Устойчивые явные разностные методы и многочлены Чебышева в задачах гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ушаков, Константин Викторович

• Ушаков, Константин Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ушаков, Константин Викторович

Введение

Глава 1. Многочлены Чебышева и оптимизация численных методов.

1.1. Многочлены Чебышева и их свойства.

1.2. Явные разностные схемы и решение жёстких задач математической физики.

1.2.1. Формулировка явных методов.

1.2.2. Общий анализ явных разностных методов с переменными шагами по времени.

1.2.3. Метод Адамса-Бэшфорта.

1.2.4. Явные разностные схемы для мнимого спектра.

1.3. Блочные чебышсвские итерационные методы.

1.3.1. Чебышевский набор параметров.

1.3.2. Устойчивое упорядочивание итерационных параметров.

1.3.3. Критерий окончания итераций.

1.3.4. Поиск улучшенного начального приближения методом Ритца.

1.4. Выводы по главе 1.

Глава 2. Вихреразрешающая модель, разностные аппроксимации и численные эксперименты.

2.1. Описание модели.

2.2. Разностная аппроксимация уравнений модели.

2.2.1. Вихревая форма записи адвективных слагаемых.

2.3. Программная реализация модели.

2.3.1. Задание расчётной области с помощью логических масок.

2.3.2. Исследование операторов Ca,Da и Т.

2.3.3. Внедрение программы DUMKA.

2.3.4. Распараллеливание.

2.4. Численные эксперименты.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Чебышевские цифровые фильтры

3.1. Явный чебышевский фильтр.

3.2. Алгоритм неявной чебышевской операторной фильтрации.

3.3. Особенности численной реализации неявного чебышевского фильтра.

3.4. О сравнении фильтров.

3.5. Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые явные разностные методы и многочлены Чебышева в задачах гидродинамики»

Настоящая работа посвящена изучению особенностей применения в задачах гидродинамики численных методов, общей особенностью которых является удобная представимость через многочлены перехода. Анализ свойств этих методов, таким образом, сводится к анализу свойств многочленов. Так, при применении явных разностных схем для нестационарных задач математической физики решение на каждом слое по времени в случае линейной правой части представляет собой результат действия некоторого многочлена от оператора правой части на начальное значение решения. Считается [4, 34, 41], что простые тестовые задачи такого типа в достаточной степени отражают с точки зрения устойчивости характеристики того или иного явного метода. Для жёстких задач математической физики именно ограничения на устойчивость, как правило, определяют величину шагов по времени. Поэтому, имея данные о расположении спектра задачи, естественно будет выбрать для её численного решения разностный метод, определяемый многочленом, область устойчивости которого (область комплексной плоскости внутри единичной лемнискаты) содержит в себе этот спектр при как можно большем среднем шаге по времени. В совокупности с возможностью хорошего распараллеливания явных схем это даёт основания ожидать высокой эффективности использования современных вычислительных ресурсов. В данной работе мы ограничимся исследованием именно явных схем.

Близкие идеи находят применение при построении линейных итерационных методов [17, 9], когда задача оптимизации сводится к построению многочлена перехода для серии итераций, наиболее эффективно подавляющего ошибку. В качестве такого многочлена обычно берётся многочлен, обладающий некоторыми экстремальными свойствами на множестве, содержащем спектр оператора решаемой задачи.

Общими проблемами в этих двух областях приложения теории многочленов являются, во-первых, организация вычислений, устойчивых по отношению к ошибкам округления внутри серии шагов метода, реализующей выбранный многочлен перехода, и во-вторых, получение количественных данных о спектре задачи. Первая из них в значительной степени решена с помощью рекурсивных алгоритмов построения устойчивых перестановок параметров [23]-[25], [17]. Вторая является гораздо более трудной, её детальное решение может оказаться сравнимо по сложности с решением исходной задачи. Однако часто можно дать общее описание спектра, исходя из физических или каких-либо иных соображений, и выбрать многочлен перехода, по возможности близко соответствующий этому описанию. При этом выборе бывает очень полезно учитывать также свойства многочленов, касающиеся удобства реализации, объёма требуемых для осуществления шага вычислительных ресурсов, а также возможности использования данных, полученных на предшествующих шагах [48, 49, 50, 72]. Перспективной темой для исследования является учёт в расчётах эффектов взаимного влияния методов различного назначения, использующих общую идею оптимизации многочленов перехода.

