Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Нальский, Максим Борисович

• Нальский, Максим Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нальский, Максим Борисович

1 Введение

1.1 Обзор известных результатов

1.2 Содержание диссертации.

2 Ступенчатые косые произведения

2.1 Основная лемма.

2.2 Построение последовательности периодических орбит

2.3 Достаточные условия эргодичности.

2.4 Эргодичность и показатели Ляпунова.

2.5 Неатомарность предельной меры.

2.6 Окрестность в пространстве пар диффеоморфизмов

3 Мягкие косые произведения

3.1 Построение диффеоморфизмов

3.2 Основная лемма.

3.3 Последовательность периодических орбит.

3.4 Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова

4 Гладкие динамические системы

5 Негиперболичность инвариантных мер на максимальном аттракторе

5.1 Схема доказательства основного результата.

5.2 Мягкие косые произведения над соленоидом.

5.3 Управляемые косые произведения.

5.4 Основная лемма о периодических орбитах

5.5 Эргодичность и нулевые показатели Ляпунова

5.6 Гладкая реализация косых произведений над соленоидом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов»

В какой мере поведение типичной динамической системы гиперболично?

Очень многие проблемы в современной теории гладких динамических систем могут рассматриваться как те или иные варианты этого вопроса. В 60-х годах было показано, что равномерно гиперболические системы [1] (диффеоморфизмы Аносова, аксиома А) не плотны в пространстве динамических систем [2]. Стало необходимо ослабить условие на гиперболичность. Появились понятия частичной [3] и неравномерной (теория Лесина [4]) гиперболичности.

В теории Песина гиперболическое поведение характеризуется ненулевыми показателями Ляпунова относительно некоторой фиксированной инвариантной меры, и описывают поведение траекторий, типичных относительно этой меры.

Цель настоящей работы - ответить на естественный вопрос: насколько типичны (в разных смыслах) диффеоморфизмы, обладающие этим свойством? До сих пор вопрос оставался полностью открытым.

Инвариантная мера может быть задана изначально и согласована с гладкой структурой, а может определяться динамической системой. Диссертация посвящена второму случаю.

В работе доказано, что в пространстве диффеоморфизмов на трехмерных компактных многообразиях с С1-топологией существуют области, каждое отображение в которых обладает инвариантной неатомарной мерой с одним из показателей Ляпунова равным нулю. В указанных областях каждый диффеоморфизм — частично гиперболический, а мера — эргодична. На четырехмерных многообразиях эргодическая мера может быть найдена на частично гиперболическом аттракторе.

Теорема 1 (Основной результат). Для замкнутого многообразия М, dim M > 4, найдется такая область U С DiffХ(М), что любой диффеоморфизм f G U имеет локально максимальный частично гиперболический аттрактор Л С М и неатомарную эргодическую инвариантную меру ц с supp ц = Л, один из показателей Ляпунова относительно которой равен нулю.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нальский, Максим Борисович, 2007 год

1. S. Smale, Differentiable dynamical systems. Bull. Am. Math. Soc. 73 (1967), pp. 747-817.

2. R. Abraham, S. Smale, Nongenericity of 0,-stability. Global Analysis, Proc. of Symposia in Pure Math., Vol. 14 AMS (1970), pp. 5-8.

3. M. W. Hirsch, С. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 583. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.

4. Я. Б. Песин, Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. Успехи математических наук, том 32 (1977), вып. 4 (196), стр. 55-112.

5. В. И. Оселедец, Мультипликативная эргодическая теорема. Труды Московского Математического Общества, 19 (1968), стр. 179-210.

6. H. Furstenberg, H. Kesten, Products of random matrices. Ann. Math. Statist, vol. 31, 1960, pp. 457-469.

7. C. Bonatti, X. Gomez-Mont, M. Viana, Généricité d'exposants de Lya-punov non-nuls pour des produits déterministes de matrices. Annales Inst. Henri Poincare, 20 (2003), pp. 579-624.

8. L. Arnold, N. D. Cong, V. I. Oseledets. Jordan normal form for linear cocycles. Random Operators and Stochastic Equations, 7 (1999), pp. 303358.

9. L. Arnold, N. D. Cong, Linear cocycles with simple Lyapunov spectrumare dense in L°°. ErgodicTheory and Dynamical Systems, 19 (1999), pp. 1389-1404

10. М. И. Брин, Я. Б. Песин, Частично гиперболические динамические системы. Известия Мат. Наук, том 8 (1974), вып. 1, стр. 177-218.

11. Я. Б. Песин, О существовании инвариантных слоений для диффеоморфизма гладкого многообразия. Математический сборник, том 91 (1973), вып. 2, стр. 202-210.

12. J. Bochi, Genericity of zero Lyapunov exponents. Ergodic Theory Dy-nam. Systems 22 (2002), no. 6, pp. 1667-1696.

13. J. Bochi, M. Viana, Uniform (projective) hyperbolicity or no hyperbol-icity: a dichotomy for generic conservative maps. Ann. Inst. H. Poincare, 2002, Vol. 19, no. 1, pp. 113-123.

14. R. Mané. The Lyapunov exponents of generic area preserving diffeomor-phisms. In International Conference on Dynamical Systems (Montevideo, 1995), pages 110-119. Longman, 1996.

