Варианты канонического формализма и уравнений движения для гравитации в подходах теорий вложения и разбиения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Семенова Елизавета Николаевна

• Семенова Елизавета Николаевна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Семенова Елизавета Николаевна

«внешнего» времени

1.5 Сравнение со случаем фиксации калибровки

в гамильтоновом формализме

2 Канонический формализм для теории вложения без наложения эйнштейновских связей

2.1 Канонический формализм полной теории вложения

2.2 Алгебра связей при неявном виде одной из связей

2.3 Приложение

2.3.1 Вычисление скобки Пуассона неявно заданной связи самой с собой на поверхности связей

2.3.2 Точное вычисление скобки Пуассона неявно заданной связи самой с собой

3 Уравнения движения теории разбиения

3.1 Формализм теории разбиения

3.2 Выбор действия теории разбиения

3.3 Вывод уравнений движения

варьированием инвариантного действия

3.4 Приложение

3.4.1 Вывод следствий из аналога тождеств Бьянки для обобщенного тензора Римана

3.4.2 Подробное вычисление вариации нового вида действия для теории разбиения

Заключение

Литература

104

Введение

Проблема объединения квантового описания реальности с теорией гравитации встала перед теоретиками в конце двадцатых годов двадцатого века, вскоре после появления квантовой механики. Описать поведение квантовых систем во внешних гравитационных полях удалось достаточно быстро. Так, в 1929 году В. А. Фок [1] и Г. Вейль [2] получили обгцекова-риантную форму уравнения Дирака, используя новые переменные гравитации — тетрады. Квантование же самого гравитационного поля оказалось существенно более нетривиальной задачей. В 1936 году М. П. Бронштейн писал [3]:

«В рамках специальной теории относительности (т. е. когда пространственно-временной континуум «[псевдо]евклидов») можно строить вполне последовательную квантовую теорию гравитации. Однако в области общей теории относительности, где отклонения от «[псевдо]евклидовости» могут быть сколь угодно велики, дело обстоит совсем по-другому. (...) Без глубокой переработки классических понятий кажется едва ли возможным распространить квантовую теорию гравитации и на эту область.»

С самого начала мнения теоретиков по вопросу осмысленности самой задачи разделились: многие авторитетные ученые считали, а некоторые считают и сейчас [4,5], что квантовополевое описание гравитационного взаимодействия невозможно или бессмысленно. Но все же большинство ведущих ученых, работавших в теории поля на протяжении прошлого века, приняли участие в попытках построения квантовой теории гравитационного поля. К примеру, уже упомянутый М. П. Бронштейн в той же статье

1936 года объяснил разницу знаков в законах Кулона и Ньютона, исходя из квантовых представлений. Отмеченная им необходимость введения в теорию плоского пространства-времени определяла направление исследований и в дальнейшем.

В пятидесятых годах начались попытки априорного построения квантовой гравитации как теории безмассового поля спина два в плоском пространстве-времени. С. Н. Гупта был одним из первых, кто попытался про-квантовать не только линейное приближение [6] (независимо от М. П. Бронштейна), но и полную теорию [7]. В дальнейшем этот подход развивал В. И. Огиевецкий [8], в работах которого были также предприняты попытки [9] построения квантовой теории гравитации на базе представлений обгцековариантной группы. Желание проквантовать гравитацию как безмассовое поле спина два двигало Р. Фейнманом, когда он читал свои знаменитые «Лекции по гравитации» [10]. Значительный вклад в разработку квантовополевого описания гравитации внесли Л. Д. Фаддеев и В. Н. Попов [11], предложившие метод квантования неабелевых калибровочных теорий именно для этой цели.

К сожалению, ни одну из этих попыток нельзя считать полностью успешной. Одна из причин может заключаться в том, что попытки закрепить за четырехмерным пространством Минковского (или по крайней мере пространством постоянной кривизны) некий особый статус приводят к значительным техническим трудностям. Поэтому не лишен смысла вопрос о том, можно ли каким-либо образом дополнить теорию гравитации так, чтобы получить возможность использовать некое фоновое пространство для нужд квантовой теории поля, при этом не выделяя никакой метри-

ки при описании нашего искривленного пространства. Эта идея привела к созданию т. н. биметрических теорий, в которых постулируется наличие двух независимых метрик. Подобные теории, однако, страдают от своих собственных проблем [12], на частичное разрешение которых ушло почти сорок лет [13].

Еще одним недостатком вышеописанных попыток можно считать пер-турбативный характер построения гравитации в виде теории безмассового поля спина два в плоском пространстве. В самом деле, наиболее нетривиальные эффекты квантовой гравитации, в частности, связанные с черными дырами, имеют непертурбативный характер, поэтому принципиально недоступны для исследования методами квантовополевой теории возмущений.

Однако идея включения плоского пространства-времени в теорию неудачей этих попыток не дискредитируется. В действительности вышеприведенными недостатками обладают только те теории, в которых плоское пространство-время трактуется именно как наше, наблюдаемое пространство-время, в то время как возможны и другие варианты его появления. Плоское пространство-время, в частности, возникает в струнном подходе как объемлющее пространство, динамике струны соответствует двумерная плоскость в плоском пространстве-времени. Было обнаружено, что при помощи струнного подхода, можно описывать квантовую теорию гравитации (детальное изложение истории вопроса можно найти в [14]). Благодаря этой возможности теория струн в настоящий момент может рассматриваться как наиболее жизнеспособная альтернатива квантовой теории поля [15].

По аналогии с теорией струн в 1975 году Т. Редже и К. Тейтельбоймом

был предложен [16] новый вариант описания гравитации, дающий больше надежд на успешное квантование теории благодаря наличию плоского фонового пространства. Аналогично тому как динамике точечной частицы соответствует мировая линия, динамике струны - двумерная плоскость, так и в теории вложения Редже-Тейтельбойма (в последующих работах обсуждавшаяся также под названиями geodetic brane gravity и embedding gravity) гравитация описывается динамикой четырехмерной поверхности в плоском объемлющем пространстве. В рамках этого подхода наше четырехмерное пространство-время рассматривается не как абстрактное ри.ми-ново пространство, а как четырехмерная поверхность в плоском объемлющем пространстве большего числа измерений (многомерном пространстве Минковского). При этом динамической переменной, описывающей гравитационное поле, оказывается не метрика, а функция вложения уа (х), задающая четырехмерную поверхность в объемлющем пространстве. Именно по функции вложения происходит варьирование действия при нахождении уравнений движения. В качестве действия обычно используется действие Эйнштейна-Гильберта с произвольным вкладом материи

S = j -R + , (0.1)

в которое подставляется индуцированная метрика

= Vab(d,ya)(dvyb), (0.2)

выраженная через функцию вложения, ^ — метрика объемлющего пространства. При варьировании по функции вложения получаются уравнения движения теории вложения - уравнения Редже-Тейтельбойма [16]

(G^v - яТ^= 0, (0.3)

где - тензор Эйнштейна, - тензор энергии-импульса, а Ъ^ - вторая основная форма поверхности. Уравнения Редже-Тейтельбойма оказываются более общими, по сравнению с уравнениями Эйнштейна, т.е. содержит «лишние» решения (любое решение уравнений Эйнштейна решает уравнения Редже-Тейтельбойма, но не наоборот).