Идеи, аналогичные чебышевским итерационным методам, могут с успехом применяться также в цифровой фильтрации [44]. Например, в [16] для сглаживания решения или правой части системы уравнений был использован явный фильтр второго порядка, функция перехода которого обладает свойством альтернанса в области подавления. В [62] для улучшения устойчивости счёта к правой части применялись псевдоразностные операторы, аналогичные исследовавшимся в [38].

Практические задачи гидродинамики, выбранные в качестве области приложения исследуемых методов, являются динамично развивающимся разделом численного моделирования [45]. Их решение осложняется многими факторами, в частности - наличием нелинейных членов. В этом свете представляет интерес вихревая форма записи таких слагаемых (форма Громеки-Лэмба), стабилизирующие свойства которой исследовались, например, в работах [30, 65], а также в [56]. Она позволяет исключить существенную часть нелинейных слагаемых из проблем построения аппроксимации и турбулентного замыкания.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании эффективности и оптимизации применения устойчивых явных разностных схем программы DUMKA, методов с функциями перехода, основанными на че-бышевских многочленах, и вихревой формы Громеки-Лэмба в задачах гидродинамики.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 74 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ушаков, Константин Викторович

Основные результаты диссертационной работы

• Экспериментально и теоретически исследована эффективность устойчивых явных разностных схем программы DUMKA с переменными шагами по времени, ориентированных на расположенный вблизи мнимой оси спектр, в задаче вихреразрешающего моделирования и в сравнении со схемой Адамса-Бэшфорта.

• Рассмотрен и реализован новый комбинированный итерационный метод для получения поправки к обобщённому давлению, учитывающий характер изменения решений на последовательности временных шагов схем DUMKA-7, DUMKA-8, а также сочетающий обобщённый метод Ритца с характерными для задачи базисными функциями и блочный чебышевский вариационный метод. Предложена новая модификация алгоритма вычисления параметров в устойчивом блочном чебышевском бесконечно продолжаемом итерационном методе с длиной цикла N = N(r,p) = 3Г2Р.

• Предложена и реализована трёхмерная разностная аппроксимация нелинейного члена уравнений Навье-Стокса на октаэдральных сетках в вихревой форме с заменой классического давления на обобщённое давление Бернулли, имеющая дивергентный вид и ортогональная с точностью не ниже 0(h2) сеточному вектору скорости.

• Создан и реализован в программе алгоритм неявной чебышевской фильтрации, в том числе многомерной. Проведённый анализ показал оптимальность построенных фильтров по сравнению с фильтрами Поттера.

Заключение

Проведено исследование серии проблем, возникающих при применении программы DUMKA и чебышевских методов в вихреразрешающей модели, использующей вихревую форму записи адвективных слагаемых. Предложенные алгоритмы для вихреразрешающих моделей реализованы в программах на языке Фортран для многопроцессорных вычислительных систем. Построены неявные чебышеские фильтры, нашедшие применение в модели общей циркуляции океана.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ушаков, Константин Викторович, 2009 год

1. Агошков В.И., Дубовский П.В., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М: ИВМ РАН, 2001.

2. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М:Изд-во МГУ, 2004

3. Антопыо А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М: Радио и связь, 1983.

4. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Кузнецов Ю.А., Лебедев В.И., Ли-фанов И.К., Нечепуренко Ю.М., Шайдуров В.В. Численные методы решения задач математической физики. М: Наука, 2005. §3.

5. Богатырёв А.Б. Экстремальные многочлены и римановы поверхности. М: МЦНМО, 2005.

6. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М: Физматлит, 2008.

7. Глазунов А.В. Моделирование нейтрально стратифицированного турбулентного потока воздуха над горизонтальной шероховатой поверхностью // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006, т. 42, № 3, с. 307-325

8. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов. Курс лекций, http://prodav.narod.rn.

