказательством общих теорем о сходимости представлен в [24]. В этой работе с общих позиций построены, в частности, законы управления моделями (С) и (В) в форме обучаемой обратной связи по выходу (ошибке установки звеньев) и его производным. Для модели (В) такой подход требует вычисления q\, как и в работе [73].

Другой вариант применения настройки при помощи обучаемого управления программного компенсационного слагаемого на основании метода Ньютона приведен в работе [8], где такая настройка применялась, как и в работе [24], в совокупности с обычным Д/Г-регулятором.

Конечно, все приведенные в этой подсекции алгоритмы можно использовать и для случая особого рода желаемых траекторий: qp(t) = qd = const, но, оказывается, в этом случае (в силу автономности замкнутой системы) могут быть построены законы управления более простой для реализации формы, требующие меньшего количества датчиков и знания меньшего количества параметров моделей. Решению именно таких задач посвящена большая часть данной работы и мы переходим к отдельному описанию некоторых результатов, полученных при решении задачи вывода звеньев манипулятора в фиксированное желаемое положение.

1.5.2 Задача позиционирования

В этой подсекции приведены результаты работ, которые можно разделить на две группы по используемой в регуляторах информации: с измерением скоростей [9, 17, 31, 32, 57, 62, 63, 78, 79] и без измерения скоростей [30, 34, 38, 40, 66, 67].

В работе [78] для модели (С) предложено использовать аПД+"-регулятор

и = -Kp(q - qd) - Kvq + g{qd)

Доказано, что система асимптотически устойчива в целом при условии, что Kv > 0 и Кр > аЕ, где а - константа Липшица для силы тяжести, то есть такая не отрицательная величина, что выполняется неравенство

Кроме того показано, что ошибка в задании д{д^ приведет к смещению положения равновесия от желаемого с сохранением свойства асимптотической устойчивости в целом.

Если в д{с[) линейно входят неизвестные параметры, то есть: = , где £?(<?) — известная функция, то предлагается закон с адаптацией, аналогичной рассмотренному в предыдущей подсекции

и = -Кр(д - Чл) - Куд + £(<?)<?

Щ - чл)

в = -рСт(д)

10. +

1 + 2

Асимптотическая устойчивость в целом доказана с использованием следующей функции Ляпунова

1 + % - Чл)т(я - ял)

- в)ТФ ~ в)

В работе [79] предложено использовать "ПД+ "-регулятор по положению роторов управляющих двигателей для модели (А). Доказано, что закон управления

и = —Кр{(]2 - 92¿) ~ Ку42 + д^и)

в котором за обозначено желаемое положение звеньев, а за ^ -соответствующее желаемое положение роторов: ^ — Я.Ы + К~1д{41(1), обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом замкнутой им системы в случае, если

К -К -

-К к + кр.

где за а, как и раньше, обозначена постоянная Липшица гравитационных сил.

А,

тпгп

> а

В нижеследующем комментарии к работе [30] будет показано, что можно требовать меньшего, а именно существования /3 € (0,1), такого что выполнены условия: К > ^Е и Кр > -^^Е. Заметим, что при ¡3 О имеем К —> +оо и если бы мы использовали модель (В) вместо модели (Л); то получили бы модель (С) с первым законом управления из [78], при этом выписанные условия устойчивости примут форму выписанных выше условий, полученных в работе [78].

В работе доказано также, что при ошибке в задании К и д{цы) положение равновесия сместится от желаемого без изменения свойства устойчивости.

В главе 2 предлагается модификация приведенного закона управления, обеспечивающая робастность по отношению к незнанию коэффициентов упругости К.

В работе [17] для модели (С) предложена модификация закона управления из [78], позволяющая учесть насыщение в выходной характеристике усилителя мощности реальной системы управления

и = {-Кр{д - яа) - КУ4) +

где Кр и Ку - диагональные матрицы с положительными элементами, а Р[х) = [ ^(жх),..., .Рп(жп) ] - вектор функция, компоненты которой -нечетные строго возрастающие, но, возможно, ограниченные функции. Доказана асимптотическая устойчивость в целом желаемого положения. Функция Ляпунова строилась в виде суммы кинетической энергии системы и интегралов вида: - /¿г. - дщ.

