Устойчивость периодических движений и нелинейные колебания спутника на круговой орбите тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Чекин, Александр Михайлович

• Чекин, Александр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чекин, Александр Михайлович

Введение.

Глава 1. Нелинейные колебания гамильтоновой системы при резонансе 3:

1.1. Постановка задачи.

1.2. Исследование укороченной системы.

1.3. О движениях полной системы

Глава 2. О движениях спутника вблизи его регулярной прецессии

2.1. Постановка задачи.

2.2. Нелинейные колебания спутника вблизи его цилиндрической прецессии

Глава 3. Методика исследования устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины на круговой орбите

3.1. Постановка задачи.

3.2. Системы координат. Уравнения движения.

3.3. Гамильтониан возмущенного движения.

3.4. Анализ линейной системы

3.5. Приведение гамильтониана к нормальной форме.

3.6. Нелинейный анализ устойчивости.

Глава 4. Анализ орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника-пластины.

4.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении

4.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые.

4.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости

Глава 5. Анализ орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластины.

5.1. Анализ орбитальной устойчивости в линейном приближении

5.2. Линейная нормализация. Резонансные кривые.

5.3. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость периодических движений и нелинейные колебания спутника на круговой орбите»

С момента запуска первого искусственного спутника Земли в середине прошлого века освоение космоса шло бурными темпами. К настоящему моменту спутники широко используются для научных исследований и прикладных задач. Но перед запуском каждого спутника возникает вопрос о его возможном поведении на орбите, для ответа на который применяются различные методы и алгоритмы, предназначенные для моделирования движения. За все время исследований разработано большое количество новых методов, предназначенных для приближенного и высокоточного моделирования. Такое многообразие обусловлено тем, что в зависимости от своего назначения, спутники могут различаться размерами, свойствами материалов, из которых они изготовлены, ограничениями и допущениями, которые были приняты при постановке задачи.

Важнейшая проблема, которую приходится решать при полете большинства искусственных спутников - обеспечение их ориентации и стабилизации на орбите. В зависимости от того, каким является управляющее воздействие, различают активные, пассивные и комбинированные системы ориентации [40]. Пассивные системы ориентации используют взаимодействие с внешними полями естественного происхождения и не потребляют энергию, запасенную на борту спутника. Возможно, только в начальный момент времени потребуется ее кратковременный расход для приведения системы ориентации в рабочее положение. Более подробно вопросы пассивной стабилизации, а также их виды, рассмотрены в работах [11, 42]. Особенностью пассивных систем на этапе разработки появляется необходимость особо тщательного математического моделирования.

Часто при рассмотрении движения спутника относительно центра масс в качестве модели выбирают твердое тело и исследуют движения в центральном ньютоновском гравитационном поле па круговой орбите. Линейные размеры спутника предполагаются малыми по сравнению с размерами орбиты центра масс, что позволяет рассматривать задачу в ограниченной постановке, т.е считать, что движение спутника относительно центра масс не влияет на движение самого центра масс [12].

Движение спутника относительно центра масс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений б-го порядка. Если орбита центра масс круговая, то эта система является автономной. Однако, даже в этом случае не представляется возможным получить общее решение данной системы. По этой причине немалый интерес вызывает вопрос о существовании и свойствах отдельных частных решений, описывающих характерные режимы движения.

Важным частным случаем движения спутников являются их стационарные вращения, представляющие собой регулярные прецессии. В зависимости от расположения спутника в пространстве, рассматривают цилиндрическую, гипербо-лоидальную или коническую прецессию [12, 17, 18]. Задача устойчивости таких движений подробно исследована в работах [12, 25, 33, 35, 44, 49, 50].

Анализ устойчивости движения позволяет сделать выводы о поведении системы в бесконечно малой окрестности исследуемого невозмущенного движения. Для приложений, однако, зачастую бывает важно исследовать поведение траекторий в конечной окрестности невозмущенного движения и получить выводы о типах устойчивости и неустойчивости. Такое исследование требует разработки нового математического аппарата, в частности для получения строгих выводов о движении вблизи регулярной прецессии необходимо выполнить анализ нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Особую актуальность имеет изучение нелинейных колебаний в резонансных случаях.