В дальнейшем идея вложения в плоское пространство неоднократно использовалась при описании гравитации М. Павшичем [17], В. Тапиа [18], М. Майя [19], И. Бандосом [20] и другими исследователями [21-24]. Интересно отметить, что в работах [17, 21] эта идея возникала независимо. Различные аспекты теории вложения, а также возможность ее квантования и следствия для космологии рассмотрены А. Дэвидсоном и соавторами в работах [25-28]. В рамках их исследований была предпринята попытка интерпретации «лишних» решений теории вложения (т.е. не являющихся решениями уравнений Эйнштейна) как эффекта, который в рамках общей теории относительности объясняется присутствием во вселенной темной энергии [25] и темной материи [27]. Исследования теории вложения продолжаются и в последние годы [29-33]. Следует отметить, что подход теории вложения принципиально отличается от популярной в последнее время теории бран [34] тем, что объемлющее пространство в теории вложения плоское, гравитация в нем отсутствует.

В рамках идеи вложения пространства-времени в плоское объемлющее пространство делаются также попытки связать квантовые эффекты в пространстве-времени и в объемлющем пространстве [35-37] (см. также список литературы последней работы), для чего строятся явные вложения физически интересных решений уравнений Эйнштейна, см., например, ра-

боты [26,38-40], а также список литературы последней работы. Подробный (но уже несколько устаревший) список литературы, связанной с теорией вложения и смежными с ней вопросами, можно найти в обзоре [41]. Формализм, удобный для проведения вычислений в теории вложения, подробно излагается в книге [42].

Как уже упоминалось выше, описание гравитации в рамках теории вложения может оказаться полезным при попытках построения квантовой теории гравитации, поскольку при таком подходе естественным образом появляется плоское пространство. Многие проблемы, появляющиеся при попытках квантования гравитации в терминах метрики (их изложение можно найти, например, в обзоре [43]), возникают из-за того, что мы пытаемся применять процедуру квантования, хорошо зарекомендовавшую себя для теории полей в плоском пространстве, к случаю, когда динамическими переменными являются геометрические свойства этого пространства и необходимо квантовать именно их.

В частности, одной из важных проблем является проблема выбора времени. Поскольку в рамках обгцековариантной симметрии теория обладает симметрией относительно перепараметризации времени, гамильтониан теории сводится к линейной комбинации связей (см. формализм Арно-витта-Дезера-Мизнера (АДМ) [44]), в результате чего в шредингеровской картине вектор состояния не изменяется со временем. Обычно полагают, что это говорит о том, что роль «физического» времени должна играть не координата х°, а какая-то другая величина, однако удовлетворительный способ построения такой величины в рамках ОТО в общем случае неизвестен. Поскольку теория вложения формулируется в объемлющем простран-

стве Минковского, роль «физического» времени для такой формулировки гравитации может играть его времениподобная координата у0.

Еще одной проблемой является формулировка принципа причинности в теории гравитации. Обычно в квантовой теории поля принцип причинности означает, что операторы, относящиеся к областям, разделенным пространственно-подобным интервалом, должны коммутировать. При обычной формулировке гравитации в терминах метрики д^ сложно сформулировать такой принцип, поскольку интервал между точками определяется метрикой, которая сама является оператором. Поэтому для данной пары точек пространства-времени нельзя в абсолютном смысле, т. е. независимо от конкретного вектора состояния, сказать, каким они разделены интервалом.

Если описывать гравитацию в рамках теории вложения, то можно построить вариант теории вложения, имеющий вид теории поля в объемлющем пространстве, и тогда причинность можно определить обычным для квантовой теории поля образом. В работе [45] был предложен такой вариант теории вложения. В этой «теории разбиения» заданное в объемлющем пространстве поле описывает множество невзаимодействующих четырехмерных поверхностей, каждая из которых удовлетворяет тем же уравнениям, что и в теории вложения, и может рассматриваться как наше пространство-время. Канонический формализм для теории разбиения построен в статье [46].

Физическое содержание теории разбиения инвариантно относительно преобразования «перенумерации» поверхностей (см. подробности в Главе 3), сами поверхности описываются безкоординатным образом (на поверх-

ностях координаты не вводятся) и каждая из них удовлетворяет уравнениям Редже-Тейтельбойма. Таким образом, уравнения движения теории разбиения оказываются инвариантны относительно перенумерационной симметрии. Однако действие теории разбиения, построенное по аналогии с действием Эйнштейна-Гильберта, хоть и приводит к уравнениям Режде-Тейтельбойма, оказывается не инвариантным относительно преобразования перенумерации, которое полагается физической симметрией теории. Поскольку эта неинвариантность действия может сыграть свою роль при квантовании теории, с помощью вспомогательных переменных был сконструирован альтернативный инвариантный вид действия [47]. Если ввести в рассмотрение координаты на поверхности, что крайне нежелательно, то можно показать без прямого вычисления, что новое действие приводит к тем же уравнениям движения. Глава 3 посвящена прямому выводу уравнений движения теории разбиения из инвариантного действия без введения в рассмотрение координат на поверхности.

Для проведения канонического квантования теории необходимо сформулировать ее в канонической (гамильтоновой) форме. Для теории вложения это оказывается сложной задачей. Если брать, как это обычно делается в теории вложения, действие теории в форме Эйнштейна-Гильберта, в котором все величины выражены через новую переменную - функцию вложения, которая задает четырехмерную поверхность в объемлющем пространстве, то оно будет содержать производные по времени выше первых. Гамильтонова формулировка в этом случае требует использования специальных методов, такой подход развивался в работах [18,48]. Однако можно заметить, что, отбрасывая в действии поверхностные члены, можно при-

вести его к виду, не содержащему производных по времени выше первых. В этом случае канонический формализм развивается обычным способом, но либо часть связей не удается записать в явном виде [49], либо для их записи нужно вводить дополнительные переменные, в результате чего в системе связей появляются связи второго рода [22]. Некоторые результаты по квантованию теории вложения были получены в работах [22,50].

Возможность упростить канонический формализм теории вложения была замечена еще в работе [16], одновременно при этом решается проблема упомянутых выше лишних решений (Т. Редже и К. Тейтельбойм рассматривали предлагаемую ими теорию как переформулировку ОТО, поэтому возможность появления лишних решений воспринималась как проблема). Для этого нужно кроме связей, появляющихся в каноническом формализме, дополнительно, ad hoc, наложить еще четыре так называемые «эйнштейновские» связи (4 из 10 уравнений Эйнштейна). В результате возникает формулировка гравитации Редже-Тейтельбойма, оказывающаяся эквивалентной формулировке Эйнштейна. В пионерской работе Т. Редже и К. Тейтельбойма канонический формализм для теории вложения с наложением дополнительных связей, которые убирают лишние решения уравнений движения, получен некорректно, так как в записи одной из связей допущена ошибка. Исправленный вариант такого канонического формализма по «внутреннему» времени х° записан только в 2007 году в работе [24]. Было найдено, что гамильтониан теории сводится к линейной комбинации 8 связей (4 из которых это наложенные дополнительно «эйнштейновские» связи), и была вычислена [51] алгебра связей первого рода, которую эти связи образуют. Также было показано соотношение между этой алгеброй

и алгеброй, описывающей ОТО в подходе АДМ [44].