Далее (в главе 3) будет показано как аналогичным образом изменить регулятор из [79]

В работе [32] приведено множество рассматриваемых выше и ниже результатов и показано как должны быть изменены регуляторы для управления более сложной моделью, учитывающей ограничения на пе-

ремещение схвата манипулятора, связанные с его взаимодействием с внешней средой.

В работе [31] для управления моделью (С) использовался закон управления

и = -Кр8ш(д - qd) - + д(да)

Здесь Кр > 0 и Кь > 0 - диагональные матрицы, а 5т(-) - следующая функция:

í 1 х >

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Фрейдович, Леонид Борисович

Заключение, основные выводы и результаты работы

В диссертации получены следующие новые научные результаты.

Для общей нелинейной Лагранжевой системы прямого управления и, в частности, для робототехнического манипулятора, податливостью элементов конструкции которого можно пренебречь впервые показано:

• пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор, широко распространённый в промышленности, гарантирует асимптотическую устойчивость "в целом" желаемого положения равновесия при естественных ограничениях на ПД-коэффициенты усиления и при достаточной малости коэффициента усиления интегральной (И) обратной связи (глава 4);

• тот же результат справедлив при замене дифференциальной (Д)-составляющей обратной связью по выходу некоторой линейной системы дифференциальных уравнений, вносящей диссипацию энергии и идейно близкой к простейшему и очень неточному оценива-телю скоростей (глава 5);

• при удовлетворении некоторых несложных неравенств для матриц ПИД-коэффициентов имеет место экспоненциальная устойчивость в большом", то есть удается оценить границы области притяжения и гарантированную скорость сходимости процесса (глава 5);

• тот же результат справедлив при замене Д-составляющей обратной связью по выходу некоторой линейной системы дифференциальных уравнений (решаемых параллельно с движением и вносящей диссипацию энергии) (глава 6);

• ПИД-регулятор удовлетворительно решает задачу слежения если движение по желаемой траектории происходит достаточно медленно (глава 5);

Для математической модели многозвенного пространственного робо-тотехнического манипулятора учитывающей нежёсткость конструкции (путём введения в модель линейных податливых элементов в сочленениях) показано:

• регулятор, состоящий из пропорционально-дифференциальной обратной связи по положению роторов управляющих двигателей и постоянной добавки компенсирующей статический прогиб ("ПД+"), обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом замкнутой системы даже при учёте наличия насыщения в характеристиках усилителей обратных связей (глава 3);

• тот же результат справедлив при замене Д-составляющей с насыщением обратной связью по выходу некоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений (с нелинейностью в точности совпадающей с нелинейностью характеристик усилителей), вносящей диссипацию энергии (глава 3);

• для псевдо "ПД+" регулятора, а именно, для случая наиболее распространённой и легче всего реализуемой на практике обратной связи по положениям звеньев и скоростям роторов двигателей, имеет место асимптотическая устойчивость замкнутой системы при достаточно естественных условиях (глава 2);

• некоторые робастные линейные законы управления, основывающиеся на той же наиболее разумной комбинации измерений (датчиков) и, в частности, два варианта реализации псевдо "ПИД" регуляторов, гарантируют асимптотическую устойчивость в целом при выполнении некоторых условий на матрицы коэффициентов усиления (главы 4 и 6);

• вместо интегральной обратной связи можно использовать, также, несложную итеративную процедуру обучения управления нужной компенсационной добавке (главы 2 и 5).

