Вариационная постановка и разработка методов решения задач контактного взаимодействия тел при конечных деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Морев, Павел Геннадьевич

• Морев, Павел Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Морев, Павел Геннадьевич

Введение.

1. Постановка вариационной задачи.

1.1 Описание рассматриваемого класса задач.

1.2 Постановка контактной задачи в общем виде.

1.3 Кинематика и определяющие соотношения конечного упругопласти-ческого деформирования.

1.4 Вариационный принцип и полная система уравнений.

1.5 Учёт изменения локального базиса.

1.6 Зависимость поверхности контакта от времени.

27 Пространственно-временная дискретизация.52,

2.1 Пространственная конечноэлементная дискретизация.

2.2 Вычисление узловых и интегральных (обобщённых) сил.

2.3 Временная дискретизация на основе метода Рунге-Кутта и интегрирование системы разрешающих уравнений.

2.4 Программирование и общая стратегия расчёта.

2.5 Описание алгоритма.*.j.:.

3. Численные примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационная постановка и разработка методов решения задач контактного взаимодействия тел при конечных деформациях»

Сейчас трудно представить создание новых технологий без разработки адекватных математических моделей и их всестороннего исследования в численных экспериментах. Для технологий, связанных с формоизменением твёрдых тел, конечным этапом этих теоретических исследований является решение соответствующей краевой задачи, которая, как правило, оказывается контактной. Вместе с тем такие задачи - одни из самых сложных краевых задач математической физики. Это обусловлено несколькими причинами.

1)Нелинейность дифференциального оператора краевой задачи налагает ограничения на выбор методов численного решения (в частности, не годятся методы на основе принципа суперпозиции или функций Грина).

2)Сложная, меняющаяся по времени картина участвующих в расчёте тензорных полей заставляет прибегать к сильно неравномерной дискретизации, сгущающейся в областях большого градиента этих полей. Ввиду остаточной пласти- -: ческой деформации, меняющей свойства материала, дискретизацию-приходится измельчать не только в области контакта тел в текущий момент времени, но и вблизи участков поверхности, находившихся в зоне контакта до этого момента. В результате дискретизация может оказаться настолько мелкой, что достижение погрешности в 10% на персональном компьютере за разумное время будет пробле- -матичным уже для 2-мерных задач. ~ , - •

3)Граничные условия в контактной задаче нельзя задать явно, поскольку заранее не известны ни формы контактирующих тел, ни поверхности контакта, ни контактные напряжения. Всё это приходится находить в процессе пошагового численного решения с помощью специальных алгоритмов, отслеживающих происходящие в контакте события: касание, отход, прилипание, скольжение и некоторые другие.

Ввиду своей важности и сложности контактные задачи привлекали большое число исследователей как в нашей стране (А.С. Кравчук, B.C. Давыдов, Е.Н. Чу-маченко, Э.Р. Гольник, Н.И. Гундорова, А.А. Успехов и др.), так и за рубежом (G.

Pietrzak, A. Curnier, F. Armero, E. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Bar-lam, E. Zahavi и др.). В результате было разработано немало алгоритмов и пакетов программ (например, [1-7], пакеты ANSYS, NASTRAN, DEFORM). В принципе, они охватывают почти весь диапазон технологических задач, однако на практике получение достоверных результатов для сложных процессов деформирования может оказаться серьёзной проблемой, связанной с подгонкой нескольких параметров, отсутствующих в постановке задачи и влияющих только на вычислительный процесс. Эти параметры могут меняться от задачи к задаче, поэтому их приходится каждый раз подгонять заново. При этом обычным делом является расходимость пошагового расчёта после довольно большого числа шагов, никак не связанная с потерей устойчивости реальной механической системы контактирующих тел. Кроме этого, предлагаемые алгоритмы чрезвычайно сложны, и для своей программной реализации требуют участия как квалифицированных математиков, так и квалифицированных программистов, что может оказаться неприемлемым для исследователей, располагающих небольшим бюджетом.