Как было упомянуто выше, в связи с существованием проблемы выбора времени при описании гравитации, внутреннее время ж0 является плохим выбором времени при квантовании теории. В теории вложения появляется другой кандидат - внешнее время у0, и возникает задача канонического квантования теории по этому времени, для чего нужно научиться строить канонический формализм по этому времени. Это можно сделать, если отождествить внешнее и внутреннее времена введением калибровочного условия у° = х°. Глава 1 настоящей диссертации посвящена исследованию такого подхода. Изучен вопрос о том, меняются ли уравнения движения теории как это часто бывает после введения такого калибровочного условия в действии. Также изучен соответствующий канонический формализм по внешнему времени для теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей.

В связи с тем, что общая теория относительности без привлечения дополнительных сущностей не может объяснить ряд важных наблюдений, обычно связываемых с тёмной материей (прямое детектирование которой пока не проведено), можно рассматривать наличие «лишних» решений в теории вложения не как проблему, а как возможность. Можно пытаться использовать их как естественно возникающее описание эффектов, которые с точки зрения ОТО соответствуют присутствию темной материи. Такой подход развивается в работах [24,25,30,52], он аналогичен, используемому в рамках миметической гравитации [53]. Поэтому в настоящее время стала актуальной задача построения канонического формализма для исходной формулировки теории вложения, без наложения дополнительных связей.

Такая задача оказывается нетривиальной, так как нет возможности записать одну из связей даже в виде алгебраического выражения, поэтому в таком подходе она ранее не была решена. Решению этой задачи посвящена глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Варианты канонического формализма и уравнений движения для гравитации в подходах теорий вложения и разбиения»

Актуальность темы.

Изучение теорий гравитации, отличных от теории Эйнштейна является актуальной задачей, так как общая теория относительности, несмотря на все успехи в описании гравитации, не описывает ряд важных явлений, связанных, например, с темной материей (которую пока не удалось детектировать напрямую). Также альтернативные теории могут помочь в построении самосогласованной квантовой теории гравитации.

Целью диссертационной работы является исследование теории вложения и теории разбиения, которое является подготовительными шагами на пути к квантованию этих формулировок теории гравитации.

В соответствии с этим были поставлены следующие задачи:

(1) Построить канонический формализм для теории вложения с использованием времени объемлющего пространства и найти соответствующую алгебру связей.

(2) Записать канонический формализм для исходной формулировки теории вложения без наложения дополнительных связей и получить алгебру естественно возникающих в теории связей.

(3) Для теории разбиения - варианта теории вложения, имеющего вид теории поля в объемлющем пространстве - найти способ вывода без промежуточного введения координат на поверхностях уравнений движения, соответствующих новому виду действия теории, инвариантному относи-

тельно перенумераций поверхностей.

Научная новизна.

В рамках работы были проведены исследования теорий вложения и разбиения. Впервые получено каноническое описание гравитации в виде теории вложения с использованием времени объемлющего пространства.

Впервые получен канонических формализм полной теории вложения, при неявном задании одной из связей.

Впервые безкоординатным способом проведено вычисление уравнений движения теории разбиения с использованием нового вида действия.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты в дальнейшем могут использоваться при попытках построения корректной квантовой теории гравитации в форме теорий вложения или разбиения. Построенное каноническое описание теории вложения по времени объемлющего пространства с дополнительным наложением эйнштейновских связей может использоваться при аналогичном каноническом описании теории разбиения, которая после наложения эйнштейновских связей оказывается переформулировкой ОТО в виде теории поля в плоском объемлющем пространстве. Возможность проведения вычислений в теории разбиения без введения координат на поверхностях может использоваться при анализе квантовой формулировки теории с использованием функционального интеграла.

Методология и методы исследования. Для исследования теории вложения и ее новой формулировки в виде теории поля в плоском объемлющем пространстве используются стандартные методы канонического подхода и вариационного исчисления.

Достоверность результатов обеспечивается тем, что для исследований теорий вложения и разбиения используются хорошо изученные стандартные вариационный метод и канонический подход.

Результаты, полученные в рамках исследования, сравниваются с результатами, полученными для общей теории относительности в АДМ формализме и для теории гравитации Редже-Тейтельбойма.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) Показано, что для теории вложения переход от внутреннего времени ко времени объемлющего пространства в рамках классического описания не меняет физического содержания теории. Найдено каноническое описание теории по времени объемлющего пространства.

(2) Построен канонический формализм для полной (без наложения дополнительных связей) формулировки теории вложения, несмотря на запись одной из связей в неявном виде. Вычислена соответствующая алгебра связей первого рода.

(3) Для теории разбиения с инвариантным относительно перенумераций поверхностей действием проведено прямое вычисление уравнений движения без промежуточного введения координат на поверхностях.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и школах:

1. Международная конференция «Science and Progress» 2013 (Санкт-

Петербург, Россия, 2013 г.)

Conference Abstracts International Students conference "Science and Progress-

SPb.: SOLO, 2013 - 136 pp. ISBN 978-5-98340-318-5

2. Международная конференция «Science and Progress» 2014 (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.)

https://phys.spbu.ru/files/Book-of-abstracts-2014.pdf

3. 53 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия, 2015 г.).

http : //www. ccsem. inf il. it/issp2015/

4. Международная конференция «Models in quantum field theory» MQFT — 2015, посвягцённая А.H. Васильеву (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

http ://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/list_e.htm

5. LIV Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Ро-гцино, Россия 2020 г.).

http ://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/prog/school_prog_2020.pdf

6. Международная конференция «PhysicA.SPb/2020» (Санкт-Петербург, Россия, 2020 г.).

http ://physica.spb.ru/archive/physicaspb2020/

7. VII Всероссийский молодежный научный форум с международным участием «Open Science 2020» (Гатчина, Россия, 2020 г.).

https://www.elibrary.ru/item.asp?id=45652180

(награждена дипломом победителя конкурса лучших устных докладов в секции «Теоретическая физика»)

8. Национальная (Всероссийская) конференция по естественным и гуманитарным наукам с международным участием «Наука СПбГУ -

2020» (Санкт-Петербург, Россия, 2020 г.).

https://events.spbu.ru/events/science-2020

9. Международная конференция по естественным и гуманитарным наукам - «Science SPbU - 2020» (Санкт-Петербург, Россия, 2020 г.).

https://events.spbu.ru/events/science-spbu

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus:

1. S.A. Paston, E.N. Semenova, «External time canonical formalism for gravity in terms of embedding theory», Gravitation and Cosmology, 2015, Vol. 21, No. 3, pp. 181-190

2. S. A. Paston, E. N. Semenova, V. A. Franke and A. A. Sheykin, «Algebra of Implicitly Defined Constraints for Gravity as the General Form of Embedding Theory», Gravit. Cosmol. (2017) 23:1

3. S. A. Paston, E. N. Semenova and A. A. Sheykin, «Canonical description for formulation of embedding gravity as a field theory in a flat spacetime», Symmetry 2020, 12(5), 722

4. Семенова E.H., Исследование обладающего дополнительной симметрией действия теории разбиения // OPEN SCIENCE 2020: сборник тезисов VII Всероссийского молодёжного научного форума (Гатчина, 18-20 нояб. 2020 г.). - М.: ФГБУ ПИЯФ, 2020. - С.31-32.