Некоторые, но далеко не все, идеи по поводу управления роботами могут быть обобщены на случай общих нелинейных систем управления. В частности, удалось ввести известное из линейной теории систем понятие астатизма и проанализировать свойства астатических систем, такие как, например, ограниченность реакции на линейно растущее возмущение (глава 7).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фрейдович, Леонид Борисович, 1999 год

Библиография

[1] БарбашинЕ. А. Функции Ляпунова, М.: Наука. 1970. 240 стр.

[2] Бурдаков С. Ф. Элементы теории роботов. Механика и управление. Л.: ЛПИ. 1985. 88 стр.

[3] Бурдаков С. Ф. Динамическая компенсация в задачах управления движением робота по траектории. Деп. в ВИНИТИ N- 5995-В87. Л.: ЛПИ. 1987. 82 стр.

[4] Бурдаков С. Ф. Управление движением манипуляционных роботов с распределенными упругими звеньями. // Механика и проц. упр. Сб. научн. тр. ЛПИ. 1988. №■ 425. С. 84-88.

[5] Бурдаков С. Ф. Математические модели и идентификация роботов с упругими элементами, Л.: ЛГТУ. 1990. 95 стр.

[6] Бурдаков С. Ф. Синтез управления роботом при неопределённости математической модели методом неполной компенсации. // Изв. РАН. Теор. и Сист. Упр. №■ 1. 1998.

[7] Бурдаков С. Ф., ПервозванскийА. А. Динамический расчет элек-тро-механических следящих приводов промышленных роботов. Л.: ЛПИ. 1982. 72 стр.

[8] Бурдаков С. Ф., Смирнова H.A. Компенсация и обучение в алгоритмах управления манипуляционными системами с упругими

элементами. // Механика и проц. упр. Сб. научн. тр. СПбГТУ.

1994. № 448. С. 84-94.

[9] Бурдаков С. Ф., Смирнова H.A. Управление с обучением для упругого манипулятора в поле сил тяжести. // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 1996. №■ 2. С. 168-172.

[10] Бурков И. В. Отслеживание заданного пути манипулятором с упругими шарнирами. // Изв. АН. Техн. киберн. 1992. N° 4. С. 169-174.

[11] Бурков И. В. Стабилизация программного пути робота с абсолютно жесткими и упругими звеньями. // Изв. РАН. Мех. тв. тела.

1995. №-1. С. 33-41.

[12] Бурков И. В., ЗарембаА. Т. Динамика упругого манипулятора с электроприводом. // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1987. N- 1. С. 57-64.

[13] Бурков И. В., ПервозванскийА. А., ФрейдовичЛ. Б. Стабилизация положения упругого робота ЯД-регулятором с использованием разных датчиков. // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 1996. N1. С. 159-165. Engl, transi, in J. Computer and Systems Sei. Internat.

[14] Бурков И. В., ПервозванскийА. А., ФрейдовичЛ. Б. Устойчивость и точность позиционирования податливого манипулятора. // Российская научно-техническая конференция "Инновационные наукоемкие технологии для России". 25-27 апреля 1995. Тезисы докладов. Часть 5. С. 61

[15] Бурков И. В., ФрейдовичЛ. Б. Стабилизация положения лагранже-вой системы с упругими элементами при ограничениях на управление с измерением и без измерения скорости. // Прикл. Матем.

и Механ. 1997. №-2, С. 97-106. Engl, transi, in J. Applied Math. Mech.

[16] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

[17] ДунскаяН. В., Пятницкий Е.С. Стабилизация управляемых механических и электро-механических систем. // Автомат, и телемех. 1988. №-12. С. 40-51.

[18] Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 стр.

[19] КлимушевА.И. Устойчивость по первому приближению нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. // Труды Уральск, политехи, ин-та. 1973. N- 211. С. 44-54.

[20] КлимушевА.И., Красовский H. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. // Прикл. матем. и механ. 1961. T. XXV. С. 680-690.

[21] Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961.

[22] МалкинИ. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1986. 530 стр.

[23] ПервозванскийА. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 615 стр.