Таким образом, разработка более экономичных и простых в программировании способов решения остаётся актуальной проблемой. В диссертации предложен новый подход для важного частного случая формоизменения упругопластиче-ского тела при контактировании с абсолютно жёсткими телами, превосходящий известные методы решения сразу по нескольким параметрам. Подход использует метод конечных элемента (МКЭ) и позволяет учитывать сложные законы движения и нагружения абсолютно жёстких тел, а так же большие упругопластические деформации. Причём нагрузки могут быть не только распределёнными, но и интегральными (т. е. суммарными) для каждого из абсолютно жёстких тел. Прежде чем перейти к его изложению, остановимся сначала на наиболее популярных существующих методах. Их три: метод штрафных функций, метод множителей Jla-гранжа и метод множителей Лагранжа с добавками (augmented Lagrangian method). Нет необходимости делать представительный обзор по практической реализации этих методов, поскольку такие обзоры уже существуют - см. [52] и приводимые там ссылки. Вместо этого вкратце изложимшекоторыё^современные работы,; характеризующие все три указанных подхода.

Метод штрафных функций. Его особенностьюявляется использование до- . полнительной переменной, характеризующей пару контактирующих тел, - зазора между ними; Дадим определение этой переменной, следуя [5]. В данной работе использован лагранжев подход. Пусть X и х(/) = — начальное и текущее положения произвольной материальной точки одного из двух контактирующих тел, Z h z(t) = v.(2) (Z,t) - то же самое для другого, Г^ и Г^ - границы этих тел, привязанные к отсчётной конфигурации: Определим проектирующее отображение точек границы одного тела на границу другого Y(Y): Г^ -» Г^ как

Y(X,0 = arg min ш(1)(Х,0 - V(2)(V,0 , , - . . УбГ<2> \ , . , где X e Г^, а верхний индекс указывает на одно из двух контактирующих тел. •: -Зазор^междутелами! V(1)(X,0-V(2)(V(X,0,0 = ,§rn , • - - - ' ' где n— внешняя нормаль к поверхности контакта (г^"^,ifj в.текущей конфи- -гу рации. Необходимо отметить, что данный метод не предполагает.выполнение г,, условия непроникновения, откуда, собственно; и появляется дополнительная пёг ременная g. Вследствие этого поверхности контакта текущей конфигурации не обязаны совпадать. Корректность приведённого определения зазора g следует из того; что, по определению отображения X -> Y(X, t) , вектор в левой части последнего равенства действительно направлен по нормали к поверхности в точке Y(X,/).

Далее авторами [5] формулируется вариационный принцип для системы контактирующих тел, в котором варьируется, в том числе, и переменная g. Соответствующая этой переменной виртуальная работа является вариацией некого функционала, называемого штрафным, входящего в функционал задачи отдельным слагаемым и принимающего нулевое значение, если условие непроникновения в точности выполняется и очень большое значение, если это условие хотя бы слегка нарушается. Тогда решение вариационной контактной задачи, обеспечивающее экстремум функционала задачи, не может сильно отклоняться от условия непроникновения. Необходимая точность расчёта достигается подбором штрафного функционала исходя из конкретных условий. При дискретизации он становится (штрафной) функцией, с чем и связано название метода.

Из сформулированного авторами [5] вариационного принципа выводится схема пошагового численного интегрирования. Для нахождения зазора g используется дополнительная схема интегрирования, основанная на том, что, как можно показать, g = (v^(x,o-v(2)(Y(x,o,o)-n , где X е Г^, V^ - поле скорости поверхности /-го тела, привязанное к отсчёт-ной конфигурации. Пусть g/, g/+i - величина зазора на последовательных шагах нагружения. Тогда нормальная компонента давления рп в зоне контакта, энергетически сопряжённая переменной g, находится по схеме

U(gi+1)-U(gi)

Рп =1

Si+1 - Si r\ if gi+l*gi

U' ~(gi+\+gi) if gi+\=gi > / для неотрицательного регулярного штрафного потенциала U(g)~. В приведённых авторами численных примерах полагается

U(g) = hg2 if g<0

0 if g > о при большой, выбираемой пользователем, величине штрафного параметра к. Эти примеры демонстрируют поведение различных пар соударяющихся упругих тел, сопровождаемое конечным деформированием.

Достоинствами метода штрафных функций являются относительная простота как теоретических основ, так и программирования, а также применимость к широкому кругу задач. Кроме этого, как указывается в документации к пакету программ ANSYS, при сильном искажении конечноэлементной сетки данный метод может превосходить своего ближайшего конкурента - метод множителей Ла-гранжа с добавками.