9. Забелин В.В. О свойствах оптимальных с весом трёхчленных итерационных методов и соответствующих им систем многочленов. Дисс. канд. ф.-м. наук. МГУ, 1988.

10. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Коллективные явления в динамике решётки и механизмы возникновения структурной неустойчивости // Физика металллов и металловед. 1987. Т. 64, № 4. С. 629-642.

11. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейиольдса // Доклады Академии наук СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 99-102.

12. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: Наука, 1970.

13. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. N7. С. 126-154.

14. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М: Наука, 1986.

15. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы, вып. 8. М:Наука, 1991.

16. Лебедев В.И. Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым спектром //ЖВМиМФ.2000.том 40. Nol2.с. 1801-1812

17. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М:Физматлит, 2005.

18. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т.4, N3. С. 449-465

19. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т.4, N4. С. 649-659.

20. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных // Изв. АН СССР, Серия математическая. 1958. Т. 22. С. 717-734.

21. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Методы второго порядка точности с переменными шагами по времени // Изв. вузов, математика. 1998. № 9, С. 1-10.

22. Лебедев В.И., Ушаков К.В. Явные и неявные чебышевские фильтры и их приложения // Вычислительные технологии, 2006, Т. 11, Спецвыпуск 3. С. 67-75.

23. Лебедев В.И., Финогепов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. N2 2. С. 425-438.

24. Лебедев В.И., Финогепов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевксих итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 1. С. 18-33.

25. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных параметров в чебышевских итерационных методах // Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевксих итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. № 1. С. 896-907.

26. Лебедев В.И. Экстремальные многочлены и методы оптимизации вычислительных алгоритмов // Математический сборник. 2004. Т. 195, № 10. С. 21-66.

27. Лебедев В.И. О нахождении многочленов наилучшего с весом приближения // Математический сборник. 2008. Т.199, № 2.

28. Луценко С.В. Исследование динамики и структуры конвективного пограничного слоя атмосферы при наличии почвенного аэрозоля с помощью вихреразрешающего моделирования. Магистерская диссертация. М: ИВМ РАН, 1999.

29. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М,Л: ГИТТЛ, 1950.

30. Ольшанский М.А. Равномерные по параметру многосеточные и итерационные методы. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических паук. МГУ, 2006.

31. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М:Мир, 1991.

32. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М:Наука, 1983.

33. Сальников Н.А. Сравнительный анализ методов околополюсной цифровой фильтрации характеристик для модели циркуляции океана. Бакалаврская диссертация. М: ИВМ РАН, 2008.

34. Самарский А.А. Введение в численные методы. М: Наука, 1987.

35. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978.

36. Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т.1,2. М: Наука, 1970.

37. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М:Наука, 1964.

38. Соболев С.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

39. Ушаков К.В., Лебедев В.И. Неявные чебышевские фильтры // Труды III Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2006.

40. Ушаков К.В. Исследование эффективности устойчивых явных методов при вихреразрешающем моделировании пограничного слоя атмосферы на параллельных вычислительных системах. Магистерская диссертация. ИВМ РАН, 2005.

41. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи. М: Мир, 1999.

42. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М: Мир, 1990.

43. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М:Мир, 1986.

44. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.

45. Arakawa A. Lamb V. Computational design of the basic dynamical processes of the ucla general circulation model // Meth. in Сотр. Phys. 1977. V. 17. P. 174-267.

46. Bardina J, Ferziger J.H., Reynolds W.C. Improved subgrid scale models for large-eddy simulation // Am. Inst. Aeronaut. Astronaut., 1980, Paper 80-1357.

47. Chan T.F., Wan W.L. Analysis of projection methods for solving linear systems with multiple right-hand sides // SIAM J. Sci. Comput. 1997. V. 1, N. 6. P. 1698-1721.

48. Erhel J., Guyomarc'h F. An augmented conjugate gradient method for solving consecutive symmetric positive definite linear systems // SIAM J. Matrix Analys. Appl. 2000. V. 2, N. 4. P. 1279-1299.