[24] ПервозванскийА. А. Обучаемое управление и его применения ч. I, II // Автоматика и телемеханика. 1995. №■ 11 С. 160-169 и №■ 12 С.99-108.

[25] ПервозванскийА. А., ФрейдовичЛ. Б. Об астатизме нелинейных систем. // Автоматика и телемеханика. 1998. N- 7. С. 35-42. Engl, transl. in Autom. and Remote Control.

[26] Пожарицкий Г. К. Об асимптотической устойчивости положений равновесия и стационарных движений механических систем с частичной диссипацией. // Прикл. Матем. и Механ. 1961. Т. 25, №■ 4. С. 657-667.

[27] РушН., А бете П., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300 стр. Английский оригинал: RoucheN., HabetsP., LaloyM. Stability theory by Liapunov's direct method. N. Y.: Springer. 1977.

[28] Фрейдович Л. Б. Анализ устойчивости в целом некоторых алгоритмов управления манипуляционными роботами. // Всероссийский молодежный научный форум "Интеллектуальный потенциал России - в XXI век". 22-24 ноября 1995. Тезисы докладов. Симпозиум 2. С. 80-81.

[29] ФрейдовичЛ. Б. Робастное позиционирование податливого манипулятора. // Научно-техническая конференция студентов СПб-ГТУ. 27 ноября - 2 декабря 1995. Тезисы докладов. С. 100-101.

[30] AilonA., OrtegaR. An Observer-based Set-point Controller for Robot Manipulators with Flexible Joints. // Syst. and Contr. Letters. 1993. Vol.21. P.329-335.

[31] ArimotoS. A class of quasi-natural potentials and hyper-stable PID servo-loops for nonlinear robotic systems. // Trans, of the Soc. of Instr. and Contr. Eng. 1994. Vol. 20. №■ 9.

[32] Arimoto S. Fundamental problem of robot control. Part 1,2. // Robot-ica. 1995. Vol. 13. Part 1,2.

[33] Arimoto S., Miyazaki F. Stability and robustness of PID feedback control for robot manipulators of sensory capability. // Robotics Research 1. Cambridge: MIT. 1984. P. 783-799.

[34] Arimoto S., Parra-Vega V., Nauiwa T. A class of velocity observes for nonlinear mechanical systems. // Asian Control Conf. 27-30 July

1994. P. 633-636.

[35] BastinG., BrogiliatoB., Campion G., Canudas de WitC., d'Anred-NovelB., DeLucaA., KhalilW., LozanoR., OrtegaR., Samson C., Si-cilianoB., TomeiP. Theory of robot control. Berlin: Springer-Verlag, 1996, 392 p.

[36] BerghuisH., NijmeijerH. Global regulation of robots using only position measurements. // Syst. Contr. Lett. 1993. Vol.21.

[37] BrogliatoB., OrtegaR., LozanoR. Global tracking controllers for flexible-joint manipulators: a comparative study. // Automatica.

1995. Vol. 31. №■ 7. P. 941-956.

[38] Burkov I. V. Asymptotic stabilization of nonlinear Lagrangian systems without measuring velocities // Active Control in Mechanical Engineering. Proc. Int. Sympos. (Lyon, France, 1993). Lyon: Association MV2. Vol.2. 10p.

[39] Burkov I. V. Mechanical system stabilization via differential observer. // Proc. of IFAC Conf. on system str. and Control. 5-7 July 1995. P. 532-535.

[40] BurkovL V. Stabilization of mechanical systems via bounded control and without velocity measurements. // Proc. of 2nd Russ.-Swedish Control Conf. 29-31 Aug. 1995. P. 37-41.

[41] BurkovL V., FreidovichL. B. Stabilization of program position of elastic robot via control with saturation. // Proc. of 10th IFAC Workshop on Control Appl. of Optimiz. 19-21 December 1995. Haifa, Israel. P. 103-108.

