Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Седова, Светлана Михайловна

• Седова, Светлана Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Седова, Светлана Михайловна

Содержание.

Введение.

§ 1. Предварительные сведения.

§2. Вывод "характеристической" функции Д2 (z). nl. Вид функции A2(0,z). п2. Свойства интегралов р^п\в), р21\в). пЗ. Свойства функций K2nx(t),K2n(t),02n{t). п4. Теорема 2.1. п5. Теорема 2.2. пб. Окончательный вид функции A2(0,z).

§3. Краевая задача. "Теорема о независимости". nl. Краевая задача. п2. "Теорема о независимости". пЗ. К вопросу о представлении определителя т-то порядка m(Z).

§4. Вид функции Аm(z) при m <2,3,4. nl. А2(z). п2. A3(z). пЗ. A4(z).

§5. Вид функции Аm(z) при m - 2,3,4в случае кусочно-постоянного коэффициента a(t).

§6. Уравнение с m запаздываниями. nl. Краевая задача. п2. "Теорема о независимости". пЗ. Вид функции A^(z) для некоторых частных случаев уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами»

В работе исследуются вопросы устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами х(0 - a(t)x(t - ю) = /(0 , t > 0 , (0.1) х(& = 0, < 0 , где a(t + т<х>) = a(t) , т е N ; е R1 , со = const > 0 . т x(t) - £ я* - "») = ЛО > ^ 0» (°-2)

1=0 $) = 0 Д<0 , где при z = ОД,.,т (О - периодическая функция с периодом 7} = &гсо, kt е {1,2,., ш}, т.е. периоды 7] рационально соизмеримы запаздыванию .

Актуальность темы. В настоящее время в теории устойчивости линейных периодических уравнений с запаздыванием существует несколько теорем, называемых критериями устойчивости. Отметим два из них , наиболее известных :

1) в монографии Дж.Хейл [62] приведен критерий устойчивости , основанный на свойствах мультипликаторов оператора монодромии. Теоремы такого типа рассматривались А.Стоксом, С.Н.Шимановым [63].

2) в работе З.И.Рехлицкого [38] приведен критерий устойчивости , полученный с помощью метода производящих функций (в данной работе это-теорема 1.3) . В работе В.В.Малыгиной [28] этот критерий получает характерную для Пермского семинара формулировку (речь пойдет об условии существования экспоненциальной оценки функции Коши C(t,s) уравнения (0.1)) и новое доказательство (в данной работе это-теорема 1.4) .

Отметим , что в работах В.А.Тышкевича [61], В.В.Малыгиной [28],[29], В.А.Соколова [59], А.И.Башкирова [9] получает развитие одно из направлений теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений , общие основы которой заложены в работах Н.В.Азбелева , Л.Ф.Рахматуллиной , В.П.Максимова [3] .

Упомянутые критерии устойчивости объединяет одно обстоятельство : они не пригодны для практического использования . В настоящее время предпринимаются попытки вывести критерии устойчивости на более конструктивный уровень , т.е. пригодный для практического использования. В работах А.М.Зверкина [20], Ю.Ф.Долгого [19] развитие получает первый из упомянутых критериев : получены результаты о спектре оператора монодромии. Отметим, что в работах Ю.Ф.Долгого об устойчивости уравнения (0.1) накладывается дополнительное ограничение на коэффициент уравнения ait) : a(t) <0 te [0,2ш].

Существующая форма условия устойчивости в критерии Рехлицкого-Малыгиной (второй из упомянутых критериев) также весьма сложна для применения . Проверка этого условия представляет самостоятельную и , в общем случае, трудно решаемую задачу : расположение нулей целой по z функции Am(z,9) , зависящей от параметра 9, 6 g [0, со] , относительно единичного круга на комплексной плоскости ; функция Am(z,9) задана в виде определителя , элементы которого ряды .

Цель работы. Автор предлагаемой работы , развивая идеи и результаты З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной об устойчивости уравнения (0.1) , предпринимает попытки вывести второй из критериев устойчивости на более конструктивный уровень, не вводя ограничений на знак коэффициента a(t) .

Методы, применяемые в работе: метод производящих функций, описанный в монографии Э.Пинни [35] и получивший развитие в работах З.И.Рехлицкого, В.В.Малыгиной ; одним из основных вспомогательных средств является краевая задача для компонент производящей функции, построенной по функции Коши уравнений (1),(2), а также методы математического анализа , теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теории функций комплексного переменного , общей теории функционально-дифференциальных уравнений .