49. Fiscer P.F. Projection techniques for iterative solution of Ax = b with successive right-hand sides // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1998. V. 16, N. 1-4. P. 193-204.

50. Berselli L.C., Iliescu Т., Layton W.J. Mathematics of Large Eddy Simulation of Turbulent Flows. // Springer. Series: Scientific Computation. 2006, XVIII, 348 p.

51. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W. H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids. A, 1991, 3, pp. 1760-1765.

52. Ghosal S. An analysis of numerical errors in large-eddy simulations of turbulence. // J. Comput. Phys., 1996, 125, 187-206.

53. Gill S. A process for the step-by-step integration of differential equations in an automatic digital computing machine // Proc. Cambridge philos. soc. 1951. V. 47. P. 95-108.

54. Glazunov A.V., Lykossov V.N. Large-eddy simulation of interaction of ocean and atmospheric boundary layers. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, vol. 18, No 4, 2003,pp. 279-296

55. Horiuti K. Comparison of conservative and rotational forms in large eddy simulation of turbulent channel flow //J. сотр. phys. 1987. V. 71. P. 343-370.

56. Van der Houwen P.J. Explicit Runge-Kutta Formulas with Increased Stability Boundaries // Num.Math. 1972,V. 20, P. 149-164.

57. Katopodes F.C., Street R.L., Xue M. and Ferziger J.H. Explicit Filtering and Reconstruction Turbulence Modeling for Large-Eddy Simulation of Neutral Boundary Layer Flow. // J. Of The Atm. Sc., 2005, 62, pp. 2058-2076.

58. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with variable time steps for solving stiff systems of equations // Lect.Notes in Comput.Sci. 1196. Numer. Analys. and its Applic, Springer, 1997. P.274-283.

59. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with variable time steps for solving stiff systems of equations // Sov. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1989. V.4, № 2, P. 111-135.

60. Lebedev V.I. Zolotarev polynomials and extremum problem // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1994. V.9, № 3, P. 191-314.

61. Lebedev V.I., Loutsenko S.V., Lykossov V.N. Large-eddy simulation of convective boundary layer using explicit difference schemes. Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling, vol. 15, No 1, 2000, pp. 95-110

62. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully Conservative Higher Order Finite Difference Schemes for Incompressible Flow // J. Сотр. Phys. 1998, V. 143, P. 90-124.

63. Olshanskii M.A., Reusken A. Navier-Stokes equations in rotation form: a robust multigrid solver for the velocity problem // SIAM J.Sci.Comp. 2002. V. 23. P. 1682-1706.

64. Piomelli U.,Scotti A., Balaras E. Large-eddy simulations of turbulent flows, from desktop to supercomputer. Vector and Parallel Processing -VECPAR 2000. Berlin:Springer, 2001

65. Porte-Agel F., Meneveau C., Parlange M.B. A scale-dependent dynamic model for large-eddy simulation: application to a neutral atmospheric boundary layer. //J. Fluid Mech, 2000, v. 415, pp. 261-284.

66. Potter R.W. Compilation of Time Windows and Time Shapes for Fourier Analysis // 02-5952-0705, Hewlett-Packard, 1971.

67. Raymond W.H. High-Order Low-Pass Implicit Tangent Filters for Use in Finite Area Calculations // Mon. Wea. Rev. 1988. V. 116. P. 2132-2141.

68. Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows. Springer, 2006.

69. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations // Mon. wea. rev. 1963. V. 91, N 3. P. 99-164.

70. Tromeur-Dervout D., Vassilevski Yu. Choice of initial guess in iterative solution of series of systems arising in fluid flow simulations //J. Сотр. Phys, 2006, V. 219, P. 210-227.

71. Verstappen R.W.C.P., Veldman A.E.P. Symmetry-preserving discretization of turbulent flow // Journal of Computational Physics, 2003,. V. 187, P. 343-368.

72. Yoshizawa A. A statistically-derived subgrid model for the large-eddy simulation of turbulence // Phys. Fluids, 1982, V. 25, N 9.стр. 38, строка 4 снизуп>1. V—^у1. Замеченные опечаткинапечатано6