При наличии резонансов в системе структура фазового пространства в окрестности положения равновесия существенно отличается от нерезонансного случая и представляет немалый интерес для исследования. Резонансный случай неоднократно рассматривался с различных точек зрения. Движения приближенной системы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма, содержащая члены не выше четвертой степени, рассматривались в [25, 54, 59, 63]. Фазовые портреты приближенной системы изучались в [2, 55]. В работе [56] был предложен геометрический подход для описания фазового потока канонической системы с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма. В работах [9, 59, 60, 66, 69, 70] исследовалась задача о существовании и орбитальной устойчивости в линейном приближении периодических решений системы, рождающихся из положения равновесия. В работе [10] было проведено исследование резонансного случая для знакопеременной функции Гамильтона при наличии резонанса четвертого порядка.

В данной работе проводится исследование качественного характера поведения траекторий системы в окрестности положения равновесия при резонансе четвертого порядка, для случая когда квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной. На основании результатов теоретического исследования решена задача о поведении динамически-симметричного спутника вблизи его цилиндрической прецессии.

Другим видом частных решений являются периодические движения спутника. Особый интерес с прикладной точки зрения представляют орбитально устойчивые движения, в частности плоские периодические движения, исследованию которых посвящено немало работ [1, 5, 24, 28, 43, 46, 48, 61, 62, 64, 65].

В линейном приближении задача об устойчивости плоских периодических движений была рассмотрена в работах [43, 46, 61, 62, 65]. В [43, 61, 62, 65] были получены области устойчивости и неустойчивости в первом приближении и выписаны асимптотические формулы, характеризующие свойства плоских движений. Для спутника, обладающего геометрией масс пластины, в работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, исследование проводилось численно и аналитически, а его результаты были представлены в виде диаграмм устойчивости.

Впервые задача об орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника в строгой нелинейной постановке была рассмотрена Маркее-вым А.П. в работе [28], где был предложен метод исследования и проведен анализ орбитальной устойчивости для случая сплюснутого симметричного спутника. В работах [1, 64] диаграммы устойчивости, полученные в [28] были уточнены, кроме того, в [64] был рассмотрен также случай вытянутого симметричного спутника. В работах [5, 48] для симметричного спутника проведено исследование орбитальной устойчивости на границах областей параметрического резонанса. В случае несимметричного спутника исследование орбитальной устойчивости значительно усложняется. Это связано с тем, что число степеней свободы системы уравнений возмущенного движения равно трем (в случае симметричного спутника имеем две степени свободы). Методика исследования орбитальной устойчивости несимметричного спутиика в строгой нелинейной постановке была разработана в работе [24]. Полное исследование орбитальной устойчивости в этом случае представляет собой достаточно громоздкую задачу (количество параметров в общем случае достигает трех), поэтому часто ограничиваются анализом некоторых частных случаев геометрии масс спутника. Исследование орбитальной устойчивости плоских движений спутника, имеющего геометрию масс пластинки, проводилось в работах [38, 46]. В работе [46] был проведен линейный анализ устойчивости плоских колебаний, а в работе [38] нелинейный анализ плоских вращений спутника-пластинки. При этом предполагалось, что в невозмущепном движении пластинка лежит в плоскости орбиты.

В данной диссертационной работе выполнено строгое исследование орбитальной устойчивости плоских периодических колебаний и вращений спутника-пластинки в предположении, что в невозмущенном движении плоскость пластинки перпендикулярна плоскости орбиты.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Чекин, Александр Михайлович

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Проведен полный нелинейный анализ поведения автономной гамильтоно-вой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия. Исследование выполнено в предположении, что квадратичная часть функции Гамильтона является знакоопределенной, а частоты линейных колебаний находятся в отношении 3:1, т.е. имеет место резонанс четвертого порядка. Подробно исследована структура фазового пространства в окрестности положения равновесия. Показано, что укороченная система может быть проинтегрирована в эллиптических функциях Якоби, а ее решения описывают либо периодические движения, либо движения асимптотические к периодическим, либо условно-периодические движения. На основании методов теории КАМ установлено, что основные свойства укороченной системы сохраняются и в малой окрестности положения равновесия полной системы, в частности, установлено, что большинство условно-периодических движений сохраняются в полной системе.

2. На основании результатов, полученных в диссертации, проведен нелинейный анализ движений спутника в окрестности его цилиндрической прецессии для значений параметров принадлежащих резонансной кривой. На резонансной кривой найдены точки, разделяющие ее на участки, для которых движение спутника в окрестности его цилиндрической прецессии имеет качественно различный характер.

3. Проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости плоских периодических движений спутника-пластины относительно центра масс, движущегося по круговой орбите.

Получен гамильтониан возмущенного движения и описана методика анализа орбитальной устойчивости.

На основании линейного анализа устойчивости в плоскости параметров задачи построены области неустойчивости и орбитальной устойчивости в линейном приближении.