Личный вклад автора.

Все основные результаты, изложенные в диссертации, получены соискателем лично либо при его прямом неотделимом участии в соавторстве.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений к двум главам и списка литературы из 71 наименования. Работа изложена на 112 страницах.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, рассмотрена степень разработанности темы исследования, формулируются задачи работы, приводится краткое содержание глав.

Первая глава посвящена переходу ко времени объемлющего пространства в каноническом описании эквивалентного ОТО варианта теории вложения. Приведены примеры фиксации калибровки в действии, рассмотрены уравнения движения теории при использовании внешнего времени. Получена алгебра связей.

Вторая глава посвящена каноническому описанию теории вложения в полном виде — без наложения дополнительных связей первого рода. Получена алгебра связей при неявном задании одной из них.

Третья глава посвящена исследованию альтернативного вида действия теории разбиения. Получен вывод уравнений движения без введения координат на поверхности.

В приложения во второй и третей главе вынесены наиболее объемные вычисления.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1. Канонический формализм по внешнему времени для гравитации в форме теории вложения

В рамках теории вложения наше четырехмерное пространство-время рассматривается как четырехмерная поверхность в плоском объемлющем пространстве большего числа измерений (многомерном пространстве Мин-ковского). При этом динамической переменной, описывающей гравитационное поле, оказывается не метрика д^(ха), а определяющая поверхность функция вложения уа(ха) (здесь и далее ... = 0,1, 2, 3, а,Ь,... = 0,1,..., N — 1, где N - число измерений объемлющего пространства). Размерность объемлющего пространства удобно выбрать в соответствии с теоремой Жане-Картана [54,55], которая утверждает, что произвольное ри-маново пространство размерности п может быть локально изометрически вложено в произвольное риманово пространство (в том числе и в плоское), размерность которого больше или равна

N = "(" + 1). (1.1)

На случай неположительной сигнатуры пространства эта теорема была обобщена А. Фридманом [56]. При этом входящее в N количество про-странственноподобных и времениподобных направлений больше или равно их количеству во вложенном пространстве. Далее будем считать, что N = 4(4 + 1)/2 = 10 (см., например, [57]), индексы а,Ь,... принимают значения 0,1,...,9, а поднимаются и опускаются с помощью плоской метри-

ки объемлющего пространства Будем также предполагать, что объемлющее пространство содержит только одно времениподобное направление, т. е. представляет собой пространство Минковского Я1'9, и будем использовать сигнатуру (+, —, -,..., —). Метрика выражается через функцию вложения по формуле индуцированной метрики [57]

(х) = d^ ya(x)dvyb(x)^ab. (1.2)

В качестве действия в теории вложения обычно используется стандартное действие Эйнштейна-Гильберта с произвольным вкладом материи Г

s = j —R + , (1.3)

здесь к — гравитационная постоянная Эйнштейна, R — скалярная кривизна, а метрика является вложенной и выражается (1.2) через функцию вложения уа(х).

При изучении канонического формализма теории вложения с действием, записанным в виде (1.3), возникает проблема, связанная с тем, что в соответствующий лагранжиан теории сложным образом входят вторые производные по времени от независимой переменной уа(х). На первый взгляд, это затрудняет построение канонического формализма и требует применения специальных методов исследования такого лагранжиана. Исследования в этом направлении начались с работы В. Tanna [18]. В ней методом Феррариса-Франкавильи [58] был построен канонический формализм. Такой подход с середины двухтысячных годов развивался в работах [48,59-61], где к теории вложения (с учетом поверхностного вклада) применяется подход Гамильтона-Остроградского и анализируется возни-

кающая алгебра связей. Этот же лагранжиан исследуется в работе [62] без использования подхода Гамильтона-Остроградского.

Однако еще в оригинальной статье [16], а также в работе [49] отмечалось, что лагранжиан теории вложения можно (с точностью до отбрасываемых поверхностных членов в действии) взять в форме, аналогичной лагранжиану АДМ (для краткости вклад материи и общий множитель — 1/{2к) опускаем):

s = j dtxV—g^R + №)2 — кгкк, (1.4)

3

где R - скалярная кривизна трехмерной поверхности t = const, а, Кц~ -вторая квадратичная форма этой поверхности, причем индексы этой величины поднимаются и опускаются с помощью трехмерной метрики дц~. В такой форме лагранжиан не содержит производных по времени от функции вложения выше первых, а, следовательно, построение канонического формализма может быть проведено обычным образом.

Получаемые при варьировании действия (1.3) по функции вложения уа(х) уравнения Редже-Тейтельбойма можно записать в двух эквивалентных формах: либо в явно не содержащей производных от независимой переменной уа(х) выше второго порядка

{G^ — кТ^ = 0 (1.5)

(можно показать, что Gмv выражается через производные первого и второго порядка от уа(ж)), либо в виде своего рода уравнения непрерывности

— к )dvya) = 0, (1.6)

где Gмv - тензор Эйнштейна, а Т^ - тензор энергии-импульса материи,

^ = Е^диуа - вторая основная форма поверхности, - ковариантная производная, подробнее в [24]. Эквивалентность (1.5) и (1.6) следует из равенства = 0 и ковариантного закона сохранения = 0, ко-

торый следует из уравнений движения материи.

Легко заметить, что решения уравнений Эйнштейна являются решениями уравнений Редже-Тейтельбойма, при этом обратное неверно. Уравнения Редже-Тейтельбойма могут содержать так называемые «лишние» (то есть не эйнштейновские) решения, а значит, теория вложения не эквивалентна ОТО, а является ее расширением.

В силу того, что подход Редже-Тейтельбойма изначально возник не как обобщение эйнштейновской динамики, а как формулировка эйнштейновской гравитации в терминах новых переменных, зачастую на динамику дополнительно налагались т.н. эйнштейновские связи:

— к = 0, (1.7)

где ± — направление, ортогональное некоторой поверхности начальных данных, на которой заданы эти связи. Корректность введения в теорию дополнительных связей обсуждалась, среди прочего, в работе [63]. Позднее было показано [24], что наложение этих связей на начальные данные делает динамику эквивалентной эйнштейновской и во все остальные моменты времени. Канонический формализм для ОТО в формулировке Редже-Тейтельбойма с использованием времени на поверхности был построен в работе [24], а вид алгебры связей первого рода получен в работе [51].