Метод мноэ/сителей Лагранжа. Автору известны 3 относительно недавние работы [6, 53, 54], причём две из них ограничиваются частным случаем малых деформаций. Учитывая, что, по мнению большинства специалистов, этот метод уступает по вычислительной эффективности своим конкурентам в случае конечных деформаций, сделаем лишь общие замечания. Если [54] основана на классической версии метода, то [6, 53] привлекает методы математического программирования. А именно: сначала формулируется контактная задача как вариационное неравенство со специфическими условиями варьирования входящих в него полей; затем производится дискретизация и переформулировка в задачу теории оптимизации. При этом условия на поверхности контакта преобразуются в необходимые и достаточные условия Куна-Таккера. Наконец, новая задача решается с помощью известных методов математического программирования, и в результате находится решение исходной задачи.

Достоинством метода является отсутствие дополнительной переменной g (зазора), описывающей несуществующую степень свободы и, как следствие, отсутствие подгоночных параметров вроде штрафных множителей.

Метод мноэ/сителей Лагранжа с добавками. Этот сравнительно новый подход оказывается существенно сложнее двух предыдущих из-за методов исследования, заимствованных в негладком выпуклом функциональном анализе. Достаточно отчётливое представление о нём даёт работа [55], которой мы и будем следовать. Начнём с того, что изложим основные идеи.

Многие задачи в физике, механике и экономике могут быть сформулированы как минимизация суммы двух функционалов infF(v)=mf(/(v) + ^(v)) , veH v&H где if есть гильбертово пространство-соскалярным-произведением, обозначае- - -. мым далее как (у); /,¥: Н -> R есть выпуклые нижние полунепрерывные функционалы и/непрерывно дифференцируем; R = R и {- оо,+оо} есть расширенная числовая прямая; функция g такова, что сохраняется выпуклость функционала T(v) = 4>(g(y)). В приведённой сумме 1Р обычно выражает ограничения, наложенные на v или на/ Рассмотрим задачу минимизации с ограничением inf /(v), veC где~С есть непустое замкнутое выпуклое подмножество Н, которую переформулируем в задачу без ограничений inf F(v), где v&H

ГО ifveC F(v) = /(v) + /c(v), /c(v)= .

00 if V £ С

Удобный путь решения новой задачи минимизации - это преобразовать её в задачу минимакса с седловой точкой, которая состоит в нахождении такой пары (и,А), что где Г- другое гильбертово пространство, Y* - сопряжённое ему, X — дуальная переменная, называемая лагранжевым множителем, l{u,A) = -swp{{A,p)-F{u,p)) = inf (F{u,p)-{A,p)) -peY P^Y есть лагранжиан задачи, . . F(u,pj=f(uj+4>(g(uj+p) есть возмущение функционала F.

Трудности с решением задачи поиска минимакса лагранжиана возникают, как только оказывается недифференцируемым. Один из самых популярных и эффективных методов обойти эту трудность основан на так называемой технике лагранжиана с добавкой. Ключевая идея состоит в замене 1(и,Л) на регуляризованный функционал L(u, А) с седловой точкой, называемый лагранжианом с добавкой, который сохраняет все существенные свойства /(и, Л) и может исследоваться стандартными методами. Рассматриваются только два практически важных случая: 1) 4{g{u)) = Ic{g{u)), 2) 4!(g(u)) = Ic(g(u));'v%e Ic есть функционал, сопряжённый Iq (С - выпуклое замкнутое множество). Заметим, что 1) и 2) охватывают все равенства, неравенства и условия типа выпуклости множества, накладываемые как на исходную и, так и на дуальную X переменные. Первый случай представляет минимизацию функционала/с ограничением, наложенным на исходную переменную иеС, где С = {и | g(u)> 0}: inf f(u) = mf(f(u) + Ic(u)) . и&С и

Соответствующий лагранжиан с добавкой имеет следующую форму: lp lp л

9 , \ 2 где disfg{z)= inf || z - q || есть квадрат расстояния между точкой z и выпуклым qeB множеством В, ар есть подстраиваемый параметр регуляризации. Второй случай, соответствующий минимизации с ограничением Я е С, наложенным на дуальную переменную, , inf f(u) = inf (J (и) + 1*с 00) ,

ЛеС и приводит к следующей форме лагранжиана с добавкой:

L(u^) = f(u) + {*,g(u))+£\\gm2~distl& + pg(u)) . . .