В областях устойчивости в первом приближении проведен нелинейный анализ орбитальной устойчивости. С этой целью методом точечных отображений выполнена нормализация функции Гамильтона. Коэффициенты нормальной формы получены численно при помощи разработанной для этой цели программы на языке Visual С4--К По коэффициентам нормальной формы на основании известных критериев сделаны выводы о формальной устойчивости и устойчивости для большинства начальных условий. Также в указанных областях найдены кривые, отвечающие резонансам четвертого порядка. На данных кривых отдельно проведено исследование устойчивости, учитывающее резонансные члены гамильтониана.

По результатам проведенных исследований в плоскостях параметров построены диаграммы устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чекин, Александр Михайлович, 2009 год

1. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В., Шматков A.M. Обобщенные параметрические колебания механических систем // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 746-756.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

3. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, Вып. 6 (114). С. 91-192.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М: Эдиториал УРСС, 2003. 416 с.

5. Бардин B.C., Пунтус А.А., Чекин A.M., Чекина Е.А. Исследование устойчивости плоских движений динамически симметричного спутника на границах областей параметрического резонанса. // Создание перспективной авиационной техники. 2004. С. 50-55.

6. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских вращений спутника-пластинки на круговой орбите // Вестник МАИ. 2007. Т. 14, № 2. С. 23-36.

7. Бардин Б. С., Чекин A.M. Об орбитальной устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2008. Т. 46, Вып. 3. С. 278-288.

8. Бардин Б.С., Чекин A.M. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2009. Т. 73, Вып. 3. С. 353-367.

9. Бардин Б. С. Об орбитальной устойчивости периодических движений га-мильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае резонанса 3:1 // ПММ. 2007. Т. 71, Вып. 6. С. 976-988.

10. Бардин Б. С. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в случае резонанса четвертого порядка // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, № 1. С. 57-74.

11. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965. 416 с.

12. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.

13. Брюно А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1, № 3. С. 325-330.

14. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

15. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математика для научных работников и инженеров. Москва: Наука, 1974.

16. Градштейн И.С., Рыо/сик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Изд-во Физико-математической литературы, 1963. 1100 с.

17. Дубошин Г.Н. О вращательном движении искусственных небесных тел // Бюлл. Ин-та теорет. астрон. 1960. Т. 7, № 7. С. 511-520.

18. Кондураръ В. Т. Частные решения общей задачи о поступательно-вращательном движении сфероида под действием притяжения шара // Астрон. ж. 1959. Т. 36, № 5. С. 890-901.

19. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах // Собр. соч. Т.1. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954. С. 327 401.

20. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7-263.

21. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

22. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование периодических движений, близких к лагранжевым решениям ограниченной задачи трех тел // Препринт ИПМАН СССР. 1975. № 110.

23. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. К задаче об устойивости относительного равновесия спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 2. С. 139-146.

24. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Исследование устойчивости плоских периодических движений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 1977. № 4. С. 46 57.

25. Маркеев А.П. Резонансные эффекты и устойчивость стационарных вращений спутника // Космич. исслед. 1967. Т. 5, Вып. 3. С. 365-375.

26. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т. 32, Вып. 4. С. 738-744.

27. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия гамильто-новых систем // ПММ. 1970. Т. 34, Вып. 6. С. 997-1004.

28. Маркеев А.П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13, Вып. 3. С. 322-336.

29. Маркеев АИ. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М: Наука, 1978. 312 с.

30. Маркеев А. П. Об устойчивости и нелинейных колебаниях гамильтоновой системы в одном резонансном случае // Изв. РАН. МТТ. 1998. N2 4. С. 38 -49.

31. Маркеев А.П. О критическом случае пары нулевых корней в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы // ПММ. 1998. Т. 62, Вып. 3. С. 372-382.

32. Маркеев А.П. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы при резонансе 2:1 // ПММ. 1999. Т. 63, Вып. 5. С. 757-769.

33. Маркеев А.П. Исследование устойчивости периодических движений автономной гамильтоновой системы в одном критическом случае // ПММ. 2000. Т. 64, Вып. 5. С. 833 847.

34. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы при резонансе 3:1 // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 4. С. 653-660.

35. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65, Вып. 1. С. 51-58.

36. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

37. Маркеев А.П. Конструктивный алгоритм нормализации периодического гамильтониана // ПММ. 2005. Т. 69, Вып. 3. С. 355 371.

38. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских вращений спутника на круговой орбите // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 4. С. 63 85.

39. Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о сохранении условно-периодических движений // ПММ. 1981. Т. 45, Вып. 6. С. 1016 1025.