Целью данной главы является исследование канонического формализма по «внешнему» времени у° для формулировки гравитации Редже-

Тейтельбойма. Для этого нужно перейти от описания поверхности функцией вложения уа(ха) к описанию функцией ул(у0, хг) (здесь и далее г,к,... = 1, 2,3, и А,В,... = 1,..., 9), задающей динамику по времени у0 трехмерного сечения нашего пространства-времени. Такой переход сводится к наложению условия

у°(ха) = х0, (1.8)

частично фиксирующего общековариантный произвол выбора координат на поверхности, т. е. являющегося частичной фиксацией калибровки. Переход от «внутреннего», выбираемого произвольно времени х0 к «внешнему» времени у0 объемлющего пространства Минковского кажется естественным с точки зрения проблемы выбора времени при квантовании. Кроме того, такой переход оказывается промежуточным шагом на пути к построению канонического формализма для упоминавшейся выше теории разбиения, предложенной в работе [45]. Это так, поскольку теория разбиения описывает множество поверхностей, каждая из которых соответствует единственной поверхности теории вложения, но описывает без координатным образом (координаты хм на поверхностях не вводятся), так что в каноническом формализме можно использовать только время объемлющего пространства.

Использование в действии некоего калибровочного условия в общем случае может менять физическое содержание теории. В разделе 1.1 рассмотрены примеры простых теорий, в которых фиксация в действии может как менять, так и не менять уравнения движения, и показано, как связаны канонические описания полных теорий и теорий с зафиксирован-

ной калибровкой. В разделе 1.2 исследуется влияние использования в действии условия (1.8) на уравнения движения теории вложения. Раздел 1.3 посвящен построению канонического описания формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма по «внешнему» времени, а в разделе 1.4 вычисляется алгебра связей такой теории. В разделе 1.5 полученные результаты сравниваются с каноническим формализмом по «внутреннему» времени, полученным в работах [24,51]. Связь между этими двумя формализмами сложно установить априори, не проделав полных вычислений, поскольку они строятся не полностью стандартным образом по действию теории, а при построении дополнительно накладываются эйнштейновские связи. Полученные в данной главе результаты опубликованы в статье [64].

1.1. Примеры фиксации калибровки в действии

1.1.1. Калибровка, изменяющая теорию

Рассмотрим пример теории, в которой фиксация калибровки в действии приводит к изменению уравнений движения. Рассмотрим действие свободной электродинамики

1/ ^ = / А (2 * * - 4 ад.) ,

= - д„. (1.9)

Уравнения движения имеют вид

= 0. (1.10)

Отметим, что эти четыре уравнения связаны дифференциальным тождеством дуд^Г^ = 0. Запишем хорошо известный для этой теории канони-

ческий формализм. Имеем обобщенные импульсы ж i = щ = 0, что порождает первичную связь ф\ = ж0 ~ 0. Записав выражение для гамильтониана и найдя вторичную связь ф2 = ~ 0, окончательно находим обобщенный гамильтониан теории в виде

н = у2ЭД + 1 ^Ггк + А101 + , (1.11)

гДе М,2 множители Лагранжа. Связи ф1, ф2 образуют систему связей первого рода, поскольку их скобки Пуассона равны нулю.

Теперь используем в действии калибровку А0 = 0, в результате чего оно примет вид

S = jdAx (^(доАг)(доАг) - 4FikF^ . (1.12)

Варьируя по оставшимся переменным A¡7 получаем новые уравнения движения

= 0, (1.13)

которых на одно меньше по сравнению с (1.10). Таким образом, видно, что в данном примере фиксация калибровки в действии приводит к неэквивалентной теории, в которой одно из уравнений потеряно. Можно отметить, что из-за связывающего уравнения (1.10) дифференциального тождества потерянное уравнение сводится к условию на начальные данные, которое будучи наложенным сохраняется вследствие оставшихся уравнений движения (см. разбор этого примера в работе [51]), тем не менее теория (1.12) оказывается не эквивалентна теории (1.9).

Запишем канонический формализм для теории (1.12). Для обобщенного импульса имеем -k¡ = связи отсутствуют, и для гамильтониана

новой теории находим

1 1

#new = JЛ ^2+ 4^^ ' (1.14)

Теперь посмотрим, что получится, если для полной теории (1.9) уже в га-мильтоновом формализме зафиксировать калибровку, вводя ее в качестве дополнительного условия % = А0 ~ 0. Поскольку скобка Пуассона связей {фх, х} = 0, то это связи второго рода и их можно решить, выразив с их помощью пару сопряженных переменных А0, через (в общем случае) другие переменные в лагранжиане первого порядка [65]:

73X ( ЩОоЛо + ПгОо,

L(1) d3x (щдоАо + пгдоA¿) - H^j

= j d3x^do Аг - ^1 зд + 1 Flk Flk + Х2ф2) ) , (1.15)

Ao=0,^o=0 1

2 ВД + 4 ^

откуда находим выражение для гамильтониана полной теории (1.9) с исключенной парой переменных:

Н = J d3x(^ 1 од + 4 Flk Flk + МФ^ . (1.16)

Как видно, в рассмотренном случае этот гамильтониан, описывающий полную теорию, не совпадает с гамильтонианом новой теории (1.14), отличие заключается в слагаемом, содержащем связь ф2 с множителем Лагранжа. Именно эта связь и является потерянным уравнением движения, отличающим (1.10) от (1.13).

Рассмотренный пример показывает, что фиксация калибровки в действии в общем случае приводит к изменению теории, в отличие от фиксации калибровки в уравнениях движения или же в гамильтоновом формализме путем введения дополнительных условий. Однако в некоторых случаях и

фиксация калибровки в действии может не изменять теории, соответствующий пример рассмотрен в разделе 1.1.2.

1.1.2. Калибровка, не изменяющая теорию

Теперь рассмотрим пример теории, в которой фиксация калибровки в действии не приводит к изменению уравнений движения. Рассмотрим действие релятивистской частицы

3 = "У йт ^х * (г )х Дт), х*(т) = ^^(т). (1.17)

Заметим, что эта теория имеет много общего с описанием гравитации в рамках теории вложения. Уравнения движения для действия (1.17) имеют вид

и* = 0, и* = —. (1.18)

ос ос у

Отметим, что эти четыре уравнения связаны алгебраическим тождеством и^й* = 0. Запишем хорошо известный для этой теории канонический формализм. Имеем обобщенный импульс р* = что порождает первичную связь ф = — 1 ~ 0. Легко проверить, что гамильтониан для этой теории оказывается равен нулю, как и для любой теории, обладающей симметрией относительно перепараметризации времени, а обобщенный гамильтониан сводится к слагаемому, содержащему связь с множителем Лагранжа:

Н = \ф. (1.19)

Теперь используем в действии калибровку - координатное условие х°(т) = г, отождествляющее время частицы («внутреннее» время, ср. с

(1.8)) с временем пространства Мннковского («внешним» временем). В результате действие примет вид

которые совпадают с тремя из четырех уравнений (1.18), а четвертое уравнение оказывается потерянным. Однако в данном случае, в отличие от рассмотренного в разделе 1.1.1, из-за связывающего уравнения (1.18) алгебраического тождества и условия и0 = 0 это потерянное уравнение оказывается следствием оставшихся трех. Действительно, из (1.21) следует, что величина ос^ос^ те зависит от г, а отсюда сразу же следует выполнение уравнения (1.18) при д = 0.