2 2 р

Оба лагранжиана при естественных предположениях о регулярности/и g непрерывно дифференцируемы. Поиск седловой точки, дающей решение задачи, является известной и проработанной задачей вычислительной математики. Параметр регуляризации р играет ту же роль, что и штрафные множители в методе штрафных функций. В разрешающих уравнениях каждый лагранжев множитель представляется суммой двух слагаемых, одно из которых пропорционально р.

Таковы основные идеи этого метода. Применительно к контактным задачам он конкретизируется следующим образом. Снова используем лагранжев подход и запишем условие непроникновения с помощью введённых ранее обозначений:

• • g(X,0>0, pn{X,t)>Q, g(X,t)pn(X,t) = 0 , где ХеГ®.' Как оказывается, это условие можно переформулировать на языке функционального анализа следующим образом: нормальная компонента давленияpn(X,t) для X g Г^ является субградиентом недифференцируемого выпуклого потенциала Ir (g(X,t)). Или, что равносильно: зазор g(X,t) для X е Г^ является субградиентом недифференцируемого выпуклого потенциала (pn(X,t)).

Другими ограничениями, требующими учёта, являются условие скольжения и закон трения.Условие скольжения:

Ivt Сх, 0||рг (х, 0 = ||рг (х, t)\\t (х, t), где vt(X,t) и р^(X,/) - скорость скольжения и касательная составляющая давления в точке контакта X е Г^. Закон трения (изотропный): рдх,0|-^(х,0)<0.

В случае закона Кулона получаем k{pn(X,t)) = -fjpn{X,t) с коэффициентом трения ju. Эти ограничения также можно выразить на языке функционального анализа: рДХ,?) является субградиентом недифференцируемого выпуклого квазипо тенциала диссипации ^(уt(X,t)), где С(рп) — двумерное множество касательных компонент давления, допускаемых законом трения, при фиксированном рп. В случае изотропного закона трения С{рп) является кругом. , .

Далее исходная контактная задача формулируется как поиск условного экстремума некого функционала Usys = + и(2) , где слагаемые относятся к контактирующим телам по отдельности. Затем происходит переформулировка в задачу на безусловный экстремум сингулярного функционала

Usys +U& + Я IR Сg(X,t))dT<!> + JJ IciPn)(yt(X,t))drW . r(l) r(l)

Наконец, применяется описанная выше техника лагранжиана с добавкой. Явный вид этого лагранжиана довольно сложный, поэтому опустим его. На этом постановка задачи завершена. Остаётся найти седловую точку полученного регуляри-г, зованного лагранжиана, для чего необходимо выписать вторые вариации всех входящих в него функционалов. Не будем приводить крайне громоздкую систему соответствующих уравнений. Отметим лишь, что она решается обобщённым методом Ньютона.

Так в общих чертах выглядит анализ контактных задач на основе метода множителей Лагранжа с добавками. Этот метод, как показала вычислительная практика, оказался эффективнее двух предыдущих. Он применим к широкому кругу задач, охватывающему случаи как малых, так и больших деформаций, что демонстрируют численные примеры из рассмотренной работы [55].

Изложив основные принципы всех трёх методов, перейдём к критическому анализу.

Метод штрафных функций использует подстроечные параметры (один или несколько штрафных множителей), оптимальный выбор которых может вылиться в самостоятельную проблему, требующую экстраполяции результатов нескольких расчётов [8]. Это особенно неудобно для з ад ач, тр ебу ю щи хд лите л ьн ыхко м п ь га-терных вычислений. Ещё одна неприятная : особенность,-- влияние штрафных множителей на обусловленность разрешающей системы уравнений, в результате чего обусловленность может значительно ухудшаться в процессе оптимизации этих множителей. ■ - - - ;; ;, :/

Метод множителей Лагранжа приводит к матрицам, обладающим одновре- . менно несколькими нежелательными свойствами: .знаконеопределённость, несимметричность, плохая обусловленность, присутствие нулей на главной диагонали. Это нередко приводит к'сравнительно большому объёму вычислений и медленной сходимости, а наличие нулей на главной диагонали затрудняет применение итерационных методов решения [7].