Научная новизна результатов. 1) Леммы 3.1 , 6.1 о краевой задаче для компонент производящей функции, построенной по функции Коши C(t, s) уравнений (0.1),(0.2) , в данной работе впервые приведены в общей ситуации : те N, хотя краевая задача в связи с рассматриваемыми уравнениями давно и хорошо известна многим авторам : А.М.Зверкин, Ю.Ф.Долгий записывают краевую задачу для мультипликаторов оператора монодромии , в монографии Э.Пинни приведена краевая задача для производящей функции , построенной по решению уравнения (0.1) в стационарном случае : a(t) = const. Автору краевая задача для производящей функции , построенной по функции Коши C(t,s) уравнения (0.1) , была показана В.В.Малыгиной для случая со-периодического коэффициента a(t) : a(t + со) = a(t) , т.е. для m = 1 .

2) "Теоремы о независимости" от параметра s определителя краевой задачи Am(z,s) , Л"¡n(z,s) - теоремы 3.1,6.1 - сформулированы и доказаны впервые . Однако свойство , отмеченное в этих теоремах , есть проявление хорошо известного (см., например , Дж.Хейл [62] , С.Н.Шиманов [63] ) свойства : спектр оператора монодромии <5(U(¿о)) не зависит от начальной точки /0 .

3) Многие частные случаи "характеристических" функций Лm(z) , A^(z) впервые приведены в этой работе ( §4 , §5 , §6,п.З ) , причем без ограничения на знак коэффициента a(t) в уравнении (0.1) . Отметим, что приведенные характеристические функции совпадают с известными , полученными в работах A.M. Зверкина, Ю.Ф.Долгого .

4) Автор приводит новую формулировку критерия устойчивости для функции Коши - теорема 7.1 , которая позволяет сформулировать критерий устойчивости и для уравнения (0.2) - теорема 7.2 .

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы позволяют придать известному критерию устойчивости Рехлицкого-Малыгиной более конструктивную формулировку - теоремы 7.2, 7.3 . На основе этой формы критерия можно получать эффективные , т.е. выраженные через коэффициенты уравнений , признаки устойчивости , такая перспектива обозначена в работе : в ней приведен один эффективный признак устойчивости - теорема 7.4 .

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения , семи параграфов и списка литературы . Библиографический список содержит 65 наименований .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Седова, Светлана Михайловна, 2000 год

1. Азбелев Н.В. Матрица Коши // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" -Пермь, 1981 - С. 67-70 .

2. Азбелев Н.В., Березаиский Л.М. Устойчивость решений уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ППИ "Функц.-дифф.уравн." -Пермь, 1989-С. 3-5.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений М.: Наука, 1991 - 280 с.

4. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц.уравнения 1974 - Т.10 - № 12 - С. 2091-2100 .

5. Азбелев Н.В. О роли некоторых традиций в развитии учения о дифференциальных уравнениях // Сб.науч.трудов ПГТУ "ФДУ" Пермь, 1991 - С. 3-10 .

6. Азбелев Н.В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв.вузов.Математика 1994 - № 6 - С.8-19 .

7. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука , 1984-272 с.

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости М.: Наука , 1967 - 224 с.

9. Башкиров А.И. Устойчивость решений периодических систем с последействием Канд.дисс. - Пермь , 1986 -101 с.

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М.: Мир , 1967-548 с.

11. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений -Л.: Изд.Ленингр.ун-та ,1981 -232 с.

12. Гусаренко С.А. Признаки устойчивости одного линейного функционально-дифференциального уравнения // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" -Пермь,1987-С. 41-45 .126 —

13. Гусаренко С.А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь, 1989 - С. 3-9 .

14. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970 - 536 с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука , 1967 - 472 с.

16. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одной периодической системы с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1988 - С. 131-136 .

17. Долгий Ю.Ф., Шиманов С.Н. О существовании зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Сб. "Устойчивость и нелинейные колебания" Свердловск : Изд. УрГУ , 1988 - С. 11-18 .

18. Долгий Ю.Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь , 1989 - С. 16-21 .

19. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Докт. дисс. : Екатеринбург , 1994 -296 с.

20. Зверкин А.М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, соизмеримым с периодом коэффициентов // Дифференц.уравнения -1988 Т.24 - № 9 - С. 1481-1492 .

21. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием М.: Наука , 1981 - 448 с.

22. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука , 1971 - 104 с.

23. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ М.: Высшая школа , 1970 - Т.1 -590 с.

24. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ М.: Высшая школа , 1973 - Т.2 -470 с.

25. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение -Канд. дисс.: Тамбов , 1974 120 с.127 —

26. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц.уравнения 1977 - Т. 13 - № 4 - С. 601-606 .

27. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений Докт. дисс.: Киев , 1985 .

28. Малыгина В.В. Оценки оператор-функции Коши и устойчивость дифференциально-разностных уравнений Рук. деп. в ВИНИТИ 1.08.85 , № 6128-85 -41 с.

29. Малыгина В.В. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Канд. дисс.: Пермь , 1983 - 101 с.

30. Малыгина В.В. Из истории развития теории устойчивости уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1991 - С. 70-78 .

31. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства М.: Мир , 1980 - 456 с.

32. Математическая энциклопедия М.: Советская энциклопедия , 1984 - Т.4 -691 стб.

33. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения М.: Наука, 1987304 с.

34. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом М.: Наука, 1972 - 352 с.

35. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения М.: Изд.иностр.литер., 1961 - 248 с.

36. Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения Докт. дисс.: Киев , 1982 - 280 с.

37. Рахматуллина Л.Ф. Об определении решения уравнения с отклоняющимся аргументом // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1985 - С. 13-19 .

38. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР 1966 - Т.30 -Вып.5-С.971-974.128 —

39. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи Киев : Вища школа, 1984 - 408 с.

40. Седова С.М. Об экспоненциальной оценке функции Коши уравнений с постоянным запаздыванием Рук. деп. в ВИНИТИ 9.12.86 - № 8393-В86 - 57 с.

41. Седова С.М. Об устойчивости одного класса уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "ФДУ" Пермь , 1987 - С. 44-47 .

42. Седова С.М. Об асимптотическом поведении решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием // Тезисы докладов III Уральская региональная конференция "ФДУ и их приложения" - Пермь , 1988 - С. 137 .

43. Седова С.М. Теорема о разложении функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом Рук. деп. в ВИНИТИ 14.06.89 , № 3962 В89 - 74 с.

44. Седова С.М. Применение метода производящих функций к исследованию устойчивости уравнения с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ "Краевые задачи" Пермь , 1989 - С. 21-25 .

45. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - V" -Воронеж, 1994-С. 125 .

46. Седова С.М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов III Международная конференция женщин-математиков - Воронеж , 1995- С. 39.

47. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Вестник ПГТУ Пермь , 1996 - С. 34-39 .

48. Седова С.М. Об устойчивости решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Труды III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж , май 1995 ) -Вып.2 Нижний Нов-город , 1996 - С. 42-52 .129 —

49. Седова С.М. О краевой задаче для компонент одной производящей функции // Тезисы докладов IV Международная конференция женщин-математиков -1996 .

50. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв.вузов. Математика 1997 - № 11 - С. 61-71 .

51. Седова С.М. Об одном свойстве функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов -Международная конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем" Киев , 1997 - С. 99 .

52. Седова С.М. О свойстве постоянства радиуса сходимости одной производящей функции // Вестник ПГТУ Пермь , 1998 - С. 66-72 .

53. Седова С.М. О разложении одного фундаментального решения // Тезисы докладов Научно-техн.конференция ПГТУ - Пермь , 1998 - С. 24-25 .

54. Седова С.М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Тезисы докладов VII Международная конференция женщин-математиков - Ростов-на-Дону , 1999 - С.36-37 .

55. Седова С.М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Готовится к печати в Вестнике ПГТУ .

56. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного М.: Наука , 1976 - 408 с.

57. Симонов П.М., Чистяков A.B. Теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ПГТУ "ФДУ" -Пермь, 1991 С. 83-95 .130 —

58. Соколов В.А. Матрица Коши и устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений Канд.дисс.: Пермь , 1986 - 127 с.

59. Тонков Е.Л., Юткин Г.И. Периодические решения и устойчивость линейного дифференциального уравнения с периодическимИкоэффициентами // Дифферент уравнения 1969 - Т.5 - № 11 - С. 1990-2001 .

60. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Киев : Наукова думка, 1981 - 80 с.

61. Хейл Д. Теория функционально- дифференциальных уравнений М.: Мир , 1984-422 с.

62. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл.матем.и мех. 1963 - Т.27 - Вып.З - С. 450 - 458 .

63. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом М.: Наука, 1971 - 296 с.

64. Якубович В.А., Старжинскйй В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М.:Наука ,1972-720 с.

65. Виз1о^уюг М. Азутр1;о1ус2па 81аЫ1позс ёупагтсгпусЬ ик1ас1од¥ Нпюлуус11 81ас.'опагпус11 ъ орогшетет ВЫуБШк, 1987 - 186 с.