Таким образом, в данном примере фиксация калибровки в действии оставляет теорию неизменной, приводя к тем же уравнениям движения. Этот факт можно объяснить и с геометрической точки зрения. Действительно, уравнения движения следуют из требования равенства нулю вариации действия при малых вариациях 8х/(т) независимой переменной. Но, поскольку вид действия (1.17) требует времениподобности в каждой точке касательного к мировой линии частицы вектора произвольная малая деформация мировой линии частицы может быть обеспечена вариацией 5хИ(т), у которой 5х0(т) = 0. Поэтому неважно, проводится ли варьирование переменной х0(т), или же, из-за использования калибровки в действии, не проводится. В точности такая же ситуация реализуется и для описания

(1.20)

Варьируя по оставшимся переменным х\ получаем новые уравнения дви-

жения

(1.21)

гравитации в рамках теории вложения, уравнения движения которой анализируются в разделе 1.2.

Рассмотрим хорошо известный канонический формализм для теории (1.20). Записывая выражение для импульсарг и убеждаясь, что связи не возникают, легко получить выражение для гамильтониана

Япет = \Л + РгРг. (1.22)

Теперь посмотрим, что получится, если для полной теории (1.17) уже в га-мильтоновом формализме зафиксировать калибровку, вводя ее в качестве дополнительного условия % = х0 — т ~ 0. Поскольку скобка Пуассона связей {ф, х} = 0, то это связи второго рода и их можно решить, выразив с их помощью пару сопряженных переменных х0,р0 через другие переменные в лагранжиане первого порядка (при этом дляр0 нужно брать отрицательное значение, поскольку р0 = —и0 < 0 при х0 = г):

Ь(1) = (ро±° + РгХг — Н) |х0=т^=—-1+-— = ргХг— х/1+ РгРг = РгХ1 — Н, (1.23)

откуда находим, что выражение для гамильтониана Н полной теории (1.17) с исключенной парой переменных совпадает с гамильтонианом новой теории (1.22).

Таким образом, в рассмотренном примере канонический формализм, возникающий после фиксации калибровки в действии, может быть получен в результате фиксация калибровки в каноническом формализме полной теории путем введения дополнительного условия. Для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма нельзя быть заранее уверенным в аналогичном результате, поскольку она не следует напрямую из действия, а возникает в результате дополнительного наложения эйнштейновских связей в

процессе построения канонического формализма.

1.2. Уравнения движения гравитации Режде- Тейтел ьбой ма при использовании «внешнего» времени

Исследуем, изменятся ли уравнения движения теории вложения, если в качестве времени использовать «внешнее» время, т. е. наложить условие (1.8) в действии.

Поскольку вклад материи принципиально не меняет дальнейших рассуждений, поэтому для простоты изложения ограничимся случаем отсутствия таковой и вместо (1.3) используем упрощенное действие, опустив общий множитель с гравитационной постоянной:

5 = у (1.24)

Варьируя это действие, по функции вложения уа(х) можно получить уравнения движения теории [16] в виде

С^ Ъ^ = 0, (1.25)

где С^ - тензор Эйнштейна, а Ь^ = ^^^ уа - вторая основная форма поверхности (где - ковариантная производная, подробности о формализме теории вложения и используемых обозначениях см. в [24,51]).

В разделе 1.1 мы показали, что фиксация калибровки в действии может как приводить, так и не приводить к изменению уравнений движения. Исследуем, какой из этих вариантов реализуется в случае использования условия (1.8) в действии теории (1.24), то есть изменятся ли при этом уравнения (1.25). Приравнивая к нулю вариацию действия при произвольной

вариации уА(х) и выполнении условия (1.8):

бв = — У Л ~д С0" =

= — У Л ~д Са» (е,лд„6уА + е^^И) = 0 (1.26)

(здесь е^А = дауА)-, можно получить уравнения движения теории с «внешним» временем в виде

ЬА„ = 0. (1.27)

Это девять из десяти уравнений Редже-Тейтельбойма (1.25).

На первый взгляд теория с «внешним» временем оказывается неэквивалентной исходной, поскольку уравнений на одно меньше. Однако это не так, поскольку оказывается, что недостающее уравнение

С^ = 0 (1.28)

(здесь индекс «(0)» пишется в скобках, чтобы показать, что это нулевая компонента десятимерной величины, а не четырехмерной) следует из остальных уравнений (1.27). Доказать это можно от противного. Пусть уравнения (1.27) выполнены, а (1.28) - нет. Тогда вектор иа = Саиимеет только нулевую компоненту, следовательно, он является времениподоб-ным. Однако известно (см., например, [24]), что для любого касательного к поверхности вектора та выполняется уравнение ш^о01 = 0, а значит таиа = 0, т. е. вектор иа ортогонален к поверхности. Поскольку мы предполагаем, что в объемлющем пространстве есть только одно временипо-добное направление, а в каждой точке поверхности есть касательный к ней времениподобный вектор, мы получаем противоречие.

Таким образом мы получаем, что уравнения движения теории с «внешним» временем оказываются эквивалентны уравнениям Редже-Тейтельбойма, при выводе которых используется произвольный выбор времени. Тот же результат можно получить и из геометрических соображений. Действительно, поверхность в каждой точке имеет времениподобный касательный вектор, поэтому ее произвольные малые деформации можно задавать, смещая поверхность только вдоль пространственноподобных направлений. Следовательно, приращения действия при произвольной вариации уа сводятся к

л

его приращениям при вариации только компонент у^ и уравнения движения совпадают.

1.3. Канонический формализм по «внешнему» времени

В предыдущем пункте мы увидели, что использование «внешнего» времени не изменяет уравнений движения теории. Теперь исследуем, как будет выглядеть канонический формализм по «внешнему» времени для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма, т. е. при дополнительном наложении эйнштейновских связей. Для этого наложим условие (1.8) в действии, записанном в полученном в работе [51] виде, в котором явно выделена зависимость от уа = д0уа. Заметим, что при выполнении условия (1.8) трехмерное пространственноподобное подмногообразие ж0 = const пространства-времени оказывается вложено в девятимерное плоское про-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семенова Елизавета Николаевна, 2022 год

Литература

1. Fock, V. A. Geometrisierung der Diracschen Theorie des Elektrons / V. A. Fock // Zeitschrift fur Physik - 1929. - Vol. 57, no. 3-4. - Pp. 261277. — Имеется русский перевод: Фок В. А. Геометризация дираковской теории электрона. В сб. "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", ред. Е. Куранский, М.: Мир, 1979, с. 415-433.