[42] BurkovL V., PervozvanskiA. A., FreidovichL. B. Algorithms of robust global stabilization of flexible manipulators. // Proc. of Sixth International Symposium on Robotics and Manufacturing (SISRM) of World Automation Congress (WAC'96). May 28-30, 1996. Montpellier, Prance. Vol.3. P. 137-142.

[43] BurkovL V.} PervozvanskiA. A., FreidovichL. B. Global asymptotic stabilization of Lagrangian systems via PID regulators. // Abstracts of 4th International seminar "Stability and oscillations of nonlinear control systems", June 4-7, 1996. Moscow, Russia. P.50.

[44] Desoer C. A., Lin C. A. Tracking and desturbance rejection of MIMO nonlinear system with PI controller. // IEEE Trans. Autom. Control. Vol. 30. №■ 9. P. 861-867, 1985.

[45] Freydovich L. B. Robust global set-point stabilization of flexible manipulator. // 4th International student olympiad on automatic control (BOAC'95) abstracts. 20-22 June 1995. P. 26-27.

[46] Freidovich L. B. Estimation of effectiveness of stable robust controller for robotic manipulators. // 5th International student olympiad on automatic control (BOAC'96) abstracts. October 2-4, 1996. St.Petersburg, Russia. P.70-74.

[47] FreidovichL. B., PervozvanskiA. A. Some estimates of performance for PID-like control of robotic manipulators. // Proc. of IFAC Symposium on Robot Control. September 3-5,1997. Nantes, Prance. P. 8590.

[48] FreidovichL. B., PervozvanskiA. A. Estimation of effectiveness of robot manipulator control. // Proc. of 1st Intern. Conference on Differential Equations and Applications. December 3-5, 1996. St. Petersburg, Russia. P. 100-102.

[49] Goldstein H. Classical Mechanics, Addison Wisley, 1974.

[50] GusevS. V. Linear stabilization of nonlinear system program motion. // Syst. Contr. Lett. 1988. Vol. 11, №■ 5. P. 409-412.

[51] HahnW. Stability of Moyion, N.Y.: Springer-Verlag, 1967. 446p.

[52] HoppensteadtF. Properties of solutions of ordinary differential equations with small parameters. // Comm. on Pure and Appl. Math. 1971. Vol.24, me. P.807-840.

[53] HoppensteadtF. Asymptotic stability in singular perturbation problems. II: Problems having matched asymptotic expansion solutions. // J. Diff. Equat. 1974. Vol. 15, N- 3. P. 510-521.

[54] IsidoriA. Nonlinear Control Systems, N.Y.: Springer-Verlag, 1989.

[55] KamamuraS., Miyazaki. F., ArimotoS. Is a local linear PD feedback control law effective for trajectory tracking of robot motion? // Proc. of IEEE Int. Conf. on Robot and Autom. 1988. P. 1335-1340.

[56] Kelly R. A simple set-point controller by using only position measurements. // Proc. 12th IFAC World Congress. 1993. Vol.6.

[57] Kelly R. A tuning procedure for stable PID control of robot manipulators. // Robotica. 1995. Vol. 13. m 2. P. 141-148.

[58] Khalil, H, K. Nonlinear Systems, N.Y.: Macmillian Publishing Company, 1992. 564 p.

[59] Lin Y. Lyapunov function techniques for stabilization. Ph.D. thesis, 1992, Rutgers, The State University of New Jersey. 201 p.

[60] Lin Y., SontagE. D., Wang Y. Input to state stabilization for parametrized families of systems. // Internat. J. of Robust and Nonlinear Control. 1995. m 5. P. 187-205.

[61] Loria A. On output feedback control of Euler-Lagrange systems. Ph.D. thesis, 1996, Université de Tecnologie Compiègne, 145 p.

[62] De LucaA., PanzieriS. Learning Gravity Compensation in Robots: Rigid Arms Elastic Joints Flexible Links. // Int. J. Adapt. Contr. and Signal Proc. 1993. Vol. 7. №■ 5. P. 417-433.