Чтобы уменьшить объём вычислений, метод множителей Лагранжа комбинируют с методом штрафных функций и приходят к методу множителей Лагранжа с добавками (augmented Lagrangian method); при этом каждый лагранжев множитель оказывается суммой двух слагаемых, одно из которых пропорционально параметру р регуляризованного лагранжиана. Хотя обусловленность матриц суще- • -ственно улучшается, их всё же рекомендуется подвергать специальному преобразованию с целью дальнейшего улучшения [7]. От метода множителей Лагранжа наследуются также и все остальные нежелательные свойства матриц, а от метода штрафных функций — подстраиваемые параметры.

Необходимо отметить ещё одно нежелательное свойство, присущее всем трём описанным методам. Это - сравнительно невысокая точность в тонком прикон-тактном слое при конечных деформациях. Дело в том, что в последнее время растёт интерес к микромеханике деформируемых сред. Это связано с разработкой новых технологий обработки металлов давлением, когда требуется не только придать детали заданную геометрию, но и управлять её микроструктурой, которая зачастую формируется как раз в приконтактном слое. Если первый и третий методы не обеспечивают высокую точность из-за нарушения условия непроникновения, то второй метод, хотя это условие и соблюдает, оказывается малоэффективным при конечных деформациях, как уже говорилось выше. * Следует упомянуть ещё о двух методах, встречающихся в литературе по кон- . тактным задачам: методе математического программирования и методе вариационных неравенств.

Метод математического программирования имеет отношение скорее к постановке задачи, чем к решению и сводит её к задаче оптимизации с необходимыми и достаточными условиями Куна-Таккера, которая чаще всего решается методом множителей Лагранжа с различными вариациями разрешающего алгоритма [6, 53].

Метод вариационных неравенств, как и метод математического программирования, используется для постановки контактной задачи и не имеет отношения к её решению. Решаются же вариационные неравенства одним из трёх описанных методов.

Метод, предлагаемый в настоящей диссертации, не содержит подгоночные параметры и приводит к хорошо обусловленным матрицам, — их обусловленность обычно не намного хуже, чем у глобальной матрицы жёсткости, получающейся сразу после поэлементной сборки (в противном случае можно выполнить элемен- ■ тарную процедуру масштабирования, т.е. удобного выбора единиц измерения -обобщённых координат). Диагональные элементы оказываются максимальными по абсолютной величине в своих строках или близкими к максимальным. Более того, в упругопластических расчётах на основе формулировок, приводящих к матрицам, представляющим собой сумму положительно определённого симметричного слагаемого и несимметричной добавки, существует практика отбрасывания этой добавки с сохранением сходимости итераций Ньютона-Рафсона, по-видимому, для большинства технических задач. Данный приём позволяет существенно упростить программное обеспечение, используя простые, эффективные и общедоступные алгоритмы [9, 10]. При этом увеличение числа итераций из-за огрубления матриц может компенсироваться увеличением скорости их прохождения за счёт более эффективных матричных алгоритмов (вопрос о количественных оценках на этот счёт требует отдельного исследования и здесь не рассматрива-1 ется). Такая практика совместима-с предлагаемым, методом;, но не-совместима, ; -" например, с методом множителей Лагранжа, включая его.версию с.добавками. \ . ■ . Важно учитывать ещё одно обстоятельство. При работе с фирменными программными продуктами предлагаемые пользователю способы описания движения абсолютно жёстких тел могут оказаться неудобными в каком-то частном слу- • чае. Например, пакет ANSYS использует декартовы координаты выделенной точки тела ("pilot node") и углы поворота вокругнеё. В конце статьи приводится -. • пример, когда эти координаты не подходят. Предлагаемый метод позволяет работать с любыми обобщёнными координатами жёстких тел, причём своими для каждого такого тела и задавать интегральные нагрузки в энергетически сопряжённых обобщённых силах.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Морев, Павел Геннадьевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Решена новая актуальная научная задача, состоящая в разработке и численном исследовании модели контактного взаимодействия абсолютно твёрдых тел с упругопластическим телом, испытывающем конечные деформации.

2. Предложена модификация скоростного вариационного принципа квазистатического равновесия системы контактирующих тел, явно включающая в себя не только тензорные поля, определяющие НДС, но также обобщённые координаты и силы для абсолютно жёстких тел. Построенная модель позволяет описать произвольные движения абсолютно жёстких тел, тогда как у фирменных программных продуктов выбор этих движений ограничен.