2. Weyl, Н. Elektron und Gravitation. I / Н. Weyl // Zeitschrift fur Physik. _ 1929. - Vol. 56, no. 5-6. - Pp. 330-352.

3. Bronstein, M. P. Quantentheorie schwacher Gravitationsfelder / M. Р Bronstein // Phys. Ztschr. der Sowjetjunion. — 1936. — Vol. 9. — Pp. 140-157. — Имеется русский перевод: Бронштейн М. П. Квантовая теория слабых гравитационных полей, в сб.: Эйнштейновский сборник, 1980-1981. М.: Наука, 1985. С. 267-282.

4. Penrose, R. On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction / R. Penrose // Foundations of Physics. — 2014. — Vol. 44, no. 5. — Pp. 557-575.

5. Sardanashvily, G. Classical gauge gravitation theory / G. Sardanashvily // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. — 2011. - Vol. 08, no. 08. - Pp. 1869-1895.

6. Gupta, S. N. Quantization of Einstein's Gravitational Field: Linear Ap-

proximation / S. N. Gupta // Proceedings of the Physical Society. Section A. - 1952. - Vol. 65, no. 3. - P. 161.

7. Gupta, S. N. Quantization of Einstein's Gravitational Field: General Treatment / S. N. Gupta // Proceedings of the Physical Society. Section A. — 1952. - Vol. 65, no. 8. - P. 608.

8. Ogievetsky, V. I. Interacting field of spin 2 and the Einstein equations / V. I. Ogievetsky, I. V. Polubarinov // Annals of Physics. — 1965. — Vol. 35, no. 2. - Pp. 167 - 208.

9. Ogievetsky, V. I. Infinite-dimensional algebra of general covariance group as the closure of finite-dimensional algebras of conformal and linear groups / V. I. Ogievetsky // Lettere al Nuovo Cimento (1971-1985). - 1973. -Vol. 8, no. 17. - Pp. 988-990.

10. Feynman, R. P. Feynman Lectures on Gravitation / R. P. Feynman. — London: Penguin, 1999.

11. Фаддеев, Л. Д. Ковариантное квантование гравитационного поля / Л. Д Фаддеев, В. Н. Попов // УФК - 1973. - Vol. 111. - Pp. 427-450.

12. Boulware, D. G. Can Gravitation Have a Finite Range? / D. G. Boulware, S. Deser // Phys. Rev. D. - 1972. - Dec. - Vol. 6. - Pp. 3368-3382.

13. de Rham, C. Resummation of Massive Gravity / C. de Rham, G. Gabadadze, A. J. Tolley // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Jun. — Vol. 106. - P. 231101.

14. Rickles, D. A Brief History of String Theory / D. Rickles. The Frontiers Collection. — Springer Berlin Heidelberg, 2014.

15. Марша,ков, А. В. Теория струн или теория поля? / А. В. Маршаков // Успехи физических наук. — 2002. — Vol. 172, по. 9. — Pp. 977-1020.

16. Regge, Т. General relativity a la string: a progress report / T. Regge, C. Teitelboim // Proceedings of the First Marcel Grossmann Meeting, Trieste, Italy, 1975 / Ed. by R. Ruffini. — North Holland, Amsterdam: 1977.

- Pp. 77-88.

17. Pavsic, M. Classical theory of a space-time sheet / M. Pavsic // Phys. Lett. A. - 1985. - Vol. 107. - Pp. 66-70.

18. Tapia, V. Gravitation a la string / V. Tapia // Class. Quant. Grav. — 1989. _ v0i. 6. _ p. L49.

19. Maia, M. D. On the integrability conditions for extended objects / M. D. Maia // Class. Quant. Grav. - 1989. - Vol. 6. - Pp. 173-183.

20. Bandos, I. A. String-Like Description of Gravity and Possible Applications for F-theory / I. A. Bandos // Mod. Phys. Lett. A. - 1997. - Vol. 12. -Pp. 799-810.

21. Estabrook, F. B. Constraint-free theories of gravitation / F. B. Estabrook, R. S. Robinson, H. R Wahlquist // Class. Quant. Grav. — 1999. — Vol. 16.

- Pp. 911-918.

22. Karasik, D. Geodetic Brane Gravity / D. Karasik, A. Davidson // Phys. Rev_ D _ 2003. - Vol. 67. - P. 064012.

23. Bustamante, M. D. Classical Gravitation as free Membrane Dynamics / M. D. Bustamante, F. Debbasch, M.-E. Brachet — 2007. arXiv:gr-qc/0509090.

24. Паст,он, С. А. Каноническая формулировка вложенной теории гравитации, эквивалентная ОТО Эйнштейна / С. А. Пастон, В. А. Франке // Теоретическая и математическая физика,. — 2007. — Т. 153, № 2. —

C. 271-288.

25. Davidson, А. Л = 0 Cosmology of a Brane-like universe / A. Davidson // Class. Quant. Grav. - 1999. - Vol. 16. - P. 653.

26. Davidson, A. Extensible Black Hole Embeddings / A. Davidson, U. Paz // Found. Phys. - 2000. - Vol. 30, no. 5. - Pp. 785-794.

27. Davidson, A. Cold Dark Matter from Dark Energy / A. Davidson,

D. Karasik, Y. Lederer. — 2001. arXiv:gr-qc/0111107.

28. Karasik, D. Geodesic Brane Gravity / D. Karasik, A. Davidson // Phys. Rev_ D _ 2003. - Vol. 67. - P. 064012.

29. Фаддеев, Л. Д. Новые динамические переменные теории тяготения Эйнштейна / Л. Д. Фаддеев // Теоретическая и математическая физика. - 2011. - Т. 166, № 3. - С. 323-335.

30. Paston, S. A. From the Embedding Theory to General Relativity in a result of inflation / S. A. Paston, A. A. Sheykin // Int. J. Mod. Phys. D. - 2012.

- Vol. 21, no. 5. - P. 1250043.

31. Willison, S. A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity / S. Willison - 2013. arXiv:1311.6203.

32. Paston, S. A. Embedding theory as new geometrical mimetic gravity / S. A. Paston, A. A. Sheykin // The European Physical Journal C. — 2018.

- Vol. 78, no. 12. - P. 989.

33. Paston, S. A. Non-relativistic limit of embedding gravity as General Relativity with dark matter / S. A. Paston // Universe. — 2020. — Vol. 6, no. 10. - P. 163.

34. Maartens, R. Brane-World Gravity / R. Maartens, K. Koyama // Living Reviews in Relativity. — 2010. — Vol. 13. — P. 5.

35. Deser, S. Mapping Hawking into Unruh thermal properties / S. Deser, O. Levin // Phys. Rev. D. - 1999. - Vol. 59. - P. 064004.

36. Banerjee, R. A New Global Embedding Approach to Study Hawking and Unruh Effects / R. Banerjee, B. R. Majhi // Phys. Lett. B. - 2010. - Vol. 690. - P. 83.