15. C. Bonatti, L. Diaz, E. Pujáis, A C1 -generic dichotomy for diffeomor-phisms: weak forms of hyperbolicity or infinitely many sinks or sources. To appear in Annals of Math.

16. A. Arbieto, C. Matheus. A pasting lemma I: the case of vector fields. To appear: Ergodic Theory and Dynamical Systems.

17. A. Baraviera, C. Bonatti, Removing zero Lyapunov exponents. Ergodic Theory and Dynamical Systems, N 23 (2003), pp. 1655-1670.

18. J. Bochi, M. Viana. The Lyapunov exponents of generic volume preserving and symplectic systems. To appear in Annals of Math.

19. J. Bochi, B. R. Fayad, E. Pujáis, A remark on conservative diffeomor-phisms. Сотр. Rend. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006), pp. 763-766.

20. A. Tazhibi, Stably ergodic diffeomorphisms that are not partially hyperbolic. Israel Journal of Mathematics, vol 24 (2004), pp. 315-344.

21. J. Bochi, M. Viana, Lyapunov exponents: how frequently are dynamical systems hyperbolic? Modern dynamical systems and applications, pp. 271 297, Cambridge Univ. Press, 2004.

22. M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents. Inventiones Math. 139 (2000), pp. 495-508.

23. D. Ruele, A. Wilkinson, Absolutely singular dynamical foliations. Comm. Math. Phys., 219 (2001), no. 3, pp. 481-487.

24. D. Dolgopyat, Y. Pesin, Every compact manifold carries a completely hyperbolic diffeomorphism. Ergodic Theory Dynam. Systems 22 (2002), no. 2, pp. 409-435.

25. C. Bonatti, C. Matheus, M. Viana, A. Wilkinson, Abundance of stable ergodicity. Comment. Math. Helv., 79 no. 9 (2004) pp. 753 757.

26. C. Bonatti, M. Viana, SRB measures for partially hyperbolic systems whose central direction is mostly contracting. Israel J. of Math. 115 (2000), pp. 157-193.

27. Cheng, C.-Q., and Y.-S. Sun, Existence of invariant tori in three dimensional measure-preserving mappings. Celestial Mech. Dynam. Astronom. 47 (1989/90), no. 3, 275-292.

28. Herman, M. Stabilité Topologique des systèmes dynamiques conservat-ifs. (1990) preprint.

29. Xia, Z., Existence of invariant tori in volume-preserving diffeomorphisms. Ergod. Th. Dynam. Syst. 12 (1992), no. 3, 621-631.

30. Yoccoz, J.-C., Travaux de Herman sur les tores invariants. Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Astérisque No. 206 (1992), Exp. No. 754, 4, 311344.

31. M. I. Brin, J. Feldman, A. Katok. Bernoulli diffeomorphisms and group extensions of dynamical systems with non-zero characteristic exponents. Annals of Mathematics, Vol. 113, No. 1 (Jan, 1981), pp. 159-179.

32. А. С. Городецкий, Ю. С. Ильяшенко. Некоторые новые грубые свойства инвариантных множеств и аттракторов динамических систем. Функциональный анализ и его приложения, N 2, том 33, 1999, стр. 16-30

33. А. С. Городецкий, 10. С. Ильяшенко. Некоторые свойства косых произведений над подковой и соленоидом. Труды Математического Института им. Стеклова, том 231 (2000), стр. 96-118

34. А. С. Городецкий. Минимальные аттракторы и частично гиперболические инвариантные множества динамических систем. Текст диссертации, Московский Государственный Университет им. Ломоносова, механико-математический факультет, 2001.

35. А. Городецкий, Регулярность центральных слоев частично гиперболических множеств и приложения. Известия РАН, том 70 (2006), N 6, стр. 52 78.

36. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Теория функций и функционального анализа. М.: Наука, 1964.

37. Yu. Ilyashenko and W. Li, Nonlocal bifurcations. AMS, Providence, Long Island, 1998.

38. А. В. Katok, В. Hasselblat, Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

39. А. Б. Каток, А. М. Степин, Об аппроксимациях эргодических динамических систем периодическими преобразованиями. Доклады Академии Наук СССР, том 171 (1966), стр. 1268-1271

40. А. Б. Каток, А. М. Степин, Аппроксимации в эргодической теории. Успехи математических наук, том 22 (1967) вып. 5 (137), стр. 81-106.

41. S. V. Gonchenko, I. I. Ovsyannikov, С. Simo, D. Turaev, Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 15, No. 11(2005), pp. 3493 3508.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

42. А. Городецкий, 10. Ильяшенко, В. Клепцын, М. Нальский. Неуст-рапимостъ пулевых показателей Ляпунова. Функциональный анализ и его приложения, 2005, том 39, вып. 1, стр. 27-38.

43. М. Нальский. Устойчивость существования негиперболических мер для С1-диффеоморфизмов. Депонировано в ВИНИТИ РАН, N 918-В2007.

44. В. А. Клепцын, М. Б. Нальский, Сближение орбит в случайных динамических системах на окружности. Функциональный анализ и его приложения, 2004, т. 38, вып. 4, с. 36-54.