3. На основе конечноэлементной аппроксимации выполнена пространственная дискретизация системы уравнений, описывающей процесс контактного взаимодействия.

4. Разработана методика решения полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе метода Рунге-Кутта.

5. Получено уравнение эволюции границы поверхности контакта, явно определяющее эту поверхность.

6. Создана и отлажена FORTRAN программа для численного решения контактных задач.

7. На серии численных тестов продемонстрирована достоверность предлагаемого метода и его преимущества перед существующими. К тому же предлагаемый метод выгодно отличается от существующих (штрафных функций (Р), множителей Лагранжа (L), множителей Лагранжа с добавками - augmented Lagrangian method (А), используемых в пакетах ANSYS и NASTRAN) эффективностью как при больших, так и при малых деформациях (в отличие от Р, L, А), а также высокой точностью решения в тонком приконтактном слое благодаря выполнению условия непроникновения (в отличие от Р и А).

8. Благодаря эффективности и простоте программирования новый метод может быть полезен исследователям, располагающим даже небольшим бюджетом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Морев, Павел Геннадьевич, 2008 год

1. Гольник Э.Р., Гундорова Н.И., Успехов А.А. Инкрементальное моделированиефрикционных контактных систем на базе неинкрементального алгоритма// Изв. вузов. Машиностроение. 2000, №3, с. 9-14.

2. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике.1. М.: МГАПИ, 1997, 340 с.

3. Давыдов B.C., Чумаченко Е.Н. Метод реализации модели контактного взаимодействия в МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред// Известия РАН, сер. Механика твёрдого тела. 2000, № 4, с. 53-63.

4. Peter W., Christensen. A. A semi-smooth Newton method for elasto-plastic contactproblems// International Journal of Solids and Structures. 2002. v.39. p. 23232341.

5. P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon Solution of frictional contact problems by an EBE ~~ ~" preconditioned/ Computational Mechanics. 1997-. v.20. p. 370-378.

6. D. Barlam, E. Zahavi The reliability of solution in contact problems// Computersand Structures. 1999. v.70. p. 35-45.

7. Джордж А., ЛюДж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984, 333 с.

8. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.:Мир, 1992.

9. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 231 с.

10. Унксов Е. П., Джонсон У., Колмогоров В. Л. и др. Теория пластических деформаций металлов. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

11. В. Schieck, Н. Stumpf The appropriate corotational rate, exact formula for plasticspin and constitutive model for finite elastoplasticity // International Journal of Solids and Structures, 1995, v. 32, № 24, p. 3643-3667.

12. J. R. Barber, M. Ciavarelly Contact mechanics// International Journal of Solidsand Structures, 2000, v. 37, p. 29-34

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М: Наука, 1977, 832 с.

14. Кунин С. Вычислительная физика. М. : Мир, 1992, 518 с.

15. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. : Мир, 1986

16. Маркин А. А. Об изменении упругих, и пластических свойств .при: конечном -^ ~ деформировании// Известия АН СССР, сер. Механика твёрдого тела, "1990,2, с. 120-126.

17. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоких давлениях. Киев: Наукова думка, 1987, 228 с.

18. Svedsen В. On the modelling of anisotropic elastic and inelastic behaviour at large deformation// International Journal of Solids and Structures, 2001, v. 38, p. 95729599.

19. J. Casey, P. M. Naghdi A remark on the use of the decomposition F = Fe • F^ in plasticity// Journal of Applied Mechanics, 1980, v. 47, p. 672-675.

20. Y F. Dafalias The plastic spin// Journal of Applied Mechanics, 1985, v. 52, p. 865871.

21. P. M. Naghdi A critical review of the state of finite plasticity// Zeitschrift fur An-gewandte Mathematik und Physik. 1990, v. 41, p. 315-387.

22. C. Miehe A constitutive frame of elastoplasticity at large strains based on the notation of plastic metric// International Journal of Solids and Structures, 1998, v. 35, p. 3859-3897.

23. C. Miehe A formulation of finite elastoplasticity based on dual со- and contra-variant eigenvector triads normalized with respect to a plastic metric// Computer meth" ods in applied mechanics and engineering: 1998, v.l59, p. 223-260.

24. Jacob Fish, Kamlun Shek Finite deformation plasticity based on the addidive split of the rate of deformation and hiperplasticity// Computer methods in applied mechanics and engineering. 2000, v. 190, p. 75-93.