37. Paston, S. A. When does the Hawking into Unruh mapping for global embeddings work? / S. A. Paston // JHEP. - 2014. - Vol. 06. - P. 122.

38. Collinson, C. D. Embeddings of the Plane-Fronted Waves and Other SpaceTimes / C. D. Collinson //J. Math. Phys. - 1968. - Vol. 9. - P. 403.

39. Paston, S. A. Embeddings for Schwarzschild metric: classification and new results / S. A. Paston, A. A. Sheykin // Class. Quant. Grav. — 2012. — Vol. 29. - P. 095022.

40. Paston, S. A. Global embedding of the Reissner-Nordstrom metric in the flat ambient space / S. A. Paston, A. A. Sheykin // SIGMA. — 2014. — Vol. 10. - P. 003.

41. Pavsic, M. Resource Letter on geometrical results for Embeddings and Branes / M. Pavsic, V. Tapia - 2000. arXiv:gr-qc/0010045.

42. Паст,он, С. А. Гравитация как теория вложения / С. А. Пастон. — Saarbrucken: LAMBERT Academic Publishing, 2012.

43. Carlip, S. Quantum Gravity: a Progress Report / S. Car lip / / Rept. Prog. Phys. - 2001. - Vol. 64. - Pp. 885-942.

44. Arnowitt, R. The Dynamics of General Relativity / R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner // Gravitation: an introduction to current research / Ed. by L. Witten. - New York: Wiley, 1962. - Pp. 227-265.

45. Пастон, С. А. Гравитация как теория поля в плоском пространстве-времени / С. А. Пастон // Теоретическая и математическая физика,. _ 2011. - Т. 169, № 2. - С. 285-296.

46. Paston, S. A. Canonical description for formulation of embedding gravity as a field theory in a flat spacetime / S. A. Paston, E. N. Semenova, A. A. Sheykin // Symmetry. - 2020. - Vol. 12, no. 5. - P. 722.

47. Град, Д. A. — Законы сохранения при описании гравитации в рамках теории вложения. — выпускная квалификационная работа аспиранта, СПбГУ, Санкт-Петербург, 2019.

48. Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model / R. Capovilla, A. Escalante, J. Guven, E. Rojas // Int. J. Theor. Phys. _ 2009. - Vol. 48. - P. 2486.

49. Franke, V. A. The ADM Lagrangian in extrinsic gravity / V. A. Franke, V. Tapia 11 Nuovo Cvmento B. - 1992. - Vol. 107, no. 6. - P. 611.

50. Pavsic, M. On The Quantization Of Gravity By Embedding Space-Time In

A Higher Dimensional Space / M. Pavsic // Class. Quant. Grav. — 1985. _ Vol. 2. - P. 869.

51. Paston, S. A. Constraint algebra for Regge-Teitelboim formulation of gravity / S. A. Paston, A. N. Semenova // Int. J. Theor. Phys. — 2010. — Vol. 49, no. 11. - Pp. 2648-2658.

52. Sheykin, A. A. The approach to gravity as a theory of embedded surface / A. A. Sheykin, S. A. Paston // AIP Conference Proceedings. — 2014. — Vol. 1606. - P. 400.

53. Chamseddine, A. H. Mimetic dark matter / A. H. Chamseddine, V. Mukhanov // Journal of High Energy Physics. — 2013. — Vol. 2013, no. 11. - P. 135.

54. Janet, M. Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donne dans un espace euclidien / M. Janet // Ann. Soc. Polon. Math. — 1926. — Vol. 5. - Pp. 38-43.

55. Kartan, E. Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donne dans un espace euclidien / E. Kartan // Ann. Soc. Polon. Math. — 1927. — Vol. 6. - Pp. 1-7.

56. Friedman, A. Local isometric embedding of Riemannian manifolds with indefinite metric / A. Friedman // J. Math. Mech. — 1961. — Vol. 10. — P. 625.

57. Goenner, H. Local Isometric Embedding of Riemannian Manifolds and Einstein's Theory of Gravitation / H. Goenner // General Relativity and Grav-

itation: One Hundred Years after the birth of Albert Einstein / Ed. by A. Held. - New York: Plenum Press, 1980. - Vol. 1. - Pp. 441-468.

58. Ferraris, M. Energy-momentum tensors and stress tensors in geometric field theories / M. Ferraris, M. Francaviglia // Journal of Mathematical Physics. - 1985. - Vol. 26, no. 6. - Pp. 1243-1252.

59. Capovilla, R. Hamiltonian dynamics of extended objects / R. Capovilla, J. Guven, E. Rojas // Class. Quant. Grav. — 2004. — Vol. 21. — Pp. 55635586.

60. Cordero, R. Ostrogradski approach for the Regge-Teitelboim type cosmology / R. Cordero, A. Molgado, E. Rojas // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol. 79. - P. 024024.

61. Quantum modified Regge-Teitelboim cosmology / R. Cordero, M. Cruz, A. Molgado, E. Rojas // Gen.Rel.Grav. - 2014. - Vol. 46. - P. 1761.

62. Banerjee, R. New Hamiltonian analysis of Regge-Teitelboim minisuperspace cosmology / R. Banerjee, P. Mukherjee, B. Paul // Phys. Rev. D. — 2014. - Feb. - Vol. 89. - P. 043508.

63. Deser, S. New embedding model of general relativity / S. Deser, F. A. E. Pi-rani, D. C. Robinson // Phys. Rev. D. - 1976. - Vol. 14, no. 12. -Pp. 3301-3303.

64. Paston, S. A. External time canonical formalism for gravity in terms of embedding theory / S. A. Paston, E. N. Semenova // Gravitation and Cosmology. - 2015. - Vol. 21, no. 3. - Pp. 181-190.

65. Коноплева, Н. П. Калибровочные поля / Н. П. Коноплева, В. Н. Попов. — Москва: Эдиториал УРСС, 2000.

66. Algebra of Implicitly Defined Constraints for Gravity as the General Form of Embedding Theory / S. A. Paston, E. N. Semenova, V. A. Franke, A. A. Sheykin // Gravitation and Cosmology. — 2017. — Vol. 23, no. 1. — Pp. 1-7.

67. Cahill, K. Path integrals for actions that are not quadratic in their time derivatives / K. Cahill - 2015. arXiv:1501.00473.

68. Семенова, E. H. Исследование обладающего дополнительной симметрией действия теории разбиения // OPEN SCIENCE 2020: сборник тезисов VII Всерос. молодежного науч. форума (Гатчина, 18-20 нояб. 2020 г.). - М.: ФГБУ ПИЯФ, 2020. - С. 31-32.

69. Шейкин, А. А. Теоретико-полевая формулировка гравитации Редже-Тейтельбойма / А. А. Шейкин, С. А. Пастон // Ядерная физика и инжиниринг. - 2015. - Т. 6, № 7-8. - С. 424-426.

70. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — Москва: Физ-матлит, 2004.

71. Шейкин, А. А. — Исследование формулировки гравитации как теории вложения. — магистерская выпускная квалификационная работа, СПбГУ, Санкт-Петербург, 2012.