[63] MeressyJ., ChenD., PadenB. Application of Kharitonov's theorem to mechanical system. // IEEE Trans, on Aut. Contr. 1993. Vol.38 №3. P. 488-491.

[64] Nicosia S., TomeiP., TornambèA. A nonlinear observer for elastic robots. // IEEE J. of Robotics and Automation. 1988. Vol. 4. P. 4555.

[65] Nicosia S., TomeiP. A method for the state estimation of elastic joint robots by global position measurements. // Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing. 1990. Vol. 4. P. 475-486.

[66] OrtegaR., LoriaA., Kelly R. On output feedback global stabilization of Euler-Lagrange systems. // Int. J. or Robust and Nonl. Control. 1995.

[67] OrtegaR., LoriaAKellyR. A semiglobally stable output feedback PI2D regulator for robot manipulators. // IEEE Trans. Aut. Contr. 1995. Vol. 40. №■ 8. P. 3456-3461. См. также в Proc. 3rd Eur. Contr. Conf. 1995.

[68] Pervozvanski A. A., PreidovichL. B. Astatism in nonlinear control systems with applications to robotics. // Proc. of International Conference on Informatics and Control (ICI&C97). 1997. St.Petersburg, Russia. Vol.3. P. 1205-1212.

[69] QuZ., DorseyJ. Robust PID control of robots. // Int. J. Robotic and Autom. 1991. Vol. 6. №■ 4. P. 228-235.

[70] Rocco P. Stability of PID control for industrial robot arms. // IEEE Trans, on Rob. and Aut. 1996. Vol. 12. №■ 4. P. 607-614.

[71] SciaviccoL., SicilianoB. Modeling and control of robot manipulators. N. Y.: McGraw Hill. 1996.

[72] SlotineJ.-J. E., Li W. Adaptive manipulator control: a case study. // IEEE Trans. Aut. Contr. 1988. Vol.33. №■ 11. P.995-1003.

[73] SpongM. W. Modeling and control of robots with elastic joints. // Trans. ASME. J. Dyn. Syst. Meas. Contr. 1987. Vol. 109. P. 310-319. Русск. перев.: СпонгМ. В. Моделирование и управление роботами с упругими сочленениями. // Констр. и технолог, машиностр. 1988. №■ 3. С. 108-126.

[74] SpongM. W., OrtegaR. On adaptive inverse dynamic control of rigid robots. // IEEE Trans, on Aut. Control. 1990. Vol. 35. №-1.

[75] SpongM. W., Ortega R., Kelly R. Coments on adaptive manipulator control: a case study. // IEEE Trans, on Aut. Control. 1990. Vol. 35 N- 6. P. 761-762.

[76] SpongM. W., VidyasagarM. Robot Dynamics and Control, N.Y.: Wiley. 1989.

[77] TakegakiM., ArimotoS. A new feedback method for dynamic control of manipulators. // Trans. ASME J. of Dyn. Syst. Meas. Contr. 1981. Vol. 103. P. 119-125.

[78] TomeiP. Adaptive PD Controller for Robot Manipulators. // IEEE Trans. Rob. Aut. 1991. Vol.7. №4. P.565-570.

[79] TomeiP. A Simple PD Controller for Robots with Elastic Joints. // IEEE Trans. Aut. Contr. 1991. Vol. 36. № 10. P. 1208-1213.

[80] TomeiP. An observer for flexible joint robots. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1990. Vol.35. P.739-743.

[81] VidyasagarM. Nonlinear systems analysis, N.J.: Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. 1978. 302 p.

[82] Wen J. T. PID control of robot manipulators. // Technical Report (Rensselaer Polytechnic Institute). 1989.

[83] Wen J. T., Murphy S. PID control for robot manipulators. // Technical Report 54, CIRSSE, 1990.

[84] Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method, Tokyo: Gakujutsutosho Printing Co., 1966. 223p.