25. Xiao K, Bruhns O., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic J ' rate//Acta Mechanica. 1998~ v. 124, p. 80-105. •

26. Xiao H., Bruhns O., Meyers On objective corotational rates and their defining spin tensors//International Journal of Solids and Structures, 1998, v. 35, p. 4001-4014.

27. Xiao H., Bruhns O., Meyers A self-consistent Eulerian rate type model for finite deformation elastoplasticity with isotropic damage// International Journal of Solids and Structures, 2001, v. 38, p. 657-683.

28. Chung Souk Han, Yangwook Choi, June Lee, R. H. Wagoner A FE formulation for elasto-plastic materials with planar anisotropic yield functions and plastic spin// International Journal of Solids and Structures, 2002, v. 39, p. 5123-5114.

29. A. Menzel, P. Steinmann On the spatiaLformulation of anisotropic multiplicative- -elasto-plasticity// Computer methods in applied mechanics and engineering. 2003, v.192, p. 3431-3470.

30. Ильюшин А. А. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: ИПМ АН СССР, 1963, 272 с.

31. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды: Учебник для университетов. М.: МГУ, 1978, 287 с.

32. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962, 284с.

33. R. Blaheta Displacement decomposition incomplete factorization preconditioning techniques for linear elasticity problems// Numerical and Linear Algebra Application, 1994, v. l,p. 107-128.

34. R. Blaheta, R. Kohut Solution of large nonlinear systems in elasto-plasticity incremental analysys// Journal of Computational and Applied Mathematic, 1995, v. 63, p. 255-264.

35. R. Blaheta, O. Axelson Convergence of inexact Newton-like iteration in incremental -finite element analysis of elasto-plastic problems// Computer methods in applied- • mechanics and engineering, 1997, v. 141, p. 281-295.

36. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость." M.: Наука, 1998, 192 с.

37. Астапов В. Ф., Маркин А. А., Оленин С. И. Обоснование выбора мер конечных деформаций// Известия ТулГУ, сер. Математика, Механика, Информатика. -1995, т. 1, вып. 2, с. 7-11.

38. Морев П. Г. Учёт контакта инструмент-заготовка в конечноэлементных моделях// Известия ТулГУ, сер. Механика деформируемого твёрдого тела и обработка металлов давлением. 2003, вып. 1, с. 51-56.

39. Морев 77. Г. Конечноэлементный анализ упругопластических моделей в процессах ОМД// Сборник научных трудов ОрёлГТУ. 1996, т. 9, с. 42-47.

40. Морев 77. Г. Использование схемы Рунге-Кутта в конечноэлементном анализе процессов ОМД// Исследования в области теории, технологии и оборудования обработки металлов давлением. Межвузовский сб. научных трудов. Орёл: ОрёлГТУ-ТулГУ, 1998, с. 134-139

41. Морев 77. Г. Вариант метода конечных элементов для контактных задач с трением// Известия РАН, сер. Механика твёрдого тела. 2007, №4, с. 168-182

42. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985,589 с.

43. Тимошенко С. 77., Гудъер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979, 559 с.

44. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. 77. Обзор контактных алгоритмов// Известия РАН, сер. Механика твёрдого тела. 2005, №1, с. 45-87

45. F. F. Mahmoud, S. S. Ali-Eldin, М. М. Hassan, S. А. Emam An incremental mathematical programming model for solving multi-phase contact problems// Computers and Structures, 1998, v. 68, p. 567-581

46. Wenhua Ling, H. K. Stolarski A contact algorithm for problems involving quadrilateral approximation of surfaces// Computers and Structures, 1997, v. 63,p. 963-975

47. G. Pietrzak, A. Curnier Large deformation frictional contact mechanics: continuum formulation and augmented Lagrangian treatment// Computer methods in applied mechanics and engineering, 1999, v. 177, p.351-381

48. Толоконников О. П., Маркин А. А., Астапов В. Ф. Исследование процесса формоизменения с учётом конечности деформаций// Прикладная механика, 1983, т.19, №10, с. 122-125

49. Бровко Г. Л. Материальные и пространственны^представления определяющих соотношений деформируемых сред// Прикладная математика и механика, 1990. т. 54, вып. 5. с. 814-824