40. Овчинников М.Ю. Системы ориентации спутников: от лагранжа до королева // Соросовский образовательный журнал. 1999. Вып. 12. С. 91-96.

41. Парс Л. Аналитическая динамика. М: Наука, 1971. 635 с.

42. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Итоги науки и техники. Серия: Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 223 с.

43. Сидоре?ько В.В., Нейштадт А.И. Исследование устойчивости долгоперио-дических движений спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 2000. Т. 38, Вып. 3. С. 307-321.

44. Сокольский А.Г. К задаче об устойчивости регулярных прецессий симметричного спутника // Космич. исслед. 1980. Т. 18, Вып. 5. С. 698-706.

45. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

46. Холостова О.В. Линейный анализ плоских колебаний спутника-пластинки на круговой орбите // Нелинейная Динамика. 2005. Т. 1. С. 181-190.

47. Холостова О.В. Об устойчивости плоских колебаний спутника на круговой орбите // МТТ. 2008. Т. 2. С. 27-42.

48. Чекин A.M. Дипломная работа. МАИ, 2004.

49. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс // Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1963. Т. 3, № 3. С. 528-538.

50. Черноусько Ф.Л. Об устойчивости регулярной прецессии спутника // ПММ. 1964. Т. 28, Вып. 1. С. 155-157.

51. Якубович В.Я., Старэюинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.:Наука, 1987. 328 с.

52. Bardin В. S. On motions near the Lagrange equilibrium point L4 in the case of Routh's critical mass ratio // Celest. Mech. 2002. V. 82, no. 2. P. 163-177.

53. Bardin B. S. On nonlinear motions of Hamiltonian system in case of fourth order resonance // Regul. Chaotic Dyn. 2007. V. 12, no. 1. P. 86-100.

54. Beth, H.J.E. The oscillations about a position of equilibrium where a simple linear relation exists between the frequencies of the principal vibrations // Phil. Mag. 1913. V. 26, series 6. P. 268-324.

55. Duistermaat J. J. Bifurcation of periodic solutions near equilibrium points of Hamiltonian systems // Bifurcation theory and applications (Montecatini, 1983). Berlin: Springer, 1984. Y. 1057 of Lecture Notes in Math. P. 57-105.

56. Elipe A. Complete reduction of oscillators in resonance p:q // Phys. Rev. E. 2000. V. 61, no. 6. P. 6477-6484.

57. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian sysetms // Communs. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, no. 4. P. 509-526.

58. Hairer ENorsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, 2008.

59. Henrard J. Periodic orbits emanating from a resonant equilibrium // Celestial Mech. 1970. V. 1. P. 437-466.

60. Henrard J. Lyapunov's center theorem for resonant equilibrium // J. Differential Equations. 1973. V. 14, no. 3. P. 431-441.

61. Kane T. Attitude stability of earth pointing satellites // AIAA Journal. 1965. V. 3, no. 4. P. 726 - 731.

62. Капе Т., Shippy D. Attitude stability of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sci. 1963. V. 10, no. 4. P. 114 119.

63. Korteweg D. Sur certaines vibrations d'orde superieur et d'intensite anomale, vibrations de relation, dans les mechanismes'a plusieurs degres de liberte // Archives Neerlandaises des Sci. Exactes et de Nature. 1897. V. 1, series 2. P. 229-260.

64. Markeev A. P., Bardin B. S. On the stability of planar oscillations and rotations of a satellite in a circular orbit // Celestial Mech. Dynam. Astronom. 2003. V. 85, no. 1. P. 51-66.

65. Meirovitch L., Wallace F. Attitude instability regions of a spinning unsymmetrical satellite in a circular orbit // J. Astrounaut. Sci. 1967. V. 14, no. 3. P. 123 133.

66. Meyer K. R., Palmore J. I. A new class of periodic solutions in the restricted three body problem 11 J. Differential Equations. 1970. V. 8, no. 2. P. 264-276.

67. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Communs. Pure Appl. Math. 1958. V. 11, no. 1. P. 81-114.

68. Roels J. An extension to resonant cases of Liapunov's theorem concerning the periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium // J. Differential Equations. 1971. V. 9. P. 300-324.

69. Roels J. Families of periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium when the ratio of two eigenvalues is 3 // J. Differential Equations. 1971. V. 10. P. 431-447.

70. Schmidt D. Periodic solutions near a resonant equilibrium of a Hamiltonian system j j Celestial Mech. 1974. V. 9. P. 81-103.

71. Schmidt D. Versal normal form of the Hamiltonian function of the restricted problem of three bodies near L4 // J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 52, no. 1-3. P. 155-176.